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<!DOCTYPE html> <html lang="en" prefix="dcterms: http://purl.org/dc/terms/"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2412.08416v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S1" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1" title="In 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>The SSLB model</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS1" title="In 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1.1 </span>SSLB likelihood</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2" title="In 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1.2 </span>SSLB priors</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsubsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px1" title="In 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Prior on the elements of <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">bold_Z</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px2" title="In 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Prior on the gene binary indicator variable <math alttext="\boldsymbol{\Gamma}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>𝚪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝚪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">bold_Γ</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px3" title="In 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Prior on the elements of <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">bold_Λ</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px4" title="In 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Prior on the sample indicator variable <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mover accent="true"><mi>𝚪</mi><mo>~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><ci>~</ci><ci>𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px5" title="In 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">Prior on the covariance matrix <math alttext="\boldsymbol{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">bold_Σ</annotation></semantics></math> of <math alttext="\varepsilon_{i}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>ε</mi><mi>i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝜀</ci><ci>𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS3" title="In 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1.3 </span>Estimation of biclusters: EM algorithm</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsubsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS3.Px1" title="In 2.1.3 Estimation of biclusters: EM algorithm ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">E step</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS3.Px2" title="In 2.1.3 Estimation of biclusters: EM algorithm ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title">M step</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS4" title="In 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1.4 </span>Implementation of SSLB & initial conditions</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Methodology</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS1" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Expectation of <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mover accent="true"><mi>𝜸</mi><mo>~</mo></mover><mi>i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><apply><ci>~</ci><ci>𝜸</ci></apply><ci>𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS2" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Expectation of the log-sum-exp expression in <math alttext="Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mrow><mi>Q</mi><mo>⁢</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>𝚫</mi><mo>∣</mo><msup><mi>𝚫</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><times></times><ci>𝑄</ci><apply><csymbol cd="latexml">conditional</csymbol><ci>𝚫</ci><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝚫</ci><ci>𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS3" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>Estimation of hyperparameter <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>λ</mi><mtext>W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝜆</ci><ci><mtext mathsize="70%">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS3.SSS1" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3.1 </span>SOUL implementation guidelines</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsubsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS3.SSS1.Px1" title='In 3.3.1 SOUL implementation guidelines ‣ 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_title">Setting <math alttext="\delta_{\text{PGA}}^{i}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msubsup><mi>δ</mi><mtext>PGA</mtext><mi>i</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝛿</ci><ci><mtext mathsize="70%">PGA</mtext></ci></apply><ci>𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\delta_{\text{PGA}}^{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_m</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS3.SSS1.Px2" title='In 3.3.1 SOUL implementation guidelines ‣ 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_title">Setting <math alttext="w^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msup><mi>w</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">superscript</csymbol><ci>𝑤</ci><ci>𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">w^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_paragraph"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS3.SSS1.Px3" title='In 3.3.1 SOUL implementation guidelines ‣ 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_title">Implementation in Logarithmic Scale</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS4" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.4 </span>Gradient of ridge multinomial logistic regression</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS5" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.5 </span>Maximisation step regarding the variable <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">bold_W</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS6" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.6 </span>Step size <math alttext="\delta_{\text{ULA}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>δ</mi><mtext>ULA</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝛿</ci><ci><mtext mathsize="70%">ULA</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\delta_{\text{ULA}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> & <math alttext="\delta_{\text{AGD}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>δ</mi><mtext>AGD</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝛿</ci><ci><mtext mathsize="70%">AGD</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\delta_{\text{AGD}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Numerical Results</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.SS1" title="In 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Simulation Study</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.SS2" title="In 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S5" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Conclusions and Future work</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A1" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Current SSLB model: E step</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A2" title="In Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>SSLB model with profile regression: E step</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://orcid.org/0000-0001-8462-9970" title=""><img alt="[Uncaptioned image]" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="8" id="id1.1.1.g1" src="x1.png" width="8"/> Luis A. Vargas-Mieles</a> <br class="ltx_break"/>CITIID <br class="ltx_break"/>University of Cambridge <br class="ltx_break"/>Cambridge, UK <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id4.4.id1">lv375@cam.ac.uk</span> <br class="ltx_break"/>&<a class="ltx_ref ltx_href" href="https://orcid.org/0000-0002-5931-7489" title=""><img alt="[Uncaptioned image]" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="8" id="id2.2.2.g1" src="x2.png" width="8"/> Paul D. W. Kirk</a> <br class="ltx_break"/>CITIID<span class="ltx_note ltx_role_footnotemark" id="footnotex1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_type">footnotemark: </span><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span></span></span></span> <br class="ltx_break"/>MRC Biostatistics Unit <br class="ltx_break"/>University of Cambridge <br class="ltx_break"/>Cambridge, UK <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id5.5.id2">paul.kirk@mrc-bsu.cam.ac.uk</span> <br class="ltx_break"/>&<a class="ltx_ref ltx_href" href="https://orcid.org/0000-0001-9755-1703" title=""><img alt="[Uncaptioned image]" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="8" id="id3.3.3.g1" src="x3.png" width="8"/> Chris Wallace</a> <br class="ltx_break"/>CITIID<span class="ltx_note ltx_role_footnotemark" id="footnotex2"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_type">footnotemark: </span><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span></span></span></span> <br class="ltx_break"/>MRC Biostatistics Unit <br class="ltx_break"/>University of Cambridge <br class="ltx_break"/>Cambridge, UK <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id6.6.id3">cew54@cam.ac.uk</span> <br class="ltx_break"/> </span><span class="ltx_author_notes">Cambridge Institute for Therapeutic Immunology and Infectious Disease.</span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id7.id1">Biclustering has gained interest in gene expression data analysis due to its ability to identify groups of samples that exhibit similar behaviour in specific subsets of genes (or vice versa), in contrast to traditional clustering methods that classify samples based on all genes. Despite advances, biclustering remains a challenging problem, even with cutting-edge methodologies. This paper introduces an extension of the recently proposed Spike-and-Slab Lasso Biclustering (SSLB) algorithm, termed Outcome-Guided SSLB (OG-SSLB), aimed at enhancing the identification of biclusters in gene expression analysis. Our proposed approach integrates disease outcomes into the biclustering framework through Bayesian profile regression. By leveraging additional clinical information, OG-SSLB improves the interpretability and relevance of the resulting biclusters. Comprehensive simulations and numerical experiments demonstrate that OG-SSLB achieves superior performance, with improved accuracy in estimating the number of clusters and higher consensus scores compared to the original SSLB method. Furthermore, OG-SSLB effectively identifies meaningful patterns and associations between gene expression profiles and disease states. These promising results demonstrate the effectiveness of OG-SSLB in advancing biclustering techniques, providing a powerful tool for uncovering biologically relevant insights. The OGSSLB software can be found as an R/C++ package at <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://github.com/luisvargasmieles/OGSSLB" title="">https://github.com/luisvargasmieles/OGSSLB</a>.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Over the last few decades, the identification of groups that share interesting common characteristics has been a key objective in various real-world applications. Clustering has proven to be a crucial method for discovering these groups that exhibit patterns within high-dimensional data, particularly in the context of large omics datasets <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib46" title="">46</a>]</cite>. This technique enables the detection of associations between related entities based on shared features or attributes.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">One domain of omics in which clustering techniques have been widely employed has been the examination of transcriptomic data, which captures patterns of gene expression levels within biological entities such as tissues or cells <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>. The need to understand shared transcriptional patterns embedded in gene expression data has led to extensive development of clustering methodologies.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Although clustering has been beneficial in revealing hidden patterns within these large-scale datasets, it is not without drawbacks. Among its disadvantages, traditional clustering models assume that samples within a cluster behave similarly across all genes and vice versa. Additionally, clustering often results in a partition of the samples or genes into disjoint subsets. These assumptions may oversimplify the biological system under analysis.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">Owing to these limitations, biclustering, a methodology that clusters genes and samples simultaneously, has gained more attention in recent years <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib35" title="">35</a>]</cite>. This approach allows flexibility in capturing subsets of genes that may behave differently across conditions or subsets of samples that differ according to specific sets of features. Furthermore, biclustering permits overlapping patterns, where genes or samples may belong to multiple biclusters, which more closely matches biological systems. For instance, samples may cluster by sex, disease age and disease state simultaneously, and a single gene may be a member of two or more biological pathways.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Several approaches have been proposed to estimate these subgroups of genes and samples, and various reviews of the biclustering methods developed over the past decades exist in the literature (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>). Building upon the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite>, this work focuses on the adoption of a multiplicative model, which has proven advantageous in this context. Such models have demonstrated effective capture of diverse sources of variability in gene expression data, including the presence of outlier genes or genes with fluctuating expression levels <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Among the existing algorithms using this methodology, we highlight three: Factor analysis for bicluster acquisition (FABIA) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>, the BicMix biclustering method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> and Spike-and-Slab Lasso Biclustering (SSLB) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. All three are based on a Bayesian factor analysis model with sparsity-inducing priors that have proven to possess a notable ability to recover latent structures in gene expression data. However, a comparative study by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib29" title="">29</a>]</cite> highlights that SSLB has the advantage of allowing different sparsity levels on each bicluster, in comparison to BicMix, which allows only two levels of sparsity (sparse or dense) for each bicluster, and FABIA, which uses the same sparsity level for all biclusters. Furthermore, while FABIA requires setting the number of biclusters in advance, SSLB (and BicMix) automatically estimates the number of biclusters.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">Although recent approaches, such as the ones mentioned above, have been shown to be capable of revealing these latent structures within gene expression data, biclustering, in general, is recognised as an NP-hard problem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib41" title="">41</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>. The NP-hardness arises from the challenge of simultaneously grouping rows and columns of a matrix to identify coherent submatrices while considering various constraints and optimisation criteria. Added to the fact that biclusters can also overlap, these difficulties pose a substantial challenge to even the most state-of-the-art methods, further complicating the accurate identification of samples and gene groups that share a common characteristic.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">One promising approach to mitigate this complexity is the integration of informative outcome data into the clustering process, thereby guiding the inference towards biologically relevant clustering structures. Several outcome-guided clustering methods have been developed in recent years, with applications in K-Means clustering <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite> and gene selection based on survival data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>, to mention a few. For additional insights, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.p9.1">In light of these developments, Bayesian profile regression has emerged as another outcome-guided, semi-supervised method for clustering that leverages an outcome variable to inform cluster allocations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib25" title="">25</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>. Unlike some of the previously mentioned approaches, it offers a fully model-based framework that can handle a variety of outcome types, making it more versatile. This approach has already shown success in handling binary covariate data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> as well as longitudinal or multivariate continuous outcomes <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib38" title="">38</a>]</cite>, making it a valuable tool in the context of gene expression analysis.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p10"> <p class="ltx_p" id="S1.p10.1">Building on this success, we explore whether such outcome-guided strategies can also enhance biclustering, where the goal is to simultaneously group genes and samples. Since most gene expression studies also include phenotype information such as age, sex, and disease status, we investigate in this work whether integrating disease outcomes would enhance cluster consistency within specific disease groups. To achieve this, we introduce an outcome-guided version of SSLB by incorporating the disease outcome of the samples into the model via Bayesian profile regression, aiming to better guide the biclustering membership of genes and samples. As we show in numerical and real-data experiments, this integration enhances the accuracy of the SSLB model and refines the biological relevance of the estimated biclusters.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p11"> <p class="ltx_p" id="S1.p11.1">The remainder of the paper is organised as follows. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2" title="2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> discusses the current state of biclustering models, particularly within the context of factor analysis models, and explains the SSLB model that we aim to improve. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3" title="3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> highlights the potential contributions of additional data available in most gene expression studies and presents the methodology used in our work, which integrates Bayesian profile regression into the SSLB model, detailing the computations added to implement this new approach. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4" title="4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> details the results of our experiments and provides a comprehensive analysis of the findings. Finally, Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S5" title="5 Conclusions and Future work ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> concludes by summarising the key contributions of our research and suggesting directions for future work.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.6">We assume that gene expression data is represented in a matrix <math alttext="\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{N\times G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">G</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="S2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝐺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{N\times G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">bold_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> samples and <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">italic_G</annotation></semantics></math> features or genes. Additionally, we assume that the data <math alttext="\mathbf{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><mi id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml">𝐗</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">𝐗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">\mathbf{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">bold_X</annotation></semantics></math> contains <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.p1.5.m5.1a"><mi id="S2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m5.1b"><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m5.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m5.1d">italic_K</annotation></semantics></math> non-disjoint latent groups of genes and samples that potentially may be linked due to some common biological characteristics. The problem of determining the number of subgroups <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.p1.6.m6.1.1" xref="S2.p1.6.m6.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m6.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m6.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m6.1d">italic_K</annotation></semantics></math>, as well as identifying the genes and samples belonging to each of these groups, is defined as “biclustering".</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.1">Following the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>, we adopt a factor analysis model to identify these latent groups or biclusters, where <math alttext="\mathbf{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">𝐗</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">𝐗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">\mathbf{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">bold_X</annotation></semantics></math> can be represented as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{X}=\mathbf{\Lambda Z^{\mathsf{T}}}+\mathbf{E}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.1"><semantics id="S2.E1.m1.1a"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">𝐙</mi><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">𝖳</mi></msup></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐄</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.1b"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1"><eq id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝚲</ci><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐙</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝖳</ci></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.3.3">𝐄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.1c">\mathbf{X}=\mathbf{\Lambda Z^{\mathsf{T}}}+\mathbf{E},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.1d">bold_X = bold_Λ bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_E ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p2.2">where</p> <ul class="ltx_itemize" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.1"><math alttext="\mathbf{\Lambda}\in\mathbb{R}^{N\times K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝚲</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">\mathbf{\Lambda}\in\mathbb{R}^{N\times K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">bold_Λ ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which will be called the sample loading matrix,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.1"><math alttext="\mathbf{Z}\in\mathbb{R}^{G\times K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐙</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">G</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝐙</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐺</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1c">\mathbf{Z}\in\mathbb{R}^{G\times K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1d">bold_Z ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_G × italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which will be called the gene loading matrix, and</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.3"><math alttext="\mathbf{E}=\left[\varepsilon_{1},\ldots,\varepsilon_{N}\right]^{\mathsf{T}}\in% \mathbb{R}^{N\times G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐄</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.5" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.5.cmml">=</mo><msup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">[</mo><msub id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.5" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.6" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.4.cmml">𝖳</mi></msup><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.6" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.6.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.3.cmml">G</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3"><and id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3a.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3"></and><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3b.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.5"></eq><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.4">𝐄</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2">superscript</csymbol><list id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝜀</ci><cn id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></list><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.4">𝖳</ci></apply></apply><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3c.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3"><in id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.6.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3d.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3"></share><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.2">ℝ</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3"><times id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.1"></times><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.7.3.3">𝐺</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3c">\mathbf{E}=\left[\varepsilon_{1},\ldots,\varepsilon_{N}\right]^{\mathsf{T}}\in% \mathbb{R}^{N\times G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3d">bold_E = [ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is noise, where each <math alttext="\varepsilon_{i}\sim N_{G}(\mathbf{0},\Sigma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><msub id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml">G</mi></msub><mo id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.2.cmml">Σ</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3"><times id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.1"></times><apply id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.2.3">𝐺</ci></apply><interval closure="open" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.3.3.3.2"><cn id="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.2.m2.2.2">Σ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2c">\varepsilon_{i}\sim N_{G}(\mathbf{0},\Sigma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.2.m2.2d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT ( bold_0 , roman_Σ )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\Sigma=\mathrm{diag}\{\sigma_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">Σ</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml">diag</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1"><eq id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.2"></eq><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.3">Σ</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1"><times id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.3">diag</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></set><apply id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3"><eq id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝐺</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1c">\Sigma=\mathrm{diag}\{\sigma_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.3.m3.1d">roman_Σ = roman_diag { italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.7">Current biclustering algorithms that use the model given in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E1" title="In 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) implement an unsupervised approach to identify sparse groups of relevant genes and samples and thus infer <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">bold_Z</annotation></semantics></math>. Their main input is <math alttext="\mathbf{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml">𝐗</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">𝐗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">\mathbf{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">bold_X</annotation></semantics></math> without additional information (apart from the necessary model parameters) included in the model. For instance, FABIA <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> uses a Laplacian prior on all <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.p3.4.m4.1a"><mi id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.1b"><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.5.m5.1"><semantics id="S2.p3.5.m5.1a"><mi id="S2.p3.5.m5.1.1" xref="S2.p3.5.m5.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.5.m5.1b"><ci id="S2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.5.m5.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.5.m5.1d">bold_Z</annotation></semantics></math> entries to induce sparsity, applying the same prior to every entry in these matrices. BicMix <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>, on the other hand, allows the columns of <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.6.m6.1"><semantics id="S2.p3.6.m6.1a"><mi id="S2.p3.6.m6.1.1" xref="S2.p3.6.m6.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.6.m6.1b"><ci id="S2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m6.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.6.m6.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.6.m6.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.7.m7.1"><semantics id="S2.p3.7.m7.1a"><mi id="S2.p3.7.m7.1.1" xref="S2.p3.7.m7.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.7.m7.1b"><ci id="S2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m7.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.7.m7.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.7.m7.1d">bold_Z</annotation></semantics></math> to be sparse or dense. For the sparse components, it utilises three levels of shrinkage, each employing a three-parameter beta (TPB) prior <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>, to promote sparsity.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.2">Finally, SSLB employs the Spike-and-Slab Lasso prior <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite> for both <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.p4.2.m2.1a"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m2.1b"><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m2.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m2.1d">bold_Z</annotation></semantics></math>. This prior enables stronger regularisation on near-zero coefficients (in the spike) to achieve sparsity, while applying weaker regularisation on larger coefficients (in the slab) to maintain accuracy. A key advantage of the SSLB prior over FABIA and BicMix is its ability to allow varying levels of sparsity for each bicluster. As mentioned earlier, FABIA uses the same prior for all biclusters, and BicMix permits only two sparsity levels (‘sparse’ or ‘dense’). SSLB, however, assigns a distinct sparsity parameter to each bicluster.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>The SSLB model</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">For completeness, we provide a brief explanation of each component within this Bayesian model. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite> for more details.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.1.1 </span>SSLB likelihood</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p1.4">Since (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E1" title="In 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) can also be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{X}=\sum_{k=1}^{K}\boldsymbol{\lambda}^{k}\mathbf{z}^{k\mathsf{T}}+% \mathbf{E}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.1"><semantics id="S2.Ex1.m1.1a"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msup id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">𝐳</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">𝖳</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐄</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.1b"><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.2">𝐗</ci><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2"><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝝀</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝐳</ci><apply id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><times id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝖳</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3">𝐄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.1c">\mathbf{X}=\sum_{k=1}^{K}\boldsymbol{\lambda}^{k}\mathbf{z}^{k\mathsf{T}}+% \mathbf{E},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.1d">bold_X = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT bold_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_E ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p1.3">where the superscript <math alttext="\boldsymbol{\lambda}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1a"><msup id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1c">\boldsymbol{\lambda}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p1.1.m1.1d">bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>th column of <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p1.3.m3.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math>, the likelihood is defined as</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS1.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Z})\propto\prod_{i=1}^{N}\left\{% \exp\left[-0.5\left(\mathbf{x}_{i}-\boldsymbol{\lambda}_{i}\mathbf{Z}^{\mathsf% {T}}\right)^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{i}-% \boldsymbol{\lambda}_{i}\mathbf{Z}^{\mathsf{T}}\right)\right]\left(\prod_{j=1}% ^{G}\sigma_{j}^{2}\right)^{-1/2}\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex2.m1.4"><semantics id="S2.Ex2.m1.4a"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml">𝐙</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml">∝</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.3.3.cmml">exp</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">0.5</mn><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐙</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">𝖳</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝖳</mi></msup><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">𝚺</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3b" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">𝐙</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">𝖳</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">G</mi></munderover><msubsup id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3a" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.4b"><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.3">proportional-to</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝐗</ci><list id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1">𝚲</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2">𝐙</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><eq id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><set id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"></times><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><exp id="S2.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3"></exp><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" type="float" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.4">0.5</cn><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝝀</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐙</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝖳</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝖳</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝚺</ci><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3"><minus id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3"></minus><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝝀</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝐙</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">𝖳</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1"><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><eq id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3"><minus id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2"><divide id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1"></divide><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2">1</cn><cn id="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.4c">p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Z})\propto\prod_{i=1}^{N}\left\{% \exp\left[-0.5\left(\mathbf{x}_{i}-\boldsymbol{\lambda}_{i}\mathbf{Z}^{\mathsf% {T}}\right)^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{i}-% \boldsymbol{\lambda}_{i}\mathbf{Z}^{\mathsf{T}}\right)\right]\left(\prod_{j=1}% ^{G}\sigma_{j}^{2}\right)^{-1/2}\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.4d">italic_p ( bold_X ∣ bold_Λ , bold_Z ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { roman_exp [ - 0.5 ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ( ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p2.3">where the subscript <math alttext="\boldsymbol{\lambda}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1c">\boldsymbol{\lambda}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1d">bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> refers to the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math>th row of <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>Throughout, this superscript and subscript notation is utilised to denote the respective column and row vector of a matrix.</span></span></span>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.1.2 </span>SSLB priors</h4> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS2.Px1"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Prior on the elements of <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1b"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1c"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1d">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.1.m1.1e">bold_Z</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.10">For the elements of the gene loading matrix, we have a spike-and-slab prior <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>, defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(\mathbf{Z}\mid\boldsymbol{\Gamma},\omega_{0},\omega_{1})\propto\prod_{j=1}^{% G}\prod_{k=1}^{K}\left[\left(1-\gamma_{jk}\right)\omega_{0}\exp\left(-\omega_{% 0}\left|z_{jk}\right|\right)+\gamma_{jk}\omega_{1}\exp\left(-\omega_{1}\left|z% _{jk}\right|\right)\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.4"><semantics id="S2.Ex3.m1.4a"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐙</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml">∝</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">G</mi></munderover><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><munderover id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.cmml">exp</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1a" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.4b"><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.3">proportional-to</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">𝐙</ci><list id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1">𝚪</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><eq id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4"></plus><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1"><exp id="S2.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2"></exp><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1"><exp id="S2.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3"></exp><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2">𝜔</ci><cn id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.4c">p(\mathbf{Z}\mid\boldsymbol{\Gamma},\omega_{0},\omega_{1})\propto\prod_{j=1}^{% G}\prod_{k=1}^{K}\left[\left(1-\gamma_{jk}\right)\omega_{0}\exp\left(-\omega_{% 0}\left|z_{jk}\right|\right)+\gamma_{jk}\omega_{1}\exp\left(-\omega_{1}\left|z% _{jk}\right|\right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.4d">italic_p ( bold_Z ∣ bold_Γ , italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ) + italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9">where <math alttext="\boldsymbol{\Gamma}=\{\gamma_{jk}\}_{j,k=1}^{G,K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.3.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.2.cmml">=</mo><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">G</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">K</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.2"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.3">𝚪</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.3"></eq><list id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.2.2.2.5">1</cn></apply></apply><list id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.3.3.1.1">𝐺</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.4.4.2.2">𝐾</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5c">\boldsymbol{\Gamma}=\{\gamma_{jk}\}_{j,k=1}^{G,K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.1.m1.5d">bold_Γ = { italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G , italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are binary indicator variables that specify if feature <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math> is active in bicluster <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. Depending on <math alttext="\gamma_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1c">\gamma_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.4.m4.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, each <math alttext="z_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1c">z_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.5.m5.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be drawn from either a Laplacian “spike" characterised by a large parameter value <math alttext="\omega_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1c">\omega_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.6.m6.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and is consequently negligible, or from a Laplacian “slab" with a small parameter <math alttext="\omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1c">\omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.7.m7.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and, consequently, can be large. Refer to Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS4" title="2.1.4 Implementation of SSLB & initial conditions ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1.4</span></a> for detailed information on the values of <math alttext="\omega_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1c">\omega_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.8.m8.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1c">\omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px1.p1.9.m9.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS2.Px2"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Prior on the gene binary indicator variable <math alttext="\boldsymbol{\Gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1b"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1.1.cmml">𝚪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1c"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1.1">𝚪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1d">\boldsymbol{\Gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px2.1.m1.1e">bold_Γ</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1">To estimate each <math alttext="\{\gamma_{jk}\}_{j,k=1}^{G,K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5a"><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">G</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">K</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.3"></eq><list id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.2.2.2.5">1</cn></apply></apply><list id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.3.3.1.1">𝐺</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.4.4.2.2">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5c">\{\gamma_{jk}\}_{j,k=1}^{G,K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p1.1.m1.5d">{ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G , italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the authors use the Beta-Bernoulli prior</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(\boldsymbol{\Gamma}\mid\boldsymbol{\Theta},\alpha)\propto\prod_{j=1}^{G}% \prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\gamma_{jk}+\alpha-1}\left(1-\theta_{k}\right)^{1-% \gamma_{jk}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex4.m1.3"><semantics id="S2.Ex4.m1.3a"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.cmml">𝚯</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex4.m1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.cmml">α</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml">∝</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" 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id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.3" 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id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3" 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id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝚪</ci><list id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1">𝚯</ci><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2">𝛼</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><eq 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id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3"><minus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2"><plus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2">𝛾</ci><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><cn id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.3c">p(\boldsymbol{\Gamma}\mid\boldsymbol{\Theta},\alpha)\propto\prod_{j=1}^{G}% \prod_{k=1}^{K}\theta_{k}^{\gamma_{jk}+\alpha-1}\left(1-\theta_{k}\right)^{1-% \gamma_{jk}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.3d">italic_p ( bold_Γ ∣ bold_Θ , italic_α ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_α - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 - italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p2.1">where</p> <ul class="ltx_itemize" id="S2.I2"> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i1.p1.1"><math alttext="\boldsymbol{\Theta}=\{\theta_{1},\ldots,\theta_{K}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">𝚯</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3"><eq id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4">𝚯</ci><set id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝐾</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3c">\boldsymbol{\Theta}=\{\theta_{1},\ldots,\theta_{K}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.3d">bold_Θ = { italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i2.p1.1"><math alttext="\gamma_{jk}\mid\theta_{k}\sim\mathrm{Bernoulli}(\theta_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">Bernoulli</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝛾</ci><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3"><times id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.3">Bernoulli</ci><apply id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1c">\gamma_{jk}\mid\theta_{k}\sim\mathrm{Bernoulli}(\theta_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∼ roman_Bernoulli ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i3.p1.1"><math alttext="\theta_{k}\sim\mathrm{Beta}(\alpha,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.3" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.1" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml">Beta</mi><mo id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I2.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3"><times id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.2">Beta</ci><interval closure="open" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.3.3.3.2"><ci id="S2.I2.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci><cn id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i3.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2c">\theta_{k}\sim\mathrm{Beta}(\alpha,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i3.p1.1.m1.2d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∼ roman_Beta ( italic_α , 1 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2">For this prior, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite> recommends a finite approximation of the Indian buffet process (IBP) prior using <math alttext="\alpha=1/K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3"><divide id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1c">\alpha=1/K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.1.m1.1d">italic_α = 1 / italic_K</annotation></semantics></math>. When <math alttext="K\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><infinity id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1c">K\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px2.p3.2.m2.1d">italic_K → ∞</annotation></semantics></math>, this prior is the IBP prior. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> for details.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS2.Px3"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Prior on the elements of <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1b"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1c"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1d">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.1.m1.1e">bold_Λ</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1">For the elements of the sample loading matrix, the authors proposed an alternate formulation of the Spike-and-Slab Lasso prior previously defined for the gene loading matrix, for computational purposes. Firstly, an auxiliary variable <math alttext="\{\tau_{ik}\}_{i,k=1}^{N,K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5a"><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">K</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.3"></eq><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.2.2.2.5">1</cn></apply></apply><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑁</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.4.4.2.2">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5c">\{\tau_{ik}\}_{i,k=1}^{N,K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p1.1.m1.5d">{ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N , italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is introduced in the model, such as</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{ik}\mid\tau_{ik}\sim N(0,\tau_{ik})," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.2"><semantics id="S2.E2.m1.2a"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S2.E2.m1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.2.2.1.2" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.2b"><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝜏</ci><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3"><times id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><cn id="S2.E2.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1">0</cn><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.2c">\lambda_{ik}\mid\tau_{ik}\sim N(0,\tau_{ik}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1">and then, for each <math alttext="\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1c">\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, a mixture of exponentials is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(\mathbf{T}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}},\tilde{\omega}_{0},\tilde{\omega}_% {1})\propto\prod_{i=1}^{N}\prod_{k=1}^{K}\Bigg{[}\left(1-\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\tilde{\omega}_{0}\exp\left(-0.5\tilde{\omega}_{0}\tau_{ik}\right)+% \tilde{\gamma}_{ik}\tilde{\omega}_{1}\exp\left(-0.5\tilde{\omega}_{1}\tau_{ik}% \right)\Bigg{]}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.4"><semantics id="S2.E3.m1.4a"><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐓</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.E3.m1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml">∝</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><munderover id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">0.5</mn><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1" 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xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.cmml">exp</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">0.5</mn><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1a" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.4.4.1.2" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.4b"><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.3">proportional-to</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">𝐓</ci><list id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><eq id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" 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id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.4.3">0</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1"><exp id="S2.E3.m1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2"></exp><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="float" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">0.5</cn><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.2">𝜏</ci><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1"><exp id="S2.E3.m1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3"></exp><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><minus id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" type="float" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2">0.5</cn><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.2">𝜏</ci><apply id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.4c">p(\mathbf{T}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}},\tilde{\omega}_{0},\tilde{\omega}_% {1})\propto\prod_{i=1}^{N}\prod_{k=1}^{K}\Bigg{[}\left(1-\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\tilde{\omega}_{0}\exp\left(-0.5\tilde{\omega}_{0}\tau_{ik}\right)+% \tilde{\gamma}_{ik}\tilde{\omega}_{1}\exp\left(-0.5\tilde{\omega}_{1}\tau_{ik}% \right)\Bigg{]},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.4d">italic_p ( bold_T ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG , over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - 0.5 over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - 0.5 over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10">where <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}=\left\{\tilde{\gamma}_{ik}\right\}_{i,k=1}^{N,K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.2.cmml">=</mo><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.2.cmml">K</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.2"></eq><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.3.2">𝚪</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.3"></eq><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.2.2.2.5">1</cn></apply></apply><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.3.3.1.1">𝑁</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.4.4.2.2">𝐾</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}=\left\{\tilde{\gamma}_{ik}\right\}_{i,k=1}^{N,K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.2.m1.5d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG = { over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N , italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are binary indicator variables indicating bicluster membership on the elements of <math alttext="\lambda_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1c">\lambda_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.3.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{T}=\left\{\tau_{ik}\right\}_{i,k=1}^{N,K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.3.cmml">𝐓</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.2.cmml">=</mo><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.3.3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.4.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.2.cmml">K</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.2"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.3">𝐓</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.3"></eq><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.2.2.2.5">1</cn></apply></apply><list id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.4"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.3.3.1.1">𝑁</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.4.4.2.2">𝐾</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5c">\mathbf{T}=\left\{\tau_{ik}\right\}_{i,k=1}^{N,K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.4.m3.5d">bold_T = { italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N , italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are the covariances of <math alttext="\lambda_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1c">\lambda_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.5.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In summary, the authors represent the Laplace distribution as a scale mixture of a normal with an exponential mixing density: a spike-and-slab Lasso prior on each <math alttext="\lambda_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1c">\lambda_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.6.m5.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by introducing auxiliary variables <math alttext="\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1c">\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.7.m6.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the variance of every <math alttext="\lambda_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1c">\lambda_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.8.m7.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and then each <math alttext="\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1c">\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.9.m8.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is assigned a mixture of exponentials (spike-and-slab) priors. Marginalising over the <math alttext="\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1c">\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px3.p2.10.m9.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> yields the usual spike-and-slab Lasso prior.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS2.Px4"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Prior on the sample indicator variable <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1b"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1c"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1d">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.1.m1.1e">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p1.1">For this variable, the authors proposed an Indian Buffet Process (IBP) prior with an optional Pitman-Yor (PY) extension prior <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite>, defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx1"> <tbody id="S2.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\gamma}_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex5.m1.1"><semantics id="S2.Ex5.m1.1a"><msub id="S2.Ex5.m1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex5.m1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.2.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.Ex5.m1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.1.3.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m1.1b"><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2"><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S2.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3"><times id="S2.Ex5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m1.1c">\displaystyle\tilde{\gamma}_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m1.1d">over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sim\mathrm{Bernoulli}(\tilde{\theta}_{(k)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex5.m2.2"><semantics id="S2.Ex5.m2.2a"><mrow id="S2.Ex5.m2.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.2.1" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.2.1.3" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.3.cmml">Bernoulli</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.2.1.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.Ex5.m2.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex5.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex5.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex5.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m2.2b"><apply id="S2.Ex5.m2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex5.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.2">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex5.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex5.m2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1"><times id="S2.Ex5.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S2.Ex5.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.3">Bernoulli</ci><apply id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m2.2c">\displaystyle\sim\mathrm{Bernoulli}(\tilde{\theta}_{(k)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m2.2d">∼ roman_Bernoulli ( over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\tilde{\theta}_{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex6.m1.1"><semantics id="S2.Ex6.m1.1a"><msub id="S2.Ex6.m1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex6.m1.1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.1.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.Ex6.m1.1.2.2.1" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.Ex6.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex6.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex6.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex6.m1.1b"><apply id="S2.Ex6.m1.1.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex6.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2"><ci id="S2.Ex6.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex6.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex6.m1.1c">\displaystyle\tilde{\theta}_{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex6.m1.1d">over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod_{l=1}^{k}\nu_{(l)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex6.m2.1"><semantics id="S2.Ex6.m2.1a"><mrow id="S2.Ex6.m2.1.2" xref="S2.Ex6.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m2.1.2.2" xref="S2.Ex6.m2.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex6.m2.1.2.1" xref="S2.Ex6.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex6.m2.1.2.3" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.cmml"><munderover id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1a" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.3" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="S2.Ex6.m2.1.2.3.2" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="S2.Ex6.m2.1.1.1.3" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex6.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m2.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex6.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex6.m2.1b"><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2"><eq id="S2.Ex6.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex6.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3"><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3"><eq id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.2.3.2.2">𝜈</ci><ci id="S2.Ex6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m2.1.1.1.1">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex6.m2.1c">\displaystyle=\prod_{l=1}^{k}\nu_{(l)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex6.m2.1d">= ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nu_{(l)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m1.1"><semantics id="S2.E4.m1.1a"><msub id="S2.E4.m1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.1b"><apply id="S2.E4.m1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.1c">\displaystyle\nu_{(l)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sim\mathrm{Beta}(\tilde{\alpha}+ld,1-d),\;\;\text{where}\;d\in[0% ,1),\;\tilde{\alpha}>-d." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E4.m2.3"><semantics id="S2.E4.m2.3a"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">∼</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.4.cmml">Beta</mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.3" rspace="0.727em" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mtext id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2a.cmml">where</mtext><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1" lspace="0.280em" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.E4.m2.1.1" xref="S2.E4.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.E4.m2.2.2" xref="S2.E4.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.3" rspace="0.447em" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mrow id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m2.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m2.3b"><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.3">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.4">Beta</ci><interval closure="open" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2"><minus id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></minus><cn id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1"><in id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2"><mtext id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2">where</mtext></ci><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑑</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2"><cn id="S2.E4.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m2.1.1">0</cn><cn id="S2.E4.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2"><gt id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></gt><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3"><minus id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3"></minus><ci id="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m2.3c">\displaystyle\sim\mathrm{Beta}(\tilde{\alpha}+ld,1-d),\;\;\text{where}\;d\in[0% ,1),\;\tilde{\alpha}>-d.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m2.3d">∼ roman_Beta ( over~ start_ARG italic_α end_ARG + italic_l italic_d , 1 - italic_d ) , where italic_d ∈ [ 0 , 1 ) , over~ start_ARG italic_α end_ARG > - italic_d .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5">When <math alttext="0<d<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.4" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.5" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.6" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1"><and id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1a.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1"></and><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1b.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1"><lt id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.3"></lt><cn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.2">0</cn><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.4">𝑑</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1c.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1"><lt id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.4.cmml" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1d.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1"></share><cn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1c">0<d<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.1.m1.1d">0 < italic_d < 1</annotation></semantics></math>, the above formulation corresponds to the Pitman-Yor IBP prior. In the case where <math alttext="d=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1c">d=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.2.m2.1d">italic_d = 0</annotation></semantics></math>, it represents the standard IBP prior. For the simulations carried out in the SSLB paper and for consistency in this work, the finite approximation to the IBP is also used for comparison, which involves a Beta prior on the sparsity weights, <math alttext="\tilde{\theta}_{k}\sim\text{Beta}(\tilde{a},\tilde{b})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.cmml"><mtext id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2a.cmml">Beta</mtext><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3"><times id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2a.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2"><mtext id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.2">Beta</mtext></ci><interval closure="open" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.3.3.3.2"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.1.1.2">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2.2.2">𝑏</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2c">\tilde{\theta}_{k}\sim\text{Beta}(\tilde{a},\tilde{b})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∼ Beta ( over~ start_ARG italic_a end_ARG , over~ start_ARG italic_b end_ARG )</annotation></semantics></math> where <math alttext="\tilde{a}\propto 1/K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∝</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.1">proportional-to</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑎</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3"><divide id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1c">\tilde{a}\propto 1/K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_a end_ARG ∝ 1 / italic_K</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{b}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.2.2">𝑏</ci></apply><cn id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1c">\tilde{b}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px4.p2.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_b end_ARG = 1</annotation></semantics></math>. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite> for further details.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS2.Px5"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Prior on the covariance matrix <math alttext="\boldsymbol{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1b"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1c"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1d">\boldsymbol{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.1.m1.1e">bold_Σ</annotation></semantics></math> of <math alttext="\varepsilon_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1b"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1c"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1d">\varepsilon_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.2.m2.1e">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3">For the covariance, <math alttext="\boldsymbol{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1c">\boldsymbol{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, of the vectors <math alttext="\varepsilon_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1c">\varepsilon_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.2.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that define <math alttext="\mathbf{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1c">\mathbf{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.3.m3.1d">bold_E</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E1" title="In 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), an inverse gamma prior was assumed. That is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p(\boldsymbol{\Sigma}\mid\eta,\xi)\propto\prod_{j=1}^{G}\left[\left(\sigma_{j}% ^{2}\right)^{-(\eta/2+1)}\exp\left(\frac{-\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}\right)% \right]," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex7.m1.6"><semantics id="S2.Ex7.m1.6a"><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.cmml">ξ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.3.cmml">∝</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">G</mi></munderover><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.Ex7.m1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.1.1.1a" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.4.4" xref="S2.Ex7.m1.4.4.cmml">exp</mi><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2a" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S2.Ex7.m1.5.5" xref="S2.Ex7.m1.5.5.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.5.5.2" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.5.5.2a" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.3" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.3.cmml">ξ</mi></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex7.m1.5.5.3" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.cmml"><mn id="S2.Ex7.m1.5.5.3.2" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex7.m1.5.5.3.1" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.2" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.3" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.3" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.6.6.1.2" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex7.m1.6b"><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.3">proportional-to</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1"><times id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><list id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3">𝜉</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2"><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3"><eq id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1"><minus id="S2.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></divide><ci id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><cn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2"><exp id="S2.Ex7.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex7.m1.4.4"></exp><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5"><divide id="S2.Ex7.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5"></divide><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2"><minus id="S2.Ex7.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2"></minus><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2"><times id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.2.2.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3"><times id="S2.Ex7.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.1"></times><cn id="S2.Ex7.m1.5.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.2">2</cn><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.5.5.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex7.m1.6c">p(\boldsymbol{\Sigma}\mid\eta,\xi)\propto\prod_{j=1}^{G}\left[\left(\sigma_{j}% ^{2}\right)^{-(\eta/2+1)}\exp\left(\frac{-\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}\right)% \right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex7.m1.6d">italic_p ( bold_Σ ∣ italic_η , italic_ξ ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT [ ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_η / 2 + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( divide start_ARG - italic_η italic_ξ end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9">where the SSLB authors suggest setting <math alttext="\eta=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1c">\eta=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.4.m1.1d">italic_η = 3</annotation></semantics></math> and choosing <math alttext="\xi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1.1.cmml">ξ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.5.m2.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math> such that the <math alttext="95\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.2.cmml">95</mn><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1.1.2">95</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1c">95\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.6.m3.1d">95 %</annotation></semantics></math> quantile of the prior on <math alttext="\{\sigma_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1a"><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1c">\{\sigma_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.7.m4.1d">{ italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> matches the sample column variance <math alttext="\{s_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1a"><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.3.cmml">G</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1">subscript</csymbol><set id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></set><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1c">\{s_{j}^{2}\}_{j=1}^{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.8.m5.1d">{ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="p(\sigma_{j}<s_{j})=0.95" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1"><semantics id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mi id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.3.cmml">0.95</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1b"><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.2"></eq><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1"><times id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1"><lt id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.1"></lt><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜎</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1.1.3">0.95</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1c">p(\sigma_{j}<s_{j})=0.95</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p1.9.m6.1d">italic_p ( italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT < italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = 0.95</annotation></semantics></math>. Refer to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib6" title="">6</a>, Section 2.2.4]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.5]</cite> for further information.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS2.Px5.p2.1">After explaining the whole hierarchical structure of the SSLB model, we translate all this information into a Directed Acyclic Graph (DAG) for a visual representation of the variables and their dependencies. See Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.F1" title="Figure 1 ‣ Prior on the covariance matrix 𝚺 of 𝜀_𝑖 ‣ 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S2.F1"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="547.32" id="S2.F1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="409.97"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,547.32) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(204.99,0) translate(0,230.26)"><g fill="#DFDFDF" stroke="#000000"><path d="M 13.84 0 C 13.84 7.64 7.64 13.84 0 13.84 C -7.64 13.84 -13.84 7.64 -13.84 0 C -13.84 -7.64 -7.64 -13.84 0 -13.84 C 7.64 -13.84 13.84 -7.64 13.84 0 Z M 0 0"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -7.11 -0.95)"><foreignobject height="10.02" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.21"><math alttext="x_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">x_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M -64.9 67.6 C -64.9 75.24 -71.1 81.43 -78.74 81.43 C -86.38 81.43 -92.58 75.24 -92.58 67.6 C -92.58 59.96 -86.38 53.76 -78.74 53.76 C -71.1 53.76 -64.9 59.96 -64.9 67.6 Z M -78.74 67.6"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -86.25 64.14)"><foreignobject height="12.3" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="15.02"><math alttext="\lambda_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\lambda_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M 92.58 67.6 C 92.58 75.24 86.38 81.43 78.74 81.43 C 71.1 81.43 64.9 75.24 64.9 67.6 C 64.9 59.96 71.1 53.76 78.74 53.76 C 86.38 53.76 92.58 59.96 92.58 67.6 Z M 78.74 67.6"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 71.26 66.72)"><foreignobject height="10.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.96"><math alttext="z_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mrow id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">z_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M 13.84 -106.97 C 13.84 -99.33 7.64 -93.13 0 -93.13 C -7.64 -93.13 -13.84 -99.33 -13.84 -106.97 C -13.84 -114.61 -7.64 -120.8 0 -120.8 C 7.64 -120.8 13.84 -114.61 13.84 -106.97 Z M 0 -106.97"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -6.37 -107.92)"><foreignobject height="10.02" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="12.75"><math alttext="e_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">e_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M 81.43 -146.34 C 81.43 -138.7 75.24 -132.5 67.6 -132.5 C 59.96 -132.5 53.76 -138.7 53.76 -146.34 C 53.76 -153.98 59.96 -160.17 67.6 -160.17 C 75.24 -160.17 81.43 -153.98 81.43 -146.34 Z M 67.6 -146.34"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 61.83 -147.29)"><foreignobject height="10.02" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.54"><math alttext="\sigma_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\sigma_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M 199.54 67.6 C 199.54 75.24 193.35 81.43 185.71 81.43 C 178.07 81.43 171.87 75.24 171.87 67.6 C 171.87 59.96 178.07 53.76 185.71 53.76 C 193.35 53.76 199.54 59.96 199.54 67.6 Z M 185.71 67.6"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 178.17 66.72)"><foreignobject height="10.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="15.08"><math alttext="\gamma_{jk}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma_{jk}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M 131.95 126.65 C 131.95 134.29 125.75 140.49 118.11 140.49 C 110.47 140.49 104.27 134.29 104.27 126.65 C 104.27 119.01 110.47 112.82 118.11 112.82 C 125.75 112.82 131.95 119.01 131.95 126.65 Z M 118.11 126.65"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 112.72 123.19)"><foreignobject height="12.3" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="10.77"><math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 113.68 219.78)"><foreignobject height="5.96" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.85"><math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M -171.87 67.6 C -171.87 75.24 -178.07 81.43 -185.71 81.43 C -193.35 81.43 -199.54 75.24 -199.54 67.6 C -199.54 59.96 -193.35 53.76 -185.71 53.76 C -178.07 53.76 -171.87 59.96 -171.87 67.6 Z M -185.71 67.6"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -192.21 65.96)"><foreignobject height="8.65" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13"><math alttext="\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mrow id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M -104.27 126.65 C -104.27 134.29 -110.47 140.49 -118.11 140.49 C -125.75 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id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><ci id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\tilde{\gamma}_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M -36.68 185.71 C -36.68 193.35 -42.87 199.54 -50.51 199.54 C -58.15 199.54 -64.35 193.35 -64.35 185.71 C -64.35 178.07 -58.15 171.87 -50.51 171.87 C -42.87 171.87 -36.68 178.07 -36.68 185.71 Z M -50.51 185.71"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -59.51 183.13)"><foreignobject height="14.84" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="17.99"><math alttext="\tilde{\theta}_{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2"><ci id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\tilde{\theta}_{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#FFFFFF" stroke="#000000"><path d="M -36.68 253.31 C -36.68 260.95 -42.87 267.14 -50.51 267.14 C -58.15 267.14 -64.35 260.95 -64.35 253.31 C -64.35 245.66 -58.15 239.47 -50.51 239.47 C -42.87 239.47 -36.68 245.66 -36.68 253.31 Z M -50.51 253.31"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -58.18 252.75)"><foreignobject height="10.8" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="15.33"><math alttext="\nu_{(l)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml">ν</mi><mrow id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2.2">𝜈</ci><ci id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\nu_{(l)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_ν start_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -54.36 307.07)"><foreignobject height="9.99" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.69"><math alttext="\tilde{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\tilde{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 12.94 307.26)"><foreignobject height="9.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.2"><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 64.16 -225.74)"><foreignobject height="8.65" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.87"><math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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id="S2.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝜉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\xi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_ξ</annotation></semantics></math></foreignobject></g><path d="M -68.03 58.4 L -11.56 9.93" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linejoin="miter" transform="matrix(0.75874 -0.65138 0.65138 0.75874 -11.56 9.93)"><path d="M -7.23 3.24 L 0.42 0 L -7.23 -3.24 Z"></path></g><path d="M 68.03 58.4 L 11.56 9.93" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linejoin="miter" transform="matrix(-0.75874 -0.65138 0.65138 -0.75874 11.56 9.93)"><path d="M -7.23 3.24 L 0.42 0 L 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id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4"><eq id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2">𝑖</ci><list id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3c">i=1,\dots,N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3d">italic_i = 1 , … , italic_N</annotation></semantics></math></foreignobject></g><path d="M 13.47 145.65 L -199.18 145.65 C -202.23 145.65 -204.71 143.18 -204.71 140.12 L -204.71 -140.36 C -204.71 -143.42 -202.23 -145.9 -199.18 -145.9 L 13.47 -145.9 C 16.52 -145.9 19 -143.42 19 -140.36 L 19 140.12 C 19 143.18 16.52 145.65 13.47 145.65 Z M -204.71 -145.9" style="fill:none"></path><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 134.41 -177.61)"><foreignobject height="12.45" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="65.41"><math alttext="j=1,\dots,G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml">G</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4"><eq id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3">𝐺</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3c">j=1,\dots,G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_G</annotation></semantics></math></foreignobject></g><path d="M 199.18 86.6 L -13.47 86.6 C -16.52 86.6 -19 84.12 -19 81.07 L -19 -179.73 C -19 -182.79 -16.52 -185.27 -13.47 -185.27 L 199.18 -185.27 C 202.23 -185.27 204.71 -182.79 204.71 -179.73 L 204.71 81.07 C 204.71 84.12 202.23 86.6 199.18 86.6 Z M -19 -185.27" style="fill:none"></path><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 131.4 36.33)"><foreignobject height="12.45" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="68.43"><math alttext="k=1,\dots,K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4"><eq id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2">𝑘</ci><list id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3c">k=1,\dots,K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3d">italic_k = 1 , … , italic_K</annotation></semantics></math></foreignobject></g><path d="M 199.18 204.71 L -199.18 204.71 C -202.23 204.71 -204.71 202.23 -204.71 199.18 L -204.71 34.2 C -204.71 31.15 -202.23 28.67 -199.18 28.67 L 199.18 28.67 C 202.23 28.67 204.71 31.15 204.71 34.2 L 204.71 199.18 C 204.71 202.23 202.23 204.71 199.18 204.71 Z M -204.71 28.67" style="fill:none"></path><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -96.48 222.03)"><foreignobject height="12.45" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="60.09"><math alttext="l=1,\dots,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml">l</mi><mo id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4"><eq id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.2">𝑙</ci><list id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3c">l=1,\dots,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3d">italic_l = 1 , … , italic_k</annotation></semantics></math></foreignobject></g><path d="M -37.05 272.31 L -95.84 272.31 C -98.89 272.31 -101.37 269.83 -101.37 266.77 L -101.37 219.91 C -101.37 216.86 -98.89 214.38 -95.84 214.38 L -37.05 214.38 C -33.99 214.38 -31.51 216.86 -31.51 219.91 L -31.51 266.77 C -31.51 269.83 -33.99 272.31 -37.05 272.31 Z M -101.37 214.38" style="fill:none"></path></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>DAG for the SSLB-IBP model, where the indices <math alttext="i=1,\dots,N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.8.m1.3"><semantics id="S2.F1.8.m1.3b"><mrow id="S2.F1.8.m1.3.4" xref="S2.F1.8.m1.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.8.m1.3.4.2" xref="S2.F1.8.m1.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.8.m1.3.4.1" xref="S2.F1.8.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.8.m1.3.4.3.2" xref="S2.F1.8.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.8.m1.1.1" xref="S2.F1.8.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.8.m1.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.8.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.8.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.8.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.8.m1.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.8.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.8.m1.3.3" xref="S2.F1.8.m1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.8.m1.3c"><apply id="S2.F1.8.m1.3.4.cmml" xref="S2.F1.8.m1.3.4"><eq id="S2.F1.8.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.8.m1.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.8.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.8.m1.3.4.2">𝑖</ci><list id="S2.F1.8.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.8.m1.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.8.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.8.m1.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.8.m1.2.2.cmml" xref="S2.F1.8.m1.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.8.m1.3.3.cmml" xref="S2.F1.8.m1.3.3">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.8.m1.3d">i=1,\dots,N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.8.m1.3e">italic_i = 1 , … , italic_N</annotation></semantics></math> correspond to the <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.9.m2.1"><semantics id="S2.F1.9.m2.1b"><mi id="S2.F1.9.m2.1.1" xref="S2.F1.9.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.9.m2.1c"><ci id="S2.F1.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.F1.9.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.9.m2.1d">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.9.m2.1e">italic_N</annotation></semantics></math> samples, the indices <math alttext="j=1,\dots,G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.10.m3.3"><semantics id="S2.F1.10.m3.3b"><mrow id="S2.F1.10.m3.3.4" xref="S2.F1.10.m3.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.10.m3.3.4.2" xref="S2.F1.10.m3.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.F1.10.m3.3.4.1" xref="S2.F1.10.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.10.m3.3.4.3.2" xref="S2.F1.10.m3.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.10.m3.1.1" xref="S2.F1.10.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.10.m3.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.10.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.10.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.10.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.10.m3.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.10.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.10.m3.3.3" xref="S2.F1.10.m3.3.3.cmml">G</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.10.m3.3c"><apply id="S2.F1.10.m3.3.4.cmml" xref="S2.F1.10.m3.3.4"><eq id="S2.F1.10.m3.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.10.m3.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.10.m3.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.10.m3.3.4.2">𝑗</ci><list id="S2.F1.10.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.10.m3.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.10.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.10.m3.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.10.m3.2.2.cmml" xref="S2.F1.10.m3.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.10.m3.3.3.cmml" xref="S2.F1.10.m3.3.3">𝐺</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.10.m3.3d">j=1,\dots,G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.10.m3.3e">italic_j = 1 , … , italic_G</annotation></semantics></math> correspond to the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.11.m4.1"><semantics id="S2.F1.11.m4.1b"><mi id="S2.F1.11.m4.1.1" xref="S2.F1.11.m4.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.11.m4.1c"><ci id="S2.F1.11.m4.1.1.cmml" xref="S2.F1.11.m4.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.11.m4.1d">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.11.m4.1e">italic_G</annotation></semantics></math> genes, and the indices <math alttext="k=1,\dots,K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.12.m5.3"><semantics id="S2.F1.12.m5.3b"><mrow id="S2.F1.12.m5.3.4" xref="S2.F1.12.m5.3.4.cmml"><mi id="S2.F1.12.m5.3.4.2" xref="S2.F1.12.m5.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="S2.F1.12.m5.3.4.1" xref="S2.F1.12.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.F1.12.m5.3.4.3.2" xref="S2.F1.12.m5.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.F1.12.m5.1.1" xref="S2.F1.12.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.F1.12.m5.3.4.3.2.1" xref="S2.F1.12.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.12.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.F1.12.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.F1.12.m5.3.4.3.2.2" xref="S2.F1.12.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.F1.12.m5.3.3" xref="S2.F1.12.m5.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.12.m5.3c"><apply id="S2.F1.12.m5.3.4.cmml" xref="S2.F1.12.m5.3.4"><eq id="S2.F1.12.m5.3.4.1.cmml" xref="S2.F1.12.m5.3.4.1"></eq><ci id="S2.F1.12.m5.3.4.2.cmml" xref="S2.F1.12.m5.3.4.2">𝑘</ci><list id="S2.F1.12.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S2.F1.12.m5.3.4.3.2"><cn id="S2.F1.12.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.F1.12.m5.1.1">1</cn><ci id="S2.F1.12.m5.2.2.cmml" xref="S2.F1.12.m5.2.2">…</ci><ci id="S2.F1.12.m5.3.3.cmml" xref="S2.F1.12.m5.3.3">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.12.m5.3d">k=1,\dots,K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.12.m5.3e">italic_k = 1 , … , italic_K</annotation></semantics></math> represent the <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.13.m6.1"><semantics id="S2.F1.13.m6.1b"><mi id="S2.F1.13.m6.1.1" xref="S2.F1.13.m6.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.13.m6.1c"><ci id="S2.F1.13.m6.1.1.cmml" xref="S2.F1.13.m6.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.13.m6.1d">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.13.m6.1e">italic_K</annotation></semantics></math> biclusters. Variables <math alttext="x_{ij}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.F1.14.m7.1"><semantics id="S2.F1.14.m7.1b"><msub id="S2.F1.14.m7.1.1" xref="S2.F1.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.F1.14.m7.1.1.2" xref="S2.F1.14.m7.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.F1.14.m7.1.1.3" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.F1.14.m7.1.1.3.2" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.F1.14.m7.1.1.3.1" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.F1.14.m7.1.1.3.3" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.F1.14.m7.1c"><apply id="S2.F1.14.m7.1.1.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.F1.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.F1.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.F1.14.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3"><times id="S2.F1.14.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S2.F1.14.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.F1.14.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.F1.14.m7.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.F1.14.m7.1d">x_{ij}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.F1.14.m7.1e">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are observed and correspond to the gene expression data.</figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.1.3 </span>Estimation of biclusters: EM algorithm</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.p1.1">To proceed with the estimation of the parameters of interest in the SSLB model, the authors implemented an Expectation Maximisation (EM) algorithm. For completeness, we are going to briefly describe the important parts of this procedure for the IBP prior case for <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math>. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.3]</cite> and its supplementary material for more details.</p> </div> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS3.Px1"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">E step</h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1">At iteration <math alttext="t+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1"><plus id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.1"></plus><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1c">t+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.1.m1.1d">italic_t + 1</annotation></semantics></math> of the EM algorithm, the E step involves the computation of the following expectation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})=\mathbb{E}_{\mathbf{% \Lambda},\widetilde{\Gamma}\mid\Delta^{(t)},\mathbf{X}}[\log p(\boldsymbol{% \Delta},\mathbf{\Lambda},\widetilde{\boldsymbol{\Gamma}}\mid\mathbf{X})]," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex8.m1.8"><semantics id="S2.Ex8.m1.8a"><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">Q</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex8.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.5.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.3.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.3.3.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.2.cmml">Γ</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.2.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml">𝐗</mi></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.6.6" xref="S2.Ex8.m1.6.6.cmml">𝚫</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex8.m1.7.7" xref="S2.Ex8.m1.7.7.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐗</mi></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.8.8.1.2" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m1.8b"><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1"><eq id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1"><times id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.3">𝑄</ci><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2"><times id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.2"></times><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.3.2">𝔼</ci><list id="S2.Ex8.m1.5.5.4.5.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4"><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.3.3">𝚲</ci><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.2">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3"><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.1">~</ci><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.3.2">Γ</ci></apply><list id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1"><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.4.4.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.2">𝐗</ci></list></apply></list></apply><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3"><log id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.1"></log><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><vector id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex8.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.6.6">𝚫</ci><ci id="S2.Ex8.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex8.m1.7.7">𝚲</ci><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝐗</ci></apply></vector></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m1.8c">Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})=\mathbb{E}_{\mathbf{% \Lambda},\widetilde{\Gamma}\mid\Delta^{(t)},\mathbf{X}}[\log p(\boldsymbol{% \Delta},\mathbf{\Lambda},\widetilde{\boldsymbol{\Gamma}}\mid\mathbf{X})],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m1.8d">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ , over~ start_ARG roman_Γ end_ARG ∣ roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT , bold_X end_POSTSUBSCRIPT [ roman_log italic_p ( bold_Δ , bold_Λ , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG ∣ bold_X ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3">where <math alttext="\boldsymbol{\Delta}=\{\mathbf{Z},\boldsymbol{\Sigma},\mathbf{T},\nu\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4"><semantics id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4a"><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.2.cmml">𝚫</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml">{</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.1.1.cmml">𝐙</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.3.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.3.3.cmml">𝐓</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2.4" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.4" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.4.cmml">ν</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4b"><apply id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5"><eq id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.1"></eq><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.2">𝚫</ci><set id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.5.3.2"><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.1.1">𝐙</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.2.2">𝚺</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.3.3">𝐓</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.4.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4.4">𝜈</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4c">\boldsymbol{\Delta}=\{\mathbf{Z},\boldsymbol{\Sigma},\mathbf{T},\nu\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.2.m1.4d">bold_Δ = { bold_Z , bold_Σ , bold_T , italic_ν }</annotation></semantics></math> are the variables at which <math alttext="Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2"><semantics id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2b"><apply id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2"><times id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.2"></times><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.3">𝑄</ci><apply id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2c">Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS3.Px1.p1.3.m2.2d">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> will be maximised in the M step. See (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A1.E9" title="In Appendix A Current SSLB model: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A1.E10" title="In Appendix A Current SSLB model: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) for more details.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S2.SS1.SSS3.Px2"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">M step</h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS3.Px2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS3.Px2.p1.1">In this stage, the following is calculated</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{\Delta}^{(t+1)}=\operatorname*{arg\,max}_{\Delta}Q(\boldsymbol{% \Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex9.m1.3"><semantics id="S2.Ex9.m1.3a"><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><munder id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2.cmml">arg</mi><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.1" lspace="0.170em" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3.cmml">max</mi></mrow><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml">Δ</mi></munder><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex9.m1.3b"><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2">𝚫</ci><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3"><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2"><times id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.2">arg</ci><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.2.3">max</ci></apply><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.1.3">Δ</ci></apply><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci></apply><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex9.m1.3c">\boldsymbol{\Delta}^{(t+1)}=\operatorname*{arg\,max}_{\Delta}Q(\boldsymbol{% \Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex9.m1.3d">bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = start_OPERATOR roman_arg roman_max end_OPERATOR start_POSTSUBSCRIPT roman_Δ end_POSTSUBSCRIPT italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS4"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.1.4 </span>Implementation of SSLB & initial conditions</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS4.p1.3">The SSLB algorithm employs the previously described EM algorithm combined with a dynamic posterior exploration approach to estimate <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p1.1.m1.1d">bold_Z</annotation></semantics></math>. This involves a gradual increase of the spike parameter <math alttext="\omega_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1c">\omega_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p1.2.m2.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> through a sequence of values, while the slab parameter <math alttext="\omega_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1a"><msub id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1c">\omega_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p1.3.m3.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is kept fixed. This strategy helps stabilise large coefficients and progressively thresholds negligible coefficients to zero (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.3]</cite> for more details).</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS4.p2.7">The SSLB algorithm is initialised with entries of <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.1.m1.1d">bold_Z</annotation></semantics></math> generated independently from a standard normal distribution. The entries of <math alttext="\mathbf{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1.1.cmml">𝐓</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1.1">𝐓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1c">\mathbf{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.2.m2.1d">bold_T</annotation></semantics></math>, the matrix of auxiliary variance parameters, are set to 100, representing an initial relatively non-informative prior to <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.3.m3.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math>. The sparsity weights, <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1a"><msub id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.4.m4.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, are initialised at 0.5. The IBP parameters, <math alttext="\boldsymbol{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1a"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1.1.cmml">𝝂</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1b"><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1.1">𝝂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1c">\boldsymbol{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.5.m5.1d">bold_italic_ν</annotation></semantics></math>, are generated independently from a <math alttext="\mathrm{Beta}(1,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2a"><mrow id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.2.cmml">Beta</mi><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3"><times id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.2">Beta</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.3.3.2"><cn id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.1.1">1</cn><cn id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2c">\mathrm{Beta}(1,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.6.m6.2d">roman_Beta ( 1 , 1 )</annotation></semantics></math> distribution and then ordered from largest to smallest. In real-world applications, the recommended initialisation for K, the number of biclusters, is set to <math alttext="K_{init}=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">K</mi><mrow id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.3" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.3.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1a" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.4" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1b" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.5" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1"><eq id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.2">𝐾</ci><apply id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3"><times id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.3">𝑛</ci><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.4.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.4">𝑖</ci><ci id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.5.cmml" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.2.3.5">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1c">K_{init}=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS4.p2.7.m7.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 50</annotation></semantics></math>. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.5]</cite> for more details.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Methodology</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">Considering the potential availability of additional data on sampled individuals, such as disease status, our objective is to investigate whether incorporating this information can enhance the complex task of biclustering. Notably, to the best of our knowledge, no existing biclustering method has explored the inclusion of the disease status of samples within the model.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.5">We propose incorporating an outcome variable <math alttext="\mathbf{Y}\in\{0,1\}^{N\times C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.p2.1.m1.2.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.p2.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.p2.1.m1.2.3.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">{</mo><mn id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.p2.1.m1.2.2" xref="S3.p2.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.3" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3"><in id="S3.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S3.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.2">𝐘</ci><apply id="S3.p2.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><set id="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.2.2"><cn id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S3.p2.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p2.1.m1.2.2">1</cn></set><apply id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3"><times id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.2.3.3.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.2c">\mathbf{Y}\in\{0,1\}^{N\times C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.2d">bold_Y ∈ { 0 , 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> into the current SSLB model, which will correspond to the presence or absence (i.e., <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><mn id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><cn id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math> or <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mn id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><cn id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>, respectively) of disease <math alttext="c\in\{1,\ldots,C\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.3"><semantics id="S3.p2.4.m4.3a"><mrow id="S3.p2.4.m4.3.4" xref="S3.p2.4.m4.3.4.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.3.4.2" xref="S3.p2.4.m4.3.4.2.cmml">c</mi><mo id="S3.p2.4.m4.3.4.1" xref="S3.p2.4.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.p2.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.4.m4.3.4.3.2.2" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.p2.4.m4.3.4.3.2.3" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.4.m4.3.3" xref="S3.p2.4.m4.3.3.cmml">C</mi><mo id="S3.p2.4.m4.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.3b"><apply id="S3.p2.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.p2.4.m4.3.4"><in id="S3.p2.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.3.4.1"></in><ci id="S3.p2.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.3.4.2">𝑐</ci><set id="S3.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.3.4.3.2"><cn id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.4.m4.1.1">1</cn><ci id="S3.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.2.2">…</ci><ci id="S3.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.3.3">𝐶</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.3c">c\in\{1,\ldots,C\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.3d">italic_c ∈ { 1 , … , italic_C }</annotation></semantics></math> in the sample <math alttext="i\in\{1,\ldots,N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m5.3"><semantics id="S3.p2.5.m5.3a"><mrow id="S3.p2.5.m5.3.4" xref="S3.p2.5.m5.3.4.cmml"><mi id="S3.p2.5.m5.3.4.2" xref="S3.p2.5.m5.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p2.5.m5.3.4.1" xref="S3.p2.5.m5.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.p2.5.m5.3.4.3.2" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.p2.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.p2.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.5.m5.3.4.3.2.2" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.5.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.5.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.p2.5.m5.3.4.3.2.3" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.5.m5.3.3" xref="S3.p2.5.m5.3.3.cmml">N</mi><mo id="S3.p2.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m5.3b"><apply id="S3.p2.5.m5.3.4.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.4"><in id="S3.p2.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.4.1"></in><ci id="S3.p2.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.4.2">𝑖</ci><set id="S3.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.4.3.2"><cn id="S3.p2.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.5.m5.1.1">1</cn><ci id="S3.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.p2.5.m5.2.2">…</ci><ci id="S3.p2.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.p2.5.m5.3.3">𝑁</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m5.3c">i\in\{1,\ldots,N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m5.3d">italic_i ∈ { 1 , … , italic_N }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.5">We assume we have gene expression data <math alttext="\mathbf{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml">𝐗</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">𝐗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">\mathbf{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">bold_X</annotation></semantics></math> also modelled as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E1" title="In 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), and outcomes <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">bold_Y</annotation></semantics></math>. Since <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> provides only sample-wise information, it will only affect the distribution related to the sample loading matrix <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.p3.4.m4.1a"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.1b"><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math>. The general model considered in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite> and adapted for the biclustering problem with respect to <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.p3.5.m5.1a"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m5.1b"><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m5.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m5.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> is defined as:</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p\left(\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{% \Lambda}},\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)=\prod_{i=1}^{N}p(\mathbf{y}_% {i}\mid\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}},\boldsymbol{\lambda}_{i})p(% \boldsymbol{\lambda_{i}}\mid\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.2"><semantics id="S3.Ex10.m1.2a"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚲</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝐘</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.4" rspace="0.111em" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.4.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3a" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.5" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.5.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3b" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.2b"><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci><interval closure="open" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1">𝚲</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚯</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚲</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝚯</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝐘</ci></apply></list></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3"><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">product</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3"><eq id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.3"></times><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.4">𝑝</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝐲</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐲</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝝀</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></list></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.5">𝑝</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2">𝝀</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3">𝒊</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2">𝜽</ci><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2">𝝀</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.2c">p\left(\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{% \Lambda}},\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)=\prod_{i=1}^{N}p(\mathbf{y}_% {i}\mid\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}},\boldsymbol{\lambda}_{i})p(% \boldsymbol{\lambda_{i}}\mid\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.2d">italic_p ( bold_Λ , bold_Y ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ end_POSTSUBSCRIPT , bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∣ bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∣ bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p4.10">where <math alttext="\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.2">𝜽</ci><apply id="S3.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.2">𝝀</ci><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.1c">\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.1d">bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the parameters of the model for <math alttext="\boldsymbol{\lambda}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.p4.2.m2.1a"><msub id="S3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.2.m2.1c">\boldsymbol{\lambda}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.2.m2.1d">bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.p4.3.m3.1a"><msub id="S3.p4.3.m3.1.1" xref="S3.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.3.m3.1.1.2" xref="S3.p4.3.m3.1.1.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.2">𝜽</ci><apply id="S3.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.2">𝐲</ci><ci id="S3.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p4.3.m3.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.3.m3.1c">\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.3.m3.1d">bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the parameters of the model for <math alttext="\mathbf{y}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.p4.4.m4.1a"><msub id="S3.p4.4.m4.1.1" xref="S3.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.4.m4.1.1.2" xref="S3.p4.4.m4.1.1.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.p4.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.4.m4.1.1.2">𝐲</ci><ci id="S3.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.4.m4.1c">\mathbf{y}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.4.m4.1d">bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Furthermore, in the profile regression setting, the factor loadings <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.p4.5.m5.1a"><mi id="S3.p4.5.m5.1.1" xref="S3.p4.5.m5.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.5.m5.1b"><ci id="S3.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p4.5.m5.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.5.m5.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.5.m5.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and the outcome <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.p4.6.m6.1a"><mi id="S3.p4.6.m6.1.1" xref="S3.p4.6.m6.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.6.m6.1b"><ci id="S3.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p4.6.m6.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.6.m6.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.6.m6.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> are conditionally independent because their relationship is mediated by the binary indicator matrix <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.7.m7.1"><semantics id="S3.p4.7.m7.1a"><mover accent="true" id="S3.p4.7.m7.1.1" xref="S3.p4.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.7.m7.1.1.2" xref="S3.p4.7.m7.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.p4.7.m7.1.1.1" xref="S3.p4.7.m7.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.7.m7.1b"><apply id="S3.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m7.1.1"><ci id="S3.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.7.m7.1.1.1">~</ci><ci id="S3.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.7.m7.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.7.m7.1c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.7.m7.1d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math>, which governs the structure of the sampling clustering. <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.8.m8.1"><semantics id="S3.p4.8.m8.1a"><mover accent="true" id="S3.p4.8.m8.1.1" xref="S3.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.8.m8.1.1.2" xref="S3.p4.8.m8.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.p4.8.m8.1.1.1" xref="S3.p4.8.m8.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.8.m8.1b"><apply id="S3.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.p4.8.m8.1.1"><ci id="S3.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.8.m8.1.1.1">~</ci><ci id="S3.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.8.m8.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.8.m8.1c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.8.m8.1d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math> determines which latent factors contribute to <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.9.m9.1"><semantics id="S3.p4.9.m9.1a"><mi id="S3.p4.9.m9.1.1" xref="S3.p4.9.m9.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.9.m9.1b"><ci id="S3.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.p4.9.m9.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.9.m9.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.9.m9.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and how they align with <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.10.m10.1"><semantics id="S3.p4.10.m10.1a"><mi id="S3.p4.10.m10.1.1" xref="S3.p4.10.m10.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.10.m10.1b"><ci id="S3.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.p4.10.m10.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.10.m10.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.10.m10.1d">bold_Y</annotation></semantics></math>. Therefore, the profile regression model becomes:</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p5"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p\left(\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{% \Lambda}},\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)=\prod_{i=1}^{N}p(\mathbf{y}_% {i}\mid\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}})p(\boldsymbol{\lambda_{i}}\mid% \boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex11.m1.2"><semantics id="S3.Ex11.m1.2a"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚲</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">𝐘</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4" rspace="0.111em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.4" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.4.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝐲</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3a" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.5" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.5.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3b" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2.cmml">𝜽</mi><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.2b"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci><interval closure="open" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1">𝚲</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚯</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚲</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝚯</ci><ci 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id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝜽</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">𝐲</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.5">𝑝</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.2">𝝀</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.2.3">𝒊</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.2">𝜽</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.2">𝝀</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.2c">p\left(\boldsymbol{\Lambda},\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{% \Lambda}},\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)=\prod_{i=1}^{N}p(\mathbf{y}_% {i}\mid\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{y}_{i}})p(\boldsymbol{\lambda_{i}}\mid% \boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\lambda}_{i}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.2d">italic_p ( bold_Λ , bold_Y ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ end_POSTSUBSCRIPT , bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∣ bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∣ bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.1">where</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p6"> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.1"><math alttext="\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}=\{\tilde{\boldsymbol{\Gamma}},% \mathbf{T},\nu,\widetilde{\omega_{0}},\widetilde{\omega_{1}},\tilde{% \boldsymbol{\theta}},\tilde{\alpha}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.3.cmml">𝚲</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">{</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.4" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.5" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.6" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.7" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.2.cmml">α</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2.8" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8"><eq id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.2">𝚯</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.2.3">𝚲</ci></apply><set id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.8.3.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2">𝐓</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.3.3">𝜈</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.1">~</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.2">𝜔</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.4.4.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.1">~</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.2">𝜔</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.5.5.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.1">~</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.6.6.2">𝜽</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7"><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.1">~</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.7.7.2">𝛼</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7c">\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}=\{\tilde{\boldsymbol{\Gamma}},% \mathbf{T},\nu,\widetilde{\omega_{0}},\widetilde{\omega_{1}},\tilde{% \boldsymbol{\theta}},\tilde{\alpha}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.7d">bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ end_POSTSUBSCRIPT = { over~ start_ARG bold_Γ end_ARG , bold_T , italic_ν , over~ start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , over~ start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , over~ start_ARG italic_α end_ARG }</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.1"><math alttext="p\left(\mathbf{\Lambda}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}\right)% \propto p(\mathbf{\Lambda}\mid\mathbf{T})p(\mathbf{T}\mid\tilde{\boldsymbol{% \Gamma}},\widetilde{\omega_{0}},\widetilde{\omega_{1}})p(\mathbf{\tilde{\Gamma% }}\mid\tilde{\boldsymbol{\theta}},\tilde{\alpha})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">𝚲</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.5" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.5.cmml">∝</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.5" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.5.cmml">p</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml">𝐓</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.7.7.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4a" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.6" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.6.cmml">p</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4b" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.8.8.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4c" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.7" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.7.cmml">p</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4d" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.3.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.2.cmml">α</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9b"><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.5.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.5">proportional-to</csymbol><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1"><times id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.2"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2">𝚲</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">𝚯</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">𝚲</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4"><times id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.4"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9.9.4.5.cmml" 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xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.1">~</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜔</ci><cn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.1">~</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml" 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xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.4.4.2">𝜽</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.1">~</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.5.5.2">𝛼</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9c">p\left(\mathbf{\Lambda}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}\right)% \propto p(\mathbf{\Lambda}\mid\mathbf{T})p(\mathbf{T}\mid\tilde{\boldsymbol{% \Gamma}},\widetilde{\omega_{0}},\widetilde{\omega_{1}})p(\mathbf{\tilde{\Gamma% }}\mid\tilde{\boldsymbol{\theta}},\tilde{\alpha})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.9d">italic_p ( bold_Λ ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ end_POSTSUBSCRIPT ) ∝ italic_p ( bold_Λ ∣ bold_T ) italic_p ( bold_T ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG , over~ start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , over~ start_ARG italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_p ( over~ start_ARG bold_Γ end_ARG ∣ over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , over~ start_ARG italic_α end_ARG )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="S3.p6.4">and <math alttext="\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><msub id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.p6.1.m1.1.1.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml">𝐘</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1.2">𝚯</ci><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1.3">𝐘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the set of bicluster-specific parameters of the model for <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.p6.2.m2.1a"><mi id="S3.p6.2.m2.1.1" xref="S3.p6.2.m2.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.2.m2.1b"><ci id="S3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p6.2.m2.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.2.m2.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.2.m2.1d">bold_Y</annotation></semantics></math>, which also includes <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.3.m3.1"><semantics id="S3.p6.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.p6.3.m3.1.1" xref="S3.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.3.m3.1.1.2" xref="S3.p6.3.m3.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.p6.3.m3.1.1.1" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.3.m3.1b"><apply id="S3.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1"><ci id="S3.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S3.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.3.m3.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.3.m3.1c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.3.m3.1d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math>. Note that each of the probability density functions given in <math alttext="p\left(\mathbf{\Lambda}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.4.m4.1"><semantics id="S3.p6.4.m4.1a"><mrow id="S3.p6.4.m4.1.1" xref="S3.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.4.m4.1.1.3" xref="S3.p6.4.m4.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.p6.4.m4.1.1.2" xref="S3.p6.4.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝚲</mi></msub></mrow><mo id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.4.m4.1b"><apply id="S3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1"><times id="S3.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.2"></times><ci id="S3.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝚲</ci><apply id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝚯</ci><ci id="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p6.4.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝚲</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.4.m4.1c">p\left(\mathbf{\Lambda}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\boldsymbol{\Lambda}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.4.m4.1d">italic_p ( bold_Λ ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is already defined for the current SSLB model in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E2" title="In Prior on the elements of 𝚲 ‣ 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E3" title="In Prior on the elements of 𝚲 ‣ 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.E4" title="In Prior on the sample indicator variable 𝚪̃ ‣ 2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.1">For <math alttext="p(\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.p7.1.m1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.p7.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐘</mi></msub></mrow><mo id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1"><times id="S3.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐘</ci><apply id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝚯</ci><ci id="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p7.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝐘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p7.1.m1.1c">p(\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p7.1.m1.1d">italic_p ( bold_Y ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> we will adopt a multinomial logistic regression approach which will allow us to define,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p\left(\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)\propto\prod_{i=1}% ^{N}\prod_{l=1}^{C}\left[\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma% }}_{i}^{\prime}\right)/\sum_{l^{\prime}=1}^{c}\exp\left(\mathbf{w}_{l^{\prime}% }^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]^{y_{il}}+\exp\left% (-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.5"><semantics id="S3.E5.m1.5a"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝐘</mi></msub></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.4" rspace="0.111em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.4.cmml">∝</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><munderover id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><munderover id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><msup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">/</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></munderover><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><msup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4" xref="S3.E5.m1.4.4.cmml">exp</mi><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.E5.m1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.5.5.1.2" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.5b"><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.4">proportional-to</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝐘</ci><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝚯</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.3"></plus><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1"><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3"><eq id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1"><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S3.E5.m1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1"></exp><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"></sum><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><eq id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></eq><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><exp id="S3.E5.m1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2"></exp><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3"><times id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1"><exp id="S3.E5.m1.4.4.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4"></exp><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1"><minus id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2"><times id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2"><divide id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3"><mtext id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3">𝐖</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.5c">p\left(\mathbf{Y}\mid\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}\right)\propto\prod_{i=1}% ^{N}\prod_{l=1}^{C}\left[\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma% }}_{i}^{\prime}\right)/\sum_{l^{\prime}=1}^{c}\exp\left(\mathbf{w}_{l^{\prime}% }^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]^{y_{il}}+\exp\left% (-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.5d">italic_p ( bold_Y ∣ bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT ) ∝ ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT [ roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) / ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + roman_exp ( - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p7.2">where</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i1.p1.1"><math alttext="\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}=\{\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\lambda_{\text{W}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.2.cmml">𝚯</mi><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.3.cmml">𝐘</mi></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msup id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.2">𝚯</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.4.3">𝐘</ci></apply><set id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3"><mtext id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3c">\boldsymbol{\Theta}_{\mathbf{Y}}=\{\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\lambda_{\text{W}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3d">bold_Θ start_POSTSUBSCRIPT bold_Y end_POSTSUBSCRIPT = { over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i2.p1.5"><math alttext="y_{il}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1c">y_{il}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> corresponds to the presence/absence (i.e., <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1a"><mn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1b"><cn id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math> or <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1a"><mn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1b"><cn id="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.3.m3.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>) of the <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.4.m4.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.4.m4.1d">italic_l</annotation></semantics></math> disease in the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1a"><mi id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1b"><ci id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.5.m5.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.5.m5.1d">italic_i</annotation></semantics></math> sample.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i3.p1.1"><math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i3.p1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i3.p1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is the number of diseases (i.e., the number of categories in the multinomial logistic regression model) in the study.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i4.p1.2"><math alttext="\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2"><in id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.1.m1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1c">\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i4.p1.1.m1.1d">bold_W ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the matrix of weights of the multinomial logistic regression, which includes the bias coefficients. It is the main element that allows <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i4.p1.2.m2.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i4.p1.2.m2.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> to assist in the task of assigning samples (and genes) to biclusters.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i5" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i5.p1.1"><math alttext="\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}=\left[1,\tilde{\gamma}_{i1},\ldots,% \tilde{\gamma}_{iK}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">[</mo><mn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.5" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.6" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">K</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.7" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4"><eq id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2"><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.4.3">′</ci></apply><list id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2"><cn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.1.1">1</cn><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3"><times id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.i5.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.3">𝐾</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4c">\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}=\left[1,\tilde{\gamma}_{i1},\ldots,% \tilde{\gamma}_{iK}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i5.p1.1.m1.4d">over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = [ 1 , over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_K end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i6" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i6.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i6.p1.3">A reference category (e.g., class or disease <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i6.p1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>) needs to be chosen such that the column of the matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.2.m2.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i6.p1.2.m2.1d">bold_W</annotation></semantics></math> corresponding to the selected reference category has only zeros (e.g., <math alttext="\mathbf{w}_{C}=\left[0,\ldots,0\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.cmml"><msub id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.3" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.1" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2.1" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i6.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2.4" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4"><eq id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.3.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.2.3">𝐶</ci></apply><list id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.I2.i6.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.1.1">0</cn><ci id="S3.I2.i6.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.2.2">…</ci><cn id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i6.p1.3.m3.3.3">0</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3c">\mathbf{w}_{C}=\left[0,\ldots,0\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i6.p1.3.m3.3d">bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT = [ 0 , … , 0 ]</annotation></semantics></math> ).</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i7" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I2.i7.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i7.p1.3">To avoid overfitting, we have introduced an <math alttext="\ell_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mn id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i7.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1c">\ell_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i7.p1.1.m1.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> regularisation term for the weight matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i7.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.2.m2.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i7.p1.2.m2.1d">bold_W</annotation></semantics></math> with regularisation hyperparameter <math alttext="\lambda_{\text{W}}\in\mathbb{R}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">+</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1"><in id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.1"></in><apply id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3"><mtext id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.2.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.2">ℝ</ci><plus id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i7.p1.3.m3.1.1.3.3"></plus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1c">\lambda_{\text{W}}\in\mathbb{R}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i7.p1.3.m3.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.p8.1">By incorporating this approach into the model, the complete log posterior (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A1.E9" title="In Appendix A Current SSLB model: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) and the expression associated with the E step (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A1.E10" title="In Appendix A Current SSLB model: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) will undergo minor modifications. Refer to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A2.E11" title="In Appendix B SSLB model with profile regression: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A2.E18" title="In Appendix B SSLB model with profile regression: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) in the Appendix for further details.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.p9.3">Below we will explain the computation of the new expectation and maximisation steps introduced by the profile regression model adapted to the SSLB model, particularly the computation of <math alttext="\left\langle\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.p9.1.m1.1a"><mrow id="S3.p9.1.m1.1.1.1" xref="S3.p9.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p9.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.p9.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.1.m1.1b"><apply id="S3.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p9.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.1.m1.1c">\left\langle\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.1.m1.1d">⟨ over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, the second last term of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A2.E18" title="In Appendix B SSLB model with profile regression: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) that involves the computation of an expectation of a log-sum-exp expression, the estimation of <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.2.m2.1"><semantics id="S3.p9.2.m2.1a"><msub id="S3.p9.2.m2.1.1" xref="S3.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p9.2.m2.1.1.2" xref="S3.p9.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.p9.2.m2.1.1.3" xref="S3.p9.2.m2.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.2.m2.1b"><apply id="S3.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p9.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p9.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.p9.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.p9.2.m2.1.1.3"><mtext id="S3.p9.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p9.2.m2.1.1.3">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.2.m2.1c">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the maximisation of <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.3.m3.1"><semantics id="S3.p9.3.m3.1a"><mi id="S3.p9.3.m3.1.1" xref="S3.p9.3.m3.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.3.m3.1b"><ci id="S3.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p9.3.m3.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.3.m3.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.3.m3.1d">bold_W</annotation></semantics></math>. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.3]</cite> and its supplementary material for details on the computation of the remaining parameters that are not affected by the introduction of profile regression to the SSLB model.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Expectation of <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.1.m1.1b"><msub id="S3.SS1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.SS1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.m1.1c"><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.SS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.m1.1d">\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.m1.1e">over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1">For the expectation of the <math alttext="\widetilde{\gamma}_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\widetilde{\gamma}_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> variables, we have</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle=p\left(\widetilde{\gamma}_{ik% }=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{\theta}},\mathbf{W}\right)% =\frac{1}{1+\frac{p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=0,\mathbf{w}_{c}% \right)p\left(\tau_{ik}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=0\right)p\left(\widetilde{% \gamma}_{ik}=0\mid\widetilde{\theta}_{k}\right)}{p\left(y_{ic}\mid\widetilde{% \gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}_{c}\right)p\left(\tau_{ik}\mid\widetilde{\gamma}_{ik% }=1\right)p\left(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\widetilde{\theta}_{k}\right)}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.14"><semantics id="S3.Ex12.m1.14a"><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14" xref="S3.Ex12.m1.14.14.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.4" xref="S3.Ex12.m1.14.14.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.14.14.2.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9" xref="S3.Ex12.m1.9.9.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.10.10" xref="S3.Ex12.m1.10.10.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.11.11" xref="S3.Ex12.m1.11.11.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.12.12" xref="S3.Ex12.m1.12.12.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.14.14.5" xref="S3.Ex12.m1.14.14.5.cmml">=</mo><mfrac id="S3.Ex12.m1.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.8.8.10" xref="S3.Ex12.m1.8.8.10.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.8.8.8.10" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.10.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.9" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.9.cmml">+</mo><mfrac id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.6" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.6.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5a" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.7" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.7.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5b" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5c" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.8" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.8.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5d" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.6" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.6.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.5.5.5.5.5.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.5.5.5.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.3" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5a" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.7" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.7.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5b" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5c" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5d" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.14b"><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14"><and id="S3.Ex12.m1.14.14a.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14"></and><apply id="S3.Ex12.m1.14.14b.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14"><eq id="S3.Ex12.m1.14.14.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.4"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.13.13.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.13.13.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3"><times id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.13.13.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2"><times id="S3.Ex12.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.2"></times><ci id="S3.Ex12.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.3">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1"><eq id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.2">1</cn><list id="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9">𝐘</ci><ci id="S3.Ex12.m1.10.10.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10">𝐓</ci><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11"><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.2">𝜽</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.12.12.cmml" xref="S3.Ex12.m1.12.12">𝐖</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.14.14c.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14"><eq id="S3.Ex12.m1.14.14.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex12.m1.14.14.2.cmml" id="S3.Ex12.m1.14.14d.cmml" xref="S3.Ex12.m1.14.14"></share><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8"><divide id="S3.Ex12.m1.8.8.9.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8"></divide><cn id="S3.Ex12.m1.8.8.10.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.8.8.10">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8"><plus id="S3.Ex12.m1.8.8.8.9.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.9"></plus><cn id="S3.Ex12.m1.8.8.8.10.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.10">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8"><divide id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.9.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8"></divide><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4"><times id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.5"></times><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.6">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1"><eq id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3"><times id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><cn id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1">0</cn><apply id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.7.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.7">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1"><eq id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3"><times id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.8">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1"><eq id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.2">0</cn><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8"><times id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.5"></times><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.6.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.6">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1"><eq id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3"><times id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1"><cn id="S3.Ex12.m1.5.5.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.5.5.5.5.5.1">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.7.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.7">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1"><eq id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3"><times id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.7.7.7.7.7.3.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.8">𝑝</ci><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1"><eq id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3"><times id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.8.8.8.4.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.14c">\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle=p\left(\widetilde{\gamma}_{ik% }=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{\theta}},\mathbf{W}\right)% =\frac{1}{1+\frac{p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=0,\mathbf{w}_{c}% \right)p\left(\tau_{ik}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=0\right)p\left(\widetilde{% \gamma}_{ik}=0\mid\widetilde{\theta}_{k}\right)}{p\left(y_{ic}\mid\widetilde{% \gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}_{c}\right)p\left(\tau_{ik}\mid\widetilde{\gamma}_{ik% }=1\right)p\left(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\widetilde{\theta}_{k}\right)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.14d">⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ bold_Y , bold_T , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , bold_W ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 + divide start_ARG italic_p ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 ) italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 ∣ over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_p ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ) italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ over~ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.7">where <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math> corresponds to the <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_c</annotation></semantics></math>-th disease presented in sample <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{w}^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.1a"><msup id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.1c">\mathbf{w}^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.1d">bold_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.1d">italic_c</annotation></semantics></math>-th column of the matrix of weights <math alttext="\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2"><in id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.1"></in><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.2.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.1c">\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.1d">bold_W ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. From this, the only new expression left to compute is <math alttext="P\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m7.2"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m7.2b"><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2"><times id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1"><eq id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1"><cn id="S3.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.7.m7.1.1">1</cn><apply id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m7.2c">P\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m7.2d">italic_P ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 , bold_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Since there is no closed-form solution, this probability will be estimated in the following way</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p3"> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.4">Generate <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> samples from <math alttext="p\left(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{\theta}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3"><times id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.2"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.3">𝑝</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1"><eq id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3"><times id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.2">1</cn><list id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1">𝐓</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2"><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2">𝜽</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3c">p\left(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{\theta}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.3d">italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ bold_T , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG )</annotation></semantics></math>, a probability to which we have access (see the supplementary material of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>). This is done for every <math alttext="k\in\{1,\ldots,K\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.cmml">K</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4"><in id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.2">𝑘</ci><set id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.3.3">𝐾</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3c">k\in\{1,\ldots,K\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.3d">italic_k ∈ { 1 , … , italic_K }</annotation></semantics></math>. The results will be stored in a matrix <math alttext="\mathbf{V}\in\mathbb{R}^{M\times K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">𝐕</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1"><in id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝐕</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3"><times id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1c">\mathbf{V}\in\mathbb{R}^{M\times K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.4.m4.1d">bold_V ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_M × italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.2">For each column <math alttext="k\in\{1,\ldots,K\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">K</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4"><in id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2">𝑘</ci><set id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3">𝐾</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3c">k\in\{1,\ldots,K\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3d">italic_k ∈ { 1 , … , italic_K }</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbf{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1c">\mathbf{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1d">bold_V</annotation></semantics></math>:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I3.i2.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6">Extract only the rows of <math alttext="\mathbf{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1c">\mathbf{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.1.m1.1d">bold_V</annotation></semantics></math> whose <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-th column is equal to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mn id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1b"><cn id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.3.m3.1d">1</annotation></semantics></math>, This subset of <math alttext="\mathbf{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1c">\mathbf{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.4.m4.1d">bold_V</annotation></semantics></math> can be defined as <math alttext="\mathbf{V}^{\prime}\in\mathbb{R}^{M^{\prime}\times K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝐕</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml"><msup id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1"><in id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1"></in><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝐕</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3"><times id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1c">\mathbf{V}^{\prime}\in\mathbb{R}^{M^{\prime}\times K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.5.m5.1d">bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT × italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="M^{\prime}\leq M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml"><msup id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">M</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1"><leq id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1"></leq><apply id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1c">M^{\prime}\leq M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i1.p1.6.m6.1d">italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_M</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2">Compute <math alttext="p\left(y_{ic}\mid\mathbf{V}^{\prime},\mathbf{w}^{c}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐕</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑦</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑐</ci></apply></apply><list id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐕</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1c">p\left(y_{ic}\mid\mathbf{V}^{\prime},\mathbf{w}^{c}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_p ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E5" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>). The result of this computation can be stored in a vector <math alttext="\mathbf{q}\in\mathbb{R}^{M^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝐪</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><msup id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2">𝐪</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1c">\mathbf{q}\in\mathbb{R}^{M^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i2.p1.2.m2.1d">bold_q ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1">Finally, estimate <math alttext="p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2"><times id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1"><eq id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><cn id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.1.1">1</cn><apply id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2c">p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.I1.i3.p1.1.m1.2d">italic_p ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 , bold_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as follows</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)\approx\frac{% \sum_{i=1}^{M^{\prime}}q_{i}}{M}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.2"><semantics id="S3.Ex13.m1.2a"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml">≈</mo><mfrac id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msubsup><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">M</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.2b"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1"><approx id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2"></approx><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑦</ci><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><list id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><cn id="S3.Ex13.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.1.1">1</cn><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.2c">p\left(y_{ic}\mid\widetilde{\gamma}_{ik}=1,\mathbf{w}^{c}\right)\approx\frac{% \sum_{i=1}^{M^{\prime}}q_{i}}{M}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.2d">italic_p ( italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∣ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 , bold_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ) ≈ divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_M end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.3">In our numerical experiments, we have empirically observed that using <math alttext="M=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">M=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">italic_M = 50</annotation></semantics></math> results in estimates of <math alttext="\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> with sufficiently low variance and consistent results across multiple trials, indicating that this choice of <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is sufficient for reliable estimation.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Expectation of the log-sum-exp expression in <math alttext="Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.1.m1.2b"><mrow id="S3.SS2.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S3.SS2.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="S3.SS2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.m1.2c"><apply id="S3.SS2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2"><times id="S3.SS2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.SS2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><apply id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="S3.SS2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.m1.2d">Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.m1.2e">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">For the computation of the last term of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#A2.E18" title="In Appendix B SSLB model with profile regression: E step ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) which implies an expectation of a log-sum-exp expression, since we now have a way to estimate <math alttext="\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\left\langle\widetilde{\gamma}_{ik}\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, the computation of this expectation is a simple Monte Carlo estimate as follows:</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p2"> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I4"> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i1.p1.3">Generate <math alttext="\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime(1)},\ldots,\widetilde{\boldsymbol{% \gamma}}_{i}^{\prime(m)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9"><semantics id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9a"><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.3.cmml"><msubsup id="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.7.7.cmml">…</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.4" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.I4.i1.p1.1.m1.6.6.3.3" 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id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.2.m2.4.4" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.4.4.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5b"><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5"><times id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.2"></times><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.3">𝑝</ci><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1"><eq id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2"><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3"><times id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.2">1</cn><list id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.5.5.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.1.1">𝐘</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.2.2">𝐓</ci><apply id="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3"><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3.1">~</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.3.3.2">𝜽</ci></apply><ci id="S3.I4.i1.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.2.m2.4.4">𝐖</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5c">p\left(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{% \boldsymbol{\theta}},\mathbf{W}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.2.m2.5d">italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ bold_Y , bold_T , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , bold_W )</annotation></semantics></math> previously estimated in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS1" title="3.1 Expectation of 𝜸̃_𝑖 ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>, for each <math alttext="k\in\{1,\ldots,K\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.1" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.3.cmml">K</mi><mo id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4"><in id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.1"></in><ci id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.2">𝑘</ci><set id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.I4.i1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.I4.i1.p1.3.m3.3.3">𝐾</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3c">k\in\{1,\ldots,K\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.i1.p1.3.m3.3d">italic_k ∈ { 1 , … , italic_K }</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.I4.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.i2.p1.1">Compute</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{% \boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}\approx\frac{1}{% m}\sum_{i=1}^{m}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde% {\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime(m)}\right)\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex14.m1.9"><semantics id="S3.Ex14.m1.9a"><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9" xref="S3.Ex14.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.5.5" xref="S3.Ex14.m1.5.5.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.4.4" xref="S3.Ex14.m1.4.4.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.3.cmml">≈</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m1.9.9.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex14.m1.9.9.2.3.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.3.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.3.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.cmml"><munderover id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.7.7" xref="S3.Ex14.m1.7.7.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.6.6" xref="S3.Ex14.m1.6.6.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mrow id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex14.m1.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1"><log id="S3.Ex14.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex14.m1.7.7"></log><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S3.Ex14.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex14.m1.6.6"></exp><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S3.Ex14.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m1.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1.1.1">𝑚</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.9c">\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{% \boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}\approx\frac{1}{% m}\sum_{i=1}^{m}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde% {\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime(m)}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.9d">⟨ roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ⟩ ≈ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ul> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>Estimation of hyperparameter <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.1.m1.1b"><msub id="S3.SS3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.m1.1c"><apply id="S3.SS3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.1.m1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.m1.1d">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.m1.1e">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.3">To estimate the regularisation hyperparameter <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the <math alttext="\ell_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2">ℓ</ci><cn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">\ell_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">roman_ℓ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> penalisation term of the multinomial logistic regression weights matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, we adopted an empirical Bayesian approach by maximum marginal likelihood estimate. This can be done by solving the following</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p2"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx2"> <tbody id="S3.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda_{\text{W}}^{\mbox{*}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><msubsup id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex15.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.3a.cmml">W</mtext><mtext id="S3.Ex15.m1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3a.cmml">*</mtext></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.3"><mtext id="S3.Ex15.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex15.m1.1.1.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3"><mtext id="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3">*</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\displaystyle\lambda_{\text{W}}^{\mbox{*}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT * end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\operatorname*{arg\,max}_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}% \mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m2.1"><semantics id="S3.Ex15.m2.1a"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.cmml"><munder id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">arg</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.3.cmml">max</mi></mrow><msub id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></munder><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3a" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m2.1b"><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1"><eq id="S3.Ex15.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2"><times id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.2">arg</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.2.3">max</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.3.1.3.3a.cmml" 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xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m2.1c">\displaystyle=\operatorname*{arg\,max}_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}% \mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m2.1d">= start_OPERATOR roman_arg roman_max end_OPERATOR start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\operatorname*{arg\,max}_{\lambda_{\text{W}}}\int_{\mathbb{R}^{(% K+1)\times C}}\prod_{i=1}^{N}\prod_{l=1}^{C}\left[\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}% \tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)/\sum_{l^{\prime}=1}^{c}\exp% \left(\mathbf{w}_{l^{\prime}}^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}% \right)\right]^{y_{il}}+\exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{% W}\rVert_{F}^{2}\right)d\mathbf{W}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.6"><semantics id="S3.E6.m1.6a"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.4" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">arg</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" lspace="0.170em" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml">max</mi></mrow><msub id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></munder><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.E6.m1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover></mstyle><msup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">/</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.cmml">exp</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><msup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><msub id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5" xref="S3.E6.m1.5.5.cmml">exp</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.E6.m1.4.4" xref="S3.E6.m1.4.4.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2a" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.4" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.4.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.6b"><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1"><eq id="S3.E6.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2"><plus id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2">arg</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.3">max</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2"></int><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S3.E6.m1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.2.2"></exp><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"></sum><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><eq id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></eq><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">′</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><exp id="S3.E6.m1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.3.3"></exp><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3">′</ci></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><exp id="S3.E6.m1.5.5.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5"></exp><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6.1.1.2.2.4">𝐖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.6c">\displaystyle=\operatorname*{arg\,max}_{\lambda_{\text{W}}}\int_{\mathbb{R}^{(% K+1)\times C}}\prod_{i=1}^{N}\prod_{l=1}^{C}\left[\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}% \tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)/\sum_{l^{\prime}=1}^{c}\exp% \left(\mathbf{w}_{l^{\prime}}^{T}\tilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}% \right)\right]^{y_{il}}+\exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{% W}\rVert_{F}^{2}\right)d\mathbf{W}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.6d">= start_OPERATOR roman_arg roman_max end_OPERATOR start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT [ roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) / ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT + roman_exp ( - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d bold_W .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.1">Since the latter integral, i.e., the resulting marginal likelihood of the multinomial logistic regression model, is computationally intractable, we will apply the Stochastic Optimisation via Unadjusted Langevin (SOUL) method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>, which is specifically designed for this type of problem. We will explain this method in detail below.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.5">We can solve (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E6" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) iteratively using the projected gradient algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib19" title="">19</a>, Section 5]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{\text{W}}^{(n+1)}=\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}\left[\lambda_{% \text{W}}^{(n)}+\delta_{\text{PGA}}^{(n)}\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(% \mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}^{(n)}% \right)\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.5"><semantics id="S3.E7.m1.5a"><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><msub id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub></msub><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.E7.m1.2.2.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="S3.E7.m1.3.3.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E7.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.3.3.1.1" xref="S3.E7.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2" rspace="0.167em" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.E7.m1.4.4.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E7.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.5.5.1.2" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.5b"><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1"><eq id="S3.E7.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.3.2.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1"><plus id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" 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xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">PGA</mtext></ci></apply><ci id="S3.E7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2">∇</ci><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3"><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1">𝑛</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.5c">\lambda_{\text{W}}^{(n+1)}=\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}\left[\lambda_{% \text{W}}^{(n)}+\delta_{\text{PGA}}^{(n)}\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(% \mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}^{(n)}% \right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.5d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.4">by computing a sequence <math alttext="(\lambda_{\text{W}}^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.2a"><msub id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3"><in id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.2c">(\lambda_{\text{W}}^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> associated with the latter recursion, where <math alttext="\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p4.2.m2.1a"><msub id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">Π</mi><msub id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.2">Π</ci><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.2">Θ</ci><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.2.m2.1c">\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the projection onto the compact convex set <math alttext="\Theta_{\lambda_{\text{W}}}\subset(0,+\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.3.m3.2"><semantics id="S3.SS3.p4.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.2" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1a" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.3.m3.2b"><apply id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2"><subset id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.2"></subset><apply id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.2">Θ</ci><apply id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3a.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3"><mtext id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1"><cn id="S3.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p4.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1"><plus id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1"></plus><infinity id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2"></infinity></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.3.m3.2c">\Theta_{\lambda_{\text{W}}}\subset(0,+\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.3.m3.2d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⊂ ( 0 , + ∞ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\delta_{\text{PGA}}^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.4.m4.2"><semantics id="S3.SS3.p4.4.m4.2a"><msub id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.1" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.4.m4.2b"><apply id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.3">PGA</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3"><in id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.1"></in><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.2.2.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.4.m4.2c">(\delta_{\text{PGA}}^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.4.m4.2d">( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_n ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a sequence of non-increasing step sizes<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>When denoting sequences of values, we use superscripts in parentheses instead of subscript and superscript notation to avoid confusion with matrix notation. For example, <math alttext="\mathbf{M}^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m1.1"><semantics id="footnote2.m1.1b"><msup id="footnote2.m1.1.2" xref="footnote2.m1.1.2.cmml"><mi id="footnote2.m1.1.2.2" xref="footnote2.m1.1.2.2.cmml">𝐌</mi><mrow id="footnote2.m1.1.1.1.3" xref="footnote2.m1.1.2.cmml"><mo id="footnote2.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="footnote2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="footnote2.m1.1.1.1.1" xref="footnote2.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="footnote2.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="footnote2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m1.1c"><apply id="footnote2.m1.1.2.cmml" xref="footnote2.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote2.m1.1.2.1.cmml" xref="footnote2.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="footnote2.m1.1.2.2.cmml" xref="footnote2.m1.1.2.2">𝐌</ci><ci id="footnote2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="footnote2.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m1.1d">\mathbf{M}^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m1.1e">bold_M start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote2.m2.1"><semantics id="footnote2.m2.1b"><mi id="footnote2.m2.1.1" xref="footnote2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote2.m2.1c"><ci id="footnote2.m2.1.1.cmml" xref="footnote2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote2.m2.1d">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote2.m2.1e">italic_i</annotation></semantics></math>-th value in a sequence, rather than a power or column/row vector.</span></span></span>. However, the gradient in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E7" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) is intractable, as we saw in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E6" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>). For this case, we can replace this gradient with a stochastic estimator by applying Fisher’s identity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib9" title="">9</a>, Section D.2]</cite></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p5"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx3"> <tbody id="S3.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{% \boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.1"><semantics id="S3.Ex16.m1.1a"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.1b"><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3"><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3"><mtext id="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.1c">\displaystyle\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{% \boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.1d">∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\frac{\nabla_{\lambda_{\text{W}% }}p\left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda% _{\text{W}}\right)}{p\left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}% 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xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.5.5" xref="S3.Ex16.m2.5.5.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.5.5a" xref="S3.Ex16.m2.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.4" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex16.m2.5.5.4" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.5.5.4.4" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.4.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex16.m2.4.4.3.1" xref="S3.Ex16.m2.4.4.3.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.4" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.4" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2a" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.6.6" xref="S3.Ex16.m2.6.6.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2b" lspace="0em" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.cmml"><mo id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.1" rspace="0em" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.2" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.2.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m2.7b"><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7"><eq id="S3.Ex16.m2.7.7.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.7.7.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1"><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex16.m2.7.7.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.2.2"></int><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1"><times id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5"><divide id="S3.Ex16.m2.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5"></divide><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2"><times id="S3.Ex16.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.3"></times><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4"><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3"><mtext id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.4.2">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1"><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex16.m2.3.3.2.2.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4"><times id="S3.Ex16.m2.5.5.4.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.3"></times><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.4">𝑝</ci><interval closure="open" id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1"><ci id="S3.Ex16.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.4.4.3.1">𝐖</ci><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex16.m2.5.5.4.2.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></interval></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex16.m2.6.6.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6">𝐘</ci><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.1.1.4.2">𝐖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m2.7c">\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\frac{\nabla_{\lambda_{\text{W}% }}p\left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda% _{\text{W}}\right)}{p\left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}% }^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)}p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{% \boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)d\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m2.7d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_W , bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_p ( bold_W , bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d bold_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\nabla_{\lambda_{\text{W}}}\log p% \left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{% \text{W}}\right)p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime},\lambda_{\text{W}}\right)d\mathbf{W}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.4"><semantics id="S3.Ex17.m1.4a"><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex17.m1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.2" lspace="0.167em" rspace="0.167em" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex17.m1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3b" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.3.3.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3c" lspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.4.4.1.2" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.4b"><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3">subscript</csymbol><int id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.3.2"></int><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4"><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1"><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><log id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.4.2">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex17.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></interval><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.5">𝑝</ci><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex17.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.3.3">𝐘</ci><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4.1.1.2.2.6.2">𝐖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.4c">\displaystyle=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\nabla_{\lambda_{\text{W}}}\log p% \left(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{% \text{W}}\right)p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime},\lambda_{\text{W}}\right)d\mathbf{W},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.4d">= ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_W , bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d bold_W ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p5.2">where <math alttext="p(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.p5.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.1.m1.2b"><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2"><times id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.1.1">𝐘</ci><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.1.m1.2c">p(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.1.m1.2d">italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the posterior distribution of <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p5.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.2.m2.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.2.m2.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.2.m2.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{% \text{W}}\right)\propto p\left(\mathbf{Y}\mid\mathbf{W},\tilde{\boldsymbol{% \Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text% {W}}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex18.m1.3"><semantics id="S3.Ex18.m1.3a"><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.4.cmml">∝</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3a" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.5" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.5.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3b" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m1.3b"><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.4">proportional-to</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1">𝐘</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.3"></times><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.4">𝑝</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex18.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.5">𝑝</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex18.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.3c">p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{% \text{W}}\right)\propto p\left(\mathbf{Y}\mid\mathbf{W},\tilde{\boldsymbol{% \Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text% {W}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.3d">italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) ∝ italic_p ( bold_Y ∣ bold_W , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( bold_W ∣ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p5.3">Given the fact that <math alttext="p(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})=p(\mathbf{Y}\mid\mathbf{W},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime})p(% \mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p5.3.m1.5"><semantics id="S3.SS3.p5.3.m1.5a"><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.4" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.4" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.4.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3a" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.5" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.5.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3b" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow><mo id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p5.3.m1.5b"><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5"><eq id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.4"></eq><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1"><times id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.3">𝑝</ci><interval closure="open" id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1"><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p5.3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></interval></apply><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3"><times id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.3"></times><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.4">𝑝</ci><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.3">𝐘</ci><list id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></list></apply><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.5.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.5">𝑝</ci><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.2">𝐖</ci><apply id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3"><mtext id="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p5.3.m1.5.5.3.2.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p5.3.m1.5c">p(\mathbf{W},\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})=p(\mathbf{Y}\mid\mathbf{W},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime})p(% \mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p5.3.m1.5d">italic_p ( bold_W , bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_p ( bold_Y ∣ bold_W , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_p ( bold_W ∣ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> we have</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p6"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime},\lambda_{\text{W}}\right)=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\nabla_{% \lambda_{\text{W}}}\log p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}}\right)p\left(% \mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W% }}\right)d\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex19.m1.5"><semantics id="S3.Ex19.m1.5a"><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5" xref="S3.Ex19.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.3.3.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.4" rspace="0.111em" xref="S3.Ex19.m1.5.5.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.5.5.3.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex19.m1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></msub><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3a" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.5" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.5.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3b" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.2.2.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.3" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3c" lspace="0em" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.2" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.2.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.5b"><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5"><eq id="S3.Ex19.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.4"></eq><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex19.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3"><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3"><mtext id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3"><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><int id="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.3.2"></int><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2"><times id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.3"></times><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4"><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1"><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><log id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.4.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.1.1.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.5">𝑝</ci><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex19.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.2.2">𝐘</ci><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.2.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.5.5.3.2.6.2">𝐖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.5c">\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime},\lambda_{\text{W}}\right)=\int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\nabla_{% \lambda_{\text{W}}}\log p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}}\right)p\left(% \mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W% }}\right)d\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.5d">∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_W ∣ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d bold_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.5">where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx4"> <tbody id="S3.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\log p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m1.1"><semantics id="S3.Ex20.m1.1a"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m1.1b"><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3"><log id="S3.Ex20.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.1"></log><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.1c">\displaystyle\log p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.1d">roman_log italic_p ( bold_W ∣ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}-% \int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}% \lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right)d\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m2.5"><semantics id="S3.Ex20.m2.5a"><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5" xref="S3.Ex20.m2.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3a" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2a" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.1" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.1a" lspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.2.1" rspace="0em" 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id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" lspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex20.m2.3.3" xref="S3.Ex20.m2.3.3.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m2.5b"><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5"><eq id="S3.Ex20.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1"><minus id="S3.Ex20.m2.5.5.1.2.cmml" 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id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.2.2">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.3.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.cmml" 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xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><mtext id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.1.1.1.3.2">𝐖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m2.5c">\displaystyle=-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}-% \int_{\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}\exp\left(-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}% \lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right)d\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m2.5d">= - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d bold_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}-% \log\left(\frac{2\pi}{\lambda_{\text{W}}}\right)^{0.5\times(K+1)\times C}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Ex21.m1.4"><semantics id="S3.Ex21.m1.4a"><mrow id="S3.Ex21.m1.4b"><mo id="S3.Ex21.m1.4.5" rspace="0em">=</mo><mo id="S3.Ex21.m1.4.6" lspace="0em">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex21.m1.4.7"><mfrac id="S3.Ex21.m1.4.7a"><mn id="S3.Ex21.m1.4.7.2">1</mn><mn id="S3.Ex21.m1.4.7.3">2</mn></mfrac></mstyle><msub id="S3.Ex21.m1.4.8"><mi id="S3.Ex21.m1.4.8.2">λ</mi><mtext id="S3.Ex21.m1.4.8.3">W</mtext></msub><msubsup id="S3.Ex21.m1.4.9"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.9.2.2"><mo fence="true" id="S3.Ex21.m1.4.9.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em">∥</mo><mi id="S3.Ex21.m1.2.2">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex21.m1.4.9.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex21.m1.4.9.2.3">F</mi><mn id="S3.Ex21.m1.4.9.3">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex21.m1.4.10">−</mo><mi id="S3.Ex21.m1.3.3">log</mi><msup id="S3.Ex21.m1.4.11"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.11.2"><mo id="S3.Ex21.m1.4.11.2.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex21.m1.4.4"><mfrac id="S3.Ex21.m1.4.4a"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.2"><mn id="S3.Ex21.m1.4.4.2.2">2</mn><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.2.1">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.2.3">π</mi></mrow><msub id="S3.Ex21.m1.4.4.3"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.3.2">λ</mi><mtext id="S3.Ex21.m1.4.4.3.3">W</mtext></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex21.m1.4.11.2.2">)</mo></mrow><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1"><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.3">0.5</mn><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2">K</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1">+</mo><mn id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.2a" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.4">C</mi></mrow></msup><mo id="S3.Ex21.m1.4.12" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.4c">\displaystyle=-\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}-% \log\left(\frac{2\pi}{\lambda_{\text{W}}}\right)^{0.5\times(K+1)\times C}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.4d">= - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - roman_log ( divide start_ARG 2 italic_π end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 0.5 × ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.6">Therefore</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla_{\lambda_{\text{W}}}\log p\left(\mathbf{W}\mid\lambda_{\text{W}}\right)% =-0.5\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}+\frac{(K+1)\times C}{2\lambda_{\text{W}}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex22.m1.3"><semantics id="S3.Ex22.m1.3a"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2a" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">0.5</mn><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.1" lspace="0em" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex22.m1.2.2" xref="S3.Ex22.m1.2.2.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.3.3.3.1" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.Ex22.m1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex22.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex22.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex22.m1.3b"><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3"><eq id="S3.Ex22.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex22.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3"><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1"><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><log id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex22.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" 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xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.2.2">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex22.m1.3.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1"><divide id="S3.Ex22.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1"></divide><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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C}{2\lambda_{\text{W}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex22.m1.3d">∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_W ∣ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) = - 0.5 ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG ( italic_K + 1 ) × italic_C end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.7">Having finally that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx5"> <tbody id="S3.Ex23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{% \boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex23.m1.1"><semantics id="S3.Ex23.m1.1a"><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.2.cmml">∇</mo><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex23.m1.1b"><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1"><times id="S3.Ex23.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3"><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.2">∇</ci><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3"><mtext id="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m1.1c">\displaystyle\nabla_{\lambda_{\text{W}}}p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{% \boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m1.1d">∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{(K+1)\times C}{2\lambda_{\text{W}}}-0.5\int_{\mathbb{R}^{(% K+1)\times C}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},% \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)d\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex23.m2.5"><semantics id="S3.Ex23.m2.5a"><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5" xref="S3.Ex23.m2.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex23.m2.1.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex23.m2.1.1a" xref="S3.Ex23.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m2.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex23.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mrow id="S3.Ex23.m2.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex23.m2.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex23.m2.1.1.3.1" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.3.cmml">0.5</mn><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2a" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><msup id="S3.Ex23.m2.2.2.1" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.3.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></msub></mstyle><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex23.m2.3.3" xref="S3.Ex23.m2.3.3.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.4.4" xref="S3.Ex23.m2.4.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2b" lspace="0em" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.1" rspace="0em" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.2.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex23.m2.5b"><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5"><eq id="S3.Ex23.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1"><minus id="S3.Ex23.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.2"></minus><apply id="S3.Ex23.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1"><divide id="S3.Ex23.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1"></divide><apply id="S3.Ex23.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.1.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3"><times id="S3.Ex23.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex23.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex23.m2.1.1.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1"><times id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.2"></times><cn id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.3">0.5</cn><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1"><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.2.2"></int><apply id="S3.Ex23.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.3">ℝ</ci><apply id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.2.2.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.3.3">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.4">𝑝</ci><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex23.m2.4.4.cmml" xref="S3.Ex23.m2.4.4">𝐘</ci><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex23.m2.5.5.1.1.1.1.5.2">𝐖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m2.5c">\displaystyle=\frac{(K+1)\times C}{2\lambda_{\text{W}}}-0.5\int_{\mathbb{R}^{(% K+1)\times C}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}p\left(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},% \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}\right)d\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m2.5d">= divide start_ARG ( italic_K + 1 ) × italic_C end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - 0.5 ∫ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d bold_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{(K+1)\times C}{2\lambda_{\text{W}}}-\frac{1}{2}\mathbb{E}_% {\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{% W}}}\left[\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex24.m1.6"><semantics id="S3.Ex24.m1.6a"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex24.m1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.1.1a" xref="S3.Ex24.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mrow id="S3.Ex24.m1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex24.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex24.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.3.5" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.5.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.3.4" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.4.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.4" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex24.m1.5.5" xref="S3.Ex24.m1.5.5.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex24.m1.6b"><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1"><minus id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1"><divide id="S3.Ex24.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1"></divide><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3"><times id="S3.Ex24.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex24.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex24.m1.1.1.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.4.2">𝔼</ci><apply id="S3.Ex24.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex24.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.4">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.5">𝐖</ci><list id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2"><ci id="S3.Ex24.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.2.2.1.1">𝐘</ci><apply id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2"><ci id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3"><mtext id="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.Ex24.m1.4.4.3.3.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex24.m1.5.5">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex24.m1.6c">\displaystyle=\frac{(K+1)\times C}{2\lambda_{\text{W}}}-\frac{1}{2}\mathbb{E}_% {\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{% W}}}\left[\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex24.m1.6d">= divide start_ARG ( italic_K + 1 ) × italic_C end_ARG start_ARG 2 italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.1">that is, the gradient we need for the iterative scheme in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E7" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) depends on the computation of an expectation that can be estimated using MCMC methods. To approximate samples from the posterior distribution <math alttext="p(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.p6.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.1.m1.2b"><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2"><times id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.2"></times><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.4">𝐖</ci><list id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1">𝐘</ci><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p6.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.1.m1.2c">p(\mathbf{W}\mid\mathbf{Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text% {W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.1.m1.2d">italic_p ( bold_W ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and compute the latter expectation, the SOUL method uses the unadjusted Langevin algorithm (ULA) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib7" title="">7</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>, given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W^{(k+1)}=W^{(k)}-\delta_{\text{ULA}}\nabla_{W}\log p(W^{(k)}\mid\mathbf{Y},% \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}})+\sqrt{2\delta_{\text{% ULA}}}Z^{(n+1)}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.6"><semantics id="S3.E8.m1.6a"><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.cmml"><msup id="S3.E8.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E8.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1.2" rspace="0.167em" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml">W</mi></msub><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.E8.m1.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.3.3.1.1" xref="S3.E8.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.5.5" xref="S3.E8.m1.5.5.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.3.3a.cmml">ULA</mtext></msub></mrow></msqrt><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.1" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">Z</mi><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E8.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.6.6.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.6b"><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1"><eq id="S3.E8.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1"><plus id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1"><plus id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1"><minus id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" 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id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3"><times id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2"><root id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2"></root><apply id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.1"></times><cn id="S3.E8.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" 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id="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.6c">W^{(k+1)}=W^{(k)}-\delta_{\text{ULA}}\nabla_{W}\log p(W^{(k)}\mid\mathbf{Y},% \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}})+\sqrt{2\delta_{\text{% ULA}}}Z^{(n+1)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.6d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) + square-root start_ARG 2 italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_Z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.4">where <math alttext="\delta_{\text{ULA}}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.2.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p6.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.2.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1"><gt id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.1"></gt><apply id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.2.3">ULA</mtext></ci></apply><cn id="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p6.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.2.m1.1c">\delta_{\text{ULA}}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.2.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> is a given step size and <math alttext="(Z^{(n+1)})_{n\geq 0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.3.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p6.3.m2.2a"><msub id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mrow id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.1" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.3.m2.2b"><apply id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.1.1.1.2">𝑍</ci><apply id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1"><plus id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p6.3.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3"><geq id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.1"></geq><ci id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p6.3.m2.2.2.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.3.m2.2c">(Z^{(n+1)})_{n\geq 0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.3.m2.2d">( italic_Z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an i.i.d. sequence of <math alttext="(K+1)\times C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.4.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p6.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.4.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1"><times id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1"><plus id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m3.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.4.m3.1c">(K+1)\times C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.4.m3.1d">( italic_K + 1 ) × italic_C</annotation></semantics></math> - dimensional standard Gaussian random vectors. We are ready to present the SOUL method adapted for this problem, which can be found in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#alg1" title='Algorithm 1 ‣ 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.4.1.1">Algorithm 1</span> </span> SOUL algorithm for the estimation of <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.2.m1.1"><semantics id="alg1.2.m1.1b"><msub id="alg1.2.m1.1.1" xref="alg1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.2.m1.1.1.2" xref="alg1.2.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.2.m1.1.1.3" xref="alg1.2.m1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.2.m1.1c"><apply id="alg1.2.m1.1.1.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="alg1.2.m1.1.1.3a.cmml" xref="alg1.2.m1.1.1.3"><mtext id="alg1.2.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.2.m1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.2.m1.1d">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.2.m1.1e">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg1.5"> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l0"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">0:</span> <math alttext="\lambda_{\text{W}}^{(0)}\in\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m1.1"><semantics id="alg1.l0.m1.1a"><mrow id="alg1.l0.m1.1.2" xref="alg1.l0.m1.1.2.cmml"><msubsup id="alg1.l0.m1.1.2.2" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.2" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l0.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.cmml"><mo id="alg1.l0.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l0.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l0.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l0.m1.1.2.1" xref="alg1.l0.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><msub id="alg1.l0.m1.1.2.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.2.cmml">Π</mi><msub id="alg1.l0.m1.1.2.3.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.2" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m1.1b"><apply id="alg1.l0.m1.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2"><in id="alg1.l0.m1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.1"></in><apply id="alg1.l0.m1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3"><mtext id="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l0.m1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply><cn id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="alg1.l0.m1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.2">Π</ci><apply id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.2">Θ</ci><apply id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.2">𝜆</ci><ci id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3a.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3"><mtext id="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="alg1.l0.m1.1.2.3.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m1.1c">\lambda_{\text{W}}^{(0)}\in\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_Π start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="W^{(0,0)}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m2.3"><semantics id="alg1.l0.m2.3a"><mrow id="alg1.l0.m2.3.4" xref="alg1.l0.m2.3.4.cmml"><msup id="alg1.l0.m2.3.4.2" xref="alg1.l0.m2.3.4.2.cmml"><mi id="alg1.l0.m2.3.4.2.2" xref="alg1.l0.m2.3.4.2.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l0.m2.2.2.2.4" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l0.m2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="alg1.l0.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l0.m2.2.2.2.4.2" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="alg1.l0.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="alg1.l0.m2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l0.m2.3.4.1" xref="alg1.l0.m2.3.4.1.cmml">∈</mo><msup id="alg1.l0.m2.3.4.3" xref="alg1.l0.m2.3.4.3.cmml"><mi id="alg1.l0.m2.3.4.3.2" xref="alg1.l0.m2.3.4.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="alg1.l0.m2.3.3.1" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="alg1.l0.m2.3.3.1.2" rspace="0.222em" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.2.cmml">×</mo><mi id="alg1.l0.m2.3.3.1.3" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m2.3b"><apply id="alg1.l0.m2.3.4.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4"><in id="alg1.l0.m2.3.4.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.1"></in><apply id="alg1.l0.m2.3.4.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m2.3.4.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m2.3.4.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.2.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l0.m2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.4"><cn id="alg1.l0.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m2.1.1.1.1">0</cn><cn id="alg1.l0.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m2.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="alg1.l0.m2.3.4.3.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m2.3.4.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m2.3.4.3.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.4.3.2">ℝ</ci><apply id="alg1.l0.m2.3.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1"><times id="alg1.l0.m2.3.3.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.2"></times><apply id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1"><plus id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l0.m2.3.3.1.3.cmml" xref="alg1.l0.m2.3.3.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m2.3c">W^{(0,0)}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m2.3d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 , 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\delta_{\text{ULA}},\delta_{\text{PGA}}^{(0)}\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m3.3"><semantics id="alg1.l0.m3.3a"><mrow id="alg1.l0.m3.3.3" xref="alg1.l0.m3.3.3.cmml"><mrow id="alg1.l0.m3.3.3.2.2" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.3.cmml"><msub id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.2" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">δ</mi><mtext id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.3" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.2" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="alg1.l0.m3.1.1.1.3" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l0.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l0.m3.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="alg1.l0.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="alg1.l0.m3.3.3.3" xref="alg1.l0.m3.3.3.3.cmml">∈</mo><mi id="alg1.l0.m3.3.3.4" xref="alg1.l0.m3.3.3.4.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m3.3b"><apply id="alg1.l0.m3.3.3.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3"><in id="alg1.l0.m3.3.3.3.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.3"></in><list id="alg1.l0.m3.3.3.2.3.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2"><apply id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3"><mtext id="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l0.m3.2.2.1.1.1.3">ULA</mtext></ci></apply><apply id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3a.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3"><mtext id="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l0.m3.3.3.2.2.2.2.3">PGA</mtext></ci></apply><cn id="alg1.l0.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m3.1.1.1.1">0</cn></apply></list><ci id="alg1.l0.m3.3.3.4.cmml" xref="alg1.l0.m3.3.3.4">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m3.3c">\delta_{\text{ULA}},\delta_{\text{PGA}}^{(0)}\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m3.3d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT , italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math>, <math alttext="m,n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m4.2"><semantics id="alg1.l0.m4.2a"><mrow id="alg1.l0.m4.2.3" xref="alg1.l0.m4.2.3.cmml"><mrow id="alg1.l0.m4.2.3.2.2" xref="alg1.l0.m4.2.3.2.1.cmml"><mi id="alg1.l0.m4.1.1" xref="alg1.l0.m4.1.1.cmml">m</mi><mo id="alg1.l0.m4.2.3.2.2.1" xref="alg1.l0.m4.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="alg1.l0.m4.2.2" xref="alg1.l0.m4.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="alg1.l0.m4.2.3.1" xref="alg1.l0.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="alg1.l0.m4.2.3.3" xref="alg1.l0.m4.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m4.2b"><apply id="alg1.l0.m4.2.3.cmml" xref="alg1.l0.m4.2.3"><in id="alg1.l0.m4.2.3.1.cmml" xref="alg1.l0.m4.2.3.1"></in><list id="alg1.l0.m4.2.3.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m4.2.3.2.2"><ci id="alg1.l0.m4.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m4.1.1">𝑚</ci><ci id="alg1.l0.m4.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m4.2.2">𝑛</ci></list><ci id="alg1.l0.m4.2.3.3.cmml" xref="alg1.l0.m4.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m4.2c">m,n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m4.2d">italic_m , italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">1:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.1">for</span> <math alttext="i=1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m1.1"><semantics id="alg1.l1.m1.1a"><mrow id="alg1.l1.m1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m1.1.1.2" xref="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l1.m1.1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l1.m1.1.1.3" xref="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m1.1b"><apply id="alg1.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1"><eq id="alg1.l1.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.1"></eq><ci id="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m1.1c">i=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m1.1d">italic_i = 1</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.2">to</span> <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m2.1"><semantics id="alg1.l1.m2.1a"><mi id="alg1.l1.m2.1.1" xref="alg1.l1.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m2.1b"><ci id="alg1.l1.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.3">do</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">2:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l2.1">if</span> <math alttext="i>1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m1.1"><semantics id="alg1.l2.m1.1a"><mrow id="alg1.l2.m1.1.1" xref="alg1.l2.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.1.1.2" xref="alg1.l2.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l2.m1.1.1.1" xref="alg1.l2.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="alg1.l2.m1.1.1.3" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m1.1b"><apply id="alg1.l2.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1"><gt id="alg1.l2.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.1"></gt><ci id="alg1.l2.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m1.1c">i>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m1.1d">italic_i > 1</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l2.2">then</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">3:</span> Set <math alttext="W^{(i,0)}=W^{(i-1,m)}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l3.m1.4"><semantics id="alg1.l3.m1.4a"><mrow id="alg1.l3.m1.4.5" xref="alg1.l3.m1.4.5.cmml"><msup id="alg1.l3.m1.4.5.2" xref="alg1.l3.m1.4.5.2.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.4.5.2.2" xref="alg1.l3.m1.4.5.2.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l3.m1.2.2.2.4" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l3.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l3.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l3.m1.2.2.2.4.2" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="alg1.l3.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="alg1.l3.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l3.m1.4.5.1" xref="alg1.l3.m1.4.5.1.cmml">=</mo><msup id="alg1.l3.m1.4.5.3" xref="alg1.l3.m1.4.5.3.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.4.5.3.2" xref="alg1.l3.m1.4.5.3.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l3.m1.4.4.2.2" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.2" stretchy="false" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.2" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.1" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.3" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.3" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l3.m1.3.3.1.1" xref="alg1.l3.m1.3.3.1.1.cmml">m</mi><mo id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.4" stretchy="false" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l3.m1.4b"><apply id="alg1.l3.m1.4.5.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5"><eq id="alg1.l3.m1.4.5.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.1"></eq><apply id="alg1.l3.m1.4.5.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.4.5.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.4.5.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.2.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.4"><ci id="alg1.l3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="alg1.l3.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l3.m1.2.2.2.2">0</cn></interval></apply><apply id="alg1.l3.m1.4.5.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.4.5.3.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.3">superscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.4.5.3.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.5.3.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2"><apply id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1"><minus id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.1"></minus><ci id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l3.m1.4.4.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.3.3.1.1">𝑚</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l3.m1.4c">W^{(i,0)}=W^{(i-1,m)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l3.m1.4d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 , italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">4:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l4.1">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l4.2">if</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">5:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l5.1">for</span> <math alttext="j=0" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m1.1"><semantics id="alg1.l5.m1.1a"><mrow id="alg1.l5.m1.1.1" xref="alg1.l5.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l5.m1.1.1.2" xref="alg1.l5.m1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l5.m1.1.1.1" xref="alg1.l5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l5.m1.1.1.3" xref="alg1.l5.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m1.1b"><apply id="alg1.l5.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.1.1"><eq id="alg1.l5.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m1.1.1.1"></eq><ci id="alg1.l5.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l5.m1.1.1.2">𝑗</ci><cn id="alg1.l5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m1.1c">j=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m1.1d">italic_j = 0</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l5.2">to</span> <math alttext="m-1" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l5.m2.1"><semantics id="alg1.l5.m2.1a"><mrow id="alg1.l5.m2.1.1" xref="alg1.l5.m2.1.1.cmml"><mi id="alg1.l5.m2.1.1.2" xref="alg1.l5.m2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="alg1.l5.m2.1.1.1" xref="alg1.l5.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l5.m2.1.1.3" xref="alg1.l5.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l5.m2.1b"><apply id="alg1.l5.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.1.1"><minus id="alg1.l5.m2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l5.m2.1.1.1"></minus><ci id="alg1.l5.m2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l5.m2.1.1.2">𝑚</ci><cn id="alg1.l5.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l5.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l5.m2.1c">m-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l5.m2.1d">italic_m - 1</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l5.3">do</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">6:</span> <math alttext="Z^{(i,j+1)}\sim N(0,\mathbf{I}_{(K+1)\times C})" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l6.m1.5"><semantics id="alg1.l6.m1.5a"><mrow id="alg1.l6.m1.5.5" xref="alg1.l6.m1.5.5.cmml"><msup id="alg1.l6.m1.5.5.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.3.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.3.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.3.2.cmml">Z</mi><mrow id="alg1.l6.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l6.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.3" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.2" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.1" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.3" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l6.m1.5.5.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.2.cmml">∼</mo><mrow id="alg1.l6.m1.5.5.1" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.1.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.3.cmml">N</mi><mo id="alg1.l6.m1.5.5.1.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="alg1.l6.m1.4.4" xref="alg1.l6.m1.4.4.cmml">0</mn><mo id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.3" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="alg1.l6.m1.3.3.1" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="alg1.l6.m1.3.3.1.2" rspace="0.222em" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.2.cmml">×</mo><mi id="alg1.l6.m1.3.3.1.3" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.3.cmml">C</mi></mrow></msub><mo id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.4" stretchy="false" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l6.m1.5b"><apply id="alg1.l6.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l6.m1.5.5.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.2">similar-to</csymbol><apply id="alg1.l6.m1.5.5.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.5.5.3.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.3">superscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.5.5.3.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.3.2">𝑍</ci><interval closure="open" id="alg1.l6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2"><ci id="alg1.l6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><apply id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1"><plus id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><cn id="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l6.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="alg1.l6.m1.5.5.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1"><times id="alg1.l6.m1.5.5.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.2"></times><ci id="alg1.l6.m1.5.5.1.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1"><cn id="alg1.l6.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="alg1.l6.m1.4.4">0</cn><apply id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝐈</ci><apply id="alg1.l6.m1.3.3.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1"><times id="alg1.l6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.2"></times><apply id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1"><plus id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l6.m1.3.3.1.3.cmml" xref="alg1.l6.m1.3.3.1.3">𝐶</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l6.m1.5c">Z^{(i,j+1)}\sim N(0,\mathbf{I}_{(K+1)\times C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l6.m1.5d">italic_Z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , bold_I start_POSTSUBSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">7:</span> <math alttext="W^{(i,j+1)}=W^{(i,j)}-\delta_{\text{ULA}}\nabla_{W}\log p(W^{(i,j)}\mid\mathbf% {Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}^{(i-1)})+\sqrt{2% \delta_{\text{ULA}}}Z^{(i,j+1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l7.m1.11"><semantics id="alg1.l7.m1.11a"><mrow id="alg1.l7.m1.11.11" xref="alg1.l7.m1.11.11.cmml"><msup id="alg1.l7.m1.11.11.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.3.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l7.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l7.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.3" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.2" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.1" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.3" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l7.m1.11.11.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.2.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.cmml"><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.cmml"><msup id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l7.m1.4.4.2.4" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l7.m1.3.3.1.1" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l7.m1.4.4.2.4.2" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l7.m1.4.4.2.2" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l7.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.cmml"><msub id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.cmml"><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.cmml"><msub id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.2" rspace="0.167em" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.3.cmml">W</mi></msub><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2a" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l7.m1.6.6.2.4" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l7.m1.5.5.1.1" xref="alg1.l7.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l7.m1.6.6.2.4.2" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l7.m1.6.6.2.2" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l7.m1.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.10.10" xref="alg1.l7.m1.10.10.cmml">𝐘</mi><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l7.m1.7.7.1.1" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.2" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.1" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.3" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.2.cmml">+</mo><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.cmml"><msqrt id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.cmml"><mrow id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.cmml"><mn id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3a.cmml">ULA</mtext></msub></mrow></msqrt><mo id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.1" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.2" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.2.cmml">Z</mi><mrow id="alg1.l7.m1.9.9.2.2" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.3.cmml"><mo id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.2" stretchy="false" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l7.m1.8.8.1.1" xref="alg1.l7.m1.8.8.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.3" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mrow id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.cmml"><mi id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.2" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.1" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn 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id="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l7.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1"><plus id="alg1.l7.m1.11.11.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.2"></plus><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1"><minus id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.2"></minus><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.3.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.4"><ci id="alg1.l7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l7.m1.4.4.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1"><times id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.2"></times><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3a.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3"><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.3.3">ULA</mtext></ci></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4"><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1"><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.2">∇</ci><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.1.3">𝑊</ci></apply><log id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.1.2"></log></apply><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.4.2">𝑝</ci></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l7.m1.6.6.2.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.4"><ci id="alg1.l7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l7.m1.6.6.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.6.6.2.2">𝑗</ci></interval></apply><list id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="alg1.l7.m1.10.10.cmml" xref="alg1.l7.m1.10.10">𝐘</ci><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply><apply id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1"><minus id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.1"></minus><ci id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l7.m1.7.7.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3"><times id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.1"></times><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2"><root id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2a.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2"></root><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2"><times id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.1"></times><cn id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.2">2</cn><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3a.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3"><mtext id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.2.2.3.3">ULA</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.11.11.1.3.3.2">𝑍</ci><interval closure="open" id="alg1.l7.m1.9.9.2.3.cmml" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2"><ci id="alg1.l7.m1.8.8.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.8.8.1.1">𝑖</ci><apply id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1"><plus id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.1"></plus><ci id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.2.cmml" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.2">𝑗</ci><cn id="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l7.m1.9.9.2.2.1.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l7.m1.11c">W^{(i,j+1)}=W^{(i,j)}-\delta_{\text{ULA}}\nabla_{W}\log p(W^{(i,j)}\mid\mathbf% {Y},\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\lambda_{\text{W}}^{(i-1)})+\sqrt{2% \delta_{\text{ULA}}}Z^{(i,j+1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l7.m1.11d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_W end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT ∣ bold_Y , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ) + square-root start_ARG 2 italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_Z start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">8:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l8.1">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l8.2">for</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">9:</span> <math alttext="\lambda_{\text{W}}^{(i)}=\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}\left[\lambda_{\text% {W}}^{(i-1)}+\frac{\delta_{\text{PGA}}^{(i-1)}}{2m}\sum_{j=1}^{m}\left\{\frac{% (K+1)\times C}{\lambda_{\text{W}}^{(i-1)}}-\lVert W^{(i,j)}\rVert_{F}^{2}% \right\}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l9.m1.8"><semantics id="alg1.l9.m1.8a"><mrow id="alg1.l9.m1.8.8" xref="alg1.l9.m1.8.8.cmml"><msubsup id="alg1.l9.m1.8.8.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.3.2.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l9.m1.8.8.3.2.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l9.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l9.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l9.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.8.8.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l9.m1.8.8.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.2.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.cmml"><msub id="alg1.l9.m1.8.8.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.2.cmml">Π</mi><msub id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.3.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub></msub><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l9.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="alg1.l9.m1.3.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.cmml"><msubsup id="alg1.l9.m1.3.3.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.2" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mrow id="alg1.l9.m1.3.3.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.cmml"><mn id="alg1.l9.m1.3.3.3.2" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="alg1.l9.m1.3.3.3.1" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="alg1.l9.m1.3.3.3.3" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></mfrac><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="alg1.l9.m1.5.5" xref="alg1.l9.m1.5.5.cmml"><mrow id="alg1.l9.m1.4.4.1" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="alg1.l9.m1.4.4.1.2" rspace="0.222em" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.2.cmml">×</mo><mi id="alg1.l9.m1.4.4.1.3" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.3.cmml">C</mi></mrow><msubsup id="alg1.l9.m1.5.5.2" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.2" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mfrac><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msubsup id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mrow id="alg1.l9.m1.7.7.2.4" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="alg1.l9.m1.7.7.2.4.1" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l9.m1.6.6.1.1" xref="alg1.l9.m1.6.6.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l9.m1.7.7.2.4.2" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="alg1.l9.m1.7.7.2.2" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.2.cmml">j</mi><mo id="alg1.l9.m1.7.7.2.4.3" stretchy="false" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo fence="true" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">F</mi><mn id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.3" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l9.m1.8b"><apply id="alg1.l9.m1.8.8.cmml" 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id="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1"><times id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="alg1.l9.m1.3.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3"><divide id="alg1.l9.m1.3.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3"></divide><apply id="alg1.l9.m1.3.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.3.3.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.3.2">𝛿</ci><ci id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3a.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3"><mtext id="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.3.3">PGA</mtext></ci></apply><apply id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.3.3.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.3"><times id="alg1.l9.m1.3.3.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.1"></times><cn id="alg1.l9.m1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.2">2</cn><ci id="alg1.l9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.3.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><set id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="alg1.l9.m1.5.5.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5"><divide id="alg1.l9.m1.5.5.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5"></divide><apply id="alg1.l9.m1.4.4.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1"><times id="alg1.l9.m1.4.4.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.2"></times><apply id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1"><plus id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.1"></plus><ci id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="alg1.l9.m1.4.4.1.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.4.4.1.3">𝐶</ci></apply><apply id="alg1.l9.m1.5.5.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.5.5.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2">subscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.3.2">𝜆</ci><ci id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3a.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3"><mtext id="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1"><minus id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><interval closure="open" id="alg1.l9.m1.7.7.2.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.4"><ci id="alg1.l9.m1.6.6.1.1.cmml" xref="alg1.l9.m1.6.6.1.1">𝑖</ci><ci id="alg1.l9.m1.7.7.2.2.cmml" xref="alg1.l9.m1.7.7.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><ci id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply><cn id="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></set></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l9.m1.8c">\lambda_{\text{W}}^{(i)}=\Pi_{\Theta_{\lambda_{\text{W}}}}\left[\lambda_{\text% {W}}^{(i-1)}+\frac{\delta_{\text{PGA}}^{(i-1)}}{2m}\sum_{j=1}^{m}\left\{\frac{% (K+1)\times C}{\lambda_{\text{W}}^{(i-1)}}-\lVert W^{(i,j)}\rVert_{F}^{2}% \right\}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l9.m1.8d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Π start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_m end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT { divide start_ARG ( italic_K + 1 ) × italic_C end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - ∥ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } ]</annotation></semantics></math> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">10:</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l10.1">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l10.2">for</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l10a"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline">10:</span> <math alttext="\hat{\lambda}_{\text{W}}^{(n)}=\sum_{i=1}^{n}w^{(i)}\lambda_{\text{W}}^{(i)}/% \sum_{i=1}^{n}w^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l10a.m1.4"><semantics id="alg1.l10a.m1.4a"><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5" xref="alg1.l10a.m1.4.5.cmml"><msubsup id="alg1.l10a.m1.4.5.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l10a.m1.1.1.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l10a.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l10a.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="alg1.l10a.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="alg1.l10a.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.cmml"><msubsup id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.cmml"><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.cmml"><msup id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="alg1.l10a.m1.2.2.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l10a.m1.2.2.1.1" xref="alg1.l10a.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l10a.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="alg1.l10a.m1.3.3.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="alg1.l10a.m1.3.3.1.1" xref="alg1.l10a.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l10a.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.1" rspace="0.055em" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.1.cmml">/</mo><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.cmml"><msubsup id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.1" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.3.cmml">n</mi></msubsup><msup id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.cmml"><mi id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="alg1.l10a.m1.4.4.1.3" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.cmml"><mo id="alg1.l10a.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="alg1.l10a.m1.4.4.1.1" xref="alg1.l10a.m1.4.4.1.1.cmml">i</mi><mo id="alg1.l10a.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l10a.m1.4b"><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5"><eq id="alg1.l10a.m1.4.5.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.1"></eq><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2">superscript</csymbol><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2"><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.1">^</ci><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3a.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3"><mtext id="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l10a.m1.4.5.2.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="alg1.l10a.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3"><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3"><eq id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2"><divide id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.1"></divide><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2"><times id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.1"></times><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="alg1.l10a.m1.2.2.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.2.2.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3a.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3"><mtext id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.2.3.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="alg1.l10a.m1.3.3.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.3.3.1.1">𝑖</ci></apply></apply><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3"><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.2"></sum><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3"><eq id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.3.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.5.3.2.3.2.2">𝑤</ci><ci id="alg1.l10a.m1.4.4.1.1.cmml" xref="alg1.l10a.m1.4.4.1.1">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l10a.m1.4c">\hat{\lambda}_{\text{W}}^{(n)}=\sum_{i=1}^{n}w^{(i)}\lambda_{\text{W}}^{(i)}/% \sum_{i=1}^{n}w^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l10a.m1.4d">over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT / ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> </div> </div> </figure> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS3.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.3.1 </span>SOUL implementation guidelines</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.p1.1">The implementation guidelines and details about the SOUL algorithm can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite> and in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib44" title="">44</a>, Section 3.3]</cite>. For completeness, we will provide some details below.</p> </div> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS1.Px1"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Setting <math alttext="\delta_{\text{PGA}}^{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1b"><msubsup id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3a.cmml">PGA</mtext><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1c"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.2.3">PGA</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1d">\delta_{\text{PGA}}^{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.1.m1.1e">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1b"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1c"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1d">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.2.m2.1e">italic_m</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9">It is suggested in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib44" title="">44</a>]</cite> to set <math alttext="\delta_{\text{PGA}}^{(i)}=C_{0}i^{-p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">C</mi><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.2.cmml">i</mi><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3a" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.2.2.3">PGA</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.2">𝐶</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.2">𝑖</ci><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3"><minus id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3"></minus><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1.2.3.3.3.2">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1c">\delta_{\text{PGA}}^{(i)}=C_{0}i^{-p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUPERSCRIPT - italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.2.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is within the range <math alttext="[0.6,0.9]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.1.1.cmml">0.6</mn><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.2.cmml">0.9</mn><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.3.2"><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.1.1">0.6</cn><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2.2">0.9</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2c">[0.6,0.9]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.3.m3.2d">[ 0.6 , 0.9 ]</annotation></semantics></math> (in our experiments, we set <math alttext="p=0.8" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0.8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1.1.3">0.8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1c">p=0.8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.4.m4.1d">italic_p = 0.8</annotation></semantics></math>) and <math alttext="C_{0}\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1"><in id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.1"></in><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1c">C_{0}\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.5.m5.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> a constant that can be initially set as <math alttext="(\lambda_{\text{W}}^{(0)}\times(K+1)\times C)^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2a"><msup id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2a" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.4.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3a" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1"><times id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.2.3">W</mtext></ci></apply><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.1.1.1.4">𝐶</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3"><minus id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3"></minus><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2.2.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2c">(\lambda_{\text{W}}^{(0)}\times(K+1)\times C)^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.6.m6.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT × ( italic_K + 1 ) × italic_C ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and adjusted as needed. For <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1a"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1b"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.7.m7.1d">italic_m</annotation></semantics></math>, we followed the recommendation in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib44" title="">44</a>]</cite> using a single sample per iteration (that is, <math alttext="m=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1c">m=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.8.m8.1d">italic_m = 1</annotation></semantics></math>), as we did not observe significant differences with larger values of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1a"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1b"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px1.p1.9.m9.1d">italic_m</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS1.Px2"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Setting <math alttext="w^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1b"><msup id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1c"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1d">w^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.1.m1.1e">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> </h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1">According to the guidelines in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib44" title="">44</a>]</cite>, it is recommended to set <math alttext="w^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1a"><msup id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1c">w^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.1.m1.1d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w^{(i)}=\begin{cases}0&\text{if }i<N_{0},\\ 1&\text{if }N_{0}\leq i\leq n,\\ \end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex25.m1.5"><semantics id="S3.Ex25.m1.5a"><mrow id="S3.Ex25.m1.5.6" xref="S3.Ex25.m1.5.6.cmml"><msup id="S3.Ex25.m1.5.6.2" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.5.6.2.2" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.Ex25.m1.5.5.1.3" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.5.5.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex25.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex25.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex25.m1.5.5.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex25.m1.5.6.1" xref="S3.Ex25.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex25.m1.4.4" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.4.4.5" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.Ex25.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtr id="S3.Ex25.m1.4.4.4a" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex25.m1.4.4.4b" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex25.m1.4.4.4c" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2a.cmml">if </mtext><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><</mo><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mn id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex25.m1.4.4.4d" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex25.m1.4.4.4e" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mn id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex25.m1.4.4.4f" xref="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2a.cmml">if </mtext><mo id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mn id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.5" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.6" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex25.m1.5b"><apply id="S3.Ex25.m1.5.6.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.6"><eq id="S3.Ex25.m1.5.6.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.6.1"></eq><apply id="S3.Ex25.m1.5.6.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.6.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex25.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.5.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex25.m1.5.6.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.5">cases</csymbol><cn id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1">0</cn><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1"><lt id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></lt><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><mtext id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">if </mtext></ci><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1">1</cn><apply id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1"><and id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1"></and><apply id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1"><leq id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3"></leq><apply id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2"><times id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2"><mtext id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.2">if </mtext></ci><apply id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1"><leq id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.4.cmml" id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1"></share><ci id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex25.m1.5c">w^{(i)}=\begin{cases}0&\text{if }i<N_{0},\\ 1&\text{if }N_{0}\leq i\leq n,\\ \end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex25.m1.5d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT = { start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL if italic_i < italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL if italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_i ≤ italic_n , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6">where <math alttext="N_{0}\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1"><in id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.1"></in><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1c">N_{0}\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.2.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> is the number of initial iterations to be discarded to reduce non-asymptotic bias, which corresponds to a burn-in stage. The range <math alttext="i\in[N_{0},n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml">[</mo><msub id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2"><in id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.2"></in><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.3">𝑖</ci><interval closure="closed" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2.2.1.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.1.1">𝑛</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2c">i\in[N_{0},n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.3.m2.2d">italic_i ∈ [ italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_n ]</annotation></semantics></math> represents the estimation phase of the averaging where the values of <math alttext="\lambda_{\text{W}}^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1a"><msubsup id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3a.cmml">W</mtext><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.2.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1c">\lambda_{\text{W}}^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.4.m3.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> have reached convergence and stabilised. In the interest of computational efficiency, we have set in our experiments <math alttext="N_{0}=75" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.3.cmml">75</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1.1.3">75</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1c">N_{0}=75</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.5.m4.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 75</annotation></semantics></math> and <math alttext="n=150" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.3.cmml">150</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1.1.3">150</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1c">n=150</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px2.p1.6.m5.1d">italic_n = 150</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_paragraph" id="S3.SS3.SSS1.Px3"> <h5 class="ltx_title ltx_title_paragraph">Implementation in Logarithmic Scale</h5> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4">The proposed methods for estimating <math alttext="\lambda_{\text{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1c">\lambda_{\text{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> generally achieve better numerical convergence when implemented on a logarithmic scale, as recommended in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib44" title="">44</a>, Section 3.3.2]</cite>. Therefore, we apply a variable transformation <math alttext="\kappa=\log(\lambda_{\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">κ</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.1.1.cmml">log</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1a" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.2"></eq><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.3">𝜅</ci><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1"><log id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.1.1"></log><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2c">\kappa=\log(\lambda_{\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.2.m2.2d">italic_κ = roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, estimate <math alttext="\hat{\kappa}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1.1.2">𝜅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1c">\hat{\kappa}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_κ end_ARG</annotation></semantics></math> using the SOUL algorithm, and then determine <math alttext="\hat{\lambda}_{\text{W}}=e^{\hat{\kappa}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">e</mi><mover accent="true" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.2.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝜅</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1c">\hat{\lambda}_{\text{W}}=e^{\hat{\kappa}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p1.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_κ end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1">This variable transformation necessitates a slight modification in the gradient calculations, which must be scaled by <math alttext="e^{\kappa^{(n)}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1a"><msup id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.2.cmml">e</mi><msup id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml">κ</mi><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.3">𝜅</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1c">e^{\kappa^{(n)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to adhere to the chain rule. For instance, step 9 in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#alg1" title='Algorithm 1 ‣ 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is updated to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\kappa^{(i+1)}=\Pi_{\Theta_{\kappa}}\left[\kappa^{(i)}+e^{\kappa^{(i)}}\frac{% \delta_{\text{PGA}}^{(i+1)}}{2m}\sum_{j=1}^{m}\left\{\left((K+1)\times C\times e% ^{-\kappa^{(i)}}\right)-\lVert W^{(i,j)}\rVert_{F}^{2}\right\}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex26.m1.8"><semantics id="S3.Ex26.m1.8a"><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">Π</mi><msub id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.3.3.3.cmml">κ</mi></msub></msub><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">κ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex26.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><msup id="S3.Ex26.m1.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.3.cmml">κ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></msup></msup><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.Ex26.m1.4.4" xref="S3.Ex26.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S3.Ex26.m1.4.4.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.Ex26.m1.4.4.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.3.3a.cmml">PGA</mtext><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mrow id="S3.Ex26.m1.4.4.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.4.4.3.2" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex26.m1.4.4.3.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.3.3" xref="S3.Ex26.m1.4.4.3.3.cmml">m</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><msup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.5.5.1" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.5.5.1a" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex26.m1.5.5.1.3" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.2.cmml">κ</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.5.5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.5.5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.5.5.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><msubsup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo><msup id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.7.7.2.4" xref="S3.Ex26.m1.7.7.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.7.7.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.7.7.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.7.7.2.4.2" xref="S3.Ex26.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.7.7.2.2" xref="S3.Ex26.m1.7.7.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex26.m1.7.7.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.7.7.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo fence="true" id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" 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roman_Π start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT [ italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT PGA end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_m end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT { ( ( italic_K + 1 ) × italic_C × italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_κ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) - ∥ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3">where <math alttext="\Theta_{\kappa}=\{\log(\lambda_{\text{W}}):\lambda_{\text{W}}\in\Theta_{% \lambda_{\text{W}}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3a"><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.3.cmml">κ</mi></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">Θ</mi><msub id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></msub></mrow><mo id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3b"><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3"><eq id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.2">Θ</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.4.3">𝜅</ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1"><log id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.1.1"></log><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">W</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2"><in id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.1"></in><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.2">Θ</ci><apply id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3a.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3"><mtext id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3.3.2.2.2.3.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3c">\Theta_{\kappa}=\{\log(\lambda_{\text{W}}):\lambda_{\text{W}}\in\Theta_{% \lambda_{\text{W}}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.2.m1.3d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT = { roman_log ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) : italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> represents the permissible range of <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1a"><mi id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1.1" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1b"><ci id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.SSS1.Px3.p2.3.m2.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> values taken logarithmically.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.4 </span>Gradient of ridge multinomial logistic regression</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.1">In the ULA step of the SOUL method and the computation of <math alttext="\mathbf{\hat{W}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.2">𝐖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">\mathbf{\hat{W}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG bold_W end_ARG</annotation></semantics></math> which will be further explained, we need to compute the gradient of the logarithm of the ridge multinomial logistic regression model, that is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})=\nabla_{\mathbf{w}}\left[\sum_{i=1}^{N}% \sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}\left\langle\widetilde{\boldsymbol{% \gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle+\sum_{i=1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum% _{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{% \prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}+\frac{1}{2}\hat{\lambda}_{\text{W}}\lVert% \mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex27.m1.5"><semantics id="S3.Ex27.m1.5a"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.3.cmml">𝐰</mi></msub><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">𝐰</mi></msub><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3" rspace="0.055em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" 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id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.1a" lspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex27.m1.4.4" xref="S3.Ex27.m1.4.4.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.3" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" 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id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2">∇</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.2.1.1.3">𝐰</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1"><plus id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3"></plus><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3"><eq id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1"><log id="S3.Ex27.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3"></log><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S3.Ex27.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2"></exp><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4"><times id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.1"></times><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2"><divide id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2"></divide><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2"><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3a.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3"><mtext id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.4.4">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.4.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex27.m1.5c">\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})=\nabla_{\mathbf{w}}\left[\sum_{i=1}^{N}% \sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}\left\langle\widetilde{\boldsymbol{% \gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle+\sum_{i=1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum% _{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{% \prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}+\frac{1}{2}\hat{\lambda}_{\text{W}}\lVert% \mathbf{W}\rVert_{F}^{2}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex27.m1.5d">∇ start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) = ∇ start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ⟩ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.6">This gradient is a well-known result in the literature (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib15" title="">15</a>, Ex. 4.4]</cite>). Since it involves an expectation that does not have a closed-form solution, we must compute a Monte Carlo estimate of this log-sum-exp expectation term beforehand. This process was previously explained in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS2" title="3.2 Expectation of the log-sum-exp expression in 𝑄⁢(𝚫∣𝚫^(𝑡)) ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>. The gradient is then given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx6"> <tbody id="S3.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma% }}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex28.m1.2"><semantics id="S3.Ex28.m1.2a"><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.cmml"><msub id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3.cmml">𝐰</mi></msub><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex28.m1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m1.2b"><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2"><times id="S3.Ex28.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3"><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1"><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.2">∇</ci><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.1.3">𝐰</ci></apply><log id="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.1.2"></log></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex28.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m1.2c">\displaystyle\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma% }}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m1.2d">∇ start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\approx-\frac{1}{J}\sum_{j=1}^{J}\widetilde{\boldsymbol{\Gamma}}^% {\prime(j)\mathsf{T}}\left[p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(j)},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}}\right)-\mathbf{Y}\right]+\hat{% \lambda}_{\text{W}}\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex28.m2.8"><semantics id="S3.Ex28.m2.8a"><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8" xref="S3.Ex28.m2.8.8.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.2.cmml">≈</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1a" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3a" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.3.3.cmml">J</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.Ex28.m2.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex28.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.1" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex28.m2.3.3.3.3.2.3.cmml">𝖳</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex28.m2.6.6.3.3" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.5.5.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.Ex28.m2.5.5.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.Ex28.m2.6.6.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex28.m2.6.6.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex28.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex28.m2.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex28.m2.6.6.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex28.m2.7.7" xref="S3.Ex28.m2.7.7.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐘</mi></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.1" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.3" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.3.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m2.8b"><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8"><approx id="S3.Ex28.m2.8.8.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.2"></approx><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex28.m2.8.8.3.cmml" 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xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml" 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id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.Ex28.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex28.m2.6.6.3.3"><ci id="S3.Ex28.m2.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.5.5.2.2.1">′</ci><ci id="S3.Ex28.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.4.4.1.1">𝑗</ci></list></apply><ci id="S3.Ex28.m2.7.7.cmml" xref="S3.Ex28.m2.7.7">𝐖</ci><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3"><times id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2"><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3"><mtext id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.2.3">W</mtext></ci></apply><ci id="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m2.8.8.1.3.3">𝐖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m2.8c">\displaystyle\approx-\frac{1}{J}\sum_{j=1}^{J}\widetilde{\boldsymbol{\Gamma}}^% {\prime(j)\mathsf{T}}\left[p\left(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(j)},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}}\right)-\mathbf{Y}\right]+\hat{% \lambda}_{\text{W}}\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m2.8d">≈ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_J end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_j ) sansserif_T end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_j ) end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) - bold_Y ] + over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT bold_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\coloneq\overline{\nabla}_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde% {\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex29.m1.2"><semantics id="S3.Ex29.m1.2a"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.2.cmml">:-</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">∇</mo><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">𝐰</mi></msub><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex29.m1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex29.m1.2b"><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1"><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.2">:-</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.2.2">∇</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝐰</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4"><log id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.1"></log><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.4.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex29.m1.2c">\displaystyle\coloneq\overline{\nabla}_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde% {\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex29.m1.2d">:- over¯ start_ARG ∇ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.5">where we have generated a collection of <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime(1)},\ldots,\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(J)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m1.9"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m1.9a"><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.3.cmml"><msup id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.1" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.3" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p1.2.m1.7.7.cmml">…</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.4" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.5.5.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.SS4.p1.2.m1.5.5.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m1.4.4.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m1.4.4.1.1.cmml">J</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m1.9b"><list id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2"><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2"><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.8.8.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.3.3.3.3"><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.2.2.2.2.1">′</ci><cn id="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.2.m1.1.1.1.1">1</cn></list></apply><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.7.7.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.7.7">…</ci><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2"><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.9.9.2.2.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.6.6.3.3"><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.5.5.2.2.1">′</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m1.4.4.1.1">𝐽</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m1.9c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime(1)},\ldots,\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(J)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m1.9d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_J ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> samples from <math alttext="p(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{% \theta}},\mathbf{W})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m2.5"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m2.5a"><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.1" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.3.m2.4.4" xref="S3.SS4.p1.3.m2.4.4.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m2.5b"><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5"><times id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.2"></times><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.3">𝑝</ci><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1"><eq id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2"><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3"><times id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.2">1</cn><list id="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.5.5.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.1.1">𝐘</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.2.2">𝐓</ci><apply id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3"><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.3.3.2">𝜽</ci></apply><ci id="S3.SS4.p1.3.m2.4.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m2.4.4">𝐖</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m2.5c">p(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{% \theta}},\mathbf{W})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m2.5d">italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ bold_Y , bold_T , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , bold_W )</annotation></semantics></math> to compute the Monte Carlo estimate, as explained in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS2" title="3.2 Expectation of the log-sum-exp expression in 𝑄⁢(𝚫∣𝚫^(𝑡)) ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>. In addition, <math alttext="p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_% {\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.4.m3.2"><semantics id="S3.SS4.p1.4.m3.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.4.m3.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.4.m3.2b"><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2"><times id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.2"></times><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS4.p1.4.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.4.m3.2c">p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{W},\hat{\lambda}_% {\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.4.m3.2d">italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E5" title="In 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>). We have empirically found that <math alttext="T=30" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.5.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p1.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.3.cmml">30</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.5.m4.1b"><apply id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1"><eq id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.5.m4.1.1.3">30</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.5.m4.1c">T=30</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.5.m4.1d">italic_T = 30</annotation></semantics></math> is enough to reach a good accuracy level while maintaining a low computational cost.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.5 </span>Maximisation step regarding the variable <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.1.m1.1b"><mi id="S3.SS5.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.1.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.1.m1.1c"><ci id="S3.SS5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.1.m1.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.1.m1.1d">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.1.m1.1e">bold_W</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.4">Finally, the last expression to compute in the new SSLB model is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\mathbf{W}}=\underset{\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}{% \operatorname{argmin}}\sum_{i=1}^{N}\sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}% \left\langle\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle+\sum_{i=% 1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}% \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}+% \frac{1}{2}\hat{\lambda}_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex30.m1.5"><semantics id="S3.Ex30.m1.5a"><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.Ex30.m1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.2.cmml">argmin</mi><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.3.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex30.m1.1.1.1.4" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow></munder><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="0.055em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">N</mi></munderover><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.3.3.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" maxsize="260%" minsize="260%" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml"><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1a" lspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="S3.Ex30.m1.4.4" xref="S3.Ex30.m1.4.4.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.3" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex30.m1.5b"><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1"><eq id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4"><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.1">^</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.4.2">𝐖</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2"><plus id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1"><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1"><in id="S3.Ex30.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.2"></in><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.3">𝐖</ci><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.4.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.2">argmin</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><eq id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"><log id="S3.Ex30.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.3.3"></log><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="S3.Ex30.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.2.2"></exp><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4"><times id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.1"></times><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2"><divide id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2"></divide><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.2">1</cn><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2"><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3a.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3"><mtext id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.4.4">𝐖</ci></apply><ci id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.5.5.1.1.2.4.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex30.m1.5c">\widehat{\mathbf{W}}=\underset{\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C}}{% \operatorname{argmin}}\sum_{i=1}^{N}\sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}% \left\langle\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle+\sum_{i=% 1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w}_{l}^{T}% \widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]\Biggr{\rangle}+% \frac{1}{2}\hat{\lambda}_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex30.m1.5d">over^ start_ARG bold_W end_ARG = start_UNDERACCENT bold_W ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT end_UNDERACCENT start_ARG roman_argmin end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ⟩ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.5">Since there is no close-form solution for the latter, we decided to implement an accelerated gradient descent (AGD) algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib27" title="">27</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib14" title="">14</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib40" title="">40</a>]</cite> to ensure rapid convergence to the minimum. To apply AGD, we need the gradient of the latter expression, which was given in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS4" title="3.4 Gradient of ridge multinomial logistic regression ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.4</span></a>. This allows us to define the following iterative scheme</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{W}^{(0)}=\mathbf{W}^{(-1)}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C};\;% \mathbf{V}^{(0)}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C};\;t_{0}=0\in\mathbb{R}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex31.m1.6"><semantics id="S3.Ex31.m1.6a"><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1"><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex31.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex31.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1a" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml">𝟎</mn><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex31.m1.3.3.1" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.3.3.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex31.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.3" rspace="0.447em" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S3.Ex31.m1.4.4.1.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex31.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex31.m1.4.4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex31.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Ex31.m1.5.5.1" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.5.5.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.Ex31.m1.5.5.1.3" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.3.cmml">C</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" rspace="0.447em" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.3a.cmml">;</mo><mrow id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.5" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.5.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.6" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.6.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex31.m1.6b"><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"><and id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝐖</ci><cn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1"></minus><cn id="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"></share><cn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.6">0</cn></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1e.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"><in id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1f.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.1.1.8.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex31.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1"><times id="S3.Ex31.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex31.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.3.3.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><in id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2">𝐕</ci><cn id="S3.Ex31.m1.4.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.4.4.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.Ex31.m1.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1"><times id="S3.Ex31.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.2"></times><apply id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1"><plus id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex31.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.5.5.1.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><and id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"></and><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2b.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑡</ci><cn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4">0</cn></apply><apply id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2c.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><in id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.4.cmml" id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2d.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"></share><ci id="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex31.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.6">ℝ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex31.m1.6c">\mathbf{W}^{(0)}=\mathbf{W}^{(-1)}=\mathbf{0}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C};\;% \mathbf{V}^{(0)}\in\mathbb{R}^{(K+1)\times C};\;t_{0}=0\in\mathbb{R},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex31.m1.6d">bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT = bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT = bold_0 ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT ; bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K + 1 ) × italic_C end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_t start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0 ∈ blackboard_R ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx7"> <tbody id="S3.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle t_{s+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex32.m1.1"><semantics id="S3.Ex32.m1.1a"><msub id="S3.Ex32.m1.1.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S3.Ex32.m1.1.1.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.3.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex32.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m1.1b"><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3"><plus id="S3.Ex32.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex32.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m1.1c">\displaystyle t_{s+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1+\sqrt{1+4t_{s}^{2}}}{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex32.m2.1"><semantics id="S3.Ex32.m2.1a"><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><msqrt id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">4</mn><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.3.cmml">s</mi><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></msqrt></mrow><mn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex32.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m2.1b"><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1"><eq id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2"><plus id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.1"></plus><cn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3"><root id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3"></root><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2"><plus id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.1"></plus><cn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">4</cn><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m2.1c">\displaystyle=\frac{1+\sqrt{1+4t_{s}^{2}}}{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m2.1d">= divide start_ARG 1 + square-root start_ARG 1 + 4 italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG 2 end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{V}^{(s)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex33.m1.1"><semantics id="S3.Ex33.m1.1a"><msup id="S3.Ex33.m1.1.2" xref="S3.Ex33.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.2.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex33.m1.1b"><apply id="S3.Ex33.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.2.2">𝐕</ci><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m1.1c">\displaystyle\mathbf{V}^{(s)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex33.m1.1d">bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathbf{W}^{(s)}+\frac{t_{s}-1}{t_{s+1}}\left(\mathbf{W}^{(s)}-% \mathbf{W}^{(s-1)}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex33.m2.4"><semantics id="S3.Ex33.m2.4a"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex33.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex33.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3a" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">t</mi><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex33.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex33.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex33.m2.2.2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex33.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex33.m2.4.4.1.2" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex33.m2.4b"><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1"><eq id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1"><plus id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.3.2">𝐖</ci><ci id="S3.Ex33.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.1.1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1"><times id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2"><minus id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex33.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" 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id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m2.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m2.4c">\displaystyle=\mathbf{W}^{(s)}+\frac{t_{s}-1}{t_{s+1}}\left(\mathbf{W}^{(s)}-% \mathbf{W}^{(s-1)}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex33.m2.4d">= bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_s + 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) end_POSTSUPERSCRIPT - bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbf{W}^{(s+1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m1.1"><semantics id="S3.Ex34.m1.1a"><msup id="S3.Ex34.m1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.2.2" xref="S3.Ex34.m1.1.2.2.cmml">𝐖</mi><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m1.1b"><apply id="S3.Ex34.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.2.2">𝐖</ci><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m1.1c">\displaystyle\mathbf{W}^{(s+1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m1.1d">bold_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s + 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathbf{V}^{(s)}+\delta_{\text{AGD}}\overline{\nabla}_{\mathbf{w% }}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{V}^{(s)},% \hat{\lambda}_{\text{W}})," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex34.m2.3"><semantics id="S3.Ex34.m2.3a"><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S3.Ex34.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex34.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex34.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3a.cmml">AGD</mtext></msub><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">∇</mo><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">𝐰</mi></msub><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml">log</mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml">⁡</mo><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2b" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S3.Ex34.m2.2.2.1.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex34.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex34.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex34.m2.3.3.1.2" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m2.3b"><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1"><eq id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1"><plus id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.3.2">𝐕</ci><ci id="S3.Ex34.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.1.1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.3.3">AGD</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2"><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.1">¯</ci><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2">∇</ci></apply><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.4.3">𝐰</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5"><log id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.1"></log><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.5.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5">𝐘</ci><list id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐕</ci><ci id="S3.Ex34.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.2.2.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2"><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3a.cmml" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><mtext id="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex34.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m2.3c">\displaystyle=\mathbf{V}^{(s)}+\delta_{\text{AGD}}\overline{\nabla}_{\mathbf{w% }}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},\mathbf{V}^{(s)},% \hat{\lambda}_{\text{W}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m2.3d">= bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG ∇ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_V start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) end_POSTSUPERSCRIPT , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="s\in\{0,\ldots,S-1\}\subset\mathbb{N}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex35.m1.3"><semantics id="S3.Ex35.m1.3a"><mrow id="S3.Ex35.m1.3.3.1" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">{</mo><mn id="S3.Ex35.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex35.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex35.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.5.cmml">⊂</mo><mi id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.6" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.6.cmml">ℕ</mi></mrow><mo id="S3.Ex35.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.3b"><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1"><and id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1"></and><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1"><in id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.4"></in><ci id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.3">𝑠</ci><set id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1"><cn id="S3.Ex35.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m1.1.1">0</cn><ci id="S3.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><cn id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></set></apply><apply id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1"><subset id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.Ex35.m1.3.3.1.1.1.cmml" id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1"></share><ci id="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex35.m1.3.3.1.1.6">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.3c">s\in\{0,\ldots,S-1\}\subset\mathbb{N},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.3d">italic_s ∈ { 0 , … , italic_S - 1 } ⊂ blackboard_N ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS5.p1.3">where <math alttext="\delta_{\text{AGD}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS5.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3a.cmml">AGD</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS5.p1.1.m1.1.1.3">AGD</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.1.m1.1c">\delta_{\text{AGD}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the step size or learning rate of the iterative AGD scheme, which must be carefully set to avoid divergence. Note that, on each AGD iteration, we need to generate a collection of <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime(1)},\ldots,\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(J)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.2.m2.9"><semantics id="S3.SS5.p1.2.m2.9a"><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.3.cmml"><msup id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.SS5.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.3" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.7.7" mathvariant="normal" xref="S3.SS5.p1.2.m2.7.7.cmml">…</mi><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.4" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.5.5.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.SS5.p1.2.m2.5.5.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml">⁣</mo><mrow id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3.2.2" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.SS5.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.SS5.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml">J</mi><mo id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.2.m2.9b"><list id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2"><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2"><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.8.8.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.3.3.3.3"><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.2.2.2.2.1">′</ci><cn id="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.p1.2.m2.1.1.1.1">1</cn></list></apply><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.7.7.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.7.7">…</ci><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2"><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.9.9.2.2.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.6.6.3.3"><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.5.5.2.2.1">′</ci><ci id="S3.SS5.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.2.m2.4.4.1.1">𝐽</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.2.m2.9c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime(1)},\ldots,\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{% \prime(J)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.2.m2.9d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ ( italic_J ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> samples from <math alttext="p(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{% \theta}},\mathbf{W})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS5.p1.3.m3.5"><semantics id="S3.SS5.p1.3.m3.5a"><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.3.cmml">p</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.2.2.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.2" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.1" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS5.p1.3.m3.4.4" xref="S3.SS5.p1.3.m3.4.4.cmml">𝐖</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS5.p1.3.m3.5b"><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5"><times id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.2"></times><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.3">𝑝</ci><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1"><eq id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2"><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3"><times id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><cn id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.2">1</cn><list id="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.1.1">𝐘</ci><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.2.2">𝐓</ci><apply id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3"><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.1">~</ci><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.3.3.2">𝜽</ci></apply><ci id="S3.SS5.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.SS5.p1.3.m3.4.4">𝐖</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS5.p1.3.m3.5c">p(\widetilde{\gamma}_{ik}=1\mid\mathbf{Y},\mathbf{T},\widetilde{\boldsymbol{% \theta}},\mathbf{W})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS5.p1.3.m3.5d">italic_p ( over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 1 ∣ bold_Y , bold_T , over~ start_ARG bold_italic_θ end_ARG , bold_W )</annotation></semantics></math> to compute the Monte Carlo estimate of the gradient.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS6"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.6 </span>Step size <math alttext="\delta_{\text{ULA}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS6.1.m1.1b"><msub id="S3.SS6.1.m1.1.1" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.3a.cmml">ULA</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.1.m1.1c"><apply id="S3.SS6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS6.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.1.m1.1.1.3">ULA</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.1.m1.1d">\delta_{\text{ULA}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.1.m1.1e">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> & <math alttext="\delta_{\text{AGD}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.2.m2.1"><semantics id="S3.SS6.2.m2.1b"><msub id="S3.SS6.2.m2.1.1" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.3a.cmml">AGD</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.2.m2.1c"><apply id="S3.SS6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.3"><mtext id="S3.SS6.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.2.m2.1.1.3">AGD</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.2.m2.1d">\delta_{\text{AGD}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.2.m2.1e">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS6.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS6.p1.4">Determining suitable step sizes for the ULA and AGD algorithms is essential for guaranteeing convergence and computational efficiency. The literature offers well-established guidance on selecting the step size <math alttext="\delta_{\text{AGD}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS6.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3a.cmml">AGD</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p1.1.m1.1.1.3">AGD</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p1.1.m1.1c">\delta_{\text{AGD}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p1.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Specifically, <math alttext="\delta_{\text{AGD}}\leq 1/L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS6.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3a.cmml">AGD</mtext></msub><mo id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1"><leq id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.1"></leq><apply id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.2.3">AGD</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3"><divide id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.2.m2.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p1.2.m2.1c">\delta_{\text{AGD}}\leq 1/L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p1.2.m2.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1 / italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS6.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.3.m3.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p1.3.m3.1c">L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Lipschitz constant of <math alttext="\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.SS6.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.cmml"><msub id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.3.cmml">𝐰</mi></msub><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2"><times id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.2"></times><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3"><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1"><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.2">∇</ci><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.1.3">𝐰</ci></apply><log id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.1.2"></log></apply><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p1.4.m4.2c">\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p1.4.m4.2d">∇ start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS6.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS6.p2.2">The value of <math alttext="L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS6.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p2.1.m1.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p2.1.m1.1c">L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p2.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be obtained from the Hessian of the objective function. For multinomial logistic regression <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>, <math alttext="L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS6.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p2.2.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p2.2.m2.1c">L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L_{f}=\lambda_{\max}\left[\frac{1}{2}\left(\textbf{I}_{C}-\mathbf{1}_{C}% \mathbf{1}_{C}^{T}/C\right)\otimes\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime T}\tilde% {\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime}\right]+\lambda_{\text{W}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex36.m1.3"><semantics id="S3.Ex36.m1.3a"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">I</mtext><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">𝟏</mn><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">C</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><msup id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex36.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.2.2.1" mathsize="142%" xref="S3.Ex36.m1.2.2.2.2.1.cmml">′</mo><mo id="S3.Ex36.m1.2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml">⁣</mo><mi id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml">T</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex36.m1.3b"><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><max id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"></max></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">I</mtext></ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝐶</ci></apply><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑇</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝚪</ci></apply><list id="S3.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex36.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.2.2.2.2.1">′</ci><ci id="S3.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1.1.1">𝑇</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3">W</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex36.m1.3c">L_{f}=\lambda_{\max}\left[\frac{1}{2}\left(\textbf{I}_{C}-\mathbf{1}_{C}% \mathbf{1}_{C}^{T}/C\right)\otimes\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime T}\tilde% {\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime}\right]+\lambda_{\text{W}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex36.m1.3d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT [ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( I start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT - bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT bold_1 start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT / italic_C ) ⊗ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] + italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS6.p2.3">where <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p2.3.m1.1"><semantics id="S3.SS6.p2.3.m1.1a"><mi id="S3.SS6.p2.3.m1.1.1" xref="S3.SS6.p2.3.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p2.3.m1.1b"><ci id="S3.SS6.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p2.3.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p2.3.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p2.3.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is the number of classes of the multinomial logistic regression model. This ensures that the AGD update step remains within a stable region, facilitating steady progress towards the optimal solution.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS6.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS6.p3.5">For the ULA in the SOUL method, when <math alttext="\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.SS6.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml"><msub id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.3.cmml">𝐰</mi></msub><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.2.cmml">log</mi></mrow><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3a" lspace="0.167em" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.cmml">⁡</mo><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">𝐘</mi><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.4" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">W</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2"><times id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3"><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1"><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.2">∇</ci><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.1.3">𝐰</ci></apply><log id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.1.2"></log></apply><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">conditional</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.4">𝐘</ci><list id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2"><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.1.1">𝐖</ci><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><mtext id="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">W</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p3.1.m1.2c">\nabla_{\mathbf{w}}\log p(\mathbf{Y}\mid\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}^{\prime},% \mathbf{W},\hat{\lambda}_{\text{W}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p3.1.m1.2d">∇ start_POSTSUBSCRIPT bold_w end_POSTSUBSCRIPT roman_log italic_p ( bold_Y ∣ over~ start_ARG bold_Γ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_W , over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is Lipschitz continuous with Lipschitz constant <math alttext="L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS6.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.2.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p3.2.m2.1c">L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p3.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, it has been shown that <math alttext="\delta_{\text{ULA}}\in(0,2/L_{f}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p3.3.m3.2"><semantics id="S3.SS6.p3.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.2" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.2" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS6.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS6.p3.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p3.3.m3.2b"><apply id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2"><in id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.2"></in><apply id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3a.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3"><mtext id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.3.3">ULA</mtext></ci></apply><interval closure="open-closed" id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1"><cn id="S3.SS6.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS6.p3.3.m3.1.1">0</cn><apply id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1"><divide id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.2">2</cn><apply id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.3.m3.2.2.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p3.3.m3.2c">\delta_{\text{ULA}}\in(0,2/L_{f}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p3.3.m3.2d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT ∈ ( 0 , 2 / italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> ensures that the Markov chain <math alttext="(W^{(k)})_{k\geq 0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p3.4.m4.2"><semantics id="S3.SS6.p3.4.m4.2a"><msub id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">W</mi><mrow id="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.2" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.1" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.3" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p3.4.m4.2b"><apply id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3"><geq id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.1"></geq><ci id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS6.p3.4.m4.2.2.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p3.4.m4.2c">(W^{(k)})_{k\geq 0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p3.4.m4.2d">( italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k ≥ 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> described in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.E8" title='In 3.3 Estimation of hyperparameter 𝜆_"W" ‣ 3 Methodology ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis'><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) is ergodic with stationary distribution close to the true target distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. Therefore, following both AGD and ULA specifications, we have decided to set <math alttext="\delta_{\text{AGD}}=\delta_{\text{ULA}}=0.95/L_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS6.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS6.p3.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3a.cmml">AGD</mtext></msub><mo id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.2" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.2.cmml">δ</mi><mtext id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3a.cmml">ULA</mtext></msub><mo id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.5" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.cmml"><mn id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.2" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.2.cmml">0.95</mn><mo id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.1" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.2" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.3" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS6.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1"><and id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1a.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1"></and><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1b.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.2.3">AGD</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3"><mtext id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.3">ULA</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1c.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S3.SS6.p3.5.m5.1.1.4.cmml" id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1d.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1"></share><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6"><divide id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.1"></divide><cn id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.2.cmml" type="float" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.2">0.95</cn><apply id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.SS6.p3.5.m5.1.1.6.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS6.p3.5.m5.1c">\delta_{\text{AGD}}=\delta_{\text{ULA}}=0.95/L_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS6.p3.5.m5.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT AGD end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT ULA end_POSTSUBSCRIPT = 0.95 / italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS6.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS6.p4.1">With the methodology established, we will refer to this modified version of the SSLB model as <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS6.p4.1.1">OG-SSLB</span>, which stands for <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.SS6.p4.1.2">Outcome-Guided Spike-and-Slab Lasso Biclustering</span>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Numerical Results</h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Simulation Study</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">In this section, we evaluate the performance of OG-SSLB compared to SSLB in a simulation setting. We use the consensus score metric <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> to measure the accuracy of biclusters identified by each method relative to the true biclusters. The highest possible consensus score is 1, indicating identical sets of biclusters.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.14">We reproduce the simulation described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 3.1]</cite>, where a simulated dataset with <math alttext="N=300" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">300</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.3">300</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">N=300</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">italic_N = 300</annotation></semantics></math>, <math alttext="G=1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝐺</ci><cn id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">G=1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">italic_G = 1000</annotation></semantics></math>, and <math alttext="K=15" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">15</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.3.m3.1.1.3">15</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.3.m3.1c">K=15</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.3.m3.1d">italic_K = 15</annotation></semantics></math> biclusters is examined. The data simulation follows settings closely aligned with those in the FABIA <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite> and SSLB studies. The data matrix <math alttext="\mathbf{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p2.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">𝐗</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m4.1.1">𝐗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.4.m4.1c">\mathbf{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.4.m4.1d">bold_X</annotation></semantics></math> is generated as <math alttext="\mathbf{\Lambda Z}^{T}+\mathbf{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">𝚲</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">𝐙</mi><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></msup></mrow><mo id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">𝐄</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1"><plus id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2"><times id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.2">𝚲</ci><apply id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.2">𝐙</ci><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m5.1.1.3">𝐄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.5.m5.1c">\mathbf{\Lambda Z}^{T}+\mathbf{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.5.m5.1d">bold_Λ bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT + bold_E</annotation></semantics></math>, with each entry in the noise matrix <math alttext="\mathbf{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.6.m6.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.6.m6.1c">\mathbf{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.6.m6.1d">bold_E</annotation></semantics></math> sampled from an independent standard normal distribution. For each column <math alttext="\boldsymbol{\lambda}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p2.7.m7.1a"><msup id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.7.m7.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.7.m7.1c">\boldsymbol{\lambda}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.7.m7.1d">bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the number of samples in bicluster <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p2.8.m8.1a"><mi id="S4.SS1.p2.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.8.m8.1b"><ci id="S4.SS1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.8.m8.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.8.m8.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.8.m8.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is drawn uniformly from <math alttext="\{5,\ldots,20\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.9.m9.3"><semantics id="S4.SS1.p2.9.m9.3a"><mrow id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml">{</mo><mn id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml">5</mn><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2.3" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.cmml">20</mn><mo id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.9.m9.3b"><set id="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.4.2"><cn id="S4.SS1.p2.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.9.m9.1.1">5</cn><ci id="S4.SS1.p2.9.m9.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.9.m9.2.2">…</ci><cn id="S4.SS1.p2.9.m9.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.9.m9.3.3">20</cn></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.9.m9.3c">\{5,\ldots,20\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.9.m9.3d">{ 5 , … , 20 }</annotation></semantics></math>. The indices of these elements are randomly selected and assigned values from <math alttext="N(\pm 2,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.10.m10.2"><semantics id="S4.SS1.p2.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1a" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.cmml">±</mo><mn id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p2.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.10.m10.2b"><apply id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2"><times id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.2"></times><ci id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1"><apply id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1">plus-or-minus</csymbol><cn id="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.10.m10.2.2.1.1.1.2">2</cn></apply><cn id="S4.SS1.p2.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.10.m10.1.1">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.10.m10.2c">N(\pm 2,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.10.m10.2d">italic_N ( ± 2 , 1 )</annotation></semantics></math>, with the sign of the mean chosen randomly. The elements of <math alttext="\boldsymbol{\lambda}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p2.11.m11.1a"><msup id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.11.m11.1b"><apply id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.11.m11.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.11.m11.1c">\boldsymbol{\lambda}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.11.m11.1d">bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> not in the biclusters have values drawn from <math alttext="N(0,0.2^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.12.m12.2"><semantics id="S4.SS1.p2.12.m12.2a"><mrow id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.3.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p2.12.m12.1.1" xref="S4.SS1.p2.12.m12.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml">0.2</mn><mn id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.12.m12.2b"><apply id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2"><times id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.2"></times><ci id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1"><cn id="S4.SS1.p2.12.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.12.m12.1.1">0</cn><apply id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml" type="float" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.2">0.2</cn><cn id="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.12.m12.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.12.m12.2c">N(0,0.2^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.12.m12.2d">italic_N ( 0 , 0.2 start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The columns <math alttext="\mathbf{z}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.13.m13.1"><semantics id="S4.SS1.p2.13.m13.1a"><msup id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mi id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.13.m13.1b"><apply id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.2">𝐳</ci><ci id="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.13.m13.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.13.m13.1c">\mathbf{z}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.13.m13.1d">bold_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are generated similarly, except that the number of elements in each bicluster is drawn from <math alttext="\{10,\ldots,50\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.14.m14.3"><semantics id="S4.SS1.p2.14.m14.3a"><mrow id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml">{</mo><mn id="S4.SS1.p2.14.m14.1.1" xref="S4.SS1.p2.14.m14.1.1.cmml">10</mn><mo id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.14.m14.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p2.14.m14.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2.3" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p2.14.m14.3.3" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.3.cmml">50</mn><mo id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.14.m14.3b"><set id="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.4.2"><cn id="S4.SS1.p2.14.m14.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.14.m14.1.1">10</cn><ci id="S4.SS1.p2.14.m14.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.14.m14.2.2">…</ci><cn id="S4.SS1.p2.14.m14.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p2.14.m14.3.3">50</cn></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.14.m14.3c">\{10,\ldots,50\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.14.m14.3d">{ 10 , … , 50 }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.2">To construct the disease outcome matrix <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> for the OG-SSLB algorithm, we first generate a matrix of weights <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.1d">bold_W</annotation></semantics></math> in the following way</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i1.p1.1.1">Intercepts (Baseline Weights for Healthy Control Group)</span>: The first row of <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, representing the intercepts, is initialised with small values</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{1j}=\log(\epsilon)\quad\text{for all }j," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex37.m1.3"><semantics id="S4.Ex37.m1.3a"><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mn id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex37.m1.1.1" xref="S4.Ex37.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex37.m1.2.2" xref="S4.Ex37.m1.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mspace id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.3" width="1em" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mtext id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2a.cmml">for all </mtext><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex37.m1.3b"><apply id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.2">𝑊</ci><apply id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3"><times id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.1"></times><cn id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><list id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2"><apply id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><log id="S4.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1"></log><ci id="S4.Ex37.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.2.2">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><mtext id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">for all </mtext></ci><ci id="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex37.m1.3c">W_{1j}=\log(\epsilon)\quad\text{for all }j,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex37.m1.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT = roman_log ( italic_ϵ ) for all italic_j ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.5">where <math alttext="0<\epsilon<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.4" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.4.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.5" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.6" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1"><and id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1a.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1"></and><apply id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1b.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1"><lt id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.3"></lt><cn id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.2">0</cn><ci id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.4">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1c.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1"><lt id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.4.cmml" id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1d.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1"></share><cn id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i1.p1.2.m1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1c">0<\epsilon<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.2.m1.1d">0 < italic_ϵ < 1</annotation></semantics></math>. These small values correspond to the reference class (i.e., the healthy control group, HC) in the multinomial logistic regression model. In logistic regression, the intercept term controls the baseline probability of a sample belonging to the reference class when no covariates (in this case, the bicluster assignments) are active. By assigning a small value to <math alttext="W_{1j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1a"><msub id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.1" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3"><times id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.1"></times><cn id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.3.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1c">W_{1j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.3.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we increase the baseline probability for healthy control samples when no bicluster is assigned to a sample. Since <math alttext="\log(\epsilon)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2"><semantics id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.4.m3.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2a" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2.1" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.2" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2b"><apply id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.3.2"><log id="S4.I1.i1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.1.1"></log><ci id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.4.m3.2.2">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2c">\log(\epsilon)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.4.m3.2d">roman_log ( italic_ϵ )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\epsilon<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1a"><mrow id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.2" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.3" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1b"><apply id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1"><lt id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.1"></lt><ci id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i1.p1.5.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1c">\epsilon<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.5.m4.1d">italic_ϵ < 1</annotation></semantics></math> results in a negative value, this translates into a higher probability of belonging to the reference class (HC).</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.I1.i2.p1.1.1">Weight Assignment for Biclusters (Bias Towards Disease Samples)</span>: For samples belonging to a bicluster, we adjust the weights in the remaining rows of <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, corresponding to the non-reference classes (i.e., the disease classes). Specifically, we set the weights for the non-reference class as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{ij}=\log(1/\epsilon)\quad\text{for }i>1,j." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex38.m1.4"><semantics id="S4.Ex38.m1.4a"><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1"><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.3" width="1em" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mtext id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2a.cmml">for </mtext><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">></mo><mrow id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex38.m1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex38.m1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.3.3.cmml">j</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex38.m1.4b"><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><log id="S4.Ex38.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1"></log><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.1"></gt><apply id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><mtext id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">for </mtext></ci><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><list id="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><cn id="S4.Ex38.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex38.m1.2.2">1</cn><ci id="S4.Ex38.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.3.3">𝑗</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex38.m1.4c">W_{ij}=\log(1/\epsilon)\quad\text{for }i>1,j.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex38.m1.4d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT = roman_log ( 1 / italic_ϵ ) for italic_i > 1 , italic_j .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.6">Here, <math alttext="\log(1/\epsilon)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2"><semantics id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.2.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1a" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2b"><apply id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1"><log id="S4.I1.i2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.1.1"></log><apply id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1"><divide id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m1.2.2.1.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2c">\log(1/\epsilon)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.2.m1.2d">roman_log ( 1 / italic_ϵ )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\epsilon<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1a"><mrow id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.2" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.3" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1"><lt id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.1"></lt><ci id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.i2.p1.3.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1c">\epsilon<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.3.m2.1d">italic_ϵ < 1</annotation></semantics></math>, results in a positive value, increasing the likelihood that samples assigned to a bicluster are classified as disease samples. Importantly, only one column <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.4.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.4.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.4.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math> is randomly selected for each row <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.5.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.5.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.5.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.6.m5.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.6.m5.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.6.m5.1d">bold_W</annotation></semantics></math> to be assigned this value. This ensures that a specific bicluster is more strongly associated with a particular disease group, effectively biasing the model toward classifying samples in that bicluster as disease samples. </p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.3">Finally, the assignment of disease for each sample is determined by applying the multinomial logistic regression model using the defined weights <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p3.3.m1.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m1.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m1.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m1.1d">bold_W</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.1">The rationale behind making samples belonging to a bicluster more likely to be classified as disease cases stems from the biological assumption that disease states are often driven by specific gene expression patterns <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib24" title="">24</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib43" title="">43</a>]</cite>. Biclustering aims to identify subsets of genes that co-vary together in certain subsets of samples, which may represent distinct biological processes or pathways that are activated in disease conditions.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.11">We adopt similar hyperparameter configurations for SSLB and OG-SSLB, detailed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Section 2.5]</cite>. In particular, the slab parameters for the loadings and the factors, <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">bold_Z</annotation></semantics></math> and <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math>, are set to <math alttext="\omega_{1},\tilde{\omega}_{1}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2"><eq id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3"></eq><list id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></list><cn id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.2c">\omega_{1},\tilde{\omega}_{1}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.2d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>. The spike parameters for <math alttext="\mathbf{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.4.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml">𝐙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.4.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1">𝐙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.4.m4.1c">\mathbf{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.4.m4.1d">bold_Z</annotation></semantics></math> follow an increasing sequence of <math alttext="\omega_{0}\in\{1,5,10,50,100,500,10^{3},10^{4},10^{5},10^{6},10^{7}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.5.m5.11"><semantics id="S4.SS1.p5.5.m5.11a"><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.6" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.6.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.6" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">{</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.7" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.8" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.3.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.3.3.cmml">10</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.9" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.4.4" xref="S4.SS1.p5.5.m5.4.4.cmml">50</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.10" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.5.5" xref="S4.SS1.p5.5.m5.5.5.cmml">100</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.11" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.6.6" xref="S4.SS1.p5.5.m5.6.6.cmml">500</mn><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.12" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.2.cmml">10</mn><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.13" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.cmml"><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.2.cmml">10</mn><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.3.cmml">4</mn></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.14" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.2.cmml">10</mn><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.3.cmml">5</mn></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.15" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.cmml"><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.2.cmml">10</mn><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.3.cmml">6</mn></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.16" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">,</mo><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.cmml"><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.2.cmml">10</mn><mn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.3.cmml">7</mn></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.17" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.5.m5.11b"><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11"><in id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.6.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.6"></in><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.2">𝜔</ci><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.7.3">0</cn></apply><set id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.6.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5"><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1">1</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2">5</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.3.3">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.4.4">50</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.5.5">100</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.6.6">500</cn><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.2">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.7.7.1.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.2">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.8.8.2.2.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.2">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.9.9.3.3.3.3">5</cn></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.2">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.10.10.4.4.4.3">6</cn></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5">superscript</csymbol><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.2">10</cn><cn id="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.5.m5.11.11.5.5.5.3">7</cn></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.5.m5.11c">\omega_{0}\in\{1,5,10,50,100,500,10^{3},10^{4},10^{5},10^{6},10^{7}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.5.m5.11d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ { 1 , 5 , 10 , 50 , 100 , 500 , 10 start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT , 10 start_POSTSUPERSCRIPT 4 end_POSTSUPERSCRIPT , 10 start_POSTSUPERSCRIPT 5 end_POSTSUPERSCRIPT , 10 start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT , 10 start_POSTSUPERSCRIPT 7 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>. The spike parameters for <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p5.6.m6.1a"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.6.m6.1b"><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.6.m6.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.6.m6.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> are chosen as <math alttext="\tilde{\omega}_{0}\in\{1,5,\ldots,5\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.7.m7.4"><semantics id="S4.SS1.p5.7.m7.4a"><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml">{</mo><mn id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.7.m7.2.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.7.m7.3.3.cmml">…</mi><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2.4" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p5.7.m7.4.4" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.4.cmml">5</mn><mo id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.7.m7.4b"><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5"><in id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.1"></in><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.2.3">0</cn></apply><set id="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.5.3.2"><cn id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1">1</cn><cn id="S4.SS1.p5.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.7.m7.2.2">5</cn><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.3.3">…</ci><cn id="S4.SS1.p5.7.m7.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.7.m7.4.4">5</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.7.m7.4c">\tilde{\omega}_{0}\in\{1,5,\ldots,5\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.7.m7.4d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ { 1 , 5 , … , 5 }</annotation></semantics></math> to correspond to the length of the sequence <math alttext="\omega_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p5.8.m8.1a"><msub id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.8.m8.1c">\omega_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.8.m8.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Specifically, the values of <math alttext="\tilde{\omega}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p5.9.m9.1a"><msub id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.9.m9.1c">\tilde{\omega}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.9.m9.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are fixed at <math alttext="\tilde{\omega}_{0}=5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p5.10.m10.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.10.m10.1b"><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1"><eq id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3">5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.10.m10.1c">\tilde{\omega}_{0}=5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.10.m10.1d">over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 5</annotation></semantics></math>. Furthermore, the initial overestimate of the number of biclusters is set to <math alttext="K^{*}=30" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p5.11.m11.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.3.cmml">30</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.11.m11.1b"><apply id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1"><eq id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.2">𝐾</ci><times id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.2.3"></times></apply><cn id="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p5.11.m11.1.1.3">30</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.11.m11.1c">K^{*}=30</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.11.m11.1d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = 30</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.12">We compared 50 realisations of SSLB and OG-SSLB using the same simulated dataset across all runs while varying the algorithmic initial conditions for each of the fifty runs. This analysis was performed under three distinct implementations: SSLB/OG-SSLB with the Pitman–Yor extension (PY), where <math alttext="\tilde{\alpha}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><cn id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.1c">\tilde{\alpha}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="d=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">d=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">italic_d = 0.5</annotation></semantics></math>, SSLB/OG-SSLB with the stick-breaking IBP prior (IBP) where <math alttext="\tilde{\alpha}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><cn id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">\tilde{\alpha}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG = 1</annotation></semantics></math>, and SSLB/OG-SSLB with the finite approximation to the IBP prior (Beta-Binomial, BB), where <math alttext="\tilde{a}=1/K^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.2.2">𝑎</ci></apply><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3"><divide id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.2">𝐾</ci><times id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m4.1c">\tilde{a}=1/K^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_a end_ARG = 1 / italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{b}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p6.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1"><eq id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.2.2">𝑏</ci></apply><cn id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.5.m5.1c">\tilde{b}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_b end_ARG = 1</annotation></semantics></math>. For OG-SSLB, we implemented two variations: a non-informative approach, which assigns values around <math alttext="\log(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.6.m6.2"><semantics id="S4.SS1.p6.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2a" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2.1" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p6.6.m6.2.2" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.6.m6.2b"><apply id="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.3.2"><log id="S4.SS1.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m6.1.1"></log><cn id="S4.SS1.p6.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.6.m6.2.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.6.m6.2c">\log(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.6.m6.2d">roman_log ( 1 )</annotation></semantics></math> to all elements of the matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p6.7.m7.1a"><mi id="S4.SS1.p6.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.7.m7.1b"><ci id="S4.SS1.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.7.m7.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.7.m7.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.7.m7.1d">bold_W</annotation></semantics></math>, resulting in an imprecise simulated <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p6.8.m8.1a"><mi id="S4.SS1.p6.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m8.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.8.m8.1b"><ci id="S4.SS1.p6.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m8.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.8.m8.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.8.m8.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> outcome, and an informative approach, which assigns <math alttext="\log(1/4)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.9.m9.2"><semantics id="S4.SS1.p6.9.m9.2a"><mrow id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p6.9.m9.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1a" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.9.m9.2b"><apply id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1"><log id="S4.SS1.p6.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.9.m9.1.1"></log><apply id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1"><divide id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.9.m9.2.2.1.1.1.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.9.m9.2c">\log(1/4)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.9.m9.2d">roman_log ( 1 / 4 )</annotation></semantics></math> to the intercepts and <math alttext="\log(4)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.10.m10.2"><semantics id="S4.SS1.p6.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p6.10.m10.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2a" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2.1" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS1.p6.10.m10.2.2" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.10.m10.2b"><apply id="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.3.2"><log id="S4.SS1.p6.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.10.m10.1.1"></log><cn id="S4.SS1.p6.10.m10.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.10.m10.2.2">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.10.m10.2c">\log(4)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.10.m10.2d">roman_log ( 4 )</annotation></semantics></math> to specific bicluster-disease elements (i.e., one specific column in each row of <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p6.11.m11.1a"><mi id="S4.SS1.p6.11.m11.1.1" xref="S4.SS1.p6.11.m11.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.11.m11.1b"><ci id="S4.SS1.p6.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.11.m11.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.11.m11.1c">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.11.m11.1d">bold_W</annotation></semantics></math>), yielding a more informative simulated <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.12.m12.1"><semantics id="S4.SS1.p6.12.m12.1a"><mi id="S4.SS1.p6.12.m12.1.1" xref="S4.SS1.p6.12.m12.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.12.m12.1b"><ci id="S4.SS1.p6.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.12.m12.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.12.m12.1c">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.12.m12.1d">bold_Y</annotation></semantics></math> outcome. We aim to show the difference in adding more information to the model.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p7.3">The distribution of the consensus score for each method can be seen in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.1 Simulation Study ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. OG-SSLB consistently achieves higher consensus scores in all three prior versions of the binary indicators for the factors <math alttext="\boldsymbol{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p7.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.1.m1.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.1.m1.1c">\boldsymbol{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.1.m1.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math>, reaching even higher precision in the informative case (with a slight increase in the PY prior version for the informative case). Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.T1" title="Table 1 ‣ 4.1 Simulation Study ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> presents the estimated number of biclusters <math alttext="\hat{K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p7.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1"><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p7.2.m2.1.1.2">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.2.m2.1c">\hat{K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_K end_ARG</annotation></semantics></math> for the methods that estimate <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p7.3.m3.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p7.3.m3.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p7.3.m3.1d">italic_K</annotation></semantics></math>. All implementations of the informative OG-SSLB approach are closer to the true number of biclusters compared to SSLB. Regarding the corresponding run times, the SSLB implementations required between 35 and 60 seconds, whereas the OG-SSLB implementations took between 2600 and 3500 seconds.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="467" id="S4.F2.g1" src="x4.png" width="623"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Consensus scores of 50 replications of SSLB and OG-SSLB, both using three different prior implementations for <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.9.m1.1"><semantics id="S4.F2.9.m1.1b"><mover accent="true" id="S4.F2.9.m1.1.1" xref="S4.F2.9.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F2.9.m1.1.1.2" xref="S4.F2.9.m1.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S4.F2.9.m1.1.1.1" xref="S4.F2.9.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.9.m1.1c"><apply id="S4.F2.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.F2.9.m1.1.1"><ci id="S4.F2.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.9.m1.1.1.1">~</ci><ci id="S4.F2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F2.9.m1.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.9.m1.1d">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.9.m1.1e">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math>: BB, PY and IBP (see Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S2.SS1.SSS2" title="2.1.2 SSLB priors ‣ 2.1 The SSLB model ‣ 2 Factor Analysis Models and Current Biclustering Techniques ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1.2</span></a> for details). For OG-SSLB, we implement a non-informative (i.e., non-inf.) approach, setting values for all elements of the matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.10.m2.1"><semantics id="S4.F2.10.m2.1b"><mi id="S4.F2.10.m2.1.1" xref="S4.F2.10.m2.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.10.m2.1c"><ci id="S4.F2.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.F2.10.m2.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.10.m2.1d">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.10.m2.1e">bold_W</annotation></semantics></math> around <math alttext="\log(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.11.m3.2"><semantics id="S4.F2.11.m3.2b"><mrow id="S4.F2.11.m3.2.3.2" xref="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S4.F2.11.m3.1.1" xref="S4.F2.11.m3.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.F2.11.m3.2.3.2b" xref="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.F2.11.m3.2.3.2.1" xref="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.F2.11.m3.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F2.11.m3.2.2" xref="S4.F2.11.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.F2.11.m3.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.11.m3.2c"><apply id="S4.F2.11.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.F2.11.m3.2.3.2"><log id="S4.F2.11.m3.1.1.cmml" xref="S4.F2.11.m3.1.1"></log><cn id="S4.F2.11.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F2.11.m3.2.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.11.m3.2d">\log(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.11.m3.2e">roman_log ( 1 )</annotation></semantics></math>, which produces a diffusive <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.12.m4.1"><semantics id="S4.F2.12.m4.1b"><mi id="S4.F2.12.m4.1.1" xref="S4.F2.12.m4.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.12.m4.1c"><ci id="S4.F2.12.m4.1.1.cmml" xref="S4.F2.12.m4.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.12.m4.1d">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.12.m4.1e">bold_Y</annotation></semantics></math> outcome, and an informative (i.e., inf.) approach, where we set <math alttext="\log(1/4)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.13.m5.2"><semantics id="S4.F2.13.m5.2b"><mrow id="S4.F2.13.m5.2.2.1" xref="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml"><mi id="S4.F2.13.m5.1.1" xref="S4.F2.13.m5.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.F2.13.m5.2.2.1b" xref="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1" xref="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><mo id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.13.m5.2c"><apply id="S4.F2.13.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1"><log id="S4.F2.13.m5.1.1.cmml" xref="S4.F2.13.m5.1.1"></log><apply id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1"><divide id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F2.13.m5.2.2.1.1.1.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.13.m5.2d">\log(1/4)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.13.m5.2e">roman_log ( 1 / 4 )</annotation></semantics></math> for the intercepts and <math alttext="\log(4)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.14.m6.2"><semantics id="S4.F2.14.m6.2b"><mrow id="S4.F2.14.m6.2.3.2" xref="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml"><mi id="S4.F2.14.m6.1.1" xref="S4.F2.14.m6.1.1.cmml">log</mi><mo id="S4.F2.14.m6.2.3.2b" xref="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.F2.14.m6.2.3.2.1" xref="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S4.F2.14.m6.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.F2.14.m6.2.2" xref="S4.F2.14.m6.2.2.cmml">4</mn><mo id="S4.F2.14.m6.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.14.m6.2c"><apply id="S4.F2.14.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.F2.14.m6.2.3.2"><log id="S4.F2.14.m6.1.1.cmml" xref="S4.F2.14.m6.1.1"></log><cn id="S4.F2.14.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.F2.14.m6.2.2">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.14.m6.2d">\log(4)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.14.m6.2e">roman_log ( 4 )</annotation></semantics></math> for specific bicluster-disease elements in the matrix <math alttext="\mathbf{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.15.m7.1"><semantics id="S4.F2.15.m7.1b"><mi id="S4.F2.15.m7.1.1" xref="S4.F2.15.m7.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.15.m7.1c"><ci id="S4.F2.15.m7.1.1.cmml" xref="S4.F2.15.m7.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.15.m7.1d">\mathbf{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.15.m7.1e">bold_W</annotation></semantics></math>, resulting in a more informative <math alttext="\mathbf{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F2.16.m8.1"><semantics id="S4.F2.16.m8.1b"><mi id="S4.F2.16.m8.1.1" xref="S4.F2.16.m8.1.1.cmml">𝐘</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F2.16.m8.1c"><ci id="S4.F2.16.m8.1.1.cmml" xref="S4.F2.16.m8.1.1">𝐘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F2.16.m8.1d">\mathbf{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F2.16.m8.1e">bold_Y</annotation></semantics></math> outcome.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="S4.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>Mean estimated number of biclusters, <math alttext="\hat{K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.3.m1.1"><semantics id="S4.T1.3.m1.1b"><mover accent="true" id="S4.T1.3.m1.1.1" xref="S4.T1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T1.3.m1.1.1.2" xref="S4.T1.3.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.T1.3.m1.1.1.1" xref="S4.T1.3.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.3.m1.1c"><apply id="S4.T1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.T1.3.m1.1.1"><ci id="S4.T1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T1.3.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S4.T1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T1.3.m1.1.1.2">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.3.m1.1d">\hat{K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.3.m1.1e">over^ start_ARG italic_K end_ARG</annotation></semantics></math>, over 50 replications (<math alttext="K=15" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.4.m2.1"><semantics id="S4.T1.4.m2.1b"><mrow id="S4.T1.4.m2.1.1" xref="S4.T1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.T1.4.m2.1.1.2" xref="S4.T1.4.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.T1.4.m2.1.1.1" xref="S4.T1.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.T1.4.m2.1.1.3" xref="S4.T1.4.m2.1.1.3.cmml">15</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.4.m2.1c"><apply id="S4.T1.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.T1.4.m2.1.1"><eq id="S4.T1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.T1.4.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.T1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.T1.4.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.T1.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T1.4.m2.1.1.3">15</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.4.m2.1d">K=15</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.4.m2.1e">italic_K = 15</annotation></semantics></math>).</figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T1.5"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.1.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_r ltx_border_tt" id="S4.T1.5.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.1.1.1.1">SSLB</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt" colspan="3" id="S4.T1.5.1.1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.1.1.2.1">Method</span></th> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.2.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_r" id="S4.T1.5.2.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.2.2.1.1">implementation</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column" id="S4.T1.5.2.2.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.2.2.2.1">SSLB</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column" id="S4.T1.5.2.2.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.2.2.3.1">OG-SSLB (non-inf.)</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column" id="S4.T1.5.2.2.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.T1.5.2.2.4.1">OG-SSLB (inf.)</span></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.3.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.5.3.1.1">BB</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T1.5.3.1.2">14.04</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T1.5.3.1.3">14.02</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T1.5.3.1.4">14.50</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.4.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_r" id="S4.T1.5.4.2.1">IBP</th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S4.T1.5.4.2.2">14.10</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S4.T1.5.4.2.3">14.36</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S4.T1.5.4.2.4">14.50</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.5.5.3"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_bb ltx_border_r" id="S4.T1.5.5.3.1">PY</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S4.T1.5.5.3.2">14.34</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S4.T1.5.5.3.3">14.42</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S4.T1.5.5.3.4">14.46</td> </tr> </tbody> </table> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">Detecting biclusters in transcriptomic data is one of the motivating applications for OG-SSLB, therefore, we also applied the SSLB and OG-SSLB methods to gene expression data from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>. This study provides a comprehensive database of transcriptomic and genome sequencing data from a wide range of immune cells from patients with immune-mediated diseases (IMD). This collection of data, termed the “Immune Cell Gene Expression Atlas from the University of Tokyo (ImmuNexUT)", includes gene expression patterns consisting of healthy volunteers and patients diagnosed with systemic lupus erythematosus (SLE), idiopathic inflammatory myopathy (IIM), systemic sclerosis (SSc), mixed connective tissue disease (MCTD), Sjögren’s syndrome (SjS), rheumatoid arthritis (RA), Behçet’s disease (BD), adult-onset Still’s disease (AOSD), ANCA-associated vasculitis (AAV), or Takayasu arteritis (TAK). The dataset encompasses 28 distinct immune cell types, nearly covering all peripheral immune cells. We anticipate that a subset of genes may cluster in a subset of patients who share some specific aetiology, and that this bicluster will be enriched in genes related to that aetiology and patients with related diseases.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.1">In order to evaluate our method in a real-world dataset where we have some expectation of what to find, we focused on monocytes, which are known to express an interferon-response gene expression signature, found more often in patients with IMD, and particularly SLE <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib30" title="">30</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib34" title="">34</a>]</cite>. The data were pre-processed as follows:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S4.I2"> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i1.p1.1">We perform batch normalisation using the ComBat-seq R package <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib45" title="">45</a>]</cite>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i2.p1.1">We reduce low-count genes using the edgeR package <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S4.I2.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i3.p1.1">We calculated the Pearson correlation matrix between genes and setting a threshold at the 90th percentile, we focus on the most highly correlated gene pairs. Genes with fewer than five other genes correlating above this threshold are removed to eliminate those with weak or non-specific interactions, which could be noisy or less informative. This step ensures that only genes with strong co-expression relationships, potentially reflecting meaningful biological connections, are retained.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I2.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">4.</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.I2.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I2.i4.p1.1">Finally, to correct for technical variation and differences in sequencing depth between samples, we applied the median of ratios normalisation method, as implemented in the DESeq2 R package <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite>. This normalisation ensures that gene expression differences reflect true biological variability rather than artefacts from varying read counts across samples.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.9">Following preprocessing, we obtained a dataset comprising <math alttext="N=410" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">410</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3">410</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.1.m1.1c">N=410</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.1.m1.1d">italic_N = 410</annotation></semantics></math> and <math alttext="G=11215" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">11215</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2">𝐺</ci><cn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3">11215</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.2.m2.1c">G=11215</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.2.m2.1d">italic_G = 11215</annotation></semantics></math>. We ran 20 different replicates of both SSLB and OG-SSLB using the IBP prior for <math alttext="\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p3.3.m3.1a"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">𝚪</mi><mo id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1"><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.3.m3.1.1.2">𝚪</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.3.m3.1c">\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.3.m3.1d">over~ start_ARG bold_Γ end_ARG</annotation></semantics></math>, with hyperparameters <math alttext="\tilde{\alpha}=1/N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p3.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><apply id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3"><divide id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.4.m4.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.4.m4.1c">\tilde{\alpha}=1/N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_α end_ARG = 1 / italic_N</annotation></semantics></math> and <math alttext="d=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p3.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.5.m5.1c">d=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.5.m5.1d">italic_d = 0</annotation></semantics></math>, and the Beta-Bernoulli prior hyperparameters for <math alttext="\boldsymbol{\Gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p3.6.m6.1a"><mi id="S4.SS2.p3.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml">𝚪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.6.m6.1b"><ci id="S4.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.6.m6.1.1">𝚪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.6.m6.1c">\boldsymbol{\Gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.6.m6.1d">bold_Γ</annotation></semantics></math> set to <math alttext="a=1/(GK^{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p3.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.2"></eq><ci id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1"><divide id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><apply id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><times id="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.7.m7.1c">a=1/(GK^{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.7.m7.1d">italic_a = 1 / ( italic_G italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="b=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p3.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.2">𝑏</ci><cn id="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.8.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.8.m8.1c">b=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.8.m8.1d">italic_b = 1</annotation></semantics></math>. Our choice of using the IBP prior and the specified hyperparameters values for the factor and loading binary indicator matrices is in agreement with the real data experiments performed in the SSLB paper (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>, Sections 4 and 5]</cite> for details). The remaining hyperparameter settings were similarly aligned with those of the previous numerical experiment. Furthermore, the initial overestimate for the number of biclusters was set to <math alttext="K^{*}=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.9.m9.1"><semantics id="S4.SS2.p3.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.1" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.9.m9.1b"><apply id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1"><eq id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.2">𝐾</ci><times id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.2.3"></times></apply><cn id="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.9.m9.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.9.m9.1c">K^{*}=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.9.m9.1d">italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = 50</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.1">From <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib28" title="">28</a>]</cite>, we obtained a list of 56 genes associated with the IFN signature, 51 of which were found present in the preprocessed dataset. To focus on sparse, IFN-related biclusters, we filtered the results from both methods to include only biclusters with less than 50% of the total number of samples and more than 6 IFN genes.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p5.1">The results are first summarised in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.F3" title="Figure 3 ‣ 4.2 Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, where a heatmap of the standardised gene expression data is shown. As can be seen, SSLB and OG-SSLB generally identified the same samples and genes forming the IFN biclusters, but that the strength of OG-SSLB lay in its more frequent identification of such biclusters (18/20 compared to 7/20).</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="558" id="S4.F3.g1" src="x5.png" width="418"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Heatmap of standardised gene expression data from the ImmuNexUT study, where each column represents a sample and each row corresponds to an interferon (IFN) signature gene. The data has been centred and scaled. Annotations indicate the frequency with which each gene or sample is detected by the SSLB and OG-SSLB algorithms. Samples are grouped by disease.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p6.1">These results have also been summarised in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.T2" title="Table 2 ‣ 4.2 Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. As can be seen, OG-SSLB is able to produce a greater number of replicates in which sparse IFN-related biclusters were detected, in comparison to SSLB.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T2"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 2: </span>Results from 20 replicates of applying SSLB and OG-SSLB to the ImmuNexUT real data, focusing on sparse IFN-related biclusters (<50% of samples, >6 IFN genes).</figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T2.1"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_tt" id="S4.T2.1.1.1.1">Method</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt" id="S4.T2.1.1.1.2"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S4.T2.1.1.1.2.1"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.1.1.2.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S4.T2.1.1.1.2.1.1.1">Replicates with at least one bicluster</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.1.1.2.1.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S4.T2.1.1.1.2.1.2.1">that meets sparse filtering cond.</td> </tr> </table> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt" id="S4.T2.1.1.1.3"> <table class="ltx_tabular ltx_align_middle" id="S4.T2.1.1.1.3.1"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.1.1.3.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S4.T2.1.1.1.3.1.1.1">Median % SLE patients in</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.1.1.3.1.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S4.T2.1.1.1.3.1.2.1">bicluster’s replicates</td> </tr> </table> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.2.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="S4.T2.1.2.2.1">SSLB</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T2.1.2.2.2">7</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T2.1.2.2.3">36</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.1.3.3"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_bb" id="S4.T2.1.3.3.1">OG-SSLB</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S4.T2.1.3.3.2">18</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S4.T2.1.3.3.3">43.5</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p7.1">Furthermore, Figures <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.F4" title="Figure 4 ‣ 4.2 Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#S4.F5" title="Figure 5 ‣ 4.2 Immune Cell Gene Expression Atlas, University of Tokyo ‣ 4 Numerical Results ‣ Outcome-guided spike-and-slab Lasso Biclustering: A Novel Approach for Enhancing Biclustering Techniques for Gene Expression Analysis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> show the distribution of samples and genes identified by the SSLB and OG-SSLB runs. OG-SSLB identified biclusters under the specified conditions exhibit, in distribution, a higher percentage of SLE patients and a higher number of IFN gene signatures. While SLE patients exhibited the highest fraction of patients in the IFN biclusters, IFN signatures have been found in other IMD, and both methods found a higher fraction of patients in IFN biclusters for IIM, MCTD, RA, SjS and SSc. Concerning the associated run times, the SSLB algorithm required about 1900 seconds to run, whereas the OG-SSLB algorithm took approximately 44700 seconds.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="467" id="S4.F4.g1" src="x6.png" width="623"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Results from 20 replicates of applying SSLB and OG-SSLB to the ImmuNexUT real data, focusing on biclusters with less than 50% of the total samples and more than 6 IFN genes: Distribution of the percentage of samples per disease.</figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="467" id="S4.F5.g1" src="x7.png" width="623"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Results from 20 replicates of applying SSLB and OG-SSLB to the ImmuNexUT real data, focusing on biclusters with less than 50% of the total samples and more than 6 IFN genes. Left: Distribution of the total number of genes in biclusters identified by both methods. Right: Distribution of the number of IFN gene signatures in biclusters identified by both methods.</figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Conclusions and Future work</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">In conclusion, our proposed algorithm, OG-SSLB, exhibits superior performance compared to the SSLB approach in both numerical and real-data experiments, particularly in its ability to estimate the number of biclusters more accurately and achieve higher consensus scores. The flexibility of OG-SSLB, particularly through its multinomial modelling framework, allows it to accommodate more complex clustering structures than the commonly used binomial models. While this improvement entails significantly higher computational costs due to iterative processes such as AGD and ULA, the enhanced precision and modelling capacity of OG-SSLB make it a valuable contribution to biclustering methodologies.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">Our subsequent analyses will expand the OG-SSLB framework to the ImmuNexUT dataset, investigating other cell types and detecting new gene expression signatures rather than focusing solely on predefined ones. We aim to identify similarities between diseases, facilitated by the bicluster overlapping allowed by this method.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.1">Additionally, we will explore other machine learning alternatives to multinomial logistic regression, such as support vector machines and naive Bayes, which may offer more robust solutions for integrating disease information into the biclustering framework. An especially promising approach could be the introduction of deep learning classifiers, which may better capture the potential non-linearity of boundary classes, thereby further enhancing the quality of the incorporated disease information. While deep learning classifiers can identify more complex patterns in the data, they would require significantly larger computational resources compared to the multinomial logistic regression model. Nonetheless, the shift from multinomial logistic regression to deep learning or other machine learning approaches presents exciting opportunities to improve classification accuracy while addressing the challenges inherent in genomic data analysis.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.1">The source code to reproduce the results in this paper is available online at <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://github.com/luisvargasmieles/OGSSLB-examples" title="">https://github.com/luisvargasmieles/OGSSLB-examples</a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Acknowledgements</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">CW and LAVM are funded by the Wellcome Trust (WT220788). CW and PDWK are supported by the Medical Research Council (MC_UU_00040/01 and MC_UU_00040/05, respectively).</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Data Availability</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="Sx2.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx2.p1.1">The dataset for the Immune Cell Gene Expression Atlas (ImmuNexUT) experiment is in the public domain and available at the National Bioscience Database Center (NBDC), with the study accession code E-GEAD-397.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Statements and Declarations</h2> <section class="ltx_subsection" id="Sx3.SSx1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection">Competing Interests</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="Sx3.SSx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx3.SSx1.p1.1">CW is a part-time employee of GSK. GSK had no role in this study or the decision to publish.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> <section class="ltx_appendix" id="Ax1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix">Appendix</h2> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Current SSLB model: E step</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.1">For completeness, we present the log posterior and the related expression for the E-step of SSLB. For additional details, refer to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. The complete log posterior is as follows</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A1.p2"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx8"> <tbody id="A1.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\log p(\boldsymbol{\Delta},\boldsymbol{\Lambda},\tilde{\mathbf{% \Gamma}}\mid\mathbf{X})\propto" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex39.m1.3"><semantics id="A1.Ex39.m1.3a"><mrow id="A1.Ex39.m1.3.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m1.3.3.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.2" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.1.1.cmml">𝚫</mi><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex39.m1.2.2" xref="A1.Ex39.m1.2.2.cmml">𝚲</mi><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.4" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">𝐗</mi></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.5" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.3.3.2" xref="A1.Ex39.m1.3.3.2.cmml">∝</mo><mi id="A1.Ex39.m1.3.3.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex39.m1.3b"><apply id="A1.Ex39.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex39.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.2">proportional-to</csymbol><apply id="A1.Ex39.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1"><times id="A1.Ex39.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3"><log id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.1"></log><ci id="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.3.2">𝑝</ci></apply><vector id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1"><ci id="A1.Ex39.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.1.1">𝚫</ci><ci id="A1.Ex39.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.2.2">𝚲</ci><apply id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><ci id="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐗</ci></apply></vector></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex39.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.3.3.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex39.m1.3c">\displaystyle\log p(\boldsymbol{\Delta},\boldsymbol{\Lambda},\tilde{\mathbf{% \Gamma}}\mid\mathbf{X})\propto</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex39.m1.3d">roman_log italic_p ( bold_Δ , bold_Λ , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG ∣ bold_X ) ∝</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-% \mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right)^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}% \left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}% \right)\right\}-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex39.m2.1"><semantics id="A1.Ex39.m2.1a"><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">𝒊</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝚺</mi><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">𝒊</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.4" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.4.cmml">2</mn></mrow><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex39.m2.1b"><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1"><minus id="A1.Ex39.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1"><minus id="A1.Ex39.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><set id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐢</ci></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐙</ci><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝒊</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝚺</ci><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3">𝐢</ci></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝐙</ci><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3">𝒊</ci></apply></apply></apply></apply></set></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3"><times id="A1.Ex39.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2"></divide><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2"><plus id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.1"></plus><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.2">𝑁</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.3">𝜂</ci><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.2.4">2</cn></apply><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3"><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2"><log id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.1"></log><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m2.1.1.3.3.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex39.m2.1c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-% \mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right)^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}% \left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}% \right)\right\}-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex39.m2.1d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) } - divide start_ARG italic_N + italic_η + 2 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\sum_{j=1}^{G}\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}-\sum_{k=1}^{K^{*}}% \log p\left(\mathbf{z}^{\mathbf{k}}\right)-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}% \boldsymbol{\lambda}_{\mathbf{i}}^{T}\mathbf{D}_{\mathbf{i}}\boldsymbol{% \lambda}_{\mathbf{i}}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex40.m1.1"><semantics id="A1.Ex40.m1.1a"><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.3a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.cmml"><munderover id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">ξ</mi></mrow><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3.cmml">j</mi><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐤</mi></msup><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.2a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.4" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex40.m1.1.1.4.2a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.cmml"><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.4.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml">𝐢</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.3.cmml">𝐢</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.2b" xref="A1.Ex40.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.5.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex40.m1.1.1.5.2a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.cmml"><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.cmml"><munderover id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1a" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex40.m1.1b"><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1"><minus id="A1.Ex40.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3"><minus id="A1.Ex40.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2"><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2"><divide id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" 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id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex40.m1.1.1.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1"><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><times id="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3"><log id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1"></log><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2"><times id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.2.3">𝐢</ci></apply><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.2">𝐃</ci><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.3.3">𝐢</ci></apply><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.4.3.2.4.3.cmml" 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id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.2">𝜏</ci><apply id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3"><times id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex40.m1.1.1.5.3.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex40.m1.1c">\displaystyle-\sum_{j=1}^{G}\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}-\sum_{k=1}^{K^{*}}% \log p\left(\mathbf{z}^{\mathbf{k}}\right)-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}% \boldsymbol{\lambda}_{\mathbf{i}}^{T}\mathbf{D}_{\mathbf{i}}\boldsymbol{% \lambda}_{\mathbf{i}}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex40.m1.1d">- ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_η italic_ξ end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_p ( bold_z start_POSTSUPERSCRIPT bold_k end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\log\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-% \tilde{\gamma}_{ik}\right)\widetilde{\omega}_{0}\exp\left(-\frac{\widetilde{% \omega}_{0}\tau_{ik}}{2}\right)\right.\left.+\tilde{\gamma}_{ik}\widetilde{% \omega}_{1}\exp\left(-\frac{\widetilde{\omega}_{1}\tau_{ik}}{2}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41.m1.3"><semantics id="A1.Ex41.m1.3a"><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.4" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.4.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.2.2" xref="A1.Ex41.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41.m1.3b"><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3"><minus id="A1.Ex41.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3"></minus><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1"><times id="A1.Ex41.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.2"></times><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3"><divide id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3"></divide><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.3.3">2</cn></apply><log id="A1.Ex41.m1.3.3.1.4.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.4"></log><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1"><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1"><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol 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id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3">0</cn></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><exp id="A1.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1"></exp><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" 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id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3"><times id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" 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id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><exp id="A1.Ex41.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.2.2"></exp><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><divide id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><times id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3"><times id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41.m1.3c">\displaystyle-\frac{1}{2}\log\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-% \tilde{\gamma}_{ik}\right)\widetilde{\omega}_{0}\exp\left(-\frac{\widetilde{% \omega}_{0}\tau_{ik}}{2}\right)\right.\left.+\tilde{\gamma}_{ik}\widetilde{% \omega}_{1}\exp\left(-\frac{\widetilde{\omega}_{1}\tau_{ik}}{2}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41.m1.3d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_log ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) + over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}+\left(N-\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex42.m1.2"><semantics id="A1.Ex42.m1.2a"><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" lspace="0.167em" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mn 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id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex42.m1.2b"><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2"><plus id="A1.Ex42.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2"></plus><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.cmml" 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id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"><log id="A1.Ex42.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.1.1"></log><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3"><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2">𝜈</ci><ci id="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex42.m1.2c">\displaystyle+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}+\left(N-\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex42.m1.2d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) roman_log ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_N - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) roman_log ( 1 - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\nu_{k}," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E9.m1.1"><semantics id="A1.E9.m1.1a"><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1a" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E9.m1.1.1.1.2" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E9.m1.1b"><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1"><plus id="A1.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1"></plus><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><cn id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3"><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝐾</ci><times id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2"><log id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"></log><apply id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜈</ci><ci id="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E9.m1.1c">\displaystyle+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\nu_{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E9.m1.1d">+ ( over~ start_ARG italic_α end_ARG - 1 ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A1.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.p3.4">where <math alttext="\mathbf{D}_{\mathbf{i}}=\operatorname{diag}\left\{\tau_{i1}^{-1},\ldots,\tau_{% iK^{*}}^{-1}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.1.m1.4"><semantics id="A1.p3.1.m1.4a"><mrow id="A1.p3.1.m1.4.4" xref="A1.p3.1.m1.4.4.cmml"><msub id="A1.p3.1.m1.4.4.4" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.4.4.4.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A1.p3.1.m1.4.4.4.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.cmml">diag</mi><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2a" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3a" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.4" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p3.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p3.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.5" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mrow id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3a" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.6" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.1.m1.4b"><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4"><eq id="A1.p3.1.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4.2">𝐃</ci><ci id="A1.p3.1.m1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.4.3">𝐢</ci></apply><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2"><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1">diag</ci><apply id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.2">…</ci><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝜏</ci><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2">𝐾</ci><times id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3"><minus id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3"></minus><cn id="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p3.1.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.1.m1.4c">\mathbf{D}_{\mathbf{i}}=\operatorname{diag}\left\{\tau_{i1}^{-1},\ldots,\tau_{% iK^{*}}^{-1}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.1.m1.4d">bold_D start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT = roman_diag { italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="\boldsymbol{\Gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.p3.2.m2.1a"><mi id="A1.p3.2.m2.1.1" xref="A1.p3.2.m2.1.1.cmml">𝚪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.2.m2.1b"><ci id="A1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1">𝚪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.2.m2.1c">\boldsymbol{\Gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.2.m2.1d">bold_Γ</annotation></semantics></math>, <math alttext="\boldsymbol{\theta}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.3.m3.1"><semantics id="A1.p3.3.m3.1a"><mi id="A1.p3.3.m3.1.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.cmml">𝜽</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.3.m3.1b"><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1">𝜽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.3.m3.1c">\boldsymbol{\theta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.3.m3.1d">bold_italic_θ</annotation></semantics></math> have been margined out to have <math alttext="p(\mathbf{Z})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.4.m4.1"><semantics id="A1.p3.4.m4.1a"><mrow id="A1.p3.4.m4.1.2" xref="A1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mi id="A1.p3.4.m4.1.2.2" xref="A1.p3.4.m4.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="A1.p3.4.m4.1.2.1" xref="A1.p3.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.4.m4.1.2.3.2" xref="A1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mo id="A1.p3.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.p3.4.m4.1.1" xref="A1.p3.4.m4.1.1.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.p3.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.4.m4.1b"><apply id="A1.p3.4.m4.1.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.2"><times id="A1.p3.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.2.1"></times><ci id="A1.p3.4.m4.1.2.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.2.2">𝑝</ci><ci id="A1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1">𝐙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.4.m4.1c">p(\mathbf{Z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.4.m4.1d">italic_p ( bold_Z )</annotation></semantics></math> (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2412.08416v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite> for details). This allows us to define</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A1.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx9"> <tbody id="A1.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})\propto" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex43.m1.2"><semantics id="A1.Ex43.m1.2a"><mrow id="A1.Ex43.m1.2.2" xref="A1.Ex43.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m1.2.2.1" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex43.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.2.2.2" xref="A1.Ex43.m1.2.2.2.cmml">∝</mo><mi id="A1.Ex43.m1.2.2.3" xref="A1.Ex43.m1.2.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex43.m1.2b"><apply id="A1.Ex43.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.2">proportional-to</csymbol><apply id="A1.Ex43.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1"><times id="A1.Ex43.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex43.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.3">𝑄</ci><apply id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.2.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex43.m1.2c">\displaystyle Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})\propto</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex43.m1.2d">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ∝</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{Z}% \left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle\right)^{T}\boldsymbol{\Sigma% }^{-1}\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{Z}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}% \right\rangle\right)+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^% {-1}\mathbf{Z}\left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\boldsymbol{\lambda}_{% i}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle\left% \langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle^{T}\right)\right]\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex43.m2.2"><semantics id="A1.Ex43.m2.2a"><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝚺</mi><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.1.1" xref="A1.Ex43.m2.1.1.cmml">tr</mi><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">𝐙</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml">𝚺</mi><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.5" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml">𝐙</mi><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2b" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex43.m2.2b"><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2"><minus id="A1.Ex43.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2"></minus><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.2"></times><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3"><divide id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3"></divide><cn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1"><apply 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id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐙</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2">𝚺</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3"><minus id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3"></minus><cn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝐱</ci><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝐙</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1"><ci id="A1.Ex43.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.1.1">tr</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝐙</ci><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2">𝚺</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><minus id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.5">𝐙</ci><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A1.Ex43.m2.2c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{Z}% \left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle\right)^{T}\boldsymbol{\Sigma% }^{-1}\left(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{Z}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}% \right\rangle\right)+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^% {-1}\mathbf{Z}\left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\boldsymbol{\lambda}_{% i}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle\left% \langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle^{T}\right)\right]\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex43.m2.2d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) + roman_tr [ bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Z ( ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ - ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ] }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}-\sum_{j=1}^{G% }\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}-\sum_{k=1}^{K^{*}}\log p\left(\mathbf{z}^{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex44.m1.1"><semantics id="A1.Ex44.m1.1a"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.1a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.4" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.2.4.cmml">2</mn></mrow><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.4" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2a" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">ξ</mi></mrow><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.4.2.3.2" 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id="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup 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_{i}\right\rangle^{T}\mathbf{D}_{i}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right% \rangle+\operatorname{tr}\left[\mathbf{D}_{i}\left(\left\langle\boldsymbol{% \lambda}_{i}\boldsymbol{\lambda}_{i}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{% \lambda}_{i}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex45.m1.2"><semantics id="A1.Ex45.m1.2a"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2a" xref="A1.Ex45.m1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex45.m1.2.2.1.3a" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2a" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" 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id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" 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id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex45.m1.2c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left\langle\boldsymbol{\lambda}% _{i}\right\rangle^{T}\mathbf{D}_{i}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right% \rangle+\operatorname{tr}\left[\mathbf{D}_{i}\left(\left\langle\boldsymbol{% \lambda}_{i}\boldsymbol{\lambda}_{i}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{% \lambda}_{i}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{i}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex45.m1.2d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + roman_tr [ bold_D start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ - ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ] }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}-\frac{1% }{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\right)\widetilde{\omega}_{0}^{2}+\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\widetilde{\omega}_{1}^{2}\right]\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex46.m1.1"><semantics id="A1.Ex46.m1.1a"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex46.m1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex46.m1.1b"><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1"><minus id="A1.Ex46.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3"><minus id="A1.Ex46.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2"><times id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2"><divide id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3"><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" 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id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><times id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" 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xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A1.Ex46.m1.1d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{% \gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}+\left(N-\sum_{i=1}^{N% }\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k% }v_{l}\right)\right]+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log v_{k}," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E10.m1.2"><semantics id="A1.E10.m1.2a"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">log</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" lspace="0.167em" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.1.1" xref="A1.E10.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><munderover id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1a" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2a" lspace="0.167em" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.3" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E10.m1.2.2.1.2" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E10.m1.2b"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1"><plus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.3"></plus><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1"><plus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4"></plus><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><log id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></log><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2">product</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></minus><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"><log id="A1.E10.m1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.1.1"></log><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><minus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2"><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1"><minus id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.2">𝛼</ci></apply><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3"><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3"><eq id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.2">𝐾</ci><times id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2"><log id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.1"></log><apply id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E10.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E10.m1.2c">\displaystyle+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{% \gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}+\left(N-\sum_{i=1}^{N% }\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k% }v_{l}\right)\right]+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log v_{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E10.m1.2d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) roman_log ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_N - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) roman_log ( 1 - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ] + ( over~ start_ARG italic_α end_ARG - 1 ) ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.1">where <math alttext="\mathbb{E}_{\mathbf{\Lambda},\widetilde{\Gamma}\mid\Delta^{(t)},\mathbf{X}}[W]% =\langle W\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.1.m1.6"><semantics id="A1.p4.1.m1.6a"><mrow id="A1.p4.1.m1.6.7" xref="A1.p4.1.m1.6.7.cmml"><mrow id="A1.p4.1.m1.6.7.2" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.cmml"><msub id="A1.p4.1.m1.6.7.2.2" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.2" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.3.3.3.3" xref="A1.p4.1.m1.3.3.3.3.cmml">𝚲</mi><mo id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.2" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.2.cmml">Γ</mi><mo id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.1" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.2" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml"><msup id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.2" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml">𝐗</mi></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.2.1" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.2" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.1.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="A1.p4.1.m1.5.5" xref="A1.p4.1.m1.5.5.cmml">W</mi><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.1" xref="A1.p4.1.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.6.7.3.2" xref="A1.p4.1.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.6.7.3.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="A1.p4.1.m1.6.6" xref="A1.p4.1.m1.6.6.cmml">W</mi><mo id="A1.p4.1.m1.6.7.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.6.7.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.1.m1.6b"><apply id="A1.p4.1.m1.6.7.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7"><eq id="A1.p4.1.m1.6.7.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.1"></eq><apply id="A1.p4.1.m1.6.7.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2"><times id="A1.p4.1.m1.6.7.2.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.1"></times><apply id="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.2.2">𝔼</ci><list id="A1.p4.1.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4"><ci id="A1.p4.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.3.3.3.3">𝚲</ci><apply id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.2">conditional</csymbol><apply id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3"><ci id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.1">~</ci><ci id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.3.2">Γ</ci></apply><list id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1"><apply id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="A1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.2.2.2.2">𝐗</ci></list></apply></list></apply><apply id="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.5.5.cmml" xref="A1.p4.1.m1.5.5">𝑊</ci></apply></apply><apply id="A1.p4.1.m1.6.7.3.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.1.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.7.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.6.6.cmml" xref="A1.p4.1.m1.6.6">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.1.m1.6c">\mathbb{E}_{\mathbf{\Lambda},\widetilde{\Gamma}\mid\Delta^{(t)},\mathbf{X}}[W]% =\langle W\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.1.m1.6d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT bold_Λ , over~ start_ARG roman_Γ end_ARG ∣ roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT , bold_X end_POSTSUBSCRIPT [ italic_W ] = ⟨ italic_W ⟩</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>SSLB model with profile regression: E step</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">The log posterior for the SSLB model using profile regression can be expressed as follows</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A2.p2"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx10"> <tbody id="A2.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\log p(\boldsymbol{\Delta},\boldsymbol{\Lambda},\tilde{\mathbf{% \Gamma}}\mid\mathbf{X},\mathbf{Y})\propto" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex47.m1.5"><semantics id="A2.Ex47.m1.5a"><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5" xref="A2.Ex47.m1.5.5.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A2.Ex47.m1.3.3" xref="A2.Ex47.m1.3.3.cmml">𝚫</mi><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex47.m1.4.4" xref="A2.Ex47.m1.4.4.cmml">𝚲</mi><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.4" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚪</mi><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A2.Ex47.m1.1.1" xref="A2.Ex47.m1.1.1.cmml">𝐗</mi><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.Ex47.m1.2.2" xref="A2.Ex47.m1.2.2.cmml">𝐘</mi></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.5" stretchy="false" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m1.5.5.2" xref="A2.Ex47.m1.5.5.2.cmml">∝</mo><mi id="A2.Ex47.m1.5.5.3" xref="A2.Ex47.m1.5.5.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex47.m1.5b"><apply id="A2.Ex47.m1.5.5.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex47.m1.5.5.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.2">proportional-to</csymbol><apply id="A2.Ex47.m1.5.5.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1"><times id="A2.Ex47.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.2"></times><apply id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3"><log id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.1"></log><ci id="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.3.2">𝑝</ci></apply><vector id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1"><ci id="A2.Ex47.m1.3.3.cmml" xref="A2.Ex47.m1.3.3">𝚫</ci><ci id="A2.Ex47.m1.4.4.cmml" xref="A2.Ex47.m1.4.4">𝚲</ci><apply id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2"><ci id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝚪</ci></apply><list id="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><ci id="A2.Ex47.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m1.1.1">𝐗</ci><ci id="A2.Ex47.m1.2.2.cmml" xref="A2.Ex47.m1.2.2">𝐘</ci></list></apply></vector></apply><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex47.m1.5.5.3.cmml" xref="A2.Ex47.m1.5.5.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex47.m1.5c">\displaystyle\log p(\boldsymbol{\Delta},\boldsymbol{\Lambda},\tilde{\mathbf{% \Gamma}}\mid\mathbf{X},\mathbf{Y})\propto</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex47.m1.5d">roman_log italic_p ( bold_Δ , bold_Λ , over~ start_ARG bold_Γ end_ARG ∣ bold_X , bold_Y ) ∝</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-% \mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right)^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}% \left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}% \right)\right\}-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}-\sum_{j=1}^% {G}\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex47.m2.1"><semantics id="A2.Ex47.m2.1a"><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝐙</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">𝒊</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝚺</mi><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">𝐙</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">𝒊</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.1a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.4" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.2.4.cmml">2</mn></mrow><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.2a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.4" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.cmml"><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2a" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.cmml"><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.2.3.cmml">ξ</mi></mrow><mrow id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.1" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.2.2" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.2.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.2.3.cmml">j</mi><mn id="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.3" xref="A2.Ex47.m2.1.1.4.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex47.m2.1b"><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1"><minus id="A2.Ex47.m2.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.2"></minus><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1"><minus id="A2.Ex47.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1"></minus><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1"><times id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3"><divide id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" 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xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐢</ci></apply><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐙</ci><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝒊</ci></apply></apply></apply><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝚺</ci><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></minus><cn id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex47.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><apply 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ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\sum_{k=1}^{K^{*}}\log p\left(\mathbf{z}^{\mathbf{k}}\right)-% \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\boldsymbol{\lambda}_{\mathbf{i}}^{T}\mathbf{D}_{% \mathbf{i}}\boldsymbol{\lambda}_{\mathbf{i}}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=% 1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex48.m1.1"><semantics id="A2.Ex48.m1.1a"><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.1a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" 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xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">𝐢</mi><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.1a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.2.4.3.cmml">𝐢</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.2a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.4" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex48.m1.1.1.4.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex48.m1.1.1.4.2a" 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id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.cmml"><munderover id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1a" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.cmml"><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.1" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3.2" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3.3" xref="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex48.m1.1.1.4.3.2.2" 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xref="A2.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐤</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex48.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3"><times id="A2.Ex48.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.2"><divide id="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.2"></divide><cn id="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3"><apply id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex48.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" 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roman_log italic_p ( bold_z start_POSTSUPERSCRIPT bold_k end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\log\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-% \tilde{\gamma}_{ik}\right)\widetilde{\omega}_{0}\exp\left(-\frac{\widetilde{% \omega}_{0}\tau_{ik}}{2}\right)+\tilde{\gamma}_{ik}\widetilde{\omega}_{1}\exp% \left(-\frac{\widetilde{\omega}_{1}\tau_{ik}}{2}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex49.m1.3"><semantics id="A2.Ex49.m1.3a"><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A2.Ex49.m1.3.3.1.3a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.2" lspace="0.167em" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.4" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.4.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.2.2" xref="A2.Ex49.m1.2.2.cmml">exp</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex49.m1.3b"><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3"><minus id="A2.Ex49.m1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3"></minus><apply 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id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3"><eq id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1"><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" 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xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.4.3">0</cn></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><exp id="A2.Ex49.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.1.1"></exp><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><divide id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></divide><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.4.3">1</cn></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><exp id="A2.Ex49.m1.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.2.2"></exp><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></minus><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><divide id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"></divide><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜏</ci><apply id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3"><times id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex49.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex49.m1.3c">\displaystyle-\frac{1}{2}\log\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-% \tilde{\gamma}_{ik}\right)\widetilde{\omega}_{0}\exp\left(-\frac{\widetilde{% \omega}_{0}\tau_{ik}}{2}\right)+\tilde{\gamma}_{ik}\widetilde{\omega}_{1}\exp% \left(-\frac{\widetilde{\omega}_{1}\tau_{ik}}{2}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex49.m1.3d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_log ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) + over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_exp ( - divide start_ARG over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex50"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}+\left(N-\sum_{i=1}^{N}\tilde{\gamma}_{ik}% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}\nu_{l}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex50.m1.2"><semantics id="A2.Ex50.m1.2a"><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ν</mi><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" lspace="0.167em" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.1.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">ν</mi><mi 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xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.2">product</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3"><eq id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝜈</ci><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑁</ci><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2"><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><times id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"><log id="A2.Ex50.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.1.1"></log><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><minus id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"></minus><cn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3"><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2">𝜈</ci><ci id="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex50.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) roman_log ( 1 - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_ν start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\nu_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex51.m1.1"><semantics id="A2.Ex51.m1.1a"><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex51.m1.1.1a" xref="A2.Ex51.m1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" 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id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex51.m1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" 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xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.3.cmml">l</mi><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.1a" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.2.3.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.3.2.2.2.4.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.2.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex52.m1.3.3.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2a" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.2.2" 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xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.3" 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id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛾</ci></apply><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex52.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex52.m1.3c">\displaystyle-\sum_{i=1}^{N}\sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{% \gamma}_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{N}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(\mathbf{w% }_{l}^{T}\widetilde{\gamma}_{i}^{\prime}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex52.m1.3d">- ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E11.m1.2"><semantics id="A2.E11.m1.2a"><mrow id="A2.E11.m1.2.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A2.E11.m1.2.2.1.1a" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2a" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mtext id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3a.cmml">W</mtext></msub><mo id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1a" lspace="0em" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mrow id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.cmml"><mo fence="true" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2.1" rspace="0em" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo><mi id="A2.E11.m1.1.1" xref="A2.E11.m1.1.1.cmml">𝐖</mi><mo fence="true" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml">∥</mo></mrow><mi id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.3" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml">F</mi><mn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.3" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A2.E11.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E11.m1.2b"><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1"><plus id="A2.E11.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1"></plus><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2"><times id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2"><divide id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2"></divide><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2">1</cn><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3a.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3"><mtext id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E11.m1.1.1.cmml" xref="A2.E11.m1.1.1">𝐖</ci></apply><ci id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="A2.E11.m1.2.2.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E11.m1.2c">\displaystyle+\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E11.m1.2d">+ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A2.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.p3.1">Hence, the corresponding equation for the E-step is now defined as</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A2.p4"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A2.EGx11"> <tbody id="A2.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})\propto" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E14.m1.2"><semantics id="A2.E14.m1.2a"><mrow id="A2.E14.m1.2.2" xref="A2.E14.m1.2.2.cmml"><mrow id="A2.E14.m1.2.2.1" xref="A2.E14.m1.2.2.1.cmml"><mi id="A2.E14.m1.2.2.1.3" xref="A2.E14.m1.2.2.1.3.cmml">Q</mi><mo id="A2.E14.m1.2.2.1.2" xref="A2.E14.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="A2.E14.m1.1.1.1.3" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.E14.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A2.E14.m1.1.1.1.1" xref="A2.E14.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.E14.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.E14.m1.2.2.2" xref="A2.E14.m1.2.2.2.cmml">∝</mo><mi id="A2.E14.m1.2.2.3" xref="A2.E14.m1.2.2.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E14.m1.2b"><apply id="A2.E14.m1.2.2.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E14.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.2">proportional-to</csymbol><apply id="A2.E14.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1"><times id="A2.E14.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.2"></times><ci id="A2.E14.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.3">𝑄</ci><apply id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="A2.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="A2.E14.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.E14.m1.2.2.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E14.m1.2c">\displaystyle Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})\propto</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E14.m1.2d">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ) ∝</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{multlined}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x% }_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\left\langle\lambda_{\boldsymbol{i}}\right\rangle% \right)^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}% \left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle\right)\right.\\ \left.+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{Z}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\lambda_{\boldsymbol{i}% }^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}\end{multlined}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(% \mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\left\langle\lambda_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\right)^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-% \mathbf{Z}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle\right% )\right.\\ \left.+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{Z}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\lambda_{\boldsymbol{i}% }^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E14.m2.1"><semantics id="A2.E14.m2.1a"><mtable align="bottom1" id="A2.E14.m2.1.1.2" rowspacing="0pt" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mtr id="A2.E14.m2.1.1.2a" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E14.m2.1.1.2b" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E12.29.29a" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.1.1.1" xref="A2.E12.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E12.2.2.2" xref="A2.E12.2.2.2.cmml"><mfrac id="A2.E12.2.2.2a" xref="A2.E12.2.2.2.cmml"><mn id="A2.E12.2.2.2.2" xref="A2.E12.2.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="A2.E12.2.2.2.3" xref="A2.E12.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A2.E12.29.29a.30" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E12.29.29a.30a" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.3.3.3" movablelimits="false" xref="A2.E12.3.3.3.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E12.4.4.4.1" xref="A2.E12.4.4.4.1.cmml"><mi id="A2.E12.4.4.4.1.2" xref="A2.E12.4.4.4.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E12.4.4.4.1.1" xref="A2.E12.4.4.4.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E12.4.4.4.1.3" xref="A2.E12.4.4.4.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E12.5.5.5.1" xref="A2.E12.5.5.5.1.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.E12.29.29a.31" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.6.6.6" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">{</mo><msup id="A2.E12.29.29a.31.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E12.29.29a.31.1.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.7.7.7" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E12.29.29a.31.1.2.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E12.8.8.8" xref="A2.E12.8.8.8.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.E12.9.9.9.1" xref="A2.E12.9.9.9.1.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.E12.10.10.10" xref="A2.E12.10.10.10.cmml">−</mo><mi id="A2.E12.11.11.11" xref="A2.E12.11.11.11.cmml">𝐙</mi><mrow id="A2.E12.29.29a.31.1.2.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.12.12.12" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E12.29.29a.31.1.2.2.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E12.13.13.13" xref="A2.E12.13.13.13.cmml">λ</mi><mi id="A2.E12.14.14.14.1" xref="A2.E12.14.14.14.1.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.E12.15.15.15" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E12.16.16.16" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E12.17.17.17.1" xref="A2.E12.17.17.17.1.cmml">T</mi></msup><msup id="A2.E12.29.29a.31.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E12.18.18.18" xref="A2.E12.18.18.18.cmml">𝚺</mi><mrow id="A2.E12.19.19.19.1" xref="A2.E12.19.19.19.1.cmml"><mo id="A2.E12.19.19.19.1a" xref="A2.E12.19.19.19.1.cmml">−</mo><mn id="A2.E12.19.19.19.1.2" xref="A2.E12.19.19.19.1.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mrow id="A2.E12.29.29a.31.3" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.20.20.20" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A2.E12.29.29a.31.3.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E12.21.21.21" xref="A2.E12.21.21.21.cmml">𝐱</mi><mi id="A2.E12.22.22.22.1" xref="A2.E12.22.22.22.1.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.E12.23.23.23" xref="A2.E12.23.23.23.cmml">−</mo><mi id="A2.E12.24.24.24" xref="A2.E12.24.24.24.cmml">𝐙</mi><mrow id="A2.E12.29.29a.31.3.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E12.25.25.25" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E12.29.29a.31.3.2.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E12.26.26.26" xref="A2.E12.26.26.26.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.E12.27.27.27.1" xref="A2.E12.27.27.27.1.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.E12.28.28.28" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E12.29.29.29" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E14.m2.1.1.2c" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A2.E14.m2.1.1.2d" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E13.29.29a" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E13.1.1.1" xref="A2.E13.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="A2.E13.2.2.2" 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xref="A2.E13.11.11.11.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.E13.12.12.12.1" xref="A2.E13.12.12.12.1.cmml">𝒊</mi></msub><msubsup id="A2.E13.29.29a.30.3.1.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E13.13.13.13" xref="A2.E13.13.13.13.cmml">λ</mi><mi id="A2.E13.14.14.14.1" xref="A2.E13.14.14.14.1.cmml">𝒊</mi><mi id="A2.E13.15.15.15.1" xref="A2.E13.15.15.15.1.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A2.E13.16.16.16" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E13.17.17.17" xref="A2.E13.17.17.17.cmml">−</mo><mrow id="A2.E13.29.29a.30.3.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E13.18.18.18" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E13.29.29a.30.3.2.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E13.19.19.19" xref="A2.E13.19.19.19.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.E13.20.20.20.1" xref="A2.E13.20.20.20.1.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.E13.21.21.21" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><msup id="A2.E13.29.29a.30.3.3" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E13.29.29a.30.3.3.2" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E13.22.22.22" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E13.29.29a.30.3.3.2.1" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E13.23.23.23" xref="A2.E13.23.23.23.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.E13.24.24.24.1" xref="A2.E13.24.24.24.1.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.E13.25.25.25" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A2.E13.26.26.26.1" xref="A2.E13.26.26.26.1.cmml">T</mi></msup><mo id="A2.E13.27.27.27" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E13.28.28.28" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A2.E13.29.29.29" xref="A2.E14.m2.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E14.m2.1b"><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><minus id="A2.E12.1.1.1.cmml" xref="A2.E12.1.1.1"></minus><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><times id="A2.E14.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"></times><apply id="A2.E12.2.2.2.cmml" xref="A2.E12.2.2.2"><divide id="A2.E12.2.2.2.1.cmml" 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id="A2.E12.18.18.18.cmml" xref="A2.E12.18.18.18">𝚺</ci><apply id="A2.E12.19.19.19.1.cmml" xref="A2.E12.19.19.19.1"><minus id="A2.E12.19.19.19.1.1.cmml" xref="A2.E12.19.19.19.1"></minus><cn id="A2.E12.19.19.19.1.2.cmml" type="integer" xref="A2.E12.19.19.19.1.2">1</cn></apply></apply><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><minus id="A2.E12.23.23.23.cmml" xref="A2.E12.23.23.23"></minus><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E12.21.21.21.cmml" xref="A2.E12.21.21.21">𝐱</ci><ci id="A2.E12.22.22.22.1.cmml" xref="A2.E12.22.22.22.1">𝐢</ci></apply><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><times id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"></times><ci id="A2.E12.24.24.24.cmml" xref="A2.E12.24.24.24">𝐙</ci><apply 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xref="A2.E14.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E13.4.4.4.cmml" xref="A2.E13.4.4.4">𝐙</ci><ci id="A2.E13.5.5.5.1.cmml" xref="A2.E13.5.5.5.1">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A2.E13.6.6.6.cmml" xref="A2.E13.6.6.6">𝚺</ci><apply id="A2.E13.7.7.7.1.cmml" xref="A2.E13.7.7.7.1"><minus id="A2.E13.7.7.7.1.1.cmml" xref="A2.E13.7.7.7.1"></minus><cn id="A2.E13.7.7.7.1.2.cmml" type="integer" xref="A2.E13.7.7.7.1.2">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E13.8.8.8.cmml" xref="A2.E13.8.8.8">𝐙</ci><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><minus id="A2.E13.17.17.17.cmml" xref="A2.E13.17.17.17"></minus><apply id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E14.m2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E14.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A2.E14.m2.1c">\displaystyle\begin{multlined}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(\mathbf{x% }_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\left\langle\lambda_{\boldsymbol{i}}\right\rangle% \right)^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}% \left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle\right)\right.\\ \left.+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{Z}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\lambda_{\boldsymbol{i}% }^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}\end{multlined}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left(% \mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{Z}\left\langle\lambda_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\right)^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-% \mathbf{Z}\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle\right% )\right.\\ \left.+\operatorname{tr}\left[\mathbf{Z}^{T}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{Z}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\lambda_{\boldsymbol{i}% }^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}% \right)\right]\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E14.m2.1d">start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z ⟨ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_x start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT - bold_Z ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + roman_tr [ bold_Z start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_Z ( ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ - ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ] } end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}-\sum_{j=1}^{G% }\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}-\sum_{k=1}^{K^{*}}\log p\left(\mathbf{z}^{% \mathbf{k}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex53.m1.1"><semantics id="A2.Ex53.m1.1a"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">η</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.1a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.4" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.4.cmml">2</mn></mrow><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">⁡</mo><msubsup id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml">j</mi><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.4" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.cmml"><munderover id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.3.cmml">G</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.3.cmml">ξ</mi></mrow><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.2.cmml">σ</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.3.cmml">j</mi><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.2a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mi id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝐤</mi></msup><mo id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex53.m1.1b"><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1"><minus id="A2.Ex53.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.2"></minus><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3"><minus id="A2.Ex53.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3"></minus><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2"><times id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2"><divide id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" 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id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3"><eq id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2"><log id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.1"></log><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.3.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci 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id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2"><divide id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2"></divide><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2"><times id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.1"></times><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.2">𝜂</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.2.3">𝜉</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3"><times id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.1"></times><cn id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.2">2</cn><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.2">𝜎</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex53.m1.1.1.4.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1"><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><times id="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3"><log id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.1"></log><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply><apply id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐳</ci><ci id="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐤</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex53.m1.1c">\displaystyle-\frac{N+\eta+2}{2}\sum_{j=1}^{G}\log\sigma_{j}^{2}-\sum_{j=1}^{G% }\frac{\eta\xi}{2\sigma_{j}^{2}}-\sum_{k=1}^{K^{*}}\log p\left(\mathbf{z}^{% \mathbf{k}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex53.m1.1d">- divide start_ARG italic_N + italic_η + 2 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_G end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_η italic_ξ end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_p ( bold_z start_POSTSUPERSCRIPT bold_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left\langle\boldsymbol{\lambda}% _{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}\mathbf{D}_{\mathbf{i}}\left\langle\lambda_{% \boldsymbol{i}}\right\rangle+\operatorname{tr}\left[\mathbf{D}_{\mathbf{i}}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\boldsymbol{\lambda}_{% \boldsymbol{i}}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol% {i}}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle^{T}\right)\right]\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex54.m1.2"><semantics id="A2.Ex54.m1.2a"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2a" xref="A2.Ex54.m1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3a" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.cmml"><mn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2a" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></msup><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.1.1.cmml">tr</mi><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">[</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">𝐃</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">𝐢</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">𝒊</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">𝒊</mi></msub><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex54.m1.2b"><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2"><minus id="A2.Ex54.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2"></minus><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1"><times id="A2.Ex54.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.2"></times><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3"><divide id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3"></divide><cn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1"><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><set id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"></plus><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒊</ci></apply></apply><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.2">𝐃</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.4.3">𝐢</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝒊</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"><ci id="A2.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.1.1">tr</ci><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝐃</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝐢</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><minus id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝒊</ci></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝒊</ci></apply><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝒊</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3">𝒊</ci></apply></apply><ci id="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.Ex54.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex54.m1.2c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left\{\left\langle\boldsymbol{\lambda}% _{\boldsymbol{i}}\right\rangle^{T}\mathbf{D}_{\mathbf{i}}\left\langle\lambda_{% \boldsymbol{i}}\right\rangle+\operatorname{tr}\left[\mathbf{D}_{\mathbf{i}}% \left(\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\boldsymbol{\lambda}_{% \boldsymbol{i}}^{T}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol% {i}}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\lambda}_{\boldsymbol{i}}\right% \rangle^{T}\right)\right]\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex54.m1.2d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT { ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_D start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + roman_tr [ bold_D start_POSTSUBSCRIPT bold_i end_POSTSUBSCRIPT ( ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ - ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_italic_λ start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_i end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) ] }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}-\frac{1% }{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\right)\widetilde{\omega}_{0}^{2}+\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\widetilde{\omega}_{1}^{2}\right]\tau_{ik}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex55.m1.1"><semantics id="A2.Ex55.m1.1a"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml"><munderover id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A2.Ex55.m1.1.1.1.3a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mrow id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.Ex55.m1.1b"><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1"><minus id="A2.Ex55.m1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.2"></minus><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3"><minus id="A2.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3"></minus><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.3.2.1"></times><apply 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xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><apply id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex55.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.Ex55.m1.1c">\displaystyle-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\log\tau_{ik}-\frac{1% }{2}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(1-\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\right)\widetilde{\omega}_{0}^{2}+\left\langle\tilde{\gamma}_{% ik}\right\rangle\widetilde{\omega}_{1}^{2}\right]\tau_{ik}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.Ex55.m1.1d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_log italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( 1 - ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ over~ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{multlined}+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}% \left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}% \right.\\ +\left.\left(N-\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right)\right]\end{multlined}+\sum_{k=1% }^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right% \rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right.\\ +\left.\left(N-\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right)\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E17.m1.1"><semantics id="A2.E17.m1.1a"><mtable align="bottom1" id="A2.E17.m1.1.1.2" rowspacing="0pt" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mtr id="A2.E17.m1.1.1.2a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A2.E17.m1.1.1.2b" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E15.20.20a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.1.1.1" xref="A2.E15.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E15.20.20a.21" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E15.20.20a.21a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E15.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E15.3.3.3.1" xref="A2.E15.3.3.3.1.cmml"><mi id="A2.E15.3.3.3.1.2" xref="A2.E15.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="A2.E15.3.3.3.1.1" xref="A2.E15.3.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E15.3.3.3.1.3" xref="A2.E15.3.3.3.1.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.E15.4.4.4.1" xref="A2.E15.4.4.4.1.cmml"><mi id="A2.E15.4.4.4.1.2" xref="A2.E15.4.4.4.1.2.cmml">K</mi><mo id="A2.E15.4.4.4.1.3" xref="A2.E15.4.4.4.1.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.E15.20.20a.22" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.5.5.5" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="A2.E15.20.20a.22.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.6.6.6" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E15.20.20a.22.1.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E15.20.20a.22.1.1a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.7.7.7" movablelimits="false" xref="A2.E15.7.7.7.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E15.8.8.8.1" xref="A2.E15.8.8.8.1.cmml"><mi id="A2.E15.8.8.8.1.2" xref="A2.E15.8.8.8.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E15.8.8.8.1.1" xref="A2.E15.8.8.8.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E15.8.8.8.1.3" xref="A2.E15.8.8.8.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E15.9.9.9.1" xref="A2.E15.9.9.9.1.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.E15.20.20a.22.1.2" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.10.10.10" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E15.20.20a.22.1.2.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E15.11.11.11" xref="A2.E15.11.11.11.cmml"><mi id="A2.E15.11.11.11.2" xref="A2.E15.11.11.11.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.E15.11.11.11.1" xref="A2.E15.11.11.11.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.E15.12.12.12.1" xref="A2.E15.12.12.12.1.cmml"><mi id="A2.E15.12.12.12.1.2" xref="A2.E15.12.12.12.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E15.12.12.12.1.1" xref="A2.E15.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E15.12.12.12.1.3" xref="A2.E15.12.12.12.1.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E15.13.13.13" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E15.14.14.14" rspace="0.167em" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E15.15.15.15" xref="A2.E15.15.15.15.cmml">log</mi><mstyle displaystyle="true" id="A2.E15.20.20a.22.2" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E15.20.20a.22.2a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E15.16.16.16" movablelimits="false" xref="A2.E15.16.16.16.cmml">∏</mo><mrow id="A2.E15.17.17.17.1" xref="A2.E15.17.17.17.1.cmml"><mi id="A2.E15.17.17.17.1.2" xref="A2.E15.17.17.17.1.2.cmml">l</mi><mo id="A2.E15.17.17.17.1.1" xref="A2.E15.17.17.17.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E15.17.17.17.1.3" xref="A2.E15.17.17.17.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E15.18.18.18.1" xref="A2.E15.18.18.18.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.E15.20.20a.22.3" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E15.19.19.19" xref="A2.E15.19.19.19.cmml">v</mi><mi id="A2.E15.20.20.20.1" xref="A2.E15.20.20.20.1.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A2.E17.m1.1.1.2c" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A2.E17.m1.1.1.2d" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.E16.23.23a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.1.1.1" xref="A2.E16.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E16.23.23a.24" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.2.2.2" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A2.E16.3.3.3" xref="A2.E16.3.3.3.cmml">N</mi><mo id="A2.E16.4.4.4" xref="A2.E16.4.4.4.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E16.23.23a.24.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E16.23.23a.24.1a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.5.5.5" movablelimits="false" xref="A2.E16.5.5.5.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E16.6.6.6.1" xref="A2.E16.6.6.6.1.cmml"><mi id="A2.E16.6.6.6.1.2" xref="A2.E16.6.6.6.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E16.6.6.6.1.1" xref="A2.E16.6.6.6.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E16.6.6.6.1.3" xref="A2.E16.6.6.6.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E16.7.7.7.1" xref="A2.E16.7.7.7.1.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.E16.23.23a.24.2" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.8.8.8" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">⟨</mo><msub id="A2.E16.23.23a.24.2.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.E16.9.9.9" xref="A2.E16.9.9.9.cmml"><mi id="A2.E16.9.9.9.2" xref="A2.E16.9.9.9.2.cmml">γ</mi><mo id="A2.E16.9.9.9.1" xref="A2.E16.9.9.9.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="A2.E16.10.10.10.1" xref="A2.E16.10.10.10.1.cmml"><mi id="A2.E16.10.10.10.1.2" xref="A2.E16.10.10.10.1.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E16.10.10.10.1.1" xref="A2.E16.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A2.E16.10.10.10.1.3" xref="A2.E16.10.10.10.1.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A2.E16.11.11.11" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A2.E16.12.12.12" rspace="0.167em" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A2.E16.13.13.13" xref="A2.E16.13.13.13.cmml">log</mi><mrow id="A2.E16.23.23a.25" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.14.14.14" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="A2.E16.15.15.15" xref="A2.E16.15.15.15.cmml">1</mn><mo id="A2.E16.16.16.16" xref="A2.E16.16.16.16.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="A2.E16.23.23a.25.1" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><munderover id="A2.E16.23.23a.25.1a" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E16.17.17.17" movablelimits="false" xref="A2.E16.17.17.17.cmml">∏</mo><mrow id="A2.E16.18.18.18.1" xref="A2.E16.18.18.18.1.cmml"><mi id="A2.E16.18.18.18.1.2" xref="A2.E16.18.18.18.1.2.cmml">l</mi><mo id="A2.E16.18.18.18.1.1" xref="A2.E16.18.18.18.1.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E16.18.18.18.1.3" xref="A2.E16.18.18.18.1.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E16.19.19.19.1" xref="A2.E16.19.19.19.1.cmml">k</mi></munderover></mstyle><msub id="A2.E16.23.23a.25.2" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A2.E16.20.20.20" xref="A2.E16.20.20.20.cmml">v</mi><mi id="A2.E16.21.21.21.1" xref="A2.E16.21.21.21.1.cmml">l</mi></msub><mo id="A2.E16.22.22.22" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.E16.23.23.23" xref="A2.E17.m1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.E17.m1.1b"><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><plus id="A2.E15.1.1.1.cmml" xref="A2.E15.1.1.1"></plus><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E15.2.2.2.cmml" xref="A2.E15.2.2.2"></sum><apply id="A2.E15.3.3.3.1.cmml" xref="A2.E15.3.3.3.1"><eq id="A2.E15.3.3.3.1.1.cmml" xref="A2.E15.3.3.3.1.1"></eq><ci id="A2.E15.3.3.3.1.2.cmml" xref="A2.E15.3.3.3.1.2">𝑘</ci><cn id="A2.E15.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" 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id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><minus id="A2.E16.4.4.4.cmml" xref="A2.E16.4.4.4"></minus><ci id="A2.E16.3.3.3.cmml" xref="A2.E16.3.3.3">𝑁</ci><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E16.5.5.5.cmml" xref="A2.E16.5.5.5"></sum><apply id="A2.E16.6.6.6.1.cmml" xref="A2.E16.6.6.6.1"><eq id="A2.E16.6.6.6.1.1.cmml" xref="A2.E16.6.6.6.1.1"></eq><ci id="A2.E16.6.6.6.1.2.cmml" xref="A2.E16.6.6.6.1.2">𝑖</ci><cn id="A2.E16.6.6.6.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E16.6.6.6.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E16.7.7.7.1.cmml" xref="A2.E16.7.7.7.1">𝑁</ci></apply><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A2.E16.9.9.9.cmml" xref="A2.E16.9.9.9"><ci id="A2.E16.9.9.9.1.cmml" xref="A2.E16.9.9.9.1">~</ci><ci id="A2.E16.9.9.9.2.cmml" xref="A2.E16.9.9.9.2">𝛾</ci></apply><apply id="A2.E16.10.10.10.1.cmml" xref="A2.E16.10.10.10.1"><times id="A2.E16.10.10.10.1.1.cmml" xref="A2.E16.10.10.10.1.1"></times><ci id="A2.E16.10.10.10.1.2.cmml" xref="A2.E16.10.10.10.1.2">𝑖</ci><ci id="A2.E16.10.10.10.1.3.cmml" xref="A2.E16.10.10.10.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><log id="A2.E16.13.13.13.cmml" xref="A2.E16.13.13.13"></log><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><minus id="A2.E16.16.16.16.cmml" xref="A2.E16.16.16.16"></minus><cn id="A2.E16.15.15.15.cmml" type="integer" xref="A2.E16.15.15.15">1</cn><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A2.E16.17.17.17.cmml" xref="A2.E16.17.17.17">product</csymbol><apply id="A2.E16.18.18.18.1.cmml" xref="A2.E16.18.18.18.1"><eq id="A2.E16.18.18.18.1.1.cmml" xref="A2.E16.18.18.18.1.1"></eq><ci id="A2.E16.18.18.18.1.2.cmml" xref="A2.E16.18.18.18.1.2">𝑙</ci><cn id="A2.E16.18.18.18.1.3.cmml" type="integer" xref="A2.E16.18.18.18.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E16.19.19.19.1.cmml" xref="A2.E16.19.19.19.1">𝑘</ci></apply><apply id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E17.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E16.20.20.20.cmml" xref="A2.E16.20.20.20">𝑣</ci><ci id="A2.E16.21.21.21.1.cmml" xref="A2.E16.21.21.21.1">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E17.m1.1c">\displaystyle\begin{multlined}+\sum_{k=1}^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}% \left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}% \right.\\ +\left.\left(N-\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right)\right]\end{multlined}+\sum_{k=1% }^{K^{*}}\left[\left(\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right% \rangle\right)\log\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right.\\ +\left.\left(N-\sum_{i=1}^{N}\left\langle\tilde{\gamma}_{ik}\right\rangle% \right)\log\left(1-\prod_{l=1}^{k}v_{l}\right)\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E17.m1.1d">start_ROW start_CELL + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT [ ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) roman_log ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + ( italic_N - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) roman_log ( 1 - ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ] end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+(\tilde{\alpha}-1)\sum_{k=1}^{K^{*}}\log v_{k}-\sum_{i=1}^{N}% \sum_{l=1}^{C}y_{il}\mathbf{w}_{l}^{T}\left\langle\widetilde{\boldsymbol{% \gamma}}_{i}^{\prime}\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.Ex56.m1.2"><semantics id="A2.Ex56.m1.2a"><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.cmml"><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1a" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A2.Ex56.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.cmml"><munderover id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2a" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.cmml"><munderover id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2a" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.2.2.3.3" 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id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.2a" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝜸</mi><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml 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id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3"><times id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.2">𝐰</ci><ci id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.Ex56.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A2.E18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\sum_{i=1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(% \mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]% \Biggr{\rangle}+\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="A2.E18.m1.4"><semantics id="A2.E18.m1.4a"><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1a" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E18.m1.2.2" xref="A2.E18.m1.2.2.cmml">log</mi><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">C</mi></munderover></mstyle><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A2.E18.m1.1.1" xref="A2.E18.m1.1.1.cmml">exp</mi><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><log id="A2.E18.m1.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.2.2"></log><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐶</ci></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><exp id="A2.E18.m1.1.1.cmml" xref="A2.E18.m1.1.1"></exp><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐰</ci><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜸</ci></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3"><times id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2"><divide id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2"></divide><cn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.3a.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.3"><mtext id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.3.3">W</mtext></ci></apply><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.2.1">delimited-∥∥</csymbol><ci id="A2.E18.m1.3.3.cmml" xref="A2.E18.m1.3.3">𝐖</ci></apply><ci id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.2.3">𝐹</ci></apply><cn id="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="A2.E18.m1.4.4.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.E18.m1.4c">\displaystyle+\sum_{i=1}^{N}\Biggl{\langle}\log\left[\sum_{l=1}^{C}\exp\left(% \mathbf{w}_{l}^{T}\widetilde{\boldsymbol{\gamma}}_{i}^{\prime}\right)\right]% \Biggr{\rangle}+\frac{1}{2}\lambda_{\text{W}}\lVert\mathbf{W}\rVert_{F}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.E18.m1.4d">+ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ roman_log [ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_C end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG bold_italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ⟩ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT W end_POSTSUBSCRIPT ∥ bold_W ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="A2.p5"> <p class="ltx_p" id="A2.p5.2">and the variables at which the new <math alttext="Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p5.1.m1.2"><semantics id="A2.p5.1.m1.2a"><mrow id="A2.p5.1.m1.2.2" xref="A2.p5.1.m1.2.2.cmml"><mi id="A2.p5.1.m1.2.2.3" xref="A2.p5.1.m1.2.2.3.cmml">Q</mi><mo id="A2.p5.1.m1.2.2.2" xref="A2.p5.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝚫</mi><mo id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msup id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝚫</mi><mrow id="A2.p5.1.m1.1.1.1.3" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A2.p5.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A2.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="A2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="A2.p5.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup></mrow><mo id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A2.p5.1.m1.2b"><apply id="A2.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2"><times id="A2.p5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.2"></times><ci id="A2.p5.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.3">𝑄</ci><apply id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝚫</ci><apply id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝚫</ci><ci id="A2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A2.p5.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A2.p5.1.m1.2c">Q(\boldsymbol{\Delta}\mid\boldsymbol{\Delta}^{(t)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A2.p5.1.m1.2d">italic_Q ( bold_Δ ∣ bold_Δ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> will be maximised in the M step are now <math alttext="\boldsymbol{\Delta}=\{\mathbf{Z},\boldsymbol{\Sigma},\mathbf{T},\mathbf{W},\nu\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A2.p5.2.m2.5"><semantics id="A2.p5.2.m2.5a"><mrow id="A2.p5.2.m2.5.6" xref="A2.p5.2.m2.5.6.cmml"><mi id="A2.p5.2.m2.5.6.2" xref="A2.p5.2.m2.5.6.2.cmml">𝚫</mi><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.1" xref="A2.p5.2.m2.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml"><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml">{</mo><mi id="A2.p5.2.m2.1.1" xref="A2.p5.2.m2.1.1.cmml">𝐙</mi><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2.2" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.p5.2.m2.2.2" xref="A2.p5.2.m2.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2.3" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.p5.2.m2.3.3" xref="A2.p5.2.m2.3.3.cmml">𝐓</mi><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2.4" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="A2.p5.2.m2.4.4" xref="A2.p5.2.m2.4.4.cmml">𝐖</mi><mo id="A2.p5.2.m2.5.6.3.2.5" xref="A2.p5.2.m2.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi 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