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mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Kwantyfikator ogólny i szczegółowy</span> </button> <ul id="toc-Kwantyfikator_ogólny_i_szczegółowy-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Zmienne_związane" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Zmienne_związane"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Zmienne związane</span> </div> </a> <ul id="toc-Zmienne_związane-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kwantyfikatory_ograniczone" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kwantyfikatory_ograniczone"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Kwantyfikatory ograniczone</span> </div> </a> <ul id="toc-Kwantyfikatory_ograniczone-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a 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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div 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Treść dostępna w 36 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-36" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">36 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%83%D9%85%D9%85" title="مكمم – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="مكمم" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Квантор – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Квантор" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Quantificador_(l%C3%B2gica)" title="Quantificador (lògica) – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Quantificador (lògica)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvantifik%C3%A1tor" title="Kvantifikátor – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kvantifikátor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kvantor" title="Kvantor – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Kvantor" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quantor" title="Quantor – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Quantor" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kvantifikatsioon_(loogika)" title="Kvantifikatsioon (loogika) – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Kvantifikatsioon (loogika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier_(logic)" title="Quantifier (logic) – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Quantifier (logic)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador" title="Cuantificador – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Cuantificador" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kvantizanto" title="Kvantizanto – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kvantizanto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link 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(nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kvantor" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantifica%C3%A7%C3%A3o" title="Quantificação – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Quantificação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Квантор – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Квантор" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Logical_quantifier" title="Logical quantifier – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Logical quantifier" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kvantifik%C3%A1tor_(logika)" title="Kvantifikátor (logika) – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kvantifikátor (logika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Kvantifikator_(logika)" title="Kvantifikator (logika) – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Kvantifikator (logika)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" 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(数理逻辑) – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="量化 (数理逻辑)" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q592911#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Kwantyfikator" title="Zobacz stronę treści [c]" 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class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Kwantyfikator"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Kwantyfikator" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Kwantyfikator" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&oldid=74886290" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Kwantyfikator&id=74886290&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FKwantyfikator"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FKwantyfikator"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Kwantyfikator"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Kwantyfikator&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q592911" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="metadata plainlinks mbox mbox-content" tabindex="0"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75298054">.mw-parser-output .mbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid var(--color-progressive,#36c);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;margin:0 10%0.5em 10%;display:grid;padding:.3em;gap:.3em;grid-template-columns:60px 1fr;align-items:center;word-break:break-word}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:60px 1fr min-content}.mw-parser-output .mbox.without-icon{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .mbox-iconright,.mw-parser-output .mbox-icon{justify-self:center}.mw-parser-output .mbox-icon img{max-width:100%;object-fit:contain}.mw-parser-output .mbox p{font-size:inherit}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .mbox{margin-left:0;margin-right:0}}@media(max-width:600px){.mw-parser-output .mbox{width:100%}}@media(max-width:450px){.mw-parser-output .mbox-iconright{grid-row:2;grid-column:1/span 2;justify-self:end}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:40px 1fr}.mw-parser-output .mbox{grid-template-columns:40px 1fr;font-size:0.85rem}}.mw-parser-output .mbox+.mbox{margin-top:calc(-0.5em - 1px)}.mw-parser-output .mbox.mbox-serious{border-left-color:#d33}.mw-parser-output .mbox.mbox-content{border-left-color:#f28500}.mw-parser-output .mbox.mbox-notice{border-left-color:var(--color-progressive,#36c)}.mw-parser-output .mbox.mbox-merge{border-left-color:#9932cc}body.ns-6 .mw-parser-output .mbox{width:unset;max-width:unset}</style> <div class="mbox-icon"> <div><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność"><img alt="Wikipedia:Weryfikowalność" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></a></span></div></div> <div class="mbox-text"><b>Ten artykuł od 2010-11 wymaga <a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność">zweryfikowania</a> podanych informacji.</b><div class="hide-when-compact">Należy podać wiarygodne źródła w formie <a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">przypisów bibliograficznych</a>.<br /><small>Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.</small><br /><small><i>Sprawdź w źródłach:</i> <span class="plainlinks"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/szukaj/Kwantyfikator.html">Encyklopedia PWN</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Kwantyfikator%22">Google Books</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://scholar.google.com/scholar?q=%22Kwantyfikator%22">Google Scholar</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://fbc.pionier.net.pl/search#fq={!tag=dcterms_accessRights}dcterms_accessRights%3A%22Dost%C4%99p%20otwarty%22&q=%22Kwantyfikator%22">Federacja Bibliotek Cyfrowych</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://bazhum.muzhp.pl/artykul/lista/?generalQuery=%22Kwantyfikator%22">BazHum</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://yadda.icm.edu.pl/baztech/search/page.action?qt=SEARCH&q=c_0language_0eq.all*sc.article*c_0keywords_0eq.Kwantyfikator*l_0*c_0fulltext_0eq.all">BazTech</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://rcin.org.pl/dlibra/results?q=%22Kwantyfikator%22&action=SimpleSearchAction&type=-6&p=0">RCIN</a> • Internet Archive (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/texts?query=%22Kwantyfikator%22">texts</a> / <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/inlibrary?query=%22Kwantyfikator%22">inlibrary</a>)</span></small><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%">Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w <a href="/wiki/Dyskusja:Kwantyfikator" title="Dyskusja:Kwantyfikator">dyskusji tego artykułu</a>.</span><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%"> Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon <a href="/wiki/Szablon:Dopracowa%C4%87" title="Szablon:Dopracować">{{Dopracować}}</a> z tego artykułu.</span></div></div> </div> <p><b>Kwantyfikator</b> – termin przyjęty w <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyce</a> i <a href="/wiki/Logika_matematyczna" title="Logika matematyczna">logice matematycznej</a> na oznaczenie zwrotów: <b>dla każdego</b>, <b>istnieje takie</b> i im pokrewnych<sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>, a także odpowiadającym im symbolom wiążącym zmienne w <a href="/wiki/Rachunek_predykat%C3%B3w_pierwszego_rz%C4%99du#Formalizacja_języka" title="Rachunek predykatów pierwszego rzędu">formułach</a>. Są podstawowym elementem w rozwoju <a href="/wiki/Rachunek_predykat%C3%B3w_pierwszego_rz%C4%99du" title="Rachunek predykatów pierwszego rzędu">logiki pierwszego rzędu</a>. </p><p>Kwantyfikatory odgrywają ważną rolę w formułowaniu <a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzeń</a> i <a href="/wiki/Definicja" title="Definicja">definicji</a> matematycznych. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kwantyfikator_ogólny_i_szczegółowy"><span id="Kwantyfikator_og.C3.B3lny_i_szczeg.C3.B3.C5.82owy"></span>Kwantyfikator ogólny i szczegółowy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Kwantyfikator ogólny i szczegółowy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kwantyfikator ogólny i szczegółowy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobne artykuły: <a href="/wiki/Kwantyfikator_og%C3%B3lny" title="Kwantyfikator ogólny">Kwantyfikator ogólny</a> i <a href="/wiki/Kwantyfikator_egzystencjalny" title="Kwantyfikator egzystencjalny">Kwantyfikator egzystencjalny</a>.</i></div> <p>Zwrot <i>dla każdego x</i> nazywa się <b><a href="/wiki/Kwantyfikator_og%C3%B3lny" title="Kwantyfikator ogólny">kwantyfikatorem ogólnym</a></b>, <b>kwantyfikatorem dużym</b> lub <b>kwantyfikatorem uniwersalnym</b> wiążącym zmienną <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"></span> Kwantyfikator ogólny oznacza się symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3fa2fb002baecbc5038bd3dd42bab57448b315" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall x}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\wedge } _{x},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mo>∧</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\wedge } _{x},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de47bdd0618bcddfc849c104b194dbe7572c5bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.197ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\wedge } _{x},}"></span> sporadycznie można spotkać również symbol (x) użyty w tym kontekście. </p><p>Zwrot <i>istnieje takie x, że...</i> uważa się za równoważny zwrotowi: <i>dla pewnego x</i> i nazywa się <b>kwantyfikatorem szczegółowym</b>, <b>kwantyfikatorem małym</b> lub <a href="/wiki/Kwantyfikator_egzystencjalny" title="Kwantyfikator egzystencjalny">kwantyfikatorem egzystencjalnym</a> wiążącym zmienną <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"></span> Kwantyfikator szczegółowy oznacza się symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab833914405cde960b3b9af3feaa9e4fef96ffa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists x}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathop {\vee } _{x},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP"> <mo>∨</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathop {\vee } _{x},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc3a4b17d043f732fb7ed9918be870a55104760" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:2.197ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mathop {\vee } _{x},}"></span> rzadziej także symbolem (Ex). </p><p>Stosowany jest także kwantyfikator <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !x,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb0497844c4638682e094fed786044082550114" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.916ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exists !x,}"></span> a wypowiedź w tym przypadku brzmi: „istnieje dokładnie jeden x”. Formuły używające tego kwantyfikatora można zredukować do formuł odwołujących się tylko do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall ,\exists .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall ,\exists .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2e8b010ebd42096645ff139bca1853ea93e375" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.266ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall ,\exists .}"></span> Np. zdanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists !x)P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists !x)P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c332e0fe5cb9014519cd6ac038a533831a1a3725" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.963ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists !x)P(x)}"></span> jest równoważne </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Big (}\exists x{\Big )}{\Big (}P(x)\ \wedge {\big (}\forall y{\big )}{\big (}P(y)\ \Rightarrow \ x=y{\big )}{\Big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Big (}\exists x{\Big )}{\Big (}P(x)\ \wedge {\big (}\forall y{\big )}{\big (}P(y)\ \Rightarrow \ x=y{\big )}{\Big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4f0a30188326f1ce4dae7941708a2c0bd4b64e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.645ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\Big (}\exists x{\Big )}{\Big (}P(x)\ \wedge {\big (}\forall y{\big )}{\big (}P(y)\ \Rightarrow \ x=y{\big )}{\Big )}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zmienne_związane"><span id="Zmienne_zwi.C4.85zane"></span>Zmienne związane</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Zmienne związane" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zmienne związane"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Zmienna</b> występująca przy znaku kwantyfikatora nazywa się <b>zmienną związaną</b> danym kwantyfikatorem. Natomiast zmienna występująca w wyrażeniu matematycznym, która nie jest związana żadnym kwantyfikatorem, ani nie ma wartości ustalonej we wcześniejszym rozumowaniu, nazywa się <b>zmienną wolną</b>. Wyrażenie następujące po kwantyfikatorze, objęte tym kwantyfikatorem, nazywa się <b>zasięgiem</b> kwantyfikatora. </p><p>Stosując kwantyfikator do <a href="/wiki/Funkcja_zdaniowa" title="Funkcja zdaniowa">formy zdaniowej</a>, otrzymuje się nową formę zdaniową lub zdanie. Działanie to, zwane <b>kwantyfikowaniem</b>, jest funkcją jednoargumentową określoną w zbiorze form zdaniowych, której wartościami są zdania lub formy zdaniowe. </p><p>Kwantyfikatory przekształcają formy zdaniowe jednej zmiennej w zdania prawdziwe lub fałszywe. Kwantyfikując formę zdaniową mającą więcej niż jedną zmienną wolną, otrzymuje się nową formę zdaniową. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kwantyfikatory_ograniczone">Kwantyfikatory ograniczone</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Kwantyfikatory ograniczone" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kwantyfikatory ograniczone"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Czasami używa się kwantyfikatorów w których zmienna jest ograniczona do jakiegoś zbioru, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in A,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf500634d4fd89b5d4bbee146d35c132206fe07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.853ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in A,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists x\in A.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x\in A.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9289dd1f959e3314c220544fce3acbb8ba2acbcc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.853ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists x\in A.}"></span> Kwantyfikatory te nazywane są <b>kwantyfikatorami ograniczonymi</b> i czyta się je <i>dla każdego elementu x ze zbioru A mamy że</i>, <i>istnieje element x w zbiorze A taki, że</i>. Kwantyfikatory te są skrótami następujących zapisów: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae0c545f73f8c431a1447990ecd9d8a61c55390" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}"></span> to skrót na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in A\ \Rightarrow \ P(x){\big )},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in A\ \Rightarrow \ P(x){\big )},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e00535568c0e5ee22a420255fdd506567a644f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.102ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in A\ \Rightarrow \ P(x){\big )},}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27da27db662f7854d597bc884b72f3d040b56b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}"></span> to skrót na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in A\ \wedge \ P(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in A\ \wedge \ P(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16288301c691f5b6ea3a186bad6b4096a8ec50d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.07ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in A\ \wedge \ P(x){\big )}.}"></span></li></ul> <p>Zbiór <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> powyżej bywa nazywany <b>dziedziną</b> lub <b>uniwersum</b> kwantyfikatora. Należy zwrócić uwagę, że jeśli uniwersum kwantyfikatora jest puste, to wartość logiczna otrzymanego zdania nie zależy od formuły <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb95461f16ba60ea4c17f47816a028e2fe113dbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.531ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x).}"></span> I tak, dla każdej formuły <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)}"></span> (z jedną zmienną wolną <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\forall x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\forall x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1dab85bdc3d5c0ea7888c2644d4dafd3e83a7a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.769ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\forall x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"></span> jest zdaniem prawdziwym, a</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead8adc0332f57cfcea0ebec48ade0a45fdcc944" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.769ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"></span> jest zdaniem fałszywym.</li></ul> <p>Aby przekonać się o słuszności powyższego stwierdzenia, wystarczy zauważyć, iż pierwsze zdanie oznacza </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1368ba3498e303d9d2c6f3bed5b4ecd6efc9719f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.521ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\forall x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x){\big )}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Stwierdzenie „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \emptyset }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \emptyset }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba688a9d5f3c30641d33c59f4a844e720caa9fed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in \emptyset }"></span>” jest zdaniem fałszywym (jakikolwiek wziąć <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), zatem <a href="/wiki/Implikacja_materialna" title="Implikacja materialna">implikacja</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c9678c73534d66a5fa337a03ae310e6f8485b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.993ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in \emptyset \ \Rightarrow \ P(x)}"></span> jest prawdziwa dla wszystkich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"></span> </p><p>Rozważając zdanie „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead8adc0332f57cfcea0ebec48ade0a45fdcc944" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.769ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\exists x\in \emptyset {\big )}{\big (}P(x){\big )}}"></span>”, zauważamy, że oznacza ono </p> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \wedge \ P(x){\big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \wedge \ P(x){\big )}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218e8bc8cc9f1627d8ba4ddf525ea6f960e18118" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.49ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\exists x{\big )}{\big (}x\in \emptyset \ \wedge \ P(x){\big )}.}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>Stwierdzenie „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \emptyset }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \emptyset }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba688a9d5f3c30641d33c59f4a844e720caa9fed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.333ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in \emptyset }"></span>” jest zdaniem fałszywym (jakikolwiek wziąć <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), zatem <a href="/wiki/Koniunkcja_(logika)" title="Koniunkcja (logika)">koniunkcja</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \emptyset \ \wedge \ P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \emptyset \ \wedge \ P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7044cd9f6e5473ccdbdd06b783e0651dcaa37afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in \emptyset \ \wedge \ P(x)}"></span> jest fałszywa dla wszystkich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"></span> </p><p>Równoważnie, kwantyfikatory ograniczone można wprowadzić następująco. </p> <ul><li>Zdanie „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae0c545f73f8c431a1447990ecd9d8a61c55390" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x\in A)P(x)}"></span>” oznacza, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}=A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>:</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}=A,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f3f87f1126d0f9a8b8e41005a559d714d12d26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}=A,}"></span></li> <li>zdanie „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27da27db662f7854d597bc884b72f3d040b56b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x\in A)P(x)}"></span>” oznacza, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}\neq \emptyset .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>:</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>≠</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}\neq \emptyset .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0120b26e717bd8c4d8aa3d9bffef85950c7666a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}\neq \emptyset .}"></span></li></ul> <p>Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\emptyset ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\emptyset ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14c366c30227321c21ec130e725c2629240f0f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.651ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=\emptyset ,}"></span> to oba zbiory <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo>:</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7dc6366966b7c36b64692ac8df6b667f9491351" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.157ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in A\colon P(x)\}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> są puste, a więc równe (bez względu na wybór formuły <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)}"></span>). Czyli „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x\in \emptyset )P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x\in \emptyset )P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da36601539fe52ba31f64aba2f29b08e0623ed8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x\in \emptyset )P(x)}"></span>” jest zawsze prawdziwe. Podobnie, „<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x\in \emptyset )P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x\in \emptyset )P(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22600cf479d4b48e5bf3efca90f26fe0cae24559" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.319ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x\in \emptyset )P(x)}"></span>” jest fałszywe. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady"><span id="Przyk.C5.82ady"></span>Przykłady</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przykłady" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Przypuśćmy, że rozważamy grupę ludzi (zbiór <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span>). W tej grupie pewne osoby znają inne osoby i możemy wprowadzić <a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">relację</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99912f25a511ba09668926dfccce5ae4fc3a99e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z(x,y)}"></span> (na zbiorze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span>) wyrażającą stwierdzenie, że „osoba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> zna osobę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>”. (Zauważmy, że z faktu iż <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> zna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> wcale nie wynika, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> zna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> – np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> może być powszechnie znaną osobistością.) Używając kwantyfikatorów, możemy teraz wyrazić następujące obserwacje:</li></ul> <dl><dd><dl><dd>(a) osoba <b>a</b> zna każdą osobę w grupie: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(Z(\mathbf {a} ,x)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(Z(\mathbf {a} ,x)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2a6a1520075aa487f08d0ec57604c35baf3d73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(Z(\mathbf {a} ,x)),}"></span></dd></dl></dd> <dd>(b) są ludzie którzy nie znają <b>a</b>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(\neg Z(x,\mathbf {a} )),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(\neg Z(x,\mathbf {a} )),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89a9e61d979297ad2683218da36230634392a2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.591ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(\neg Z(x,\mathbf {a} )),}"></span></dd></dl></dd> <dd>(c) każdy zna każdego <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(Z(x,y)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(Z(x,y)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35248766aa7453bde739d947c68e65500f38739" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.154ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(Z(x,y)),}"></span></dd></dl></dd> <dd>(d) pewna osoba nie zna nikogo (poza sobą samą): <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(Z(x,y)\ \Rightarrow \ x=y).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Z</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(Z(x,y)\ \Rightarrow \ x=y).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80f8d0accc6f5cfea846462a06ebf0688cbbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.513ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(Z(x,y)\ \Rightarrow \ x=y).}"></span></dd></dl></dd></dl></dd> <dd>W powyższych przykładach moglibyśmy użyć też kwantyfikatorów ograniczonych (pisząc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be2f44b55b747255d486158719f509396bcad26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.206ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in A}"></span> itd.), nie jest to jednak konieczne, gdyż domniemana dziedzina relacji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}"></span> to właśnie zbiór <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.39ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A.}"></span></dd></dl> <ul><li>Kolejność kwantyfikatorów może mieć znaczenie. Możemy zamienić kolejność kwantyfikatorów <b>tego samego typu</b>, np. poniższe dwie formuły są równoważnymi sformułowaniami stwierdzenia, że <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">⟶</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102a52775550108febc0e228e3f48926739b4006" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.765ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon {\mathbb {R} }\longrightarrow {\mathbb {R} }}"></span> jest <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągła</a>:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\forall \epsilon >0)} (\exists \delta >0)(\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>δ</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\forall \epsilon >0)} (\exists \delta >0)(\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788e5530811afc8da01d12b3f51c9cabea60c090" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:69.83ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\forall \epsilon >0)} (\exists \delta >0)(\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ),}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists \delta >0)} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>δ</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists \delta >0)} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bdcb8fe1653473e7acefc0e9d024a865d197eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:70.218ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists \delta >0)} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}"></span></dd></dl></dd> <dd>Jednak zmieniając kolejność podkreślonej pary kwantyfikatorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall /\exists ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall /\exists ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a3518e2d90820867513b93cc5234ea471fc3a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.394ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall /\exists ,}"></span> otrzymamy definicję o wiele silniejszej własności, tzw. <a href="/wiki/Funkcja_jednostajnie_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja jednostajnie ciągła">jednostajnej ciągłości</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\exists \delta >0)(\forall x\in \mathbb {R} )} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>δ</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>δ</mi> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\exists \delta >0)(\forall x\in \mathbb {R} )} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2f34fe05c5d8bdd4c8e4af7a6d29021c0b3151" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:70.218ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle (\forall \epsilon >0)\underbrace {(\exists \delta >0)(\forall x\in \mathbb {R} )} (\forall h\in \mathbb {R} )(|h|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(x+h)|<\epsilon ).}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li>W formie zdaniowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(x-y=1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(x-y=1),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2723645b81315c50992d61e80400665125b15056" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(x-y=1),}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> jest zmienną związaną, zaś <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> zmienną wolną. Natomiast w wyrażeniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x>y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x>y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a970024c8ea6e50a2488614ab6f80a61bca12b3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x>y)}"></span> obie zmienne są związane.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Podstawowe_własności_logiczne"><span id="Podstawowe_w.C5.82asno.C5.9Bci_logiczne"></span>Podstawowe własności logiczne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Podstawowe własności logiczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Podstawowe własności logiczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R(x),S(x),T(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(x),S(x),T(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c125c3d1eb96506ee99626af5776751239948f60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.574ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R(x),S(x),T(x,y)}"></span> będą formułami albo predykatami w pewnym języku. Następujące zdania są <a href="/wiki/Tautologia_(logika)" title="Tautologia (logika)">tautologiami logicznymi</a>: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (\forall x)(R(x))\ \Leftrightarrow \ (\exists x)(\neg R(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (\forall x)(R(x))\ \Leftrightarrow \ (\exists x)(\neg R(x))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720ad5b047fe082502ce0dd447d0dd4f64aeb413" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (\forall x)(R(x))\ \Leftrightarrow \ (\exists x)(\neg R(x))}"></span> (<a href="/wiki/Prawa_De_Morgana" title="Prawa De Morgana">prawa De Morgana</a>),</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(R(x))\ \Rightarrow \ (\exists x)(R(x)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(R(x))\ \Rightarrow \ (\exists x)(R(x)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6708902393e5816fc7078ab9b67e024acbc282e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(R(x))\ \Rightarrow \ (\exists x)(R(x)),}"></span> o ile dziedzina formy zdaniowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> jest niepusta,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(R(x)\ \wedge \ S(x))\ \Leftrightarrow \ [(\forall x)(R(x))\ \wedge (\forall x)(S(x))],}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mtext> </mtext> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(R(x)\ \wedge \ S(x))\ \Leftrightarrow \ [(\forall x)(R(x))\ \wedge (\forall x)(S(x))],}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce0e58caafefbaf5062b63134f91df1c52d06df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(R(x)\ \wedge \ S(x))\ \Leftrightarrow \ [(\forall x)(R(x))\ \wedge (\forall x)(S(x))],}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [(\forall x)(R(x))\ \vee (\forall x)(S(x))]\ \Rightarrow \ (\forall x)(R(x)\ \vee \ S(x)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>∨</mo> <mtext> </mtext> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [(\forall x)(R(x))\ \vee (\forall x)(S(x))]\ \Rightarrow \ (\forall x)(R(x)\ \vee \ S(x)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec42e8e9e0366cfec69945d2d1ebb5021cfa14d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [(\forall x)(R(x))\ \vee (\forall x)(S(x))]\ \Rightarrow \ (\forall x)(R(x)\ \vee \ S(x)),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(T(x,y))\ \Rightarrow \ (\forall y)(\exists x)(T(x,y)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(T(x,y))\ \Rightarrow \ (\forall y)(\exists x)(T(x,y)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789e30c7eed6691ee2f0b0b5479f422839972beb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(\forall y)(T(x,y))\ \Rightarrow \ (\forall y)(\exists x)(T(x,y)),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\forall y)(\forall x)(T(x,y)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\forall y)(\forall x)(T(x,y)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18019a48f821cdee43c0c0bdc9ee54bee3769d9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x)(\forall y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\forall y)(\forall x)(T(x,y)).}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\exists x)(\exists y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\exists y)(\exists x)(T(x,y)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\exists x)(\exists y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\exists y)(\exists x)(T(x,y)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71c8ac1115c60f6fdcf6199c76122514566de9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\exists x)(\exists y)(T(x,y))\ \Leftrightarrow \ (\exists y)(\exists x)(T(x,y)).}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inne_kwantyfikatory">Inne kwantyfikatory</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Inne kwantyfikatory" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Inne kwantyfikatory"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Wprowadzone powyżej kwantyfikatory <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall ,\exists }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall ,\exists }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65054c57a79c67f0583388db198e359b2e24cc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.619ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall ,\exists }"></span> nie są jedynymi spotykanymi w matematyce. Czasami rozważa się kwantyfikatory po predykatach (<i>kwantyfikatory drugiego rzędu</i>), kwantyfikatory po specjalnych obiektach, czy też kwantyfikatory stwierdzające, że „istnieje <i>dużo</i> obiektów o pewnej własności” albo że „<i>prawie wszystkie</i> obiekty mają pewną własność”. </p><p>W arytmetyce często używa się <i>kwantyfikatorów ograniczonych</i>, czyli takich, które przebiegają tylko pewne przedziały liczb zamiast wszystkich liczb. Wiele twierdzeń ze zwykłymi kwantyfikatorami da się przeformułować do postaci z kwantyfikatorami ograniczonymi, które są znacznie łatwiejsze do dowodzenia zarówno ręcznego, jak i maszynowego. </p><p>Rozważa się także logiki inne niż klasyczna, np. <a href="/wiki/Logika_modalna" title="Logika modalna">logiki modalne</a> lub logiki temporalne. W takich systemach istnieją dodatkowe kwantyfikatory wyrażające niestandardowe własności zmiennych. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Forma_preneksowa" title="Forma preneksowa">forma preneksowa</a></li> <li><a href="/wiki/Kwantyfikator_rozga%C5%82%C4%99ziony" title="Kwantyfikator rozgałęziony">kwantyfikator rozgałęziony</a></li> <li><a href="/wiki/Prawa_rachunku_kwantyfikator%C3%B3w" title="Prawa rachunku kwantyfikatorów">prawa rachunku kwantyfikatorów</a></li> <li><a href="/wiki/Skolemizacja" title="Skolemizacja">skolemizacja</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3929577"><i>kwantyfikator</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2023-11-21]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=kwantyfikator&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3929577" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Kwantyfikator&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> Paweł Lubowiecki, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=mbgufY81Tvc">Elementy logiki i teorii zbiorów cz. II Kwantyfikatory</a></i>, <a href="/wiki/Wojskowa_Akademia_Techniczna_im._Jaros%C5%82awa_D%C4%85browskiego" title="Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego">Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego</a>, kanał „Uczelnia WAT” na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Quantifier">Quantifier</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-08-03].</li> <li><span typeof="mw:File"><span title="Publikacja w zamkniętym dostępie – wymagana rejestracja, też płatna, lub wykupienie subskrypcji"><img alt="Publikacja w zamkniętym dostępie – wymagana rejestracja, też płatna, lub wykupienie subskrypcji" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Closed_Access_logo_alternative.svg/8px-Closed_Access_logo_alternative.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Closed_Access_logo_alternative.svg/12px-Closed_Access_logo_alternative.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Closed_Access_logo_alternative.svg/16px-Closed_Access_logo_alternative.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></span></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/quantifiers/v-1">Quantifiers</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, <a href="/wiki/Routledge_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Routledge Encyclopedia of Philosophy">Routledge Encyclopedia of Philosophy</a>, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].</li></ul> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> Artykuły na <a href="/wiki/Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span> [dostęp 2018-08-07]: </p> <ul><li><cite class="citation"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Gabriel</span><span class="cite-name-initials" title="Gabriel" style="display:none">G.</span> </span><span class="cite-lastname">Uzquiano</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Gabriel</span><span class="cite-name-initials" title="Gabriel">G.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/quantification/"><i>Quantifiers and Quantification</i></a>, 3 września 2014<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Gabriel&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Quantifiers+and+Quantification&rft.date=2014-09-03&rft.aulast=Uzquiano&rft_id=https%3A%2F%2Fplato.stanford.edu%2Fentries%2Fquantification%2F" style="display:none"> </span>.</cite> (Kwantyfikatory i kwantyfikacja)</li> <li><cite class="citation"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Dag</span><span class="cite-name-initials" title="Dag" style="display:none">D.</span> </span><span class="cite-lastname">Westerståhl</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Dag</span><span class="cite-name-initials" title="Dag">D.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/generalized-quantifiers/"><i>Generalized Quantifiers</i></a>, 19 kwietnia 2011<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Dag&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Generalized+Quantifiers&rft.date=2011-04-19&rft.aulast=Westerst%C3%A5hl&rft_id=https%3A%2F%2Fplato.stanford.edu%2Fentries%2Fgeneralized-quantifiers%2F" style="display:none"> </span>.</cite> (Kwantyfikatory uogólnione)</li> <li><cite class="citation"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Øystein</span><span class="cite-name-initials" title="Øystein" style="display:none">Ø.</span> </span><span class="cite-lastname">Linnebo</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Øystein</span><span class="cite-name-initials" title="Øystein">Ø.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/plural-quant/"><i>Plural Quantification</i></a>, 16 maja 2017<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=%C3%98ystein&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Plural+Quantification&rft.date=2017-05-16&rft.aulast=Linnebo&rft_id=https%3A%2F%2Fplato.stanford.edu%2Fentries%2Fplural-quant%2F" style="display:none"> </span>.</cite> (Kwantyfikacja mnoga)</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">operator</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85056323">sh85056323</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4128275-9">4128275-9</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11931538s">11931538s</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=60482">60482</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007536007505171">987007536007505171</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_%C5%81otwy" title="Biblioteka Narodowa Łotwy">LNB</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000183234&P_CON_LNG=ENG">000183234</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/quantifier">topic/quantifier</a></span></li> <li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/quantificatore">quantificatore</a></span></li> <li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296" class="extiw" title="d:Property:P1296">Catalana</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0136016.xml">0136016</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=kvantor">kvantor</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Kwantyfikator&oldid=74886290">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Kwantyfikator&oldid=74886290</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Logika_matematyczna" title="Kategoria:Logika matematyczna">Logika matematyczna</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_wymagaj%C4%85ce_uzupe%C5%82nienia_%C5%BAr%C3%B3de%C5%82_od_2010-11" title="Kategoria:Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2010-11">Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2010-11</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 3 paź 2024, 17:15.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Kwantyfikator&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-qr4c8","wgBackendResponseTime":153,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.277","walltime":"0.504","ppvisitednodes":{"value":1120,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":24317,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3297,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":5788,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":5,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 282.943 1 -total"," 32.64% 92.357 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 30.50% 86.286 1 Szablon:Dopracować"," 22.16% 62.688 1 Szablon:Mbox"," 16.53% 46.759 1 Szablon:Przypisy"," 12.92% 36.565 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 5.98% 16.926 3 Szablon:Lang"," 5.20% 14.711 3 Szablon:SEP3"," 4.08% 11.542 2 Szablon:Ikona"," 3.83% 10.840 1 Szablon:Osobny_artykuł"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.097","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3554953,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-59856bd7d8-8nm5k","timestamp":"20241119184040","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Kwantyfikator","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Kwantyfikator","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q592911","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q592911","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2001-11-05T08:57:07Z","headline":"poj\u0119cie logiki pierwszego rz\u0119du"}</script> </body> </html>