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<!DOCTYPE html> <html lang="en" prefix="dcterms: http://purl.org/dc/terms/"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>1 Introduction</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.12611v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S1" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Function-on-function regression problem</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS2" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Finite-dimensional regressor with exact factor structure</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS3" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Functional factor regression</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Estimation</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS1" title="In 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Primitives</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS2" title="In 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Number of factors</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS3" title="In 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>Least squares estimator</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS4" title="In 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4 </span>Practical implementation</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S5" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Simulation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Application to electricity price curve modeling</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S7" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">7 </span>Conclusion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Sx1" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title">Supporting Information</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1" title=""><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Appendix</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_appendix"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS1" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.1 </span>Proof of Lemma <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS2" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.2 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS3" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.3 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS4" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.4 </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS4.SSS1" title="In A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.4.1 </span>Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS5" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.5 </span>Specification of the simulated coefficient functions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS6" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.6 </span>Functional regression coefficients and confidence regions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS7" title="In Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A.7 </span>Functional pointwise p-values</span></a></li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document"> <div class="ltx_para" id="p1"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.1">\addtokomafont</span> <p class="ltx_p" id="p1.2">disposition <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.1">\setkomafont</span>section <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.2">\setkomafont</span>subsection <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.3">\newdateformat</span>myformat<span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.4">\THEDAY</span>. <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.5">\monthname</span>[<span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.6">\THEMONTH</span>] <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.7">\THEYEAR</span> <span class="ltx_ERROR undefined" id="p1.2.8">\addbibresource</span>Literature.bib <span class="ltx_text" id="p1.2.9" lang="en"></span></p> </div> <div class="ltx_titlepage" id="id1" lang="en"> <div class="ltx_block" id="id1.1"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="id1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id1.1.1.1" style="font-size:144%;">Functional Factor Regression with an Application to Electricity Price Curve Modeling</span></p> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="id1.1.2"> <tr class="ltx_tr" id="id1.1.2.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="id1.1.2.1.1"><span class="ltx_text" id="id1.1.2.1.1.1" style="font-size:120%;">Sven Otto<sup class="ltx_sup" id="id1.1.2.1.1.1.1">†</sup></span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="id1.1.2.1.2"><span class="ltx_text" id="id1.1.2.1.2.1" style="font-size:120%;">Luis Winter<sup class="ltx_sup" id="id1.1.2.1.2.1.1">‡</sup></span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="id1.1.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="id1.1.2.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id1.1.2.2.1.1">University of Cologne</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="id1.1.2.2.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id1.1.2.2.2.1">University of Cologne</span></td> </tr> </table> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="id1.1.3"><span class="ltx_text" id="id1.1.3.1" style="font-size:120%;">March 14<sup class="ltx_sup" id="id1.1.3.1.1">th</sup>, 2025</span></p> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_center ltx_align_middle" id="id1.1.4" style="width:433.6pt;"> <div class="ltx_abstract"> <p class="ltx_p" id="id1.1.4.1.1">We propose a function-on-function linear regression model for time-dependent curve data that is consistently estimated by imposing factor structures on the regressors. An integral operator based on cross-covariances identifies two components for each functional regressor: a predictive low-dimensional component, along with associated factors that are guaranteed to be correlated with the dependent variable, and an infinite-dimensional component that has no predictive power. In order to consistently estimate the correct number of factors for each regressor, we introduce a functional eigenvalue difference test. Our setting allows us to construct a novel central limit theorem for the regression parameters in a fully functional model, making it possible to construct confidence bands and conduct statistical inference. The model is applied to forecast electricity price curves in three different energy markets. Its prediction accuracy is found to be comparable to popular machine learning approaches, while providing statistically valid inference and interpretable insights into the conditional correlation structures of electricity prices. <br class="ltx_break"/> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id1.1.4.1.1.1">Keywords:</span> Functional linear regression, Factor model, Central limit theorem, Eigenvalue difference test, Electricity price modeling <br class="ltx_break"/> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="id1.1.4.1.1.2">JEL Codes:</span> C32, C38, C55, Q47 <br class="ltx_break"/></p> <br class="ltx_break"/> </div> </div> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_center ltx_align_middle" id="id1.1.5" style="width:433.6pt;"> <p class="ltx_p" id="id1.1.5.1"><span class="ltx_rule" style="width:216.8pt;height:0.5pt;background:black;display:inline-block;"> </span></p> <p class="ltx_p" id="id1.1.5.2"><sup class="ltx_sup" id="id1.1.5.2.1"><span class="ltx_text" id="id1.1.5.2.1.1" style="font-size:70%;">†</span></sup><span class="ltx_text" id="id1.1.5.2.2" style="font-size:70%;">Institute of Econometrics and Statistics—University of Cologne, <a class="ltx_ref ltx_href" href="mailto:sven.otto@uni-koeln.de" title="">sven.otto@uni-koeln.de</a> <br class="ltx_break"/><sup class="ltx_sup" id="id1.1.5.2.2.1">‡</sup>Corresponding author: Institute of Econometrics and Statistics—University of Cologne, <a class="ltx_ref ltx_href" href="mailto:l.winter@uni-koeln.de" title="">l.winter@uni-koeln.de</a> <br class="ltx_break"/></span></p> <p class="ltx_p" id="id1.1.5.3"><span class="ltx_text" id="id1.1.5.3.1" style="font-size:70%;">We thank Jörg Breitung, Frédéric Ferraty, Simon Hirsch, Siegfried Hörmann, Dominik Liebl, Alexander Mayer, Oliver Ruhnau, and Fabian Telschow for their valuable comments and suggestions. This work was supported by the Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) under project number 511905296.</span></p> </div> </div> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <section class="ltx_section" id="S1" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.29">Empirical economic research increasingly relies on curve-valued data to capture rich, time-varying heterogeneity in economic variables. Recent macroeconomic studies represent heterogeneous household earnings or consumption as entire functions to reflect distributional dynamics (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.1">\cites</span>Chang.2024Bayer.2025), and model term structures of interest rates and inflation expectations as curves (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.2">\cites</span>Aruoba.2019Inoue.2021). In energy economics, daily electricity price curves are similarly treated as continuous functions (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.3">\cites</span>Liebl.2013Chen.2017Gonzalez.2018). Observing entire curves repeatedly over time requires econometric methods flexible enough to handle infinite-dimensional objects and parsimonious enough to support statistical inference. <br class="ltx_break"/>When both regressors and dependent variables are curves, linear function-on-function regression presents a natural modeling framework. Despite its intuitive appeal, a key limitation has hindered its widespread use in empirical economics: classical estimators achieve consistency but do not yield asymptotic normality for the functional slope operator. The most common estimation approaches are based on principal components spectral truncation (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Imaizumi.2018</span>]</cite>) or Tikhonov/ridge regularization (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Benatia.2017</span>]</cite>). As demonstrated by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.4">\textcite</span>Mas.2007, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.5">\textcite</span>Crambes.2013, and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.6">\textcite</span>Babii.2020, when regressors truly reside in an infinite-dimensional space, the finite-dimensional truncated part may converge at a parametric rate while the infinite-dimensional remaining truncation tail converges only at a slower, nonparametric rate. This discrepancy prevents weak convergence in the underlying operator norm, making the development of inferential methods for standard errors and confidence bands impossible through conventional central limit theorems. Some workarounds for constructing confidence sets involve relaxing coverage requirements to ensure bands contain the true function at most points in the domain rather than everywhere (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Imaizumi.2019</span>]</cite>) or are conservative relying on concentration inequality bounds (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Babii.2020</span>]</cite>). Hypothesis tests have only been developed for i.i.d. scalar-on-function regression (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Cardot.2003</span>]</cite>) or for the operator norm itself (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Kutta.2022</span>]</cite>). However, functional extensions of standard central limit theorem-based regression diagnostic tools, such as standard errors and confidence bands, are ruled out by this fundamental impossibility result. <br class="ltx_break"/>This paper overcomes these limitations by developing a novel functional factor regression framework that preserves the flexibility of unrestricted function-on-function regression while allowing for statistical inference known from multiple linear regression. We argue that the predictive information contained in typical macroeconomic functional regressors (e.g., yield curves, inflation expectation curves, energy spot price curves) is confined to a finite-dimensional subspace, while the remaining infinite-dimensional component does not contribute to the regression relationship. For instance, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.7">\textcite</span>Otto.2025 provide empirical evidence that the functional autoregression operator of yield and mortality curves is indeed of finite rank. <br class="ltx_break"/>This premise leads to an approximate factor structure in which a finite-dimensional factor component of <math alttext="K<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S1.p1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1"><lt id="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><infinity id="S1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">K<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_K < ∞</annotation></semantics></math> factors drives the regression relationship, while the remainder component can be disregarded as it is uncorrelated with all variables in the system. Consequently, the functional slope operator has finite rank and can be identified using the cross-covariance operator between regressor and regressand. This setup naturally extends to multiple functional regressors and accommodates additional scalar covariates and lagged dependent functional variables, making it particularly suitable for functional time series applications. <br class="ltx_break"/>The core of our estimation approach is the product of the cross-covariance operator with its adjoint, denoted as <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_D</annotation></semantics></math>, that identifies precisely which directions in the regressor have predictive power for the response variable. Unlike functional principal component analysis, which captures directions of maximum variance in the regressor, our method isolates factors guaranteed to be correlated with the dependent variable. The number of positive eigenvalues of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">italic_D</annotation></semantics></math> is <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_K</annotation></semantics></math> and its eigenfunctions reveal the directions in which the regressor exhibits predictive power. This structure allows us to estimate the corresponding factor loadings from the sample counterpart of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.p1.5.m5.1a"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.1b"><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.1d">italic_D</annotation></semantics></math>. A similar operator for the purely autoregressive case has been considered by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.8">\textcite</span>Lam.2012 and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.9">\textcite</span>Zhang.2019 in the multivariate literature, and by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.10">\textcite</span>Bathia.2010 and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.11">\textcite</span>Otto.2025 in the context of functional data. Moreover, to consistently estimate the number of factors, we propose a functional equivalent of the eigenvalue difference test proposed by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.12">\textcite</span>Wu.2018, which exploits the property that the population eigenvalues of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.p1.6.m6.1a"><mi id="S1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.p1.6.m6.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m6.1b"><ci id="S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m6.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m6.1d">italic_D</annotation></semantics></math> are exactly zero beyond the <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.p1.7.m7.1a"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m7.1b"><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m7.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m7.1d">italic_K</annotation></semantics></math>-th eigenvalue. <br class="ltx_break"/>Building on this identification strategy, we develop a consistent estimation procedure that enables valid inference. To estimate the functional slope parameter, we perform an auxiliary regression of the functional dependent variable on the estimated factors using ordinary least squares. Our theoretical results establish that the functional factor regression estimator is asymptotically normal, allowing for the construction of valid confidence bands and hypothesis tests. The asymptotic variance accounts for the uncertainty introduced by the generated regressors problem and allows for heteroskedasticity in the functional error term. <br class="ltx_break"/>We demonstrate the practical value of our method through an application to electricity market data to model and forecast daily price curves using demand forecasts and renewable energy generation as functional regressors. Our empirical results reveal economically interpretable patterns in how these variables influence electricity prices throughout the day, visualized through three-dimensional coefficient plots with corresponding p-value heatmaps. The interpretation of the estimated bivariate slope coefficient functions is in line with economic theory and extends our knowledge of prevalent correlation structures in power markets. In out-of-sample forecasting performance, our functional factor regression outperforms both expert and naive models while achieving accuracy comparable to machine learning approaches like LASSO regression, but with the significant advantage of providing interpretable coefficients and valid statistical inference. Our methodology can be applied using our accompanying <span class="ltx_text ltx_font_sansserif" id="S1.p1.29.13">R</span> package "ffr". <br class="ltx_break"/>Function-on-function linear regression models have a long tradition in the mathematical statistics literature (see <span class="ltx_ERROR undefined" id="S1.p1.29.14">\cites</span>Ramsay.1991 Bosq.2000Yao.2005Crambes.2013Crambes.2013Hormann.2014Happ.2018). While these general frameworks impose fewer restrictions than our approach, they fundamentally cannot permit the construction of functional standard errors. Our key insight is that accepting a finite-dimensional predictive component enables asymptotic normality—if the predictive component were infinite-dimensional, the impossibility result discussed above would apply. The eigenvalue difference test we propose not only consistently estimates <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.8.m8.1"><semantics id="S1.p1.8.m8.1a"><mi id="S1.p1.8.m8.1.1" xref="S1.p1.8.m8.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.8.m8.1b"><ci id="S1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m8.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.8.m8.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.8.m8.1d">italic_K</annotation></semantics></math> when finite, but also serves to validate this finite-dimensionality assumption empirically, as the criterion would diverge if <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.9.m9.1"><semantics id="S1.p1.9.m9.1a"><mi id="S1.p1.9.m9.1.1" xref="S1.p1.9.m9.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.9.m9.1b"><ci id="S1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m9.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.9.m9.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.9.m9.1d">italic_K</annotation></semantics></math> were infinite. Our application demonstrates that just 3 to 5 factors suffice to capture the predictive information of functional energy market data. <br class="ltx_break"/>In contrast to the general infinite-dimensional approach, the simpler case assumes finite-dimensional functional regressors (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Hormann.2023</span>]</cite>). Under this stronger restriction, the functional model can be expressed as a well-posed regression with estimators that achieve parametric rates of convergence. While our framework encompasses this as a special case, such models require the covariance operator of the regressors to have finite rank—an overly restrictive assumption that constrains regressors to a finite-dimensional subspace of the function space. Instead, our model requires only the pairwise cross-covariance operators between the functional regressor and response to be of finite rank, while the covariance operator of the regressor itself may have infinite rank. <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p1.29.15">Notations <br class="ltx_break"/></span>Let <math alttext="H=L^{2}([a,b])" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.10.m10.3"><semantics id="S1.p1.10.m10.3a"><mrow id="S1.p1.10.m10.3.3" xref="S1.p1.10.m10.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.10.m10.3.3.3" xref="S1.p1.10.m10.3.3.3.cmml">H</mi><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.2" xref="S1.p1.10.m10.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.10.m10.3.3.1" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.cmml"><msup id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.2" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.3" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.2" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p1.10.m10.1.1" xref="S1.p1.10.m10.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.10.m10.2.2" xref="S1.p1.10.m10.2.2.cmml">b</mi><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.10.m10.3b"><apply id="S1.p1.10.m10.3.3.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3"><eq id="S1.p1.10.m10.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.2"></eq><ci id="S1.p1.10.m10.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.3">𝐻</ci><apply id="S1.p1.10.m10.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1"><times id="S1.p1.10.m10.3.3.1.2.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.2"></times><apply id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.3.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="S1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p1.10.m10.1.1">𝑎</ci><ci id="S1.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="S1.p1.10.m10.2.2">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.10.m10.3c">H=L^{2}([a,b])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.10.m10.3d">italic_H = italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ italic_a , italic_b ] )</annotation></semantics></math> be the space of functions <math alttext="y:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.11.m11.2"><semantics id="S1.p1.11.m11.2a"><mrow id="S1.p1.11.m11.2.3" xref="S1.p1.11.m11.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.11.m11.2.3.2" xref="S1.p1.11.m11.2.3.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.11.m11.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p1.11.m11.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p1.11.m11.2.3.3" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.cmml"><mrow id="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.2" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p1.11.m11.1.1" xref="S1.p1.11.m11.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.2.2" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.11.m11.2.2" xref="S1.p1.11.m11.2.2.cmml">b</mi><mo id="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.p1.11.m11.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p1.11.m11.2.3.3.3" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.11.m11.2b"><apply id="S1.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3"><ci id="S1.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.1">:</ci><ci id="S1.p1.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.2">𝑦</ci><apply id="S1.p1.11.m11.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3"><ci id="S1.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.1">→</ci><interval closure="closed" id="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.2.2"><ci id="S1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.p1.11.m11.1.1">𝑎</ci><ci id="S1.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.2">𝑏</ci></interval><ci id="S1.p1.11.m11.2.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.11.m11.2.3.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.11.m11.2c">y:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.11.m11.2d">italic_y : [ italic_a , italic_b ] → blackboard_R</annotation></semantics></math> with <math alttext="\int_{a}^{b}(y(r))^{2}\,dr<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.12.m12.2"><semantics id="S1.p1.12.m12.2a"><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.cmml"><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.cmml"><msubsup id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.3" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.3" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.cmml"><msup id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.12.m12.1.1" xref="S1.p1.12.m12.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.p1.12.m12.2.2.2" xref="S1.p1.12.m12.2.2.2.cmml"><</mo><mi id="S1.p1.12.m12.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.12.m12.2.2.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.12.m12.2b"><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2"><lt id="S1.p1.12.m12.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.2"></lt><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1"><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.2"></int><ci id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1"><times id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.2"></times><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.1.1">𝑟</ci></apply><cn id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.1.1.3.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><infinity id="S1.p1.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.12.m12.2.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.12.m12.2c">\int_{a}^{b}(y(r))^{2}\,dr<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.12.m12.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r < ∞</annotation></semantics></math>. Together with the inner product <math alttext="\langle x,y\rangle=\int_{a}^{b}x(r)y(r)\,dr" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.13.m13.4"><semantics id="S1.p1.13.m13.4a"><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5" xref="S1.p1.13.m13.4.5.cmml"><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.2.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S1.p1.13.m13.1.1" xref="S1.p1.13.m13.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.2.2.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.13.m13.2.2" xref="S1.p1.13.m13.2.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S1.p1.13.m13.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.3" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.cmml"><msubsup id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.3" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.3" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml"><mi id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.3.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml"><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.13.m13.3.3" xref="S1.p1.13.m13.3.3.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1a" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.4" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.4.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1b" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.5.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml"><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.13.m13.4.4" xref="S1.p1.13.m13.4.4.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.cmml"><mo id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.2" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.13.m13.4b"><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5"><eq id="S1.p1.13.m13.4.5.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.1"></eq><list id="S1.p1.13.m13.4.5.2.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.2.2"><ci id="S1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p1.13.m13.2.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.2.2">𝑦</ci></list><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.3.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3"><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1">subscript</csymbol><int id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.3.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2"><times id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.1"></times><ci id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.p1.13.m13.3.3.cmml" xref="S1.p1.13.m13.3.3">𝑟</ci><ci id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.4.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.4">𝑦</ci><ci id="S1.p1.13.m13.4.4.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.4">𝑟</ci><apply id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.1.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.2.cmml" xref="S1.p1.13.m13.4.5.3.2.6.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.13.m13.4c">\langle x,y\rangle=\int_{a}^{b}x(r)y(r)\,dr</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.13.m13.4d">⟨ italic_x , italic_y ⟩ = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ( italic_r ) italic_y ( italic_r ) italic_d italic_r</annotation></semantics></math>, <math alttext="x,y\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.14.m14.2"><semantics id="S1.p1.14.m14.2a"><mrow id="S1.p1.14.m14.2.3" xref="S1.p1.14.m14.2.3.cmml"><mrow id="S1.p1.14.m14.2.3.2.2" xref="S1.p1.14.m14.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.p1.14.m14.1.1" xref="S1.p1.14.m14.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p1.14.m14.2.3.2.2.1" xref="S1.p1.14.m14.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.14.m14.2.2" xref="S1.p1.14.m14.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="S1.p1.14.m14.2.3.1" xref="S1.p1.14.m14.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p1.14.m14.2.3.3" xref="S1.p1.14.m14.2.3.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.14.m14.2b"><apply id="S1.p1.14.m14.2.3.cmml" xref="S1.p1.14.m14.2.3"><in id="S1.p1.14.m14.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.2.3.1"></in><list id="S1.p1.14.m14.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.2.3.2.2"><ci id="S1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S1.p1.14.m14.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p1.14.m14.2.2.cmml" xref="S1.p1.14.m14.2.2">𝑦</ci></list><ci id="S1.p1.14.m14.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.14.m14.2.3.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.14.m14.2c">x,y\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.14.m14.2d">italic_x , italic_y ∈ italic_H</annotation></semantics></math>, and the norm <math alttext="\|y\|=\langle y,y\rangle^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.15.m15.3"><semantics id="S1.p1.15.m15.3a"><mrow id="S1.p1.15.m15.3.4" xref="S1.p1.15.m15.3.4.cmml"><mrow id="S1.p1.15.m15.3.4.2.2" xref="S1.p1.15.m15.3.4.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.15.m15.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.p1.15.m15.1.1" xref="S1.p1.15.m15.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.15.m15.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.1" xref="S1.p1.15.m15.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="S1.p1.15.m15.3.4.3" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.cmml"><mrow id="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.2" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S1.p1.15.m15.2.2" xref="S1.p1.15.m15.2.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.2.2" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.15.m15.3.3" xref="S1.p1.15.m15.3.3.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.cmml"><mn id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.2" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.1" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.3" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.15.m15.3b"><apply id="S1.p1.15.m15.3.4.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4"><eq id="S1.p1.15.m15.3.4.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.1"></eq><apply id="S1.p1.15.m15.3.4.2.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.15.m15.3.4.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S1.p1.15.m15.3.4.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.15.m15.3.4.3.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3">superscript</csymbol><list id="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.2.2"><ci id="S1.p1.15.m15.2.2.cmml" xref="S1.p1.15.m15.2.2">𝑦</ci><ci id="S1.p1.15.m15.3.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.3">𝑦</ci></list><apply id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3"><divide id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.1"></divide><cn id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.15.m15.3.4.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.15.m15.3c">\|y\|=\langle y,y\rangle^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.15.m15.3d">∥ italic_y ∥ = ⟨ italic_y , italic_y ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the space <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.16.m16.1"><semantics id="S1.p1.16.m16.1a"><mi id="S1.p1.16.m16.1.1" xref="S1.p1.16.m16.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.16.m16.1b"><ci id="S1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S1.p1.16.m16.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.16.m16.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.16.m16.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is a Hilbert space. Every square-integrable bivariate function <math alttext="\tau:[a,b]\times[a,b]\rightarrow\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.17.m17.4"><semantics id="S1.p1.17.m17.4a"><mrow id="S1.p1.17.m17.4.5" xref="S1.p1.17.m17.4.5.cmml"><mi id="S1.p1.17.m17.4.5.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p1.17.m17.4.5.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p1.17.m17.4.5.3" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.cmml"><mrow id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.cmml"><mrow id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p1.17.m17.1.1" xref="S1.p1.17.m17.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.2.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.17.m17.2.2" xref="S1.p1.17.m17.2.2.cmml">b</mi><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.1" rspace="0.222em" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.1.cmml">×</mo><mrow id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p1.17.m17.3.3" xref="S1.p1.17.m17.3.3.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.2.2" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.17.m17.4.4" xref="S1.p1.17.m17.4.4.cmml">b</mi><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p1.17.m17.4.5.3.1" stretchy="false" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p1.17.m17.4.5.3.3" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.17.m17.4b"><apply id="S1.p1.17.m17.4.5.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5"><ci id="S1.p1.17.m17.4.5.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.1">:</ci><ci id="S1.p1.17.m17.4.5.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.2">𝜏</ci><apply id="S1.p1.17.m17.4.5.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3"><ci id="S1.p1.17.m17.4.5.3.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.1">→</ci><apply id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2"><times id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.1"></times><interval closure="closed" id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.2.2"><ci id="S1.p1.17.m17.1.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.1.1">𝑎</ci><ci id="S1.p1.17.m17.2.2.cmml" xref="S1.p1.17.m17.2.2">𝑏</ci></interval><interval closure="closed" id="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.2.3.2"><ci id="S1.p1.17.m17.3.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.3.3">𝑎</ci><ci id="S1.p1.17.m17.4.4.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.4">𝑏</ci></interval></apply><ci id="S1.p1.17.m17.4.5.3.3.cmml" xref="S1.p1.17.m17.4.5.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.17.m17.4c">\tau:[a,b]\times[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.17.m17.4d">italic_τ : [ italic_a , italic_b ] × [ italic_a , italic_b ] → blackboard_R</annotation></semantics></math> defines an integral operator <math alttext="\mathcal{T}:H\rightarrow H" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.18.m18.1"><semantics id="S1.p1.18.m18.1a"><mrow id="S1.p1.18.m18.1.1" xref="S1.p1.18.m18.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.18.m18.1.1.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p1.18.m18.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p1.18.m18.1.1.3" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.3.2" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.2.cmml">H</mi><mo id="S1.p1.18.m18.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.cmml">H</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.18.m18.1b"><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1"><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.1">:</ci><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.2">𝒯</ci><apply id="S1.p1.18.m18.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3"><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.1">→</ci><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="S1.p1.18.m18.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.18.m18.1.1.3.3">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.18.m18.1c">\mathcal{T}:H\rightarrow H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.18.m18.1d">caligraphic_T : italic_H → italic_H</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\mathcal{T}(y)(r)=\int_{a}^{b}\tau(r,s)y(s)\,ds" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.19.m19.5"><semantics id="S1.p1.19.m19.5a"><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6" xref="S1.p1.19.m19.5.6.cmml"><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.19.m19.5.6.2.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.2.cmml">𝒯</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.1" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.2.3.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.19.m19.1.1" xref="S1.p1.19.m19.1.1.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.1a" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.2.4.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.19.m19.2.2" xref="S1.p1.19.m19.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.1" rspace="0.111em" xref="S1.p1.19.m19.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.3" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.cmml"><msubsup id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.3" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.3" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.cmml"><mi id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.19.m19.3.3" xref="S1.p1.19.m19.3.3.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.2.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.19.m19.4.4" xref="S1.p1.19.m19.4.4.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1a" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.4" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.4.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1b" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.5.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.19.m19.5.5" xref="S1.p1.19.m19.5.5.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.cmml"><mo id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.2" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.19.m19.5b"><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6"><eq id="S1.p1.19.m19.5.6.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.1"></eq><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2"><times id="S1.p1.19.m19.5.6.2.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.1"></times><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.2.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.2.2">𝒯</ci><ci id="S1.p1.19.m19.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.1.1">𝑦</ci><ci id="S1.p1.19.m19.2.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3"><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1">subscript</csymbol><int id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2"><times id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.1"></times><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.2">𝜏</ci><interval closure="open" id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.3.2"><ci id="S1.p1.19.m19.3.3.cmml" xref="S1.p1.19.m19.3.3">𝑟</ci><ci id="S1.p1.19.m19.4.4.cmml" xref="S1.p1.19.m19.4.4">𝑠</ci></interval><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.4.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.4">𝑦</ci><ci id="S1.p1.19.m19.5.5.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.5">𝑠</ci><apply id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.1.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.2.cmml" xref="S1.p1.19.m19.5.6.3.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.19.m19.5c">\mathcal{T}(y)(r)=\int_{a}^{b}\tau(r,s)y(s)\,ds</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.19.m19.5d">caligraphic_T ( italic_y ) ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_r , italic_s ) italic_y ( italic_s ) italic_d italic_s</annotation></semantics></math> for all <math alttext="y\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.20.m20.1"><semantics id="S1.p1.20.m20.1a"><mrow id="S1.p1.20.m20.1.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.2" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p1.20.m20.1.1.1" xref="S1.p1.20.m20.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p1.20.m20.1.1.3" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.20.m20.1b"><apply id="S1.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1"><in id="S1.p1.20.m20.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.1"></in><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S1.p1.20.m20.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.20.m20.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.20.m20.1c">y\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.20.m20.1d">italic_y ∈ italic_H</annotation></semantics></math>. The Hilbert-Schmidt operator norm of <math alttext="\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.21.m21.1"><semantics id="S1.p1.21.m21.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.21.m21.1.1" xref="S1.p1.21.m21.1.1.cmml">𝒯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.21.m21.1b"><ci id="S1.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="S1.p1.21.m21.1.1">𝒯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.21.m21.1c">\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.21.m21.1d">caligraphic_T</annotation></semantics></math> is <math alttext="\|\mathcal{T}\|_{\mathcal{S}}=(\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\tau(r,s)^{2}\,ds\,dr)^% {1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.22.m22.4"><semantics id="S1.p1.22.m22.4a"><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4" xref="S1.p1.22.m22.4.4.cmml"><msub id="S1.p1.22.m22.4.4.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.cmml"><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.22.m22.1.1" xref="S1.p1.22.m22.1.1.cmml">𝒯</mi><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.22.m22.4.4.3.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.2.cmml">=</mo><msup id="S1.p1.22.m22.4.4.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.cmml"><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.22.m22.2.2" xref="S1.p1.22.m22.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.22.m22.3.3" xref="S1.p1.22.m22.3.3.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1a" lspace="0em" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">s</mi></mrow><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1b" lspace="0.170em" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.1" rspace="0em" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.cmml"><mn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.2" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.1" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.3" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.22.m22.4b"><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4"><eq id="S1.p1.22.m22.4.4.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.2"></eq><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.3.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3">subscript</csymbol><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.1.1">𝒯</ci></apply><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.3.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.3.3">𝒮</ci></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1"><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2"><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2"><times id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><ci id="S1.p1.22.m22.2.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.2.2">𝑟</ci><ci id="S1.p1.22.m22.3.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.3.3">𝑠</ci></interval><cn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑠</ci></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.1.1.1.2.2.5.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3"><divide id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.1"></divide><cn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.22.m22.4.4.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.22.m22.4c">\|\mathcal{T}\|_{\mathcal{S}}=(\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\tau(r,s)^{2}\,ds\,dr)^% {1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.22.m22.4d">∥ caligraphic_T ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_r , italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_s italic_d italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.23.m23.1"><semantics id="S1.p1.23.m23.1a"><mi id="S1.p1.23.m23.1.1" xref="S1.p1.23.m23.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.23.m23.1b"><ci id="S1.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="S1.p1.23.m23.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.23.m23.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.23.m23.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.24.m24.1"><semantics id="S1.p1.24.m24.1a"><mi id="S1.p1.24.m24.1.1" xref="S1.p1.24.m24.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.24.m24.1b"><ci id="S1.p1.24.m24.1.1.cmml" xref="S1.p1.24.m24.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.24.m24.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.24.m24.1d">italic_v</annotation></semantics></math> satisfy the eigenequation <math alttext="\int_{a}^{b}\tau(r,s)v(s)\,ds=\kappa v(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.25.m25.4"><semantics id="S1.p1.25.m25.4a"><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5" xref="S1.p1.25.m25.4.5.cmml"><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.cmml"><msubsup id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.3" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.3" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.25.m25.1.1" xref="S1.p1.25.m25.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.2.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.25.m25.2.2" xref="S1.p1.25.m25.2.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1a" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.4" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.4.cmml">v</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1b" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.5.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.25.m25.3.3" xref="S1.p1.25.m25.3.3.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.cmml"><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.1" xref="S1.p1.25.m25.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.3" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.cmml"><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.3.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.3.1" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.25.m25.4.5.3.3" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.3.cmml">v</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.3.1a" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.25.m25.4.5.3.4.2" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.cmml"><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.25.m25.4.4" xref="S1.p1.25.m25.4.4.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.25.m25.4.5.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.25.m25.4b"><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5"><eq id="S1.p1.25.m25.4.5.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.1"></eq><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2"><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1">superscript</csymbol><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1">subscript</csymbol><int id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2"><times id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.1"></times><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.2">𝜏</ci><interval closure="open" id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.3.2"><ci id="S1.p1.25.m25.1.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.1.1">𝑟</ci><ci id="S1.p1.25.m25.2.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.2.2">𝑠</ci></interval><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.4.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.4">𝑣</ci><ci id="S1.p1.25.m25.3.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.3.3">𝑠</ci><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.p1.25.m25.4.5.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3"><times id="S1.p1.25.m25.4.5.3.1.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.1"></times><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.3.2.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.2">𝜅</ci><ci id="S1.p1.25.m25.4.5.3.3.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.5.3.3">𝑣</ci><ci id="S1.p1.25.m25.4.4.cmml" xref="S1.p1.25.m25.4.4">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.25.m25.4c">\int_{a}^{b}\tau(r,s)v(s)\,ds=\kappa v(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.25.m25.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( italic_r , italic_s ) italic_v ( italic_s ) italic_d italic_s = italic_κ italic_v ( italic_r )</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\kappa" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.26.m26.1"><semantics id="S1.p1.26.m26.1a"><mi id="S1.p1.26.m26.1.1" xref="S1.p1.26.m26.1.1.cmml">κ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.26.m26.1b"><ci id="S1.p1.26.m26.1.1.cmml" xref="S1.p1.26.m26.1.1">𝜅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.26.m26.1c">\kappa</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.26.m26.1d">italic_κ</annotation></semantics></math> is called eigenvalue and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.27.m27.1"><semantics id="S1.p1.27.m27.1a"><mi id="S1.p1.27.m27.1.1" xref="S1.p1.27.m27.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.27.m27.1b"><ci id="S1.p1.27.m27.1.1.cmml" xref="S1.p1.27.m27.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.27.m27.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.27.m27.1d">italic_v</annotation></semantics></math> a corresponding eigenfunction of <math alttext="\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.28.m28.1"><semantics id="S1.p1.28.m28.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.28.m28.1.1" xref="S1.p1.28.m28.1.1.cmml">𝒯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.28.m28.1b"><ci id="S1.p1.28.m28.1.1.cmml" xref="S1.p1.28.m28.1.1">𝒯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.28.m28.1c">\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.28.m28.1d">caligraphic_T</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\tau(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.29.m29.2"><semantics id="S1.p1.29.m29.2a"><mrow id="S1.p1.29.m29.2.3" xref="S1.p1.29.m29.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.29.m29.2.3.2" xref="S1.p1.29.m29.2.3.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.29.m29.2.3.1" xref="S1.p1.29.m29.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.29.m29.2.3.3.2" xref="S1.p1.29.m29.2.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p1.29.m29.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.29.m29.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.29.m29.1.1" xref="S1.p1.29.m29.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.p1.29.m29.2.3.3.2.2" xref="S1.p1.29.m29.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p1.29.m29.2.2" xref="S1.p1.29.m29.2.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p1.29.m29.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p1.29.m29.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.29.m29.2b"><apply id="S1.p1.29.m29.2.3.cmml" xref="S1.p1.29.m29.2.3"><times id="S1.p1.29.m29.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.29.m29.2.3.1"></times><ci id="S1.p1.29.m29.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.29.m29.2.3.2">𝜏</ci><interval closure="open" id="S1.p1.29.m29.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.29.m29.2.3.3.2"><ci id="S1.p1.29.m29.1.1.cmml" xref="S1.p1.29.m29.1.1">𝑟</ci><ci id="S1.p1.29.m29.2.2.cmml" xref="S1.p1.29.m29.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.29.m29.2c">\tau(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.29.m29.2d">italic_τ ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> is symmetric and positive semidefinite, then all eigenvalues are real and eigenvectors corresponding to different eigenvalues are orthogonal.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Function-on-function regression problem</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.7">Consider the covariance stationary time series of curves <math alttext="Y_{1}(r),\ldots,Y_{T}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.5"><semantics id="S2.p1.1.m1.5a"><mrow id="S2.p1.1.m1.5.5.2" xref="S2.p1.1.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mn id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.1.m1.5.5.2.3" xref="S2.p1.1.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.p1.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.1.m1.5.5.2.4" xref="S2.p1.1.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml"><msub id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">T</mi></msub><mo id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml"><mo id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.p1.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.5b"><list id="S2.p1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2"><apply id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1"><times id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.1"></times><apply id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.2">𝑌</ci><cn id="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.1.m1.4.4.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.3.3">…</ci><apply id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2"><times id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.1"></times><apply id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p1.1.m1.2.2">𝑟</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.5c">Y_{1}(r),\ldots,Y_{T}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.5d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_T end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, defined on the closed domain <math alttext="r\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.p1.2.m2.2.3" xref="S2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.p1.2.m2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.p1.2.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.3"><in id="S2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S2.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.3.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="S2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.2c">r\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.2d">italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>, to be our dependent random variable of interest. Moreover, there is a set of <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.3"><semantics id="S2.p1.3.m3.3a"><mrow id="S2.p1.3.m3.3.4" xref="S2.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S2.p1.3.m3.3.4.2" xref="S2.p1.3.m3.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p1.3.m3.3.4.1" xref="S2.p1.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S2.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p1.3.m3.3.4.3.2.1" xref="S2.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S2.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.3.m3.3.3" xref="S2.p1.3.m3.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.3b"><apply id="S2.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S2.p1.3.m3.3.4"><eq id="S2.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.3.4.1"></eq><ci id="S2.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.3.4.2">𝑗</ci><list id="S2.p1.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.3.4.3.2"><cn id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p1.3.m3.2.2">…</ci><ci id="S2.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.p1.3.m3.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math> time-dependent covariance stationary functional regressors <math alttext="X_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.p1.4.m4.1.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S2.p1.4.m4.1.2.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.1.2.2.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.1" xref="S2.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2"><times id="S2.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S2.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3"><times id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">X_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>, <math alttext="s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m5.2"><semantics id="S2.p1.5.m5.2a"><mrow id="S2.p1.5.m5.2.3" xref="S2.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.5.m5.2.3.2" xref="S2.p1.5.m5.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.5.m5.2.3.1" xref="S2.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p1.5.m5.2.3.3.2" xref="S2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.5.m5.2.2" xref="S2.p1.5.m5.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p1.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m5.2b"><apply id="S2.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S2.p1.5.m5.2.3"><in id="S2.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.2.3.1"></in><ci id="S2.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.5.m5.2.3.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S2.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.2.3.3.2"><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.p1.5.m5.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m5.2c">s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m5.2d">italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>, available. Besides that, consider an <math alttext="\mathbb{R}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.p1.6.m6.1a"><msup id="S2.p1.6.m6.1.1" xref="S2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.6.m6.1.1.2" xref="S2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">N</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.6.m6.1b"><apply id="S2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.6.m6.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.6.m6.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m6.1c">\mathbb{R}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m6.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> valued vector <math alttext="w_{t}=(1,w_{2t},\ldots,w_{Nt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.7.m7.4"><semantics id="S2.p1.7.m7.4a"><mrow id="S2.p1.7.m7.4.4" xref="S2.p1.7.m7.4.4.cmml"><msub id="S2.p1.7.m7.4.4.4" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4.cmml"><mi id="S2.p1.7.m7.4.4.4.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4.2.cmml">w</mi><mi id="S2.p1.7.m7.4.4.4.3" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.3" xref="S2.p1.7.m7.4.4.3.cmml">=</mo><msup id="S2.p1.7.m7.4.4.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.cmml"><mrow id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S2.p1.7.m7.1.1" xref="S2.p1.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.4" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mrow id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.5" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.7.m7.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.7.m7.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.6" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.1" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.7" stretchy="false" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p1.7.m7.4.4.2.4" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.7.m7.4b"><apply id="S2.p1.7.m7.4.4.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4"><eq id="S2.p1.7.m7.4.4.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.3"></eq><apply id="S2.p1.7.m7.4.4.4.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.7.m7.4.4.4.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.4.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4.2">𝑤</ci><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.4.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.p1.7.m7.4.4.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.7.m7.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2">superscript</csymbol><vector id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2"><cn id="S2.p1.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.7.m7.1.1">1</cn><apply id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.2.2">…</ci><apply id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3"><times id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></vector><ci id="S2.p1.7.m7.4.4.2.4.cmml" xref="S2.p1.7.m7.4.4.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.7.m7.4c">w_{t}=(1,w_{2t},\ldots,w_{Nt})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.7.m7.4d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 , italic_w start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_t end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_N italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, including an intercept and covariance stationary random covariates or deterministic control variables like time trends or binary date indicators. A fully functional linear regression model thus takes the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt% }(s)\,ds+u_{t}(r)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.7"><semantics id="S2.E1.m1.7a"><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1a" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4" xref="S2.E1.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1b" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5" xref="S2.E1.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1a" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.cmml"><msub id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.3" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.1" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.3.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.6.6" xref="S2.E1.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.7.7.1.2" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.7b"><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1"><eq id="S2.E1.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2"><times id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3"><plus id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2"><times id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.2.3">𝛼</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3"><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2"><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2"></int><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2"><times id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2"><ci id="S2.E1.m1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.E1.m1.4.4.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4">𝑠</ci></interval><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2">𝑋</ci><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3"><times id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5">𝑠</ci><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4"><times id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.1"></times><apply id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.7.7.1.1.3.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.6.6.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.7c">Y_{t}(r)=w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt% }(s)\,ds+u_{t}(r),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.7d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.15">where <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.8.m1.4"><semantics id="S2.p1.8.m1.4a"><mrow id="S2.p1.8.m1.4.5" xref="S2.p1.8.m1.4.5.cmml"><mrow id="S2.p1.8.m1.4.5.2.2" xref="S2.p1.8.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="S2.p1.8.m1.3.3" xref="S2.p1.8.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.8.m1.4.5.2.2.1" xref="S2.p1.8.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.8.m1.4.4" xref="S2.p1.8.m1.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.p1.8.m1.4.5.1" xref="S2.p1.8.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p1.8.m1.4.5.3.2" xref="S2.p1.8.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.8.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.8.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.p1.8.m1.1.1" xref="S2.p1.8.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.p1.8.m1.4.5.3.2.2" xref="S2.p1.8.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.8.m1.2.2" xref="S2.p1.8.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p1.8.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.8.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.8.m1.4b"><apply id="S2.p1.8.m1.4.5.cmml" xref="S2.p1.8.m1.4.5"><in id="S2.p1.8.m1.4.5.1.cmml" xref="S2.p1.8.m1.4.5.1"></in><list id="S2.p1.8.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S2.p1.8.m1.4.5.2.2"><ci id="S2.p1.8.m1.3.3.cmml" xref="S2.p1.8.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.p1.8.m1.4.4.cmml" xref="S2.p1.8.m1.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="S2.p1.8.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S2.p1.8.m1.4.5.3.2"><ci id="S2.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="S2.p1.8.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.8.m1.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.8.m1.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="t=1,\ldots,T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.9.m2.3"><semantics id="S2.p1.9.m2.3a"><mrow id="S2.p1.9.m2.3.4" xref="S2.p1.9.m2.3.4.cmml"><mi id="S2.p1.9.m2.3.4.2" xref="S2.p1.9.m2.3.4.2.cmml">t</mi><mo id="S2.p1.9.m2.3.4.1" xref="S2.p1.9.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p1.9.m2.3.4.3.2" xref="S2.p1.9.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="S2.p1.9.m2.1.1" xref="S2.p1.9.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.p1.9.m2.3.4.3.2.1" xref="S2.p1.9.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.9.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.9.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.9.m2.3.4.3.2.2" xref="S2.p1.9.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.9.m2.3.3" xref="S2.p1.9.m2.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.9.m2.3b"><apply id="S2.p1.9.m2.3.4.cmml" xref="S2.p1.9.m2.3.4"><eq id="S2.p1.9.m2.3.4.1.cmml" xref="S2.p1.9.m2.3.4.1"></eq><ci id="S2.p1.9.m2.3.4.2.cmml" xref="S2.p1.9.m2.3.4.2">𝑡</ci><list id="S2.p1.9.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S2.p1.9.m2.3.4.3.2"><cn id="S2.p1.9.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.9.m2.1.1">1</cn><ci id="S2.p1.9.m2.2.2.cmml" xref="S2.p1.9.m2.2.2">…</ci><ci id="S2.p1.9.m2.3.3.cmml" xref="S2.p1.9.m2.3.3">𝑇</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.9.m2.3c">t=1,\ldots,T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.9.m2.3d">italic_t = 1 , … , italic_T</annotation></semantics></math>. As standard in the regression framework, <math alttext="\alpha(r)=(\alpha_{1}(r),\ldots,\alpha_{N}(r))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.10.m3.6"><semantics id="S2.p1.10.m3.6a"><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6" xref="S2.p1.10.m3.6.6.cmml"><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6.4" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.cmml"><mi id="S2.p1.10.m3.6.6.4.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.2.cmml">α</mi><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.4.1" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6.4.3.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.cmml"><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.10.m3.1.1" xref="S2.p1.10.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.3" xref="S2.p1.10.m3.6.6.3.cmml">=</mo><msup id="S2.p1.10.m3.6.6.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.cmml"><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mn id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.10.m3.2.2" xref="S2.p1.10.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.4" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.10.m3.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.p1.10.m3.4.4.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.5" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.10.m3.3.3" xref="S2.p1.10.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p1.10.m3.6.6.2.4" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.10.m3.6b"><apply id="S2.p1.10.m3.6.6.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6"><eq id="S2.p1.10.m3.6.6.3.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.3"></eq><apply id="S2.p1.10.m3.6.6.4.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4"><times id="S2.p1.10.m3.6.6.4.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.1"></times><ci id="S2.p1.10.m3.6.6.4.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.4.2">𝛼</ci><ci id="S2.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.p1.10.m3.6.6.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m3.6.6.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2">superscript</csymbol><vector id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2"><apply id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1"><times id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><cn id="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.10.m3.5.5.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.p1.10.m3.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.p1.10.m3.4.4.cmml" xref="S2.p1.10.m3.4.4">…</ci><apply id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2"><times id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.p1.10.m3.3.3.cmml" xref="S2.p1.10.m3.3.3">𝑟</ci></apply></vector><ci id="S2.p1.10.m3.6.6.2.4.cmml" xref="S2.p1.10.m3.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.10.m3.6c">\alpha(r)=(\alpha_{1}(r),\ldots,\alpha_{N}(r))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.10.m3.6d">italic_α ( italic_r ) = ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\beta_{1}(r,s),\ldots,\beta_{J}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.11.m4.7"><semantics id="S2.p1.11.m4.7a"><mrow id="S2.p1.11.m4.7.7.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.3.cmml"><mrow id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.2" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.2.cmml">β</mi><mn id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.3" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.1" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.2" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.11.m4.1.1" xref="S2.p1.11.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.2.2" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.11.m4.2.2" xref="S2.p1.11.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.3" xref="S2.p1.11.m4.7.7.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.11.m4.5.5" mathvariant="normal" xref="S2.p1.11.m4.5.5.cmml">…</mi><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.4" xref="S2.p1.11.m4.7.7.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.cmml"><msub id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.3" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.3.cmml">J</mi></msub><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.1" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.11.m4.3.3" xref="S2.p1.11.m4.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.2.2" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.11.m4.4.4" xref="S2.p1.11.m4.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.11.m4.7b"><list id="S2.p1.11.m4.7.7.3.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2"><apply id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1"><times id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.1"></times><apply id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.2">𝛽</ci><cn id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.6.6.1.1.3.2"><ci id="S2.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.p1.11.m4.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply><ci id="S2.p1.11.m4.5.5.cmml" xref="S2.p1.11.m4.5.5">…</ci><apply id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2"><times id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.1"></times><apply id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.2.3">𝐽</ci></apply><interval closure="open" id="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.11.m4.7.7.2.2.3.2"><ci id="S2.p1.11.m4.3.3.cmml" xref="S2.p1.11.m4.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.p1.11.m4.4.4.cmml" xref="S2.p1.11.m4.4.4">𝑠</ci></interval></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.11.m4.7c">\beta_{1}(r,s),\ldots,\beta_{J}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.11.m4.7d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) , … , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_J end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> are deterministic coefficient functions while <math alttext="u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.12.m5.1"><semantics id="S2.p1.12.m5.1a"><mrow id="S2.p1.12.m5.1.2" xref="S2.p1.12.m5.1.2.cmml"><msub id="S2.p1.12.m5.1.2.2" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.12.m5.1.2.2.2" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.p1.12.m5.1.2.2.3" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.p1.12.m5.1.2.1" xref="S2.p1.12.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.12.m5.1.2.3.2" xref="S2.p1.12.m5.1.2.cmml"><mo id="S2.p1.12.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.12.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.12.m5.1.1" xref="S2.p1.12.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p1.12.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.12.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.12.m5.1b"><apply id="S2.p1.12.m5.1.2.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2"><times id="S2.p1.12.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2.1"></times><apply id="S2.p1.12.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.12.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.12.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.p1.12.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.p1.12.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.12.m5.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.12.m5.1c">u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.12.m5.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is an error term. The covariance operator <math alttext="\Gamma_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.13.m6.1"><semantics id="S2.p1.13.m6.1a"><msub id="S2.p1.13.m6.1.1" xref="S2.p1.13.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.13.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.13.m6.1.1.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.p1.13.m6.1.1.3" xref="S2.p1.13.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.13.m6.1b"><apply id="S2.p1.13.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.13.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.13.m6.1.1.2">Γ</ci><ci id="S2.p1.13.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.13.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.13.m6.1c">\Gamma_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.13.m6.1d">roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> maps any function <math alttext="h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.14.m7.1"><semantics id="S2.p1.14.m7.1a"><mrow id="S2.p1.14.m7.1.1" xref="S2.p1.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.14.m7.1.1.2" xref="S2.p1.14.m7.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S2.p1.14.m7.1.1.1" xref="S2.p1.14.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.p1.14.m7.1.1.3" xref="S2.p1.14.m7.1.1.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.14.m7.1b"><apply id="S2.p1.14.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.14.m7.1.1"><in id="S2.p1.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.14.m7.1.1.1"></in><ci id="S2.p1.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.14.m7.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S2.p1.14.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.14.m7.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.14.m7.1c">h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.14.m7.1d">italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math> to the function <math alttext="\int_{a}^{b}Cov(X_{jt}(\cdot),X_{jt}(s))h(s)\,ds\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.15.m8.5"><semantics id="S2.p1.15.m8.5a"><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5" xref="S2.p1.15.m8.5.5.cmml"><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.cmml"><msubsup id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.4" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.5" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3a" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.6" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3b" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mo id="S2.p1.15.m8.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.p1.15.m8.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.4" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.1" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.15.m8.2.2" xref="S2.p1.15.m8.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3c" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.7" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.7.cmml">h</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3d" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.8.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.8.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.15.m8.3.3" xref="S2.p1.15.m8.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.8.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3e" lspace="0.170em" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.cmml"><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.1" rspace="0em" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.2" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.p1.15.m8.5.5.3" xref="S2.p1.15.m8.5.5.3.cmml">∈</mo><mi id="S2.p1.15.m8.5.5.4" xref="S2.p1.15.m8.5.5.4.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.15.m8.5b"><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5"><in id="S2.p1.15.m8.5.5.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.3"></in><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2"><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3">subscript</csymbol><int id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.2"></int><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2"><times id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.3"></times><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.4.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.5.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.6.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2"><apply id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p1.15.m8.1.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.1.1">⋅</ci></apply><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2"><times id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p1.15.m8.2.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.2.2">𝑠</ci></apply></interval><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.7.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.7">ℎ</ci><ci id="S2.p1.15.m8.3.3.cmml" xref="S2.p1.15.m8.3.3">𝑠</ci><apply id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.1.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.2.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.2.2.9.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.p1.15.m8.5.5.4.cmml" xref="S2.p1.15.m8.5.5.4">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.15.m8.5c">\int_{a}^{b}Cov(X_{jt}(\cdot),X_{jt}(s))h(s)\,ds\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.15.m8.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ) , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) italic_h ( italic_s ) italic_d italic_s ∈ italic_H</annotation></semantics></math>. We assume exogenous regressors with a martingale difference sequence error term:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.1.1.1">Assumption 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption1.p1.1.2">(Exogeneity). <br class="ltx_break"/></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption1.p1.1.1">Define the information set <math alttext="\mathcal{F}_{t-i}=\sigma\left(u_{t-1-i},w_{t-i},X_{1(t-i)},\ldots,X_{J(t-i)}% \right)." class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">ℱ</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml">−</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.5" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.6" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.6.cmml">σ</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.5" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml"><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.5" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">(</mo><msub id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.6" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">w</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.7" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.8" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.9" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.3.cmml">J</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.10" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1"><eq id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.5"></eq><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.2">ℱ</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3"><minus id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.1"></minus><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.2">𝑡</ci><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.6.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4"><times id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.5.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.5"></times><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.6.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.6">𝜎</ci><vector id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.5.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4"><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝑤</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3"><minus id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.3.3.3.3.2">𝑋</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1"><times id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.2"></times><cn id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.3">1</cn><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.3.3">…</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4.4.1.1.4.4.4.4.2">𝑋</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1"><times id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.2"></times><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.3">𝐽</ci><apply id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><minus id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmassumption1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4c">\mathcal{F}_{t-i}=\sigma\left(u_{t-1-i},w_{t-i},X_{1(t-i)},\ldots,X_{J(t-i)}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption1.p1.1.1.m1.4d">caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_σ ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 - italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 ( italic_t - italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_J ( italic_t - italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math> Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E[u_{t}(r)\mid\{\mathcal{F}_{t-i}:i\geq 0\}]=0,\quad\text{for all}\ r\in[a,b]." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.4"><semantics id="S2.Ex1.m1.4a"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℱ</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2a.cmml">for all</mtext><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" lspace="0.500em" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex1.m1.3.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.4b"><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℱ</ci><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><geq id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></geq><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2"><in id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.1"></in><apply id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">for all</mtext></ci><ci id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2">𝑎</ci><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.4c">E[u_{t}(r)\mid\{\mathcal{F}_{t-i}:i\geq 0\}]=0,\quad\text{for all}\ r\in[a,b].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.4d">italic_E [ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∣ { caligraphic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_i end_POSTSUBSCRIPT : italic_i ≥ 0 } ] = 0 , for all italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.7">Our setup includes the functional autoregressive model (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Bosq.2000</span>]</cite>), where the regressor functions <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are lags of <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><msub id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. A common identifiability assumption is that the covariance function <math alttext="Cov(X_{jt}(r),X_{jt}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.4"><semantics id="S2.p2.3.m3.4a"><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4" xref="S2.p2.3.m3.4.4.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.4" xref="S2.p2.3.m3.4.4.4.cmml">C</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.5" xref="S2.p2.3.m3.4.4.5.cmml">o</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.3a" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.6" xref="S2.p2.3.m3.4.4.6.cmml">v</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.3b" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.4" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.3.m3.2.2" xref="S2.p2.3.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.4b"><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4"><times id="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3"></times><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.4">𝐶</ci><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.5.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.5">𝑜</ci><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.6.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2"><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1"><times id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3"><times id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2"><times id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.1"></times><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3"><times id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.2.2">𝑠</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.4c">Cov(X_{jt}(r),X_{jt}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.4d">italic_C italic_o italic_v ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math> is strictly positive definite (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.p2.7.1">\cites</span>Mas.2007Imaizumi.2018), which implies that <math alttext="Var(\langle X_{jt},h\rangle)>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.2"><semantics id="S2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.4" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.2a" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.5" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.5.cmml">r</mi><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.2b" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.cmml">h</mi><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml">></mo><mn id="S2.p2.4.m4.2.2.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.2b"><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2"><gt id="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2"></gt><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1"><times id="S2.p2.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.2"></times><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.3">𝑉</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.4.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.4">𝑎</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.5.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.5">𝑟</ci><list id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1">ℎ</ci></list></apply><cn id="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.2c">Var(\langle X_{jt},h\rangle)>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.2d">italic_V italic_a italic_r ( ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_h ⟩ ) > 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\|h\|>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S2.p2.5.m5.1.2" xref="S2.p2.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S2.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S2.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.p2.5.m5.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.cmml">h</mi><mo id="S2.p2.5.m5.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.p2.5.m5.1.2.1" xref="S2.p2.5.m5.1.2.1.cmml">></mo><mn id="S2.p2.5.m5.1.2.3" xref="S2.p2.5.m5.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.2"><gt id="S2.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.2.1"></gt><apply id="S2.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.5.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1">ℎ</ci></apply><cn id="S2.p2.5.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.5.m5.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.1c">\|h\|>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.1d">∥ italic_h ∥ > 0</annotation></semantics></math>. This condition defines the functional equivalent of the positive definite design matrix condition imposed in classical regression models. However, if the regressor function lives in some subspace of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.p2.6.m6.1a"><mi id="S2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m6.1b"><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m6.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m6.1d">italic_H</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.7.m7.2"><semantics id="S2.p2.7.m7.2a"><mrow id="S2.p2.7.m7.2.3" xref="S2.p2.7.m7.2.3.cmml"><msub id="S2.p2.7.m7.2.3.2" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p2.7.m7.2.3.2.2" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.p2.7.m7.2.3.2.3" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p2.7.m7.2.3.1" xref="S2.p2.7.m7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.7.m7.2.3.3.2" xref="S2.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p2.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.7.m7.1.1" xref="S2.p2.7.m7.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p2.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S2.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p2.7.m7.2.2" xref="S2.p2.7.m7.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p2.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.7.m7.2b"><apply id="S2.p2.7.m7.2.3.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3"><times id="S2.p2.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.1"></times><apply id="S2.p2.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.p2.7.m7.2.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S2.p2.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.3.3.2"><ci id="S2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.p2.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.p2.7.m7.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.7.m7.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.7.m7.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> remains unidentified in the directions where the regressor has zero variance. Therefore, we adopt a weaker condition which restricts the domain of the regression operator to the subspace where the regressor has positive variance (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Caponera.2022</span>]</cite>). This condition allows for both infinite- and finite-rank covariance operators.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.1.1.1">Assumption 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption2.p1.1.1">(Identification I). <br class="ltx_break"/></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\beta_{j}(r,\cdot)\in\overline{Im(\Gamma_{j})}\subseteq H,\quad\text{for all}% \ r\in[a,b]." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex2.m1.6"><semantics id="S2.Ex2.m1.6a"><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1"><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.2" rspace="0em" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="S2.Ex2.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Ex2.m1.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mover accent="true" id="S2.Ex2.m1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Γ</mi><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.2.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml">⊆</mo><mi id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml">H</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2a.cmml">for all</mtext><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" lspace="0.500em" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.Ex2.m1.4.4" xref="S2.Ex2.m1.4.4.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.5.5" xref="S2.Ex2.m1.5.5.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.6b"><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1"><and id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1"><in id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.3"></in><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2">𝑟</ci><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3">⋅</ci></interval></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1"><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.2">¯</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.4">𝑚</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2">Γ</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1"><subset id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.4"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.Ex2.m1.1.1.cmml" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1"></share><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.1.1.5">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2"><in id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.1"></in><apply id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">for all</mtext></ci><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><interval closure="closed" id="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6.1.1.2.2.3.2"><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4">𝑎</ci><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.6c">\beta_{j}(r,\cdot)\in\overline{Im(\Gamma_{j})}\subseteq H,\quad\text{for all}% \ r\in[a,b].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.6d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , ⋅ ) ∈ over¯ start_ARG italic_I italic_m ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG ⊆ italic_H , for all italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.5">To illustrate the challenges of estimating model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), consider, for simplicity, the case <math alttext="N=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1"><eq id="S2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">N=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">italic_N = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="J=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">J</mi><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><eq id="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2">𝐽</ci><cn id="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">J=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">italic_J = 1</annotation></semantics></math> with one functional regressor <math alttext="X_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><msub id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">X_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and centered variables, i.e., <math alttext="E[Y_{t}(r)]=E[X_{t}(s)]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.4"><semantics id="S2.p3.4.m4.4a"><mrow id="S2.p3.4.m4.4.4" xref="S2.p3.4.m4.4.4.cmml"><mrow id="S2.p3.4.m4.3.3.1" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.3.3.1.3" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.2" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.4" xref="S2.p3.4.m4.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.4.4.2" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.4.4.2.3" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.3.cmml">E</mi><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.2" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.4.m4.2.2" xref="S2.p3.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.4.m4.4.4.5" xref="S2.p3.4.m4.4.4.5.cmml">=</mo><mn id="S2.p3.4.m4.4.4.6" xref="S2.p3.4.m4.4.4.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.4b"><apply id="S2.p3.4.m4.4.4.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4"><and id="S2.p3.4.m4.4.4a.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4"></and><apply id="S2.p3.4.m4.4.4b.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4"><eq id="S2.p3.4.m4.4.4.4.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.4"></eq><apply id="S2.p3.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1"><times id="S2.p3.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.2"></times><ci id="S2.p3.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.3">𝐸</ci><apply id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.p3.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2"><times id="S2.p3.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.2"></times><ci id="S2.p3.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.3">𝐸</ci><apply id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1"><times id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p3.4.m4.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.p3.4.m4.4.4c.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4"><eq id="S2.p3.4.m4.4.4.5.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.p3.4.m4.4.4.2.cmml" id="S2.p3.4.m4.4.4d.cmml" xref="S2.p3.4.m4.4.4"></share><cn id="S2.p3.4.m4.4.4.6.cmml" type="integer" xref="S2.p3.4.m4.4.4.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.4c">E[Y_{t}(r)]=E[X_{t}(s)]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.4d">italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] = italic_E [ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.5.m5.4"><semantics id="S2.p3.5.m5.4a"><mrow id="S2.p3.5.m5.4.5" xref="S2.p3.5.m5.4.5.cmml"><mrow id="S2.p3.5.m5.4.5.2.2" xref="S2.p3.5.m5.4.5.2.1.cmml"><mi id="S2.p3.5.m5.3.3" xref="S2.p3.5.m5.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.p3.5.m5.4.5.2.2.1" xref="S2.p3.5.m5.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.5.m5.4.4" xref="S2.p3.5.m5.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.p3.5.m5.4.5.1" xref="S2.p3.5.m5.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p3.5.m5.4.5.3.2" xref="S2.p3.5.m5.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.p3.5.m5.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.5.m5.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.p3.5.m5.1.1" xref="S2.p3.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.p3.5.m5.4.5.3.2.2" xref="S2.p3.5.m5.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.5.m5.2.2" xref="S2.p3.5.m5.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.p3.5.m5.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p3.5.m5.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.5.m5.4b"><apply id="S2.p3.5.m5.4.5.cmml" xref="S2.p3.5.m5.4.5"><in id="S2.p3.5.m5.4.5.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.4.5.1"></in><list id="S2.p3.5.m5.4.5.2.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.4.5.2.2"><ci id="S2.p3.5.m5.3.3.cmml" xref="S2.p3.5.m5.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.p3.5.m5.4.4.cmml" xref="S2.p3.5.m5.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="S2.p3.5.m5.4.5.3.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.4.5.3.2"><ci id="S2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p3.5.m5.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.p3.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.p3.5.m5.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.5.m5.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.5.m5.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. The model equation becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=\int_{a}^{b}\beta(r,s)X_{t}(s)\,ds+u_{t}(r)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.6"><semantics id="S2.E2.m1.6a"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.m1.3.3" xref="S2.E2.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1b" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.4.4" xref="S2.E2.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.5.5" xref="S2.E2.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.6b"><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1"><eq id="S2.E2.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2"><times id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3"><plus id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2"><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2"></int><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2"><times id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.2"><ci id="S2.E2.m1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2">𝑟</ci><ci id="S2.E2.m1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3">𝑠</ci></interval><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2">𝑋</ci><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4">𝑠</ci><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3"><times id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.6.6.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.5.5.cmml" xref="S2.E2.m1.5.5">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.6c">Y_{t}(r)=\int_{a}^{b}\beta(r,s)X_{t}(s)\,ds+u_{t}(r).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.6d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.10">It is useful to represent the model in terms of the functional principal components (FPCs) <math alttext="\phi_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.6.m1.1"><semantics id="S2.p3.6.m1.1a"><msub id="S2.p3.6.m1.1.1" xref="S2.p3.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.6.m1.1.1.2" xref="S2.p3.6.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.p3.6.m1.1.1.3" xref="S2.p3.6.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.6.m1.1b"><apply id="S2.p3.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.6.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.p3.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.6.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.6.m1.1c">\phi_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.6.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="X_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.7.m2.1"><semantics id="S2.p3.7.m2.1a"><msub id="S2.p3.7.m2.1.1" xref="S2.p3.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.7.m2.1.1.2" xref="S2.p3.7.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.p3.7.m2.1.1.3" xref="S2.p3.7.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.7.m2.1b"><apply id="S2.p3.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.7.m2.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.p3.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.7.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.7.m2.1c">X_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.7.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which are a sequence of orthonormal eigenfunctions of the covariance operator <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.8.m3.1"><semantics id="S2.p3.8.m3.1a"><mi id="S2.p3.8.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p3.8.m3.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.8.m3.1b"><ci id="S2.p3.8.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.8.m3.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.8.m3.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.8.m3.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> of <math alttext="X_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.9.m4.1"><semantics id="S2.p3.9.m4.1a"><msub id="S2.p3.9.m4.1.1" xref="S2.p3.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.9.m4.1.1.2" xref="S2.p3.9.m4.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.p3.9.m4.1.1.3" xref="S2.p3.9.m4.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.9.m4.1b"><apply id="S2.p3.9.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.9.m4.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.p3.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.9.m4.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.9.m4.1c">X_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.9.m4.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, ordered descendingly by their corresponding positive eigenvalues. The FPCs form an orthonormal basis of <math alttext="\overline{Im(\Gamma)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.10.m5.1"><semantics id="S2.p3.10.m5.1a"><mover accent="true" id="S2.p3.10.m5.1.1" xref="S2.p3.10.m5.1.1.cmml"><mrow id="S2.p3.10.m5.1.1.1" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.10.m5.1.1.1.3" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="S2.p3.10.m5.1.1.1.2" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p3.10.m5.1.1.1.4" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="S2.p3.10.m5.1.1.1.2a" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.10.m5.1.1.1.5.2" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.10.m5.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.10.m5.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.1.cmml">Γ</mi><mo id="S2.p3.10.m5.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.10.m5.1.1.2" xref="S2.p3.10.m5.1.1.2.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.10.m5.1b"><apply id="S2.p3.10.m5.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1"><ci id="S2.p3.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.2">¯</ci><apply id="S2.p3.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1"><times id="S2.p3.10.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p3.10.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="S2.p3.10.m5.1.1.1.4.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.4">𝑚</ci><ci id="S2.p3.10.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.10.m5.1.1.1.1">Γ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.10.m5.1c">\overline{Im(\Gamma)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.10.m5.1d">over¯ start_ARG italic_I italic_m ( roman_Γ ) end_ARG</annotation></semantics></math>, the subspace where the regression operator is defined according to Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption2" title="Assumption 2. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. In the following, we discuss the two conventional approaches that are usually taken to estimate the simplified model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Then, we introduce our novel method which serves as a middle ground between the alternatives.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.2">Firstly, consider the case where the covariance operator <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> has infinite rank, so that <math alttext="\phi_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.1c">\phi_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.1d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> forms an infinite sequence of orthonormal eigenfunctions. The regression coefficient can be represented as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{\infty}b_{l}(r)\phi_{l}(s),\quad b_{l}(r)=\int_{a}^{b}% \beta(r,s)\phi_{l}(s)\,ds," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.9"><semantics id="S2.E3.m1.9a"><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1"><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4" xref="S2.E3.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5" xref="S2.E3.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.1" rspace="0.111em" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.6.6" xref="S2.E3.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.7.7" xref="S2.E3.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1a" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1b" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.8.8" xref="S2.E3.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.cmml"><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.9.9.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.9b"><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.4.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2"><times id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.5.5.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3"><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2"></int><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2"><times id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2"><ci id="S2.E3.m1.6.6.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6">𝑟</ci><ci id="S2.E3.m1.7.7.cmml" xref="S2.E3.m1.7.7">𝑠</ci></interval><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.8.8.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8">𝑠</ci><apply id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.9c">\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{\infty}b_{l}(r)\phi_{l}(s),\quad b_{l}(r)=\int_{a}^{b}% \beta(r,s)\phi_{l}(s)\,ds,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.9d">italic_β ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( italic_r , italic_s ) italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.16">and the basis representation of the regressor, known as the Karhunen-Loève decomposition, is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{t}(s)=\sum_{l=1}^{\infty}x_{lt}\phi_{l}(s),\quad x_{lt}=\langle X_{t},\phi_% {l}\rangle." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.3"><semantics id="S2.E4.m1.3a"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.2.2" xref="S2.E4.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.3b"><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E4.m1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">𝑥</ci><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3"><times id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><list id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.3c">X_{t}(s)=\sum_{l=1}^{\infty}x_{lt}\phi_{l}(s),\quad x_{lt}=\langle X_{t},\phi_% {l}\rangle.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.3d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.5">Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E4" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) indicates the infinite factor structure of the regressor <math alttext="X_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m1.1c">X_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where the FPC scores <math alttext="x_{lt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m2.1a"><msub id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m2.1c">x_{lt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be interpreted as the factors, and the FPCs <math alttext="\phi_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m3.1a"><msub id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m3.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m3.1c">\phi_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m3.1d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as the orthonormal loading functions of an infinite factor model. By combining (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E4" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E3" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E2" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=\sum_{l=1}^{\infty}b_{l}(r)x_{lt}+u_{t}(r)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.4"><semantics id="S2.E5.m1.4a"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3" xref="S2.E5.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.4.4.1.2" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.4b"><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1"><eq id="S2.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3"><plus id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2"><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.3"></infinity></apply><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2"><times id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2">𝑟</ci><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2">𝑥</ci><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3"><times id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E5.m1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.4c">Y_{t}(r)=\sum_{l=1}^{\infty}b_{l}(r)x_{lt}+u_{t}(r),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.4d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.7">which is a regression on infinitely many regressors <math alttext="x_{lt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m1.1c">x_{lt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Each coefficient <math alttext="\beta_{l}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.7.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2"><times id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m2.1c">\beta_{l}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m2.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is identified by the moment condition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E[x_{lt}Y_{t}(r)]=b_{l}(r)E[x_{lt}^{2}]," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.3"><semantics id="S2.Ex3.m1.3a"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2a" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.5" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.5.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2b" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.3b"><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.cmml" 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xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.3c">E[x_{lt}Y_{t}(r)]=b_{l}(r)E[x_{lt}^{2}],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.3d">italic_E [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] = italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_E [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.17">and, by equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E3" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), the coefficient function has the solution</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{\infty}\frac{E[x_{lt}Y_{t}(r)]}{E[x_{lt}^{2}]}\phi_{l}(% r)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex4.m1.7"><semantics id="S2.Ex4.m1.7a"><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex4.m1.4.4" xref="S2.Ex4.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex4.m1.5.5" xref="S2.Ex4.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex4.m1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.4.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.4.2" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.3.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mn id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1a" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex4.m1.6.6" xref="S2.Ex4.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.7b"><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1"><eq id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2"><times id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.2.3.2"><ci id="S2.Ex4.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.4.4">𝑟</ci><ci id="S2.Ex4.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex4.m1.5.5">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3"><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2"><times id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3"><divide id="S2.Ex4.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2"><times id="S2.Ex4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.4">𝐸</ci><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1"><times id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3"><times id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.2"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.3">𝐸</ci><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3"><times id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.3.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.7.7.1.1.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex4.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex4.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.7c">\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{\infty}\frac{E[x_{lt}Y_{t}(r)]}{E[x_{lt}^{2}]}\phi_{l}(% r).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.7d">italic_β ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_E [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] end_ARG start_ARG italic_E [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] end_ARG italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.9">Estimating <math alttext="\beta(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m1.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m1.2b"><apply id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3"><times id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m1.2c">\beta(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m1.2d">italic_β ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> is challenging because it relies on infinitely many moment conditions, which results in an ill-posed inverse problem that requires regularization (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Carrasco.2007</span>]</cite>). <br class="ltx_break"/>The most common solution is spectral cut-off, where the infinite sum over the FPCs is truncated after <math alttext="\tilde{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m2.1.1.2">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m2.1c">\tilde{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m2.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG</annotation></semantics></math> components. The resulting FPC estimator is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx1"> <tbody id="S2.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{\beta}_{\text{FPC}}(r,s)=\sum_{l=1}^{\tilde{L}}\widehat{% b}_{l}(r)\widehat{\phi}_{l}(s),\quad\widehat{b}_{l}(r)=\frac{\sum_{t=1}^{T}% \widehat{x}_{lt}Y_{t}(r)}{\sum_{t=1}^{T}\widehat{x}_{lt}^{2}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E6.m1.7"><semantics id="S2.E6.m1.7a"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">FPC</mtext></msub><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mover accent="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">~</mo></mover></munderover></mstyle><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.4.4" xref="S2.E6.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.5.5" xref="S2.E6.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.6.6" xref="S2.E6.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E6.m1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E6.m1.1.1a" xref="S2.E6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow id="S2.E6.m1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E6.m1.1.1.3.1.3" xref="S2.E6.m1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><msubsup id="S2.E6.m1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.3.2.2.3.2" 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , over^ start_ARG italic_b end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.15">where <math alttext="\widehat{\phi}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m1.1c">\widehat{\phi}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m1.1d">over^ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the sample FPCs and <math alttext="\widehat{x}_{lt}=\langle X_{t},\widehat{\phi}_{l}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.1" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.1" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.3" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2"><eq id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.3"></eq><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2"><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3"><times id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><list id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.2.2">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m2.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m2.2c">\widehat{x}_{lt}=\langle X_{t},\widehat{\phi}_{l}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m2.2d">over^ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ϕ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> the sample FPC scores. Under an appropriate choice of the truncation parameter <math alttext="\tilde{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m3.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m3.1.1.2">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m3.1c">\tilde{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m3.1d">over~ start_ARG italic_L end_ARG</annotation></semantics></math> as an increasing function of the sample size, consistency results for <math alttext="\widehat{\beta}_{\text{FPC}}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mtext id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3a.cmml">FPC</mtext></msub><mo id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.13.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.13.m4.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m4.2b"><apply id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3"><times id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2"><ci id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3"><mtext id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.2.3">FPC</mtext></ci></apply><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.13.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS1.p1.13.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m4.2c">\widehat{\beta}_{\text{FPC}}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m4.2d">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT FPC end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> are established by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p1.15.1">\textcite</span>Crambes.2013, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p1.15.2">\textcite</span>Hormann.2014, and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p1.15.3">\textcite</span>Imaizumi.2018, with non-parametric rates of convergence slower than <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m5.1a"><msqrt id="S2.SS1.p1.14.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m5.1.1"><root id="S2.SS1.p1.14.m5.1.1a.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m5.1.1"></root><ci id="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m5.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m5.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m5.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>. Other regularization approaches include double FPC truncation (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Yao.2005</span>]</cite>) and Tikhonov regularization (see <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p1.15.4">\cites</span>Benatia.2017Caponera.2022). However, it is impossible to prove a central limit theorem for spectral cut-off and Tikhonov regularized estimators for <math alttext="\beta(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m6.2"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m6.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p1.15.m6.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m6.2b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3"><times id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.15.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS1.p1.15.m6.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m6.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m6.2c">\beta(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m6.2d">italic_β ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> in the Hilbert-Schmidt topology (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS1.p1.15.5">\cites</span>Mas.2007Babii.2020).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Finite-dimensional regressor with exact factor structure</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.2">The regression problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E2" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) becomes well-posed if the covariance operator <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> has finite rank. This condition has been considered, for instance, in <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.2.1">\textcite</span>Li.2013, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.2.2">\textcite</span>Li.2022, and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.2.3">\textcite</span>Hormann.2023. If <math alttext="rank(\Gamma)=L<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1a" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.4.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1b" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.5" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.5.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1c" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.6.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">Γ</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml">=</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml">L</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5.cmml"><</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><and id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2a.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"></and><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2b.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><eq id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3"></eq><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2"><times id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑎</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.4">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.5">𝑘</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">Γ</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4">𝐿</ci></apply><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2c.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><lt id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2d.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"></share><infinity id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">rank(\Gamma)=L<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( roman_Γ ) = italic_L < ∞</annotation></semantics></math>, then the Karhunen-Loève expansion (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E4" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{t}(s)=\sum_{l=1}^{L}x_{lt}\phi_{l}(s)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E7.m1.3"><semantics id="S2.E7.m1.3a"><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml">L</mi></munderover><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E7.m1.2.2" xref="S2.E7.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m1.3.3.1.2" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.3b"><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1"><eq id="S2.E7.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3"><times id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.3c">X_{t}(s)=\sum_{l=1}^{L}x_{lt}\phi_{l}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.3d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.3">which describes an exact factor model, where the loadings <math alttext="\phi_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.3.m1.1a"><msub id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.3.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.3.m1.1c">\phi_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.3.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> span a finite-dimensional factor space. Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E5" title="In 2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=\sum_{l=1}^{L}b_{l}(r)x_{lt}+u_{t}(r)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E8.m1.4"><semantics id="S2.E8.m1.4a"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml">L</mi></munderover><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.3.3" xref="S2.E8.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.4.4.1.2" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.4b"><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1"><eq id="S2.E8.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3"><plus id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2"><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.1.3">𝐿</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2"><times id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2">𝑟</ci><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2">𝑥</ci><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3"><times id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.4.4.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.4c">Y_{t}(r)=\sum_{l=1}^{L}b_{l}(r)x_{lt}+u_{t}(r),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.4d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.9">which is a well-posed regression of <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.4.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.4.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.4.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2"><times id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.4.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.4.m1.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.4.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> on finitely many factors <math alttext="x_{1t},\ldots,x_{Lt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.5.m2.3"><semantics id="S2.SS2.p1.5.m2.3a"><mrow id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.3" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p1.5.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.4" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mrow id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.5.m2.3b"><list id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2"><apply id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3"><times id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.1.1">…</ci><apply id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3"><times id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.5.m2.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.5.m2.3c">x_{1t},\ldots,x_{Lt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.5.m2.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.9.1">\textcite</span>Hormann.2023 show that the spectral cut-off estimator has parametric rates of convergence in this case, and methods from multivariate statistics can be used to conduct statistical inference. <br class="ltx_break"/>In the functional models commonly used in applied econometrics such as the Nelson-Siegel model for yield curves or inflation expectations (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.9.2">\cites</span>Diebold.2006Aruoba.2019), it is standard to assume that the curves have a finite-dimensional underlying factor structure, especially when the curves are smooth. However, not all FPC scores may be relevant for explaining the linear regression relationship with <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.6.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p1.6.m3.1a"><msub id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.6.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.6.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.6.m3.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.6.m3.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the number of components <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.7.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p1.7.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p1.7.m4.1.1" xref="S2.SS2.p1.7.m4.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.7.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.7.m4.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.7.m4.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.7.m4.1d">italic_L</annotation></semantics></math> could still be large relative to the sample size <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.8.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p1.8.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p1.8.m5.1.1" xref="S2.SS2.p1.8.m5.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.8.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.8.m5.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.8.m5.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.8.m5.1d">italic_T</annotation></semantics></math>, which still requires regularization to avoid overfitting. Additionally, the FPC basis may not be optimal for functional linear regression, as it indicates directions with the largest variance in the regressor, rather than those with the largest covariance with the dependent variable. As discussed in <span class="ltx_ERROR undefined" id="S2.SS2.p1.9.3">\textcite</span>Otto.2025, it is more appropriate to identify factors that are directly correlated with the response variable <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.9.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p1.9.m6.1a"><msub id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.9.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.9.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.9.m6.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.9.m6.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3 </span>Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.1">We propose a new factor model framework by extending equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E7" title="In 2.2 Finite-dimensional regressor with exact factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) with an additional error component <math alttext="\varepsilon_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">\varepsilon_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx2"> <tbody id="S2.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle X_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex5.m1.1"><semantics id="S2.Ex5.m1.1a"><mrow id="S2.Ex5.m1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex5.m1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.2.2.2" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.Ex5.m1.1.2.2.3" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex5.m1.1.2.1" xref="S2.Ex5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.1.2.3.2" xref="S2.Ex5.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex5.m1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m1.1b"><apply id="S2.Ex5.m1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2"><times id="S2.Ex5.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex5.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex5.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m1.1c">\displaystyle X_{t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{l=1}^{K}f_{lt}\psi_{l}(s)+\varepsilon_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex5.m2.2"><semantics id="S2.Ex5.m2.2a"><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.cmml"><munderover id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1a" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1a" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.4.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex5.m2.1.1" xref="S2.Ex5.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.3" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.1" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex5.m2.2.2" xref="S2.Ex5.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m2.2b"><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3"><eq id="S2.Ex5.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex5.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3"><plus id="S2.Ex5.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.1"></plus><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2"><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3"><eq id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2"><times id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3"><times id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.2.2.3.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m2.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.1.1">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3"><times id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.3.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex5.m2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m2.2c">\displaystyle=\sum_{l=1}^{K}f_{lt}\psi_{l}(s)+\varepsilon_{t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m2.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=F_{t}^{\prime}\Psi(s)+\varepsilon_{t}(s)," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9.m1.3"><semantics id="S2.E9.m1.3a"><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.3.3.1.2" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.3b"><apply id="S2.E9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1"><eq id="S2.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" 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xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.3c">\displaystyle=F_{t}^{\prime}\Psi(s)+\varepsilon_{t}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.3d">= italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_s ) + italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.7">with zero mean factors <math alttext="F_{t}=(f_{1t},\ldots,f_{Kt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m1.3"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m1.3a"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.2.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.5" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.4" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m1.3b"><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3"><eq id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.3"></eq><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3"><times id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.2">𝐾</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></vector><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.3.3.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m1.3c">F_{t}=(f_{1t},\ldots,f_{Kt})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m1.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and orthonormal <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p1.3.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math>-valued loading functions <math alttext="\Psi(r)=(\psi_{1}(r),\ldots,\psi_{K}(r))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m3.6"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m3.6a"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.1" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.3.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.3" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.3.cmml">=</mo><msup id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.4.m3.4.4.cmml">…</mi><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.5" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.4.m3.3.3" xref="S2.SS3.p1.4.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.4" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.4.m3.6b"><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6"><eq id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.3"></eq><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4"><times id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.4.2">Ψ</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2">superscript</csymbol><vector id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.4.m3.5.5.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.4.4">…</ci><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2"><times id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.2.2.2.2.3">𝐾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.3.3">𝑟</ci></apply></vector><ci id="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m3.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.4.m3.6c">\Psi(r)=(\psi_{1}(r),\ldots,\psi_{K}(r))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.4.m3.6d">roman_Ψ ( italic_r ) = ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The zero mean error component can be infinite-dimensional and relaxes the exact factor model implied from the finite-rank covariance condition in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E7" title="In 2.2 Finite-dimensional regressor with exact factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) to an approximate factor model. The key requirement for separately identifying the factor component <math alttext="F_{t}^{\prime}\Psi(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.5.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.5.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1a" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.5.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.5.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2"><times id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.2.3">Ψ</ci><ci id="S2.SS3.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m4.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.5.m4.1c">F_{t}^{\prime}\Psi(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.5.m4.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_s )</annotation></semantics></math> from the error component <math alttext="\varepsilon_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.6.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p1.6.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.6.m5.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.6.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2"><times id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m5.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.6.m5.1c">\varepsilon_{t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.6.m5.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is that the error component is required to be non-predictive for <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.7.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p1.7.m6.1a"><msub id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.7.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.7.m6.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.7.m6.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx3"> <tbody id="S2.E10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Cov(Y_{t}(r),\varepsilon_{t}(s))=0,\quad Cov(f_{lt},\varepsilon_% {t}(s))=0,\quad Cov(u_{t}(r),\varepsilon_{t}(s))=0\quad\text{for all}\ r,s\in[% a,b]," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E10.m1.9"><semantics id="S2.E10.m1.9a"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.6" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3b" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.5" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3a" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.6" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3b" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.3.3" xref="S2.E10.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.5" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3a" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.6" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3b" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.4.4" xref="S2.E10.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.5.5" xref="S2.E10.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E10.m1.8.8" xref="S2.E10.m1.8.8.cmml">0</mn><mspace id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.2" width="1em" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"></mspace><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml"><mtext id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2a.cmml">for all</mtext><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1" lspace="0.500em" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E10.m1.6.6" xref="S2.E10.m1.6.6.cmml">a</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E10.m1.7.7" xref="S2.E10.m1.7.7.cmml">b</mi><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.9.9.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.9b"><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2">𝑠</ci></apply></interval></apply><cn id="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1"><eq id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.6.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.3.3">𝑠</ci></apply></interval></apply><cn id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.6.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.4.4.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E10.m1.5.5.cmml" xref="S2.E10.m1.5.5">𝑠</ci></apply></interval></apply><list id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"><cn id="S2.E10.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.8.8">0</cn><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1"><times id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.1"></times><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2a.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2"><mtext id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.2">for all</mtext></ci><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.1.3">𝑟</ci></apply></list></apply><apply id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2"><in id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="S2.E10.m1.6.6.cmml" xref="S2.E10.m1.6.6">𝑎</ci><ci id="S2.E10.m1.7.7.cmml" xref="S2.E10.m1.7.7">𝑏</ci></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.9c">\displaystyle Cov(Y_{t}(r),\varepsilon_{t}(s))=0,\quad Cov(f_{lt},\varepsilon_% {t}(s))=0,\quad Cov(u_{t}(r),\varepsilon_{t}(s))=0\quad\text{for all}\ r,s\in[% a,b],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.9d">italic_C italic_o italic_v ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) = 0 , italic_C italic_o italic_v ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) = 0 , italic_C italic_o italic_v ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) = 0 for all italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.36">while the factors are assumed to be predictive:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx4"> <tbody id="S2.E11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{a}^{b}Cov(Y_{t}(r),f_{lt})^{2}\,dr>0." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E11.m1.2"><semantics id="S2.E11.m1.2a"><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3a" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3a" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.6" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3b" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E11.m1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3c" lspace="0em" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.cmml"><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.1" rspace="0em" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.2" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.3.cmml">></mo><mn id="S2.E11.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E11.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E11.m1.2b"><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1"><gt id="S2.E11.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.3"></gt><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2"><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><int id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.2"></int><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.3"></times><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.6">𝑣</ci><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E11.m1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></interval><cn id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.2.4">2</cn></apply><apply id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.2.2.7.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E11.m1.2.2.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.2.2.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m1.2c">\displaystyle\int_{a}^{b}Cov(Y_{t}(r),f_{lt})^{2}\,dr>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.11">A direct implication of condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E10" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) is that the error component satisfies <math alttext="\int_{a}^{b}\beta(r,s)\varepsilon_{t}(s)\,ds=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.8.m1.3"><semantics id="S2.SS3.p1.8.m1.3a"><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.3" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.8.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1a" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.3" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1b" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.5.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.3" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.2" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.1" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.3" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.8.m1.3b"><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4"><eq id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.1"></eq><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2"><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.2"></int><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2"><times id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.2.2">𝑠</ci></interval><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.3">𝑠</ci><apply id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.8.m1.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.8.m1.3c">\int_{a}^{b}\beta(r,s)\varepsilon_{t}(s)\,ds=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.8.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( italic_r , italic_s ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s = 0</annotation></semantics></math>. That means it lives in the null space of the regression operator <math alttext="\mathcal{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.9.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.9.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.9.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.9.m2.1.1.cmml">ℬ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.9.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m2.1.1">ℬ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.9.m2.1c">\mathcal{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.9.m2.1d">caligraphic_B</annotation></semantics></math> mapping any function <math alttext="h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.10.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.10.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.10.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1"><in id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.2">ℎ</ci><ci id="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m3.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.10.m3.1c">h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.10.m3.1d">italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math> to the function <math alttext="\int_{a}^{b}\beta(\cdot,s)h(s)\,ds\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.11.m4.3"><semantics id="S2.SS3.p1.11.m4.3a"><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.3" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.11.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.2.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1a" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.4.cmml">h</mi><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1b" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.5.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.3" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.2" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.1" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.3" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.11.m4.3b"><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4"><in id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.1"></in><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2"><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.2"></int><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2"><times id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.1.1">⋅</ci><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.2.2">𝑠</ci></interval><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.4">ℎ</ci><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.3">𝑠</ci><apply id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.11.m4.3.4.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.11.m4.3c">\int_{a}^{b}\beta(\cdot,s)h(s)\,ds\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.11.m4.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( ⋅ , italic_s ) italic_h ( italic_s ) italic_d italic_s ∈ italic_H</annotation></semantics></math> (see Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> in the section on multiple regressors for a detailed proof). Then, the regression coefficient has the representation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx5"> <tbody id="S2.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{K}\beta_{l}(r)\psi_{l}(s),\quad\beta_{l}(r% )=\int_{a}^{b}\beta(r,q)\psi_{l}(q)\,\mathrm{d}q." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E12.m1.9"><semantics id="S2.E12.m1.9a"><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1"><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E12.m1.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.3.3" xref="S2.E12.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.5.5" xref="S2.E12.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml"><msubsup id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1a" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.6.6" xref="S2.E12.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E12.m1.7.7" xref="S2.E12.m1.7.7.cmml">q</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1a" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.cmml"><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1b" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.8.8" xref="S2.E12.m1.8.8.cmml">q</mi><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.cmml"><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.9.9.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.9b"><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E12.m1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.E12.m1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.2">𝜓</ci><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.4.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.4.4.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2"><eq id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2"><times id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.5.5.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3"><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.2"></int><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2"><times id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2"><ci id="S2.E12.m1.6.6.cmml" xref="S2.E12.m1.6.6">𝑟</ci><ci id="S2.E12.m1.7.7.cmml" xref="S2.E12.m1.7.7">𝑞</ci></interval><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.2">𝜓</ci><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.4.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.8.8.cmml" xref="S2.E12.m1.8.8">𝑞</ci><apply id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2.cmml" xref="S2.E12.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m1.9c">\displaystyle\beta(r,s)=\sum_{l=1}^{K}\beta_{l}(r)\psi_{l}(s),\quad\beta_{l}(r% )=\int_{a}^{b}\beta(r,q)\psi_{l}(q)\,\mathrm{d}q.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.9d">italic_β ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( italic_r , italic_q ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) roman_d italic_q .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.19">Hence, the regression operator <math alttext="\mathcal{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.12.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.12.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.12.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.12.m1.1.1.cmml">ℬ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.12.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.12.m1.1.1">ℬ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.12.m1.1c">\mathcal{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.12.m1.1d">caligraphic_B</annotation></semantics></math> has finite rank because only the finite-dimensional factor component <math alttext="F_{t}^{\prime}\Psi(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.13.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.13.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1a" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.13.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.13.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2"><times id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.2.3">Ψ</ci><ci id="S2.SS3.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.13.m2.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.13.m2.1c">F_{t}^{\prime}\Psi(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.13.m2.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_s )</annotation></semantics></math> is relevant for the regression relationship while the error component, living in the null space of the finite-rank regression operator, can be finite- or infinite-dimensional. In conclusion, our model is more restrictive than the general ill-posed case from Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS1" title="2.1 Infinite-dimensional regressor with infinite factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a> but more general than the well-posed case from Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS2" title="2.2 Finite-dimensional regressor with exact factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a> since the regressor <math alttext="X_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.14.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.14.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.14.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.14.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.14.m3.1c">X_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.14.m3.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be infinite-dimensional. <br class="ltx_break"/>The key object to identify all parameters in our approximate factor structure setting is the cross covariance operator <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.15.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.15.m4.1a"><mi id="S2.SS3.p1.15.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.15.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.15.m4.1b"><ci id="S2.SS3.p1.15.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.15.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.15.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.15.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, which is the integral operator with kernel function <math alttext="c(r,s)=Cov(X_{t}(r),Y_{t}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.16.m5.6"><semantics id="S2.SS3.p1.16.m5.6a"><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.1" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.1.1" xref="S2.SS3.p1.16.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.3" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.4" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.5" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3a" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.6" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3b" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.3.3" xref="S2.SS3.p1.16.m5.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.16.m5.4.4" xref="S2.SS3.p1.16.m5.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.16.m5.6b"><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6"><eq id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.3"></eq><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4"><times id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.4.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2"><times id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.3"></times><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.4">𝐶</ci><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.5">𝑜</ci><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.5.5.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2"><times id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.6.6.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.16.m5.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.16.m5.4.4">𝑠</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.16.m5.6c">c(r,s)=Cov(X_{t}(r),Y_{t}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.16.m5.6d">italic_c ( italic_r , italic_s ) = italic_C italic_o italic_v ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math>. The product with its adjoint operator is <math alttext="D=CC^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.17.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p1.17.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.17.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1"><eq id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.2">𝐷</ci><apply id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.2">𝐶</ci><times id="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.17.m6.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.17.m6.1c">D=CC^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.17.m6.1d">italic_D = italic_C italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which is the integral operator with kernel function <math alttext="d(r,s)=\int_{a}^{b}c(r,q)c(s,q)\,dq" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.18.m7.6"><semantics id="S2.SS3.p1.18.m7.6a"><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.1" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.1.1" xref="S2.SS3.p1.18.m7.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.1" rspace="0.111em" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.3" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.3.3" xref="S2.SS3.p1.18.m7.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.4.4" xref="S2.SS3.p1.18.m7.4.4.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1a" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.4" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.4.cmml">c</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1b" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.5.5" xref="S2.SS3.p1.18.m7.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.2.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.6" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.6.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.2" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.18.m7.6b"><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7"><eq id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.1"></eq><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2"><times id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3"><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.2"></int><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2"><times id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.4.4">𝑞</ci></interval><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.5.2"><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.5.5">𝑠</ci><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.6">𝑞</ci></interval><apply id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.18.m7.6.7.3.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.18.m7.6c">d(r,s)=\int_{a}^{b}c(r,q)c(s,q)\,dq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.18.m7.6d">italic_d ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_c ( italic_r , italic_q ) italic_c ( italic_s , italic_q ) italic_d italic_q</annotation></semantics></math>. Inserting the factor model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E9" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) into <math alttext="c(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.19.m8.2"><semantics id="S2.SS3.p1.19.m8.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.19.m8.1.1" xref="S2.SS3.p1.19.m8.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.19.m8.2.2" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.19.m8.2b"><apply id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3"><times id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.3.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.19.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.19.m8.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.19.m8.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.19.m8.2c">c(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.19.m8.2d">italic_c ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> and applying the non-predictiveness condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E10" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) implies</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx6"> <tbody id="S2.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c(r,s)=Cov(X_{t}(r),Y_{t}(s))=(\Psi(r))^{\prime}E[F_{t}Y_{t}(s)]," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex6.m1.7"><semantics id="S2.Ex6.m1.7a"><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.2.cmml">c</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex6.m1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.7" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.4.cmml">C</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.5" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.5.cmml">o</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3a" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.6" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.6.cmml">v</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3b" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.3.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.4" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.4.4" xref="S2.Ex6.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.8" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msup id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.5.5" xref="S2.Ex6.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.4" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.4.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3a" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1a" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.4.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex6.m1.6.6" xref="S2.Ex6.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.7.7.1.2" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex6.m1.7b"><apply id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1"><and id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1a.cmml" 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xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.7.7.1.1.4.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex6.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex6.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex6.m1.7c">\displaystyle c(r,s)=Cov(X_{t}(r),Y_{t}(s))=(\Psi(r))^{\prime}E[F_{t}Y_{t}(s)],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex6.m1.7d">italic_c ( italic_r , italic_s ) = italic_C italic_o italic_v ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) = ( roman_Ψ ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.37">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="d(r,s)=\int_{a}^{b}c(r,q)c(s,q)\,dq=(\Psi(r))^{\prime}\bigg{(}\int_{a}^{b}E[F_% {t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq\bigg{)}\Psi(s)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E13.m1.11"><semantics id="S2.E13.m1.11a"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.2.cmml">d</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E13.m1.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.cmml"><msubsup id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E13.m1.4.4" xref="S2.E13.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1a" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.4" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.4.cmml">c</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1b" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.5.5" xref="S2.E13.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E13.m1.6.6" xref="S2.E13.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.7" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.7.7" xref="S2.E13.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.2" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml">E</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.8.8" xref="S2.E13.m1.8.8.cmml">q</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3a" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.5" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.5.cmml">E</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3b" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.9.9" xref="S2.E13.m1.9.9.cmml">q</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3c" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3a" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.4.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3b" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.5.2" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.10.10" xref="S2.E13.m1.10.10.cmml">s</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E13.m1.11b"><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1"><and id="S2.E13.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1"></and><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1"><eq id="S2.E13.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.5"></eq><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.1"></times><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.4.3.2"><ci id="S2.E13.m1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.E13.m1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6"><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1">subscript</csymbol><int id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.2"></int><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.1"></times><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.3.2"><ci id="S2.E13.m1.3.3.cmml" xref="S2.E13.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S2.E13.m1.4.4.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4">𝑞</ci></interval><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.4.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.4">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.5.2"><ci id="S2.E13.m1.5.5.cmml" xref="S2.E13.m1.5.5">𝑠</ci><ci id="S2.E13.m1.6.6.cmml" xref="S2.E13.m1.6.6">𝑞</ci></interval><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.6.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1"><eq id="S2.E13.m1.11.11.1.1.7.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E13.m1.11.11.1.1.6.cmml" id="S2.E13.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1"></share><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.E13.m1.7.7.cmml" xref="S2.E13.m1.7.7">𝑟</ci></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1"><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><int id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.2"></int><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.4">𝐸</ci><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E13.m1.8.8.cmml" xref="S2.E13.m1.8.8">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.5">𝐸</ci><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E13.m1.9.9.cmml" xref="S2.E13.m1.9.9">𝑞</ci><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2">𝐹</ci><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.1.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.2.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E13.m1.11.11.1.1.2.4">Ψ</ci><ci id="S2.E13.m1.10.10.cmml" xref="S2.E13.m1.10.10">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E13.m1.11c">d(r,s)=\int_{a}^{b}c(r,q)c(s,q)\,dq=(\Psi(r))^{\prime}\bigg{(}\int_{a}^{b}E[F_% {t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq\bigg{)}\Psi(s).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E13.m1.11d">italic_d ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_c ( italic_r , italic_q ) italic_c ( italic_s , italic_q ) italic_d italic_q = ( roman_Ψ ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ] italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q ) roman_Ψ ( italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.21">Since <math alttext="\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.20.m1.4"><semantics id="S2.SS3.p1.20.m1.4a"><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.4" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.4.cmml">E</mi><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3a" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.5" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.5.cmml">E</mi><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3b" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3c" lspace="0em" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.2" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.20.m1.4b"><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4"><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3">subscript</csymbol><int id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.2"></int><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2"><times id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.4">𝐸</ci><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.1.1">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.5">𝐸</ci><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></times><apply 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id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.20.m1.4.4.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.20.m1.4c">\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.20.m1.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ] italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q</annotation></semantics></math> is a full-rank <math alttext="K\times K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.21.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.21.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.21.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1"><times id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.21.m2.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.21.m2.1c">K\times K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.21.m2.1d">italic_K × italic_K</annotation></semantics></math> matrix by the predictiveness condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E11" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>), we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="K=rank(C)=rank(D)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex7.m1.3"><semantics id="S2.Ex7.m1.3a"><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1a" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1b" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.5" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1c" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.6.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex7.m1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.3.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1a" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.4" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.4.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1b" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.5" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.5.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1c" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.6.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex7.m1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex7.m1.3b"><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"><and id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"></and><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3"></eq><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2">𝐾</ci><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4"><times id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.1"></times><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.2">𝑟</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.3">𝑎</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.4">𝑛</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.5">𝑘</ci><ci id="S2.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.1.1">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.Ex7.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"></share><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6"><times id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.1"></times><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.2">𝑟</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.3">𝑎</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.4.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.4">𝑛</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.5.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.6.5">𝑘</ci><ci id="S2.Ex7.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.2.2">𝐷</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex7.m1.3c">K=rank(C)=rank(D).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex7.m1.3d">italic_K = italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_C ) = italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_D ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.29">Moreover, the loading functions <math alttext="\psi_{1}(r),\ldots,\psi_{K}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.22.m1.5"><semantics id="S2.SS3.p1.22.m1.5a"><mrow id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mn id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.22.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.3" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.22.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.4" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.22.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.22.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.22.m1.5b"><list id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2"><apply id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1"><times id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.2">𝜓</ci><cn id="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.22.m1.4.4.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.3.3">…</ci><apply id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2"><times id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.5.5.2.2.2.3">𝐾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.22.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.22.m1.2.2">𝑟</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.22.m1.5c">\psi_{1}(r),\ldots,\psi_{K}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.22.m1.5d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> must be linear combinations of the left-singular functions of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.23.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.23.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p1.23.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.23.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.23.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p1.23.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.23.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.23.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.23.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, which are the eigenfunctions of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.24.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.24.m3.1a"><mi id="S2.SS3.p1.24.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.24.m3.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.24.m3.1b"><ci id="S2.SS3.p1.24.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.24.m3.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.24.m3.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.24.m3.1d">italic_D</annotation></semantics></math>. These linear combinations are only identified up to a rotation. To see this, note that <math alttext="(\Psi(r))^{\prime}F_{t}=(\Psi(r))^{\prime}QQ^{-1}F_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.25.m4.4"><semantics id="S2.SS3.p1.25.m4.4a"><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.cmml"><msup id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.2.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.3.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2a" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.2.cmml">Q</mi><mrow id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3a" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2b" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.2" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.3" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.25.m4.4b"><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4"><eq id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.3"></eq><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1"><times id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.3.3.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2"><times id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.2"></times><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.1.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.1.3">′</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.3">𝑄</ci><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.2">𝑄</ci><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3"><minus id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3"></minus><cn id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.4.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.25.m4.4.4.2.5.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.25.m4.4c">(\Psi(r))^{\prime}F_{t}=(\Psi(r))^{\prime}QQ^{-1}F_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.25.m4.4d">( roman_Ψ ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( roman_Ψ ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_Q italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for any invertible <math alttext="K\times K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.26.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p1.26.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.26.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1"><times id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.26.m5.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.26.m5.1c">K\times K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.26.m5.1d">italic_K × italic_K</annotation></semantics></math> matrix <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.27.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p1.27.m6.1a"><mi id="S2.SS3.p1.27.m6.1.1" xref="S2.SS3.p1.27.m6.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.27.m6.1b"><ci id="S2.SS3.p1.27.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.27.m6.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.27.m6.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.27.m6.1d">italic_Q</annotation></semantics></math>. To fix the rotation, we impose a restriction on the matrix <math alttext="\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.28.m7.4"><semantics id="S2.SS3.p1.28.m7.4a"><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.cmml"><msubsup id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.4" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.4.cmml">E</mi><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.1.1.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3a" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.5" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.5.cmml">E</mi><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3b" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.2.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3c" lspace="0em" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.2" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.28.m7.4b"><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4"><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3">subscript</csymbol><int id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.2"></int><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2"><times id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.3"></times><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.4">𝐸</ci><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.1.1">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.5">𝐸</ci><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.2.2">𝑞</ci><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.28.m7.4.4.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.28.m7.4c">\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.28.m7.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ] italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q</annotation></semantics></math> that appears in the definition of <math alttext="d(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.29.m8.2"><semantics id="S2.SS3.p1.29.m8.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.1" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.29.m8.1.1" xref="S2.SS3.p1.29.m8.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p1.29.m8.2.2" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.29.m8.2b"><apply id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3"><times id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.3.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.29.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.SS3.p1.29.m8.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.29.m8.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.29.m8.2c">d(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.29.m8.2d">italic_d ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>. We assume that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq=diag(\lambda_{1},% \ldots,\lambda_{K}),\quad\lambda_{1}>\ldots>\lambda_{K}>0," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex8.m1.4"><semantics id="S2.Ex8.m1.4a"><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1"><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml">E</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3c" lspace="0em" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.4" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.5" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.5.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3a" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.6" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.6.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3b" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.7" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.7.cmml">g</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3c" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex8.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.5" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">></mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">…</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml">></mo><msub id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.7" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.7.cmml">></mo><mn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.8" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.8.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m1.4b"><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2"><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><int id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2"></int><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"></times><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4">𝐸</ci><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.1">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5">𝐸</ci><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2">𝑞</ci><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2">𝐹</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4"><times id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.3"></times><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.4">𝑑</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.5">𝑖</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.6">𝑎</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.7.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.7">𝑔</ci><vector id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2"><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3">…</ci><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3">𝐾</ci></apply></vector></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"><and id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"></and><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.3"></gt><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.4">…</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"></share><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2e.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.7.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.7"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2f.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2"></share><cn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.8.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.2.2.8">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m1.4c">\int_{a}^{b}E[F_{t}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{t}]^{\prime}\,dq=diag(\lambda_{1},% \ldots,\lambda_{K}),\quad\lambda_{1}>\ldots>\lambda_{K}>0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m1.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ] italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q = italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT > … > italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT > 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.31">which rotates the loading functions such that they are the left-singular functions of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.30.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.30.m1.1a"><mi id="S2.SS3.p1.30.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.30.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.30.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p1.30.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.30.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.30.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.30.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, respectively the eigenfunctions of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.31.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.31.m2.1a"><mi id="S2.SS3.p1.31.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.31.m2.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.31.m2.1b"><ci id="S2.SS3.p1.31.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.31.m2.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.31.m2.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.31.m2.1d">italic_D</annotation></semantics></math>, in descending order of singular values, i.e.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="d(r,s)=\sum_{l=1}^{K}\lambda_{l}\psi_{l}(r)\psi_{l}(s)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex9.m1.5"><semantics id="S2.Ex9.m1.5a"><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2" xref="S2.Ex9.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.4.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.3.3" xref="S2.Ex9.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1b" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1c" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.6.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.4.4" xref="S2.Ex9.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex9.m1.5b"><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1"><eq id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2"><times id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.2">𝑑</ci><interval closure="open" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex9.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex9.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.2">𝜓</ci><ci id="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.5.5.1.1.3.2.5.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex9.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex9.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex9.m1.5c">d(r,s)=\sum_{l=1}^{K}\lambda_{l}\psi_{l}(r)\psi_{l}(s).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex9.m1.5d">italic_d ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.32">Because <math alttext="\varepsilon_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.32.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.32.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.32.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.32.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.32.m1.1c">\varepsilon_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.32.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> lives in the null space of the regression operator, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}\beta(r,s)X_{t}(s)\,ds=\sum_{l=1}^{K}\beta_{l}(r)f_{lt}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex10.m1.5"><semantics id="S2.Ex10.m1.5a"><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1a" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.2.cmml">X</mi><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1b" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.5.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.4.4" xref="S2.Ex10.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.1.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex10.m1.5b"><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1"><eq id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2"><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2"><times id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝛽</ci><interval closure="open" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2">𝑠</ci></interval><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3">𝑠</ci><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4">𝑟</ci><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.2">𝑓</ci><apply id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3"><times id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex10.m1.5c">\int_{a}^{b}\beta(r,s)X_{t}(s)\,ds=\sum_{l=1}^{K}\beta_{l}(r)f_{lt},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex10.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_t end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.38">and model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E2" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=\sum_{l=1}^{K}\beta_{l}(r)f_{lt}+u_{t}(r)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex11.m1.4"><semantics id="S2.Ex11.m1.4a"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.2.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.2" lspace="0em" 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xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">β</mi><mn id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.33.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.33.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.3" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">β</mi><mi id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.3" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.3.cmml">K</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1a" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.4.2" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.33.m1.2.2" xref="S2.SS3.p1.33.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.33.m1.4b"><list id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2"><apply id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1"><times id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.2">𝛽</ci><cn id="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.33.m1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2"><times id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.2">…</ci><apply id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.4.4.2.2.3.3">𝐾</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.33.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.33.m1.2.2">𝑟</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.33.m1.4c">\beta_{1}(r),\ldots\beta_{K}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.33.m1.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> are the coefficients of a linear regression of <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.34.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.34.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p1.34.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.34.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2"><times id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.34.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.34.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.34.m2.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.34.m2.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> on the factors <math alttext="F_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.35.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.35.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.35.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.35.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.35.m3.1c">F_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.35.m3.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Functional factor regression</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.8">In this chapter, we extend our findings from Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS3" title="2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a> to the general regression framework with multiple non-centered functional variables and additional scalar covariates as introduced in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), i.e.,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt% }(s)\,ds+u_{t}(r)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.7"><semantics id="S3.Ex12.m1.7a"><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.1a" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.4.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.1.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4" xref="S3.Ex12.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1b" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.5.5" xref="S3.Ex12.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.3.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.1a" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.3" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.1" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.3.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.6.6" xref="S3.Ex12.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.7b"><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1"><eq id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2"><times id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.cmml" 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id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.1.1.3.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.7c">Y_{t}(r)=w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt% }(s)\,ds+u_{t}(r).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.7d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p1.2">Now, every <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math>-valued regressor <math alttext="X_{1t},\ldots,X_{Jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.3b"><list id="S3.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2"><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3"><times id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3"><times id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2">𝐽</ci><ci id="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.3c">X_{1t},\ldots,X_{Jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.3d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> admits the approximate factor structure</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{jt}(s)=\mu_{j}(s)+\sum_{l=1}^{K_{j}}f_{ljt}\psi_{lj}(s)+\varepsilon_{jt}(s)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E14.m1.5"><semantics id="S3.E14.m1.5a"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.1a" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.4" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><msub id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.3" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.1" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.3.2" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E14.m1.4.4" xref="S3.E14.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.m1.5b"><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1"><eq id="S3.E14.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2"><times id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3"><times id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is the deterministic intercept function, <math alttext="F_{jt}=(f_{1jt},\ldots,f_{K_{j}jt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m2.3"><semantics id="S3.p1.4.m2.3a"><mrow id="S3.p1.4.m2.3.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.cmml"><msub id="S3.p1.4.m2.3.3.4" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.4.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.cmml"><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.1" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="S3.p1.4.m2.3.3.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" 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xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1a" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.4" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p1.4.m2.3.3.2.4" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m2.3b"><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3"><eq id="S3.p1.4.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.3"></eq><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m2.3.3.4.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.4.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.2">𝐹</ci><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3"><times id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.1"></times><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2"><apply id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.1.1">…</ci><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3"><times id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.2.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply></vector><ci id="S3.p1.4.m2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p1.4.m2.3.3.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m2.3c">F_{jt}=(f_{1jt},\ldots,f_{K_{j}jt})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m2.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the vector of <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m3.1"><semantics id="S3.p1.5.m3.1a"><msub id="S3.p1.5.m3.1.1" xref="S3.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.5.m3.1.1.2" xref="S3.p1.5.m3.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p1.5.m3.1.1.3" xref="S3.p1.5.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m3.1b"><apply id="S3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.5.m3.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.5.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m3.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m3.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> latent factors with <math alttext="\Psi_{j}(s)=(\psi_{1j}(s),\ldots,\psi_{K_{j}j}(s))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.6.m4.6"><semantics id="S3.p1.6.m4.6a"><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6" xref="S3.p1.6.m4.6.6.cmml"><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.4" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.cmml"><msub id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.3" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.4.1" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.4.3.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.cmml"><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.6.m4.1.1" xref="S3.p1.6.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.3" xref="S3.p1.6.m4.6.6.3.cmml">=</mo><msup id="S3.p1.6.m4.6.6.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.cmml"><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.6.m4.2.2" xref="S3.p1.6.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.4" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.6.m4.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.p1.6.m4.4.4.cmml">…</mi><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.5" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.1" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.6.m4.3.3" xref="S3.p1.6.m4.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p1.6.m4.6.6.2.4" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.6.m4.6b"><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6"><eq id="S3.p1.6.m4.6.6.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.3"></eq><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.4.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4"><times id="S3.p1.6.m4.6.6.4.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.1"></times><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.2">Ψ</ci><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2">superscript</csymbol><vector id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2"><apply id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1"><times id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p1.6.m4.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="S3.p1.6.m4.4.4.cmml" xref="S3.p1.6.m4.4.4">…</ci><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2"><times id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p1.6.m4.3.3.cmml" xref="S3.p1.6.m4.3.3">𝑠</ci></apply></vector><ci id="S3.p1.6.m4.6.6.2.4.cmml" xref="S3.p1.6.m4.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.6.m4.6c">\Psi_{j}(s)=(\psi_{1j}(s),\ldots,\psi_{K_{j}j}(s))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.6.m4.6d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> being the vector of corresponding unknown deterministic loading functions and <math alttext="\varepsilon_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.7.m5.1"><semantics id="S3.p1.7.m5.1a"><mrow id="S3.p1.7.m5.1.2" xref="S3.p1.7.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.p1.7.m5.1.2.2" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.7.m5.1.2.2.2" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.2" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.1" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.3" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p1.7.m5.1.2.1" xref="S3.p1.7.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.7.m5.1.2.3.2" xref="S3.p1.7.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.p1.7.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.7.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p1.7.m5.1.1" xref="S3.p1.7.m5.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.p1.7.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.7.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.7.m5.1b"><apply id="S3.p1.7.m5.1.2.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2"><times id="S3.p1.7.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.p1.7.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.7.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.7.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.2">𝜀</ci><apply id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3"><times id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S3.p1.7.m5.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.7.m5.1c">\varepsilon_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.7.m5.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is a potentially infinite-dimensional error component. <br class="ltx_break"/>In addition to Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption2" title="Assumption 2. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, the following set of restrictions is required to arrive at a fully identified regression model:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.1.1.1">Assumption 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption3.p1.3.4">(Identification II). <br class="ltx_break"/></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption3.p1.3.3">For any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4"><eq id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=1,\ldots,T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4"><eq id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.2">𝑡</ci><list id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.4.3.2"><cn id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><ci id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3.3">𝑇</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3c">t=1,\ldots,T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.2.2.m2.3d">italic_t = 1 , … , italic_T</annotation></semantics></math>, and <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4"><semantics id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4.5" xref="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4.5.cmml"><mrow id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4.5.2.2" 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id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption3.p1.3.3.m3.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>,</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(a)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.6.1">The error component of the factor structure is non-predictive and satisfies </span> <br class="ltx_break"/><math alttext="E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1b" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo 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xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3">𝐸</ci><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3c">E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.4.4" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.2c" lspace="0.170em" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6.2" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.2" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.3" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5b"><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5"><eq id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.2"></eq><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1"><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.2"></int><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1"><times id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.4.2"><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.2.2">𝑞</ci></interval><ci id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.5">𝐸</ci><apply id="S3.I1.ix1.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_q = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.6.6"> for all </span><math alttext="i\neq j" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1"><neq id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.1"></neq><ci id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1c">i\neq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix1.p1.6.m6.1d">italic_i ≠ italic_j</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.6.7">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(b)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.4.1">The factor component is predictive and satisfies</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}E[F_{jt}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{jt}]^{\prime}\,dq=diag(\lambda_{1j},% \ldots,\lambda_{K_{j}j}),\quad\lambda_{1j}>\ldots>\lambda_{K_{j}j}>0." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.4"><semantics id="S3.Ex13.m1.4a"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.4.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex13.m1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.5.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3b" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3c" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.5.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3a" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.6" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.6.cmml">a</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3b" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.7" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.7.cmml">g</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3c" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex13.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex13.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">></mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml">…</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml">></mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.1" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.7" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.7.cmml">></mo><mn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.8" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.8.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.4b"><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2"><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" 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xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.2">𝐹</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.3"></times><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.4">𝑑</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.5">𝑖</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.6.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.6">𝑎</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.7.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.7">𝑔</ci><vector id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2"><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3">…</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></vector></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"><and id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"></and><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2b.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.3"></gt><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1"></times><cn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.4">…</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2c.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.4.cmml" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2d.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"></share><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3"><times id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2e.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"><gt id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.7.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.7"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.6.cmml" id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2f.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2"></share><cn id="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.8.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.4.4.1.1.2.2.8">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.4c">\int_{a}^{b}E[F_{jt}Y_{t}(q)]E[Y_{t}(q)F_{jt}]^{\prime}\,dq=diag(\lambda_{1j},% \ldots,\lambda_{K_{j}j}),\quad\lambda_{1j}>\ldots>\lambda_{K_{j}j}>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.4d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ] italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q = italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT > … > italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.1">Moreover, </span><math alttext="E[F_{jt}]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1c">E[F_{jt}]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1d">italic_E [ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.2"> and </span><math alttext="\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3b"><list id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.2"><apply id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S3.I1.ix3.p1.1.1">The vector </span><math alttext="z_{t}=(w_{t}^{\prime},F_{1t}^{\prime},\ldots,F_{Jt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.2.cmml">z</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.4.cmml">=</mo><msup id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" 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xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.6" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.7" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4"><eq id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.4"></eq><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.2">𝑧</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.5.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3">superscript</csymbol><vector id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2">𝐹</ci><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3"><times id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.1"></times><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.2">𝐽</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></vector><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4.4.3.5">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4c">z_{t}=(w_{t}^{\prime},F_{1t}^{\prime},\ldots,F_{Jt})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.4d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.1.2"> is covariance stationary and has a positive definite covariance matrix.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.4">Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(a) and (b) are the multiple regressors extension of the conditions (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E10" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E11" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>). Part <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(a) ensures that each factor model’s functional error term has no predictive power for the dependent variable <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Moreover, the error is uncorrelated with all other variables in the functional regression equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Part <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(b) guarantees that each factor exhibits non-zero correlation with the response variable and serves as a normalization because the loadings and factors are generally only separable up to a rotation matrix. Lastly, Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(c) rules out perfect multicollinearity in a regression model. <br class="ltx_break"/>Following the same line of reasoning as in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.SS3" title="2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>, Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(a) and (b) imply that each functional regressor <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3"><times id="S3.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with associated cross covariance operator <math alttext="C_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">C_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the product with its adjoint operator <math alttext="D_{j}=C_{j}C_{j}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">D</mi><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1"><eq id="S3.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3"><times id="S3.p2.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.2">𝐶</ci><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">D_{j}=C_{j}C_{j}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> admits the kernel representation</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx7"> <tbody id="S3.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.2"><semantics id="S3.Ex14.m1.2a"><mrow id="S3.Ex14.m1.2.3" xref="S3.Ex14.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex14.m1.2.3.2" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m1.2.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Ex14.m1.2.3.2.3" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.2.3.1" xref="S3.Ex14.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.2.3.3.2" xref="S3.Ex14.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex14.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex14.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m1.2.2" xref="S3.Ex14.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex14.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.2b"><apply id="S3.Ex14.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3"><times id="S3.Ex14.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex14.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex14.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex14.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.Ex14.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.2c">\displaystyle d_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\Psi_{j}(r))^{\prime}\left(\int_{a}^{b}E[F_{jt}Y_{t}(q)]E[Y_{t}% (q)F_{jt}]^{\prime}\,dq\right)(\Psi_{j}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m2.7"><semantics id="S3.Ex14.m2.7a"><mrow id="S3.Ex14.m2.7.7" xref="S3.Ex14.m2.7.7.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.7.7.5" xref="S3.Ex14.m2.7.7.5.cmml"></mi><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.4" xref="S3.Ex14.m2.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.7.7.3" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.cmml"><msup id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m2.1.1" xref="S3.Ex14.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex14.m2.5.5.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.4" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3a" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.4" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.4.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3a" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.5" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.5.cmml">E</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3b" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m2.3.3" xref="S3.Ex14.m2.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3c" lspace="0em" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.4a" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex14.m2.4.4" xref="S3.Ex14.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex14.m2.7.7.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m2.7b"><apply id="S3.Ex14.m2.7.7.cmml" xref="S3.Ex14.m2.7.7"><eq id="S3.Ex14.m2.7.7.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.7.7.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex14.m2.7.7.5.cmml" xref="S3.Ex14.m2.7.7.5">absent</csymbol><apply 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_{j}j})(\Psi_{j}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.7"><semantics id="S3.Ex15.m1.7a"><mrow id="S3.Ex15.m1.7.7" xref="S3.Ex15.m1.7.7.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.7.7.6" xref="S3.Ex15.m1.7.7.6.cmml"></mi><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.5" xref="S3.Ex15.m1.7.7.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.7.7.4" xref="S3.Ex15.m1.7.7.4.cmml"><msup id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.4.4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.4.5" xref="S3.Ex15.m1.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.Ex15.m1.7.7.4.6" xref="S3.Ex15.m1.7.7.4.6a.cmml">diag</mtext><mo id="S3.Ex15.m1.7.7.4.5a" xref="S3.Ex15.m1.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.6.6.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.6.6.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.6.6.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex15.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S3.Ex15.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.5.5.2.2.1.1.2" 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class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{l=1}^{K_{j}}\lambda_{lj}\psi_{lj}(r)\psi_{lj}(s)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.3"><semantics id="S3.Ex16.m1.3a"><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" 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xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.3b"><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3"><times id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3"><times id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1">𝑟</ci><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3"><times id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.3.2.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.3c">\displaystyle=\sum_{l=1}^{K_{j}}\lambda_{lj}\psi_{lj}(r)\psi_{lj}(s).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.3d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.5">Because the eigenequation of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.p2.5.m1.1a"><msub id="S3.p2.5.m1.1.1" xref="S3.p2.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.2" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S3.p2.5.m1.1.1.3" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.5.m1.1b"><apply id="S3.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S3.p2.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.5.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.5.m1.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.5.m1.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> follows as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}d_{j}\left(r,s\right)\psi_{lj}\left(s\right)\,ds=\sum_{k=1}^{K_{j}% }\lambda_{kj}\psi_{kj}\left(r\right)\left\langle\psi_{kj},\psi_{lj}\right% \rangle=\lambda_{lj}\psi_{lj}\left(r\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex17.m1.7"><semantics id="S3.Ex17.m1.7a"><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7" xref="S3.Ex17.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.4" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.cmml"><msubsup id="S3.Ex17.m1.7.7.4.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2.2.cmml">d</mi><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.2.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1a" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1b" xref="S3.Ex17.m1.7.7.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow 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xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3a" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.6.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.6.2.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex17.m1.4.4" xref="S3.Ex17.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.6.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3b" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.3.cmml"><mo 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xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.5" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.6" xref="S3.Ex17.m1.7.7.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.7" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.cmml"><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m1.7.7.7.1" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.2" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.2.cmml">ψ</mi><mrow 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xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex17.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.4.4">𝑟</ci><list id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.7.7c.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7"><eq id="S3.Ex17.m1.7.7.6.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.Ex17.m1.7.7.2.cmml" id="S3.Ex17.m1.7.7d.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7"></share><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.7.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.7.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.1"></times><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3"><times id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.7.7.7.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex17.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex17.m1.5.5">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.7c">\int_{a}^{b}d_{j}\left(r,s\right)\psi_{lj}\left(s\right)\,ds=\sum_{k=1}^{K_{j}% }\lambda_{kj}\psi_{kj}\left(r\right)\left\langle\psi_{kj},\psi_{lj}\right% \rangle=\lambda_{lj}\psi_{lj}\left(r\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.7d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p2.12">by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(b), the pairs <math alttext="\left(\lambda_{lj},\psi_{lj}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.6.m1.2"><semantics id="S3.p2.6.m1.2a"><mrow id="S3.p2.6.m1.2.2.2" xref="S3.p2.6.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p2.6.m1.2.2.2.3" xref="S3.p2.6.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p2.6.m1.2.2.2.4" xref="S3.p2.6.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p2.6.m1.2.2.2.5" xref="S3.p2.6.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.6.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.p2.6.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2"><apply id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.6.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3"><times id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p2.6.m1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.6.m1.2c">\left(\lambda_{lj},\psi_{lj}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.6.m1.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="l=1,\ldots,K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.7.m2.3"><semantics id="S3.p2.7.m2.3a"><mrow id="S3.p2.7.m2.3.3" xref="S3.p2.7.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.7.m2.3.3.3" xref="S3.p2.7.m2.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S3.p2.7.m2.3.3.2" xref="S3.p2.7.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.2.cmml"><mn id="S3.p2.7.m2.1.1" xref="S3.p2.7.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.p2.7.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.7.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.7.m2.3b"><apply id="S3.p2.7.m2.3.3.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3"><eq id="S3.p2.7.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.2"></eq><ci id="S3.p2.7.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.3">𝑙</ci><list id="S3.p2.7.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1"><cn id="S3.p2.7.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p2.7.m2.1.1">1</cn><ci id="S3.p2.7.m2.2.2.cmml" xref="S3.p2.7.m2.2.2">…</ci><apply id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.7.m2.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.7.m2.3c">l=1,\ldots,K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.7.m2.3d">italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are identified as the eigenvalues and their corresponding eigenfunctions of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.8.m3.1"><semantics id="S3.p2.8.m3.1a"><msub id="S3.p2.8.m3.1.1" xref="S3.p2.8.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.8.m3.1.1.2" xref="S3.p2.8.m3.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S3.p2.8.m3.1.1.3" xref="S3.p2.8.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.8.m3.1b"><apply id="S3.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.8.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.8.m3.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S3.p2.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.8.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.8.m3.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.8.m3.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This directly implies <math alttext="rank(D_{j})=K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.9.m4.1"><semantics id="S3.p2.9.m4.1a"><mrow id="S3.p2.9.m4.1.1" xref="S3.p2.9.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.p2.9.m4.1.1.1" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.3" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.2" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.4" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.2a" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.5" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.5.cmml">n</mi><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.2b" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.6" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.6.cmml">k</mi><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.2c" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p2.9.m4.1.1.2" xref="S3.p2.9.m4.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S3.p2.9.m4.1.1.3" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.3.2" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p2.9.m4.1.1.3.3" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.9.m4.1b"><apply id="S3.p2.9.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1"><eq id="S3.p2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.2"></eq><apply id="S3.p2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1"><times id="S3.p2.9.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.3">𝑟</ci><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.4.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.5.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.5">𝑛</ci><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.6.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.6">𝑘</ci><apply id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p2.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.p2.9.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.9.m4.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.9.m4.1c">rank(D_{j})=K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.9.m4.1d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Note how the rank of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.10.m5.1"><semantics id="S3.p2.10.m5.1a"><msub id="S3.p2.10.m5.1.1" xref="S3.p2.10.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.10.m5.1.1.2" xref="S3.p2.10.m5.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S3.p2.10.m5.1.1.3" xref="S3.p2.10.m5.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.10.m5.1b"><apply id="S3.p2.10.m5.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.10.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.10.m5.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S3.p2.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.10.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.10.m5.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.10.m5.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> might differ for each regressor <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.11.m6.1"><semantics id="S3.p2.11.m6.1a"><msub id="S3.p2.11.m6.1.1" xref="S3.p2.11.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.11.m6.1.1.2" xref="S3.p2.11.m6.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.p2.11.m6.1.1.3" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.11.m6.1.1.3.2" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p2.11.m6.1.1.3.1" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p2.11.m6.1.1.3.3" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.11.m6.1b"><apply id="S3.p2.11.m6.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S3.p2.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3"><times id="S3.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.11.m6.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.11.m6.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.11.m6.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, depending on the number of factors correlated with the regressand. <br class="ltx_break"/>Given the identified loading functions <math alttext="\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.12.m7.1"><semantics id="S3.p2.12.m7.1a"><mrow id="S3.p2.12.m7.1.2" xref="S3.p2.12.m7.1.2.cmml"><msub id="S3.p2.12.m7.1.2.2" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p2.12.m7.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p2.12.m7.1.2.2.3" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p2.12.m7.1.2.1" xref="S3.p2.12.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p2.12.m7.1.2.3.2" xref="S3.p2.12.m7.1.2.cmml"><mo id="S3.p2.12.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p2.12.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p2.12.m7.1.1" xref="S3.p2.12.m7.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.p2.12.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p2.12.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.12.m7.1b"><apply id="S3.p2.12.m7.1.2.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2"><times id="S3.p2.12.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2.1"></times><apply id="S3.p2.12.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.12.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.12.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S3.p2.12.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p2.12.m7.1.1.cmml" xref="S3.p2.12.m7.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.12.m7.1c">\Psi_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.12.m7.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>, Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows that each regression coefficient function admits a finite rank representation.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.1.1.1">Lemma 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.3.3">Under Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4"><eq id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=1,\ldots,T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4"><eq id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.2">𝑡</ci><list id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3">𝑇</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3c">t=1,\ldots,T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.3d">italic_t = 1 , … , italic_T</annotation></semantics></math>, and <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4"><semantics id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.4" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4b"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5"><in id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.1"></in><list id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.2.2"><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.3.3">𝑟</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4.5.3.2"><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx8"> <tbody id="S3.E15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)=(B_{j}% (r))^{\prime}\Psi_{j}(s)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15.m1.7"><semantics id="S3.E15.m1.7a"><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E15.m1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.cmml"><munderover id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1a" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.3.3" xref="S3.E15.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1a" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1b" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.5.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.4.4" xref="S3.E15.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.6" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.5.5" xref="S3.E15.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.4.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E15.m1.6.6" xref="S3.E15.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.7.7.1.2" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.7b"><apply id="S3.E15.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1"><and id="S3.E15.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1"></and><apply id="S3.E15.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1"><eq id="S3.E15.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.4"></eq><apply id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3"><times id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" 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encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.7c">\displaystyle\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)=(B_{j}% (r))^{\prime}\Psi_{j}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.7d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ( italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.8.5">where <math alttext="\beta_{lj}(r)=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\psi_{lj}(s)\,ds" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.cmml"><msubsup id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.3.3" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.2.3" stretchy="false" 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id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3"><times id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3"><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.1.1.cmml" 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xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3.2"><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.2.2">𝑟</ci><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.3.3">𝑠</ci></interval><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.2">𝜓</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3"><times id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.4">𝑠</ci><apply id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4.5.3.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4c">\beta_{lj}(r)=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\psi_{lj}(s)\,ds</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s</annotation></semantics></math> and <math alttext="B_{j}(r)=(\beta_{1j}(r),\ldots,\beta_{K_{j}j}(r))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6"><semantics id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6a"><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.2.cmml">B</mi><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.3.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.3.cmml">=</mo><msup id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.4" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.4.4" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.4.4.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.5" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.3.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.6" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.4" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6b"><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6"><eq id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.3"></eq><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4"><times id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.2">𝐵</ci><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2">superscript</csymbol><vector id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2"><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1"><times id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3"><times id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.4.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.4.4">…</ci><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2"><times id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3"><times id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.3.3">𝑟</ci></apply></vector><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6c">B_{j}(r)=(\beta_{1j}(r),\ldots,\beta_{K_{j}j}(r))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.6d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Additionally, <math alttext="\varepsilon_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.2">𝜀</ci><apply id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3"><times id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1c">\varepsilon_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.6.3.m3.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> lies in the null space of the integral operator defined by <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2"><semantics id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2a"><mrow id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.1.1" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.2" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2b"><apply id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3"><times id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.3.3.2"><ci id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.7.4.m4.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\varepsilon_{jt}(s)\,\mathrm{d}s=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3"><semantics id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3a"><mrow id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.cmml"><msubsup id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.3" 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id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.1" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1b" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.5.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.3.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.1" rspace="0em" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.2" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.1" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.3" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3b"><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4"><eq id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.1"></eq><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2"><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1">subscript</csymbol><int id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.2"></int><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2"><times id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.3.2"><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.1.1">𝑟</ci><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.2.2">𝑠</ci></interval><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.2">𝜀</ci><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3"><times id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.3">𝑠</ci><apply id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3c">\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\varepsilon_{jt}(s)\,\mathrm{d}s=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.8.5.m5.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) roman_d italic_s = 0</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.11">Note that the loading functions <math alttext="\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.p3.1.m1.1.2" xref="S3.p3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.1.m1.1.2.2" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2"><times id="S3.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S3.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">\Psi_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> are only identified up to a sign change because <math alttext="m\psi_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><times id="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3"><times id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">m\psi_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">italic_m italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is still an eigenfunction if <math alttext="\psi_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3"><times id="S3.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.1c">\psi_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an eigenfunction, for any nonzero scalar <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.p3.4.m4.1a"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.1b"><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.1d">italic_m</annotation></semantics></math>. The normalization <math alttext="\left\|\psi_{lj}\right\|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.p3.5.m5.1a"><mrow id="S3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S3.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1"><eq id="S3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.2"></eq><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.5.m5.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m5.1c">\left\|\psi_{lj}\right\|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m5.1d">∥ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = 1</annotation></semantics></math> from Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(b) does not identify the sign either. However, the sign of the coefficient function <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m6.2"><semantics id="S3.p3.6.m6.2a"><mrow id="S3.p3.6.m6.2.3" xref="S3.p3.6.m6.2.3.cmml"><msub id="S3.p3.6.m6.2.3.2" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.p3.6.m6.2.3.2.3" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.6.m6.2.3.1" xref="S3.p3.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.6.m6.1.1" xref="S3.p3.6.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.6.m6.2.2" xref="S3.p3.6.m6.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m6.2b"><apply id="S3.p3.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3"><times id="S3.p3.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.1"></times><apply id="S3.p3.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.p3.6.m6.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.3.3.2"><ci id="S3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m6.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.p3.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.p3.6.m6.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m6.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m6.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> is still fully identified. If the sign of <math alttext="\psi_{lj}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.7.m7.1"><semantics id="S3.p3.7.m7.1a"><mrow id="S3.p3.7.m7.1.2" xref="S3.p3.7.m7.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.7.m7.1.2.2" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.1.2.2.2" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.1" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.7.m7.1.2.1" xref="S3.p3.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.7.m7.1.2.3.2" xref="S3.p3.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.7.m7.1.1" xref="S3.p3.7.m7.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m7.1b"><apply id="S3.p3.7.m7.1.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2"><times id="S3.p3.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3"><times id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.7.m7.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m7.1c">\psi_{lj}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m7.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> changes, the sign of the corresponding <math alttext="\beta_{lj}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.8.m8.1"><semantics id="S3.p3.8.m8.1a"><mrow id="S3.p3.8.m8.1.2" xref="S3.p3.8.m8.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.8.m8.1.2.2" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.8.m8.1.2.2.2" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.1" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.8.m8.1.2.1" xref="S3.p3.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.8.m8.1.2.3.2" xref="S3.p3.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.8.m8.1.1" xref="S3.p3.8.m8.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.8.m8.1b"><apply id="S3.p3.8.m8.1.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2"><times id="S3.p3.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3"><times id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.p3.8.m8.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.8.m8.1c">\beta_{lj}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.8.m8.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> also flips such that <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.9.m9.2"><semantics id="S3.p3.9.m9.2a"><mrow id="S3.p3.9.m9.2.3" xref="S3.p3.9.m9.2.3.cmml"><msub id="S3.p3.9.m9.2.3.2" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.9.m9.2.3.2.2" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.p3.9.m9.2.3.2.3" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.9.m9.2.3.1" xref="S3.p3.9.m9.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.9.m9.2.3.3.2" xref="S3.p3.9.m9.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.9.m9.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.9.m9.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.9.m9.1.1" xref="S3.p3.9.m9.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.9.m9.2.3.3.2.2" xref="S3.p3.9.m9.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.9.m9.2.2" xref="S3.p3.9.m9.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.9.m9.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.9.m9.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.9.m9.2b"><apply id="S3.p3.9.m9.2.3.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3"><times id="S3.p3.9.m9.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.1"></times><apply id="S3.p3.9.m9.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.9.m9.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.9.m9.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.p3.9.m9.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.p3.9.m9.2.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.3.3.2"><ci id="S3.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.p3.9.m9.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.p3.9.m9.2.2.cmml" xref="S3.p3.9.m9.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.9.m9.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.9.m9.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> remains unchanged. <br class="ltx_break"/>Until here, the last open issue concerns how to obtain <math alttext="\beta_{lj}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.10.m10.1"><semantics id="S3.p3.10.m10.1a"><mrow id="S3.p3.10.m10.1.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.10.m10.1.2.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.10.m10.1.2.2.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.1" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.3" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.1" xref="S3.p3.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.10.m10.1.1" xref="S3.p3.10.m10.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.10.m10.1b"><apply id="S3.p3.10.m10.1.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2"><times id="S3.p3.10.m10.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.10.m10.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.10.m10.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.10.m10.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3"><times id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.p3.10.m10.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.10.m10.1c">\beta_{lj}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.10.m10.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>. If we make use of the factor equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E14" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>), the orthonormality of the loading functions, and the fact that <math alttext="\epsilon_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.11.m11.1"><semantics id="S3.p3.11.m11.1a"><msub id="S3.p3.11.m11.1.1" xref="S3.p3.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.11.m11.1.1.2" xref="S3.p3.11.m11.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mrow id="S3.p3.11.m11.1.1.3" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.11.m11.1.1.3.2" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.11.m11.1.1.3.1" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.11.m11.1.1.3.3" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.11.m11.1b"><apply id="S3.p3.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="S3.p3.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3"><times id="S3.p3.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.11.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.11.m11.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.11.m11.1c">\epsilon_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.11.m11.1d">italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> lies in the null space of the regression operator by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, the integral term in our regression equation can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt}(s)\,ds=\beta_{0}(r)+\sum_{j=1}^% {J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)f_{ljt}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex18.m1.6"><semantics id="S3.Ex18.m1.6a"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex18.m1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex18.m1.2.2" xref="S3.Ex18.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1a" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1b" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.5.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex18.m1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex18.m1.4.4" xref="S3.Ex18.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml"><munderover id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex18.m1.5.5" xref="S3.Ex18.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1a" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1a" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.4" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m1.6b"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3"><eq id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" 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xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.2"><ci id="S3.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.Ex18.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.2.2">𝑠</ci></interval><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.2">𝑋</ci><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3"><times id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml" 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id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex18.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.4.4">𝑟</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2"><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3"><eq id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2"><times id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3"><times id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex18.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex18.m1.5.5">𝑟</ci><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.2">𝑓</ci><apply id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3"><times id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex18.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.6c">\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt}(s)\,ds=\beta_{0}(r)+\sum_{j=1}^% {J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)f_{ljt},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s = italic_β start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.12">where <math alttext="\beta_{0}(r)=\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\mu_{j}(s)\,ds" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.12.m1.4"><semantics id="S3.p3.12.m1.4a"><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5" xref="S3.p3.12.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.cmml"><msub id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mn id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.2.1" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.2.3.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.12.m1.1.1" xref="S3.p3.12.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S3.p3.12.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.1" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.3.cmml">J</mi></msubsup><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.cmml"><msubsup id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.cmml"><msub id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.12.m1.2.2" xref="S3.p3.12.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.2.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.12.m1.3.3" xref="S3.p3.12.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1a" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.3" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1b" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.5.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.12.m1.4.4" xref="S3.p3.12.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.cmml"><mo id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.2" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.12.m1.4b"><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5"><eq id="S3.p3.12.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.1"></eq><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2"><times id="S3.p3.12.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.1"></times><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci><cn id="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.12.m1.4.5.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.p3.12.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3"><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3"><eq id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2"><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.2"></int><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2"><times id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.1"></times><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.3.2"><ci id="S3.p3.12.m1.2.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.p3.12.m1.3.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.3.3">𝑠</ci></interval><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.2">𝜇</ci><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p3.12.m1.4.4.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.4">𝑠</ci><apply id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.1.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.2.cmml" xref="S3.p3.12.m1.4.5.3.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.12.m1.4c">\beta_{0}(r)=\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\mu_{j}(s)\,ds</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.12.m1.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s</annotation></semantics></math>. Therefore, the fully functional regression model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) becomes the functional factor regression</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx9"> <tbody id="S3.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m1.1"><semantics id="S3.Ex19.m1.1a"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.2.1" xref="S3.Ex19.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex19.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.1b"><apply id="S3.Ex19.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2"><times id="S3.Ex19.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex19.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.1c">\displaystyle Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)% X_{jt}(s)\,ds+u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m2.5"><semantics id="S3.Ex19.m2.5a"><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6" xref="S3.Ex19.m2.5.6.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.3.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.1a" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.4.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.1.1" xref="S3.Ex19.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.cmml"><munderover id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1a" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.1.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1a" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.2.2" xref="S3.Ex19.m2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m2.3.3" xref="S3.Ex19.m2.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1a" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1b" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.5.2" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex19.m2.4.4" xref="S3.Ex19.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.6" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.6.cmml"><mo id="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.Ex19.m2.5.6.3.3.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi 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id="S3.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=w_{t}^{\prime}\alpha^{*}(r)+\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}% \beta_{lj}(r)f_{ljt}+u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m1.3"><semantics id="S3.Ex20.m1.3a"><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4" xref="S3.Ex20.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.1" xref="S3.Ex20.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.2.2.3" 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xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.2.2" xref="S3.Ex20.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.1a" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.1a" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.4" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.3.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.1a" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2.3" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.1" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.3.2" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex20.m1.3.3" xref="S3.Ex20.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex20.m1.3.4.3.4.3.2.2" stretchy="false" 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id="S3.Ex20.m1.3c">\displaystyle=w_{t}^{\prime}\alpha^{*}(r)+\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}% \beta_{lj}(r)f_{ljt}+u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.3d">= italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=z_{t}^{\prime}B(r)+u_{t}(r)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E16.m1.3"><semantics id="S3.E16.m1.3a"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1a" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E16.m1.2.2" xref="S3.E16.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.3b"><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1"><eq id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝐵</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.3c">\displaystyle=z_{t}^{\prime}B(r)+u_{t}(r),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.3d">= italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_B ( italic_r ) + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.18">which is a regression of <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.13.m1.1"><semantics id="S3.p3.13.m1.1a"><mrow id="S3.p3.13.m1.1.2" xref="S3.p3.13.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.13.m1.1.2.2" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.13.m1.1.2.2.2" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.p3.13.m1.1.2.2.3" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.p3.13.m1.1.2.1" xref="S3.p3.13.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.13.m1.1.2.3.2" xref="S3.p3.13.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.13.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.13.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.13.m1.1.1" xref="S3.p3.13.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.13.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.13.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.13.m1.1b"><apply id="S3.p3.13.m1.1.2.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2"><times id="S3.p3.13.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.13.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.13.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.13.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.p3.13.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.p3.13.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.13.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.13.m1.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.13.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> on the <math alttext="(N+\sum_{j=1}^{J}K_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.14.m2.1"><semantics id="S3.p3.14.m2.1a"><mrow id="S3.p3.14.m2.1.1.1" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.14.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml">J</mi></msubsup><msub id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.p3.14.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.14.m2.1b"><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1"><plus id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3"><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.14.m2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.14.m2.1c">(N+\sum_{j=1}^{J}K_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.14.m2.1d">( italic_N + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>-dimensional vector of regressors <math alttext="z_{t}=(w_{t}^{\prime},F_{1t}^{\prime},\ldots,F_{Jt}^{\prime})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.15.m3.4"><semantics id="S3.p3.15.m3.4a"><mrow id="S3.p3.15.m3.4.4" xref="S3.p3.15.m3.4.4.cmml"><msub id="S3.p3.15.m3.4.4.5" xref="S3.p3.15.m3.4.4.5.cmml"><mi id="S3.p3.15.m3.4.4.5.2" xref="S3.p3.15.m3.4.4.5.2.cmml">z</mi><mi id="S3.p3.15.m3.4.4.5.3" xref="S3.p3.15.m3.4.4.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.p3.15.m3.4.4.4" xref="S3.p3.15.m3.4.4.4.cmml">=</mo><msup id="S3.p3.15.m3.4.4.3" xref="S3.p3.15.m3.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.p3.15.m3.4.4.3.3.3" xref="S3.p3.15.m3.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S3.p3.15.m3.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" 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end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with coefficient functions <math alttext="B(r)=((\alpha^{*}(r))^{\prime},(B_{1}(r))^{\prime},\ldots,(B_{J}(r))^{\prime})% ^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.16.m4.8"><semantics id="S3.p3.16.m4.8a"><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8" xref="S3.p3.16.m4.8.8.cmml"><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8.5" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.cmml"><mi id="S3.p3.16.m4.8.8.5.2" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.2.cmml">B</mi><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.5.1" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8.5.3.2" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.cmml"><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.16.m4.1.1" xref="S3.p3.16.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.4" xref="S3.p3.16.m4.8.8.4.cmml">=</mo><msup id="S3.p3.16.m4.8.8.3" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.cmml"><mrow 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stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.16.m4.2.2" xref="S3.p3.16.m4.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.16.m4.6.6.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.5" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mn id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.16.m4.3.3" xref="S3.p3.16.m4.3.3.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.16.m4.7.7.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.6" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.16.m4.5.5" mathvariant="normal" xref="S3.p3.16.m4.5.5.cmml">…</mi><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.7" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></msub><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.16.m4.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi 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where <math alttext="\alpha^{*}(r)=(\alpha_{1}^{*}(r),\alpha_{2}(r),\ldots,\alpha_{N}(r))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.17.m5.8"><semantics id="S3.p3.17.m5.8a"><mrow id="S3.p3.17.m5.8.8" xref="S3.p3.17.m5.8.8.cmml"><mrow id="S3.p3.17.m5.8.8.5" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.cmml"><msup id="S3.p3.17.m5.8.8.5.2" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.2.cmml"><mi id="S3.p3.17.m5.8.8.5.2.2" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.p3.17.m5.8.8.5.2.3" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.p3.17.m5.8.8.5.1" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.17.m5.8.8.5.3.2" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.cmml"><mo id="S3.p3.17.m5.8.8.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.17.m5.1.1" xref="S3.p3.17.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.17.m5.8.8.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.17.m5.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p3.17.m5.8.8.4" xref="S3.p3.17.m5.8.8.4.cmml">=</mo><msup id="S3.p3.17.m5.8.8.3" 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xref="S3.p3.18.m6.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.2.3">1</cn></apply><times id="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.p3.18.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S3.p3.18.m6.3.4.3.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3"><plus id="S3.p3.18.m6.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.1"></plus><apply id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2"><times id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.1"></times><apply id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.p3.18.m6.2.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3"><times id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.1"></times><apply id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.2">𝛽</ci><cn id="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.18.m6.3.4.3.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.p3.18.m6.3.3.cmml" xref="S3.p3.18.m6.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.18.m6.3c">\alpha_{1}^{*}(r)=\alpha_{1}(r)+\beta_{0}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.18.m6.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) = italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + italic_β start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>. Under Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(c), the coefficients are identified as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="B(r)=E\left[z_{t}z_{t}^{\prime}\right]^{-1}E\left[z_{t}Y_{t}(r)\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E17.m1.3"><semantics id="S3.E17.m1.3a"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.4.cmml">E</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" 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xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.5" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.5.cmml">E</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3b" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.m1.2.2" xref="S3.E17.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E17.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17.m1.3b"><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1"><eq id="S3.E17.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4"><times id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.3"></times><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.4">𝐸</ci><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.5">𝐸</ci><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><times id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E17.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E17.m1.2.2.cmml" xref="S3.E17.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17.m1.3c">B(r)=E\left[z_{t}z_{t}^{\prime}\right]^{-1}E\left[z_{t}Y_{t}(r)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17.m1.3d">italic_B ( italic_r ) = italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.34">The factors admit a certain representation through projection coefficients, namely</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx10"> <tbody id="S3.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex21.m1.2"><semantics id="S3.Ex21.m1.2a"><mrow id="S3.Ex21.m1.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m1.2b"><list id="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2"><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.2c">\displaystyle\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.2d">⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{l=1}^{K_{j}}f_{kjt}\langle\psi_{kj},\psi_{lj}\rangle+% \langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex21.m2.4"><semantics id="S3.Ex21.m2.4a"><mrow id="S3.Ex21.m2.4.4" xref="S3.Ex21.m2.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.4.4.6" xref="S3.Ex21.m2.4.4.6.cmml"></mi><mo id="S3.Ex21.m2.4.4.5" xref="S3.Ex21.m2.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex21.m2.4.4.4" xref="S3.Ex21.m2.4.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.cmml"><munderover id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3a" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.1a" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.4" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m2.4.4.4.5" xref="S3.Ex21.m2.4.4.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex21.m2.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex21.m2.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m2.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex21.m2.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m2.4c">\displaystyle=\sum_{l=1}^{K_{j}}f_{kjt}\langle\psi_{kj},\psi_{lj}\rangle+% \langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m2.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=f_{ljt}+\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex22.m1.1"><semantics id="S3.Ex22.m1.1a"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1a" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.4" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex22.m1.1b"><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑓</ci><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex22.m1.1c">\displaystyle=f_{ljt}+\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex22.m1.1d">= italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.26">We see that the original factors <math alttext="f_{ljt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.19.m1.1"><semantics id="S3.p3.19.m1.1a"><msub id="S3.p3.19.m1.1.1" xref="S3.p3.19.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.19.m1.1.1.2" xref="S3.p3.19.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.19.m1.1.1.3" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.19.m1.1.1.3.2" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.19.m1.1.1.3.1" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.19.m1.1.1.3.3" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.19.m1.1.1.3.1a" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.19.m1.1.1.3.4" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.19.m1.1b"><apply id="S3.p3.19.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.19.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.19.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3"><times id="S3.p3.19.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.19.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.19.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.19.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.p3.19.m1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.19.m1.1c">f_{ljt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.19.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E14" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) are latent and only partially identifiable because <math alttext="\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.20.m2.2"><semantics id="S3.p3.20.m2.2a"><mrow id="S3.p3.20.m2.2.2.2" xref="S3.p3.20.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.20.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.20.m2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.20.m2.2.2.2.4" xref="S3.p3.20.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.20.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p3.20.m2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.20.m2.2b"><list id="S3.p3.20.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2"><apply id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m2.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3"><times id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.20.m2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.20.m2.2c">\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.20.m2.2d">⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> is unknown. However, the full identification of the factors is not required to identify all parameters of the model (see the discussion in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Otto.2025</span>]</cite>). In fact, <math alttext="f_{ljt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.21.m3.1"><semantics id="S3.p3.21.m3.1a"><msub id="S3.p3.21.m3.1.1" xref="S3.p3.21.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.21.m3.1.1.2" xref="S3.p3.21.m3.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.21.m3.1.1.3" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.21.m3.1.1.3.2" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.21.m3.1.1.3.1" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.21.m3.1.1.3.3" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.21.m3.1.1.3.1a" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.21.m3.1.1.3.4" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.21.m3.1b"><apply id="S3.p3.21.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.21.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.21.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.21.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3"><times id="S3.p3.21.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.21.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.21.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.21.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.p3.21.m3.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.21.m3.1c">f_{ljt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.21.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> coincides with the projection coefficient <math alttext="f_{ljt}^{*}:=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.22.m4.2"><semantics id="S3.p3.22.m4.2a"><mrow id="S3.p3.22.m4.2.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.cmml"><msubsup id="S3.p3.22.m4.2.2.4" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.3" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1a" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.4" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.4.3" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.p3.22.m4.2.2.3.cmml">:=</mo><mrow id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.4" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.22.m4.2b"><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.22.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.3">assign</csymbol><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3"><times id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.22.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.4.3"></times></apply><list id="S3.p3.22.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2"><apply id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.22.m4.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.22.m4.2c">f_{ljt}^{*}:=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.22.m4.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT := ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> up to the noise term <math alttext="\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.23.m5.2"><semantics id="S3.p3.23.m5.2a"><mrow id="S3.p3.23.m5.2.2.2" xref="S3.p3.23.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.23.m5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m5.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.1" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.23.m5.2.2.2.4" xref="S3.p3.23.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.p3.23.m5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.p3.23.m5.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.23.m5.2b"><list id="S3.p3.23.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2"><apply id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3"><times id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m5.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3"><times id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.23.m5.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.23.m5.2c">\langle\varepsilon_{jt},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.23.m5.2d">⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, which is uncorrelated with <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.24.m6.1"><semantics id="S3.p3.24.m6.1a"><mrow id="S3.p3.24.m6.1.2" xref="S3.p3.24.m6.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.24.m6.1.2.2" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.24.m6.1.2.2.2" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.p3.24.m6.1.2.2.3" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.p3.24.m6.1.2.1" xref="S3.p3.24.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.24.m6.1.2.3.2" xref="S3.p3.24.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.24.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.24.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.24.m6.1.1" xref="S3.p3.24.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.24.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.24.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.24.m6.1b"><apply id="S3.p3.24.m6.1.2.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2"><times id="S3.p3.24.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.24.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.24.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.24.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.p3.24.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.p3.24.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.24.m6.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.24.m6.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.24.m6.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(a). Specifically, the latent factors <math alttext="f_{ljt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.25.m7.1"><semantics id="S3.p3.25.m7.1a"><msub id="S3.p3.25.m7.1.1" xref="S3.p3.25.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.25.m7.1.1.2" xref="S3.p3.25.m7.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.25.m7.1.1.3" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.25.m7.1.1.3.2" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.25.m7.1.1.3.1" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.25.m7.1.1.3.3" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.25.m7.1.1.3.1a" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.25.m7.1.1.3.4" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.25.m7.1b"><apply id="S3.p3.25.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.25.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.25.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.25.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3"><times id="S3.p3.25.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.25.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.25.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.25.m7.1.1.3.4.cmml" xref="S3.p3.25.m7.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.25.m7.1c">f_{ljt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.25.m7.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the projection coefficients <math alttext="f_{ljt}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.26.m8.1"><semantics id="S3.p3.26.m8.1a"><msubsup id="S3.p3.26.m8.1.1" xref="S3.p3.26.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.26.m8.1.1.2.2" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1a" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.4" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.26.m8.1.1.3" xref="S3.p3.26.m8.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.26.m8.1b"><apply id="S3.p3.26.m8.1.1.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.26.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.26.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.26.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.26.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3"><times id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.26.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.26.m8.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.26.m8.1c">f_{ljt}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.26.m8.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> can be used interchangeably in the functional factor regression (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E16" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>). To see this, note that by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E15" title="In Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>),</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)(X_{jt}(s)-\mu_{j}(s))\,ds=\sum_{j=1}^% {J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex23.m1.6"><semantics id="S3.Ex23.m1.6a"><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0.167em" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex23.m1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex23.m1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex23.m1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex23.m1.4.4" xref="S3.Ex23.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2b" lspace="0.170em" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1" rspace="0em" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.4" rspace="0.111em" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex23.m1.5.5" xref="S3.Ex23.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3a" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex23.m1.6b"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3"><eq id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2">𝑠</ci></interval><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.2"></sum><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3"><eq id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.3.3">𝐽</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.2"></sum><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3"><eq id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.2">𝛽</ci><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex23.m1.5.5">𝑟</ci><list id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m1.6c">\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)(X_{jt}(s)-\mu_{j}(s))\,ds=\sum_{j=1}^% {J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m1.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) italic_d italic_s = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.33">which implies that <math alttext="B(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.27.m1.1"><semantics id="S3.p3.27.m1.1a"><mrow id="S3.p3.27.m1.1.2" xref="S3.p3.27.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.27.m1.1.2.2" xref="S3.p3.27.m1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.p3.27.m1.1.2.1" xref="S3.p3.27.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.27.m1.1.2.3.2" xref="S3.p3.27.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.27.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.27.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.27.m1.1.1" xref="S3.p3.27.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.27.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.27.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.27.m1.1b"><apply id="S3.p3.27.m1.1.2.cmml" xref="S3.p3.27.m1.1.2"><times id="S3.p3.27.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.27.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.p3.27.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.27.m1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.p3.27.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.27.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.27.m1.1c">B(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.27.m1.1d">italic_B ( italic_r )</annotation></semantics></math> are the regression coefficients obtained from a regression of <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.28.m2.1"><semantics id="S3.p3.28.m2.1a"><mrow id="S3.p3.28.m2.1.2" xref="S3.p3.28.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.p3.28.m2.1.2.2" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.28.m2.1.2.2.2" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.p3.28.m2.1.2.2.3" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.p3.28.m2.1.2.1" xref="S3.p3.28.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p3.28.m2.1.2.3.2" xref="S3.p3.28.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.p3.28.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.28.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.p3.28.m2.1.1" xref="S3.p3.28.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.p3.28.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.28.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.28.m2.1b"><apply id="S3.p3.28.m2.1.2.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2"><times id="S3.p3.28.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.p3.28.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.28.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.28.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.p3.28.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.p3.28.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.28.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.28.m2.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.28.m2.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> on <math alttext="w_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.29.m3.1"><semantics id="S3.p3.29.m3.1a"><msub id="S3.p3.29.m3.1.1" xref="S3.p3.29.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.29.m3.1.1.2" xref="S3.p3.29.m3.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S3.p3.29.m3.1.1.3" xref="S3.p3.29.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.29.m3.1b"><apply id="S3.p3.29.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.29.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.29.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.29.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.29.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.29.m3.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.p3.29.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.29.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.29.m3.1c">w_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.29.m3.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{jt}^{*}=(f_{1jt}^{*},\ldots,f_{K_{j}jt}^{*})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.30.m4.3"><semantics id="S3.p3.30.m4.3a"><mrow id="S3.p3.30.m4.3.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.cmml"><msubsup id="S3.p3.30.m4.3.3.4" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.1" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.4.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="S3.p3.30.m4.3.3.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.4" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.30.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p3.30.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.5" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.4" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.3" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p3.30.m4.3.3.2.4" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.30.m4.3b"><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3"><eq id="S3.p3.30.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.3"></eq><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.4.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.4.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.2">𝐹</ci><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3"><times id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.30.m4.3.3.4.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.4.3"></times></apply><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2"><apply id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.2.2.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="S3.p3.30.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.1.1">…</ci><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.2.2.2.3"></times></apply></vector><ci id="S3.p3.30.m4.3.3.2.4.cmml" xref="S3.p3.30.m4.3.3.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.30.m4.3c">F_{jt}^{*}=(f_{1jt}^{*},\ldots,f_{K_{j}jt}^{*})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.30.m4.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.31.m5.3"><semantics id="S3.p3.31.m5.3a"><mrow id="S3.p3.31.m5.3.4" xref="S3.p3.31.m5.3.4.cmml"><mi id="S3.p3.31.m5.3.4.2" xref="S3.p3.31.m5.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.31.m5.3.4.1" xref="S3.p3.31.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.31.m5.3.4.3.2" xref="S3.p3.31.m5.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.p3.31.m5.1.1" xref="S3.p3.31.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p3.31.m5.3.4.3.2.1" xref="S3.p3.31.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.31.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p3.31.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.p3.31.m5.3.4.3.2.2" xref="S3.p3.31.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p3.31.m5.3.3" xref="S3.p3.31.m5.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.31.m5.3b"><apply id="S3.p3.31.m5.3.4.cmml" xref="S3.p3.31.m5.3.4"><eq id="S3.p3.31.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.p3.31.m5.3.4.1"></eq><ci id="S3.p3.31.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.p3.31.m5.3.4.2">𝑗</ci><list id="S3.p3.31.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p3.31.m5.3.4.3.2"><cn id="S3.p3.31.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p3.31.m5.1.1">1</cn><ci id="S3.p3.31.m5.2.2.cmml" xref="S3.p3.31.m5.2.2">…</ci><ci id="S3.p3.31.m5.3.3.cmml" xref="S3.p3.31.m5.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.31.m5.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.31.m5.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>. Therefore, the regression coefficient functions is identified using either <math alttext="f_{ljt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.32.m6.1"><semantics id="S3.p3.32.m6.1a"><msub id="S3.p3.32.m6.1.1" xref="S3.p3.32.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.32.m6.1.1.2" xref="S3.p3.32.m6.1.1.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.32.m6.1.1.3" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.32.m6.1.1.3.2" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.32.m6.1.1.3.1" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.32.m6.1.1.3.3" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.32.m6.1.1.3.1a" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.32.m6.1.1.3.4" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.32.m6.1b"><apply id="S3.p3.32.m6.1.1.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.32.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.32.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.32.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3"><times id="S3.p3.32.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.32.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.32.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.32.m6.1.1.3.4.cmml" xref="S3.p3.32.m6.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.32.m6.1c">f_{ljt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.32.m6.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="f_{ljt}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.33.m7.1"><semantics id="S3.p3.33.m7.1a"><msubsup id="S3.p3.33.m7.1.1" xref="S3.p3.33.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.33.m7.1.1.2.2" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.2" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.3" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1a" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.4" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.p3.33.m7.1.1.3" xref="S3.p3.33.m7.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.33.m7.1b"><apply id="S3.p3.33.m7.1.1.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.33.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.p3.33.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.33.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.33.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3"><times id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="S3.p3.33.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.33.m7.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.33.m7.1c">f_{ljt}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.33.m7.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></p> </div> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.1">Before turning to the estimation of the model, we specify the necessary set of assumptions for this task.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_assumption" id="Thmassumption4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.1.1.1">Assumption 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmassumption4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmassumption4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmassumption4.p1.3.4">(Estimation). <br class="ltx_break"/></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmassumption4.p1.3.3">For any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4"><eq id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption4.p1.1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=1,\ldots,T" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml">t</mi><mo id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.3.cmml">T</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4"><eq id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.2">𝑡</ci><list id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.4.3.2"><cn id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><ci id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3.3">𝑇</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3c">t=1,\ldots,T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption4.p1.2.2.m2.3d">italic_t = 1 , … , italic_T</annotation></semantics></math>, and <math alttext="r\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3"><in id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.1"></in><ci id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.3.3.2"><ci id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2c">r\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmassumption4.p1.3.3.m3.2d">italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>,</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(a)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix1.p1.7.1">The vector </span><math alttext="(u_{t},w_{t},X_{1t},\ldots,X_{Jt})_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5"><semantics id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5a"><msub id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml"><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.5" stretchy="false" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml">(</mo><msub id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.6" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.7" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mn id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.8" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.9" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.3.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.3.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.3.2.cmml">J</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.5.5.4.4.4.3.1" 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xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2">𝑋</ci><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3"><times id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1"></times><cn id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" 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id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><infinity id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1c">\sup_{t}E[(w_{it})^{\nu}]<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix1.p1.7.m7.1d">roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_E [ ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] < ∞</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix1.p1.7.8">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(b)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix2.p1.5"><math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2"><times id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.5.1"> and </span><math alttext="X_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.1" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.3" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.1" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2"><times id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3"><times id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1c">X_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.5.2"> have differentiable sample paths, and </span><math alttext="\alpha(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.1" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2"><times id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1c">\alpha(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.3.m3.1d">italic_α ( italic_r )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.5.3">, </span><math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.cmml"><msub id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.3" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.1" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3"><times id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.4.m4.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.5.4">, and </span><math alttext="\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.1" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.1.cmml">s</mi><mo id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2"><times id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1c">\Psi_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.5.m5.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.5.5"> are differentiable parameter functions.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.1">Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>(a) is sufficient to ensure consistent estimation of all parameters in our model. It only entails fairly mild moment restrictions on the regressors and regression errors, as well as <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.p5.1.m1.1a"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.1b"><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing at a rate which is common in the literature (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">White.2001</span>]</cite>). Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>(b) is a simple smoothness condition required to achieve a uniform central limit theorem for the functional regression coefficients.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Estimation</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.6">As all parameters of the regression model are identified by now, we can estimate the population objects based on sample observations. Firstly, we need an asymptotically consistent moment estimator for the integral operator kernel <math alttext="d_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.p1.1.m1.2.3" xref="S4.p1.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S4.p1.1.m1.2.3.2.3" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.1.m1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3"><times id="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.p1.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.2c">d_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>. Based on that result, consistent estimates of the eigenpairs <math alttext="(\lambda_{lj},\psi_{lj})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.p1.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S4.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><times id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><times id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.2c">(\lambda_{lj},\psi_{lj})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="l=1,\ldots,K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.3"><semantics id="S4.p1.3.m3.3a"><mrow id="S4.p1.3.m3.3.3" xref="S4.p1.3.m3.3.3.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.3.3.3" xref="S4.p1.3.m3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.p1.3.m3.3.3.2" xref="S4.p1.3.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml"><mn id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p1.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.3b"><apply id="S4.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3"><eq id="S4.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.2"></eq><ci id="S4.p1.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.3">𝑙</ci><list id="S4.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1"><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.1.1">1</cn><ci id="S4.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.2.2">…</ci><apply id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.3c">l=1,\ldots,K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.3d">italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, follow straightforward. Secondly, the number of factors <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, equal to the rank of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.p1.5.m5.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S4.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.p1.5.m5.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S4.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p1.5.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.5.m5.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.5.m5.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, has been treated as known until here. We introduce a functional equivalent of the eigenvalue difference test suggested by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.p1.6.1">\textcite</span>Wu.2018. Lastly, we show that the estimators of the functional regression coefficients <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.6.m6.2"><semantics id="S4.p1.6.m6.2a"><mrow id="S4.p1.6.m6.2.3" xref="S4.p1.6.m6.2.3.cmml"><msub id="S4.p1.6.m6.2.3.2" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p1.6.m6.2.3.2.2" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S4.p1.6.m6.2.3.2.3" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p1.6.m6.2.3.1" xref="S4.p1.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.6.m6.2.3.3.2" xref="S4.p1.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.p1.6.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.p1.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S4.p1.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.6.m6.2.2" xref="S4.p1.6.m6.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.p1.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.6.m6.2b"><apply id="S4.p1.6.m6.2.3.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3"><times id="S4.p1.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.1"></times><apply id="S4.p1.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.p1.6.m6.2.3.2.3.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p1.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.3.3.2"><ci id="S4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.p1.6.m6.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.6.m6.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.6.m6.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> are asymptotically normal with uniform convergence rates. All proofs are supplied in the Appendices <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS2" title="A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.2</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS4" title="A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.4</span></a>.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Primitives</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.11">Let the sample estimators for the first moment functions be</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\overline{Y}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Y_{t}(r),\quad\widehat{\mu}_{j}(s)=% \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}X_{jt}(s),\quad r,s\in[a,b]." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E18.m1.8"><semantics id="S4.E18.m1.8a"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.2.2" xref="S4.E18.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.3.3" xref="S4.E18.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.4.4" xref="S4.E18.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="1.167em" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E18.m1.7.7" xref="S4.E18.m1.7.7.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E18.m1.5.5" xref="S4.E18.m1.5.5.cmml">a</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E18.m1.6.6" xref="S4.E18.m1.6.6.cmml">b</mi><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.8.8.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E18.m1.8b"><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1"><eq id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3"><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1"><eq id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E18.m1.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.3.3">𝑠</ci></apply><list id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3"><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.4.4.cmml" xref="S4.E18.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.7.7.cmml" xref="S4.E18.m1.7.7">𝑟</ci></list></apply><apply id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2"><in id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1"></in><ci id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2"><ci id="S4.E18.m1.5.5.cmml" xref="S4.E18.m1.5.5">𝑎</ci><ci id="S4.E18.m1.6.6.cmml" xref="S4.E18.m1.6.6">𝑏</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E18.m1.8c">\overline{Y}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Y_{t}(r),\quad\widehat{\mu}_{j}(s)=% \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}X_{jt}(s),\quad r,s\in[a,b].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E18.m1.8d">over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.12">Then, the sample cross-covariance function is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{c}_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}(r)-\widehat{\mu}_{j}(r))% (Y_{t}(s)-\overline{Y}(s)),\quad r,s\in[a,b]," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E19.m1.10"><semantics id="S4.E19.m1.10a"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E19.m1.2.2" xref="S4.E19.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mn id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.3.3" xref="S4.E19.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.4.4" xref="S4.E19.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.5.5" xref="S4.E19.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.6.6" xref="S4.E19.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" rspace="1.167em" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E19.m1.9.9" xref="S4.E19.m1.9.9.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.3" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.1" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E19.m1.7.7" xref="S4.E19.m1.7.7.cmml">a</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E19.m1.8.8" xref="S4.E19.m1.8.8.cmml">b</mi><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.10.10.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E19.m1.10b"><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.3a.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1"><eq id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E19.m1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.E19.m1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><list id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><cn id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"></sum><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><eq id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E19.m1.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E19.m1.4.4.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><minus id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E19.m1.5.5.cmml" xref="S4.E19.m1.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑌</ci></apply><ci id="S4.E19.m1.6.6.cmml" xref="S4.E19.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.E19.m1.9.9.cmml" xref="S4.E19.m1.9.9">𝑟</ci></list></apply><apply id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2"><in id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.1"></in><ci id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.10.10.1.1.2.2.3.2"><ci id="S4.E19.m1.7.7.cmml" xref="S4.E19.m1.7.7">𝑎</ci><ci id="S4.E19.m1.8.8.cmml" xref="S4.E19.m1.8.8">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E19.m1.10c">\widehat{c}_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}(r)-\widehat{\mu}_{j}(r))% (Y_{t}(s)-\overline{Y}(s)),\quad r,s\in[a,b],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E19.m1.10d">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ( italic_s ) ) , italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">and the respective product of cross-covariance kernels, integrated over the de-meaned response variable <math alttext="Y_{t}(q)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2"><times id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">Y_{t}(q)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q )</annotation></semantics></math>, follows as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{d}_{j}(r,s)=\int_{a}^{b}\widehat{c}_{j}(r,q)\widehat{c}_{j}(s,q)\,dq,% \quad r,s\in[a,b]." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E20.m1.10"><semantics id="S4.E20.m1.10a"><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1"><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E20.m1.2.2" xref="S4.E20.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.3.3" xref="S4.E20.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E20.m1.4.4" xref="S4.E20.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.5.5" xref="S4.E20.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E20.m1.6.6" xref="S4.E20.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1c" lspace="0.170em" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mo id="S4.E20.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.6.1" 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id="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.1"></in><ci id="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E20.m1.10.10.1.1.2.2.3.2"><ci id="S4.E20.m1.7.7.cmml" xref="S4.E20.m1.7.7">𝑎</ci><ci id="S4.E20.m1.8.8.cmml" xref="S4.E20.m1.8.8">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E20.m1.10c">\widehat{d}_{j}(r,s)=\int_{a}^{b}\widehat{c}_{j}(r,q)\widehat{c}_{j}(s,q)\,dq,% \quad r,s\in[a,b].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E20.m1.10d">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) italic_d italic_q , italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.10">The integral operator <math alttext="\widehat{D}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m1.1c">\widehat{D}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m1.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with kernel function <math alttext="d_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m2.2"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m2.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m2.2b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3"><times id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m2.2c">d_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m2.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> has <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math> empirical eigenpairs <math alttext="(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m4.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3"><times id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m4.2c">(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m4.2d">( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with associated empirical factors <math alttext="\widehat{F}_{jt}=(\widehat{f}_{1jt},\ldots,\widehat{f}_{K_{j}jt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m5.3"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m5.3a"><mrow id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3" xref="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4" xref="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2" xref="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2.2" xref="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2.1" xref="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS1.p1.6.m5.3.3.4.3" 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xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2"><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3"><times id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m6.2c">\widehat{f}_{ljt}=\langle X_{jt}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m6.2d">over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. In Theorem 1, we prove convergence of the sample primitives to their population counterparts. The convergence proof for <math alttext="\widehat{D}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.8.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p1.8.m7.1a"><msub id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.8.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.8.m7.1c">\widehat{D}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.8.m7.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> builds upon consistent estimation of the mean function estimators and the cross-covariance operator <math alttext="\widehat{C}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.9.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p1.9.m8.1a"><msub id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.9.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.9.m8.1c">\widehat{C}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.9.m8.1d">over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with kernel function <math alttext="\widehat{c}_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.10.m9.2"><semantics id="S4.SS1.p1.10.m9.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.10.m9.1.1" xref="S4.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.10.m9.2.2" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.10.m9.2b"><apply id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3"><times id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2"><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.3.3.2"><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.10.m9.2c">\widehat{c}_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.10.m9.2d">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.p1.2.3">(Primitives).</span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.2.2"> By Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> and as <math alttext="T\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">T\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4"><eq id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.4.3.2"><cn id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><ci id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(a)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix1.p1.2"><math alttext="\|\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j}\|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2"><eq id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2"><times id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.2">𝒪</ci><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2c">\|\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j}\|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix1.p1.2.1"> and </span><math alttext="\|\overline{Y}-E[Y_{t}]\|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2});" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1"><eq id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci></apply><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1c">\|\overline{Y}-E[Y_{t}]\|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2});</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix1.p1.2.m2.1d">∥ over¯ start_ARG italic_Y end_ARG - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ∥ = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix1.p1.2.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(b)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix2.p1.2"><math alttext="\|\widehat{C}_{j}-C_{j}\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" 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alttext="\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2});" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1"><eq id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" 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id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝒪</ci><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix2.p1.2.2"></span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(c)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix3.p1.4"><math alttext="|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo 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class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" 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id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2c">\|s_{lj}\widehat{\psi}_{lj}-\psi_{lj}\|=\mathcal{O}_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix4.p1.1.m1.2d">∥ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix4.p1.3.1">, for </span><math alttext="1\leq l\leq K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.4" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.4.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.5" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><msub id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.2" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.2.cmml">K</mi><mi id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.3" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1"><and id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1"></and><apply id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1b.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1"><leq id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.3"></leq><cn id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.4">𝑙</ci></apply><apply id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1c.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1"><leq id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.4.cmml" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1d.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1"></share><apply id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.2">𝐾</ci><ci id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1c">1\leq l\leq K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix4.p1.2.m2.1d">1 ≤ italic_l ≤ italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix4.p1.3.2">, where </span><math alttext="s_{lj}\coloneqq\mathit{sign}(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">≔</mo><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">𝑠𝑖𝑔𝑛</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1"><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.2">≔</ci><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><times id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑠𝑖𝑔𝑛</ci><list id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1c">s_{lj}\coloneqq\mathit{sign}(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix4.p1.3.m3.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≔ italic_sign ( ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) .</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix4.p1.3.3"></span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Number of factors</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.13">Next, we determine the number of common factors <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Popular methods in the multivariate statistics literature consider information criteria as in <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS2.p1.13.1">\textcite</span>Bai.2002 or maximize the ratio of subsequent eigenvalues as in <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS2.p1.13.2">\textcite</span>Ahn.2013. Especially the latter approach is attractive for practitioners because it is computationally inexpensive and the respective scree plot allows for simple visual interpretations. However, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS2.p1.13.3">\textcite</span>Xia.2015 formalized that such an estimator might suffer computational instability from <math alttext="0/0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><divide id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></divide><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2">0</cn><cn id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">0/0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">0 / 0</annotation></semantics></math> type ratios. Referring back to our functional factor structure with the specific integral operator kernel <math alttext="d_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">d</mi><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.2.2" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m3.2b"><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3"><times id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m3.2c">d_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m3.2d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, this problem amplifies. In detail, recall that <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m4.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m4.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has rank <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m5.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m5.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, meaning all eigenvalues of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m6.1a"><msub id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m6.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m6.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> beyond the <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m7.1a"><msub id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m7.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m7.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m7.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-th one are exactly zero. As the estimated eigenvalues <math alttext="\widehat{\lambda}_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m8.1a"><msub id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m8.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m8.1c">\widehat{\lambda}_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m8.1d">over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> converge to their population counterparts by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, the <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS2.p1.13.4">\textcite</span>Ahn.2013 type ratio estimator <math alttext="\widehat{K}_{j}^{ER}=\widehat{\lambda}_{lj}/\widehat{\lambda}_{(l+1)j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.3.cmml">R</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m9.1b"><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2"><eq id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3"><times id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.2.3.3">𝑅</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3"><divide id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.1"></divide><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3"><times id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2"><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.2.3.3.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1"><times id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1"><plus id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m9.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m9.1c">\widehat{K}_{j}^{ER}=\widehat{\lambda}_{lj}/\widehat{\lambda}_{(l+1)j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m9.1d">over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_R end_POSTSUPERSCRIPT = over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT / over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ( italic_l + 1 ) italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is not consistent because the <math alttext="(K_{j}+1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m10.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m10.1b"><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1"><plus id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.10.m10.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m10.1c">(K_{j}+1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m10.1d">( italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + 1 )</annotation></semantics></math>-th eigenvalue is asymptotically zero and not uniformly bounded away from zero. <br class="ltx_break"/>To avoid this problem, we propose a functional equivalent of the eigenvalue difference estimator introduced by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS2.p1.13.5">\textcite</span>Wu.2018. Given the kernel function estimator <math alttext="\widehat{d}_{j}\left(r,s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.11.m11.2"><semantics id="S4.SS2.p1.11.m11.2a"><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.2.1" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p1.11.m11.2.2" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.11.m11.2b"><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3"><times id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.1"></times><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.3.3.2"><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m11.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m11.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.11.m11.2c">\widehat{d}_{j}\left(r,s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.11.m11.2d">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, the proposed method converges to the true number of factors <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.SS2.p1.12.m12.1a"><msub id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.12.m12.1b"><apply id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.12.m12.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.12.m12.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.12.m12.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> under no additional assumptions. <br class="ltx_break"/>As in the original paper, the idea is to find a monotonous function which converges to one for the first <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.13.m13.1"><semantics id="S4.SS2.p1.13.m13.1a"><msub id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.13.m13.1b"><apply id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.13.m13.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.13.m13.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.13.m13.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> eigenvalues and to zero for all others. Formalized, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G(\widehat{\lambda}_{lj})\rightarrow\begin{cases}1,&\text{for $l=1,\ldots,K_{j% }$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}+1,K_{j}+2,\ldots$}.\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex24.m1.5"><semantics id="S4.Ex24.m1.5a"><mrow id="S4.Ex24.m1.5.5" xref="S4.Ex24.m1.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.5.5.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.5.5.1.3" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.5.5.2" stretchy="false" xref="S4.Ex24.m1.5.5.2.cmml">→</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.4.4" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex24.m1.4.4.5" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.Ex24.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mtr id="S4.Ex24.m1.4.4.4a" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex24.m1.4.4.4b" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.1" xref="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.3.1" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex24.m1.4.4.4c" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml">for </mtext><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex24.m1.4.4.4d" xref="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex24.m1.4.4.4e" 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xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1b.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex24.m1.5b"><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5"><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.2">→</ci><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1"><times id="S4.Ex24.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.3">𝐺</ci><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2"><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex24.m1.5.5.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.4.4.5">cases</csymbol><cn id="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.3.3.3.3.2.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1"><mtext id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1">for </mtext><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.3">l</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.2">=</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3"><mn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" mathvariant="normal" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2">…</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><msub id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">j</mi></msub></mrow></mrow></mrow></ci><cn id="S4.Ex24.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.4.4.4.4.2.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3"><mtext id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1a">for </mtext><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.4">l</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3">=</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1">+</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4">,</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">K</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1">+</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">2</mn></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.4">,</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" mathvariant="normal" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1">…</mi></mrow></mrow></mrow></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex24.m1.5c">G(\widehat{\lambda}_{lj})\rightarrow\begin{cases}1,&\text{for $l=1,\ldots,K_{j% }$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}+1,K_{j}+2,\ldots$}.\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex24.m1.5d">italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) → { start_ROW start_CELL 1 , end_CELL start_CELL for italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 , end_CELL start_CELL for italic_l = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + 1 , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT + 2 , … . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.14">In order to incorporate the possibility for zero factors, i.e. all eigenvalues of <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.14.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.14.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.14.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.14.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.14.m1.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.14.m1.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are zero, we define the helper function</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g_{lj}\coloneqq\begin{cases}1,&\text{for $l=0$}\\ G(\widehat{\lambda}_{lj}),&\text{for $l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}^{\text{max}}+1$},\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex25.m1.6"><semantics id="S4.Ex25.m1.6a"><mrow id="S4.Ex25.m1.6.7" xref="S4.Ex25.m1.6.7.cmml"><msub id="S4.Ex25.m1.6.7.2" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.6.7.2.2" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex25.m1.6.7.1" xref="S4.Ex25.m1.6.7.1.cmml">≔</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.6.6" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.6.6.7" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.Ex25.m1.6.6.6" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mtr id="S4.Ex25.m1.6.6.6a" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6b" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6c" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex25.m1.6.6.6d" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6e" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6f" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml"><mtext id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1a" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">max</mtext></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex25.m1.6.6.6g" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6h" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.3" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.1" xref="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex25.m1.6.6.6i" xref="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a.cmml">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">max</mtext></msubsup><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex25.m1.6b"><apply id="S4.Ex25.m1.6.7.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7"><ci id="S4.Ex25.m1.6.7.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.1">≔</ci><apply id="S4.Ex25.m1.6.7.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.7.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex25.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.6.6.7">cases</csymbol><cn id="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.4.4.4.4.2.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1"><mtext id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">0</mn></mrow></mrow></ci><apply id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1"><times id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1"><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1"><mtext id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3"><mn id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" mathvariant="normal" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2">…</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">K</mi><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">j</mi><mtext id="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">max</mtext></msubsup></mrow></mrow></mrow></ci><cn id="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.6.6.6.6.2.1.1">0</cn><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.3"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.3"><mtext id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a">for </mtext><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2">l</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3"><msubsup id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2">K</mi><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3">j</mi><mtext id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">max</mtext></msubsup><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">+</mo><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">1</mn></mrow></mrow></mrow></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex25.m1.6c">g_{lj}\coloneqq\begin{cases}1,&\text{for $l=0$}\\ G(\widehat{\lambda}_{lj}),&\text{for $l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}^{\text{max}}+1$},\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex25.m1.6d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≔ { start_ROW start_CELL 1 , end_CELL start_CELL for italic_l = 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , end_CELL start_CELL for italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 , end_CELL start_CELL for italic_l = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT + 1 , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.15">where <math alttext="K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.15.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.15.m1.1a"><msubsup id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3a.cmml">max</mtext></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.15.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3"><mtext id="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p1.15.m1.1.1.3">max</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.15.m1.1c">K_{j}^{\text{max}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.15.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a user-specified positive constant. The eigenvalue difference estimator then follows as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{K}_{j}^{ED}=\operatorname*{arg\,max}_{0\leq l\leq K_{j}^{\text{max}}}% \left\{g_{lj}-g_{(l+1)j}\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E21.m1.2"><semantics id="S4.E21.m1.2a"><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><munder id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">arg</mi><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">max</mi></mrow><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">0</mn><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml">≤</mo><msubsup id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3a.cmml">max</mtext></msubsup></mrow></munder><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2a" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><msub id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.2" xref="S4.E21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E21.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E21.m1.2b"><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1"><eq id="S4.E21.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2"><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3"><times id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.4.3.3">𝐷</ci></apply></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2"><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">arg</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">max</ci></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><and id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></and><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3b.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><leq id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"></leq><cn id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">0</cn><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.4">𝑙</ci></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3c.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><leq id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.4.cmml" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3d.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></share><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6">superscript</csymbol><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3a.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3"><mtext id="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.6.3">max</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><minus id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"></minus><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3"><times id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E21.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.E21.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1"><times id="S4.E21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E21.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E21.m1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E21.m1.2c">\widehat{K}_{j}^{ED}=\operatorname*{arg\,max}_{0\leq l\leq K_{j}^{\text{max}}}% \left\{g_{lj}-g_{(l+1)j}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E21.m1.2d">over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT = start_OPERATOR roman_arg roman_max end_OPERATOR start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ italic_l ≤ italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT { italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_g start_POSTSUBSCRIPT ( italic_l + 1 ) italic_j end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.26">In the functional factor regression setting, the mock eigenvalue <math alttext="g_{0j}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.16.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.16.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.2.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.16.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.2">0</cn><ci id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.16.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.16.m1.1c">g_{0j}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.16.m1.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT 0 italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math> is important because it serves as a simple model specification tool. If the estimator chooses <math alttext="\widehat{K}_{j}^{ED}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.17.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.17.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.17.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2"><ci id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3"><times id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><cn id="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.17.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.17.m2.1c">\widehat{K}_{j}^{ED}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.17.m2.1d">over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> factors, the respective functional regressor <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.18.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.18.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.18.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.18.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.18.m3.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.18.m3.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is implied to have no predictive power for the dependent variable and should be dropped from the regression. This feature is derived from the fact that we make use of the singular values of the cross-covariance operator between <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.19.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.19.m4.1a"><msub id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.19.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.19.m4.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.19.m4.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.19.m4.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.20.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p1.20.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.20.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.20.m5.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.20.m5.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.20.m5.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In addition to the first mock eigenvalue for <math alttext="l=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.21.m6.1"><semantics id="S4.SS2.p1.21.m6.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.21.m6.1b"><apply id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.21.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.21.m6.1c">l=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.21.m6.1d">italic_l = 0</annotation></semantics></math>, we also add <math alttext="g_{lj}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.22.m7.1"><semantics id="S4.SS2.p1.22.m7.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.22.m7.1b"><apply id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3"><times id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.22.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.22.m7.1c">g_{lj}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.22.m7.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for <math alttext="l=K_{j}^{\text{max}}+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.23.m8.1"><semantics id="S4.SS2.p1.23.m8.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3a.cmml">max</mtext></msubsup><mo id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.23.m8.1b"><apply id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3"><plus id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3"><mtext id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.2.3">max</mtext></ci></apply><cn id="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.23.m8.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.23.m8.1c">l=K_{j}^{\text{max}}+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.23.m8.1d">italic_l = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT + 1</annotation></semantics></math>. If the eigenvalue difference estimator chooses <math alttext="K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.24.m9.1"><semantics id="S4.SS2.p1.24.m9.1a"><msubsup id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3a.cmml">max</mtext></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.24.m9.1b"><apply id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3"><mtext id="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p1.24.m9.1.1.3">max</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.24.m9.1c">K_{j}^{\text{max}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.24.m9.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> factors, the practitioner is advised to redo their analysis with a larger number of possible eigenvalues as it is indicated that <math alttext="K_{j}\geq K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.25.m10.1"><semantics id="S4.SS2.p1.25.m10.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.1.cmml">≥</mo><msubsup id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.3" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.25.m10.1b"><apply id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1"><geq id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.1"></geq><apply id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3"><mtext id="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS2.p1.25.m10.1.1.3.3">max</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.25.m10.1c">K_{j}\geq K_{j}^{\text{max}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.25.m10.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/>Lastly, we discuss the specific transformation function <math alttext="G(\widehat{\lambda}_{lj})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.26.m11.1"><semantics id="S4.SS2.p1.26.m11.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.26.m11.1b"><apply id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1"><times id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.2"></times><ci id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.3">𝐺</ci><apply id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.26.m11.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.26.m11.1c">G(\widehat{\lambda}_{lj})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.26.m11.1d">italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> needed for the estimator. It takes the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G(\widehat{\lambda}_{lj})=\frac{2}{\pi}\arctan\left(\frac{\gamma\ln(T)\widehat% {\lambda}_{lj}}{\sqrt{T^{-1}\sum_{t=1}^{T}\|X_{jt}-\overline{X}_{j}\|^{2}}% \sqrt{T^{-1}\sum_{t=1}^{T}\|Y_{t}-\overline{Y}\|^{2}}}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E22.m1.6"><semantics id="S4.E22.m1.6a"><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mi id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mfrac><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.5.5" xref="S4.E22.m1.5.5.cmml">arctan</mi><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.2a" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.1" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.E22.m1.4.4" xref="S4.E22.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.2.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.2.4" xref="S4.E22.m1.2.2.2.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.3" lspace="0.167em" xref="S4.E22.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.5.2a" xref="S4.E22.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E22.m1.2.2.2.5.2.1" xref="S4.E22.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.5.2.1.1" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.2.2.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.3a" xref="S4.E22.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E22.m1.2.2.2.6" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.cmml"><mover accent="true" id="S4.E22.m1.2.2.2.6.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.2.6.2.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.6.2.1" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E22.m1.2.2.2.6.3" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.2" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.1" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.3" xref="S4.E22.m1.2.2.2.6.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4" xref="S4.E22.m1.4.4.4.cmml"><msqrt id="S4.E22.m1.3.3.3.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.cmml"><msup id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3a" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><msup id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E22.m1.4.4.4.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.cmml"><msup id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3a" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><msup id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.2.1.2" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E22.m1.6b"><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1"><eq id="S4.E22.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1"><times id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑋</ci></apply><ci id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.3.3.3.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2"><root id="S4.E22.m1.4.4.4.2a.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2"></root><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1"><times id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.2"></times><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3"><minus id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3"></minus><cn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1"><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3"><eq id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.4.4.4.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E22.m1.6c">G(\widehat{\lambda}_{lj})=\frac{2}{\pi}\arctan\left(\frac{\gamma\ln(T)\widehat% {\lambda}_{lj}}{\sqrt{T^{-1}\sum_{t=1}^{T}\|X_{jt}-\overline{X}_{j}\|^{2}}% \sqrt{T^{-1}\sum_{t=1}^{T}\|Y_{t}-\overline{Y}\|^{2}}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E22.m1.6d">italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π end_ARG roman_arctan ( divide start_ARG italic_γ roman_ln ( italic_T ) over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG square-root start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.30">The tuning parameter <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.27.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.27.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.27.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.27.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.27.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.27.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.27.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.27.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.27.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is a freely chosen positive constant. We recommend to set its value according to some standard time series cross-validation procedure that minimizes the mean squared error in a test set. Moreover, the transformation is indifferent to the specific scale of the empirical eigenvalues as we divide all estimates by the integrated sample standard deviation of <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.28.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.28.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.28.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.28.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.28.m2.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.28.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.29.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.29.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.29.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.29.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.29.m3.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.29.m3.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is clear that the inverse tangent function converges to <math alttext="\pi/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.30.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.30.m4.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.30.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1"><divide id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.1"></divide><ci id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.2">𝜋</ci><cn id="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.30.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.30.m4.1c">\pi/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.30.m4.1d">italic_π / 2</annotation></semantics></math> if its domain approaches infinity and it becomes zero for the input zero. Following this intuition, Theorem 2 proves consistency of the eigenvalue difference estimator for the specific function described in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E22" title="In 4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.p1.3.4">(Number of factors).</span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.3.3"> By Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, <math alttext="K_{j}^{\text{max}}>K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3a.cmml">max</mtext></msubsup><mo id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><msub id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1"><gt id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.2.3">max</mtext></ci></apply><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">K_{j}^{\text{max}}>K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT > italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\gamma>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">\gamma>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_γ > 0</annotation></semantics></math>, and for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4"><eq id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.1"></eq><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.4.3.2"><cn id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.1.1">1</cn><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.2.2">…</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.3.3.m3.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\text{Pr}\left(\widehat{K}_{j}^{ED}=K_{j}\right)=1." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex26.m1.1"><semantics id="S4.Ex26.m1.1a"><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Pr</mtext><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex26.m1.1b"><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.2"></limit><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.3">Pr</mtext></ci><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex26.m1.1c">\lim_{T\rightarrow\infty}\text{Pr}\left(\widehat{K}_{j}^{ED}=K_{j}\right)=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex26.m1.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT Pr ( over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3 </span>Least squares estimator</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.13">Estimation of the functional factor regression model builds upon the least squares equation identified in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E17" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>). Since the factors are latent unknown in practice, we define the vector of generated regressors</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{z}_{t}\coloneqq(w_{t}^{\prime},\widehat{F}_{1t}^{\prime},\ldots,% \widehat{F}_{Jt}^{\prime})^{\prime}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex27.m1.4"><semantics id="S4.Ex27.m1.4a"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4" xref="S4.Ex27.m1.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex27.m1.4.4.5" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.5.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.4" xref="S4.Ex27.m1.4.4.4.cmml">≔</mo><msup id="S4.Ex27.m1.4.4.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.5" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.6" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex27.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Ex27.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.7" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.3.5" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex27.m1.4b"><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4"><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.4">≔</ci><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.4.4.5.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2"><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.5.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.5.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3">superscript</csymbol><vector id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3"><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.3.3.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2"><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2">𝐽</ci><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.3.3.3.3">′</ci></apply></vector><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.3.5">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex27.m1.4c">\widehat{z}_{t}\coloneqq(w_{t}^{\prime},\widehat{F}_{1t}^{\prime},\ldots,% \widehat{F}_{Jt}^{\prime})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex27.m1.4d">over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ≔ ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , … , over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.3">with empirical factors <math alttext="\widehat{F}_{jt}=(\widehat{f}_{1jt},\ldots,\widehat{f}_{K_{j}jt})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.SS3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.5" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1a" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.4" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3"><eq id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2"><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3"><times id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\widehat{f}_{ljt}=\langle X_{jt}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.SS3.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1a" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.4" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2"><eq id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.3"></eq><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2"><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3"><times id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.2.m2.2c">\widehat{f}_{ljt}=\langle X_{jt}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>. The respective sample estimator for <math alttext="B(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2"><times id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.3.m3.1c">B(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.3.m3.1d">italic_B ( italic_r )</annotation></semantics></math> follows as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{B}(r)=\left(\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}^{\prime}% \right)^{-1}\left(\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}Y_{t}(r)\right),\quad r\in[a,b]," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E23.m1.5"><semantics id="S4.E23.m1.5a"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><munderover id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1a" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.2.2" xref="S4.E23.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="S4.E23.m1.3.3" xref="S4.E23.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4" xref="S4.E23.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.5.5.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E23.m1.5b"><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4"><times id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2"><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2"><times id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1"><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><eq id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2"><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑌</ci><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E23.m1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2"><in id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.1"></in><ci id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><ci id="S4.E23.m1.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4">𝑏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E23.m1.5c">\widehat{B}(r)=\left(\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}^{\prime}% \right)^{-1}\left(\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}Y_{t}(r)\right),\quad r\in[a,b],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E23.m1.5d">over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) , italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.6">where <math alttext="\widehat{B}(r)=((\widehat{\alpha}^{*}(r))^{\prime},(\widehat{B}_{1}(r))^{% \prime},\ldots,(\widehat{B}_{J}(r))^{\prime})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.4.m1.8"><semantics id="S4.SS3.p1.4.m1.8a"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.3.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.4" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.4.cmml">=</mo><msup id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.5" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.1.1.1.2.2" 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id="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.6" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.p1.4.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.7" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m1.4.4" xref="S4.SS3.p1.4.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.3" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.3.8" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.5" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.4.m1.8b"><apply id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8"><eq id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.4"></eq><apply id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5"><times id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2"><ci id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.5.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.4.m1.8.8.3.4.cmml" 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id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.4.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.4.4">…</ci><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2"><times id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.3.3">𝑟</ci></apply></vector><ci id="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m2.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.5.m2.6c">\widehat{B}_{j}(r)=(\widehat{\beta}_{1j}(r),\ldots,\widehat{\beta}_{K_{j}j}(r)% )^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.5.m2.6d">over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The estimator for the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.6.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.6.m3.1a"><mi id="S4.SS3.p1.6.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.6.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.6.m3.1b"><ci id="S4.SS3.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.6.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.6.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.6.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th functional regression coefficient function as identified in Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\beta}_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\widehat{\beta}_{lj}(r)\widehat{% \psi}_{lj}(s)=(\widehat{B}_{j}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E24.m1.7"><semantics id="S4.E24.m1.7a"><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E24.m1.2.2" xref="S4.E24.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.4" rspace="0.111em" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.cmml"><munderover id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1a" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1b" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.5.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4" xref="S4.E24.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.6" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.5.5" xref="S4.E24.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.4.2" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.6.6" xref="S4.E24.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E24.m1.7b"><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1"><and id="S4.E24.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1"></and><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1"><eq id="S4.E24.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.4"></eq><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E24.m1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.E24.m1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5"><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.2"></sum><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3"><eq id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.1"></times><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2"><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.E24.m1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2"><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.1">^</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.1"></times><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.5.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.E24.m1.4.4.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1"><eq id="S4.E24.m1.7.7.1.1.6.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E24.m1.7.7.1.1.5.cmml" id="S4.E24.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1"></share><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.5.5.cmml" xref="S4.E24.m1.5.5">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.7.7.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E24.m1.6.6.cmml" xref="S4.E24.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E24.m1.7c">\widehat{\beta}_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\widehat{\beta}_{lj}(r)\widehat{% \psi}_{lj}(s)=(\widehat{B}_{j}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E24.m1.7d">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ( over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.12">For the scalar variables <math alttext="i=2,\ldots,N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.7.m1.3"><semantics id="S4.SS3.p1.7.m1.3a"><mrow id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.2" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.1" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.2" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.SS3.p1.7.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.7.m1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.2.1" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.7.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.p1.7.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.7.m1.3.3" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.3.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.7.m1.3b"><apply id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4"><eq id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.1"></eq><ci id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.2">𝑖</ci><list id="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.4.3.2"><cn id="S4.SS3.p1.7.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.7.m1.1.1">2</cn><ci id="S4.SS3.p1.7.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.2.2">…</ci><ci id="S4.SS3.p1.7.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.7.m1.3.3">𝑁</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.7.m1.3c">i=2,\ldots,N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.7.m1.3d">italic_i = 2 , … , italic_N</annotation></semantics></math>, the coefficient function estimator <math alttext="\widehat{\alpha}_{i}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.8.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.8.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.8.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.8.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2"><times id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2"><ci id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.8.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.8.m2.1c">\widehat{\alpha}_{i}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.8.m2.1d">over^ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> for <math alttext="\alpha_{i}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.9.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.9.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.9.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.9.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2"><times id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.9.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.9.m3.1c">\alpha_{i}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.9.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.10.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p1.10.m4.1a"><mi id="S4.SS3.p1.10.m4.1.1" xref="S4.SS3.p1.10.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.10.m4.1b"><ci id="S4.SS3.p1.10.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.10.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.10.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.10.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math>-th entry of <math alttext="\widehat{B}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.11.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p1.11.m5.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.11.m5.1.1" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.11.m5.1b"><apply id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2"><times id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.1"></times><apply id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2"><ci id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.11.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.11.m5.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.11.m5.1c">\widehat{B}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.11.m5.1d">over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math>, and the intercept estimator is reconstructed as <math alttext="\widehat{\alpha}_{1}(r)=\widehat{\alpha}^{*}_{1}(r)-\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}% \widehat{\beta}_{j}(r,s)\widehat{\mu}_{j}(r)\,\mathrm{d}s" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.12.m6.5"><semantics id="S4.SS3.p1.12.m6.5a"><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.1.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.cmml"><msubsup id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.2.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.1" rspace="0.055em" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.2" rspace="0em" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.1.3.cmml">J</mi></msubsup><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.cmml"><msubsup id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.cmml"><msub id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.3.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.4.4" xref="S4.SS3.p1.12.m6.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1a" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.1" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.3" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1b" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.5.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.5" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.5.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.cmml"><mo id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.2" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.12.m6.5b"><apply id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6"><eq 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id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2"><ci id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS3.p1.12.m6.5.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.5">𝑟</ci><apply id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.12.m6.5.6.3.3.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.12.m6.5c">\widehat{\alpha}_{1}(r)=\widehat{\alpha}^{*}_{1}(r)-\sum_{j=1}^{J}\int_{a}^{b}% \widehat{\beta}_{j}(r,s)\widehat{\mu}_{j}(r)\,\mathrm{d}s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.12.m6.5d">over^ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = over^ start_ARG italic_α end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) roman_d italic_s</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.1">A challenge in deriving the asymptotic properties of these estimators lies in the fact that the generated regressor vector <math alttext="\widehat{z}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p2.1.m1.1a"><msub id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2"><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p2.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p2.1.m1.1c">\widehat{z}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> contains empirical factors instead of the true ones. The following theorem establishes pointwise asymptotic normality and provides asymptotic covariance functions that account for the underlying generated regressors problem.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.p1.3.4">(Least squares).</span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.3.3"> By Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> and as <math alttext="T\rightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1c">T\rightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4"><eq id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.1"></eq><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.4.3.2"><cn id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.2.2">…</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math> and <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4"><semantics id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.cmml"><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.4" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4b"><apply id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5"><in id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.1"></in><list id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.3.3">𝑟</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4.5.3.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx11"> <tbody id="S4.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{% \widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}\overset{d}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,1)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex28.m1.10"><semantics id="S4.Ex28.m1.10a"><mrow id="S4.Ex28.m1.10.10.1" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex28.m1.7.7" xref="S4.Ex28.m1.7.7.cmml"><mfrac id="S4.Ex28.m1.7.7a" xref="S4.Ex28.m1.7.7.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.cmml"><msqrt id="S4.Ex28.m1.5.5.5.7" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.6" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex28.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.3.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.4.4" xref="S4.Ex28.m1.4.4.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msqrt id="S4.Ex28.m1.7.7.7" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2.1" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.3" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.2" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex28.m1.6.6.6.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.6.6.6.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.2.cmml">⟶</mo><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.1" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.1.cmml">𝑑</mo></mover><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1a" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1b" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.2" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.1.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex28.m1.8.8" xref="S4.Ex28.m1.8.8.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex28.m1.9.9" xref="S4.Ex28.m1.9.9.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.10.10.1.2" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex28.m1.10b"><apply id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1"><times id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex28.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex28.m1.7.7"><divide id="S4.Ex28.m1.7.7.8.cmml" xref="S4.Ex28.m1.7.7"></divide><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5"><times id="S4.Ex28.m1.5.5.5.6.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.6"></times><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.7"><root id="S4.Ex28.m1.5.5.5.7a.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.7"></root><ci id="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.7.2">𝑇</ci></apply><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1"><minus id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2"><times id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci 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xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2"><ci id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.1">𝑑</ci><ci id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.2.2">⟶</ci></apply><ci id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.10.10.1.1.4.2"><cn id="S4.Ex28.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="S4.Ex28.m1.8.8">0</cn><cn id="S4.Ex28.m1.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.Ex28.m1.9.9">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex28.m1.10c">\displaystyle\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{% \widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}\overset{d}{\longrightarrow}\mathcal{N}(0,1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex28.m1.10d">divide start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) end_ARG end_ARG overitalic_d start_ARG ⟶ end_ARG caligraphic_N ( 0 , 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.4.1">where the convergence holds uniformly for <math alttext="\ r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4"><semantics id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.4" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4b"><apply id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5"><in id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.1"></in><list id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4.5.3.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4c">\ r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.4.1.m1.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> with respect to the sup norm. <br class="ltx_break"/>The covariance function estimator is given by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\Omega}_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}([\widehat{Q}^{-1}]_% {j}\widehat{z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{% \omega}_{jt}(r,s)\Big{)}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E25.m1.7"><semantics id="S4.E25.m1.7a"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E25.m1.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><msup id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.4.4" xref="S4.E25.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.5.5" xref="S4.E25.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E25.m1.6.6" xref="S4.E25.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.7.7.1.2" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E25.m1.7b"><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1"><eq id="S4.E25.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.2.2">Ω</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E25.m1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.E25.m1.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3"><divide id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1"><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E25.m1.4.4.cmml" xref="S4.E25.m1.4.4">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E25.m1.5.5.cmml" xref="S4.E25.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="S4.E25.m1.6.6.cmml" xref="S4.E25.m1.6.6">𝑠</ci></interval></apply></apply><cn id="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E25.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E25.m1.7c">\widehat{\Omega}_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}([\widehat{Q}^{-1}]_% {j}\widehat{z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{% \omega}_{jt}(r,s)\Big{)}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E25.m1.7d">over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( [ over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.11.7">where <math alttext="\widehat{Q}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1"><eq id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3"><times id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2"><divide id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2"></divide><cn id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3"><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2"><times id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1c">\widehat{Q}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.5.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_Q end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="[\widehat{Q}^{-1}]_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3a" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3"><minus id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1c">[\widehat{Q}^{-1}]_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.6.2.m2.1d">[ over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the submatrix of <math alttext="\widehat{Q}^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1a"><msup id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3a" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3"><minus id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3"></minus><cn id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1c">\widehat{Q}^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.7.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> composed of the <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1a"><msub id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.8.4.m4.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> rows indexed from <math alttext="N+\sum_{l=1}^{j-1}K_{l}+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.1" rspace="0.055em" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.cmml"><msubsup id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="Thmtheorem3.p1.9.5.m5.1.1.3.1.3" 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class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx12"> <tbody id="S4.Ex29"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{\omega}_{jt}(r,s)=(\widehat{\Psi}_{j}(s))^{\prime}[% \widehat{Q}^{-1}]_{j}\sum_{k=1}^{J}(\overline{z}\widehat{F}_{kt}^{\prime}-% \overline{zF_{k}^{\prime}}\widehat{G}_{kt})\widehat{B}_{k}(r)+(\widehat{\Psi}_% {j}(s))^{\prime}\widehat{G}_{jt}\widehat{B}_{j}(r)+\widehat{\varepsilon}_{jt}(% s)\widehat{h}_{jt}^{\prime}\widehat{B}_{j}(r)." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex29.m1.9"><semantics id="S4.Ex29.m1.9a"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.cmml"><mover accent="true" 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xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.4a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.cmml"><munderover id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.4.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex29.m1.4.4" xref="S4.Ex29.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.5" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.cmml"><msup id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex29.m1.5.5" xref="S4.Ex29.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2b" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.5.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex29.m1.6.6" xref="S4.Ex29.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.5.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.5a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml"><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2.2.cmml">ε</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex29.m1.7.7" xref="S4.Ex29.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1a" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.4.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1b" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2.1" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.3" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1c" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.6.2" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex29.m1.8.8" xref="S4.Ex29.m1.8.8.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.6.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex29.m1.9b"><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1"><eq id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.5"></eq><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.1"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.6.2.3.cmml" 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xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3"><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.2"></sum><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3"><eq id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.2"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1"><minus id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.3.3.3.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.2"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply 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xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3"><times id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2"><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.9.9.1.1.4.4.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.6.6.cmml" 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\widehat{Q}^{-1}]_{j}\sum_{k=1}^{J}(\overline{z}\widehat{F}_{kt}^{\prime}-% \overline{zF_{k}^{\prime}}\widehat{G}_{kt})\widehat{B}_{k}(r)+(\widehat{\Psi}_% {j}(s))^{\prime}\widehat{G}_{jt}\widehat{B}_{j}(r)+\widehat{\varepsilon}_{jt}(% s)\widehat{h}_{jt}^{\prime}\widehat{B}_{j}(r).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex29.m1.9d">over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT [ over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_z end_ARG over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - over¯ start_ARG italic_z italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG over^ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + ( over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) over^ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.20"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.20.9">Here, <math alttext="\overline{z}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.2" 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id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1c">\overline{z}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.12.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_z end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\overline{zF_{k}^{\prime}}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{F}% _{kt}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.cmml"><mrow id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.13.2.m2.1.1.2.2.3.2.2" 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alttext="\widehat{\gamma}_{lj}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{f}_{ljt}(Y_{t}(r)-% \overline{Y}(r))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4"><semantics id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.3.2.3.1" 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id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.cmml"><msubsup id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.14.3.m3.4.4.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow 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id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3"><times id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.1"></times><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2"><apply id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.1.1.1.1.1"><minus id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3"><times id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2c">\widehat{y}_{ljt}=\langle Y_{t}-\overline{Y},\widehat{\gamma}_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.15.4.m4.2d">over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l 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id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.16.5.m5.1.1.3.3.2.2.2.1" 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xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.3.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.1a" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.4.2" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.4" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.4.cmml">s</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4b"><apply id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5"><eq id="Thmtheorem3.p1.17.6.m6.4.5.1.cmml" 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id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1c">K_{j}\times K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.19.8.m8.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT × italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> matrix with <math alttext="(l,m)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2"><semantics id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.1.1.cmml">l</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.2.cmml">m</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2b"><interval closure="open" id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.3.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.1.1">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2.2">𝑚</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2c">(l,m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.20.9.m9.2d">( italic_l , italic_m )</annotation></semantics></math>-entry</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="[\widehat{G}_{jt}]_{lm}=(\widehat{\lambda}_{lj}-\widehat{\lambda}_{mj})^{-1}(% \widehat{f}_{mjt}\widehat{y}_{ljt}-\overline{f_{mj}y_{lj}}+\widehat{f}_{ljt}% \widehat{y}_{mjt}-\overline{f_{lj}y_{mj}})1_{\{l\neq m\}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex30.m1.2"><semantics id="S4.Ex30.m1.2a"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1" 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xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3a" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.4" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.4" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2" 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id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.4" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.3.cmml"><mover accent="true" 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id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3"><minus id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3"></minus><cn id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" 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xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2"><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3"><times id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.2.3.3.4.cmml" 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xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑦</ci><apply id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3"><times id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2">𝑙</ci><ci 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class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1a"><msub id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.22.2.m2.1d">italic_K 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xref="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1c">\widehat{h}_{ljt}=\widehat{\lambda}_{lj}^{-1}\widehat{y}_{ljt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.24.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.3">The additional term <math alttext="\widehat{\omega}_{jt}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.SS3.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.3" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3"><times id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3"><times id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.1.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.1.m1.2c">\widehat{\omega}_{jt}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> captures the uncertainty arising from the estimation of factors and loadings, and is essential for conducting valid statistical inference on <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.2.m2.2"><semantics id="S4.SS3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.1" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.2.m2.2.2" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.2.m2.2b"><apply id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3"><times id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.2.m2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.2.m2.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.2.m2.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>. For each fixed pair <math alttext="(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.3.m3.2"><semantics id="S4.SS3.p3.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.3.m3.2.2">𝑠</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.3.m3.2c">(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.3.m3.2d">( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, we define the heteroskedasticity-consistent and corrected standard errors as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="se_{j}(r,s)=\frac{\sqrt{\widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}{\sqrt{T}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex31.m1.5"><semantics id="S4.Ex31.m1.5a"><mrow id="S4.Ex31.m1.5.5.1" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1a" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex31.m1.3.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex31.m1.4.4" xref="S4.Ex31.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S4.Ex31.m1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.cmml"><msqrt id="S4.Ex31.m1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.1" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt><msqrt id="S4.Ex31.m1.2.2.4" xref="S4.Ex31.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.4.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex31.m1.5b"><apply id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2"><times id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.5.5.1.1.2.4.2"><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2"><divide id="S4.Ex31.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2"></divide><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2"><root id="S4.Ex31.m1.2.2.2a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2"></root><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2"><ci id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.2.2">Ω</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.5.2"><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex31.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.4"><root id="S4.Ex31.m1.2.2.4a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.4"></root><ci id="S4.Ex31.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.2.2.4.2">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex31.m1.5c">se_{j}(r,s)=\frac{\sqrt{\widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}{\sqrt{T}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex31.m1.5d">italic_s italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = divide start_ARG square-root start_ARG over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) end_ARG end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.7">Given any significance level <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.4.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p3.4.m1.1a"><mi id="S4.SS3.p3.4.m1.1.1" xref="S4.SS3.p3.4.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.4.m1.1b"><ci id="S4.SS3.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.4.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.4.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.4.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math> and the <math alttext="(1-\frac{\alpha}{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.5.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p3.5.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.5.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1"><minus id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.5.m2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.5.m2.1c">(1-\frac{\alpha}{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.5.m2.1d">( 1 - divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG )</annotation></semantics></math>-quantile <math alttext="z_{(1-\frac{\alpha}{2})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.6.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p3.6.m3.1a"><msub id="S4.SS3.p3.6.m3.1.2" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.2" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.6.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.2.2">𝑧</ci><apply id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1"><minus id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p3.6.m3.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.6.m3.1c">z_{(1-\frac{\alpha}{2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.6.m3.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the the standard normal distribution, these standard errors allow us to formulate a confidence region for <math alttext="\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.7.m4.2"><semantics id="S4.SS3.p3.7.m4.2a"><mrow id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.3" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.1" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.2" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS3.p3.7.m4.1.1" xref="S4.SS3.p3.7.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.7.m4.2.2" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.7.m4.2b"><apply id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3"><times id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.1"></times><apply id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.3.3.2"><ci id="S4.SS3.p3.7.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p3.7.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.7.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.7.m4.2c">\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.7.m4.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="I_{j}(r,s)=\bigg{[}\widehat{\beta}_{j}(r,s)-z_{(1-\frac{\alpha}{2})}se_{j}(r,s% );\widehat{\beta}_{j}(r,s)+z_{(1-\frac{\alpha}{2})}se_{j}(r,s)\bigg{]}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex32.m1.13"><semantics id="S4.Ex32.m1.13a"><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.2.cmml">I</mi><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.3.3" xref="S4.Ex32.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.4.4" xref="S4.Ex32.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.3.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.5.5" xref="S4.Ex32.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.6.6" xref="S4.Ex32.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.7.7" xref="S4.Ex32.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.8.8" xref="S4.Ex32.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.3.cmml">;</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.9.9" xref="S4.Ex32.m1.9.9.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.10.10" xref="S4.Ex32.m1.10.10.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.3.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.3" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1b" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml"><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.11.11" xref="S4.Ex32.m1.11.11.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.2.2" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.12.12" xref="S4.Ex32.m1.12.12.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.5" maxsize="210%" minsize="210%" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.13.13.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex32.m1.13b"><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1"><eq id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4"><times id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.4.3.2"><ci id="S4.Ex32.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S4.Ex32.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex32.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply><list id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2"><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S4.Ex32.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex32.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="S4.Ex32.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex32.m1.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.5.2"><ci id="S4.Ex32.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex32.m1.7.7">𝑟</ci><ci id="S4.Ex32.m1.8.8.cmml" xref="S4.Ex32.m1.8.8">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2"><plus id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2"><times id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.3.2"><ci id="S4.Ex32.m1.9.9.cmml" xref="S4.Ex32.m1.9.9">𝑟</ci><ci id="S4.Ex32.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex32.m1.10.10">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.3">𝑠</ci><apply id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.5.2"><ci id="S4.Ex32.m1.11.11.cmml" xref="S4.Ex32.m1.11.11">𝑟</ci><ci id="S4.Ex32.m1.12.12.cmml" xref="S4.Ex32.m1.12.12">𝑠</ci></interval></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex32.m1.13c">I_{j}(r,s)=\bigg{[}\widehat{\beta}_{j}(r,s)-z_{(1-\frac{\alpha}{2})}se_{j}(r,s% );\widehat{\beta}_{j}(r,s)+z_{(1-\frac{\alpha}{2})}se_{j}(r,s)\bigg{]}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex32.m1.13d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = [ over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_z start_POSTSUBSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) end_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ; over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_z start_POSTSUBSCRIPT ( 1 - divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ) end_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.8">As a direct consequence of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, these intervals are asymptotically valid. Specifically, for any fixed <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p3.8.m1.4"><semantics id="S4.SS3.p3.8.m1.4a"><mrow id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.cmml"><mrow id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.2" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p3.8.m1.3.3" xref="S4.SS3.p3.8.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.2.1" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.8.m1.4.4" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.1" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.2" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="S4.SS3.p3.8.m1.1.1" xref="S4.SS3.p3.8.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.2.2" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.p3.8.m1.2.2" xref="S4.SS3.p3.8.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p3.8.m1.4b"><apply id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5"><in id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.1"></in><list id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.2.2"><ci id="S4.SS3.p3.8.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p3.8.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.4.5.3.2"><ci id="S4.SS3.p3.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.SS3.p3.8.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p3.8.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p3.8.m1.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p3.8.m1.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\to\infty}P\Big{(}\beta_{j}(r,s)\in I_{j}(r,s)\Big{)}=1-\alpha." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex33.m1.5"><semantics id="S4.Ex33.m1.5a"><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex33.m1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex33.m1.2.2" xref="S4.Ex33.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex33.m1.3.3" xref="S4.Ex33.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex33.m1.4.4" xref="S4.Ex33.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">α</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex33.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex33.m1.5b"><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1"><eq id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.2"></limit><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3"><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.Ex33.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.Ex33.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S4.Ex33.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex33.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3"><minus id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.1"></minus><cn id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.5.5.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m1.5c">\lim_{T\to\infty}P\Big{(}\beta_{j}(r,s)\in I_{j}(r,s)\Big{)}=1-\alpha.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m1.5d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ∈ italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) = 1 - italic_α .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.4 </span>Practical implementation</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p1.20">After the methodological technicalities and asymptotics, this section serves as a short summary to help practitioners estimate a functional factor regression. The <span class="ltx_text ltx_font_sansserif" id="S4.SS4.p1.20.1">R</span> package "ffr"<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>Available from <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://github.com/luiswn/ffr" title="">https://github.com/luiswn/ffr</a></span></span></span> accompanying this paper provides a user friendly application of the following steps. <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p1.20.2">Step 1: Transform observed data to functions.</span> Normally, empirical functional data is only available stored in high-dimensional vectors. Therefore, construct the response variable and all functional regressors using some standard method such as basis expansion. Common bases choices are natural splines, smoothing splines or B-splines (see <span class="ltx_ERROR undefined" id="S4.SS4.p1.20.3">\textcite</span>Kokoszka.2021 or any other introductory textbook for more detailed information). <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p1.20.4">Step 2: Estimate the primitives.</span> For each functional regressor <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.SS4.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.2" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.1" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.1.m1.3.3" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4"><eq id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.1.m1.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, compute the sample means <math alttext="\overline{Y}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2"><times id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑌</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.2.m2.1c">\overline{Y}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.2.m2.1d">over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{\mu}_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml">s</mi><mo id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2"><times id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.3.m3.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.3.m3.1c">\widehat{\mu}_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E18" title="In 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>), then construct the sample cross-covariance <math alttext="\widehat{c}_{j}\left(r,s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.SS4.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.4.m4.2.2" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.4.m4.2b"><apply id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3"><times id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S4.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS4.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.4.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.4.m4.2c">\widehat{c}_{j}\left(r,s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.4.m4.2d">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> from (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E19" title="In 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) in order to estimate the integral kernel <math alttext="\widehat{d}_{j}\left(r,s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.5.m5.2"><semantics id="S4.SS4.p1.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.5.m5.2.2" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.5.m5.2b"><apply id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3"><times id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.3.3.2"><ci id="S4.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS4.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.5.m5.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.5.m5.2c">\widehat{d}_{j}\left(r,s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.5.m5.2d">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> as described in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E20" title="In 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>). Lastly, choose some large enough <math alttext="K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS4.p1.6.m6.1a"><msubsup id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3a.cmml">max</mtext></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3"><mtext id="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS4.p1.6.m6.1.1.3">max</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.6.m6.1c">K_{j}^{\text{max}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.6.m6.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and compute the eigenpairs <math alttext="\{(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})\}_{l=1}^{K_{j}^{\text{max}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS4.p1.7.m7.1a"><msubsup id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msubsup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1"><interval closure="open" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></set><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3"><eq id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3"><mtext id="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.SS4.p1.7.m7.1.1.3.3">max</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.7.m7.1c">\{(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})\}_{l=1}^{K_{j}^{\text{max}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.7.m7.1d">{ ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, as well the corresponding factors <math alttext="\widehat{f}_{ljt}=\langle X_{jt}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle,% l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.8.m8.4"><semantics id="S4.SS4.p1.8.m8.4a"><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1a" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.4" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.4" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.2.cmml"><mn id="S4.SS4.p1.8.m8.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.8.m8.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3a.cmml">max</mtext></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.8.m8.4b"><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.3a.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1"><eq id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2"><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3"><times id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.3">𝑗</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2"><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.3.3.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2"><eq id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.2"></eq><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.3">𝑙</ci><list id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.SS4.p1.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.8.m8.1.1">1</cn><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.2.2">…</ci><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.SS4.p1.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3">max</mtext></ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.8.m8.4c">\widehat{f}_{ljt}=\langle X_{jt}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle,% l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.8.m8.4d">over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ , italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p1.20.5">Step 3: Estimate the number of factors.</span> Set the tuning parameter <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.SS4.p1.9.m9.1a"><mi id="S4.SS4.p1.9.m9.1.1" xref="S4.SS4.p1.9.m9.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.9.m9.1b"><ci id="S4.SS4.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.9.m9.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.9.m9.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.9.m9.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> to some positive value or apply any cross-validation technique of your choice. For each functional regressor <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.10.m10.3"><semantics id="S4.SS4.p1.10.m10.3a"><mrow id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.2" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.1" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.2" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.SS4.p1.10.m10.1.1" xref="S4.SS4.p1.10.m10.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.10.m10.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.10.m10.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.10.m10.3.3" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.10.m10.3b"><apply id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4"><eq id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.2">𝑗</ci><list id="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.4.3.2"><cn id="S4.SS4.p1.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.10.m10.1.1">1</cn><ci id="S4.SS4.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.2.2">…</ci><ci id="S4.SS4.p1.10.m10.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.10.m10.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.10.m10.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.10.m10.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, use the estimated eigenvalues <math alttext="\{\widehat{\lambda}_{lj}\}_{l=1}^{K_{j}^{\text{max}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.SS4.p1.11.m11.1a"><msubsup id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mtext id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3a.cmml">max</mtext></msubsup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3"><eq id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3"><mtext id="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S4.SS4.p1.11.m11.1.1.3.3">max</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.11.m11.1c">\{\widehat{\lambda}_{lj}\}_{l=1}^{K_{j}^{\text{max}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.11.m11.1d">{ over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to determine the number of factors <math alttext="\widehat{K}_{j}^{ED}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.SS4.p1.12.m12.1a"><msubsup id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.3" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.12.m12.1b"><apply id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.12.m12.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.12.m12.1c">\widehat{K}_{j}^{ED}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.12.m12.1d">over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E21" title="In 4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E22" title="In 4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). <br class="ltx_break"/> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS4.p1.20.6">Step 4: Estimate the functional regression.</span> Store an intercept dummy, all relevant factors <math alttext="\{\widehat{f}_{l1t}\}_{l=1}^{\widehat{K}_{1}^{ED}},\ldots,\{\widehat{f}_{lJt}% \}_{l=1}^{\widehat{K}_{J}^{ED}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.13.m13.3"><semantics id="S4.SS4.p1.13.m13.3a"><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup></msubsup><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.13.m13.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.4" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">J</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.3.cmml">J</mi><mrow id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.1" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.3" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.13.m13.3b"><list id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2"><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></set><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3"><eq id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.2.2">𝐾</ci></apply><cn id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3"><times id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.2.2.1.1.3.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.1.1">…</ci><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2">subscript</csymbol><set id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐽</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></set><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3"><eq id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3"><times id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.13.m13.3.3.2.2.3.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.13.m13.3c">\{\widehat{f}_{l1t}\}_{l=1}^{\widehat{K}_{1}^{ED}},\ldots,\{\widehat{f}_{lJt}% \}_{l=1}^{\widehat{K}_{J}^{ED}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.13.m13.3d">{ over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , … , { over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_J end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and any other scalar valued exogenous regressors <math alttext="w_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.14.m14.1"><semantics id="S4.SS4.p1.14.m14.1a"><msub id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.14.m14.1b"><apply id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.14.m14.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.14.m14.1c">w_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.14.m14.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in a vector <math alttext="\widehat{z}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.15.m15.1"><semantics id="S4.SS4.p1.15.m15.1a"><msub id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.15.m15.1b"><apply id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.15.m15.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.15.m15.1c">\widehat{z}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.15.m15.1d">over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then estimate the regression model for a sufficiently large number of points on the curve <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.16.m16.1"><semantics id="S4.SS4.p1.16.m16.1a"><mrow id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.16.m16.1.1" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.16.m16.1b"><apply id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2"><times id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.16.m16.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.16.m16.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.16.m16.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E23" title="In 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>). Finally, for each functional regressor <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.17.m17.3"><semantics id="S4.SS4.p1.17.m17.3a"><mrow id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.2" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.1" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.2" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.1.cmml"><mn id="S4.SS4.p1.17.m17.1.1" xref="S4.SS4.p1.17.m17.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.2.1" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.17.m17.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.p1.17.m17.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.17.m17.3.3" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.17.m17.3b"><apply id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4"><eq id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.2">𝑗</ci><list id="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.4.3.2"><cn id="S4.SS4.p1.17.m17.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.17.m17.1.1">1</cn><ci id="S4.SS4.p1.17.m17.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.2.2">…</ci><ci id="S4.SS4.p1.17.m17.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.17.m17.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.17.m17.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.17.m17.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, use the relevant regression coefficients <math alttext="\widehat{B}_{j}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.18.m18.1"><semantics id="S4.SS4.p1.18.m18.1a"><mrow id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.3" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.18.m18.1.1" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.18.m18.1b"><apply id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2"><times id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.18.m18.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.18.m18.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.18.m18.1c">\widehat{B}_{j}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.18.m18.1d">over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> and the respective eigenfunctions <math alttext="\{\widehat{\psi}_{lj}\}_{l=1}^{\widehat{K}_{j}^{ED}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.19.m19.1"><semantics id="S4.SS4.p1.19.m19.1a"><msubsup id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><msubsup id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mo id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.1" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.3" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.19.m19.1b"><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3"><eq id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3"><times id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.2">𝐸</ci><ci id="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.19.m19.1.1.3.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.19.m19.1c">\{\widehat{\psi}_{lj}\}_{l=1}^{\widehat{K}_{j}^{ED}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.19.m19.1d">{ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to recover the functional coefficient function <math alttext="\widehat{\beta}_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.20.m20.2"><semantics id="S4.SS4.p1.20.m20.2a"><mrow id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.cmml"><msub id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.1" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.3" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.1" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.p1.20.m20.1.1" xref="S4.SS4.p1.20.m20.1.1.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.2.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS4.p1.20.m20.2.2" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.2.cmml">s</mi><mo id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.20.m20.2b"><apply id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3"><times id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.1"></times><apply id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2"><ci id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.3.3.2"><ci id="S4.SS4.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.1.1">𝑟</ci><ci id="S4.SS4.p1.20.m20.2.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.20.m20.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.20.m20.2c">\widehat{\beta}_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.20.m20.2d">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> according to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E24" title="In 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>). By calculating each coefficient function’s covariance estimator as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E25" title="In Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25</span></a>), statistical inference procedures like hypothesis testing or constructing confidence intervals follow straightforwardly.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Simulation</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.15">In the following, we verify the favorable finite sample properties of our functional regression estimator and confirm the asymptotic normality results needed for confidence bands and hypothesis tests. In our generic data generating process (DGP), each regressor follows a factor structure defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{jt}(s)=\sum_{l=1}^{K}f_{ljt}v_{l}(s)+\sum_{l=K+1}^{3K}\varepsilon_{ljt}v_{l% }(s),\quad s\in[0,1]," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex34.m1.6"><semantics id="S5.Ex34.m1.6a"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex34.m1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml">K</mi></munderover><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex34.m1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></munderover><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1a" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.4" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.4.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex34.m1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex34.m1.4.4" xref="S5.Ex34.m1.4.4.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex34.m1.5.5" xref="S5.Ex34.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.6b"><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" 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italic_s ) , italic_s ∈ [ 0 , 1 ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.4">where <math alttext="v_{1}(s)=1,v_{(2z)}(s)=\sqrt{2}\sin(2z\pi s),v_{(2z+1)}(s)=\sqrt{2}\cos(2z\pi s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.9"><semantics id="S5.p1.1.m1.9a"><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.3.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.cmml"><msub id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.1" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.3.2" xref="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.8.8.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" 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id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.1.m1.4.4" xref="S5.p1.1.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml"><msqrt id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn></msqrt><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.5.5" xref="S5.p1.1.m1.5.5.cmml">sin</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">π</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">s</mi></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.1.m1.6.6" xref="S5.p1.1.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.cmml"><msqrt id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.2.cmml">2</mn></msqrt><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.2" lspace="0.167em" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.7.7" xref="S5.p1.1.m1.7.7.cmml">cos</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">π</mi><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.5" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml">s</mi></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.9b"><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.3.cmml" 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cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.3a.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1"><eq id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.3.2.2">𝑣</ci><apply id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply><ci id="S5.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4">𝑠</ci></apply><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3"><root id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3"></root><cn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2">2</cn></apply><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1"><sin id="S5.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S5.p1.1.m1.5.5"></sin><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4">𝜋</ci><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.1.1.1.5">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2"><eq id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2"></eq><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3.2.2">𝑣</ci><apply id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1"><plus id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2"><times id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><cn id="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S5.p1.1.m1.6.6">𝑠</ci></apply><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3"><root id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3a.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3"></root><cn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.2">2</cn></apply><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1"><cos id="S5.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S5.p1.1.m1.7.7"></cos><apply id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.4">𝜋</ci><ci id="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.1.1.1.5">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.9c">v_{1}(s)=1,v_{(2z)}(s)=\sqrt{2}\sin(2z\pi s),v_{(2z+1)}(s)=\sqrt{2}\cos(2z\pi s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.9d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = 1 , italic_v start_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_z ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = square-root start_ARG 2 end_ARG roman_sin ( 2 italic_z italic_π italic_s ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_z + 1 ) end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = square-root start_ARG 2 end_ARG roman_cos ( 2 italic_z italic_π italic_s )</annotation></semantics></math> is the Fourier basis, the factors are randomly generated according to <math alttext="f_{ljt}\mathtt{\sim}N(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.2"><semantics id="S5.p1.2.m2.2a"><mrow id="S5.p1.2.m2.2.3" xref="S5.p1.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.2.m2.2.3.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.3" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1a" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.4" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.1" xref="S5.p1.2.m2.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p1.2.m2.2.3.3" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p1.2.m2.2.2" xref="S5.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.2b"><apply id="S5.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.2">𝑓</ci><apply id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3"><times id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.4.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3"><times id="S5.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.2.3.3.3.2"><cn id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p1.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S5.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.2c">f_{ljt}\mathtt{\sim}N(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, the errors are <math alttext="\varepsilon_{ljt}\mathtt{\sim}N(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.2"><semantics id="S5.p1.3.m3.2a"><mrow id="S5.p1.3.m3.2.3" xref="S5.p1.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.3.m3.2.3.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.3" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1a" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.4" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.1" xref="S5.p1.3.m3.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p1.3.m3.2.3.3" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.3.1" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p1.3.m3.2.2" xref="S5.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.2b"><apply id="S5.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.2">𝜀</ci><apply id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3"><times id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.4.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3"><times id="S5.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p1.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.2.3.3.3.2"><cn id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p1.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S5.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.3.m3.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.2c">\varepsilon_{ljt}\mathtt{\sim}N(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.2d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> distributed and the number of relevant factors is set to <math alttext="K=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.p1.4.m4.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S5.p1.4.m4.1.1.1" xref="S5.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1"><eq id="S5.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S5.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.4.m4.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.4.m4.1c">K=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.4.m4.1d">italic_K = 3</annotation></semantics></math>. On the other hand, the regression equation follows as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{t}(r)=\int_{0}^{1}\beta_{1}(r,s)X_{1t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2}(r,s)X_{% 2t}(s)\,ds+\sum_{i=1}^{2K}u_{it}\rho_{i}(r),\quad r,s\in[0,1]." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex35.m1.12"><semantics id="S5.Ex35.m1.12a"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">0</mn><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">1</mn></msubsup><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1b" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.4.4" xref="S5.Ex35.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">0</mn><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">1</mn></msubsup><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.5.5" xref="S5.Ex35.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.6.6" xref="S5.Ex35.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.7.7" xref="S5.Ex35.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1a" rspace="0.055em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><munderover id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></munderover><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex35.m1.8.8" xref="S5.Ex35.m1.8.8.cmml">r</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2" rspace="1.167em" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex35.m1.11.11" xref="S5.Ex35.m1.11.11.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.Ex35.m1.9.9" xref="S5.Ex35.m1.9.9.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex35.m1.10.10" xref="S5.Ex35.m1.10.10.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.12.12.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m1.12b"><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.cmml" 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xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2"></int><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2">𝑟</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3">𝑠</ci></interval><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1"></times><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2">1</cn><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.4.4">𝑠</ci><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.2.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></int><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S5.Ex35.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex35.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="S5.Ex35.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.6.6">𝑠</ci></interval><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.1"></times><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.7.7.cmml" xref="S5.Ex35.m1.7.7">𝑠</ci><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.3.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4"><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.2"></sum><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3"><eq id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.1"></times><cn id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><times id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.Ex35.m1.8.8.cmml" xref="S5.Ex35.m1.8.8">𝑟</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.11.11.cmml" xref="S5.Ex35.m1.11.11">𝑟</ci></list></apply><apply id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2"><in id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.1"></in><ci id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.2">𝑠</ci><interval closure="closed" id="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.12.12.1.1.2.2.3.2"><cn id="S5.Ex35.m1.9.9.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.9.9">0</cn><cn id="S5.Ex35.m1.10.10.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.10.10">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex35.m1.12c">Y_{t}(r)=\int_{0}^{1}\beta_{1}(r,s)X_{1t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2}(r,s)X_{% 2t}(s)\,ds+\sum_{i=1}^{2K}u_{it}\rho_{i}(r),\quad r,s\in[0,1].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex35.m1.12d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_r , italic_s ∈ [ 0 , 1 ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p1.14">The bivariate coefficient functions are defined as <math alttext="\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K}v_{l}(r)\beta_{lj}v_{l}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.5.m1.4"><semantics id="S5.p1.5.m1.4a"><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5" xref="S5.p1.5.m1.4.5.cmml"><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.cmml"><msub id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.2.1" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.5.m1.1.1" xref="S5.p1.5.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.5.m1.2.2" xref="S5.p1.5.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S5.p1.5.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.cmml"><msubsup id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.1" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.3.cmml">K</mi></msubsup><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml"><msub id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.3.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.5.m1.3.3" xref="S5.p1.5.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1a" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.2.cmml">β</mi><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.1" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1b" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.cmml"><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.2.cmml">v</mi><mi id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.3" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1c" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.6.2" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.5.m1.4.4" xref="S5.p1.5.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.6.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.5.m1.4b"><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5"><eq id="S5.p1.5.m1.4.5.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.1"></eq><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2"><times id="S5.p1.5.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.1"></times><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.2.3.2"><ci id="S5.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3"><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3"><eq id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2"><times id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.1"></times><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S5.p1.5.m1.3.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.2">𝛽</ci><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3"><times id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.1"></times><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.1.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.2.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.2">𝑣</ci><ci id="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.3.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.5.3.2.5.3">𝑙</ci></apply><ci id="S5.p1.5.m1.4.4.cmml" xref="S5.p1.5.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.5.m1.4c">\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K}v_{l}(r)\beta_{lj}v_{l}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.5.m1.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\beta_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.6.m2.1"><semantics id="S5.p1.6.m2.1a"><msub id="S5.p1.6.m2.1.1" xref="S5.p1.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.1.1.2" xref="S5.p1.6.m2.1.1.2.cmml">β</mi><mrow id="S5.p1.6.m2.1.1.3" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.p1.6.m2.1.1.3.1" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.6.m2.1.1.3.3" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.6.m2.1b"><apply id="S5.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S5.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3"><times id="S5.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S5.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.6.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.6.m2.1c">\beta_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.6.m2.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is deterministically chosen in a way that ensures <math alttext="rank(\beta_{j}(r,s))=K" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.7.m3.3"><semantics id="S5.p1.7.m3.3a"><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.cmml"><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3.1" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.3.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.4" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.4.cmml">a</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.2a" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.5" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.5.cmml">n</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.2b" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.6" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.6.cmml">k</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.2c" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.7.m3.1.1" xref="S5.p1.7.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.7.m3.2.2" xref="S5.p1.7.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.7.m3.3.3.2" xref="S5.p1.7.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mi id="S5.p1.7.m3.3.3.3" xref="S5.p1.7.m3.3.3.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.7.m3.3b"><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3"><eq id="S5.p1.7.m3.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.2"></eq><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1"><times id="S5.p1.7.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.2"></times><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.3">𝑟</ci><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.4.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.4">𝑎</ci><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.5.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.5">𝑛</ci><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.6.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.6">𝑘</ci><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1"><times id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.7.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.p1.7.m3.2.2.cmml" xref="S5.p1.7.m3.2.2">𝑠</ci></interval></apply></apply><ci id="S5.p1.7.m3.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.7.m3.3.3.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.7.m3.3c">rank(\beta_{j}(r,s))=K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.7.m3.3d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) = italic_K</annotation></semantics></math> (see Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS5" title="A.5 Specification of the simulated coefficient functions ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.5</span></a> for the exact specification). Lastly, <math alttext="\rho_{i}(r)=\binom{I+1}{i}r^{i}(1-r)^{I+1-i},i=1,\ldots,I" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.8.m4.8"><semantics id="S5.p1.8.m4.8a"><mrow id="S5.p1.8.m4.8.8.2" xref="S5.p1.8.m4.8.8.3.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.2.cmml">ρ</mi><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.cmml"><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.8.m4.3.3" xref="S5.p1.8.m4.3.3.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.2.2.4" xref="S5.p1.8.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S5.p1.8.m4.2.2.4.1" xref="S5.p1.8.m4.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S5.p1.8.m4.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S5.p1.8.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mn id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.p1.8.m4.2.2.2.2.2.1" xref="S5.p1.8.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">i</mi></mfrac><mo id="S5.p1.8.m4.2.2.4.2" xref="S5.p1.8.m4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2a" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml">I</mi><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mn id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S5.p1.8.m4.8.8.2.3" xref="S5.p1.8.m4.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.2" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.1" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.2" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.1.cmml"><mn id="S5.p1.8.m4.4.4" xref="S5.p1.8.m4.4.4.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.2.1" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.8.m4.5.5" mathvariant="normal" xref="S5.p1.8.m4.5.5.cmml">…</mi><mo id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.2.2" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.8.m4.6.6" xref="S5.p1.8.m4.6.6.cmml">I</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.8.m4.8b"><apply id="S5.p1.8.m4.8.8.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.8.m4.8.8.3a.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1"><eq id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3"><times id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.2">𝜌</ci><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.p1.8.m4.3.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1"><times id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S5.p1.8.m4.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.8.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.2.2.4.1">binomial</csymbol><apply id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.2"></plus><ci id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝐼</ci><cn id="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S5.p1.8.m4.1.1.1.1.1.1.4">1</cn></apply><ci id="S5.p1.8.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.2.2.2.2.2.1">𝑖</ci></apply><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3"><minus id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2"><plus id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.1"></plus><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.2">𝐼</ci><cn id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.8.m4.7.7.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2"><eq id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.1"></eq><ci id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.2">𝑖</ci><list id="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.8.m4.8.8.2.2.3.2"><cn id="S5.p1.8.m4.4.4.cmml" type="integer" xref="S5.p1.8.m4.4.4">1</cn><ci id="S5.p1.8.m4.5.5.cmml" xref="S5.p1.8.m4.5.5">…</ci><ci id="S5.p1.8.m4.6.6.cmml" xref="S5.p1.8.m4.6.6">𝐼</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.8.m4.8c">\rho_{i}(r)=\binom{I+1}{i}r^{i}(1-r)^{I+1-i},i=1,\ldots,I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.8.m4.8d">italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( FRACOP start_ARG italic_I + 1 end_ARG start_ARG italic_i end_ARG ) italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( 1 - italic_r ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_I + 1 - italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_i = 1 , … , italic_I</annotation></semantics></math>, are the Bernstein basis polynomials. We differentiate between homoskedastic regression errors generated from <math alttext="u_{it}\mathtt{\sim}N(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.9.m5.2"><semantics id="S5.p1.9.m5.2a"><mrow id="S5.p1.9.m5.2.3" xref="S5.p1.9.m5.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.9.m5.2.3.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.9.m5.2.3.2.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.1" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.3" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.1" xref="S5.p1.9.m5.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p1.9.m5.2.3.3" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.9.m5.2.3.3.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.3.1" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S5.p1.9.m5.1.1" xref="S5.p1.9.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.2.2" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p1.9.m5.2.2" xref="S5.p1.9.m5.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.9.m5.2b"><apply id="S5.p1.9.m5.2.3.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.9.m5.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S5.p1.9.m5.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.9.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.9.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3"><times id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.1"></times><ci id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.9.m5.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3"><times id="S5.p1.9.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p1.9.m5.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.2">𝑁</ci><interval closure="open" id="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.9.m5.2.3.3.3.2"><cn id="S5.p1.9.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p1.9.m5.1.1">0</cn><cn id="S5.p1.9.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.9.m5.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.9.m5.2c">u_{it}\mathtt{\sim}N(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.9.m5.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> (DGP1), and conditionally heteroskedastic errors defined as <math alttext="u_{it}\mathtt{\sim}N(0,f_{1t}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.10.m6.2"><semantics id="S5.p1.10.m6.2a"><mrow id="S5.p1.10.m6.2.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.cmml"><msub id="S5.p1.10.m6.2.2.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.3.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.1" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p1.10.m6.2.2.1" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.cmml"><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.1.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.1.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.p1.10.m6.1.1" xref="S5.p1.10.m6.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msubsup id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mn id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.10.m6.2b"><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p1.10.m6.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.2">similar-to</csymbol><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.10.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.2">𝑢</ci><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3"><times id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.1"></times><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1"><times id="S5.p1.10.m6.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.2"></times><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.1.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.3">𝑁</ci><interval closure="open" id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1"><cn id="S5.p1.10.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p1.10.m6.1.1">0</cn><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.10.m6.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.10.m6.2c">u_{it}\mathtt{\sim}N(0,f_{1t}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.10.m6.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_N ( 0 , italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> (DGP2). <br class="ltx_break"/>For both data generating processes, the average bias and the pointwise average coverage rate of 95% confidence intervals for the regression coefficient function <math alttext="\beta_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.11.m7.2"><semantics id="S5.p1.11.m7.2a"><mrow id="S5.p1.11.m7.2.3" xref="S5.p1.11.m7.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.11.m7.2.3.2" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.11.m7.2.3.2.2" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2.2.cmml">β</mi><mn id="S5.p1.11.m7.2.3.2.3" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.p1.11.m7.2.3.1" xref="S5.p1.11.m7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.11.m7.2.3.3.2" xref="S5.p1.11.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.11.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.11.m7.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.11.m7.1.1" xref="S5.p1.11.m7.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.11.m7.2.3.3.2.2" xref="S5.p1.11.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.11.m7.2.2" xref="S5.p1.11.m7.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.11.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.11.m7.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.11.m7.2b"><apply id="S5.p1.11.m7.2.3.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3"><times id="S5.p1.11.m7.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3.1"></times><apply id="S5.p1.11.m7.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.11.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.11.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2.2">𝛽</ci><cn id="S5.p1.11.m7.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.11.m7.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S5.p1.11.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.3.3.2"><ci id="S5.p1.11.m7.1.1.cmml" xref="S5.p1.11.m7.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.p1.11.m7.2.2.cmml" xref="S5.p1.11.m7.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.11.m7.2c">\beta_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.11.m7.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> are reported. Firstly, the bias of our functional factor regression (FFR) estimator is compared to the theoretically constructed case where the factors and loadings are known and the only error stems from the regression step. Secondly, we present three types of coverage rates which differ by the covariance function estimator used to construct the intervals. In the constructed case with known factors and loadings, the heteroskedasticity consistent (HC) estimator <math alttext="T^{-1}\sum_{t=1}^{T}((Q^{-1}z_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\Psi(s))^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.12.m8.3"><semantics id="S5.p1.12.m8.3a"><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.cmml"><msup id="S5.p1.12.m8.3.3.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.cmml"><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3a" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.cmml"><msubsup id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><msup id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">u</mi><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.12.m8.1.1" xref="S5.p1.12.m8.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">Ψ</mi><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.12.m8.2.2" xref="S5.p1.12.m8.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.3" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.12.m8.3b"><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3"><times id="S5.p1.12.m8.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.2"></times><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.3.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3"><minus id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3"></minus><cn id="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.12.m8.3.3.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1"><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.2"></sum><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3"><eq id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1"><times id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑧</ci><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="S5.p1.12.m8.1.1.cmml" xref="S5.p1.12.m8.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.1.1.1.3">Ψ</ci><ci id="S5.p1.12.m8.2.2.cmml" xref="S5.p1.12.m8.2.2">𝑠</ci></apply><cn id="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p1.12.m8.3.3.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.12.m8.3c">T^{-1}\sum_{t=1}^{T}((Q^{-1}z_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\Psi(s))^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.12.m8.3d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is expected to produce bands with asymptotically correct coverage. Next, we report the coverage share with HC covariance estimator but the factors and loadings now have to be estimated themselves beforehand. This case differs from our functional factor regression covariance estimator <math alttext="\widehat{\Omega}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.13.m9.2"><semantics id="S5.p1.13.m9.2a"><mrow id="S5.p1.13.m9.2.3" xref="S5.p1.13.m9.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.13.m9.2.3.2" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2.cmml"><mi id="S5.p1.13.m9.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S5.p1.13.m9.2.3.2.1" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.p1.13.m9.2.3.1" xref="S5.p1.13.m9.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.13.m9.2.3.3.2" xref="S5.p1.13.m9.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.13.m9.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.13.m9.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.13.m9.1.1" xref="S5.p1.13.m9.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.13.m9.2.3.3.2.2" xref="S5.p1.13.m9.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.13.m9.2.2" xref="S5.p1.13.m9.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.13.m9.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.13.m9.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.13.m9.2b"><apply id="S5.p1.13.m9.2.3.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3"><times id="S5.p1.13.m9.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3.1"></times><apply id="S5.p1.13.m9.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2"><ci id="S5.p1.13.m9.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.13.m9.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3.2.2">Ω</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p1.13.m9.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.3.3.2"><ci id="S5.p1.13.m9.1.1.cmml" xref="S5.p1.13.m9.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.p1.13.m9.2.2.cmml" xref="S5.p1.13.m9.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.13.m9.2c">\widehat{\Omega}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.13.m9.2d">over^ start_ARG roman_Ω end_ARG ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> from equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E25" title="In Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25</span></a>) as it misses the correction term <math alttext="\widehat{\omega}_{t}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.14.m10.2"><semantics id="S5.p1.14.m10.2a"><mrow id="S5.p1.14.m10.2.3" xref="S5.p1.14.m10.2.3.cmml"><msub id="S5.p1.14.m10.2.3.2" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.2" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.1" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S5.p1.14.m10.2.3.2.3" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.p1.14.m10.2.3.1" xref="S5.p1.14.m10.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p1.14.m10.2.3.3.2" xref="S5.p1.14.m10.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.p1.14.m10.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p1.14.m10.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.p1.14.m10.1.1" xref="S5.p1.14.m10.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.p1.14.m10.2.3.3.2.2" xref="S5.p1.14.m10.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.14.m10.2.2" xref="S5.p1.14.m10.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.p1.14.m10.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p1.14.m10.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.14.m10.2b"><apply id="S5.p1.14.m10.2.3.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3"><times id="S5.p1.14.m10.2.3.1.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.1"></times><apply id="S5.p1.14.m10.2.3.2.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.14.m10.2.3.2.1.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2"><ci id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><ci id="S5.p1.14.m10.2.3.2.3.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S5.p1.14.m10.2.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.3.3.2"><ci id="S5.p1.14.m10.1.1.cmml" xref="S5.p1.14.m10.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.p1.14.m10.2.2.cmml" xref="S5.p1.14.m10.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.14.m10.2c">\widehat{\omega}_{t}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.14.m10.2d">over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> which is necessary to account for the generated regressor issue. Therefore, we expect the uncorrected covariance estimator to result in incorrect coverage results while the FFR approach should yield asymptotically accurate rates. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S5.T1.10.3.1" style="font-size:90%;">Table 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.T1.4.2" style="font-size:90%;">Bias and point-wise average coverage rate of 95% CIs for <math alttext="\beta_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.3.1.m1.2"><semantics id="S5.T1.3.1.m1.2b"><mrow id="S5.T1.3.1.m1.2.3" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.2" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mn id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.3" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.T1.3.1.m1.2.3.1" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.2" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.T1.3.1.m1.1.1" xref="S5.T1.3.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.3.1.m1.2.2" xref="S5.T1.3.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.3.1.m1.2c"><apply id="S5.T1.3.1.m1.2.3.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3"><times id="S5.T1.3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.2">𝛽</ci><cn id="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S5.T1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S5.T1.3.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.T1.3.1.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.3.1.m1.2d">\beta_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.3.1.m1.2e">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>. All results are based on a discrete grid of 200 equidistant points for <math alttext="r,s\in[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.4.2.m2.4"><semantics id="S5.T1.4.2.m2.4b"><mrow id="S5.T1.4.2.m2.4.5" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.2" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.1.cmml"><mi id="S5.T1.4.2.m2.3.3" xref="S5.T1.4.2.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.2.1" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.T1.4.2.m2.4.4" xref="S5.T1.4.2.m2.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="S5.T1.4.2.m2.4.5.1" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.2" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.T1.4.2.m2.1.1" xref="S5.T1.4.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.T1.4.2.m2.2.2" xref="S5.T1.4.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.4.2.m2.4c"><apply id="S5.T1.4.2.m2.4.5.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5"><in id="S5.T1.4.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.1"></in><list id="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.2.2"><ci id="S5.T1.4.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.3.3">𝑟</ci><ci id="S5.T1.4.2.m2.4.4.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S5.T1.4.2.m2.4.5.3.2"><cn id="S5.T1.4.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.T1.4.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S5.T1.4.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.T1.4.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.4.2.m2.4d">r,s\in[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.4.2.m2.4e">italic_r , italic_s ∈ [ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math> and 5000 Monte Carlo simulations.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S5.T1.8"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.4"> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T1.8.4.5"></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T1.8.4.6"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.5.1.1"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.5.1.1.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.5.1.1.1.1"><math alttext="T=50" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">50</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1"><eq id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1.1.3">50</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1c">T=50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.5.1.1.1.1.m1.1d">italic_T = 50</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.6.2.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.6.2.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.6.2.2.1.1"><math alttext="T=100" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.3.cmml">100</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1"><eq id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1.1.3">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1c">T=100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.6.2.2.1.1.m1.1d">italic_T = 100</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.7.3.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.7.3.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.7.3.3.1.1"><math alttext="T=500" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.3.cmml">500</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1"><eq id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1.1.3">500</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1c">T=500</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.7.3.3.1.1.m1.1d">italic_T = 500</annotation></semantics></math></span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.4.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.4.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.4.4.1.1"><math alttext="T=1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1"><semantics id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1a"><mrow id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.2" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.1" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.3" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1b"><apply id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1"><eq id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><cn id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1c">T=1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.T1.8.4.4.1.1.m1.1d">italic_T = 1000</annotation></semantics></math></span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.5"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_tt ltx_border_t" id="S5.T1.8.5.1" rowspan="7"><span class="ltx_text" id="S5.T1.8.5.1.1">DGP 1: Homo</span></td> <td class="ltx_td ltx_border_tt ltx_border_t" id="S5.T1.8.5.2"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" colspan="4" id="S5.T1.8.5.3">Bias</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.6"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.6.1">True param.</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.6.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.6.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.6.2.1.1">0.001</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.6.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.6.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.6.3.1.1">0.000</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.6.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.6.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.6.4.1.1">0.000</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.6.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.6.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.6.5.1.1">0.000</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.7"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.7.1">FFR.</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.7.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.7.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.7.2.1.1">0.011</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.7.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.7.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.7.3.1.1">0.005</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.7.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.7.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.7.4.1.1">0.001</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.7.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.7.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.7.5.1.1">0.000</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.8"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.8.8.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" colspan="4" id="S5.T1.8.8.2">Coverage rate</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.9"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.9.1">True param.</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.9.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.9.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.9.2.1.1">0.906</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.9.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.9.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.9.3.1.1">0.928</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.9.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.9.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.9.4.1.1">0.943</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.9.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.9.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.9.5.1.1">0.944</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.10"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.10.1">Uncorrected</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.10.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.10.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.10.2.1.1">0.456</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.10.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.10.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.10.3.1.1">0.419</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.10.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.10.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.10.4.1.1">0.346</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.10.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.10.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.10.5.1.1">0.327</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.11"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.11.1">FFR</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.11.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.11.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.11.2.1.1">0.858</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.11.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.11.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.11.3.1.1">0.894</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.11.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.11.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.11.4.1.1">0.936</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.11.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.11.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.11.5.1.1">0.943</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.12"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.8.12.1" rowspan="7"><span class="ltx_text" id="S5.T1.8.12.1.1">DGP 2: Hetero</span></td> <td class="ltx_td ltx_border_t" id="S5.T1.8.12.2"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" colspan="4" id="S5.T1.8.12.3">Bias</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.13"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.13.1">True param.</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.13.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.13.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.13.2.1.1">0.004</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.13.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.13.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.13.3.1.1">0.000</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.13.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.13.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.13.4.1.1">0.000</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.13.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.13.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.13.5.1.1">0.000</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.14"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.14.1">FFR</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.14.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.14.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.14.2.1.1">0.016</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.14.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.14.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.14.3.1.1">0.012</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.14.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.14.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.14.4.1.1">0.000</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.14.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.14.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.14.5.1.1">0.000</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.15"> <td class="ltx_td" id="S5.T1.8.15.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center" colspan="4" id="S5.T1.8.15.2">Coverage rate</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.16"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.16.1">True param.</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.16.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.16.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.16.2.1.1">0.881</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.16.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.16.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.16.3.1.1">0.915</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.16.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.16.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.16.4.1.1">0.940</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S5.T1.8.16.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.16.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.16.5.1.1">0.942</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.17"> <td class="ltx_td ltx_align_left" id="S5.T1.8.17.1">Uncorrected</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.17.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.17.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.17.2.1.1">0.516</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.17.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.17.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.17.3.1.1">0.526</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.17.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.17.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.17.4.1.1">0.559</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S5.T1.8.17.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.17.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.17.5.1.1">0.570</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.8.18"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_b" id="S5.T1.8.18.1">FFR</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_b" id="S5.T1.8.18.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.18.2.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.18.2.1.1">0.858</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_b" id="S5.T1.8.18.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.18.3.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.18.3.1.1">0.896</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_b" id="S5.T1.8.18.4"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.18.4.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.18.4.1.1">0.937</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_b" id="S5.T1.8.18.5"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="S5.T1.8.18.5.1"> <span class="ltx_p" id="S5.T1.8.18.5.1.1">0.943</span> </span> </td> </tr> </table> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.2">The simulation outcome is displayed in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Simulation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. To start with the bias results, it becomes apparent that our FFR estimator is consistent as it exhibits a low bias even in small samples which vanishes completely as <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_T</annotation></semantics></math> increases. This holds for both data generating processes. Regarding the coverage rates, it firstly should be noted how the confidence intervals constructed from the uncorrected covariance are generally incorrect even for large <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> which is in line with the generated regressors literature. On the other hand, our FFR coverage rates as described in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> asymptotically converge to the true value 0.95. These rates are of comparable size as the ones obtained from the unfeasible estimator with known factors and loadings and no first-stage error. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="280" id="S5.F1.g1" src="x1.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.8.4.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S5.F1.6.3" style="font-size:90%;">Simulation performance of the functional eigenvalue difference test applied to <math alttext="X_{1t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.4.1.m1.1"><semantics id="S5.F1.4.1.m1.1b"><mrow id="S5.F1.4.1.m1.1.2" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.F1.4.1.m1.1.2.1" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.F1.4.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.F1.4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.F1.4.1.m1.1.1" xref="S5.F1.4.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S5.F1.4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.4.1.m1.1c"><apply id="S5.F1.4.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2"><times id="S5.F1.4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3"><times id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.2">1</cn><ci id="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.F1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.4.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.4.1.m1.1d">X_{1t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.4.1.m1.1e">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> with 5000 Monte Carlo repetitions for different numbers of relevant factors <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.5.2.m2.1"><semantics id="S5.F1.5.2.m2.1b"><mi id="S5.F1.5.2.m2.1.1" xref="S5.F1.5.2.m2.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.5.2.m2.1c"><ci id="S5.F1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.F1.5.2.m2.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.5.2.m2.1d">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.5.2.m2.1e">italic_K</annotation></semantics></math>. The y-axis shows the share of correctly estimated cases during the 5000 simulations. The tuning parameter is set to <math alttext="\gamma=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.6.3.m3.1"><semantics id="S5.F1.6.3.m3.1b"><mrow id="S5.F1.6.3.m3.1.1" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.F1.6.3.m3.1.1.2" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S5.F1.6.3.m3.1.1.1" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F1.6.3.m3.1.1.3" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.6.3.m3.1c"><apply id="S5.F1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1"><eq id="S5.F1.6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.F1.6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S5.F1.6.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F1.6.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.6.3.m3.1d">\gamma=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.6.3.m3.1e">italic_γ = 1</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.6">Lastly, we examine the finite sample properties of the functional eigenvalue difference test introduced in Chapter <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS2" title="4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a> by determining the number relevant factors for <math alttext="X_{1t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mrow id="S5.p3.1.m1.1.2" xref="S5.p3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S5.p3.1.m1.1.2.2" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.p3.1.m1.1.2.1" xref="S5.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S5.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S5.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S5.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><apply id="S5.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2"><times id="S5.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S5.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3"><times id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.2">1</cn><ci id="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">X_{1t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>. The data generating process remains the same as above, we only change the number of factors <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.p3.2.m2.1a"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m2.1b"><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m2.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m2.1d">italic_K</annotation></semantics></math> between <math alttext="3,5" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m3.2"><semantics id="S5.p3.3.m3.2a"><mrow id="S5.p3.3.m3.2.3.2" xref="S5.p3.3.m3.2.3.1.cmml"><mn id="S5.p3.3.m3.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.cmml">3</mn><mo id="S5.p3.3.m3.2.3.2.1" xref="S5.p3.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p3.3.m3.2.2" xref="S5.p3.3.m3.2.2.cmml">5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m3.2b"><list id="S5.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.2.3.2"><cn id="S5.p3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m3.1.1">3</cn><cn id="S5.p3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m3.2.2">5</cn></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m3.2c">3,5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m3.2d">3 , 5</annotation></semantics></math> and <math alttext="7" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.p3.4.m4.1a"><mn id="S5.p3.4.m4.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.cmml">7</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.4.m4.1b"><cn id="S5.p3.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p3.4.m4.1.1">7</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.4.m4.1c">7</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.4.m4.1d">7</annotation></semantics></math>. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S5.F1" title="Figure 1 ‣ 5 Simulation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows that the estimator yields robustly correct results for all cases, even in settings with relatively small samples. The estimator lacks some precision when the number of observations drops below <math alttext="50" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.p3.5.m5.1a"><mn id="S5.p3.5.m5.1.1" xref="S5.p3.5.m5.1.1.cmml">50</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.5.m5.1b"><cn id="S5.p3.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p3.5.m5.1.1">50</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.5.m5.1c">50</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.5.m5.1d">50</annotation></semantics></math>. Moreover, it is noticeable that this issue amplifies with a larger number of factors <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.6.m6.1"><semantics id="S5.p3.6.m6.1a"><mi id="S5.p3.6.m6.1.1" xref="S5.p3.6.m6.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.6.m6.1b"><ci id="S5.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.p3.6.m6.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.6.m6.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.6.m6.1d">italic_K</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S6" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Application to electricity price curve modeling</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">In this section, we apply the functional factor regression method to model and forecast electricity spot prices in three different markets. For this task, understanding the institutional power market framework first is necessary. The European and North American wholesale short-term power trading is set-up as a one day ahead price auction. The 24 hourly spot prices for the next day are simultaneously settled when the gates close at 12 p.m. noon. Furthermore, substantial relevant information for this price setting mechanism is widely accessible to all market participants. The European Network of Transmission System Operators (ENTSO-E) exemplifies this type of comprehensive data source. The association provided with a legal mandate by the European Union requires its local transmission system operators (TSOs) to publish one day ahead load (i.e. demand) forecasts at least two hours before the gate closure time<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span><a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://transparency.entsoe.eu/" title="">https://transparency.entsoe.eu/</a></span></span></span>. Hence, it seems like a feasible goal to retrace the publicly available data which serves as a lower bound of the information set that wholesale traders make use of to buy and sell electricity<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">4</span>For an extensive discussion of the European electricity spot market design, see <span class="ltx_ERROR undefined" id="footnote4.1">\textcite</span>Bichler.2021</span></span></span>. <br class="ltx_break"/>On the other hand, there are clear economic motives for this modeling and forecasting task. Firstly, electricity still can not be stored efficiently. Therefore, demand spikes result in potentially untempered spot price fluctuations (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Liebl.2013</span>]</cite>). Secondly, increasing shares of renewable energy sources in the European electricity mix make the power generation more volatile which directly impacts energy price volatility (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Lago.2021</span>]</cite>). Modeling these relationships is therefore a promising avenue to achieve accurate price forecasts. Precise predictions, in turn, create substantial economic value across the market: individual generators can optimize their production schedules to maximize profits during high-price periods, large industrial consumers can shift energy-intensive operations to lower-price intervals to reduce costs, and traders can identify profitable arbitrage opportunities between day-ahead and real-time markets, enhancing overall market liquidity and efficiency. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="450" id="S6.F2.g1" src="x2.png" width="525"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F2.3.1.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.F2.4.2" style="font-size:90%;">Energy market variables from the German EPEX-DE data set provided by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.F2.4.2.1">\textcite</span>Lago.2021. Each plot consists of 100 consecutive daily sample curves.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S6.p2"> <p class="ltx_p" id="S6.p2.10">Following from the simultaneous auction based price setting, electricity spot prices are usually considered 24-dimensional multivariate time series (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Uniejewski.2016</span>]</cite>). However, neighboring data points are highly correlated and plots reveal that inter-day price data can be considered functional observations with regard to some intra-day time unit (e.g. hours, minutes, seconds, etc.). Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F2" title="Figure 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> shows 100 sample functions for three different energy market related variables to highlight this point. Hence, we model spot prices using our functional factor regression approach. The goal is not only to forecast but specifically reveal and interpret conditional correlation structures in this market through statistical inference. While our consistently estimated model parameters in combination with the novel central limit theorem allow for this task, alternative estimation techniques like regularization methods which are necessary to handle the high-dimensional data are often hardly interpretable and require additional post-estimation steps for valid inference (see, for example, <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p2.10.1">\textcite</span>Lee.2016). <br class="ltx_break"/>The data set we consider is provided by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p2.10.2">\textcite</span>Lago.2021. The "open-access benchmark" energy data set that entails relevant regressor variables for five different power markets. Focusing on the German electricity market first, the data spans 2184 days (i.e. six 364-day "years") between 2012 and 2017. In our forecasting exercise, the first four years are assigned to model training and the remaining two years are used for forecast evaluation. Besides the hourly spot prices obtained from the European Power Exchange (EPEX), two exogenous regressors observed at the same frequency are available. Firstly, the day ahead load forecast in the TSO Amprion zone which mainly covers the whole of Western Germany. Load is a measure of the power absorbed by all installations connected to the transmission or distribution network. In economic terms, it can be understood as electricity consumption or demand. As described above, this day-ahead demand forecast is publicly available on the ENTSO-E transparency platform two hours before each daily auction. Secondly, the data set provides day ahead wind and solar generation forecasts in the three largest TSO zones. The variable is a supply-side measure and freely available on the system operators’ websites. <br class="ltx_break"/>We set up the following fully-functional regression model in order to study German electricity spot prices:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx13"> <tbody id="S6.E26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell" colspan="2"><math alttext="\displaystyle\begin{split}P_{t}(r)={}&w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\int_{0}^{1}% \varphi_{1}(r,s)P_{t-1}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\varphi_{2}(r,s)P_{t-2}\left(s% \right)\,ds+\int_{0}^{1}\varphi_{5}(r,s)P_{t-5}(s)\,ds\\ &+\int_{0}^{1}\beta_{1,1}(r,s)L_{t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{1,2}(r,s)L_{t-1}% (s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{1,5}(r,s)L_{t-5}(s)\,ds\\ &+\int_{0}^{1}\beta_{2,1}(r,s)G_{t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2,2}(r,s)G_{t-1}% (s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2,5}(r,s)G_{t-5}(s)\,ds+u_{t}(r).\\ \end{split}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.E26.m1.184"><semantics id="S6.E26.m1.184a"><mtable columnspacing="0pt" id="S6.E26.m1.184.184.2" rowspacing="0pt"><mtr id="S6.E26.m1.184.184.2a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S6.E26.m1.184.184.2b"><mrow id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a"><mrow id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7"><msub id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.2"><mi id="S6.E26.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S6.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">P</mi><mi id="S6.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S6.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.3"><mo id="S6.E26.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S6.E26.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">=</mo><mi id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.8" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E26.m1.184.184.2c"><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a"><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.62"><msubsup id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.62.2"><mi id="S6.E26.m1.7.7.7.7.1.1" xref="S6.E26.m1.7.7.7.7.1.1.cmml">w</mi><mi id="S6.E26.m1.8.8.8.8.2.2.1" xref="S6.E26.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.9.9.9.9.3.3.1" xref="S6.E26.m1.9.9.9.9.3.3.1.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.62.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S6.E26.m1.10.10.10.10.4.4" xref="S6.E26.m1.10.10.10.10.4.4.cmml">α</mi><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.62.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.62.3"><mo id="S6.E26.m1.11.11.11.11.5.5" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.12.12.12.12.6.6" xref="S6.E26.m1.12.12.12.12.6.6.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.13.13.13.13.7.7" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8" xref="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.1"><msubsup id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.1a"><mo id="S6.E26.m1.15.15.15.15.9.9" xref="S6.E26.m1.15.15.15.15.9.9.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.16.16.16.16.10.10.1" xref="S6.E26.m1.16.16.16.16.10.10.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.17.17.17.17.11.11.1" xref="S6.E26.m1.17.17.17.17.11.11.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2"><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.2"><mi id="S6.E26.m1.18.18.18.18.12.12" xref="S6.E26.m1.18.18.18.18.12.12.cmml">φ</mi><mn id="S6.E26.m1.19.19.19.19.13.13.1" xref="S6.E26.m1.19.19.19.19.13.13.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.3"><mo id="S6.E26.m1.20.20.20.20.14.14" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.21.21.21.21.15.15" xref="S6.E26.m1.21.21.21.21.15.15.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.22.22.22.22.16.16" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.23.23.23.23.17.17" xref="S6.E26.m1.23.23.23.23.17.17.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.24.24.24.24.18.18" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.4"><mi id="S6.E26.m1.25.25.25.25.19.19" xref="S6.E26.m1.25.25.25.25.19.19.cmml">P</mi><mrow id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.2" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.1" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.3" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.5"><mo id="S6.E26.m1.27.27.27.27.21.21" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.28.28.28.28.22.22" xref="S6.E26.m1.28.28.28.28.22.22.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.29.29.29.29.23.23" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.63.2.6"><mo id="S6.E26.m1.30.30.30.30.24.24" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.30.30.30.30.24.24.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.31.31.31.31.25.25" xref="S6.E26.m1.31.31.31.31.25.25.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8a" xref="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.1"><msubsup id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.1a"><mo id="S6.E26.m1.33.33.33.33.27.27" xref="S6.E26.m1.33.33.33.33.27.27.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.34.34.34.34.28.28.1" xref="S6.E26.m1.34.34.34.34.28.28.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.35.35.35.35.29.29.1" xref="S6.E26.m1.35.35.35.35.29.29.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2"><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.2"><mi id="S6.E26.m1.36.36.36.36.30.30" xref="S6.E26.m1.36.36.36.36.30.30.cmml">φ</mi><mn id="S6.E26.m1.37.37.37.37.31.31.1" xref="S6.E26.m1.37.37.37.37.31.31.1.cmml">2</mn></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.3"><mo id="S6.E26.m1.38.38.38.38.32.32" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.39.39.39.39.33.33" xref="S6.E26.m1.39.39.39.39.33.33.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.40.40.40.40.34.34" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.41.41.41.41.35.35" xref="S6.E26.m1.41.41.41.41.35.35.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.42.42.42.42.36.36" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.4"><mi id="S6.E26.m1.43.43.43.43.37.37" xref="S6.E26.m1.43.43.43.43.37.37.cmml">P</mi><mrow id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.2" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.1" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.3" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.5"><mo id="S6.E26.m1.45.45.45.45.39.39" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.46.46.46.46.40.40" xref="S6.E26.m1.46.46.46.46.40.40.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.47.47.47.47.41.41" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.64.2.6"><mo id="S6.E26.m1.48.48.48.48.42.42" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.48.48.48.48.42.42.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.49.49.49.49.43.43" xref="S6.E26.m1.49.49.49.49.43.43.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8b" xref="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.1"><msubsup id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.1a"><mo id="S6.E26.m1.51.51.51.51.45.45" xref="S6.E26.m1.51.51.51.51.45.45.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.52.52.52.52.46.46.1" xref="S6.E26.m1.52.52.52.52.46.46.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.53.53.53.53.47.47.1" xref="S6.E26.m1.53.53.53.53.47.47.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2"><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.2"><mi id="S6.E26.m1.54.54.54.54.48.48" xref="S6.E26.m1.54.54.54.54.48.48.cmml">φ</mi><mn id="S6.E26.m1.55.55.55.55.49.49.1" xref="S6.E26.m1.55.55.55.55.49.49.1.cmml">5</mn></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.3"><mo id="S6.E26.m1.56.56.56.56.50.50" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.57.57.57.57.51.51" xref="S6.E26.m1.57.57.57.57.51.51.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.58.58.58.58.52.52" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.59.59.59.59.53.53" xref="S6.E26.m1.59.59.59.59.53.53.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.60.60.60.60.54.54" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.4"><mi id="S6.E26.m1.61.61.61.61.55.55" xref="S6.E26.m1.61.61.61.61.55.55.cmml">P</mi><mrow id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.2" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.1" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.3" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.3.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.5"><mo id="S6.E26.m1.63.63.63.63.57.57" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.64.64.64.64.58.58" xref="S6.E26.m1.64.64.64.64.58.58.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.65.65.65.65.59.59" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61a.65.2.6"><mo id="S6.E26.m1.66.66.66.66.60.60" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.66.66.66.66.60.60.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61.61" xref="S6.E26.m1.67.67.67.67.61.61.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E26.m1.184.184.2d"><mtd id="S6.E26.m1.184.184.2e" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E26.m1.184.184.2f"><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a"><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55"><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.1"><msubsup id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.1a"><mo id="S6.E26.m1.69.69.69.2.2.2" xref="S6.E26.m1.69.69.69.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.70.70.70.3.3.3.1" xref="S6.E26.m1.70.70.70.3.3.3.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.71.71.71.4.4.4.1" xref="S6.E26.m1.71.71.71.4.4.4.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2"><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.2"><mi id="S6.E26.m1.72.72.72.5.5.5" xref="S6.E26.m1.72.72.72.5.5.5.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.4" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.1" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.4.1" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.2" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.3"><mo id="S6.E26.m1.74.74.74.7.7.7" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.75.75.75.8.8.8" xref="S6.E26.m1.75.75.75.8.8.8.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.76.76.76.9.9.9" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.77.77.77.10.10.10" xref="S6.E26.m1.77.77.77.10.10.10.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.78.78.78.11.11.11" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.4"><mi id="S6.E26.m1.79.79.79.12.12.12" xref="S6.E26.m1.79.79.79.12.12.12.cmml">L</mi><mi id="S6.E26.m1.80.80.80.13.13.13.1" xref="S6.E26.m1.80.80.80.13.13.13.1.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.5"><mo id="S6.E26.m1.81.81.81.14.14.14" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.82.82.82.15.15.15" xref="S6.E26.m1.82.82.82.15.15.15.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.83.83.83.16.16.16" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.55.1.2.6"><mo id="S6.E26.m1.84.84.84.17.17.17" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.84.84.84.17.17.17.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.85.85.85.18.18.18" xref="S6.E26.m1.85.85.85.18.18.18.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.86.86.86.19.19.19" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.1"><msubsup id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.1a"><mo id="S6.E26.m1.87.87.87.20.20.20" xref="S6.E26.m1.87.87.87.20.20.20.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.88.88.88.21.21.21.1" xref="S6.E26.m1.88.88.88.21.21.21.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.89.89.89.22.22.22.1" xref="S6.E26.m1.89.89.89.22.22.22.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2"><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.2"><mi id="S6.E26.m1.90.90.90.23.23.23" xref="S6.E26.m1.90.90.90.23.23.23.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.4" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.1" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.4.1" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.2" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.3"><mo id="S6.E26.m1.92.92.92.25.25.25" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.93.93.93.26.26.26" xref="S6.E26.m1.93.93.93.26.26.26.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.94.94.94.27.27.27" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.95.95.95.28.28.28" xref="S6.E26.m1.95.95.95.28.28.28.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.96.96.96.29.29.29" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.4"><mi id="S6.E26.m1.97.97.97.30.30.30" xref="S6.E26.m1.97.97.97.30.30.30.cmml">L</mi><mrow id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.2" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.1" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.3" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.5"><mo id="S6.E26.m1.99.99.99.32.32.32" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.100.100.100.33.33.33" xref="S6.E26.m1.100.100.100.33.33.33.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.101.101.101.34.34.34" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.56.2.6"><mo id="S6.E26.m1.102.102.102.35.35.35" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.102.102.102.35.35.35.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.103.103.103.36.36.36" xref="S6.E26.m1.103.103.103.36.36.36.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.86.86.86.19.19.19a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.1"><msubsup id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.1a"><mo id="S6.E26.m1.105.105.105.38.38.38" xref="S6.E26.m1.105.105.105.38.38.38.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.106.106.106.39.39.39.1" xref="S6.E26.m1.106.106.106.39.39.39.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.107.107.107.40.40.40.1" xref="S6.E26.m1.107.107.107.40.40.40.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2"><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.2"><mi id="S6.E26.m1.108.108.108.41.41.41" xref="S6.E26.m1.108.108.108.41.41.41.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.4" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.1" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.4.1" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.2" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.2.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.3"><mo id="S6.E26.m1.110.110.110.43.43.43" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.111.111.111.44.44.44" xref="S6.E26.m1.111.111.111.44.44.44.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.112.112.112.45.45.45" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.113.113.113.46.46.46" xref="S6.E26.m1.113.113.113.46.46.46.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.114.114.114.47.47.47" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.4"><mi id="S6.E26.m1.115.115.115.48.48.48" xref="S6.E26.m1.115.115.115.48.48.48.cmml">L</mi><mrow id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.2" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.1" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.3" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.3.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.5"><mo id="S6.E26.m1.117.117.117.50.50.50" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.118.118.118.51.51.51" xref="S6.E26.m1.118.118.118.51.51.51.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.119.119.119.52.52.52" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54a.57.2.6"><mo id="S6.E26.m1.120.120.120.53.53.53" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.120.120.120.53.53.53.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54.54" xref="S6.E26.m1.121.121.121.54.54.54.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S6.E26.m1.184.184.2g"><mtd id="S6.E26.m1.184.184.2h" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S6.E26.m1.184.184.2i"><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62"><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1"><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1"><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.1"><msubsup id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.1a"><mo id="S6.E26.m1.123.123.123.2.2.2" xref="S6.E26.m1.123.123.123.2.2.2.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.124.124.124.3.3.3.1" xref="S6.E26.m1.124.124.124.3.3.3.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.125.125.125.4.4.4.1" xref="S6.E26.m1.125.125.125.4.4.4.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2"><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.2"><mi id="S6.E26.m1.126.126.126.5.5.5" xref="S6.E26.m1.126.126.126.5.5.5.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.4" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.1" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.4.1" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.2" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.3"><mo id="S6.E26.m1.128.128.128.7.7.7" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.129.129.129.8.8.8" xref="S6.E26.m1.129.129.129.8.8.8.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.130.130.130.9.9.9" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.131.131.131.10.10.10" xref="S6.E26.m1.131.131.131.10.10.10.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.132.132.132.11.11.11" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.4"><mi id="S6.E26.m1.133.133.133.12.12.12" xref="S6.E26.m1.133.133.133.12.12.12.cmml">G</mi><mi id="S6.E26.m1.134.134.134.13.13.13.1" xref="S6.E26.m1.134.134.134.13.13.13.1.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.5"><mo id="S6.E26.m1.135.135.135.14.14.14" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.136.136.136.15.15.15" xref="S6.E26.m1.136.136.136.15.15.15.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.137.137.137.16.16.16" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.1.1.2.6"><mo id="S6.E26.m1.138.138.138.17.17.17" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.138.138.138.17.17.17.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.139.139.139.18.18.18" xref="S6.E26.m1.139.139.139.18.18.18.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.140.140.140.19.19.19" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.1"><msubsup id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.1a"><mo id="S6.E26.m1.141.141.141.20.20.20" xref="S6.E26.m1.141.141.141.20.20.20.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.142.142.142.21.21.21.1" xref="S6.E26.m1.142.142.142.21.21.21.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.143.143.143.22.22.22.1" xref="S6.E26.m1.143.143.143.22.22.22.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2"><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.2"><mi id="S6.E26.m1.144.144.144.23.23.23" xref="S6.E26.m1.144.144.144.23.23.23.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.4" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.1" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.4.1" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.2" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.3"><mo id="S6.E26.m1.146.146.146.25.25.25" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.147.147.147.26.26.26" xref="S6.E26.m1.147.147.147.26.26.26.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.148.148.148.27.27.27" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.149.149.149.28.28.28" xref="S6.E26.m1.149.149.149.28.28.28.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.150.150.150.29.29.29" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.4"><mi id="S6.E26.m1.151.151.151.30.30.30" xref="S6.E26.m1.151.151.151.30.30.30.cmml">G</mi><mrow id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.2" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.1" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.3" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.5"><mo id="S6.E26.m1.153.153.153.32.32.32" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.154.154.154.33.33.33" xref="S6.E26.m1.154.154.154.33.33.33.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.155.155.155.34.34.34" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.2.2.6"><mo id="S6.E26.m1.156.156.156.35.35.35" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.156.156.156.35.35.35.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.157.157.157.36.36.36" xref="S6.E26.m1.157.157.157.36.36.36.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.140.140.140.19.19.19a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3"><mstyle displaystyle="true" id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.1"><msubsup id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.1a"><mo id="S6.E26.m1.159.159.159.38.38.38" xref="S6.E26.m1.159.159.159.38.38.38.cmml">∫</mo><mn id="S6.E26.m1.160.160.160.39.39.39.1" xref="S6.E26.m1.160.160.160.39.39.39.1.cmml">0</mn><mn id="S6.E26.m1.161.161.161.40.40.40.1" xref="S6.E26.m1.161.161.161.40.40.40.1.cmml">1</mn></msubsup></mstyle><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2"><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.2"><mi id="S6.E26.m1.162.162.162.41.41.41" xref="S6.E26.m1.162.162.162.41.41.41.cmml">β</mi><mrow id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.4" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.3.cmml"><mn id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.1" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.4.1" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.3.cmml">,</mo><mn id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.2" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.2.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.3"><mo id="S6.E26.m1.164.164.164.43.43.43" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.165.165.165.44.44.44" xref="S6.E26.m1.165.165.165.44.44.44.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.166.166.166.45.45.45" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S6.E26.m1.167.167.167.46.46.46" xref="S6.E26.m1.167.167.167.46.46.46.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.168.168.168.47.47.47" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.1a" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.4"><mi id="S6.E26.m1.169.169.169.48.48.48" xref="S6.E26.m1.169.169.169.48.48.48.cmml">G</mi><mrow id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.cmml"><mi id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.2" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.2.cmml">t</mi><mo id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.1" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.1.cmml">−</mo><mn id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.3" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.3.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.1b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.5"><mo id="S6.E26.m1.171.171.171.50.50.50" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.172.172.172.51.51.51" xref="S6.E26.m1.172.172.172.51.51.51.cmml">s</mi><mo id="S6.E26.m1.173.173.173.52.52.52" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.3.2.6"><mo id="S6.E26.m1.174.174.174.53.53.53" rspace="0em" xref="S6.E26.m1.174.174.174.53.53.53.cmml">𝑑</mo><mi id="S6.E26.m1.175.175.175.54.54.54" xref="S6.E26.m1.175.175.175.54.54.54.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.140.140.140.19.19.19b" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.4"><msub id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.4.2"><mi id="S6.E26.m1.177.177.177.56.56.56" xref="S6.E26.m1.177.177.177.56.56.56.cmml">u</mi><mi id="S6.E26.m1.178.178.178.57.57.57.1" xref="S6.E26.m1.178.178.178.57.57.57.1.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.4.1" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.E26.m1.184.184.2.183.62.62.62.1.4.3"><mo id="S6.E26.m1.179.179.179.58.58.58" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S6.E26.m1.180.180.180.59.59.59" xref="S6.E26.m1.180.180.180.59.59.59.cmml">r</mi><mo id="S6.E26.m1.181.181.181.60.60.60" stretchy="false" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S6.E26.m1.182.182.182.61.61.61" lspace="0em" xref="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.E26.m1.184b"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><eq id="S6.E26.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6.6"></eq><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.1.1.1.1.1.1">𝑃</ci><ci id="S6.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.2.2.2.2.2.2.1">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S6.E26.m1.4.4.4.4.4.4">𝑟</ci></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><plus id="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8.cmml" xref="S6.E26.m1.14.14.14.14.8.8"></plus><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.7.7.7.7.1.1">𝑤</ci><ci id="S6.E26.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.8.8.8.8.2.2.1">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.9.9.9.9.3.3.1.cmml" xref="S6.E26.m1.9.9.9.9.3.3.1">′</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.10.10.10.10.4.4.cmml" xref="S6.E26.m1.10.10.10.10.4.4">𝛼</ci><ci id="S6.E26.m1.12.12.12.12.6.6.cmml" xref="S6.E26.m1.12.12.12.12.6.6">𝑟</ci></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.15.15.15.15.9.9.cmml" xref="S6.E26.m1.15.15.15.15.9.9"></int><cn id="S6.E26.m1.16.16.16.16.10.10.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.16.16.16.16.10.10.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.17.17.17.17.11.11.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.17.17.17.17.11.11.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.18.18.18.18.12.12.cmml" xref="S6.E26.m1.18.18.18.18.12.12">𝜑</ci><cn id="S6.E26.m1.19.19.19.19.13.13.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.19.19.19.19.13.13.1">1</cn></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.21.21.21.21.15.15.cmml" xref="S6.E26.m1.21.21.21.21.15.15">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.23.23.23.23.17.17.cmml" xref="S6.E26.m1.23.23.23.23.17.17">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.25.25.25.25.19.19.cmml" xref="S6.E26.m1.25.25.25.25.19.19">𝑃</ci><apply id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.cmml" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1"><minus id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.26.26.26.26.20.20.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.28.28.28.28.22.22.cmml" xref="S6.E26.m1.28.28.28.28.22.22">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.3.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.30.30.30.30.24.24.cmml" xref="S6.E26.m1.30.30.30.30.24.24">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.31.31.31.31.25.25.cmml" xref="S6.E26.m1.31.31.31.31.25.25">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.33.33.33.33.27.27.cmml" xref="S6.E26.m1.33.33.33.33.27.27"></int><cn id="S6.E26.m1.34.34.34.34.28.28.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.34.34.34.34.28.28.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.35.35.35.35.29.29.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.35.35.35.35.29.29.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.36.36.36.36.30.30.cmml" xref="S6.E26.m1.36.36.36.36.30.30">𝜑</ci><cn id="S6.E26.m1.37.37.37.37.31.31.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.37.37.37.37.31.31.1">2</cn></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.39.39.39.39.33.33.cmml" xref="S6.E26.m1.39.39.39.39.33.33">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.41.41.41.41.35.35.cmml" xref="S6.E26.m1.41.41.41.41.35.35">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.43.43.43.43.37.37.cmml" xref="S6.E26.m1.43.43.43.43.37.37">𝑃</ci><apply id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.cmml" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1"><minus id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.44.44.44.44.38.38.1.3">2</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.46.46.46.46.40.40.cmml" xref="S6.E26.m1.46.46.46.46.40.40">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.4.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.48.48.48.48.42.42.cmml" xref="S6.E26.m1.48.48.48.48.42.42">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.49.49.49.49.43.43.cmml" xref="S6.E26.m1.49.49.49.49.43.43">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.51.51.51.51.45.45.cmml" xref="S6.E26.m1.51.51.51.51.45.45"></int><cn id="S6.E26.m1.52.52.52.52.46.46.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.52.52.52.52.46.46.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.53.53.53.53.47.47.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.53.53.53.53.47.47.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.54.54.54.54.48.48.cmml" xref="S6.E26.m1.54.54.54.54.48.48">𝜑</ci><cn id="S6.E26.m1.55.55.55.55.49.49.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.55.55.55.55.49.49.1">5</cn></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.57.57.57.57.51.51.cmml" xref="S6.E26.m1.57.57.57.57.51.51">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.59.59.59.59.53.53.cmml" xref="S6.E26.m1.59.59.59.59.53.53">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.61.61.61.61.55.55.cmml" xref="S6.E26.m1.61.61.61.61.55.55">𝑃</ci><apply id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.cmml" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1"><minus id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.62.62.62.62.56.56.1.3">5</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.64.64.64.64.58.58.cmml" xref="S6.E26.m1.64.64.64.64.58.58">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.5.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.66.66.66.66.60.60.cmml" xref="S6.E26.m1.66.66.66.66.60.60">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.67.67.67.67.61.61.cmml" xref="S6.E26.m1.67.67.67.67.61.61">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.69.69.69.2.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.69.69.69.2.2.2"></int><cn id="S6.E26.m1.70.70.70.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.70.70.70.3.3.3.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.71.71.71.4.4.4.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.71.71.71.4.4.4.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.72.72.72.5.5.5.cmml" xref="S6.E26.m1.72.72.72.5.5.5">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.4"><cn id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.1">1</cn><cn id="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.73.73.73.6.6.6.1.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.75.75.75.8.8.8.cmml" xref="S6.E26.m1.75.75.75.8.8.8">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.77.77.77.10.10.10.cmml" xref="S6.E26.m1.77.77.77.10.10.10">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.79.79.79.12.12.12.cmml" xref="S6.E26.m1.79.79.79.12.12.12">𝐿</ci><ci id="S6.E26.m1.80.80.80.13.13.13.1.cmml" xref="S6.E26.m1.80.80.80.13.13.13.1">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.82.82.82.15.15.15.cmml" xref="S6.E26.m1.82.82.82.15.15.15">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.6.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.84.84.84.17.17.17.cmml" xref="S6.E26.m1.84.84.84.17.17.17">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.85.85.85.18.18.18.cmml" xref="S6.E26.m1.85.85.85.18.18.18">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.87.87.87.20.20.20.cmml" xref="S6.E26.m1.87.87.87.20.20.20"></int><cn id="S6.E26.m1.88.88.88.21.21.21.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.88.88.88.21.21.21.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.89.89.89.22.22.22.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.89.89.89.22.22.22.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.90.90.90.23.23.23.cmml" xref="S6.E26.m1.90.90.90.23.23.23">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.4"><cn id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.1">1</cn><cn id="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.91.91.91.24.24.24.1.2">2</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.93.93.93.26.26.26.cmml" xref="S6.E26.m1.93.93.93.26.26.26">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.95.95.95.28.28.28.cmml" xref="S6.E26.m1.95.95.95.28.28.28">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.97.97.97.30.30.30.cmml" xref="S6.E26.m1.97.97.97.30.30.30">𝐿</ci><apply id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.cmml" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1"><minus id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.98.98.98.31.31.31.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.100.100.100.33.33.33.cmml" xref="S6.E26.m1.100.100.100.33.33.33">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.7.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.102.102.102.35.35.35.cmml" xref="S6.E26.m1.102.102.102.35.35.35">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.103.103.103.36.36.36.cmml" xref="S6.E26.m1.103.103.103.36.36.36">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.105.105.105.38.38.38.cmml" xref="S6.E26.m1.105.105.105.38.38.38"></int><cn id="S6.E26.m1.106.106.106.39.39.39.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.106.106.106.39.39.39.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.107.107.107.40.40.40.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.107.107.107.40.40.40.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.108.108.108.41.41.41.cmml" xref="S6.E26.m1.108.108.108.41.41.41">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.4"><cn id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.1">1</cn><cn id="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.109.109.109.42.42.42.1.2">5</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.111.111.111.44.44.44.cmml" xref="S6.E26.m1.111.111.111.44.44.44">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.113.113.113.46.46.46.cmml" xref="S6.E26.m1.113.113.113.46.46.46">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.115.115.115.48.48.48.cmml" xref="S6.E26.m1.115.115.115.48.48.48">𝐿</ci><apply id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.cmml" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1"><minus id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.116.116.116.49.49.49.1.3">5</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.118.118.118.51.51.51.cmml" xref="S6.E26.m1.118.118.118.51.51.51">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.8.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.120.120.120.53.53.53.cmml" xref="S6.E26.m1.120.120.120.53.53.53">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.121.121.121.54.54.54.cmml" xref="S6.E26.m1.121.121.121.54.54.54">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.123.123.123.2.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.123.123.123.2.2.2"></int><cn id="S6.E26.m1.124.124.124.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.124.124.124.3.3.3.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.125.125.125.4.4.4.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.125.125.125.4.4.4.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.126.126.126.5.5.5.cmml" xref="S6.E26.m1.126.126.126.5.5.5">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.4"><cn id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.1">2</cn><cn id="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.127.127.127.6.6.6.1.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.129.129.129.8.8.8.cmml" xref="S6.E26.m1.129.129.129.8.8.8">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.131.131.131.10.10.10.cmml" xref="S6.E26.m1.131.131.131.10.10.10">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.133.133.133.12.12.12.cmml" xref="S6.E26.m1.133.133.133.12.12.12">𝐺</ci><ci id="S6.E26.m1.134.134.134.13.13.13.1.cmml" xref="S6.E26.m1.134.134.134.13.13.13.1">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.136.136.136.15.15.15.cmml" xref="S6.E26.m1.136.136.136.15.15.15">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.9.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.138.138.138.17.17.17.cmml" xref="S6.E26.m1.138.138.138.17.17.17">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.139.139.139.18.18.18.cmml" xref="S6.E26.m1.139.139.139.18.18.18">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.141.141.141.20.20.20.cmml" xref="S6.E26.m1.141.141.141.20.20.20"></int><cn id="S6.E26.m1.142.142.142.21.21.21.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.142.142.142.21.21.21.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.143.143.143.22.22.22.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.143.143.143.22.22.22.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.144.144.144.23.23.23.cmml" xref="S6.E26.m1.144.144.144.23.23.23">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.4"><cn id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.1">2</cn><cn id="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.145.145.145.24.24.24.1.2">2</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.147.147.147.26.26.26.cmml" xref="S6.E26.m1.147.147.147.26.26.26">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.149.149.149.28.28.28.cmml" xref="S6.E26.m1.149.149.149.28.28.28">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.151.151.151.30.30.30.cmml" xref="S6.E26.m1.151.151.151.30.30.30">𝐺</ci><apply id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.cmml" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1"><minus id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.152.152.152.31.31.31.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.154.154.154.33.33.33.cmml" xref="S6.E26.m1.154.154.154.33.33.33">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.10.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.156.156.156.35.35.35.cmml" xref="S6.E26.m1.156.156.156.35.35.35">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.157.157.157.36.36.36.cmml" xref="S6.E26.m1.157.157.157.36.36.36">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">superscript</csymbol><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.1.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><int id="S6.E26.m1.159.159.159.38.38.38.cmml" xref="S6.E26.m1.159.159.159.38.38.38"></int><cn id="S6.E26.m1.160.160.160.39.39.39.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.160.160.160.39.39.39.1">0</cn></apply><cn id="S6.E26.m1.161.161.161.40.40.40.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.161.161.161.40.40.40.1">1</cn></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.162.162.162.41.41.41.cmml" xref="S6.E26.m1.162.162.162.41.41.41">𝛽</ci><list id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.3.cmml" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.4"><cn id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.1">2</cn><cn id="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.2.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.163.163.163.42.42.42.1.2">5</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.3.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><ci id="S6.E26.m1.165.165.165.44.44.44.cmml" xref="S6.E26.m1.165.165.165.44.44.44">𝑟</ci><ci id="S6.E26.m1.167.167.167.46.46.46.cmml" xref="S6.E26.m1.167.167.167.46.46.46">𝑠</ci></interval><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.4.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.4.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.169.169.169.48.48.48.cmml" xref="S6.E26.m1.169.169.169.48.48.48">𝐺</ci><apply id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.cmml" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1"><minus id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.1.cmml" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.1"></minus><ci id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.2.cmml" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.2">𝑡</ci><cn id="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.E26.m1.170.170.170.49.49.49.1.3">5</cn></apply></apply><ci id="S6.E26.m1.172.172.172.51.51.51.cmml" xref="S6.E26.m1.172.172.172.51.51.51">𝑠</ci><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.11.2.6.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="latexml" id="S6.E26.m1.174.174.174.53.53.53.cmml" xref="S6.E26.m1.174.174.174.53.53.53">differential-d</csymbol><ci id="S6.E26.m1.175.175.175.54.54.54.cmml" xref="S6.E26.m1.175.175.175.54.54.54">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.12.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><times id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.12.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"></times><apply id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.12.2.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.E26.m1.183.183.1.1.1.3.12.2.1.cmml" xref="S6.E26.m1.6.6.6.6.6a.7.1">subscript</csymbol><ci id="S6.E26.m1.177.177.177.56.56.56.cmml" xref="S6.E26.m1.177.177.177.56.56.56">𝑢</ci><ci id="S6.E26.m1.178.178.178.57.57.57.1.cmml" xref="S6.E26.m1.178.178.178.57.57.57.1">𝑡</ci></apply><ci id="S6.E26.m1.180.180.180.59.59.59.cmml" xref="S6.E26.m1.180.180.180.59.59.59">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.E26.m1.184c">\displaystyle\begin{split}P_{t}(r)={}&w_{t}^{\prime}\alpha(r)+\int_{0}^{1}% \varphi_{1}(r,s)P_{t-1}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\varphi_{2}(r,s)P_{t-2}\left(s% \right)\,ds+\int_{0}^{1}\varphi_{5}(r,s)P_{t-5}(s)\,ds\\ &+\int_{0}^{1}\beta_{1,1}(r,s)L_{t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{1,2}(r,s)L_{t-1}% (s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{1,5}(r,s)L_{t-5}(s)\,ds\\ &+\int_{0}^{1}\beta_{2,1}(r,s)G_{t}(s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2,2}(r,s)G_{t-1}% (s)\,ds+\int_{0}^{1}\beta_{2,5}(r,s)G_{t-5}(s)\,ds+u_{t}(r).\\ \end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.E26.m1.184d">start_ROW start_CELL italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = end_CELL start_CELL italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α ( italic_r ) + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_φ start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 , 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 2 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 2 , 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT 2 , 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S6.p2.9"><math alttext="P_{t}\left(r\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.1.m1.1"><semantics id="S6.p2.1.m1.1a"><mrow id="S6.p2.1.m1.1.2" xref="S6.p2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S6.p2.1.m1.1.2.2" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S6.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.p2.1.m1.1.2.1" xref="S6.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.p2.1.m1.1.2.3.2.1" xref="S6.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p2.1.m1.1.1" xref="S6.p2.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S6.p2.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S6.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.1.m1.1b"><apply id="S6.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2"><times id="S6.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S6.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p2.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.1.m1.1c">P_{t}\left(r\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> describes the daily price curve, <math alttext="L_{t}\left(s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.2.m2.1"><semantics id="S6.p2.2.m2.1a"><mrow id="S6.p2.2.m2.1.2" xref="S6.p2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S6.p2.2.m2.1.2.2" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="S6.p2.2.m2.1.2.2.3" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.p2.2.m2.1.2.1" xref="S6.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S6.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S6.p2.2.m2.1.2.3.2.1" xref="S6.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p2.2.m2.1.1" xref="S6.p2.2.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="S6.p2.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S6.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.2.m2.1b"><apply id="S6.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2"><times id="S6.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S6.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="S6.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p2.2.m2.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.2.m2.1c">L_{t}\left(s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is the curve of load forecasts for day <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.3.m3.1"><semantics id="S6.p2.3.m3.1a"><mi id="S6.p2.3.m3.1.1" xref="S6.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.3.m3.1b"><ci id="S6.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> available one day before, <math alttext="G_{t}\left(s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.4.m4.1"><semantics id="S6.p2.4.m4.1a"><mrow id="S6.p2.4.m4.1.2" xref="S6.p2.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S6.p2.4.m4.1.2.2" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S6.p2.4.m4.1.2.2.2" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S6.p2.4.m4.1.2.2.3" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.p2.4.m4.1.2.1" xref="S6.p2.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.p2.4.m4.1.2.3.2" xref="S6.p2.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S6.p2.4.m4.1.2.3.2.1" xref="S6.p2.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.p2.4.m4.1.1" xref="S6.p2.4.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="S6.p2.4.m4.1.2.3.2.2" xref="S6.p2.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.4.m4.1b"><apply id="S6.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2"><times id="S6.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S6.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S6.p2.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p2.4.m4.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.4.m4.1c">G_{t}\left(s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.4.m4.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is the curve of wind and solar generation forecasts for day <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.5.m5.1"><semantics id="S6.p2.5.m5.1a"><mi id="S6.p2.5.m5.1.1" xref="S6.p2.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.5.m5.1b"><ci id="S6.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.p2.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> available one day before, and <math alttext="w_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.6.m6.1"><semantics id="S6.p2.6.m6.1a"><msub id="S6.p2.6.m6.1.1" xref="S6.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S6.p2.6.m6.1.1.2" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="S6.p2.6.m6.1.1.3" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.6.m6.1b"><apply id="S6.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S6.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S6.p2.6.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.6.m6.1c">w_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.6.m6.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> stores the intercept, as well as one-hot encoded weekday dummies. Because only weekdays are considered in all subsequent analyses, the chosen regressor dynamics are one day lags, two days lags and one week (i.e five days) lags. The intra-day time domains <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.7.m7.1"><semantics id="S6.p2.7.m7.1a"><mi id="S6.p2.7.m7.1.1" xref="S6.p2.7.m7.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.7.m7.1b"><ci id="S6.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S6.p2.7.m7.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.7.m7.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.7.m7.1d">italic_r</annotation></semantics></math> and <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.8.m8.1"><semantics id="S6.p2.8.m8.1a"><mi id="S6.p2.8.m8.1.1" xref="S6.p2.8.m8.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.8.m8.1b"><ci id="S6.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S6.p2.8.m8.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.8.m8.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.8.m8.1d">italic_s</annotation></semantics></math> are scaled to lie on the unit interval <math alttext="[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p2.9.m9.2"><semantics id="S6.p2.9.m9.2a"><mrow id="S6.p2.9.m9.2.3.2" xref="S6.p2.9.m9.2.3.1.cmml"><mo id="S6.p2.9.m9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.p2.9.m9.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S6.p2.9.m9.1.1" xref="S6.p2.9.m9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S6.p2.9.m9.2.3.2.2" xref="S6.p2.9.m9.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S6.p2.9.m9.2.2" xref="S6.p2.9.m9.2.2.cmml">1</mn><mo id="S6.p2.9.m9.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.p2.9.m9.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p2.9.m9.2b"><interval closure="closed" id="S6.p2.9.m9.2.3.1.cmml" xref="S6.p2.9.m9.2.3.2"><cn id="S6.p2.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.p2.9.m9.1.1">0</cn><cn id="S6.p2.9.m9.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.p2.9.m9.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p2.9.m9.2c">[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p2.9.m9.2d">[ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math>. We restrain from normalizing the data in order to provide straight-forward interpretation of the functional regression parameters. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_table" id="S6.T2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S6.T2.14.2.1" style="font-size:90%;">Table 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.T2.2.1" style="font-size:90%;">Results from the functional eigenvalue difference test introduced in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS2" title="4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a> for the nine regressors specified in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). The optimal tuning parameter <math alttext="\gamma=93" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.2.1.m1.1"><semantics id="S6.T2.2.1.m1.1b"><mrow id="S6.T2.2.1.m1.1.1" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.2.1.m1.1.1.2" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S6.T2.2.1.m1.1.1.1" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.T2.2.1.m1.1.1.3" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.3.cmml">93</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.2.1.m1.1c"><apply id="S6.T2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1"><eq id="S6.T2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S6.T2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S6.T2.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.2.1.m1.1.1.3">93</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.2.1.m1.1d">\gamma=93</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.2.1.m1.1e">italic_γ = 93</annotation></semantics></math> was found through cross-validation.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S6.T2.12"> <tr class="ltx_tr" id="S6.T2.11.9"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.11.9.10"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T2.11.9.10.1">Regressor</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.3.1.1"><math alttext="P_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.3.1.1.m1.1"><semantics id="S6.T2.3.1.1.m1.1a"><msub id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.2" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mrow id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.3.1.1.m1.1b"><apply id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.3.1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.3.1.1.m1.1c">P_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.3.1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.4.2.2"><math alttext="P_{t-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.4.2.2.m1.1"><semantics id="S6.T2.4.2.2.m1.1a"><msub id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.2" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mrow id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.4.2.2.m1.1b"><apply id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.4.2.2.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.4.2.2.m1.1c">P_{t-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.4.2.2.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.5.3.3"><math alttext="P_{t-5}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.5.3.3.m1.1"><semantics id="S6.T2.5.3.3.m1.1a"><msub id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.2" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mrow id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.5.3.3.m1.1b"><apply id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.5.3.3.m1.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.5.3.3.m1.1c">P_{t-5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.5.3.3.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.6.4.4"><math alttext="L_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.6.4.4.m1.1"><semantics id="S6.T2.6.4.4.m1.1a"><msub id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.2" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.3" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.6.4.4.m1.1b"><apply id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.6.4.4.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.6.4.4.m1.1c">L_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.6.4.4.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.7.5.5"><math alttext="L_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.7.5.5.m1.1"><semantics id="S6.T2.7.5.5.m1.1a"><msub id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.2" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mrow id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.7.5.5.m1.1b"><apply id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.7.5.5.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.7.5.5.m1.1c">L_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.7.5.5.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.8.6.6"><math alttext="L_{t-5}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.8.6.6.m1.1"><semantics id="S6.T2.8.6.6.m1.1a"><msub id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.2" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mrow id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.8.6.6.m1.1b"><apply id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.8.6.6.m1.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.8.6.6.m1.1c">L_{t-5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.8.6.6.m1.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.9.7.7"><math alttext="G_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.9.7.7.m1.1"><semantics id="S6.T2.9.7.7.m1.1a"><msub id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.2" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.3" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.9.7.7.m1.1b"><apply id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.9.7.7.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.9.7.7.m1.1c">G_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.9.7.7.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.10.8.8"><math alttext="G_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.10.8.8.m1.1"><semantics id="S6.T2.10.8.8.m1.1a"><msub id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.2" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mrow id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.10.8.8.m1.1b"><apply id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.2">𝐺</ci><apply id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.10.8.8.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.10.8.8.m1.1c">G_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.10.8.8.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T2.11.9.9"><math alttext="G_{t-5}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.11.9.9.m1.1"><semantics id="S6.T2.11.9.9.m1.1a"><msub id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.2" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mrow id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.2" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.1" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.3" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.3.cmml">5</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.11.9.9.m1.1b"><apply id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.2">𝐺</ci><apply id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3"><minus id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.T2.11.9.9.m1.1.1.3.3">5</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.11.9.9.m1.1c">G_{t-5}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.11.9.9.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T2.12.10"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.1"><math alttext="\mathbf{\widehat{K}_{ED}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.T2.12.10.1.m1.1"><semantics id="S6.T2.12.10.1.m1.1a"><msub id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.2" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐊</mi><mo id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.1" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.3" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.3.cmml">𝐄𝐃</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.T2.12.10.1.m1.1b"><apply id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2"><ci id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.2.2">𝐊</ci></apply><ci id="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.T2.12.10.1.m1.1.1.3">𝐄𝐃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.T2.12.10.1.m1.1c">\mathbf{\widehat{K}_{ED}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.T2.12.10.1.m1.1d">over^ start_ARG bold_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_ED end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.2">5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.3">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.4">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.5">5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.6">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.7">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.8">5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.9">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T2.12.10.10">3</td> </tr> </table> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S6.p3"> <p class="ltx_p" id="S6.p3.2">The regression model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) is estimated as explained in chapter <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4" title="4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T2" title="Table 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> shows the eigenvalue difference test results for the number of factors <math alttext="K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.1.m1.1"><semantics id="S6.p3.1.m1.1a"><msub id="S6.p3.1.m1.1.1" xref="S6.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p3.1.m1.1.1.2" xref="S6.p3.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="S6.p3.1.m1.1.1.3" xref="S6.p3.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.1.m1.1b"><apply id="S6.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S6.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p3.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.1.m1.1c">K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for each of the nine functional regressors. By splitting the data 60/40 and performing an expanding window cross-validation with regard to the one day ahead forecasting performance, we find an optimal tuning parameter of <math alttext="\gamma=93" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p3.2.m2.1"><semantics id="S6.p3.2.m2.1a"><mrow id="S6.p3.2.m2.1.1" xref="S6.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p3.2.m2.1.1.2" xref="S6.p3.2.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S6.p3.2.m2.1.1.1" xref="S6.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S6.p3.2.m2.1.1.3" xref="S6.p3.2.m2.1.1.3.cmml">93</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p3.2.m2.1b"><apply id="S6.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p3.2.m2.1.1"><eq id="S6.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p3.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S6.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p3.2.m2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S6.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S6.p3.2.m2.1.1.3">93</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p3.2.m2.1c">\gamma=93</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p3.2.m2.1d">italic_γ = 93</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F3"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F3.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S6.F3.sf1.g1" src="x3.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf1.8.3.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><math alttext="\widehat{\varphi}_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf1.4.m1.2"><semantics id="S6.F3.sf1.4.m1.2b"><mrow id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.cmml"><msub id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.1" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.2" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.F3.sf1.4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.F3.sf1.4.m1.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F3.sf1.4.m1.2c"><apply id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3"><times id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.1"></times><apply id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2"><ci id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.3.3.2"><ci id="S6.F3.sf1.4.m1.1.1.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S6.F3.sf1.4.m1.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf1.4.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf1.4.m1.2d">\widehat{\varphi}_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf1.4.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf1.6.2" style="font-size:90%;">: impact of last working day’s price <math alttext="P_{t-1}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1"><semantics id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1b"><mrow id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.1" xref="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf1.5.1.m1.1.2.3.2" 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xref="S6.F3.sf1.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf1.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf1.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F3.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S6.F3.sf2.g1" src="x4.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf2.8.3.1" style="font-size:90%;">((b))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf2.4.m1.4"><semantics id="S6.F3.sf2.4.m1.4b"><mrow id="S6.F3.sf2.4.m1.4.5" xref="S6.F3.sf2.4.m1.4.5.cmml"><msub 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id="S6.F3.sf2.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.F3.sf2.4.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S6.F3.sf2.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.F3.sf2.4.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.F3.sf2.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.F3.sf2.4.m1.4.5.3.2"><ci id="S6.F3.sf2.4.m1.3.3.cmml" xref="S6.F3.sf2.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S6.F3.sf2.4.m1.4.4.cmml" xref="S6.F3.sf2.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf2.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf2.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf2.6.2" style="font-size:90%;">: impact of day-ahead load forecast <math alttext="L_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf2.5.1.m1.1"><semantics id="S6.F3.sf2.5.1.m1.1b"><mrow id="S6.F3.sf2.5.1.m1.1.2" 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xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.1" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.3.2" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.1" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1c"><apply id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2"><times id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.F3.sf2.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf2.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F3.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="664" id="S6.F3.sf3.g1" src="x5.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf3.8.3.1" style="font-size:90%;">((c))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf3.4.m1.4"><semantics id="S6.F3.sf3.4.m1.4b"><mrow id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.cmml"><msub id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.4" xref="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.F3.sf3.4.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.1" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.2" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.F3.sf3.4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.F3.sf3.4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F3.sf3.4.m1.4c"><apply id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5"><times id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.1"></times><apply id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2"><ci id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.4"><cn id="S6.F3.sf3.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.F3.sf3.4.m1.1.1.1.1">2</cn><cn id="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.F3.sf3.4.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.5.3.2"><ci id="S6.F3.sf3.4.m1.3.3.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S6.F3.sf3.4.m1.4.4.cmml" xref="S6.F3.sf3.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf3.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf3.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S6.F3.sf3.6.2" style="font-size:90%;">: impact of day-ahead wind and solar generation forecast <math alttext="G_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1"><semantics id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1b"><mrow id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.2" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.3" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.1" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.3.2" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.1" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1c"><apply id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2"><times id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1d">G_{t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf3.5.1.m1.1e">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on today’s price <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1"><semantics id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1b"><mrow id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.2" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.3" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.1" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.3.2" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.1" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1c"><apply id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2"><times id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.F3.sf3.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F3.sf3.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F3.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.F3.3.2" style="font-size:90%;">Estimated functional regression coefficients of model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). The number of factors chosen to estimate the functional parameters in figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3.sf3" title="In Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(c)</span></a> are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T2" title="Table 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The underlying German power market data spans all working days between 2012 and 2017.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S6.p4"> <p class="ltx_p" id="S6.p4.5">Because the regression coefficients are uni- and bivariate functions, we require a visual interpretation. Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3" title="Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> shows heatmap plots of the three functional slope coefficients associated with <math alttext="P_{t-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.1.m1.1"><semantics id="S6.p4.1.m1.1a"><msub id="S6.p4.1.m1.1.1" xref="S6.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S6.p4.1.m1.1.1.2" xref="S6.p4.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mrow id="S6.p4.1.m1.1.1.3" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S6.p4.1.m1.1.1.3.2" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S6.p4.1.m1.1.1.3.1" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S6.p4.1.m1.1.1.3.3" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.1.m1.1b"><apply id="S6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S6.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3"><minus id="S6.p4.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S6.p4.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><cn id="S6.p4.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S6.p4.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.1.m1.1c">P_{t-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="L_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.2.m2.1"><semantics id="S6.p4.2.m2.1a"><msub id="S6.p4.2.m2.1.1" xref="S6.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S6.p4.2.m2.1.1.2" xref="S6.p4.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S6.p4.2.m2.1.1.3" xref="S6.p4.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.2.m2.1b"><apply id="S6.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S6.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.2.m2.1c">L_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="G_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.3.m3.1"><semantics id="S6.p4.3.m3.1a"><msub id="S6.p4.3.m3.1.1" xref="S6.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S6.p4.3.m3.1.1.2" xref="S6.p4.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mi id="S6.p4.3.m3.1.1.3" xref="S6.p4.3.m3.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.3.m3.1b"><apply id="S6.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S6.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.2">𝐺</ci><ci id="S6.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S6.p4.3.m3.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.3.m3.1c">G_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.3.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The first plot visualizes the impact of yesterday’s spot price at hour <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.4.m4.1"><semantics id="S6.p4.4.m4.1a"><mi id="S6.p4.4.m4.1.1" xref="S6.p4.4.m4.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.4.m4.1b"><ci id="S6.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S6.p4.4.m4.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.4.m4.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.4.m4.1d">italic_s</annotation></semantics></math> on today’s price at hour <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p4.5.m5.1"><semantics id="S6.p4.5.m5.1a"><mi id="S6.p4.5.m5.1.1" xref="S6.p4.5.m5.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p4.5.m5.1b"><ci id="S6.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S6.p4.5.m5.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p4.5.m5.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p4.5.m5.1d">italic_r</annotation></semantics></math> (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3.sf1" title="In Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(a)</span></a>). To begin with, the positive diagonal values indicate price persistence as higher one-day-before prices lead to price increases at the same hour today. At the peak, a 1 Euro per MWh increase in yesterday’s 8 p.m. price leads to an average 4.92 Euro per MWh increase in today’s 7 p.m. price, ceteris paribus. Secondly, the coefficient plot reveals three separately interpretable regions of positive values on the surface. Looking at the red area in the bottom left of the plot, we see that yesterday’s prices between midnight and roughly 7 a.m. mostly impact today’s nighttime prices. The second field is marked by the four peaks at around 8 a.m. and 8 p.m. yesterday and today. Similarly to the first field, this surface shows how working hour electricity prices can mainly be explained by yesterday’s working hour prices. While the 8 p.m. peak is expected, it is striking that the last day’s 8 p.m. evening price is also a strong signal for the next day’s 8 a.m. morning price. Lastly, the coefficient plot shows that the previous day’s last hourly prices heavily influences all prices of the following day which is in line with the "end-of-day effect" described in <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p4.5.1">\textcite</span>Maciejowska.2016 and <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p4.5.2">\textcite</span>Ziel.2016. Since our model already controls for electricity load forecasts and renewable energy generation, the observed price persistence patterns likely reflect market dynamics beyond the merit order effect. The temporal dependencies can stem from several potential mechanisms. Primarily, market participants might use the recent price history as anchoring points for their current bidding strategies. In addition, operational constraints like minimum up/down times and ramping limitations of power plants likely lead to temporal dependencies. The distinct day and night pattern might reflect different market regimes like liquidity differences or changes in the composition of market participants. To validate these findings statistically, Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F4.sf1" title="In Figure 4 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a> presents pointwise p-values from a two-tailed t-test on difference to zero based on our new central limit theorem. The dark red areas within the solid contour lines indicate p-values smaller than 0.01. The test result confirms the significance of three price patterns: same-hour effects, nighttime price links, and end-of-day influences. Hence, our paper delivers support for the end-of-day effect hypothesis beyond the simple interpretation of unconditional correlation structures. <br class="ltx_break"/>The day-ahead load forecast coefficient function (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3.sf2" title="In Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(b)</span></a>) shows how expected demand affects prices. The positive values along the diagonal and its adjacent hours align with economic theory as higher demand forecasts lead to higher prices. Quantitatively, a 1 GW increase in the 8 a.m. load forecast corresponds to an average 21.64 Euro per MWh increase in the contemporaneous spot price, ceteris paribus. While the strongly negative relationship between afternoon load forecasts and night/morning prices appears difficult to interpret, the corresponding p-value heatmap (Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F4.sf2" title="In Figure 4 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a>) indicates that this effect lacks statistical significance. In fact, our inference result reveals that load forecasts overall play a surprisingly minor role in explaining electricity prices when conditioning on renewable energy generation forecasts and lagged prices. <br class="ltx_break"/>Lastly, the supply-side effects are captured by the day-ahead wind and solar generation forecast coefficient function in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F3.sf3" title="In Figure 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3(c)</span></a>. In line with theory, the diagonal shows strongly negative values, indicating that higher renewable forecasts reduce prices in the corresponding hour. The directly adjacent off-diagonals, however, show substantial positive influences, suggesting the presence of ramping costs. This pattern emerges as conventional producers must recover the additional costs incurred from cycling their power plants in response to fluctuating renewable generation. When high renewable output is forecasted, conventional generators face a choice between reducing output and incurring ramping costs, shutting down entirely and incurring shutdown and later startup costs, or running at minimum load with a potential loss during peak renewable hours. To recover these costs, generators likely increase their bids in hours surrounding the high renewable periods, leading to higher prices in these adjacent hours. When examining the respective p-value plot in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.F4.sf3" title="In Figure 4 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(c)</span></a>, we can conclude that the variable is highly relevant for modeling electricity prices as large regions share significant p-values smaller than 0.01. The complete set of bivariate coefficient functions and their pointwise p-values can be found in Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS6" title="A.6 Functional regression coefficients and confidence regions ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.6</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS7" title="A.7 Functional pointwise p-values ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A.7</span></a>. Interactive 3D surface figures and additional model visualizations, including statistical inference and goodness-of-fit analyses, are available at the supplementary website: <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://luiswn.github.io/ffr-visualizations/" title="">https://luiswn.github.io/ffr-visualizations/</a>. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S6.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="830" id="S6.F4.sf1.g1" src="x6.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf1.4.2.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf1.2.1" style="font-size:90%;">p-values for <math alttext="\widehat{\varphi}_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2"><semantics id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2b"><mrow id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.3" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.1" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.F4.sf1.2.1.m1.1.1" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.2" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2c"><apply id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3"><times id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S6.F4.sf1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf1.2.1.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2d">\widehat{\varphi}_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.sf1.2.1.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="830" id="S6.F4.sf2.g1" src="x7.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf2.4.2.1" style="font-size:90%;">((b))</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf2.2.1" style="font-size:90%;">p-values for <math alttext="\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4"><semantics id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4b"><mrow id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.cmml"><msub id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.1" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.4" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.F4.sf2.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.1" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.F4.sf2.2.1.m1.3.3" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.4" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4c"><apply id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5"><times id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.1"></times><apply id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S6.F4.sf2.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.5.3.2"><ci id="S6.F4.sf2.2.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.F4.sf2.2.1.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.sf2.2.1.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S6.F4.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="830" id="S6.F4.sf3.g1" src="x8.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf3.4.2.1" style="font-size:90%;">((c))</span> </span><span class="ltx_text" id="S6.F4.sf3.2.1" style="font-size:90%;">p-values for <math alttext="\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4"><semantics id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4b"><mrow id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.cmml"><msub id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.1" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.4" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S6.F4.sf3.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.1" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S6.F4.sf3.2.1.m1.3.3" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.4" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4c"><apply id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5"><times id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.1"></times><apply id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S6.F4.sf3.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.1.1.1.1">2</cn><cn id="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.5.3.2"><ci id="S6.F4.sf3.2.1.m1.3.3.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.4.cmml" xref="S6.F4.sf3.2.1.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4d">\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.F4.sf3.2.1.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S6.F4.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.F4.3.2" style="font-size:90%;">Pointwise p-values from a two-tailed t-test on difference to zero. Dark red color indicates smaller values and the contour lines as defined in the legends indicate significance according to standard alpha levels of 0.01, 0.05 and 0.1.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S6.p5"> <p class="ltx_p" id="S6.p5.1">The second part of this application chapter deals with the out-of-sample performance of our model when forecasting electricity price curves one day ahead. The relevant test set consists of two years of working days which corresponds to 520 data points. Besides the German energy data, we forecast prices on the European power market of the Nordic countries Nord Pool (NP) and the U.S. American Pennsylvania–New Jersey–Maryland (PJM) market. All three data sets are equivalent in length as they are taken from the same open-access benchmark framework provided by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p5.1.1">\textcite</span>Lago.2021<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote5"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">5</span>The exogenous regressors of NP and PJM differ slightly from the German ones discussed above. Consult the <span class="ltx_ERROR undefined" id="footnote5.1">\textcite</span>Lago.2021 paper for detailed information concerning the definitions.</span></span></span>. <br class="ltx_break"/>Two non-functional benchmark models are implemented to forecast hourly spot prices. The first one is a parameter-rich LASSO estimated regression, originally suggested in the context of energy market forecasts by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p5.1.2">\textcite</span>Uniejewski.2016. The idea is to run 24 regressions for all hourly price time series on all hours of lagged-dependent and lagged-exogenous regressors. In our specific set-up, we use the same variables as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) but treat them as multivariate time series. That leaves the LASSO model with <math alttext="220" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p5.1.m1.1"><semantics id="S6.p5.1.m1.1a"><mn id="S6.p5.1.m1.1.1" xref="S6.p5.1.m1.1.1.cmml">220</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p5.1.m1.1b"><cn id="S6.p5.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S6.p5.1.m1.1.1">220</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p5.1.m1.1c">220</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p5.1.m1.1d">220</annotation></semantics></math> regressors plus intercept. In theory, the regularization term deals with overfitting problems in parameter-rich models. We tune the regularization parameter for computational feasibility 4 times using 10-fold cross-validation and estimate the model with the glmnet approach by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p5.1.3">\textcite</span>Friedman.2010. The LASSO generally performs well at prediction tasks as it can process high-dimensional data efficiently compared to, for example, least squares estimated regressions. However, if we are not willing to put further sparsity assumptions on the data generating process, the estimator does not necessarily possess oracle properties and the coefficients are hardly interpretable (<span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p5.1.4">\cites</span>Fu.2000Zou.2006). The second benchmark model is fundamentally different to the LASSO as it is based on an OLS estimated parsimonious autoregressive structure without exogenous regressors. This so-called expert model introduced by <span class="ltx_ERROR undefined" id="S6.p5.1.5">\textcite</span>Ziel.2018 combines lagged (one day, two days, one week) prices for the same hour, last day’s minimum and maximum price, last day’s very last hourly price and all weekday dummy variables. We run this regression 24 times for all hours of the day. In case a regressor appears more than one time as it is always the case for the last hour model, the duplicate variables are removed. Estimating the expert model is computationally inexpensive and the regression coefficients are clearly interpretable. Lastly, we add a third naive forecasting method which works by always taking last weeks price at the same hour as the prediction. <br class="ltx_break"/></p> </div> <figure class="ltx_table" id="S6.T3"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S6.T3.2.1.1" style="font-size:90%;">Table 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S6.T3.3.2" style="font-size:90%;">Comparison between the one day ahead rolling window electricity price forecasts of four different models (FFR, LASSO, Expert and Naive) on three different markets (DE, NP and PJM). rMAE, MAE and RMSE are measures for prediction accuracy.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S6.T3.4"> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.1"> <td class="ltx_td ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.1"></td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.2"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T3.4.1.3.1">FFR</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T3.4.1.4.1">LASSO</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T3.4.1.5.1">Expert</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_tt ltx_border_t" id="S6.T3.4.1.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S6.T3.4.1.6.1">Naive</span></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.1" rowspan="3"><span class="ltx_text" id="S6.T3.4.2.1.1">DE</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.2">rMAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.3">0.47</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.4">0.45</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.5">0.69</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.2.6">1.00</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="S6.T3.4.3.1">MAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.3.2">4.20</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.3.3">4.04</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.3.4">6.17</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.3.5">8.88</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.4"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="S6.T3.4.4.1">RMSE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.4.2">6.46</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.4.3">6.36</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.4.4">10.11</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.4.5">14.55</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.5"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.1" rowspan="3"><span class="ltx_text" id="S6.T3.4.5.1.1">NP</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.2">rMAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.3">0.55</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.4">0.48</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.5">0.68</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.5.6">1.00</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.6"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="S6.T3.4.6.1">MAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.6.2">2.26</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.6.3">1.97</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.6.4">2.77</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.6.5">4.08</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.7"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="S6.T3.4.7.1">RMSE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.7.2">4.30</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.7.3">3.91</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.7.4">5.09</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.7.5">7.02</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.8"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.1" rowspan="3"><span class="ltx_text" id="S6.T3.4.8.1.1">PJM</span></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.2">rMAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.3">0.71</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.4">0.67</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.5">0.72</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S6.T3.4.8.6">1.00</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.9"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="S6.T3.4.9.1">MAE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.9.2">4.54</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.9.3">4.30</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.9.4">4.62</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="S6.T3.4.9.5">6.38</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S6.T3.4.10"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_bb ltx_border_r" id="S6.T3.4.10.1">RMSE</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S6.T3.4.10.2">6.96</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S6.T3.4.10.3">6.89</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S6.T3.4.10.4">7.20</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb" id="S6.T3.4.10.5">10.76</td> </tr> </table> </figure> <div class="ltx_para ltx_indent" id="S6.p6"> <p class="ltx_p" id="S6.p6.1">Regarding performance measures, we report the mean absolute error (MAE), the MAE relative to the naive MAE (rMAE) and the root mean squared error (RMSE). Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T3" title="Table 3 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> shows the rolling window forecast results for the three markets. The expert and the naive model yield reasonable predictions considering their simplicity, yet they underperform compared to our functional factor regression and the LASSO for all measures. The direct comparison between FFR and LASSO highlights that our model is roughly on the same level as the well established machine learning approach in terms of forecasting accuracy.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S7" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">7 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S7.p1"> <p class="ltx_p" id="S7.p1.1">This paper introduces the functional factor regression, a novel approach for modeling time-dependent curve data that addresses limitations in existing function-on-function regression frameworks. By imposing factor structures on the regressors and assuming that the predictive information in functional variables is confined to a finite-dimensional subspace, our method is able to provide both the flexibility of infinite-dimensional functional models and the statistical inferential capabilities of traditional multiple regression. <br class="ltx_break"/>A key challenge in conventional unrestricted functional regression is the infinite-rank regression operator, which introduces an ill-posed problem requiring nonparametric estimation. Our model addresses this by ensuring a well-posed framework, allowing for least squares estimation with parametric convergence rates. The innovation lies in assuming that a finite number of factors can effectively represent the functional regression relationship, thereby simplifying the regression operator to finite-rank. Parameters are estimated using the eigencomponents of the integral operator <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S7.p1.1.m1.1"><semantics id="S7.p1.1.m1.1a"><mi id="S7.p1.1.m1.1.1" xref="S7.p1.1.m1.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S7.p1.1.m1.1b"><ci id="S7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S7.p1.1.m1.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S7.p1.1.m1.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S7.p1.1.m1.1d">italic_D</annotation></semantics></math>, which is the product of the cross-covariance operator with its adjoint, and the required number of factors is determined through an eigenvalue-difference test. Hence, we are able to develop a novel central limit theorem for the regression parameters in a fully functional model, enabling the construction of valid confidence bands and hypothesis tests that account for the uncertainty in estimated factors and loadings. <br class="ltx_break"/>Our empirical application to electricity price curve modeling demonstrates the practical value of our approach. The estimated bivariate slope coefficient functions reveal economically interpretable patterns while pointwise hypotheses tests make our claims statistically verifiable. Firstly, we find evidence for the existence of a pronounced end-of-day effect in lagged electricity prices. Secondly, the functional model reveals how load forecasts play only a minor role in explaining energy prices when conditioning on further regressors. The influence of wind and solar energy generation forecasts on prices, on the other hand, appears to be substantial and statistically significant. In terms of out-of-sample forecasting performance, our functional factor regression is competitive with machine learning models like LASSO. <br class="ltx_break"/>Future research could extend this framework by addressing further econometric issues, such as endogeneity problems within the functional variables, or by exploring regression models with more complex data structures, such as volatility surfaces or climate data in the form of geographic surfaces. The accompanying <span class="ltx_text ltx_font_sansserif" id="S7.p1.1.1">R</span> package "ffr" makes our methodology accessible to practitioners and researchers across various disciplines where functional data analysis plays an increasingly important role.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Supporting Information</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">An accompanying R package is available from <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://github.com/luiswn/ffr" title="">https://github.com/luiswn/ffr</a>. <br class="ltx_break"/>A website serving as an online appendix to the application is available from <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://luiswn.github.io/ffr-visualizations/" title="">https://luiswn.github.io/ffr-visualizations/</a>.</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p2"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="Sx1.p2.1">\printbibliography</span> <p class="ltx_p" id="Sx1.p2.2">[heading=bibliography]</p> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A1" lang="en"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Appendix</h2> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.1 </span>Proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma1" title="Lemma 1. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> </h3> <div class="ltx_proof" id="A1.SS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.5">By Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(a), the error component <math alttext="\varepsilon_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1c">\varepsilon_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.1.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> has zero mean and is uncorrelated with <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.2.m2.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> for all <math alttext="t\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1"><in id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1c">t\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.3.m3.1d">italic_t ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>, <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.1" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3b"><apply id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4"><eq id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.1"></eq><ci id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.2">𝑗</ci><list id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.4.3.2"><cn id="A1.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.1.1">1</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.2.2">…</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.4.m4.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.4.m4.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, and <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4"><semantics id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.5.m5.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.4" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.1" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.5.m5.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4b"><apply id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5"><in id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.1"></in><list id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.2.2"><ci id="A1.SS1.1.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.4.5.3.2"><ci id="A1.SS1.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.5.m5.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.5.m5.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. Hence,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0=E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[X_{jt}(q)% \varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex36.m1.7"><semantics id="A1.Ex36.m1.7a"><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.4" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.5" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex36.m1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex36.m1.2.2" xref="A1.Ex36.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.6" rspace="0.111em" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.cmml"><msub id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex36.m1.3.3" xref="A1.Ex36.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex36.m1.4.4" xref="A1.Ex36.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2a" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.5" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2b" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex36.m1.5.5" xref="A1.Ex36.m1.5.5.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex36.m1.6.6" 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xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.5"></eq><cn id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.4.cmml" type="integer" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.4">0</cn><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1"><times id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex36.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex36.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1"><eq 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id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex36.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex36.m1.5.5">𝑞</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex36.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex36.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.6.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.6.2.cmml" 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class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.13">where we substitute <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.6.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.6.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> with the regression model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), and use that <math alttext="\varepsilon_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.7.m2.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1c">\varepsilon_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.7.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is uncorrelated with <math alttext="u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.8.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1c">u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.8.m3.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, <math alttext="w_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1a"><msub id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.2">𝑤</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.9.m4.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1c">w_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.9.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\int_{a}^{b}\beta_{i}(r,q)X_{it}(q)\,\mathrm{d}q" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.cmml"><msubsup id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1a" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1b" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.5.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.3.cmml">q</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.2" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3b"><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4"><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1">subscript</csymbol><int id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.2"></int><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2"><times id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.3.2"><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.2.2">𝑞</ci></interval><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3"><times id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.3">𝑞</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.10.m5.3.4.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3c">\int_{a}^{b}\beta_{i}(r,q)X_{it}(q)\,\mathrm{d}q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.10.m5.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) roman_d italic_q</annotation></semantics></math> for all <math alttext="i\neq j" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1"><neq id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.1"></neq><ci id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.11.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1c">i\neq j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.11.m6.1d">italic_i ≠ italic_j</annotation></semantics></math>. Applying the factor structure (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E14" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) and the uncorrelatedness of <math alttext="\varepsilon_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.12.m7.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1c">\varepsilon_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.12.m7.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> with <math alttext="F_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1a"><msub id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.2">𝐹</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.13.m8.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1c">F_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.13.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[X_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=\int_{a% }^{b}\beta_{j}(r,q)E[\varepsilon_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex37.m1.9"><semantics id="A1.Ex37.m1.9a"><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex37.m1.2.2" xref="A1.Ex37.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.3.3" xref="A1.Ex37.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.4.4" xref="A1.Ex37.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.3" rspace="0.111em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.cmml"><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.5.5" xref="A1.Ex37.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex37.m1.6.6" xref="A1.Ex37.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2a" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.5" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2b" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.7.7" xref="A1.Ex37.m1.7.7.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex37.m1.8.8" xref="A1.Ex37.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.2" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex37.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex37.m1.9b"><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1"><eq id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1"><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1"><times id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.4.2"><ci id="A1.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex37.m1.2.2.cmml" 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id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex37.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.3.3">𝑞</ci><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex37.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex37.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.1.1.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2"><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1"><times id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.2"></times><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.4.2"><ci id="A1.Ex37.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex37.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="A1.Ex37.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex37.m1.6.6">𝑞</ci></interval><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.5.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.5">𝐸</ci><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml" 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xref="A1.Ex37.m1.7.7">𝑞</ci><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex37.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex37.m1.8.8">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex37.m1.9.9.1.1.2.1.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex37.m1.9c">\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[X_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=\int_{a% }^{b}\beta_{j}(r,q)E[\varepsilon_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex37.m1.9d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_E [ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_q = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_E [ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_q .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.30">Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx14"> <tbody id="A1.E27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[% \varepsilon_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=0." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E27.m1.7"><semantics id="A1.E27.m1.7a"><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E27.m1.1.1" xref="A1.E27.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E27.m1.2.2" xref="A1.E27.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.4" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2a" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.cmml"><msub id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.2.cmml">β</mi><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E27.m1.3.3" xref="A1.E27.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E27.m1.4.4" xref="A1.E27.m1.4.4.cmml">q</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2a" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.5" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2b" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E27.m1.5.5" xref="A1.E27.m1.5.5.cmml">q</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1b" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E27.m1.6.6" xref="A1.E27.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.cmml"><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.2" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.1.5" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="A1.E27.m1.7.7.1.1.6" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.E27.m1.7.7.1.2" lspace="0em" 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cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.E27.m1.1.1.cmml" xref="A1.E27.m1.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E27.m1.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2"><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"></int><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1"><times id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.2"></times><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.2">𝛽</ci><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.4.2"><ci id="A1.E27.m1.3.3.cmml" xref="A1.E27.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.E27.m1.4.4.cmml" xref="A1.E27.m1.4.4">𝑞</ci></interval><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.5.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.5">𝐸</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1"><times id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E27.m1.5.5.cmml" xref="A1.E27.m1.5.5">𝑞</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.E27.m1.6.6.cmml" xref="A1.E27.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.2.1.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E27.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1"><eq id="A1.E27.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E27.m1.7.7.1.1.2.cmml" id="A1.E27.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="A1.E27.m1.7.7.1"></share><cn id="A1.E27.m1.7.7.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A1.E27.m1.7.7.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E27.m1.7c">\displaystyle E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[% \varepsilon_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E27.m1.7d">italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_E [ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_q = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.17">Let <math alttext="{\kappa_{1j}\geq\kappa_{2j}\geq\ldots}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml">≥</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.5" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.5.cmml">≥</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.6.cmml">…</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1"><and id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1"></and><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1b.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1"><geq id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.3"></geq><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.2">𝜅</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3"><times id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.2">2</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1c.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1"><geq id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.4.cmml" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1d.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1"></share><ci id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.6.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.14.m1.1.1.6">…</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1c">{\kappa_{1j}\geq\kappa_{2j}\geq\ldots}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.14.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ italic_κ start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≥ …</annotation></semantics></math> be the sequence of positive eigenvalues of the covariance operator of <math alttext="\varepsilon_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1a"><msub id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.15.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1c">\varepsilon_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.15.m2.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="v_{1j},v_{2j},\ldots" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.16.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.1.1.cmml">…</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3b"><list id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2"><apply id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.16.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.16.m3.1.1">…</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3c">v_{1j},v_{2j},\ldots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.16.m3.3d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , …</annotation></semantics></math> be a sequence of corresponding eigenfunctions, i.e., the functional principal components of <math alttext="\varepsilon_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1a"><msub id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.17.m4.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1c">\varepsilon_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.17.m4.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The Karhunen-Loève expansion and Mercer’s theorem yield</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\varepsilon_{jt}(s)=\sum_{m=1}^{\infty}\langle\varepsilon_{jt},v_{mj}\rangle v% _{mj}(s),\quad E[\varepsilon_{jt}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\sum_{m=1}^{\infty}% \kappa_{mj}v_{mj}(r)v_{mj}(s)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex38.m1.7"><semantics id="A1.Ex38.m1.7a"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex38.m1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.3" rspace="0.111em" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3a" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex38.m1.2.2" xref="A1.Ex38.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex38.m1.3.3" xref="A1.Ex38.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex38.m1.4.4" xref="A1.Ex38.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.2" rspace="0.111em" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1a" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.4.2" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo 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xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3"><times id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex38.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex38.m1.5.5">𝑟</ci><apply id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3"><times id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex38.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex38.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex38.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex38.m1.7c">\varepsilon_{jt}(s)=\sum_{m=1}^{\infty}\langle\varepsilon_{jt},v_{mj}\rangle v% _{mj}(s),\quad E[\varepsilon_{jt}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\sum_{m=1}^{\infty}% \kappa_{mj}v_{mj}(r)v_{mj}(s).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex38.m1.7d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) , italic_E [ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.31">By substituting this into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E27" title="In Proof. ‣ A.1 Proof of Lemma 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>), we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\sum_{m=1}^{\infty}\kappa_{mj}v_{mj}(s)\int_{a}% ^{b}\beta_{j}(r,q)v_{mj}(q)\,dq=0," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex39.m1.7"><semantics id="A1.Ex39.m1.7a"><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.1.1" xref="A1.Ex39.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.2.2" xref="A1.Ex39.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.3" rspace="0.111em" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.cmml"><munderover id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.3.cmml">∞</mi></munderover><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.cmml"><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1a" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.4.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.3.3" xref="A1.Ex39.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1b" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.cmml"><msubsup id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.cmml"><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.4.4" xref="A1.Ex39.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.2.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex39.m1.5.5" xref="A1.Ex39.m1.5.5.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1a" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.1" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.3" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1b" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.5.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex39.m1.6.6" xref="A1.Ex39.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.cmml"><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.5" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.6" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.Ex39.m1.7.7.1.2" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex39.m1.7b"><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1"><and id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1"></and><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1"><eq id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1"><times id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex39.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4"><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.1">subscript</csymbol><sum 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cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.3.2"><ci id="A1.Ex39.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex39.m1.4.4">𝑟</ci><ci id="A1.Ex39.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex39.m1.5.5">𝑞</ci></interval><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3"><times id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex39.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex39.m1.6.6">𝑞</ci><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.1.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.2.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.2.5.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1"><eq id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex39.m1.7.7.1.1.4.cmml" id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1"></share><cn id="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A1.Ex39.m1.7.7.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex39.m1.7c">E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]=\sum_{m=1}^{\infty}\kappa_{mj}v_{mj}(s)\int_{a}% ^{b}\beta_{j}(r,q)v_{mj}(q)\,dq=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex39.m1.7d">italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_d italic_q = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.18">and, for any fixed <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1a"><mi id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.18.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1b"><ci id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.18.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.18.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]v_{lj}(s)\,ds=\kappa_{lj}\int_{a}^{b% }\beta_{j}(r,q)v_{lj}(q)\,dq=0." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex40.m1.7"><semantics id="A1.Ex40.m1.7a"><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex40.m1.1.1" xref="A1.Ex40.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex40.m1.2.2" xref="A1.Ex40.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex40.m1.3.3" xref="A1.Ex40.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.1.1.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.2.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.2.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.2.3" 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xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.4.3.1" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.4.3.3" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.1b" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.5.2" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex40.m1.6.6" xref="A1.Ex40.m1.6.6.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.6" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.6.cmml"><mo id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex40.m1.7.7.1.1.4.3.2.6.2" 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id="A1.Ex40.m1.7c">\int_{a}^{b}E[Y_{t}(r)\varepsilon_{jt}(s)]v_{lj}(s)\,ds=\kappa_{lj}\int_{a}^{b% }\beta_{j}(r,q)v_{lj}(q)\,dq=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex40.m1.7d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) italic_d italic_s = italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_d italic_q = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.20">Since <math alttext="\kappa_{lj}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.2.cmml">κ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1"><gt id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.1"></gt><apply id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.2">𝜅</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.19.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1c">\kappa_{lj}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.19.m1.1d">italic_κ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1a"><mi id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.20.m2.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1b"><ci id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.20.m2.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.20.m2.1d">italic_l</annotation></semantics></math>, it follows that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx15"> <tbody id="A1.E28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)v_{lj}(q)\,dq=0\quad\text{for all}\ l," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E28.m1.5"><semantics id="A1.E28.m1.5a"><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><msubsup id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E28.m1.1.1" xref="A1.E28.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E28.m1.2.2" xref="A1.E28.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml"><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1b" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.5.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E28.m1.3.3" xref="A1.E28.m1.3.3.cmml">q</mi><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.cmml"><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.2.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.E28.m1.4.4" xref="A1.E28.m1.4.4.cmml">0</mn><mspace id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.2" width="1em" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"></mspace><mrow id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a.cmml">for all</mtext><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.500em" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E28.m1.5.5.1.2" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E28.m1.5b"><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1"><eq id="A1.E28.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3"><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2"></int><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2"><ci id="A1.E28.m1.1.1.cmml" xref="A1.E28.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.E28.m1.2.2.cmml" xref="A1.E28.m1.2.2">𝑞</ci></interval><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2">𝑣</ci><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3"><times id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1"></times><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.E28.m1.3.3.cmml" xref="A1.E28.m1.3.3">𝑞</ci><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.3.2.6.2">𝑞</ci></apply></apply></apply><list id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1"><cn id="A1.E28.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="A1.E28.m1.4.4">0</cn><apply id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><mtext id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">for all</mtext></ci><ci id="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E28.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E28.m1.5c">\displaystyle\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)v_{lj}(q)\,dq=0\quad\text{for all}\ l,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E28.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_d italic_q = 0 for all italic_l ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.24">which implies that <math alttext="\varepsilon_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1a"><msub id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.21.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1c">\varepsilon_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.21.m1.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> lies in the null space of the regression operator mapping <math alttext="h(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1"><semantics id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1b"><apply id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2"><times id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.1"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.2.2">ℎ</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.22.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1c">h(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.22.m2.1d">italic_h ( italic_r )</annotation></semantics></math> onto <math alttext="\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)h(s)\,\mathrm{d}s" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.cmml"><msubsup id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1a" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.4.cmml">h</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1b" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.5.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.2" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3b"><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4"><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1">subscript</csymbol><int id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.2"></int><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.1.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2"><times id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.3.2"><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.2.2">𝑠</ci></interval><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.4">ℎ</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.3">𝑠</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.23.m3.3.4.2.6.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3c">\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)h(s)\,\mathrm{d}s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.23.m3.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_h ( italic_s ) roman_d italic_s</annotation></semantics></math>. Finally, by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption2" title="Assumption 2. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, <math alttext="\beta_{j}(r,\cdot)\in\overline{Im(\Gamma_{j})}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.cmml"><mrow id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mover accent="true" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.4" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.2a" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Γ</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.2.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3b"><apply id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4"><in id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.1"></in><apply id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.3.4.2"><times 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xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.4">𝑚</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.2">Γ</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.24.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3c">\beta_{j}(r,\cdot)\in\overline{Im(\Gamma_{j})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.24.m4.3d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , ⋅ ) ∈ over¯ start_ARG italic_I italic_m ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG</annotation></semantics></math>, and we know that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\overline{Im(\Gamma_{j})}=span(\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j},v_{1j},v_{2j},\ldots)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex41.m1.7"><semantics id="A1.Ex41.m1.7a"><mrow id="A1.Ex41.m1.7.7" xref="A1.Ex41.m1.7.7.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex41.m1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41.m1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.3.cmml">I</mi><mo id="A1.Ex41.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.1.1.1.4" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex41.m1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2" 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id="A1.Ex41.m1.7.7.4.9" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.9.cmml">n</mi><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.5c" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.5" stretchy="false" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.6" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex41.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex41.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.7" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.8" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml"><mn id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.9" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.cmml"><mn id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.2" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.1" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.3" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.10" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex41.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex41.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.11" stretchy="false" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41.m1.7b"><apply id="A1.Ex41.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7"><eq id="A1.Ex41.m1.7.7.5.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.5"></eq><apply id="A1.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1"><ci id="A1.Ex41.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.2">¯</ci><apply id="A1.Ex41.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1"><times id="A1.Ex41.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex41.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.3">𝐼</ci><ci id="A1.Ex41.m1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.4">𝑚</ci><apply id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2">Γ</ci><ci id="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex41.m1.7.7.4.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4"><times id="A1.Ex41.m1.7.7.4.5.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.5"></times><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.6.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.6">𝑠</ci><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.7.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.7">𝑝</ci><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.8.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.8">𝑎</ci><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.9.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.9">𝑛</ci><vector id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4"><apply id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex41.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.2.2">…</ci><apply id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3"><times id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.1"></times><cn id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.6.6.3.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3"><times id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.1"></times><cn id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.2">2</cn><ci id="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.7.7.4.4.4.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex41.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41.m1.3.3">…</ci></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41.m1.7c">\overline{Im(\Gamma_{j})}=span(\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j},v_{1j},v_{2j},\ldots)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41.m1.7d">over¯ start_ARG italic_I italic_m ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG = italic_s italic_p italic_a italic_n ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.27">by the factor structure (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E14" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>). Since <math alttext="\beta_{j}(r,\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2"><semantics id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.25.m1.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mo id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2b"><apply id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.SS1.1.p1.25.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.25.m1.2.2">⋅</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2c">\beta_{j}(r,\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.25.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , ⋅ )</annotation></semantics></math> is not in the span of <math alttext="\{v_{1j},v_{2j},\ldots\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml">{</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.5" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.26.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3b"><set id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2"><apply id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.26.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.26.m2.1.1">…</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3c">\{v_{1j},v_{2j},\ldots\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.26.m2.3d">{ italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … }</annotation></semantics></math> by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E28" title="In Proof. ‣ A.1 Proof of Lemma 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), it must lie in the span of <math alttext="\{\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3"><semantics id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml">{</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.5" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3b"><set id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2"><apply id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.1.1">…</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.27.m3.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3c">\{\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.27.m3.3d">{ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> alone. Hence, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)=(B_{j}(r))^{\prime}% \Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex42.m1.7"><semantics id="A1.Ex42.m1.7a"><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7" xref="A1.Ex42.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.cmml"><msub id="A1.Ex42.m1.7.7.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.3.2.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.3.2.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.3.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex42.m1.1.1" xref="A1.Ex42.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.2.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex42.m1.2.2" xref="A1.Ex42.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.4" rspace="0.111em" xref="A1.Ex42.m1.7.7.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.cmml"><munderover id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml"><msub id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex42.m1.3.3" xref="A1.Ex42.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1a" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.1" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1b" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.5.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex42.m1.4.4" xref="A1.Ex42.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.6" 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stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.1.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex42.m1.7.7.1.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex42.m1.7.7.1.3.3" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.2a" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex42.m1.7.7.1.4.2" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.cmml"><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex42.m1.6.6" xref="A1.Ex42.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex42.m1.7.7.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex42.m1.7.7.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex42.m1.7b"><apply 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS1.1.p1.29">where <math alttext="\beta_{lj}(r)=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\psi_{lj}(s)\,\mathrm{d}s" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4"><semantics id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4a"><mrow id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.2.1" 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xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.1b" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.5.2" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.4" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.28.m1.4.5.3.2.1c" lspace="0.170em" 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xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.4.4" mathvariant="normal" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.4.4.cmml">…</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.5" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.1" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS1.1.p1.29.m2.3.3" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.4" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6b"><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6"><eq id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.3"></eq><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4"><times id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.2">𝐵</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2">superscript</csymbol><vector id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2"><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1"><times id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.SS1.1.p1.29.m2.5.5.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" 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xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.3.3">𝑟</ci></apply></vector><ci id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.4.cmml" xref="A1.SS1.1.p1.29.m2.6.6.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6c">B_{j}(r)=(\beta_{1j}(r),\ldots,\beta_{K_{j}j}(r))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS1.1.p1.29.m2.6d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.2 </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> </h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.p1.1">All elements in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> follow by the sum of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma2" title="Lemma 2. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma7" title="Lemma 7. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.1.1.1">Lemma 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma2.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma2.p1.9.9">Let <math alttext="V_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1c">V_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a <math alttext="L^{2}([a,b])" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><msup id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.3" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">[</mo><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3"><times id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.2"></times><apply id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.3.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.2"><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3c">L^{2}([a,b])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.3d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ italic_a , italic_b ] )</annotation></semantics></math>-valued random process with <math alttext="\mu(r)=E[V_{t}(r)]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3"><eq id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.2"></eq><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3"><times id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1"></times><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1"><times id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.2"></times><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.3">𝐸</ci><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1"><times id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3c">\mu(r)=E[V_{t}(r)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.3d">italic_μ ( italic_r ) = italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 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Furthermore, <math alttext="\sup_{t}E[(V_{t}(r))^{\nu}]<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2.2.cmml">sup</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci 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id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1"><gt id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.1"></gt><ci id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜈</ci><cn id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1c">\nu>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.5.5.m5.1d">italic_ν > 2</annotation></semantics></math> such that <math alttext="V_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1a"><msub id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1c">V_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.6.6.m6.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1a"><mi id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1b"><ci id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.7.7.m7.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing of size <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1a" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1"><minus id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1"></minus><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1"><divide id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.2"></divide><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.3">𝜈</ci><apply id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1c">-\nu/(\nu-2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.8.8.m8.1d">- italic_ν / ( italic_ν - 2 )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\widehat{\mu}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}V_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2"><semantics id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2a"><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.cmml"><mfrac id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.cmml"><msubsup id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.1" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2b"><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3"><eq id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.1"></eq><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2"><times id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2"><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3"><times id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2"><divide id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2"></divide><cn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.2">1</cn><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3"><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.2"></sum><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3"><eq id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2"><times id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.3.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2c">\widehat{\mu}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}V_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.9.9.m9.2d">over^ start_ARG italic_μ end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>. Then,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\widehat{\mu}-\mu\|=O_{P}(T^{-1/2})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex43.m1.1"><semantics id="A1.Ex43.m1.1a"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex43.m1.1b"><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex43.m1.1c">\|\widehat{\mu}-\mu\|=O_{P}(T^{-1/2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex43.m1.1d">∥ over^ start_ARG italic_μ end_ARG - italic_μ ∥ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.13">Note that <math alttext="V_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1c">V_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing of size <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1a" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><minus id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1"><divide id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.2"></divide><ci id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.3">𝜈</ci><apply id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1c">-\nu/(\nu-2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.3.m3.1d">- italic_ν / ( italic_ν - 2 )</annotation></semantics></math> if the <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.4.m4.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.4.m4.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing sequence <math alttext="\alpha_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1a"><msub id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.2">𝛼</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.5.m5.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1c">\alpha_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.5.m5.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="V_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1a"><msub id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.6.m6.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1c">V_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.6.m6.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfies <math alttext="\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.3" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><msubsup id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.1" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.1.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2"><lt id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.1"></lt><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2"><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.2"></sum><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3"><eq id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.1.3"></infinity></apply><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.2.2.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1"><divide id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><infinity id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.7.m7.1.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1c">\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.7.m7.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν - 2 ) / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math> (see, e.g., <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Davidson.2021</span>]</cite>, Section 15.1). Functions of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.8.m8.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.8.m8.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.8.m8.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing processes are <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.9.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.9.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.9.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing of the same size, which implies that <math alttext="V_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.1" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2"><times id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.1"></times><apply id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.10.m10.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1c">V_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.10.m10.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.11.m11.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.11.m11.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.11.m11.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing for any <math alttext="r\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2"><semantics id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.1" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.12.m12.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2b"><apply id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3"><in id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.1"></in><ci id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.3.3.2"><ci id="A1.SS2.1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.12.m12.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2c">r\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.12.m12.2d">italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. The mixing inequality for <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.13.m13.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.13.m13.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.13.m13.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing processes (see, e.g., Corollary 15.3 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Davidson.2021</span>]</cite>) implies</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))|\leq 6\alpha_{h}^{(p-2)/p}\big{(}E[(V_{t}(r))^{p}]E[% (V_{t-h}(r))^{p}]\big{)}^{1/p}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.E29.m1.7"><semantics id="A1.E29.m1.7a"><mrow id="A1.E29.m1.7.7" xref="A1.E29.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.2.cmml"><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.4" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.4.cmml">C</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.5" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.5.cmml">o</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3a" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.6" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.6.cmml">v</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3b" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E29.m1.2.2" xref="A1.E29.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.4" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msub><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E29.m1.3.3" xref="A1.E29.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.6.6.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.E29.m1.7.7.3" xref="A1.E29.m1.7.7.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.cmml"><mn id="A1.E29.m1.7.7.2.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.3.cmml">6</mn><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E29.m1.7.7.2.4" xref="A1.E29.m1.7.7.2.4.cmml"><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.4.2.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.4.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.4.2.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.4.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.E29.m1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E29.m1.1.1.1.2" xref="A1.E29.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.E29.m1.1.1.1.3" xref="A1.E29.m1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow></msubsup><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.2a" xref="A1.E29.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E29.m1.7.7.2.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.cmml"><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.4" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E29.m1.4.4" xref="A1.E29.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></msup><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3a" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.5" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3b" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msub><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E29.m1.5.5" xref="A1.E29.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">p</mi></msup><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.cmml"><mn id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.2" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.1" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.3" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E29.m1.7b"><apply id="A1.E29.m1.7.7.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7"><leq id="A1.E29.m1.7.7.3.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.3"></leq><apply id="A1.E29.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1"><abs id="A1.E29.m1.6.6.1.2.1.cmml" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.2"></abs><apply id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1"><times id="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E29.m1.6.6.1.1.1.3"></times><ci 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id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="A1.E29.m1.5.5.cmml" xref="A1.E29.m1.5.5">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3"><divide id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.1"></divide><cn id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.2">1</cn><ci id="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E29.m1.7.7.2.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E29.m1.7c">|Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))|\leq 6\alpha_{h}^{(p-2)/p}\big{(}E[(V_{t}(r))^{p}]E[% (V_{t-h}(r))^{p}]\big{)}^{1/p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E29.m1.7d">| italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) | ≤ 6 italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_p - 2 ) / italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.14">for any <math alttext="p\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1"><geq id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.1"></geq><ci id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.14.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1c">p\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.14.m1.1d">italic_p ≥ 2</annotation></semantics></math>. We can decompose</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx16"> <tbody id="A1.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\widehat{\mu}(r)-\mu(r))^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex44.m1.3"><semantics id="A1.Ex44.m1.3a"><msup id="A1.Ex44.m1.3.3" xref="A1.Ex44.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex44.m1.2.2" xref="A1.Ex44.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex44.m1.3.3.3" xref="A1.Ex44.m1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex44.m1.3b"><apply id="A1.Ex44.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1"><minus id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2"><times id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex44.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex44.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex44.m1.3.3.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex44.m1.3c">\displaystyle(\widehat{\mu}(r)-\mu(r))^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex44.m1.3d">( over^ start_ARG italic_μ end_ARG ( italic_r ) - italic_μ ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}V_{t}(r)-\mu(r)\bigg{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex44.m2.3"><semantics id="A1.Ex44.m2.3a"><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.2.cmml">=</mo><msup id="A1.Ex44.m2.3.3.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2a" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex44.m2.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" 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cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1"><minus id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2"><divide id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2"></divide><cn id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3"><apply id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.1.1.cmml" 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id="A1.Ex45.m1.9"><semantics id="A1.Ex45.m1.9a"><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9" xref="A1.Ex45.m1.9.9.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.5" xref="A1.Ex45.m1.9.9.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.4" xref="A1.Ex45.m1.9.9.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3a" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3a" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex45.m1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex45.m1.4.4" xref="A1.Ex45.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex45.m1.5.5" xref="A1.Ex45.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex45.m1.6.6" xref="A1.Ex45.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.9.9.3.3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" 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italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ ( italic_r ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.21">and obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx17"> <tbody id="A1.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E[\|\widehat{\mu}-\mu\|^{2}]=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}\int_{% a}^{b}Var[V_{t}(r)]\,\mathrm{d}r+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))\,\mathrm{d}r." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex46.m1.4"><semantics id="A1.Ex46.m1.4a"><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.5" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex46.m1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.cmml"><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.6" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3b" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex46.m1.2.2" xref="A1.Ex46.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex46.m1.3.3" xref="A1.Ex46.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex46.m1.4b"><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1"><eq id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.5"></eq><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4"><plus id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.4"></plus><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.2"></times><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3"><divide id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3"></divide><cn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.3.3.2.cmml" 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id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑉</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.5">𝑟</ci><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.6.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.3"></times><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4"><divide id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4"></divide><cn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.2">2</cn><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.2">𝑇</ci><cn id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2"><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.3.2.1.cmml" 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id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.3"></times><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.4">𝐶</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.5">𝑜</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.6.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex46.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><minus id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex46.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.3.3">𝑟</ci></apply></interval><apply id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2.2.7.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex46.m1.4c">\displaystyle E[\|\widehat{\mu}-\mu\|^{2}]=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}\int_{% a}^{b}Var[V_{t}(r)]\,\mathrm{d}r+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))\,\mathrm{d}r.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex46.m1.4d">italic_E [ ∥ over^ start_ARG italic_μ end_ARG - italic_μ ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_a italic_r [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] roman_d italic_r + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) roman_d italic_r .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.17">The first term is <math alttext="O(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1"><times id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.15.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1c">O(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.15.m1.1d">italic_O ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> since <math alttext="\nu\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1"><geq id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.1"></geq><ci id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.16.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1c">\nu\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.16.m2.1d">italic_ν ≥ 2</annotation></semantics></math>, and, with the mixing inequality with <math alttext="p=\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1"><eq id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.17.m3.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1c">p=\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.17.m3.1d">italic_p = italic_ν</annotation></semantics></math>, the second term satisfies</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx18"> <tbody id="A1.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{|}\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))\,\mathrm{d}r\bigg{|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex47.m1.3"><semantics id="A1.Ex47.m1.3a"><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex47.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4a" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mn id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3a" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3a" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3b" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" 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xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex47.m1.2.2" xref="A1.Ex47.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.7" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.7.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="A1.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.7.1.cmml">d</mo><mi 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id="A1.Ex47.m1.3c">\displaystyle\bigg{|}\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% Cov(V_{t}(r),V_{t-h}(r))\,\mathrm{d}r\bigg{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex47.m1.3d">| divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) roman_d italic_r |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{12}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\alpha_{h}^{(% \nu-2)/\nu}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}(r))^{\nu}]E[(V_{t-h}(r))^{\nu}]\big{)}^% {1/\nu}\,\mathrm{d}r," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex48.m1.4"><semantics id="A1.Ex48.m1.4a"><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">12</mn><msup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.Ex48.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex48.m1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" 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xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex48.m1.4b"><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1"><leq id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1"><times id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.3"><divide 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xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex48.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex48.m1.4c">\displaystyle\leq\frac{12}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\alpha_{h}^{(% \nu-2)/\nu}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}(r))^{\nu}]E[(V_{t-h}(r))^{\nu}]\big{)}^% {1/\nu}\,\mathrm{d}r,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex48.m1.4d">≤ divide start_ARG 12 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν - 2 ) / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_r ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.1.p1.20">which is <math alttext="O(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1"><times id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1c">O(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.18.m1.1d">italic_O ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as well since <math alttext="\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1a"><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.3" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><msubsup id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.1" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.1.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1b"><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2"><lt id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.1"></lt><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2"><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.2"></sum><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3"><eq id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.1.3"></infinity></apply><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.2.2.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1"><divide id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><infinity id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.19.m2.1.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1c">\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.19.m2.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν - 2 ) / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math> and the fact that the <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1"><semantics id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1a"><mi id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1.1" xref="A1.SS2.1.p1.20.m3.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1b"><ci id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.1.p1.20.m3.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.1.p1.20.m3.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>-th moments are bounded. The assertion follows by Markov’s inequality. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma3.1.1.1">Lemma 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma3.p1.21"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma3.p1.21.21">Let <math alttext="V_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1c">V_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.1.1.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="P_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1c">P_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.2.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be <math alttext="L^{2}([a,b])" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><msup id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">[</mo><mi id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3"><times id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.2"></times><apply id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.3.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2"><ci id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.3.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3c">L^{2}([a,b])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.3.3.m3.3d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ italic_a , italic_b ] )</annotation></semantics></math>-valued random processes with <math alttext="\mu_{V}(r)=E[V_{t}(r)]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3"><semantics id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.3" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.3" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3b"><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3"><eq id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.2"></eq><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3"><times id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.2">𝜇</ci><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.3.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1"><times id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.2"></times><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.3">𝐸</ci><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.4.4.m4.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3c">\mu_{V}(r)=E[V_{t}(r)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.4.4.m4.3d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mu_{P}(r)=E[P_{t}(r)]" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3"><semantics id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2.3" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.3" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.2.2" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3b"><apply id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.cmml" 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id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.5.5.m5.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.3.3" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.4" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.4.4" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.4.4.cmml">s</mi><mo 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id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2"><times id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.3"></times><ci id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.4.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.4">𝐶</ci><ci id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.5.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.5">𝑜</ci><ci id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.6.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6.6.2.2.2"><apply id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6c">\sigma(r,s)=Cov(V_{t}(r),P_{t}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.6.6.m6.6d">italic_σ ( italic_r , italic_s ) = italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math>. Furthermore, <math alttext="\sup_{t}E[(V_{t}(r))^{\nu}]<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2"><semantics id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.2.cmml">sup</mo><mi id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mrow id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2b"><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2"><lt id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.2"></lt><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1"><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.2">supremum</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.2"></times><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.3">𝐸</ci><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><infinity id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2c">\sup_{t}E[(V_{t}(r))^{\nu}]<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.7.7.m7.2d">roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] < ∞</annotation></semantics></math> and <math alttext="\sup_{t}E[(P_{t}(r))^{\nu}]<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2"><semantics id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2a"><mrow id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.2.cmml">sup</mo><mi id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mrow id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow 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id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.2"></lt><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1"><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.2">supremum</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.2"></times><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.3">𝐸</ci><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><infinity id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2c">\sup_{t}E[(P_{t}(r))^{\nu}]<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.8.8.m8.2d">roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_E [ ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] < ∞</annotation></semantics></math> for some <math alttext="\nu\geq 4" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1a"><mrow id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml">4</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1"><geq id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.1"></geq><ci id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.2">𝜈</ci><cn id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1c">\nu\geq 4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.9.9.m9.1d">italic_ν ≥ 4</annotation></semantics></math> such that the joint process <math alttext="(V_{t},P_{t})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2"><semantics id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2a"><mrow id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.4" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2b"><interval closure="open" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2"><apply id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2c">(V_{t},P_{t})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.10.10.m10.2d">( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.11.11.m11.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing of size <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1a"><mrow id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1a" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1"><minus id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1"></minus><apply id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1"><divide id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.2"></divide><ci id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.3">𝜈</ci><apply id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1c">-\nu/(\nu-2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.12.12.m12.1d">- italic_ν / ( italic_ν - 2 )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\widehat{\mu}_{V}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}V_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2"><semantics id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2a"><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.1.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.cmml"><mfrac id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.cmml"><msubsup id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.1" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.2" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2b"><apply id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3"><eq id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.1"></eq><apply id="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.13.13.m13.2.3.2"><times 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alttext="\widehat{\mu}_{P}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2"><semantics id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2a"><mrow id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.1" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml"><mo 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id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3"><eq id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2"><times id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.3.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2c">\widehat{\mu}_{P}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.14.14.m14.2d">over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\widehat{\sigma}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}(r)-\widehat{\mu}_{V}(r))% (P_{t}(s)-\widehat{\mu}_{P}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8"><semantics id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8a"><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.cmml"><mfrac id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4.cmml"><mn id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4.2.cmml">1</mn><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.cmml"><msubsup id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.2" rspace="0em" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.3.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.4.4" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.4.4.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.5.5" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.5.5.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1" 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xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><ci id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.6.6.cmml" xref="Thmlemma3.p1.15.15.m15.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8c">\widehat{\sigma}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}(r)-\widehat{\mu}_{V}(r))% (P_{t}(s)-\widehat{\mu}_{P}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.15.15.m15.8d">over^ start_ARG italic_σ end_ARG ( italic_r , italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math>. If <math alttext="V_{t}=P_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1a"><mrow id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.3" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1"><eq id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.1"></eq><apply id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1c">V_{t}=P_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.16.16.m16.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1.1" xref="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.17.17.m17.1d">italic_S</annotation></semantics></math> is the covariance operator and <math alttext="\widehat{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1a"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1"><ci id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.1">^</ci><ci id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1.1.2">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1c">\widehat{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.18.18.m18.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math> is the sample covariance operator. If <math alttext="V_{t}\neq P_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1a"><mrow id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.2" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.3" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.1.cmml">≠</mo><msub id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.2" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.3" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1"><neq id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.1"></neq><apply id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1c">V_{t}\neq P_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.19.19.m19.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ≠ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1a"><mi id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1.1" xref="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1b"><ci id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.20.20.m20.1d">italic_S</annotation></semantics></math> is the cross covariance operator and <math alttext="\widehat{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1"><semantics id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1a"><mover accent="true" id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.2" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.1" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1b"><apply id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1"><ci id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.1">^</ci><ci id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1.1.2">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1c">\widehat{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma3.p1.21.21.m21.1d">over^ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math> is the sample cross covariance operator. Then,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\widehat{S}-S\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1/2})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex49.m1.1"><semantics id="A1.Ex49.m1.1a"><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex49.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex49.m1.1b"><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex49.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex49.m1.1c">\|\widehat{S}-S\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1/2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex49.m1.1d">∥ over^ start_ARG italic_S end_ARG - italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p1.2">Let <math alttext="\widetilde{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1"><ci id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.1.m1.1.1.2">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1c">\widetilde{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_S end_ARG</annotation></semantics></math> be the integral operator with kernel <math alttext="\widetilde{\sigma}(r,s):=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}(r)-\mu_{V}(r))(P_{t}(% s)-\mu_{P}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8"><semantics id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.2.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.3" rspace="0.278em" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.3.cmml">:=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.cmml"><mfrac id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4.cmml"><mn id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4.2.cmml">1</mn><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" 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id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.2.2.3" 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id="A1.SS2.2.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.2.m2.6.6.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.2.m2.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8c">\widetilde{\sigma}(r,s):=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}(r)-\mu_{V}(r))(P_{t}(% s)-\mu_{P}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.2.m2.8d">over~ start_ARG italic_σ end_ARG ( italic_r , italic_s ) := divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math>. We can decompose</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\sigma}(r,s)=\widetilde{\sigma}(r,s)-(\mu_{V}(r)-\widehat{\mu}_{V}(r)% )(\mu_{P}(s)-\widehat{\mu}_{V}(s))," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex50.m1.9"><semantics id="A1.Ex50.m1.9a"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.1.1" xref="A1.Ex50.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex50.m1.2.2" xref="A1.Ex50.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.2.cmml">σ</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.3.3" xref="A1.Ex50.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex50.m1.4.4" xref="A1.Ex50.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.5.5" xref="A1.Ex50.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.6.6" xref="A1.Ex50.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.7.7" xref="A1.Ex50.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex50.m1.8.8" xref="A1.Ex50.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex50.m1.9.9.1.2" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex50.m1.9b"><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1"><eq id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2"><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.2.2">𝜎</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.4.3.2"><ci id="A1.Ex50.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex50.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2"><minus id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.3"></minus><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2"><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.2.2">𝜎</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.4.3.2"><ci id="A1.Ex50.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex50.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex50.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex50.m1.5.5">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex50.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑃</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex50.m1.7.7">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex50.m1.9.9.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="A1.Ex50.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex50.m1.8.8">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex50.m1.9c">\widehat{\sigma}(r,s)=\widetilde{\sigma}(r,s)-(\mu_{V}(r)-\widehat{\mu}_{V}(r)% )(\mu_{P}(s)-\widehat{\mu}_{V}(s)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex50.m1.9d">over^ start_ARG italic_σ end_ARG ( italic_r , italic_s ) = over~ start_ARG italic_σ end_ARG ( italic_r , italic_s ) - ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p1.6">which implies that <math alttext="\|\widehat{S}-\widetilde{S}\|_{\mathcal{S}}=\|\mu_{V}-\widehat{\mu}_{V}\|\|\mu% _{P}-\widehat{\mu}_{P}\|=O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4"><semantics id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.6" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.7" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4b"><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4"><and id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4a.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4"></and><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4b.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4"><eq id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.6"></eq><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3"><times id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.3"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑉</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2"><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.2.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4c.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4"><eq id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.7.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS2.2.p1.3.m1.3.3.3.cmml" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4d.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4"></share><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4"><times id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.2"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.3.m1.4.4.4.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4c">\|\widehat{S}-\widetilde{S}\|_{\mathcal{S}}=\|\mu_{V}-\widehat{\mu}_{V}\|\|\mu% _{P}-\widehat{\mu}_{P}\|=O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.3.m1.4d">∥ over^ start_ARG italic_S end_ARG - over~ start_ARG italic_S end_ARG ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_V end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ∥ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> by the Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma2" title="Lemma 2. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. By the triangle inequality, it remains to show that <math alttext="\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2"><semantics id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2b"><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2"><eq id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2"><times id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.2"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.4.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2c">\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.4.m2.2d">∥ over~ start_ARG italic_S end_ARG - italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Let us define the centered random variables <math alttext="V_{t}^{*}(r):=V_{t}(r)-\mu_{V}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3"><semantics id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.1" rspace="0.278em" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.1.cmml">:=</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.cmml"><msub id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.2.3.cmml">V</mi></msub><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3b"><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.1">assign</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2"><times id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.2.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2"><times id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.5.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3"><times id="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.5.m3.3.4.3.3.1"></times><apply 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class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3"><semantics id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.6.m4.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.6.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.6.m4.3.4.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" 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We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx19"> <tbody id="A1.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\widetilde{\sigma}(r,s)-\sigma(r,s))^{2}=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum% _{t=1}^{T}V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)]\bigg{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex51.m1.10"><semantics id="A1.Ex51.m1.10a"><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10" xref="A1.Ex51.m1.10.10.cmml"><msup id="A1.Ex51.m1.9.9.1" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1.cmml"><mrow id="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex51.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" 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xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex51.m1.5.5" xref="A1.Ex51.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1b" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.5.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex51.m1.6.6" xref="A1.Ex51.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex51.m1.7.7" xref="A1.Ex51.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex51.m1.8.8" xref="A1.Ex51.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex51.m1.10.10.2.3" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex51.m1.10b"><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10"><eq id="A1.Ex51.m1.10.10.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.3"></eq><apply id="A1.Ex51.m1.9.9.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex51.m1.9.9.1.2.cmml" xref="A1.Ex51.m1.9.9.1">superscript</csymbol><apply 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xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3"><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" 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id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.3.3.2.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex51.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex51.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex51.m1.10.10.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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id="A1.Ex51.m1.10c">\displaystyle(\widetilde{\sigma}(r,s)-\sigma(r,s))^{2}=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum% _{t=1}^{T}V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)]\bigg{)}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex51.m1.10d">( over~ start_ARG italic_σ end_ARG ( italic_r , italic_s ) - italic_σ ( italic_r , italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{% *}(r)P_{t}^{*}(s)])^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex52.m1.5"><semantics id="A1.Ex52.m1.5a"><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5" xref="A1.Ex52.m1.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3a" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2a" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex52.m1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex52.m1.2.2" xref="A1.Ex52.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex52.m1.3.3" xref="A1.Ex52.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex52.m1.4.4" xref="A1.Ex52.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex52.m1.5b"><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5"><eq id="A1.Ex52.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex52.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1"><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.2"></times><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3"><divide id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.3"></divide><cn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.3.2.cmml" type="integer" 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id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex52.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex52.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex52.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex52.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex52.m1.5.5.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex52.m1.5c">\displaystyle=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{% *}(r)P_{t}^{*}(s)])^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex52.m1.5d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}(V_{t}^{*}(r)P% _{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)])(V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s)-E[V_{t-h% }^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s)])," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex53.m1.9"><semantics id="A1.Ex53.m1.9a"><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.2.2" xref="A1.Ex53.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.3.3" xref="A1.Ex53.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.4.4" xref="A1.Ex53.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.5.5" xref="A1.Ex53.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1a" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1b" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.6.6" xref="A1.Ex53.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" 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id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex53.m1.8.8" xref="A1.Ex53.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex53.m1.9.9.1.2" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex53.m1.9b"><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1"><plus id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1"></plus><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2"><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" 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id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex53.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times 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id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3"><minus id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex53.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex53.m1.5.5">𝑟</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex53.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex53.m1.7.7">𝑟</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><minus id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex53.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex53.m1.8.8">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex53.m1.9c">\displaystyle\quad+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}(V_{t}^{*}(r)P% _{t}^{*}(s)-E[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)])(V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s)-E[V_{t-h% }^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s)]),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex53.m1.9d">+ divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] ) ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p1.16">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx20"> <tbody id="A1.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle E[\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}^{2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex54.m1.1"><semantics id="A1.Ex54.m1.1a"><mrow id="A1.Ex54.m1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.1.1.3" xref="A1.Ex54.m1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.2" xref="A1.Ex54.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex54.m1.1b"><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1"><times id="A1.Ex54.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex54.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex54.m1.1c">\displaystyle E[\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}^{2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex54.m1.1d">italic_E [ ∥ over~ start_ARG italic_S end_ARG - italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}Var[V_{t}^{% *}(r)P_{t}^{*}(s)]\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex54.m2.3"><semantics id="A1.Ex54.m2.3a"><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3a" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2a" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi 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xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex54.m2.1.1" xref="A1.Ex54.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex54.m2.2.2" xref="A1.Ex54.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.1" rspace="0em" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2d" lspace="0.170em" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.cmml"><mo id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.1" rspace="0em" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.2" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex54.m2.3b"><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3"><eq id="A1.Ex54.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1"><times id="A1.Ex54.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.2"></times><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3"><divide id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3"></divide><cn id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑉</ci><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.5">𝑟</ci><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex54.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex54.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.6.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="A1.Ex54.m2.3.3.1.1.1.1.1.7.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex54.m2.3c">\displaystyle=\frac{1}{T^{2}}\sum_{t=1}^{T}\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}Var[V_{t}^{% *}(r)P_{t}^{*}(s)]\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex54.m2.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_a italic_r [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_r roman_d italic_s</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s),V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))\,% \mathrm{d}r\,\mathrm{d}s." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex55.m1.5"><semantics id="A1.Ex55.m1.5a"><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.6" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3b" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex55.m1.1.1" xref="A1.Ex55.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex55.m1.2.2" xref="A1.Ex55.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" 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lspace="0.170em" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.cmml"><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.1" rspace="0em" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.2" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex55.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex55.m1.5b"><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1"><plus id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1"></plus><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2"><times id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.3"></times><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4"><divide id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.4"></divide><cn 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id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3"><minus id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><int id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2"></int><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><int id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2"></int><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3"></times><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.4">𝐶</ci><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.5">𝑜</ci><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" 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id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3"><minus id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex55.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex55.m1.4.4">𝑠</ci></apply></interval><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.7.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.1.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.2.cmml" xref="A1.Ex55.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.8.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex55.m1.5c">\displaystyle\quad+\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s),V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))\,% \mathrm{d}r\,\mathrm{d}s.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex55.m1.5d">+ divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) roman_d italic_r roman_d italic_s .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p1.9">The first term is <math alttext="O(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1"><times id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1c">O(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.7.m1.1d">italic_O ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> since <math alttext="Var[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)]<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3"><semantics id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.3.cmml">V</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.4.cmml">a</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2a" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.5" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.5.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2b" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1b" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.5.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.2.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3b"><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3"><lt id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.2"></lt><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1"><times id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.2"></times><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.3">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.4">𝑎</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.5.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.5">𝑟</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.8.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><infinity id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.8.m2.3.3.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3c">Var[V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s)]<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.8.m2.3d">italic_V italic_a italic_r [ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] < ∞</annotation></semantics></math>. This follows from the Cauchy Schwarz inequality and the fact that we have bounded fourth moments. For the second term, we apply the mixing inequality from equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E29" title="In Proof. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) with <math alttext="p=\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1"><eq id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.9.m3.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1c">p=\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.9.m3.1d">italic_p = italic_ν</annotation></semantics></math>, and obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx21"> <tbody id="A1.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{|}\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s),V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))\,% \mathrm{d}r\,\mathrm{d}s\bigg{|}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex56.m1.5"><semantics id="A1.Ex56.m1.5a"><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.2.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex56.m1.5.5.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.6" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3b" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.1.1" xref="A1.Ex56.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.2.2" xref="A1.Ex56.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.3.3" xref="A1.Ex56.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1a" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1b" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex56.m1.4.4" xref="A1.Ex56.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.1" rspace="0em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3d" lspace="0.170em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.cmml"><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.1" rspace="0em" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.2" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex56.m1.5.5.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex56.m1.5.5.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex56.m1.5b"><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1"><abs id="A1.Ex56.m1.5.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.2"></abs><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.3"></times><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4"><divide id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" 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xref="A1.Ex56.m1.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex56.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><minus id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex56.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3"><minus id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex56.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex56.m1.4.4">𝑠</ci></apply></interval><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.7.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.1.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.2.cmml" xref="A1.Ex56.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.8.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex56.m1.5c">\displaystyle\bigg{|}\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\int_{a}^{b}% \int_{a}^{b}Cov(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s),V_{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))\,% \mathrm{d}r\,\mathrm{d}s\bigg{|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex56.m1.5d">| divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) , italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) roman_d italic_r roman_d italic_s |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\alpha_{h}^{(\nu% -2)/\nu}\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s))^{\nu}]E[(V% _{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))^{\nu}]\big{)}^{1/\nu}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex57.m1.6"><semantics id="A1.Ex57.m1.6a"><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><msup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.Ex57.m1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.Ex57.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup></mstyle><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex57.m1.2.2" xref="A1.Ex57.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex57.m1.3.3" xref="A1.Ex57.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex57.m1.4.4" xref="A1.Ex57.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex57.m1.5.5" xref="A1.Ex57.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">d</mo><mi id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow 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id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex57.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">𝐸</ci><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex57.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex57.m1.4.4">𝑟</ci><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3"><minus id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></minus><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.Ex57.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex57.m1.5.5">𝑠</ci></apply><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex57.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex57.m1.6c">\displaystyle\leq\frac{2}{T^{2}}\sum_{t=2}^{T}\sum_{h=1}^{t-1}\alpha_{h}^{(\nu% -2)/\nu}\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s))^{\nu}]E[(V% _{t-h}^{*}(r)P_{t-h}^{*}(s))^{\nu}]\big{)}^{1/\nu}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex57.m1.6d">≤ divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_T start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν - 2 ) / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_r roman_d italic_s .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.2.p1.15">Note that <math alttext="\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s))^{\nu}]E[(V_{t-h}^{% *}(r)P_{t-h}^{*}(s))^{\nu}]\big{)}^{1/\nu}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5"><semantics id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.2.2" lspace="0.167em" rspace="0em" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3b" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.4.4" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">ν</mi></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml">d</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.1" rspace="0em" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml">d</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.2" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.2.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5b"><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5"><lt id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.2"></lt><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1"><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.2.cmml" 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id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.2.2">𝑠</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.5">𝐸</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></minus><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><times id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.4.4">𝑠</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3"><divide id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.1.1.1.4.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><infinity id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.10.m1.5.5.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5c">\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\big{(}E[(V_{t}^{*}(r)P_{t}^{*}(s))^{\nu}]E[(V_{t-h}^{% *}(r)P_{t-h}^{*}(s))^{\nu}]\big{)}^{1/\nu}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}s<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.10.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_r ) italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ] ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_r roman_d italic_s < ∞</annotation></semantics></math> by the Cauchy Schwarz inequality and the fact that <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1a"><mi id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.11.m2.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1b"><ci id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.11.m2.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.11.m2.1d">italic_ν</annotation></semantics></math>-th moments are bounded, and <math alttext="\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.3" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><msubsup id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.3.cmml">h</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.2.cmml">/</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.1.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2"><lt id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.1"></lt><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2"><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.2"></sum><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3"><eq id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.1.3"></infinity></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.2.2.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1"><divide id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.2"></divide><apply id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><infinity id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.12.m3.1.2.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1c">\sum_{h=1}^{\infty}\alpha_{h}^{(\nu-2)/\nu}<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.12.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ν - 2 ) / italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT < ∞</annotation></semantics></math> by the <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1a"><mi id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.13.m4.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1b"><ci id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.13.m4.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.13.m4.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing property, which implies that the second term of <math alttext="E[\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}^{2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1"><times id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.2"></times><ci id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci></apply></apply><ci id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.14.m5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1c">E[\|\widetilde{S}-S\|_{\mathcal{S}}^{2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.14.m5.1d">italic_E [ ∥ over~ start_ARG italic_S end_ARG - italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> is <math alttext="O(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1"><semantics id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1a"><mrow id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1b"><apply id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1"><times id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.2"></times><ci id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.3">𝑂</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.2.p1.15.m6.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1c">O(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.2.p1.15.m6.1d">italic_O ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as well. The assertion follows by Markov’s inequality. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma4.1.1.1">Lemma 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma4.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma4.p1.7.7">Let <math alttext="Y_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1c">Y_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.1.1.m1.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="X_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3"><times id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1c">X_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.2.2.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be defined as in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E1" title="In 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S3.E14" title="In 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>). <math alttext="C_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1c">C_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.3.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the auxiliary cross covariance integral operator with kernel <math alttext="c_{j}\left(r,s\right)\coloneqq\mathit{Cov}\left[X_{jt}\left(r\right),Y_{t}% \left(s\right)\right]." class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5"><semantics id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5a"><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.2.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.3.cmml">≔</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.4" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.4.cmml">𝐶𝑜𝑣</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.3.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.3.3.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.4" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.1" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.4.4" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.4.4.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.5" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.2" lspace="0em" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5b"><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1"><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.3">≔</ci><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4"><times id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.1"></times><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.4.3.2"><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2"><times id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.3"></times><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.4">𝐶𝑜𝑣</ci><interval closure="closed" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2"><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2"><times id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑌</ci><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.4.4.cmml" xref="Thmlemma4.p1.4.4.m4.4.4">𝑠</ci></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5c">c_{j}\left(r,s\right)\coloneqq\mathit{Cov}\left[X_{jt}\left(r\right),Y_{t}% \left(s\right)\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.4.4.m4.5d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ≔ italic_Cov [ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] .</annotation></semantics></math> The respective sample counterparts <math alttext="\widehat{C}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.1" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2"><ci id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1c">\widehat{C}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.5.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{c}_{j}\left(r,s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.1" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.3" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.1" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.2.1" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.2" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.2.3" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2b"><apply id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3"><times id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2"><ci id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.3.3.2"><ci id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.1.1">𝑟</ci><ci id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2c">\widehat{c}_{j}\left(r,s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.6.6.m6.2d">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> are defined as in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E19" title="In 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>). By Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3"><semantics id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3a"><mrow id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.2" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.1" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.2" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.3" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3b"><apply id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4"><eq id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.2.2.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.3.cmml" xref="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma4.p1.7.7.m7.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex58"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\|\hat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex58.m1.2"><semantics id="A1.Ex58.m1.2a"><mrow id="A1.Ex58.m1.2.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex58.m1.1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex58.m1.2.2.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex58.m1.2b"><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2"><eq id="A1.Ex58.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.3"></eq><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex58.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2"><times id="A1.Ex58.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.2">𝒪</ci><ci id="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex58.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex58.m1.2c">\left\|\hat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex58.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.3.p1.5">Because functions of <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.3.p1.1.m1.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.1.m1.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p1.1.m1.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing processes are <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1a"><mi id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS2.3.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p1.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing of the same size, <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.1" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2"><times id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p1.3.m3.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1a"><mi id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS2.3.p1.4.m4.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1b"><ci id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.4.m4.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p1.4.m4.1d">italic_α</annotation></semantics></math>-mixing for any <math alttext="r\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2"><semantics id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2a"><mrow id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.2" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.1" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.2" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS2.3.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.2" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2b"><apply id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3"><in id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.1"></in><ci id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.3.3.2"><ci id="A1.SS2.3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS2.3.p1.5.m5.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2c">r\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.3.p1.5.m5.2d">italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. Hence, the assertion follows by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma3" title="Lemma 3. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma5.1.1.1">Lemma 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma5.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma5.p1.5.5">Let <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma5.p1.1.1.m1.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{D}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.1" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2"><ci id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1c">\widehat{D}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma5.p1.2.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the respective integral operators of the kernels <math alttext="d_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi><mi id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑑</ci><ci id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1c">d_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma5.p1.3.3.m3.1d">italic_d start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{d}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2"><ci id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝑑</ci></apply><ci id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1c">\widehat{d}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma5.p1.4.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_d end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as defined in equations (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S2.E13" title="In 2.3 Infinite-dimensional regressor with approximate factor structure ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.E20" title="In 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>). By Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3"><semantics id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.2" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.1" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.2" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.3" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3b"><apply id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4"><eq id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.3.cmml" xref="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma5.p1.5.5.m5.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\right\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/% 2}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex59.m1.2"><semantics id="A1.Ex59.m1.2a"><mrow id="A1.Ex59.m1.2.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex59.m1.1.1.1" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex59.m1.2.2.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex59.m1.2b"><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2"><eq id="A1.Ex59.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.3"></eq><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2"><times id="A1.Ex59.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.2">𝒪</ci><ci id="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex59.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex59.m1.2c">\left\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\right\|_{\mathcal{S}}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/% 2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex59.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.4.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.4.p1.6">Consider the decomposition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\int_{a}^{b}\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)\widehat{c}_{j}\left(% q,s\right)-c_{j}\left(r,q\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq\\ &=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q\right)% \right)\widehat{c}_{j}\left(q,s\right)+\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c% _{j}\left(s,q\right)\right)c_{j}\left(q,r\right)\,dq\\ &=a_{3}\left(r,s\right)+a_{4}\left(r,s\right)+a_{5}\left(r,s\right),\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex60.m1.118"><semantics id="A1.Ex60.m1.118a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A1.Ex60.m1.118.118.4" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex60.m1.118.118.4a"><mtd id="A1.Ex60.m1.118.118.4b" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex60.m1.118.118.4c"><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34"><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35"><msubsup id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.1"><mo id="A1.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex60.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex60.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex60.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex60.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2"><msub id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.2"><mover accent="true" id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex60.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="A1.Ex60.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.3"><mo id="A1.Ex60.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.7.7.7.7.7.7" xref="A1.Ex60.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.8.8.8.8.8.8" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.9.9.9.9.9.9" xref="A1.Ex60.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.10.10.10.10.10.10" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.1a" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.4"><mover accent="true" id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mi id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.2" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex60.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="A1.Ex60.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.1b" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.35.2.5"><mo id="A1.Ex60.m1.13.13.13.13.13.13" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.14.14.14.14.14.14" xref="A1.Ex60.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.15.15.15.15.15.15" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.16.16.16.16.16.16" xref="A1.Ex60.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.17.17.17.17.17.17" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.18.18.18.18.18.18" xref="A1.Ex60.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36"><msub id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.2"><mi id="A1.Ex60.m1.19.19.19.19.19.19" xref="A1.Ex60.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex60.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="A1.Ex60.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.3"><mo id="A1.Ex60.m1.21.21.21.21.21.21" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.22.22.22.22.22.22" xref="A1.Ex60.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.23.23.23.23.23.23" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.24.24.24.24.24.24" xref="A1.Ex60.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.25.25.25.25.25.25" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.1a" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.4"><mi id="A1.Ex60.m1.26.26.26.26.26.26" xref="A1.Ex60.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex60.m1.27.27.27.27.27.27.1" xref="A1.Ex60.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.1b" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.5"><mo id="A1.Ex60.m1.28.28.28.28.28.28" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.29.29.29.29.29.29" xref="A1.Ex60.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.30.30.30.30.30.30" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.31.31.31.31.31.31" xref="A1.Ex60.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.32.32.32.32.32.32" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.1c" lspace="0.170em" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex60.m1.33.33.33.33.33.33" xref="A1.Ex60.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">d</mi><mo id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.36.1d" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.34" xref="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">q</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex60.m1.118.118.4d"><mtd id="A1.Ex60.m1.118.118.4e" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex60.m1.118.118.4f"><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57"><mi id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.58" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex60.m1.35.35.35.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex60.m1.35.35.35.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57"><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1"><msubsup id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.2"><mo id="A1.Ex60.m1.36.36.36.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex60.m1.36.36.36.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex60.m1.37.37.37.3.3.3.1" xref="A1.Ex60.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex60.m1.38.38.38.4.4.4.1" xref="A1.Ex60.m1.38.38.38.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1"><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex60.m1.39.39.39.5.5.5" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.2" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.1" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex60.m1.41.41.41.7.7.7.1" xref="A1.Ex60.m1.41.41.41.7.7.7.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex60.m1.42.42.42.8.8.8" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.43.43.43.9.9.9" xref="A1.Ex60.m1.43.43.43.9.9.9.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.44.44.44.10.10.10" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.45.45.45.11.11.11" xref="A1.Ex60.m1.45.45.45.11.11.11.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.46.46.46.12.12.12" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.47.47.47.13.13.13" xref="A1.Ex60.m1.47.47.47.13.13.13.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex60.m1.48.48.48.14.14.14" xref="A1.Ex60.m1.48.48.48.14.14.14.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex60.m1.49.49.49.15.15.15.1" xref="A1.Ex60.m1.49.49.49.15.15.15.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex60.m1.50.50.50.16.16.16" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.51.51.51.17.17.17" xref="A1.Ex60.m1.51.51.51.17.17.17.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.52.52.52.18.18.18" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.53.53.53.19.19.19" xref="A1.Ex60.m1.53.53.53.19.19.19.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.54.54.54.20.20.20" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.55.55.55.21.21.21" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.2" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.3"><mover accent="true" id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.cmml"><mi id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.2" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.1" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex60.m1.57.57.57.23.23.23.1" xref="A1.Ex60.m1.57.57.57.23.23.23.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.2a" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.116.116.2.115.56.56.56.1.1.4"><mo id="A1.Ex60.m1.58.58.58.24.24.24" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.59.59.59.25.25.25" xref="A1.Ex60.m1.59.59.59.25.25.25.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.60.60.60.26.26.26" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.61.61.61.27.27.27" xref="A1.Ex60.m1.61.61.61.27.27.27.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.62.62.62.28.28.28" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.63.63.63.29.29.29" xref="A1.Ex60.m1.63.63.63.29.29.29.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2"><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1"><mo id="A1.Ex60.m1.64.64.64.30.30.30" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1"><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.cmml"><mi id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.2" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.1" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex60.m1.66.66.66.32.32.32.1" xref="A1.Ex60.m1.66.66.66.32.32.32.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex60.m1.67.67.67.33.33.33" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.68.68.68.34.34.34" xref="A1.Ex60.m1.68.68.68.34.34.34.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.69.69.69.35.35.35" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.70.70.70.36.36.36" xref="A1.Ex60.m1.70.70.70.36.36.36.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.71.71.71.37.37.37" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.72.72.72.38.38.38" xref="A1.Ex60.m1.72.72.72.38.38.38.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex60.m1.73.73.73.39.39.39" xref="A1.Ex60.m1.73.73.73.39.39.39.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex60.m1.74.74.74.40.40.40.1" xref="A1.Ex60.m1.74.74.74.40.40.40.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex60.m1.75.75.75.41.41.41" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.76.76.76.42.42.42" xref="A1.Ex60.m1.76.76.76.42.42.42.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.77.77.77.43.43.43" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.78.78.78.44.44.44" xref="A1.Ex60.m1.78.78.78.44.44.44.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.79.79.79.45.45.45" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.80.80.80.46.46.46" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.2" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.3"><mi id="A1.Ex60.m1.81.81.81.47.47.47" xref="A1.Ex60.m1.81.81.81.47.47.47.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex60.m1.82.82.82.48.48.48.1" xref="A1.Ex60.m1.82.82.82.48.48.48.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.2a" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.4"><mo id="A1.Ex60.m1.83.83.83.49.49.49" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.84.84.84.50.50.50" xref="A1.Ex60.m1.84.84.84.50.50.50.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex60.m1.85.85.85.51.51.51" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.86.86.86.52.52.52" xref="A1.Ex60.m1.86.86.86.52.52.52.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.87.87.87.53.53.53" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.2b" lspace="0.170em" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex60.m1.88.88.88.54.54.54" xref="A1.Ex60.m1.88.88.88.54.54.54.cmml">d</mi><mo id="A1.Ex60.m1.117.117.3.116.57.57.57.2.2c" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex60.m1.89.89.89.55.55.55" xref="A1.Ex60.m1.89.89.89.55.55.55.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex60.m1.118.118.4g"><mtd id="A1.Ex60.m1.118.118.4h" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex60.m1.118.118.4i"><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26"><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1"><mi id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex60.m1.90.90.90.1.1.1" xref="A1.Ex60.m1.90.90.90.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2"><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.1"><msub id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.1.2"><mi id="A1.Ex60.m1.91.91.91.2.2.2" xref="A1.Ex60.m1.91.91.91.2.2.2.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex60.m1.92.92.92.3.3.3.1" xref="A1.Ex60.m1.92.92.92.3.3.3.1.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.1.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.1.3"><mo id="A1.Ex60.m1.93.93.93.4.4.4" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.94.94.94.5.5.5" xref="A1.Ex60.m1.94.94.94.5.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.95.95.95.6.6.6" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.96.96.96.7.7.7" xref="A1.Ex60.m1.96.96.96.7.7.7.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.97.97.97.8.8.8" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9" xref="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.2"><msub id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.2.2"><mi id="A1.Ex60.m1.99.99.99.10.10.10" xref="A1.Ex60.m1.99.99.99.10.10.10.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex60.m1.100.100.100.11.11.11.1" xref="A1.Ex60.m1.100.100.100.11.11.11.1.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.2.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.2.3"><mo id="A1.Ex60.m1.101.101.101.12.12.12" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.102.102.102.13.13.13" xref="A1.Ex60.m1.102.102.102.13.13.13.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.103.103.103.14.14.14" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.104.104.104.15.15.15" xref="A1.Ex60.m1.104.104.104.15.15.15.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.105.105.105.16.16.16" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9a" xref="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.3"><msub id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.3.2"><mi id="A1.Ex60.m1.107.107.107.18.18.18" xref="A1.Ex60.m1.107.107.107.18.18.18.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex60.m1.108.108.108.19.19.19.1" xref="A1.Ex60.m1.108.108.108.19.19.19.1.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.3.1" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex60.m1.118.118.4.117.26.26.26.1.2.3.3"><mo id="A1.Ex60.m1.109.109.109.20.20.20" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex60.m1.110.110.110.21.21.21" xref="A1.Ex60.m1.110.110.110.21.21.21.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex60.m1.111.111.111.22.22.22" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex60.m1.112.112.112.23.23.23" xref="A1.Ex60.m1.112.112.112.23.23.23.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex60.m1.113.113.113.24.24.24" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex60.m1.114.114.114.25.25.25" xref="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex60.m1.118b"><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><and id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></and><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><eq id="A1.Ex60.m1.35.35.35.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.35.35.35.1.1.1"></eq><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><minus id="A1.Ex60.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex60.m1.18.18.18.18.18.18"></minus><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><int id="A1.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1"></int><ci id="A1.Ex60.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.2.2.2.2.2.2.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.3.3.3.3.3.3.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4"><ci id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.1">^</ci><ci id="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.4.4.4.4.4.4.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.5.5.5.5.5.5.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex60.m1.7.7.7.7.7.7">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex60.m1.9.9.9.9.9.9">𝑞</ci></interval><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11"><ci id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.1">^</ci><ci id="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.11.11.11.11.11.11.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.12.12.12.12.12.12.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="A1.Ex60.m1.14.14.14.14.14.14">𝑞</ci><ci id="A1.Ex60.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex60.m1.16.16.16.16.16.16">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="A1.Ex60.m1.19.19.19.19.19.19">𝑐</ci><ci id="A1.Ex60.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.20.20.20.20.20.20.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="A1.Ex60.m1.22.22.22.22.22.22">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex60.m1.24.24.24.24.24.24">𝑞</ci></interval><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex60.m1.26.26.26.26.26.26">𝑐</ci><ci id="A1.Ex60.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.27.27.27.27.27.27.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.4.3.5.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="A1.Ex60.m1.29.29.29.29.29.29">𝑞</ci><ci id="A1.Ex60.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="A1.Ex60.m1.31.31.31.31.31.31">𝑠</ci></interval><ci id="A1.Ex60.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="A1.Ex60.m1.33.33.33.33.33.33">𝑑</ci><ci id="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.34.cmml" xref="A1.Ex60.m1.34.34.34.34.34.34">𝑞</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><plus id="A1.Ex60.m1.63.63.63.29.29.29.cmml" xref="A1.Ex60.m1.63.63.63.29.29.29"></plus><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><int id="A1.Ex60.m1.36.36.36.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.36.36.36.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex60.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.37.37.37.3.3.3.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.38.38.38.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.38.38.38.4.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><minus id="A1.Ex60.m1.47.47.47.13.13.13.cmml" xref="A1.Ex60.m1.47.47.47.13.13.13"></minus><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6"><ci id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.1">^</ci><ci id="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.40.40.40.6.6.6.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.41.41.41.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.41.41.41.7.7.7.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.43.43.43.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex60.m1.43.43.43.9.9.9">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.45.45.45.11.11.11.cmml" xref="A1.Ex60.m1.45.45.45.11.11.11">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.48.48.48.14.14.14.cmml" xref="A1.Ex60.m1.48.48.48.14.14.14">𝑐</ci><ci id="A1.Ex60.m1.49.49.49.15.15.15.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.49.49.49.15.15.15.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.51.51.51.17.17.17.cmml" xref="A1.Ex60.m1.51.51.51.17.17.17">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.53.53.53.19.19.19.cmml" xref="A1.Ex60.m1.53.53.53.19.19.19">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.cmml" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22"><ci id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.1">^</ci><ci id="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.56.56.56.22.22.22.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.57.57.57.23.23.23.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.57.57.57.23.23.23.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.59.59.59.25.25.25.cmml" xref="A1.Ex60.m1.59.59.59.25.25.25">𝑞</ci><ci id="A1.Ex60.m1.61.61.61.27.27.27.cmml" xref="A1.Ex60.m1.61.61.61.27.27.27">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><minus id="A1.Ex60.m1.72.72.72.38.38.38.cmml" xref="A1.Ex60.m1.72.72.72.38.38.38"></minus><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.cmml" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31"><ci id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.1">^</ci><ci id="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.65.65.65.31.31.31.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex60.m1.66.66.66.32.32.32.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.66.66.66.32.32.32.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.68.68.68.34.34.34.cmml" xref="A1.Ex60.m1.68.68.68.34.34.34">𝑠</ci><ci id="A1.Ex60.m1.70.70.70.36.36.36.cmml" xref="A1.Ex60.m1.70.70.70.36.36.36">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.73.73.73.39.39.39.cmml" xref="A1.Ex60.m1.73.73.73.39.39.39">𝑐</ci><ci id="A1.Ex60.m1.74.74.74.40.40.40.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.74.74.74.40.40.40.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.76.76.76.42.42.42.cmml" xref="A1.Ex60.m1.76.76.76.42.42.42">𝑠</ci><ci id="A1.Ex60.m1.78.78.78.44.44.44.cmml" xref="A1.Ex60.m1.78.78.78.44.44.44">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.81.81.81.47.47.47.cmml" xref="A1.Ex60.m1.81.81.81.47.47.47">𝑐</ci><ci id="A1.Ex60.m1.82.82.82.48.48.48.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.82.82.82.48.48.48.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.84.84.84.50.50.50.cmml" xref="A1.Ex60.m1.84.84.84.50.50.50">𝑞</ci><ci id="A1.Ex60.m1.86.86.86.52.52.52.cmml" xref="A1.Ex60.m1.86.86.86.52.52.52">𝑟</ci></interval><ci id="A1.Ex60.m1.88.88.88.54.54.54.cmml" xref="A1.Ex60.m1.88.88.88.54.54.54">𝑑</ci><ci id="A1.Ex60.m1.89.89.89.55.55.55.cmml" xref="A1.Ex60.m1.89.89.89.55.55.55">𝑞</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><eq id="A1.Ex60.m1.90.90.90.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.90.90.90.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.2.cmml" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></share><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><plus id="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex60.m1.98.98.98.9.9.9"></plus><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.91.91.91.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.91.91.91.2.2.2">𝑎</ci><cn id="A1.Ex60.m1.92.92.92.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex60.m1.92.92.92.3.3.3.1">3</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.2.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.94.94.94.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex60.m1.94.94.94.5.5.5">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.96.96.96.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex60.m1.96.96.96.7.7.7">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.99.99.99.10.10.10.cmml" xref="A1.Ex60.m1.99.99.99.10.10.10">𝑎</ci><cn id="A1.Ex60.m1.100.100.100.11.11.11.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex60.m1.100.100.100.11.11.11.1">4</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.3.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.102.102.102.13.13.13.cmml" xref="A1.Ex60.m1.102.102.102.13.13.13">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.104.104.104.15.15.15.cmml" xref="A1.Ex60.m1.104.104.104.15.15.15">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.4.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><times id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"></times><apply id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.4.2.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex60.m1.107.107.107.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex60.m1.107.107.107.18.18.18">𝑎</ci><cn id="A1.Ex60.m1.108.108.108.19.19.19.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex60.m1.108.108.108.19.19.19.1">5</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex60.m1.115.115.1.1.1.7.4.3.cmml" xref="A1.Ex60.m1.118.118.4b"><ci id="A1.Ex60.m1.110.110.110.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex60.m1.110.110.110.21.21.21">𝑟</ci><ci id="A1.Ex60.m1.112.112.112.23.23.23.cmml" xref="A1.Ex60.m1.112.112.112.23.23.23">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex60.m1.118c">\begin{split}&\int_{a}^{b}\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)\widehat{c}_{j}\left(% q,s\right)-c_{j}\left(r,q\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq\\ &=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q\right)% \right)\widehat{c}_{j}\left(q,s\right)+\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c% _{j}\left(s,q\right)\right)c_{j}\left(q,r\right)\,dq\\ &=a_{3}\left(r,s\right)+a_{4}\left(r,s\right)+a_{5}\left(r,s\right),\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex60.m1.118d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) italic_d italic_q end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) + ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_r ) italic_d italic_q end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_a start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.4.p1.7">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&a_{3}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j% }\left(s,q\right)\right)\,dq,\\ &a_{4}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}% \left(r,q\right)\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq,\\ &a_{5}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j}% \left(s,q\right)\right)c_{j}\left(q,r\right)\,dq.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex61.m1.128"><semantics id="A1.Ex61.m1.128a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A1.Ex61.m1.128.128.4" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex61.m1.128.128.4a"><mtd id="A1.Ex61.m1.128.128.4b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex61.m1.128.128.4c"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.3"><msub id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.3.2"><mi id="A1.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex61.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex61.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.3.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.3.3"><mo id="A1.Ex61.m1.3.3.3.3.3.3">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex61.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.5.5.5.5.5.5">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A1.Ex61.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.7.7.7.7.7.7">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.8.8.8.8.8.8" rspace="0.111em" xref="A1.Ex61.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2"><msubsup id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.9.9.9.9.9.9" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex61.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="A1.Ex61.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex61.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="A1.Ex61.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex61.m1.12.12.12.12.12.12">(</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.2" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex61.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="A1.Ex61.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex61.m1.15.15.15.15.15.15">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.16.16.16.16.16.16" xref="A1.Ex61.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.17.17.17.17.17.17">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.18.18.18.18.18.18" xref="A1.Ex61.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.19.19.19.19.19.19">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.20.20.20.20.20.20" xref="A1.Ex61.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.21.21.21.21.21.21" xref="A1.Ex61.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="A1.Ex61.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.23.23.23.23.23.23">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.24.24.24.24.24.24" xref="A1.Ex61.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.25.25.25.25.25.25">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.26.26.26.26.26.26" xref="A1.Ex61.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.27.27.27.27.27.27">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.28.28.28.28.28.28">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.3">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1"><mo id="A1.Ex61.m1.29.29.29.29.29.29">(</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.1"><msub id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.cmml"><mi id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.2" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.1" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex61.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="A1.Ex61.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex61.m1.32.32.32.32.32.32">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.33.33.33.33.33.33" xref="A1.Ex61.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.34.34.34.34.34.34">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.35.35.35.35.35.35" xref="A1.Ex61.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.36.36.36.36.36.36">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.37.37.37.37.37.37" xref="A1.Ex61.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.38.38.38.38.38.38" xref="A1.Ex61.m1.38.38.38.38.38.38.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.39.39.39.39.39.39.1" xref="A1.Ex61.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.2.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.40.40.40.40.40.40">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.41.41.41.41.41.41" xref="A1.Ex61.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.42.42.42.42.42.42">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.43.43.43.43.43.43" xref="A1.Ex61.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.44.44.44.44.44.44">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.45.45.45.45.45.45">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.3a" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.126.126.2.125.49.49.49.1.2.2.4"><mo id="A1.Ex61.m1.46.46.46.46.46.46" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.46.46.46.46.46.46.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex61.m1.47.47.47.47.47.47" xref="A1.Ex61.m1.47.47.47.47.47.47.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.48.48.48.48.48.48">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex61.m1.128.128.4d"><mtd id="A1.Ex61.m1.128.128.4e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex61.m1.128.128.4f"><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39"><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.49.49.49.1.1.1" xref="A1.Ex61.m1.49.49.49.1.1.1.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex61.m1.50.50.50.2.2.2.1" xref="A1.Ex61.m1.50.50.50.2.2.2.1.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.51.51.51.3.3.3">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.52.52.52.4.4.4" xref="A1.Ex61.m1.52.52.52.4.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.53.53.53.5.5.5">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.54.54.54.6.6.6" xref="A1.Ex61.m1.54.54.54.6.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.55.55.55.7.7.7">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.56.56.56.8.8.8" rspace="0.111em" xref="A1.Ex61.m1.56.56.56.8.8.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1"><msubsup id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.2"><mo id="A1.Ex61.m1.57.57.57.9.9.9" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.57.57.57.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex61.m1.58.58.58.10.10.10.1" xref="A1.Ex61.m1.58.58.58.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex61.m1.59.59.59.11.11.11.1" xref="A1.Ex61.m1.59.59.59.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex61.m1.60.60.60.12.12.12">(</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.2" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.1" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex61.m1.62.62.62.14.14.14.1" xref="A1.Ex61.m1.62.62.62.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex61.m1.63.63.63.15.15.15">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.64.64.64.16.16.16" xref="A1.Ex61.m1.64.64.64.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.65.65.65.17.17.17">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.66.66.66.18.18.18" xref="A1.Ex61.m1.66.66.66.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.67.67.67.19.19.19">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.68.68.68.20.20.20" xref="A1.Ex61.m1.68.68.68.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.69.69.69.21.21.21" xref="A1.Ex61.m1.69.69.69.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.70.70.70.22.22.22.1" xref="A1.Ex61.m1.70.70.70.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.71.71.71.23.23.23">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.72.72.72.24.24.24" xref="A1.Ex61.m1.72.72.72.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.73.73.73.25.25.25">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.74.74.74.26.26.26" xref="A1.Ex61.m1.74.74.74.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.75.75.75.27.27.27">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.76.76.76.28.28.28">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.2">⁢</mo><msub id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.3"><mi id="A1.Ex61.m1.77.77.77.29.29.29" xref="A1.Ex61.m1.77.77.77.29.29.29.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.78.78.78.30.30.30.1" xref="A1.Ex61.m1.78.78.78.30.30.30.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.2a">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.4"><mo id="A1.Ex61.m1.79.79.79.31.31.31">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.80.80.80.32.32.32" xref="A1.Ex61.m1.80.80.80.32.32.32.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.81.81.81.33.33.33">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.82.82.82.34.34.34" xref="A1.Ex61.m1.82.82.82.34.34.34.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.83.83.83.35.35.35">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.2b" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.127.127.3.126.39.39.39.1.1.1.5"><mo id="A1.Ex61.m1.84.84.84.36.36.36" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.84.84.84.36.36.36.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex61.m1.85.85.85.37.37.37" xref="A1.Ex61.m1.85.85.85.37.37.37.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.86.86.86.38.38.38">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex61.m1.128.128.4g"><mtd id="A1.Ex61.m1.128.128.4h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex61.m1.128.128.4i"><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39"><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.87.87.87.1.1.1" xref="A1.Ex61.m1.87.87.87.1.1.1.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex61.m1.88.88.88.2.2.2.1" xref="A1.Ex61.m1.88.88.88.2.2.2.1.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.89.89.89.3.3.3">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.90.90.90.4.4.4" xref="A1.Ex61.m1.90.90.90.4.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.91.91.91.5.5.5">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.92.92.92.6.6.6" xref="A1.Ex61.m1.92.92.92.6.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.93.93.93.7.7.7">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.94.94.94.8.8.8" rspace="0.111em" xref="A1.Ex61.m1.94.94.94.8.8.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1"><msubsup id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.2"><mo id="A1.Ex61.m1.95.95.95.9.9.9" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.95.95.95.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex61.m1.96.96.96.10.10.10.1" xref="A1.Ex61.m1.96.96.96.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex61.m1.97.97.97.11.11.11.1" xref="A1.Ex61.m1.97.97.97.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex61.m1.98.98.98.12.12.12">(</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.2" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.1" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex61.m1.100.100.100.14.14.14.1" xref="A1.Ex61.m1.100.100.100.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex61.m1.101.101.101.15.15.15">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.102.102.102.16.16.16" xref="A1.Ex61.m1.102.102.102.16.16.16.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.103.103.103.17.17.17">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.104.104.104.18.18.18" xref="A1.Ex61.m1.104.104.104.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.105.105.105.19.19.19">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.106.106.106.20.20.20" xref="A1.Ex61.m1.106.106.106.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex61.m1.107.107.107.21.21.21" xref="A1.Ex61.m1.107.107.107.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.108.108.108.22.22.22.1" xref="A1.Ex61.m1.108.108.108.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex61.m1.109.109.109.23.23.23">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.110.110.110.24.24.24" xref="A1.Ex61.m1.110.110.110.24.24.24.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex61.m1.111.111.111.25.25.25">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.112.112.112.26.26.26" xref="A1.Ex61.m1.112.112.112.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.113.113.113.27.27.27">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.114.114.114.28.28.28">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.2">⁢</mo><msub id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.3"><mi id="A1.Ex61.m1.115.115.115.29.29.29" xref="A1.Ex61.m1.115.115.115.29.29.29.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex61.m1.116.116.116.30.30.30.1" xref="A1.Ex61.m1.116.116.116.30.30.30.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.2a">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.4"><mo id="A1.Ex61.m1.117.117.117.31.31.31">(</mo><mi id="A1.Ex61.m1.118.118.118.32.32.32" xref="A1.Ex61.m1.118.118.118.32.32.32.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex61.m1.119.119.119.33.33.33">,</mo><mi id="A1.Ex61.m1.120.120.120.34.34.34" xref="A1.Ex61.m1.120.120.120.34.34.34.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex61.m1.121.121.121.35.35.35">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.2b" lspace="0.170em">⁢</mo><mrow id="A1.Ex61.m1.128.128.4.127.39.39.39.1.1.1.5"><mo id="A1.Ex61.m1.122.122.122.36.36.36" rspace="0em" xref="A1.Ex61.m1.122.122.122.36.36.36.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex61.m1.123.123.123.37.37.37" xref="A1.Ex61.m1.123.123.123.37.37.37.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex61.m1.124.124.124.38.38.38" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex61.m1.128b"><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="A1.Ex61.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="A1.Ex61.m1.8.8.8.8.8.8"></eq><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.4.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.4.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1">𝑎</ci><cn id="A1.Ex61.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex61.m1.2.2.2.2.2.2.1">3</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex61.m1.4.4.4.4.4.4">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex61.m1.6.6.6.6.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.cmml"><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="A1.Ex61.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex61.m1.9.9.9.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex61.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.10.10.10.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.11.11.11.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A1.Ex61.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex61.m1.20.20.20.20.20.20"></minus><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13"><ci id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.1">^</ci><ci id="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.2.cmml" xref="A1.Ex61.m1.13.13.13.13.13.13.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex61.m1.16.16.16.16.16.16">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex61.m1.18.18.18.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex61.m1.21.21.21.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.22.22.22.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex61.m1.24.24.24.24.24.24">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex61.m1.26.26.26.26.26.26">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><minus id="A1.Ex61.m1.37.37.37.37.37.37.cmml" xref="A1.Ex61.m1.37.37.37.37.37.37"></minus><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.cmml" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30"><ci id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.1">^</ci><ci id="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.2.cmml" xref="A1.Ex61.m1.30.30.30.30.30.30.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.31.31.31.31.31.31.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="A1.Ex61.m1.33.33.33.33.33.33">𝑠</ci><ci id="A1.Ex61.m1.35.35.35.35.35.35.cmml" xref="A1.Ex61.m1.35.35.35.35.35.35">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.38.38.38.38.38.38.cmml" xref="A1.Ex61.m1.38.38.38.38.38.38">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.39.39.39.39.39.39.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="A1.Ex61.m1.41.41.41.41.41.41">𝑠</ci><ci id="A1.Ex61.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="A1.Ex61.m1.43.43.43.43.43.43">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex61.m1.46.46.46.46.46.46.cmml" xref="A1.Ex61.m1.46.46.46.46.46.46">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.47.47.47.47.47.47.cmml" xref="A1.Ex61.m1.47.47.47.47.47.47">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><eq id="A1.Ex61.m1.56.56.56.8.8.8.cmml" xref="A1.Ex61.m1.56.56.56.8.8.8"></eq><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.49.49.49.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.49.49.49.1.1.1">𝑎</ci><cn id="A1.Ex61.m1.50.50.50.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex61.m1.50.50.50.2.2.2.1">4</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.52.52.52.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex61.m1.52.52.52.4.4.4">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.54.54.54.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex61.m1.54.54.54.6.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="A1.Ex61.m1.57.57.57.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex61.m1.57.57.57.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex61.m1.58.58.58.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.58.58.58.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.59.59.59.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.59.59.59.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A1.Ex61.m1.68.68.68.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex61.m1.68.68.68.20.20.20"></minus><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.cmml" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13"><ci id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.1">^</ci><ci id="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.2.cmml" xref="A1.Ex61.m1.61.61.61.13.13.13.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.62.62.62.14.14.14.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.62.62.62.14.14.14.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.64.64.64.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex61.m1.64.64.64.16.16.16">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.66.66.66.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex61.m1.66.66.66.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.69.69.69.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex61.m1.69.69.69.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.70.70.70.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.70.70.70.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.72.72.72.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex61.m1.72.72.72.24.24.24">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.74.74.74.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex61.m1.74.74.74.26.26.26">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.77.77.77.29.29.29.cmml" xref="A1.Ex61.m1.77.77.77.29.29.29">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.78.78.78.30.30.30.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.78.78.78.30.30.30.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.80.80.80.32.32.32.cmml" xref="A1.Ex61.m1.80.80.80.32.32.32">𝑞</ci><ci id="A1.Ex61.m1.82.82.82.34.34.34.cmml" xref="A1.Ex61.m1.82.82.82.34.34.34">𝑠</ci></interval><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.1.1.1.1.5.cmml"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex61.m1.84.84.84.36.36.36.cmml" xref="A1.Ex61.m1.84.84.84.36.36.36">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.85.85.85.37.37.37.cmml" xref="A1.Ex61.m1.85.85.85.37.37.37">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><eq id="A1.Ex61.m1.94.94.94.8.8.8.cmml" xref="A1.Ex61.m1.94.94.94.8.8.8"></eq><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.87.87.87.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.87.87.87.1.1.1">𝑎</ci><cn id="A1.Ex61.m1.88.88.88.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex61.m1.88.88.88.2.2.2.1">5</cn></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.90.90.90.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex61.m1.90.90.90.4.4.4">𝑟</ci><ci id="A1.Ex61.m1.92.92.92.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex61.m1.92.92.92.6.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><int id="A1.Ex61.m1.95.95.95.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex61.m1.95.95.95.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex61.m1.96.96.96.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.96.96.96.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.97.97.97.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.97.97.97.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A1.Ex61.m1.106.106.106.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex61.m1.106.106.106.20.20.20"></minus><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.cmml" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13"><ci id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.1">^</ci><ci id="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.2.cmml" xref="A1.Ex61.m1.99.99.99.13.13.13.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex61.m1.100.100.100.14.14.14.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.100.100.100.14.14.14.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.102.102.102.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex61.m1.102.102.102.16.16.16">𝑠</ci><ci id="A1.Ex61.m1.104.104.104.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex61.m1.104.104.104.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.107.107.107.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex61.m1.107.107.107.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.108.108.108.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.108.108.108.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.110.110.110.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex61.m1.110.110.110.24.24.24">𝑠</ci><ci id="A1.Ex61.m1.112.112.112.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex61.m1.112.112.112.26.26.26">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.115.115.115.29.29.29.cmml" xref="A1.Ex61.m1.115.115.115.29.29.29">𝑐</ci><ci id="A1.Ex61.m1.116.116.116.30.30.30.1.cmml" xref="A1.Ex61.m1.116.116.116.30.30.30.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><ci id="A1.Ex61.m1.118.118.118.32.32.32.cmml" xref="A1.Ex61.m1.118.118.118.32.32.32">𝑞</ci><ci id="A1.Ex61.m1.120.120.120.34.34.34.cmml" xref="A1.Ex61.m1.120.120.120.34.34.34">𝑟</ci></interval><apply id="A1.Ex61.m1.125.125.1.1.1.2.2.2.2.1.1.5.cmml"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex61.m1.122.122.122.36.36.36.cmml" xref="A1.Ex61.m1.122.122.122.36.36.36">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex61.m1.123.123.123.37.37.37.cmml" xref="A1.Ex61.m1.123.123.123.37.37.37">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex61.m1.128c">\begin{split}&a_{3}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j% }\left(s,q\right)\right)\,dq,\\ &a_{4}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}% \left(r,q\right)\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq,\\ &a_{5}\left(r,s\right)=\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j}% \left(s,q\right)\right)c_{j}\left(q,r\right)\,dq.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex61.m1.128d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) italic_d italic_q , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) italic_d italic_q , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_a start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_r ) italic_d italic_q . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.4.p1.1">The triangle inequality states that <math alttext="\|\widehat{D}-D\|_{\mathcal{S}}\leq\left\|A_{3}\right\|_{\mathcal{S}}+\left\|A% _{4}\right\|_{\mathcal{S}}+\left\|A_{5}\right\|_{\mathcal{S}}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">+</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4a" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">+</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">𝒮</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1"><leq id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.5"></leq><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4"><plus id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.4"></plus><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">3</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3">4</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3">5</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.1.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝒮</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1c">\|\widehat{D}-D\|_{\mathcal{S}}\leq\left\|A_{3}\right\|_{\mathcal{S}}+\left\|A% _{4}\right\|_{\mathcal{S}}+\left\|A_{5}\right\|_{\mathcal{S}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.4.p1.1.m1.1d">∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG - italic_D ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ≤ ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT + ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT + ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math> Starting with the first term,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex62"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\left\|A_{3}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}&=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}a% _{3}\left(r,s\right)^{2}\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j% }\left(s,q\right)\right)\,dq\right)^{2}\,dr\,ds\\ &\leq\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)^{2}\,dq\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}% \left(s,q\right)-c_{j}\left(s,q\right)\right)^{2}\,dq\right)\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q% \right)\right)^{2}\,dq\,dr\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(s% ,q\right)-c_{j}\left(s,q\right)\right)^{2}\,dq\,ds\\ &=\left\|\widehat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}\left\|\widehat{C}_{j}% -C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-2}\right),\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex62.m1.228"><semantics id="A1.Ex62.m1.228a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A1.Ex62.m1.228.228.7" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex62.m1.228.228.7a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A1.Ex62.m1.228.228.7b"><msubsup id="A1.Ex62.m1.223.223.2.222.26.7"><mrow id="A1.Ex62.m1.223.223.2.222.26.7.7.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex62.m1.223.223.2.222.26.7.7.1.1.1"><mi id="A1.Ex62.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex62.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="A1.Ex62.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex62.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex62.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="A1.Ex62.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex62.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">2</mn></msubsup></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex62.m1.228.228.7c"><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19"><mi id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.20" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex62.m1.7.7.7.7.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex62.m1.7.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21"><msubsup id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.1"><mo id="A1.Ex62.m1.8.8.8.8.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.8.8.8.8.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.9.9.9.9.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.9.9.9.9.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.10.10.10.10.4.4.1" xref="A1.Ex62.m1.10.10.10.10.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2"><msubsup id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.1"><mo id="A1.Ex62.m1.11.11.11.11.5.5" xref="A1.Ex62.m1.11.11.11.11.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.12.12.12.12.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.12.12.12.12.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.13.13.13.13.7.7.1" xref="A1.Ex62.m1.13.13.13.13.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2"><msub id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.14.14.14.14.8.8" xref="A1.Ex62.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex62.m1.15.15.15.15.9.9.1" xref="A1.Ex62.m1.15.15.15.15.9.9.1.cmml">3</mn></msub><mo id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.3"><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.3.2"><mo id="A1.Ex62.m1.16.16.16.16.10.10" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.17.17.17.17.11.11" xref="A1.Ex62.m1.17.17.17.17.11.11.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.18.18.18.18.12.12" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.19.19.19.19.13.13" xref="A1.Ex62.m1.19.19.19.19.13.13.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.20.20.20.20.14.14" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.21.21.21.21.15.15.1" xref="A1.Ex62.m1.21.21.21.21.15.15.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1a" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.4"><mo id="A1.Ex62.m1.22.22.22.22.16.16" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.22.22.22.22.16.16.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.23.23.23.23.17.17" xref="A1.Ex62.m1.23.23.23.23.17.17.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1b" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.5"><mo id="A1.Ex62.m1.24.24.24.24.18.18" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.24.24.24.24.18.18.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.19" xref="A1.Ex62.m1.25.25.25.25.19.19.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex62.m1.228.228.7d"><mtd id="A1.Ex62.m1.228.228.7e" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex62.m1.228.228.7f"><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54"><mi id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.55" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex62.m1.26.26.26.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex62.m1.26.26.26.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54"><msubsup id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.2"><mo id="A1.Ex62.m1.27.27.27.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.27.27.27.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.28.28.28.3.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.28.28.28.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.29.29.29.4.4.4.1" xref="A1.Ex62.m1.29.29.29.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1"><msubsup id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.2"><mo id="A1.Ex62.m1.30.30.30.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.30.30.30.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.31.31.31.6.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.31.31.31.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.32.32.32.7.7.7.1" xref="A1.Ex62.m1.32.32.32.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1"><msup id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.33.33.33.8.8.8" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.34.34.34.9.9.9" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.34.34.34.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.35.35.35.10.10.10.1" xref="A1.Ex62.m1.35.35.35.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.36.36.36.11.11.11.1" xref="A1.Ex62.m1.36.36.36.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2"><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.37.37.37.12.12.12" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13" xref="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13.2" xref="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13.1" xref="A1.Ex62.m1.38.38.38.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.39.39.39.14.14.14.1" xref="A1.Ex62.m1.39.39.39.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.40.40.40.15.15.15" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.41.41.41.16.16.16" xref="A1.Ex62.m1.41.41.41.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.42.42.42.17.17.17" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.43.43.43.18.18.18" xref="A1.Ex62.m1.43.43.43.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.44.44.44.19.19.19" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.45.45.45.20.20.20" xref="A1.Ex62.m1.45.45.45.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.46.46.46.21.21.21" xref="A1.Ex62.m1.46.46.46.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.47.47.47.22.22.22.1" xref="A1.Ex62.m1.47.47.47.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.48.48.48.23.23.23" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.49.49.49.24.24.24" xref="A1.Ex62.m1.49.49.49.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.50.50.50.25.25.25" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.51.51.51.26.26.26" xref="A1.Ex62.m1.51.51.51.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.52.52.52.27.27.27" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.53.53.53.28.28.28" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><mo id="A1.Ex62.m1.54.54.54.29.29.29" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30" xref="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.2" xref="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.1" xref="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.56.56.56.31.31.31.1" xref="A1.Ex62.m1.56.56.56.31.31.31.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.57.57.57.32.32.32" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.58.58.58.33.33.33" xref="A1.Ex62.m1.58.58.58.33.33.33.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.59.59.59.34.34.34" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.60.60.60.35.35.35" xref="A1.Ex62.m1.60.60.60.35.35.35.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.61.61.61.36.36.36" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.62.62.62.37.37.37" xref="A1.Ex62.m1.62.62.62.37.37.37.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.63.63.63.38.38.38" xref="A1.Ex62.m1.63.63.63.38.38.38.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.64.64.64.39.39.39.1" xref="A1.Ex62.m1.64.64.64.39.39.39.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.65.65.65.40.40.40" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.66.66.66.41.41.41" xref="A1.Ex62.m1.66.66.66.41.41.41.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.67.67.67.42.42.42" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.68.68.68.43.43.43" xref="A1.Ex62.m1.68.68.68.43.43.43.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.69.69.69.44.44.44" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.70.70.70.45.45.45" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.3a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.1.1.1.1.2.4"><mo id="A1.Ex62.m1.71.71.71.46.46.46" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.71.71.71.46.46.46.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.72.72.72.47.47.47" xref="A1.Ex62.m1.72.72.72.47.47.47.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.73.73.73.48.48.48" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.74.74.74.49.49.49.1" xref="A1.Ex62.m1.74.74.74.49.49.49.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.75.75.75.50.50.50" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.75.75.75.50.50.50.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.76.76.76.51.51.51" xref="A1.Ex62.m1.76.76.76.51.51.51.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.224.224.3.223.54.54.54.1.1.4"><mo id="A1.Ex62.m1.77.77.77.52.52.52" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.77.77.77.52.52.52.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.78.78.78.53.53.53" xref="A1.Ex62.m1.78.78.78.53.53.53.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex62.m1.228.228.7g"><mtd id="A1.Ex62.m1.228.228.7h" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex62.m1.228.228.7i"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60"><mi id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.61" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex62.m1.79.79.79.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex62.m1.79.79.79.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60"><msubsup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.2"><mo id="A1.Ex62.m1.80.80.80.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.80.80.80.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.81.81.81.3.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.81.81.81.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.82.82.82.4.4.4.1" xref="A1.Ex62.m1.82.82.82.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1"><msubsup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.2"><mo id="A1.Ex62.m1.83.83.83.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.83.83.83.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.84.84.84.6.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.84.84.84.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.85.85.85.7.7.7.1" xref="A1.Ex62.m1.85.85.85.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.86.86.86.8.8.8" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1"><msubsup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.87.87.87.9.9.9" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.87.87.87.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.88.88.88.10.10.10.1" xref="A1.Ex62.m1.88.88.88.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.89.89.89.11.11.11.1" xref="A1.Ex62.m1.89.89.89.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2"><msup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.90.90.90.12.12.12" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13" xref="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13.2" xref="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13.1" xref="A1.Ex62.m1.91.91.91.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.92.92.92.14.14.14.1" xref="A1.Ex62.m1.92.92.92.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.93.93.93.15.15.15" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.94.94.94.16.16.16" xref="A1.Ex62.m1.94.94.94.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.95.95.95.17.17.17" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.96.96.96.18.18.18" xref="A1.Ex62.m1.96.96.96.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.97.97.97.19.19.19" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.98.98.98.20.20.20" xref="A1.Ex62.m1.98.98.98.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.99.99.99.21.21.21" xref="A1.Ex62.m1.99.99.99.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.100.100.100.22.22.22.1" xref="A1.Ex62.m1.100.100.100.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.101.101.101.23.23.23" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.102.102.102.24.24.24" xref="A1.Ex62.m1.102.102.102.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.103.103.103.25.25.25" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.104.104.104.26.26.26" xref="A1.Ex62.m1.104.104.104.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.105.105.105.27.27.27" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.106.106.106.28.28.28" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.107.107.107.29.29.29.1" xref="A1.Ex62.m1.107.107.107.29.29.29.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.3" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.4"><mo id="A1.Ex62.m1.108.108.108.30.30.30" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.108.108.108.30.30.30.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.109.109.109.31.31.31" xref="A1.Ex62.m1.109.109.109.31.31.31.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2"><msubsup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="A1.Ex62.m1.110.110.110.32.32.32" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.110.110.110.32.32.32.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.111.111.111.33.33.33.1" xref="A1.Ex62.m1.111.111.111.33.33.33.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.112.112.112.34.34.34.1" xref="A1.Ex62.m1.112.112.112.34.34.34.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1"><msup id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.113.113.113.35.35.35" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36" xref="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36.2" xref="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36.1" xref="A1.Ex62.m1.114.114.114.36.36.36.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.115.115.115.37.37.37.1" xref="A1.Ex62.m1.115.115.115.37.37.37.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.116.116.116.38.38.38" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.117.117.117.39.39.39" xref="A1.Ex62.m1.117.117.117.39.39.39.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.118.118.118.40.40.40" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.119.119.119.41.41.41" xref="A1.Ex62.m1.119.119.119.41.41.41.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.120.120.120.42.42.42" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.121.121.121.43.43.43" xref="A1.Ex62.m1.121.121.121.43.43.43.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.122.122.122.44.44.44" xref="A1.Ex62.m1.122.122.122.44.44.44.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.123.123.123.45.45.45.1" xref="A1.Ex62.m1.123.123.123.45.45.45.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.124.124.124.46.46.46" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.125.125.125.47.47.47" xref="A1.Ex62.m1.125.125.125.47.47.47.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.126.126.126.48.48.48" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.127.127.127.49.49.49" xref="A1.Ex62.m1.127.127.127.49.49.49.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.128.128.128.50.50.50" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.129.129.129.51.51.51" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.130.130.130.52.52.52.1" xref="A1.Ex62.m1.130.130.130.52.52.52.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.1.1.1.2.2.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.131.131.131.53.53.53" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.131.131.131.53.53.53.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.132.132.132.54.54.54" xref="A1.Ex62.m1.132.132.132.54.54.54.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.133.133.133.55.55.55" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.134.134.134.56.56.56" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.134.134.134.56.56.56.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.135.135.135.57.57.57" xref="A1.Ex62.m1.135.135.135.57.57.57.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.225.225.4.224.60.60.60.1.1.4"><mo id="A1.Ex62.m1.136.136.136.58.58.58" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.136.136.136.58.58.58.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.137.137.137.59.59.59" xref="A1.Ex62.m1.137.137.137.59.59.59.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex62.m1.228.228.7j"><mtd id="A1.Ex62.m1.228.228.7k" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex62.m1.228.228.7l"><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59"><mi id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.60" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex62.m1.138.138.138.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex62.m1.138.138.138.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59"><msubsup id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.3"><mo id="A1.Ex62.m1.139.139.139.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.139.139.139.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.140.140.140.3.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.140.140.140.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.141.141.141.4.4.4.1" xref="A1.Ex62.m1.141.141.141.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2"><msubsup id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.142.142.142.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.142.142.142.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.143.143.143.6.6.6.1" xref="A1.Ex62.m1.143.143.143.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.144.144.144.7.7.7.1" xref="A1.Ex62.m1.144.144.144.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2"><msup id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.145.145.145.8.8.8" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.2" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.1" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.147.147.147.10.10.10.1" xref="A1.Ex62.m1.147.147.147.10.10.10.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.148.148.148.11.11.11" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.149.149.149.12.12.12" xref="A1.Ex62.m1.149.149.149.12.12.12.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.150.150.150.13.13.13" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.151.151.151.14.14.14" xref="A1.Ex62.m1.151.151.151.14.14.14.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.152.152.152.15.15.15" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.153.153.153.16.16.16" xref="A1.Ex62.m1.153.153.153.16.16.16.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.154.154.154.17.17.17" xref="A1.Ex62.m1.154.154.154.17.17.17.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.155.155.155.18.18.18.1" xref="A1.Ex62.m1.155.155.155.18.18.18.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.226.226.5.225.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.156.156.156.19.19.19" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.157.157.157.20.20.20" xref="A1.Ex62.m1.157.157.157.20.20.20.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex62.m1.158.158.158.21.21.21" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.159.159.159.22.22.22" xref="A1.Ex62.m1.159.159.159.22.22.22.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.160.160.160.23.23.23" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.161.161.161.24.24.24" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.162.162.162.25.25.25.1" xref="A1.Ex62.m1.162.162.162.25.25.25.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.3" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.4"><mo id="A1.Ex62.m1.163.163.163.26.26.26" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.163.163.163.26.26.26.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.164.164.164.27.27.27" xref="A1.Ex62.m1.164.164.164.27.27.27.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.3a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.5"><mo id="A1.Ex62.m1.165.165.165.28.28.28" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.165.165.165.28.28.28.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.166.166.166.29.29.29" xref="A1.Ex62.m1.166.166.166.29.29.29.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.3b" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2"><msubsup id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.2"><mo id="A1.Ex62.m1.167.167.167.30.30.30" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.167.167.167.30.30.30.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.168.168.168.31.31.31.1" xref="A1.Ex62.m1.168.168.168.31.31.31.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.169.169.169.32.32.32.1" xref="A1.Ex62.m1.169.169.169.32.32.32.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1"><msubsup id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.2"><mo id="A1.Ex62.m1.170.170.170.33.33.33" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.170.170.170.33.33.33.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex62.m1.171.171.171.34.34.34.1" xref="A1.Ex62.m1.171.171.171.34.34.34.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex62.m1.172.172.172.35.35.35.1" xref="A1.Ex62.m1.172.172.172.35.35.35.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1"><msup id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.173.173.173.36.36.36" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.2" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.1" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.175.175.175.38.38.38.1" xref="A1.Ex62.m1.175.175.175.38.38.38.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.176.176.176.39.39.39" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.177.177.177.40.40.40" xref="A1.Ex62.m1.177.177.177.40.40.40.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.178.178.178.41.41.41" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.179.179.179.42.42.42" xref="A1.Ex62.m1.179.179.179.42.42.42.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.180.180.180.43.43.43" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.181.181.181.44.44.44" xref="A1.Ex62.m1.181.181.181.44.44.44.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex62.m1.182.182.182.45.45.45" xref="A1.Ex62.m1.182.182.182.45.45.45.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex62.m1.183.183.183.46.46.46.1" xref="A1.Ex62.m1.183.183.183.46.46.46.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex62.m1.184.184.184.47.47.47" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex62.m1.185.185.185.48.48.48" xref="A1.Ex62.m1.185.185.185.48.48.48.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex62.m1.186.186.186.49.49.49" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex62.m1.187.187.187.50.50.50" xref="A1.Ex62.m1.187.187.187.50.50.50.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex62.m1.188.188.188.51.51.51" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.189.189.189.52.52.52" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex62.m1.190.190.190.53.53.53.1" xref="A1.Ex62.m1.190.190.190.53.53.53.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.3"><mo id="A1.Ex62.m1.191.191.191.54.54.54" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.191.191.191.54.54.54.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.192.192.192.55.55.55" xref="A1.Ex62.m1.192.192.192.55.55.55.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.227.227.6.226.59.59.59.2.2.2.1.1.4"><mo id="A1.Ex62.m1.193.193.193.56.56.56" rspace="0em" xref="A1.Ex62.m1.193.193.193.56.56.56.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex62.m1.194.194.194.57.57.57" xref="A1.Ex62.m1.194.194.194.57.57.57.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex62.m1.228.228.7m"><mtd id="A1.Ex62.m1.228.228.7n" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex62.m1.228.228.7o"><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28"><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1"><mi id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.5" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex62.m1.195.195.195.1.1.1" xref="A1.Ex62.m1.195.195.195.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2"><msubsup id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.1.1"><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.196.196.196.2.2.2" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.2" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.1" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.198.198.198.4.4.4.1" xref="A1.Ex62.m1.198.198.198.4.4.4.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.199.199.199.5.5.5" xref="A1.Ex62.m1.199.199.199.5.5.5.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A1.Ex62.m1.200.200.200.6.6.6" xref="A1.Ex62.m1.200.200.200.6.6.6.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex62.m1.201.201.201.7.7.7.1" xref="A1.Ex62.m1.201.201.201.7.7.7.1.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.202.202.202.8.8.8" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex62.m1.203.203.203.9.9.9.1" xref="A1.Ex62.m1.203.203.203.9.9.9.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex62.m1.204.204.204.10.10.10.1" xref="A1.Ex62.m1.204.204.204.10.10.10.1.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.3" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.2"><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.2.1.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.205.205.205.11.11.11" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.2.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.2.1.1.1.1.1"><mover accent="true" id="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12" xref="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12.cmml"><mi id="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12.2" xref="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12.1" xref="A1.Ex62.m1.206.206.206.12.12.12.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex62.m1.207.207.207.13.13.13.1" xref="A1.Ex62.m1.207.207.207.13.13.13.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.208.208.208.14.14.14" xref="A1.Ex62.m1.208.208.208.14.14.14.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.2.2.1.1.1.1.2"><mi id="A1.Ex62.m1.209.209.209.15.15.15" xref="A1.Ex62.m1.209.209.209.15.15.15.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex62.m1.210.210.210.16.16.16.1" xref="A1.Ex62.m1.210.210.210.16.16.16.1.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.211.211.211.17.17.17" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex62.m1.212.212.212.18.18.18.1" xref="A1.Ex62.m1.212.212.212.18.18.18.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex62.m1.213.213.213.19.19.19.1" xref="A1.Ex62.m1.213.213.213.19.19.19.1.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.214.214.214.20.20.20" xref="A1.Ex62.m1.214.214.214.20.20.20.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.3"><msub id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.3.3"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex62.m1.215.215.215.21.21.21" xref="A1.Ex62.m1.215.215.215.21.21.21.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex62.m1.216.216.216.22.22.22.1" xref="A1.Ex62.m1.216.216.216.22.22.22.1.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.3.2" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.3.1.1"><mo id="A1.Ex62.m1.217.217.217.23.23.23" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex62.m1.228.228.7.227.28.28.28.1.3.1.1.1"><mi id="A1.Ex62.m1.218.218.218.24.24.24" xref="A1.Ex62.m1.218.218.218.24.24.24.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.cmml"><mo id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1a" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.2" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.2.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex62.m1.220.220.220.26.26.26" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex62.m1.221.221.221.27.27.27" xref="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.11.cmml" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.27.27.27.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.27.27.27.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex62.m1.28.28.28.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.28.28.28.3.3.3.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.29.29.29.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.29.29.29.4.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.30.30.30.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.30.30.30.5.5.5"></int><ci id="A1.Ex62.m1.31.31.31.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.31.31.31.6.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.32.32.32.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.32.32.32.7.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.34.34.34.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex62.m1.34.34.34.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex62.m1.35.35.35.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.35.35.35.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.36.36.36.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.36.36.36.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply 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closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.41.41.41.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex62.m1.41.41.41.16.16.16">𝑟</ci><ci id="A1.Ex62.m1.43.43.43.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex62.m1.43.43.43.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.46.46.46.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex62.m1.46.46.46.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex62.m1.47.47.47.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.47.47.47.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.1">^</ci><ci id="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.55.55.55.30.30.30.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.56.56.56.31.31.31.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.56.56.56.31.31.31.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.58.58.58.33.33.33.cmml" xref="A1.Ex62.m1.58.58.58.33.33.33">𝑠</ci><ci id="A1.Ex62.m1.60.60.60.35.35.35.cmml" xref="A1.Ex62.m1.60.60.60.35.35.35">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.63.63.63.38.38.38.cmml" xref="A1.Ex62.m1.63.63.63.38.38.38">𝑐</ci><ci id="A1.Ex62.m1.64.64.64.39.39.39.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.64.64.64.39.39.39.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.66.66.66.41.41.41.cmml" xref="A1.Ex62.m1.66.66.66.41.41.41">𝑠</ci><ci id="A1.Ex62.m1.68.68.68.43.43.43.cmml" xref="A1.Ex62.m1.68.68.68.43.43.43">𝑞</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.71.71.71.46.46.46.cmml" xref="A1.Ex62.m1.71.71.71.46.46.46">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.72.72.72.47.47.47.cmml" xref="A1.Ex62.m1.72.72.72.47.47.47">𝑞</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex62.m1.74.74.74.49.49.49.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex62.m1.74.74.74.49.49.49.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.2.1.1.3.cmml" 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id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.83.83.83.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.83.83.83.5.5.5"></int><ci id="A1.Ex62.m1.84.84.84.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.84.84.84.6.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.85.85.85.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.85.85.85.7.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.87.87.87.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex62.m1.87.87.87.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex62.m1.88.88.88.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.88.88.88.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.89.89.89.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.89.89.89.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex62.m1.98.98.98.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex62.m1.98.98.98.20.20.20"></minus><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex62.m1.96.96.96.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.99.99.99.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex62.m1.99.99.99.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex62.m1.100.100.100.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.100.100.100.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.102.102.102.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex62.m1.102.102.102.24.24.24">𝑟</ci><ci id="A1.Ex62.m1.104.104.104.26.26.26.cmml" 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xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.110.110.110.32.32.32.cmml" xref="A1.Ex62.m1.110.110.110.32.32.32"></int><ci id="A1.Ex62.m1.111.111.111.33.33.33.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.111.111.111.33.33.33.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.112.112.112.34.34.34.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.112.112.112.34.34.34.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex62.m1.121.121.121.43.43.43.cmml" xref="A1.Ex62.m1.121.121.121.43.43.43"></minus><apply 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xref="A1.Ex62.m1.117.117.117.39.39.39">𝑠</ci><ci id="A1.Ex62.m1.119.119.119.41.41.41.cmml" xref="A1.Ex62.m1.119.119.119.41.41.41">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.122.122.122.44.44.44.cmml" xref="A1.Ex62.m1.122.122.122.44.44.44">𝑐</ci><ci id="A1.Ex62.m1.123.123.123.45.45.45.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.123.123.123.45.45.45.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.125.125.125.47.47.47.cmml" xref="A1.Ex62.m1.125.125.125.47.47.47">𝑠</ci><ci id="A1.Ex62.m1.127.127.127.49.49.49.cmml" xref="A1.Ex62.m1.127.127.127.49.49.49">𝑞</ci></interval></apply></apply><cn id="A1.Ex62.m1.130.130.130.52.52.52.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex62.m1.130.130.130.52.52.52.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.131.131.131.53.53.53.cmml" xref="A1.Ex62.m1.131.131.131.53.53.53">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.132.132.132.54.54.54.cmml" xref="A1.Ex62.m1.132.132.132.54.54.54">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.134.134.134.56.56.56.cmml" xref="A1.Ex62.m1.134.134.134.56.56.56">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.135.135.135.57.57.57.cmml" xref="A1.Ex62.m1.135.135.135.57.57.57">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.136.136.136.58.58.58.cmml" xref="A1.Ex62.m1.136.136.136.58.58.58">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.137.137.137.59.59.59.cmml" xref="A1.Ex62.m1.137.137.137.59.59.59">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1g.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex62.m1.138.138.138.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.138.138.138.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.3.cmml" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1h.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.139.139.139.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.139.139.139.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex62.m1.140.140.140.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.140.140.140.3.3.3.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.141.141.141.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.141.141.141.4.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.142.142.142.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.142.142.142.5.5.5"></int><ci id="A1.Ex62.m1.143.143.143.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.143.143.143.6.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.144.144.144.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.144.144.144.7.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex62.m1.153.153.153.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex62.m1.153.153.153.16.16.16"></minus><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9"><ci id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.1">^</ci><ci id="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.146.146.146.9.9.9.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.147.147.147.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.147.147.147.10.10.10.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.149.149.149.12.12.12.cmml" xref="A1.Ex62.m1.149.149.149.12.12.12">𝑟</ci><ci id="A1.Ex62.m1.151.151.151.14.14.14.cmml" xref="A1.Ex62.m1.151.151.151.14.14.14">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.154.154.154.17.17.17.cmml" xref="A1.Ex62.m1.154.154.154.17.17.17">𝑐</ci><ci id="A1.Ex62.m1.155.155.155.18.18.18.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.155.155.155.18.18.18.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.157.157.157.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex62.m1.157.157.157.20.20.20">𝑟</ci><ci id="A1.Ex62.m1.159.159.159.22.22.22.cmml" xref="A1.Ex62.m1.159.159.159.22.22.22">𝑞</ci></interval></apply></apply><cn id="A1.Ex62.m1.162.162.162.25.25.25.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex62.m1.162.162.162.25.25.25.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.163.163.163.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex62.m1.163.163.163.26.26.26">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.164.164.164.27.27.27.cmml" xref="A1.Ex62.m1.164.164.164.27.27.27">𝑞</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.165.165.165.28.28.28.cmml" xref="A1.Ex62.m1.165.165.165.28.28.28">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.166.166.166.29.29.29.cmml" xref="A1.Ex62.m1.166.166.166.29.29.29">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.167.167.167.30.30.30.cmml" xref="A1.Ex62.m1.167.167.167.30.30.30"></int><ci id="A1.Ex62.m1.168.168.168.31.31.31.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.168.168.168.31.31.31.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.169.169.169.32.32.32.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.169.169.169.32.32.32.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex62.m1.170.170.170.33.33.33.cmml" xref="A1.Ex62.m1.170.170.170.33.33.33"></int><ci id="A1.Ex62.m1.171.171.171.34.34.34.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.171.171.171.34.34.34.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.172.172.172.35.35.35.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.172.172.172.35.35.35.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex62.m1.181.181.181.44.44.44.cmml" xref="A1.Ex62.m1.181.181.181.44.44.44"></minus><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.cmml" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37"><ci id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.1">^</ci><ci id="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.174.174.174.37.37.37.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.175.175.175.38.38.38.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.175.175.175.38.38.38.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex62.m1.177.177.177.40.40.40.cmml" xref="A1.Ex62.m1.177.177.177.40.40.40">𝑠</ci><ci id="A1.Ex62.m1.179.179.179.42.42.42.cmml" xref="A1.Ex62.m1.179.179.179.42.42.42">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.191.191.191.54.54.54.cmml" xref="A1.Ex62.m1.191.191.191.54.54.54">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.192.192.192.55.55.55.cmml" xref="A1.Ex62.m1.192.192.192.55.55.55">𝑞</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.193.193.193.56.56.56.cmml" xref="A1.Ex62.m1.193.193.193.56.56.56">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.194.194.194.57.57.57.cmml" xref="A1.Ex62.m1.194.194.194.57.57.57">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1i.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex62.m1.195.195.195.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.195.195.195.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.5.cmml" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1j.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.7.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">delimited-∥∥</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex62.m1.199.199.199.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex62.m1.199.199.199.5.5.5"></minus><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3"><ci id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.1">^</ci><ci id="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex62.m1.197.197.197.3.3.3.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex62.m1.198.198.198.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.198.198.198.4.4.4.1">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.200.200.200.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex62.m1.200.200.200.6.6.6">𝐶</ci><ci id="A1.Ex62.m1.201.201.201.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.201.201.201.7.7.7.1">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex62.m1.203.203.203.9.9.9.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.203.203.203.9.9.9.1">𝒮</ci></apply><cn id="A1.Ex62.m1.204.204.204.10.10.10.1.cmml" type="integer" 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id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.8.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex62.m1.222.222.1.1.1.8.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex62.m1.218.218.218.24.24.24.cmml" xref="A1.Ex62.m1.218.218.218.24.24.24">𝑇</ci><apply id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1"><minus id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.1.cmml" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1"></minus><cn id="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex62.m1.219.219.219.25.25.25.1.2">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex62.m1.228c">\begin{split}\left\|A_{3}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}&=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}a% _{3}\left(r,s\right)^{2}\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)\left(\widehat{c}_{j}\left(s,q\right)-c_{j% }\left(s,q\right)\right)\,dq\right)^{2}\,dr\,ds\\ &\leq\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)^{2}\,dq\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}% \left(s,q\right)-c_{j}\left(s,q\right)\right)^{2}\,dq\right)\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q% \right)\right)^{2}\,dq\,dr\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(s% ,q\right)-c_{j}\left(s,q\right)\right)^{2}\,dq\,ds\\ &=\left\|\widehat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}\left\|\widehat{C}_{j}% -C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-2}\right),\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex62.m1.228d">start_ROW start_CELL ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) italic_d italic_q ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q ) italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q italic_d italic_r ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.4.p1.8">where the last equality follows from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma4" title="Lemma 4. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. Moving on to the second term,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex63"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\left\|A_{4}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}&=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}a% _{4}\left(r,s\right)^{2}\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq\right)^{2}\,dr\,% ds\\ &\leq\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)^{2}\,dq\int_{a}^{b}c_{j}\left(q,s\right)^% {2}\,dq\right)\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q% \right)\right)^{2}\,dq\,dr\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}c_{j}\left(q,s\right)^{2}\,% dq\,ds\\ &=\left\|\widehat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}\left\|C_{j}\right\|_{% \mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1}\right).\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex63.m1.194"><semantics id="A1.Ex63.m1.194a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A1.Ex63.m1.194.194.6" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex63.m1.194.194.6a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A1.Ex63.m1.194.194.6b"><msubsup id="A1.Ex63.m1.190.190.2.189.26.7"><mrow id="A1.Ex63.m1.190.190.2.189.26.7.7.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex63.m1.190.190.2.189.26.7.7.1.1.1"><mi id="A1.Ex63.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex63.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mn id="A1.Ex63.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.Ex63.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex63.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="A1.Ex63.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex63.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="A1.Ex63.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml">2</mn></msubsup></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex63.m1.194.194.6c"><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19"><mi id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.20" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex63.m1.7.7.7.7.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex63.m1.7.7.7.7.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21"><msubsup id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.1"><mo id="A1.Ex63.m1.8.8.8.8.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.8.8.8.8.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.9.9.9.9.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.9.9.9.9.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.10.10.10.10.4.4.1" xref="A1.Ex63.m1.10.10.10.10.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2"><msubsup id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.1"><mo id="A1.Ex63.m1.11.11.11.11.5.5" xref="A1.Ex63.m1.11.11.11.11.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.12.12.12.12.6.6.1" xref="A1.Ex63.m1.12.12.12.12.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.13.13.13.13.7.7.1" xref="A1.Ex63.m1.13.13.13.13.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2"><msub id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.14.14.14.14.8.8" xref="A1.Ex63.m1.14.14.14.14.8.8.cmml">a</mi><mn id="A1.Ex63.m1.15.15.15.15.9.9.1" xref="A1.Ex63.m1.15.15.15.15.9.9.1.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.3"><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.3.2"><mo id="A1.Ex63.m1.16.16.16.16.10.10" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.17.17.17.17.11.11" xref="A1.Ex63.m1.17.17.17.17.11.11.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.18.18.18.18.12.12" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.19.19.19.19.13.13" xref="A1.Ex63.m1.19.19.19.19.13.13.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex63.m1.20.20.20.20.14.14" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.21.21.21.21.15.15.1" xref="A1.Ex63.m1.21.21.21.21.15.15.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1a" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.4"><mo id="A1.Ex63.m1.22.22.22.22.16.16" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.22.22.22.22.16.16.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.23.23.23.23.17.17" xref="A1.Ex63.m1.23.23.23.23.17.17.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.1b" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.21.2.2.5"><mo id="A1.Ex63.m1.24.24.24.24.18.18" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.24.24.24.24.18.18.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.19" xref="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.19.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex63.m1.194.194.6d"><mtd id="A1.Ex63.m1.194.194.6e" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex63.m1.194.194.6f"><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44"><mi id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.45" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex63.m1.26.26.26.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex63.m1.26.26.26.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44"><msubsup id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.2"><mo id="A1.Ex63.m1.27.27.27.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.27.27.27.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.28.28.28.3.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.28.28.28.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.29.29.29.4.4.4.1" xref="A1.Ex63.m1.29.29.29.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1"><msubsup id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.2"><mo id="A1.Ex63.m1.30.30.30.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.30.30.30.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.31.31.31.6.6.6.1" xref="A1.Ex63.m1.31.31.31.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.32.32.32.7.7.7.1" xref="A1.Ex63.m1.32.32.32.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1"><msup id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.33.33.33.8.8.8" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="A1.Ex63.m1.34.34.34.9.9.9" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.34.34.34.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.35.35.35.10.10.10.1" xref="A1.Ex63.m1.35.35.35.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.36.36.36.11.11.11.1" xref="A1.Ex63.m1.36.36.36.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.37.37.37.12.12.12" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13" xref="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13.2" xref="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13.1" xref="A1.Ex63.m1.38.38.38.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex63.m1.39.39.39.14.14.14.1" xref="A1.Ex63.m1.39.39.39.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.40.40.40.15.15.15" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.41.41.41.16.16.16" xref="A1.Ex63.m1.41.41.41.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.42.42.42.17.17.17" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.43.43.43.18.18.18" xref="A1.Ex63.m1.43.43.43.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.44.44.44.19.19.19" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.45.45.45.20.20.20" xref="A1.Ex63.m1.45.45.45.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.46.46.46.21.21.21" xref="A1.Ex63.m1.46.46.46.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.47.47.47.22.22.22.1" xref="A1.Ex63.m1.47.47.47.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex63.m1.48.48.48.23.23.23" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.49.49.49.24.24.24" xref="A1.Ex63.m1.49.49.49.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.50.50.50.25.25.25" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.51.51.51.26.26.26" xref="A1.Ex63.m1.51.51.51.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.52.52.52.27.27.27" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.53.53.53.28.28.28" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="A1.Ex63.m1.54.54.54.29.29.29" xref="A1.Ex63.m1.54.54.54.29.29.29.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.55.55.55.30.30.30.1" xref="A1.Ex63.m1.55.55.55.30.30.30.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.4"><mo id="A1.Ex63.m1.56.56.56.31.31.31" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.57.57.57.32.32.32" xref="A1.Ex63.m1.57.57.57.32.32.32.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.58.58.58.33.33.33" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.59.59.59.34.34.34" xref="A1.Ex63.m1.59.59.59.34.34.34.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex63.m1.60.60.60.35.35.35" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.2b" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.5"><mo id="A1.Ex63.m1.61.61.61.36.36.36" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.61.61.61.36.36.36.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.62.62.62.37.37.37" xref="A1.Ex63.m1.62.62.62.37.37.37.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.63.63.63.38.38.38" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.64.64.64.39.39.39.1" xref="A1.Ex63.m1.64.64.64.39.39.39.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.65.65.65.40.40.40" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.65.65.65.40.40.40.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.66.66.66.41.41.41" xref="A1.Ex63.m1.66.66.66.41.41.41.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.191.191.3.190.44.44.44.1.1.4"><mo id="A1.Ex63.m1.67.67.67.42.42.42" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.67.67.67.42.42.42.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.68.68.68.43.43.43" xref="A1.Ex63.m1.68.68.68.43.43.43.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex63.m1.194.194.6g"><mtd id="A1.Ex63.m1.194.194.6h" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex63.m1.194.194.6i"><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50"><mi id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.51" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex63.m1.69.69.69.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex63.m1.69.69.69.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50"><msubsup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.2"><mo id="A1.Ex63.m1.70.70.70.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.70.70.70.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.71.71.71.3.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.71.71.71.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.72.72.72.4.4.4.1" xref="A1.Ex63.m1.72.72.72.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1"><msubsup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.2"><mo id="A1.Ex63.m1.73.73.73.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.73.73.73.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.74.74.74.6.6.6.1" xref="A1.Ex63.m1.74.74.74.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.75.75.75.7.7.7.1" xref="A1.Ex63.m1.75.75.75.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.76.76.76.8.8.8" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1"><msubsup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.2"><mo id="A1.Ex63.m1.77.77.77.9.9.9" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.77.77.77.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.78.78.78.10.10.10.1" xref="A1.Ex63.m1.78.78.78.10.10.10.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.79.79.79.11.11.11.1" xref="A1.Ex63.m1.79.79.79.11.11.11.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1"><msup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.80.80.80.12.12.12" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13" xref="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13.cmml"><mi id="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13.2" xref="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13.1" xref="A1.Ex63.m1.81.81.81.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex63.m1.82.82.82.14.14.14.1" xref="A1.Ex63.m1.82.82.82.14.14.14.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.83.83.83.15.15.15" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.84.84.84.16.16.16" xref="A1.Ex63.m1.84.84.84.16.16.16.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.85.85.85.17.17.17" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.86.86.86.18.18.18" xref="A1.Ex63.m1.86.86.86.18.18.18.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.87.87.87.19.19.19" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.88.88.88.20.20.20" xref="A1.Ex63.m1.88.88.88.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.89.89.89.21.21.21" xref="A1.Ex63.m1.89.89.89.21.21.21.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.90.90.90.22.22.22.1" xref="A1.Ex63.m1.90.90.90.22.22.22.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex63.m1.91.91.91.23.23.23" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.92.92.92.24.24.24" xref="A1.Ex63.m1.92.92.92.24.24.24.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.93.93.93.25.25.25" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.94.94.94.26.26.26" xref="A1.Ex63.m1.94.94.94.26.26.26.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.95.95.95.27.27.27" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.96.96.96.28.28.28" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.97.97.97.29.29.29.1" xref="A1.Ex63.m1.97.97.97.29.29.29.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.98.98.98.30.30.30" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.98.98.98.30.30.30.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.99.99.99.31.31.31" xref="A1.Ex63.m1.99.99.99.31.31.31.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4"><msubsup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.1"><mo id="A1.Ex63.m1.100.100.100.32.32.32" xref="A1.Ex63.m1.100.100.100.32.32.32.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.101.101.101.33.33.33.1" xref="A1.Ex63.m1.101.101.101.33.33.33.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.102.102.102.34.34.34.1" xref="A1.Ex63.m1.102.102.102.34.34.34.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2"><msub id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.103.103.103.35.35.35" xref="A1.Ex63.m1.103.103.103.35.35.35.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.104.104.104.36.36.36.1" xref="A1.Ex63.m1.104.104.104.36.36.36.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2"><mo id="A1.Ex63.m1.105.105.105.37.37.37" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.106.106.106.38.38.38" xref="A1.Ex63.m1.106.106.106.38.38.38.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.107.107.107.39.39.39" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.108.108.108.40.40.40" xref="A1.Ex63.m1.108.108.108.40.40.40.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex63.m1.109.109.109.41.41.41" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.110.110.110.42.42.42.1" xref="A1.Ex63.m1.110.110.110.42.42.42.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.1a" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.1.1.1.1.4.2.4"><mo id="A1.Ex63.m1.111.111.111.43.43.43" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.111.111.111.43.43.43.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.112.112.112.44.44.44" xref="A1.Ex63.m1.112.112.112.44.44.44.cmml">q</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.113.113.113.45.45.45" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.2" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.114.114.114.46.46.46" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.114.114.114.46.46.46.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.115.115.115.47.47.47" xref="A1.Ex63.m1.115.115.115.47.47.47.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.192.192.4.191.50.50.50.1.1.4"><mo id="A1.Ex63.m1.116.116.116.48.48.48" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.116.116.116.48.48.48.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.117.117.117.49.49.49" xref="A1.Ex63.m1.117.117.117.49.49.49.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex63.m1.194.194.6j"><mtd id="A1.Ex63.m1.194.194.6k" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex63.m1.194.194.6l"><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48"><mi id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.49" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex63.m1.118.118.118.1.1.1" rspace="0.111em" xref="A1.Ex63.m1.118.118.118.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48"><msubsup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.2"><mo id="A1.Ex63.m1.119.119.119.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.119.119.119.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.120.120.120.3.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.120.120.120.3.3.3.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.121.121.121.4.4.4.1" xref="A1.Ex63.m1.121.121.121.4.4.4.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1"><msubsup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.2"><mo id="A1.Ex63.m1.122.122.122.5.5.5" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.122.122.122.5.5.5.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.123.123.123.6.6.6.1" xref="A1.Ex63.m1.123.123.123.6.6.6.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.124.124.124.7.7.7.1" xref="A1.Ex63.m1.124.124.124.7.7.7.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1"><msup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.125.125.125.8.8.8" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.cmml"><mi id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.2" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.1" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex63.m1.127.127.127.10.10.10.1" xref="A1.Ex63.m1.127.127.127.10.10.10.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.128.128.128.11.11.11" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.129.129.129.12.12.12" xref="A1.Ex63.m1.129.129.129.12.12.12.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.130.130.130.13.13.13" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.131.131.131.14.14.14" xref="A1.Ex63.m1.131.131.131.14.14.14.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.132.132.132.15.15.15" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.133.133.133.16.16.16" xref="A1.Ex63.m1.133.133.133.16.16.16.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.134.134.134.17.17.17" xref="A1.Ex63.m1.134.134.134.17.17.17.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.135.135.135.18.18.18.1" xref="A1.Ex63.m1.135.135.135.18.18.18.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.1.1.1.1.2.3"><mo id="A1.Ex63.m1.136.136.136.19.19.19" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.137.137.137.20.20.20" xref="A1.Ex63.m1.137.137.137.20.20.20.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex63.m1.138.138.138.21.21.21" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.139.139.139.22.22.22" xref="A1.Ex63.m1.139.139.139.22.22.22.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.140.140.140.23.23.23" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.141.141.141.24.24.24" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.142.142.142.25.25.25.1" xref="A1.Ex63.m1.142.142.142.25.25.25.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.3"><mo id="A1.Ex63.m1.143.143.143.26.26.26" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.143.143.143.26.26.26.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.144.144.144.27.27.27" xref="A1.Ex63.m1.144.144.144.27.27.27.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.4"><mo id="A1.Ex63.m1.145.145.145.28.28.28" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.145.145.145.28.28.28.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.146.146.146.29.29.29" xref="A1.Ex63.m1.146.146.146.29.29.29.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.2b" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5"><msubsup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.1"><mo id="A1.Ex63.m1.147.147.147.30.30.30" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.147.147.147.30.30.30.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.148.148.148.31.31.31.1" xref="A1.Ex63.m1.148.148.148.31.31.31.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.149.149.149.32.32.32.1" xref="A1.Ex63.m1.149.149.149.32.32.32.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2"><msubsup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.1"><mo id="A1.Ex63.m1.150.150.150.33.33.33" xref="A1.Ex63.m1.150.150.150.33.33.33.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex63.m1.151.151.151.34.34.34.1" xref="A1.Ex63.m1.151.151.151.34.34.34.1.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex63.m1.152.152.152.35.35.35.1" xref="A1.Ex63.m1.152.152.152.35.35.35.1.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2"><msub id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.2"><mi id="A1.Ex63.m1.153.153.153.36.36.36" xref="A1.Ex63.m1.153.153.153.36.36.36.cmml">c</mi><mi id="A1.Ex63.m1.154.154.154.37.37.37.1" xref="A1.Ex63.m1.154.154.154.37.37.37.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.1" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.3"><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.3.2"><mo id="A1.Ex63.m1.155.155.155.38.38.38" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex63.m1.156.156.156.39.39.39" xref="A1.Ex63.m1.156.156.156.39.39.39.cmml">q</mi><mo id="A1.Ex63.m1.157.157.157.40.40.40" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex63.m1.158.158.158.41.41.41" xref="A1.Ex63.m1.158.158.158.41.41.41.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex63.m1.159.159.159.42.42.42" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex63.m1.160.160.160.43.43.43.1" xref="A1.Ex63.m1.160.160.160.43.43.43.1.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.1a" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.4"><mo id="A1.Ex63.m1.161.161.161.44.44.44" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.161.161.161.44.44.44.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.162.162.162.45.45.45" xref="A1.Ex63.m1.162.162.162.45.45.45.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.1b" lspace="0.170em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.193.193.5.192.48.48.48.1.1.5.2.2.5"><mo id="A1.Ex63.m1.163.163.163.46.46.46" rspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.163.163.163.46.46.46.cmml">𝑑</mo><mi id="A1.Ex63.m1.164.164.164.47.47.47" xref="A1.Ex63.m1.164.164.164.47.47.47.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex63.m1.194.194.6m"><mtd id="A1.Ex63.m1.194.194.6n" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex63.m1.194.194.6o"><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25"><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1"><mi id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.5" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml"></mi><mo id="A1.Ex63.m1.165.165.165.1.1.1" xref="A1.Ex63.m1.165.165.165.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.2"><msubsup id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.1.1"><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.1.1.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.166.166.166.2.2.2" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1"><mover accent="true" id="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3" xref="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3.2" xref="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3.1" xref="A1.Ex63.m1.167.167.167.3.3.3.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex63.m1.168.168.168.4.4.4.1" xref="A1.Ex63.m1.168.168.168.4.4.4.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.169.169.169.5.5.5" xref="A1.Ex63.m1.169.169.169.5.5.5.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A1.Ex63.m1.170.170.170.6.6.6" xref="A1.Ex63.m1.170.170.170.6.6.6.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex63.m1.171.171.171.7.7.7.1" xref="A1.Ex63.m1.171.171.171.7.7.7.1.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.172.172.172.8.8.8" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex63.m1.173.173.173.9.9.9.1" xref="A1.Ex63.m1.173.173.173.9.9.9.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex63.m1.174.174.174.10.10.10.1" xref="A1.Ex63.m1.174.174.174.10.10.10.1.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.2.3" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.2.2"><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.2.2.1.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.175.175.175.11.11.11" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.2.2.1.1.1.1"><mi id="A1.Ex63.m1.176.176.176.12.12.12" xref="A1.Ex63.m1.176.176.176.12.12.12.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex63.m1.177.177.177.13.13.13.1" xref="A1.Ex63.m1.177.177.177.13.13.13.1.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.178.178.178.14.14.14" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex63.m1.179.179.179.15.15.15.1" xref="A1.Ex63.m1.179.179.179.15.15.15.1.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.Ex63.m1.180.180.180.16.16.16.1" xref="A1.Ex63.m1.180.180.180.16.16.16.1.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.181.181.181.17.17.17" xref="A1.Ex63.m1.181.181.181.17.17.17.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.3"><msub id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.3.3"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex63.m1.182.182.182.18.18.18" xref="A1.Ex63.m1.182.182.182.18.18.18.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex63.m1.183.183.183.19.19.19.1" xref="A1.Ex63.m1.183.183.183.19.19.19.1.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.3.2" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.3.1.1"><mo id="A1.Ex63.m1.184.184.184.20.20.20" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex63.m1.194.194.6.193.25.25.25.1.3.1.1.1"><mi id="A1.Ex63.m1.185.185.185.21.21.21" xref="A1.Ex63.m1.185.185.185.21.21.21.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.cmml"><mo id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1a" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.2" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex63.m1.187.187.187.23.23.23" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex63.m1.188.188.188.24.24.24" lspace="0em" xref="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex63.m1.194b"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><and id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1a.cmml" 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xref="A1.Ex63.m1.10.10.10.10.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.11.11.11.11.5.5.cmml" xref="A1.Ex63.m1.11.11.11.11.5.5"></int><ci id="A1.Ex63.m1.12.12.12.12.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.12.12.12.12.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.13.13.13.13.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.13.13.13.13.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.14.14.14.14.8.8.cmml" xref="A1.Ex63.m1.14.14.14.14.8.8">𝑎</ci><cn id="A1.Ex63.m1.15.15.15.15.9.9.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.15.15.15.15.9.9.1">4</cn></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex63.m1.17.17.17.17.11.11.cmml" xref="A1.Ex63.m1.17.17.17.17.11.11">𝑟</ci><ci id="A1.Ex63.m1.19.19.19.19.13.13.cmml" xref="A1.Ex63.m1.19.19.19.19.13.13">𝑠</ci></interval><cn id="A1.Ex63.m1.21.21.21.21.15.15.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.21.21.21.21.15.15.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.22.22.22.22.16.16.cmml" xref="A1.Ex63.m1.22.22.22.22.16.16">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.23.23.23.23.17.17.cmml" xref="A1.Ex63.m1.23.23.23.23.17.17">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.24.24.24.24.18.18.cmml" xref="A1.Ex63.m1.24.24.24.24.18.18">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.19.cmml" xref="A1.Ex63.m1.25.25.25.25.19.19">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex63.m1.26.26.26.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.26.26.26.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.10.cmml" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.30.30.30.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex63.m1.30.30.30.5.5.5"></int><ci id="A1.Ex63.m1.31.31.31.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.31.31.31.6.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.32.32.32.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.32.32.32.7.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.34.34.34.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex63.m1.34.34.34.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex63.m1.35.35.35.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.35.35.35.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.36.36.36.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.36.36.36.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex63.m1.45.45.45.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex63.m1.45.45.45.20.20.20"></minus><apply 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id="A1.Ex63.m1.62.62.62.37.37.37.cmml" xref="A1.Ex63.m1.62.62.62.37.37.37">𝑞</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex63.m1.64.64.64.39.39.39.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.64.64.64.39.39.39.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.65.65.65.40.40.40.cmml" xref="A1.Ex63.m1.65.65.65.40.40.40">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.66.66.66.41.41.41.cmml" xref="A1.Ex63.m1.66.66.66.41.41.41">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.67.67.67.42.42.42.cmml" xref="A1.Ex63.m1.67.67.67.42.42.42">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.68.68.68.43.43.43.cmml" xref="A1.Ex63.m1.68.68.68.43.43.43">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1e.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex63.m1.69.69.69.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.69.69.69.1.1.1"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.2.cmml" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1f.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.70.70.70.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.70.70.70.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex63.m1.71.71.71.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.71.71.71.3.3.3.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.72.72.72.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.72.72.72.4.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.2.cmml" 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id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.77.77.77.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex63.m1.77.77.77.9.9.9"></int><ci id="A1.Ex63.m1.78.78.78.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.78.78.78.10.10.10.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.79.79.79.11.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.79.79.79.11.11.11.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply 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closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex63.m1.84.84.84.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex63.m1.84.84.84.16.16.16">𝑟</ci><ci id="A1.Ex63.m1.86.86.86.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex63.m1.86.86.86.18.18.18">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.89.89.89.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex63.m1.89.89.89.21.21.21">𝑐</ci><ci id="A1.Ex63.m1.90.90.90.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.90.90.90.22.22.22.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" 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id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.100.100.100.32.32.32.cmml" xref="A1.Ex63.m1.100.100.100.32.32.32"></int><ci id="A1.Ex63.m1.101.101.101.33.33.33.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.101.101.101.33.33.33.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.102.102.102.34.34.34.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.102.102.102.34.34.34.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.103.103.103.35.35.35.cmml" xref="A1.Ex63.m1.103.103.103.35.35.35">𝑐</ci><ci id="A1.Ex63.m1.104.104.104.36.36.36.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.104.104.104.36.36.36.1">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><interval closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex63.m1.106.106.106.38.38.38.cmml" xref="A1.Ex63.m1.106.106.106.38.38.38">𝑞</ci><ci id="A1.Ex63.m1.108.108.108.40.40.40.cmml" xref="A1.Ex63.m1.108.108.108.40.40.40">𝑠</ci></interval><cn id="A1.Ex63.m1.110.110.110.42.42.42.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.110.110.110.42.42.42.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.111.111.111.43.43.43.cmml" xref="A1.Ex63.m1.111.111.111.43.43.43">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.112.112.112.44.44.44.cmml" xref="A1.Ex63.m1.112.112.112.44.44.44">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.114.114.114.46.46.46.cmml" xref="A1.Ex63.m1.114.114.114.46.46.46">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.115.115.115.47.47.47.cmml" xref="A1.Ex63.m1.115.115.115.47.47.47">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.116.116.116.48.48.48.cmml" xref="A1.Ex63.m1.116.116.116.48.48.48">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.117.117.117.49.49.49.cmml" xref="A1.Ex63.m1.117.117.117.49.49.49">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1g.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex63.m1.118.118.118.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.118.118.118.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.3.cmml" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1h.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.119.119.119.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.119.119.119.2.2.2"></int><ci id="A1.Ex63.m1.120.120.120.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.120.120.120.3.3.3.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.121.121.121.4.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.121.121.121.4.4.4.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="A1.Ex63.m1.122.122.122.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex63.m1.122.122.122.5.5.5"></int><ci id="A1.Ex63.m1.123.123.123.6.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.123.123.123.6.6.6.1">𝑎</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.124.124.124.7.7.7.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.124.124.124.7.7.7.1">𝑏</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex63.m1.133.133.133.16.16.16.cmml" xref="A1.Ex63.m1.133.133.133.16.16.16"></minus><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.cmml" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9"><ci id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.1">^</ci><ci id="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.126.126.126.9.9.9.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex63.m1.127.127.127.10.10.10.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.127.127.127.10.10.10.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex63.m1.129.129.129.12.12.12.cmml" xref="A1.Ex63.m1.129.129.129.12.12.12">𝑟</ci><ci id="A1.Ex63.m1.131.131.131.14.14.14.cmml" xref="A1.Ex63.m1.131.131.131.14.14.14">𝑞</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.134.134.134.17.17.17.cmml" xref="A1.Ex63.m1.134.134.134.17.17.17">𝑐</ci><ci id="A1.Ex63.m1.135.135.135.18.18.18.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.135.135.135.18.18.18.1">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex63.m1.137.137.137.20.20.20.cmml" xref="A1.Ex63.m1.137.137.137.20.20.20">𝑟</ci><ci id="A1.Ex63.m1.139.139.139.22.22.22.cmml" xref="A1.Ex63.m1.139.139.139.22.22.22">𝑞</ci></interval></apply></apply><cn id="A1.Ex63.m1.142.142.142.25.25.25.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.142.142.142.25.25.25.1">2</cn></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.143.143.143.26.26.26.cmml" xref="A1.Ex63.m1.143.143.143.26.26.26">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.144.144.144.27.27.27.cmml" xref="A1.Ex63.m1.144.144.144.27.27.27">𝑞</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.4.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex63.m1.145.145.145.28.28.28.cmml" xref="A1.Ex63.m1.145.145.145.28.28.28">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.146.146.146.29.29.29.cmml" 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id="A1.Ex63.m1.182.182.182.18.18.18.cmml" xref="A1.Ex63.m1.182.182.182.18.18.18">𝒪</ci><ci id="A1.Ex63.m1.183.183.183.19.19.19.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.183.183.183.19.19.19.1">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.7.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex63.m1.189.189.1.1.1.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex63.m1.185.185.185.21.21.21.cmml" xref="A1.Ex63.m1.185.185.185.21.21.21">𝑇</ci><apply id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1"><minus id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.1.cmml" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1"></minus><cn id="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex63.m1.186.186.186.22.22.22.1.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex63.m1.194c">\begin{split}\left\|A_{4}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}&=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}a% _{4}\left(r,s\right)^{2}\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)c_{j}\left(q,s\right)\,dq\right)^{2}\,dr\,% ds\\ &\leq\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q% \right)-c_{j}\left(r,q\right)\right)^{2}\,dq\int_{a}^{b}c_{j}\left(q,s\right)^% {2}\,dq\right)\,dr\,ds\\ &=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}\left(\widehat{c}_{j}\left(r,q\right)-c_{j}\left(r,q% \right)\right)^{2}\,dq\,dr\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}c_{j}\left(q,s\right)^{2}\,% dq\,ds\\ &=\left\|\widehat{C}_{j}-C_{j}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}\left\|C_{j}\right\|_{% \mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1}\right).\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex63.m1.194d">start_ROW start_CELL ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) italic_d italic_q ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≤ ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q ) italic_d italic_r italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q italic_d italic_r ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q , italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_q italic_d italic_s end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.4.p1.5">Similar to the term <math alttext="\left\|A_{1}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1"><semantics id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1a"><msubsup id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1b"><apply id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1c">\left\|A_{1}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.4.p1.2.m1.1d">∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the auxiliary covariance function is continuous and defined on a closed bounded interval. Therefore, the boundedness theorem states that there exists a positive real constant such that <math alttext="\sup_{s,q\in\left[0,1\right]}\left|c_{j}\left(s,q\right)\right|=K<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7"><semantics id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7a"><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.cmml"><msub id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.2.cmml">sup</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.3.3.3.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.3.3.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.4" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.5" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.5.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.1.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.1.cmml">[</mo><mn id="A1.SS2.4.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.1.cmml">,</mo><mn id="A1.SS2.4.p1.3.m2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.5.5" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.6.6" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.6.6.cmml">q</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.3" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.3.cmml">=</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.4" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.4.cmml">K</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.5" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.5.cmml"><</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.6" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.6.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7b"><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7"><and id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7a.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7"></and><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7b.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7"><eq id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.3"></eq><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1"><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.2.2">supremum</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4"><in id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.5.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.5"></in><list id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.6.2"><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.3.3.3.3">𝑠</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.4.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.4">𝑞</ci></list><interval closure="closed" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.4.4.4.7.2"><cn id="A1.SS2.4.p1.3.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.1.1.1.1">0</cn><cn id="A1.SS2.4.p1.3.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1"><abs id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1"><times id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.5.5.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.5.5">𝑠</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.6.6.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.6.6">𝑞</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.4.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.4">𝐾</ci></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7c.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7"><lt id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.5.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.4.cmml" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7d.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7"></share><infinity id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.6.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.3.m2.7.7.6"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7c">\sup_{s,q\in\left[0,1\right]}\left|c_{j}\left(s,q\right)\right|=K<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.4.p1.3.m2.7d">roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_s , italic_q ∈ [ 0 , 1 ] end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s , italic_q ) | = italic_K < ∞</annotation></semantics></math>. In combination with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma4" title="Lemma 4. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, the last equality holds. <br class="ltx_break"/>Because <math alttext="\left\|A_{4}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}=\left\|A_{5}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2"><semantics id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2a"><mrow id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.3.cmml">=</mo><msubsup id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2b"><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2"><eq id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">4</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐴</ci><cn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.1.1.1.3">5</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.4.m3.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2c">\left\|A_{4}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}=\left\|A_{5}\right\|_{\mathcal{S}}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.4.p1.4.m3.2d">∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∥ italic_A start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the proof follows analogously and we conclude that <math alttext="\|\widehat{D}-D\|_{\mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1"><semantics id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1a"><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi><mn id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1b"><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1"><eq id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply></apply><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2"><times id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.2">𝒪</ci><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.4.p1.5.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1c">\|\widehat{D}-D\|_{\mathcal{S}}^{2}=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.4.p1.5.m4.1d">∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG - italic_D ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math> ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma6.1.1.1">Lemma 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma6.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma6.p1.6.6">The eigenvalues <math alttext="\lambda_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3"><times id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1c">\lambda_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the operator <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐷</ci><ci id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.2.2.m2.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be estimated by their empirical counterparts <math alttext="\widehat{\lambda}_{lj}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.1" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2"><ci id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1c">\widehat{\lambda}_{lj}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.3.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="\widehat{D}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2"><ci id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1c">\widehat{D}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.4.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For each <math alttext="l\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1"><geq id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.1"></geq><ci id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑙</ci><cn id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1c">l\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.5.5.m5.1d">italic_l ≥ 1</annotation></semantics></math> and any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3"><semantics id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3a"><mrow id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.2" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.1" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.2" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.3" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3b"><apply id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4"><eq id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.3.cmml" xref="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma6.p1.6.6.m6.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}\right|=\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}% \right)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex64.m1.1"><semantics id="A1.Ex64.m1.1a"><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex64.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex64.m1.1b"><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝒪</ci><ci id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" 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id="A1.SS2.5.p1.2.1">\textcite</span>Horvath.2012 implies that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex65"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}\right|\leq\left\|\widehat{D}_{j}-D_{% j}\right\|_{\mathcal{S}}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex65.m1.1"><semantics id="A1.Ex65.m1.1a"><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝒮</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex65.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex65.m1.1b"><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1"><leq id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.3"></leq><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex65.m1.1.1.1.1.2.3">𝒮</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex65.m1.1c">\left|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}\right|\leq\left\|\widehat{D}_{j}-D_{% j}\right\|_{\mathcal{S}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex65.m1.1d">| over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT | ≤ ∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.5.p1.1">for each <math alttext="l\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1"><geq id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.2">𝑙</ci><cn id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.5.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1c">l\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.5.p1.1.m1.1d">italic_l ≥ 1</annotation></semantics></math>. The assertion then results as a consequence of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma5" title="Lemma 5. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma7.1.1.1">Lemma 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma7.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma7.p1.5.5">The eigenfunctions <math alttext="\psi_{lj}\left(s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2"><times id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3"><times id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1c">\psi_{lj}\left(s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma7.p1.1.1.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> of the operator <math alttext="D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐷</ci><ci id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1c">D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma7.p1.2.2.m2.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be estimated by their empirical counterparts <math alttext="\widehat{\psi}_{lj}\left(s\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.1" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.3.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.3.2.1" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.1.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2"><times id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2"><ci id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3"><times id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1c">\widehat{\psi}_{lj}\left(s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma7.p1.3.3.m3.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> of <math alttext="\widehat{D}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2"><ci id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1c">\widehat{D}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma7.p1.4.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3"><semantics id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.cmml"><mi id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.2" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.1" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.2" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.2.1" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.2.2" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.3" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3b"><apply id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4"><eq id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.1"></eq><ci id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.4.3.2"><cn id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.1.1">1</cn><ci id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.2.2">…</ci><ci id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.3.cmml" xref="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma7.p1.5.5.m5.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex66"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\max_{1\leq l\leq K_{j}}\left\|s_{lj}\widehat{\psi}_{lj}-\psi_{lj}\right\|=% \mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex66.m1.1"><semantics id="A1.Ex66.m1.1a"><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.5" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow></munder><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex66.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex66.m1.1b"><apply id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><max id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.2"></max><apply id="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex66.m1.1.1.1.1.1.2.3"><and 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italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS2.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS2.6.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.6.p1.2">Lemma 2.3 in <span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS2.6.p1.2.1">\textcite</span>Horvath.2012 implies that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\max_{1\leq l\leq K_{j}}\left\|s_{lj}\widehat{\psi}_{lj}-\psi_{lj}\right\|\leq% \frac{2\sqrt{2}}{\alpha}\left\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\right\|_{\mathcal{S}}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex67.m1.1"><semantics id="A1.Ex67.m1.1a"><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.5" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.3" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.2.3.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow></munder><mo id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex67.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" 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italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ ≤ divide start_ARG 2 square-root start_ARG 2 end_ARG end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS2.6.p1.1">where <math alttext="\alpha=\min\left\{\lambda_{1}-\lambda_{2},\lambda_{2}-\lambda_{3},\ldots,% \lambda_{K_{j}-1}-\lambda_{K_{j}},\lambda_{K_{j}}\right\}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3"><semantics id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3a"><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.6" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.6.cmml">α</mi><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.5" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.1.1.cmml">min</mi><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4a" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml"><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.5" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">{</mo><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.6" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.7" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.8" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml"><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">λ</mi><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub></mrow><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.9" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">,</mo><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml">λ</mi><msub id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.2" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.3" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.10" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3b"><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" 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id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><minus id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></minus><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2">𝜆</ci><cn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply></apply><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.2.2">…</ci><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><minus id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1"></minus><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3"><minus id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.1"></minus><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="A1.SS2.6.p1.1.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3c">\alpha=\min\left\{\lambda_{1}-\lambda_{2},\lambda_{2}-\lambda_{3},\ldots,% \lambda_{K_{j}-1}-\lambda_{K_{j}},\lambda_{K_{j}}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS2.6.p1.1.m1.3d">italic_α = roman_min { italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math> The assertion then results as a consequence of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma5" title="Lemma 5. ‣ A.2 Proof of Theorem 1 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. ∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.3 </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem2" title="Theorem 2. ‣ 4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> </h3> <div class="ltx_proof" id="A1.SS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.4">Define <math alttext="c\coloneqq\sqrt{T^{-1}\sum_{t=1}^{T}\|X_{jt}-\overline{X}_{j}\|^{2}}\sqrt{T^{-% 1}\sum_{t=1}^{T}\|Y_{t}-\overline{Y}\|^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2"><semantics id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">≔</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><msqrt id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3a" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><msup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></msqrt><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><msup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3a" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><msup id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml 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id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3"><minus id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, where <math alttext="c=\mathcal{O}_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2"><eq id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.1"></eq><ci id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.2">𝑐</ci><apply id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3"><times id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.1"></times><apply id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.2">𝒪</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.2.m2.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1c">c=\mathcal{O}_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.2.m2.1d">italic_c = caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math>. Then for <math alttext="1\leq l\leq K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.4" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml">l</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.5" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.5.cmml">≤</mo><msub id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.2" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.3" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1"><and id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1"><leq id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3"></leq><cn id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2">1</cn><ci id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.4">𝑙</ci></apply><apply id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1"><leq id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.4.cmml" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1"></share><apply id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.3.m3.1.1.6.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1c">1\leq l\leq K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.3.m3.1d">1 ≤ italic_l ≤ italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3"><semantics id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.2" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.1" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="A1.SS3.1.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3b"><apply id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4"><eq id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.1"></eq><ci id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.2">𝑗</ci><list id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.4.3.2"><cn id="A1.SS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.1.1">1</cn><ci id="A1.SS3.1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.2.2">…</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.4.m4.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.4.m4.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex68"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\frac{\widehat{\lambda}_{lj}}{c}=\lim_{T% \rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\left(\frac{\lambda_{lj}}{c}+\mathcal{O}_{P}% \left(T^{-1/2}\right)\right)=\infty," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex68.m1.5"><semantics id="A1.Ex68.m1.5a"><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munder id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.1" lspace="0.167em" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.2a" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex68.m1.2.2" xref="A1.Ex68.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml"><msub id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml">c</mi></mfrac></mrow></mrow><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.4" rspace="0.1389em" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.3.3" xref="A1.Ex68.m1.3.3.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.2a" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex68.m1.4.4" xref="A1.Ex68.m1.4.4.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mi id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></mfrac><mo id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex68.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" 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id="A1.Ex68.m1.5c">\lim_{T\rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\frac{\widehat{\lambda}_{lj}}{c}=\lim_{T% \rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\left(\frac{\lambda_{lj}}{c}+\mathcal{O}_{P}% \left(T^{-1/2}\right)\right)=\infty,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex68.m1.5d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_γ roman_ln ( italic_T ) divide start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_c end_ARG = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_γ roman_ln ( italic_T ) ( divide start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_c end_ARG + caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ) = ∞ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.7">because <math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\ln(T)\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3"><semantics id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.2a" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.2a" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3b"><apply id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3"><eq id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.2"></eq><apply id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1"><apply id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><limit id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.2"></limit><apply id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3"><ci id="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.5.m1.3.3.1.2.3.1">→</ci><ci 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id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.6.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1c">\lambda_{lj}/c>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.6.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_c > 0</annotation></semantics></math> by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(b) and <math alttext="c>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1b"><apply id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1"><gt id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.1"></gt><ci id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.2">𝑐</ci><cn id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.7.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1c">c>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.7.m3.1d">italic_c > 0</annotation></semantics></math>. Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex69"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\arctan(\gamma\ln(T)\frac{\widehat{\lambda}_{lj}}{c})% =\frac{\pi}{2}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex69.m1.4"><semantics id="A1.Ex69.m1.4a"><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.3.3" xref="A1.Ex69.m1.3.3.cmml">arctan</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.167em" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.1.1" xref="A1.Ex69.m1.1.1.cmml">ln</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex69.m1.2.2" xref="A1.Ex69.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">c</mi></mfrac></mrow><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mfrac id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="A1.Ex69.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex69.m1.4b"><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1"><eq id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1"><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.2"></limit><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3"><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1"><arctan id="A1.Ex69.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.3.3"></arctan><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ln id="A1.Ex69.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.1.1"></ln><ci id="A1.Ex69.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.2.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3"><divide id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3"></divide><ci id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex69.m1.4.4.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex69.m1.4c">\lim_{T\rightarrow\infty}\arctan(\gamma\ln(T)\frac{\widehat{\lambda}_{lj}}{c})% =\frac{\pi}{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex69.m1.4d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT roman_arctan ( italic_γ roman_ln ( italic_T ) divide start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_c end_ARG ) = divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.14">leading to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex70"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}G(\widehat{\lambda}_{lj})=\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}=1." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex70.m1.1"><semantics id="A1.Ex70.m1.1a"><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" 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xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2"><divide id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2"></divide><cn id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.2">2</cn><ci id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3"><divide id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3"></divide><ci id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝜋</ci><cn id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex70.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1"></share><cn id="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="A1.Ex70.m1.1.1.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex70.m1.1c">\lim_{T\rightarrow\infty}G(\widehat{\lambda}_{lj})=\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex70.m1.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_π end_ARG divide start_ARG italic_π end_ARG start_ARG 2 end_ARG = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.9">For <math alttext="K_{j}+1\leq l\leq K_{j}^{\text{max}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.8.m1.1.1.2.3" 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alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\frac{\widehat{\lambda}_{lj}}{c}=\lim_{T% \rightarrow\infty}\gamma\ln(T)\left(\frac{\lambda_{lj}}{c}+\mathcal{O}_{P}% \left(T^{-1/2}\right)\right)=0," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex71.m1.5"><semantics id="A1.Ex71.m1.5a"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munder id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.3.1.3.3" mathvariant="normal" 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xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">c</mi></mfrac><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" 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id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.5" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.6" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.Ex71.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex71.m1.5b"><apply id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1"><and id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1"></and><apply id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="A1.Ex71.m1.5.5.1"><eq id="A1.Ex71.m1.5.5.1.1.4.cmml" 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encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex71.m1.5d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_γ roman_ln ( italic_T ) divide start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_c end_ARG = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_γ roman_ln ( italic_T ) ( divide start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_c end_ARG + caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.12">because <math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}\ln(T)\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3"><semantics id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3a"><mrow 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xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.2.1.1" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.10.m1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.2.2.cmml">T</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">𝒪</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4.3" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.2a" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3b"><apply id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3"><eq id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.2"></eq><apply id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1"><apply id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><limit id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.2"></limit><apply id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3"><ci id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3.1">→</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.10.m1.3.3.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity 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encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3c">\lim_{T\rightarrow\infty}\ln(T)\mathcal{O}_{P}\left(T^{-1/2}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.10.m1.3d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT roman_ln ( italic_T ) caligraphic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda_{lj}/c=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1b"><apply id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1"><eq id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2"><divide id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.1"></divide><apply id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.2.3">𝑐</ci></apply><cn id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.11.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1c">\lambda_{lj}/c=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.11.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_c = 0</annotation></semantics></math> by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(b) and <math alttext="c>0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1"><semantics id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.1.cmml">></mo><mn id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1b"><apply id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1"><gt id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.1"></gt><ci id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.2">𝑐</ci><cn id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS3.1.p1.12.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1c">c>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS3.1.p1.12.m3.1d">italic_c > 0</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{T\rightarrow\infty}G(\widehat{\lambda}_{lj})=0." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex72.m1.1"><semantics id="A1.Ex72.m1.1a"><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="A1.Ex72.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex72.m1.1b"><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.2"></limit><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex72.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex72.m1.1c">\lim_{T\rightarrow\infty}G(\widehat{\lambda}_{lj})=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex72.m1.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.15">As defined in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S4.SS2" title="4.2 Number of factors ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex73"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g_{lj}\coloneqq\begin{cases}1,&\text{for $l=0$}\\ G(\widehat{\lambda}_{lj}),&\text{for $l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}^{\text{max}}+1$}.\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex73.m1.6"><semantics id="A1.Ex73.m1.6a"><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7" xref="A1.Ex73.m1.6.7.cmml"><msub id="A1.Ex73.m1.6.7.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.2.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.2" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex73.m1.6.7.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.1.cmml">≔</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.6.6" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.6.6.7" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A1.Ex73.m1.6.6.6" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mtr id="A1.Ex73.m1.6.6.6a" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6b" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mn id="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.3.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6c" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex73.m1.6.6.6d" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6e" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.2" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6f" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml"><mtext id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1a" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mtext id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">max</mtext></msubsup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex73.m1.6.6.6g" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6h" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.3" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mn id="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.1" xref="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.3.1" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex73.m1.6.6.6i" xref="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml"><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml"><mtext id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a.cmml">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><mtext id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">max</mtext></msubsup><mo id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" lspace="0em" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex73.m1.6b"><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7"><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.1">≔</ci><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.6.7.2.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.2">𝑔</ci><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3"><times id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.7.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.6"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex73.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.6.6.7">cases</csymbol><cn id="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex73.m1.4.4.4.4.2.1.1">1</cn><ci id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1"><mtext id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mn id="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">0</mn></mrow></mrow></ci><apply id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1"><times id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.3">𝐺</ci><apply id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.5.5.5.5.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1"><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1"><mtext id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.3">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.2">=</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3"><mn id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.1.1">1</mn><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2.cmml" mathvariant="normal" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.2.2">…</mi><mo id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.3">,</mo><msubsup id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">K</mi><mi id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">j</mi><mtext id="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">max</mtext></msubsup></mrow></mrow></mrow></ci><cn id="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex73.m1.6.6.6.6.2.1.1">0</cn><ci id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.3"><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.3"><mtext id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1a">for </mtext><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.2">l</mi><mo id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.1">=</mo><mrow id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3"><msubsup id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2">K</mi><mi id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3">j</mi><mtext id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">max</mtext></msubsup><mo id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">+</mo><mn id="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex73.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">1</mn></mrow></mrow></mrow></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex73.m1.6c">g_{lj}\coloneqq\begin{cases}1,&\text{for $l=0$}\\ G(\widehat{\lambda}_{lj}),&\text{for $l=1,\ldots,K_{j}^{\text{max}}$}\\ 0,&\text{for $l=K_{j}^{\text{max}}+1$}.\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex73.m1.6d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ≔ { start_ROW start_CELL 1 , end_CELL start_CELL for italic_l = 0 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_G ( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , end_CELL start_CELL for italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 , end_CELL start_CELL for italic_l = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT max end_POSTSUPERSCRIPT + 1 . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.13">Clearly, <math alttext="\widehat{K}_{j}^{ED}=\operatorname*{arg\,max}_{0\leq l\leq K_{j}^{\text{max}}}% \left\{g_{lj}-g_{(l+1)j}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3"><semantics id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3a"><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.cmml"><msubsup id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.2.3.cmml">j</mi><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.2.cmml">E</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.1" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.4.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.3.cmml"><msub id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">arg</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">max</mi></mrow><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">0</mn><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">≤</mo><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.4" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.4.cmml">l</mi><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.5" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.5.cmml">≤</mo><msubsup id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.cmml"><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.2.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.2.3.cmml">j</mi><mtext id="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.3" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.2.2.1.1.1.3.6.3a.cmml">max</mtext></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2a" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><mrow id="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2.2.1" xref="A1.SS3.1.p1.13.m1.3.3.2.2.2.1.cmml"><msub 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id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Pr</mtext><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mrow id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="A1.Ex74.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex74.m1.1b"><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.2"></limit><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3"><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><infinity id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.3">Pr</mtext></ci><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐾</ci></apply><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐸</ci><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex74.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex74.m1.1c">\lim_{T\rightarrow\infty}\text{Pr}\left(\widehat{K}_{j}^{ED}=K_{j}\right)=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex74.m1.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_T → ∞ end_POSTSUBSCRIPT Pr ( over^ start_ARG italic_K end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_E italic_D end_POSTSUPERSCRIPT = italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS3.1.p1.16">∎</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.4 </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> </h3> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.1.p1.4">A challenge for the notation of this proof is that the signs of the loadings <math alttext="\psi_{lj}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.1" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2"><times id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1c">\psi_{lj}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.1.p1.1.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> and the coefficients <math alttext="\beta_{jt}(r)=\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)\psi_{lj}(s)\,\mathrm{d}s" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4"><semantics id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4a"><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.cmml"><msub id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.1" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.1" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.1" rspace="0.111em" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml"><msub id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" 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id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1b" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.5.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.4" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1c" lspace="0.170em" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6.1" rspace="0em" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6.1.cmml">d</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6.2" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.3.2.6.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4b"><apply id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5"><eq id="A1.SS4.1.p1.2.m2.4.5.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) roman_d italic_s</annotation></semantics></math> are unidentified whereas the signs of their products <math alttext="\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.1" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.3" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.1" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.3.2.1" 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xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3"><times id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.1"></times><ci id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.3.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.3.m3.2.2">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2c">\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.1.p1.3.m3.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> and of the true coefficient function <math alttext="\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4"><semantics id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4a"><mrow id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.cmml"><msub id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2.2" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2.3" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.1" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.3.2" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" 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id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3"><eq id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2"><times id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.1"></times><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.2">𝛽</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3"><times id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.3.3">𝑟</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3"><times id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.1"></times><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.5.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="A1.SS4.1.p1.4.m4.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4c">\beta_{j}(r,s)=\sum_{l=1}^{K_{j}}\beta_{lj}(r)\psi_{lj}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.1.p1.4.m4.4d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> are identified.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.2.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.2.p2.8">Therefore, we condition our notation on the selected signs of the estimated loadings and define the sign matrices <math alttext="S_{j}=diag(s_{1j},\ldots,s_{K_{j}j})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3"><semantics id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.2.cmml">S</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.4" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.4.cmml">d</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.5" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.5.cmml">i</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3a" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.6" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.6.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3b" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.7" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.7.cmml">g</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3c" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.4" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.5" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3b"><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3"><eq id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.2">𝑆</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2"><times id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.3"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.4.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.4">𝑑</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.5.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.5">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.6.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.6">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.7.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.7">𝑔</ci><vector id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2"><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.1.1">…</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3c">S_{j}=diag(s_{1j},\ldots,s_{K_{j}j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.1.m1.3d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="S=diag(I_{N},S_{1},\ldots,S_{J})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4"><semantics id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.5" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.5.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.4" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.5" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.5.cmml">d</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.6" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.6.cmml">i</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4a" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.7" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.7.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4b" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.8" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.8.cmml">g</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4c" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.3.5" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.3.6" xref="A1.SS4.2.p2.2.m2.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" 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italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_J end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with <math alttext="s_{lj}=sign(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1"><semantics id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.3" 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id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3"><times id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1"><times id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.5.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.5">𝑔</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.6.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.6">𝑛</ci><list id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1c">s_{lj}=sign(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.3.m3.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_s italic_i italic_g italic_n ( ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ )</annotation></semantics></math> for <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3"><semantics id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.2" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.1" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mn id="A1.SS4.2.p2.4.m4.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.2.1" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3b"><apply id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4"><eq id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.1"></eq><ci id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.2">𝑗</ci><list id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.4.3.2"><cn id="A1.SS4.2.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.1.1">1</cn><ci id="A1.SS4.2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.2.2">…</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.4.m4.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.4.m4.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math> and <math alttext="l=1,\ldots,K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3"><semantics id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.2.cmml"><mn id="A1.SS4.2.p2.5.m5.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.5.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3b"><apply id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3"><eq id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.2"></eq><ci id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.3">𝑙</ci><list id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1"><cn id="A1.SS4.2.p2.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.1.1">1</cn><ci id="A1.SS4.2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.2.2">…</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.5.m5.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3c">l=1,\ldots,K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.5.m5.3d">italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This matrix has the property that <math alttext="S=S^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1"><semantics id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1b"><apply id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1"><eq id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.6.m6.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1c">S=S^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.6.m6.1d">italic_S = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="SS=I_{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1"><semantics id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.1" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">S</mi></mrow><mo id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">I</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml">M</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1b"><apply id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1"><eq id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2"><times id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.1"></times><ci id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.2">𝐼</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.7.m7.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1c">SS=I_{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.7.m7.1d">italic_S italic_S = italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="M=N+\sum_{j=1}^{J}K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1"><semantics id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1a"><mrow id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.1" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.3.cmml">J</mi></msubsup><msub id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1b"><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1"><eq id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.2">𝑀</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3"><plus id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.1"></plus><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.2">𝑁</ci><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3"><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.1.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.2.p2.8.m8.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1c">M=N+\sum_{j=1}^{J}K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.2.p2.8.m8.1d">italic_M = italic_N + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.3.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.2">To represent the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1a"><mi id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.1.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1b"><ci id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.1.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.1.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th coefficient surface and its estimator conveniently, let <math alttext="P_{j}\in\mathbb{R}^{K_{j}\times M}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">M</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1"><in id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.1"></in><apply id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3"><times id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.2.m2.1.1.3.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1c">P_{j}\in\mathbb{R}^{K_{j}\times M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT × italic_M end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the selection matrix defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex75"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(P_{j})_{k,i}=\begin{cases}1&\text{if}\ i=N+\sum_{l=1}^{j-1}K_{l}+k,\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex75.m1.7"><semantics id="A1.Ex75.m1.7a"><mrow id="A1.Ex75.m1.7.7" xref="A1.Ex75.m1.7.7.cmml"><msub id="A1.Ex75.m1.7.7.1" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex75.m1.6.6.2.4" xref="A1.Ex75.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex75.m1.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex75.m1.6.6.2.4.1" xref="A1.Ex75.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex75.m1.6.6.2.2" xref="A1.Ex75.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex75.m1.7.7.2" xref="A1.Ex75.m1.7.7.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.4.4" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.4.4.5" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A1.Ex75.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml"><mtr id="A1.Ex75.m1.4.4.4a" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex75.m1.4.4.4b" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml"><mn id="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A1.Ex75.m1.4.4.4c" xref="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mtext id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2a.cmml">if</mtext><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" lspace="0.500em" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.1" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mstyle><msub id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi 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id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.7.7.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><list id="A1.Ex75.m1.6.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.2.4"><ci id="A1.Ex75.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="A1.Ex75.m1.6.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex75.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex75.m1.7.7.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.4.4.5">cases</csymbol><cn id="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1">1</cn><apply id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1"><eq id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></eq><apply id="A1.Ex75.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex75.m1.4.4.4.4.2.1">otherwise</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex75.m1.7c">(P_{j})_{k,i}=\begin{cases}1&\text{if}\ i=N+\sum_{l=1}^{j-1}K_{l}+k,\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex75.m1.7d">( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_i end_POSTSUBSCRIPT = { start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL if italic_i = italic_N + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT + italic_k , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL otherwise end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.8">to extract the relevant entries of <math alttext="B(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.3.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1c">B(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.3.m1.1d">italic_B ( italic_r )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{B}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.4.m2.1.1" 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Then, <math alttext="P_{j}B(r)=B_{j}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.3.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1a" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.5.m3.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.1.1.cmml">r</mi><mo 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id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3"><eq id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.1"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2"><times id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.2.3">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3"><times id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.2">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.5.m3.2.2">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2c">P_{j}B(r)=B_{j}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.5.m3.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_B ( italic_r ) = italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, <math alttext="P_{j}\widehat{B}(r)=\widehat{B}_{j}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.6.m4.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.6.m4.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.6.m4.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.6.m4.2.3.cmml"><mrow 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The selection matrix has the property <math alttext="SP_{j}^{\prime}=P_{j}^{\prime}S_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1"><eq id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.2.3">′</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.8.m6.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1c">SP_{j}^{\prime}=P_{j}^{\prime}S_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.8.m6.1d">italic_S italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, the coefficient functions are</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx22"> <tbody id="A1.Ex76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex76.m1.2"><semantics id="A1.Ex76.m1.2a"><mrow id="A1.Ex76.m1.2.3" xref="A1.Ex76.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex76.m1.2.3.2" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex76.m1.2.3.2.2" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex76.m1.2.3.2.3" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m1.2.3.1" xref="A1.Ex76.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m1.2.3.3.2" xref="A1.Ex76.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m1.1.1" xref="A1.Ex76.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex76.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.Ex76.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex76.m1.2.2" xref="A1.Ex76.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex76.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex76.m1.2b"><apply id="A1.Ex76.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3"><times id="A1.Ex76.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex76.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex76.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex76.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.Ex76.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex76.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex76.m1.2c">\displaystyle\beta_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex76.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(B_{j}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)=(SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}S_{% j}\Psi_{j}(s)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex76.m2.5"><semantics id="A1.Ex76.m2.5a"><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.4" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.5" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.1.1" xref="A1.Ex76.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.2a" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.2.2" xref="A1.Ex76.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.6" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msup id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.3.3" xref="A1.Ex76.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2a" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4.2.cmml">S</mi><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2b" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.3" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2c" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.6.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex76.m2.4.4" xref="A1.Ex76.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex76.m2.5.5.1.2" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex76.m2.5b"><apply id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1"><and id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1a.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1"></and><apply id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1b.cmml" 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id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1c.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1"><eq id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex76.m2.5.5.1.1.1.cmml" id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1d.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1"></share><apply id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2"><times 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id="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex76.m2.5.5.1.1.2.5.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex76.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex76.m2.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex76.m2.5c">\displaystyle=(B_{j}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)=(SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}S_{% j}\Psi_{j}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex76.m2.5d">= ( italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ( italic_S italic_B ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> 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id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.2a" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex77.m2.2.2" xref="A1.Ex77.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.6" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.cmml"><msup id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex77.m2.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2" 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id="A1.Ex77.m2.5c">\displaystyle=(\widehat{B}_{j}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)=(\widehat{B}(% r))^{\prime}P_{j}^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex77.m2.5d">= ( over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ( over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.43">with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s)=(\widehat{B}(r)-SB(r))^{\prime}P_{j}^{% \prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+(SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}(\widehat{\Psi}_{j}% (s)-S_{j}\Psi_{j}(s))." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex78.m1.11"><semantics id="A1.Ex78.m1.11a"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex78.m1.2.2" xref="A1.Ex78.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.3.3" xref="A1.Ex78.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex78.m1.4.4" xref="A1.Ex78.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.4" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1" 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id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.6.6" xref="A1.Ex78.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.7.7" xref="A1.Ex78.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.4" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.cmml"><msup id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.8.8" xref="A1.Ex78.m1.8.8.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3a" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.9.9" xref="A1.Ex78.m1.9.9.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1a" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex78.m1.10.10" xref="A1.Ex78.m1.10.10.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex78.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex78.m1.11b"><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1"><eq id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.4"></eq><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5"><minus id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.1"></minus><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2"><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.2.3.2"><ci id="A1.Ex78.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex78.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.5.3.3.2"><ci id="A1.Ex78.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex78.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3"><plus id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.4"></plus><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex78.m1.5.5">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci><ci id="A1.Ex78.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex78.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2"><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.1.1.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex78.m1.7.7">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.3"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="A1.Ex78.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex78.m1.8.8">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.4.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1"><minus id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.9.9.cmml" xref="A1.Ex78.m1.9.9">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3"><times id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex78.m1.11.11.1.1.3.3.2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex78.m1.10.10.cmml" xref="A1.Ex78.m1.10.10">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex78.m1.11c">\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s)=(\widehat{B}(r)-SB(r))^{\prime}P_{j}^{% \prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+(SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}(\widehat{\Psi}_{j}% (s)-S_{j}\Psi_{j}(s)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex78.m1.11d">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) - italic_S italic_B ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + ( italic_S italic_B ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.44">The least squares estimator is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{B}(r)=\widehat{Q}^{-1}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t% }Y_{t}(r)\bigg{)},\quad\widehat{Q}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}% \widehat{z}_{t}^{\prime}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex79.m1.3"><semantics id="A1.Ex79.m1.3a"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" 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xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2"><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex79.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex79.m1.3c">\widehat{B}(r)=\widehat{Q}^{-1}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t% }Y_{t}(r)\bigg{)},\quad\widehat{Q}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}% \widehat{z}_{t}^{\prime},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex79.m1.3d">over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) = over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) , over^ start_ARG italic_Q end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.45">which gives</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx23"> <tbody id="A1.E30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{B}(r)-SB(r))=\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r),% \quad\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Y_{t}(r)% -\widehat{z}_{t}^{\prime}SB(r))." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E30.m1.7"><semantics id="A1.E30.m1.7a"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.1.1" xref="A1.E30.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.2.2" xref="A1.E30.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.3.3" xref="A1.E30.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.4.4" xref="A1.E30.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml"><mn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.5.5" xref="A1.E30.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">B</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E30.m1.6.6" xref="A1.E30.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E30.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E30.m1.7b"><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1"><eq id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"><root id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.E30.m1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci><ci id="A1.E30.m1.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3"><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.E30.m1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.2"></eq><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2"><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.E30.m1.4.4.cmml" xref="A1.E30.m1.4.4">𝑟</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3"><divide id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3"></divide><cn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.2">1</cn><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3"><root id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3a.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3"></root><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1"><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1"><times id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply 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xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">′</ci></apply><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci><ci id="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.E30.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.4">𝐵</ci><ci id="A1.E30.m1.6.6.cmml" xref="A1.E30.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E30.m1.7c">\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{B}(r)-SB(r))=\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r),% \quad\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Y_{t}(r)% -\widehat{z}_{t}^{\prime}SB(r)).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E30.m1.7d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) - italic_S italic_B ( italic_r ) ) = over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) , over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.46">Then,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx24"> <tbody id="A1.Ex80"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex80.m1.5"><semantics id="A1.Ex80.m1.5a"><mrow id="A1.Ex80.m1.5.5" xref="A1.Ex80.m1.5.5.cmml"><msqrt id="A1.Ex80.m1.5.5.3" xref="A1.Ex80.m1.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.5.5.3.2" xref="A1.Ex80.m1.5.5.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex80.m1.5.5.2" xref="A1.Ex80.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.2" 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id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.2.3.2"><ci id="A1.Ex80.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex80.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3"><times id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m1.5.5.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex80.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex80.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex80.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex80.m1.5c">\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex80.m1.5d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sqrt{T}(\widehat{B}(r)-SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}\widehat{% \Psi}_{j}(s)+\sqrt{T}(SB(r))^{\prime}P_{j}^{\prime}(\widehat{\Psi}_{j}(s)-S_{j% }\Psi_{j}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex80.m2.9"><semantics id="A1.Ex80.m2.9a"><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9" xref="A1.Ex80.m2.9.9.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.5" xref="A1.Ex80.m2.9.9.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.4" xref="A1.Ex80.m2.9.9.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.cmml"><msqrt id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.3.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.1.1" xref="A1.Ex80.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.2.2" xref="A1.Ex80.m2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2a" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2b" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.1" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.3" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2c" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.6.2" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.3.3" xref="A1.Ex80.m2.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.4" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.cmml"><msqrt id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.4" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.4.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.4.4" xref="A1.Ex80.m2.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.3" xref="A1.Ex80.m2.8.8.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3a" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.2.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.2.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.5.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3b" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.5.5" xref="A1.Ex80.m2.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1a" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex80.m2.6.6" xref="A1.Ex80.m2.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex80.m2.9b"><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9"><eq id="A1.Ex80.m2.9.9.4.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex80.m2.9.9.5.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.5">absent</csymbol><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3"><plus 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xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci><ci id="A1.Ex80.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.2.2">𝑟</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.4.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2"><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.7.7.1.1.5.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.cmml" 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cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex80.m2.5.5.cmml" xref="A1.Ex80.m2.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3"><times id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex80.m2.9.9.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml" 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class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(P_{j}\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{% j}(s)+\sqrt{T}(\widehat{\Psi}_{j}(s)-S_{j}\Psi_{j}(s))^{\prime}S_{j}B_{j}(r)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex81.m1.6"><semantics id="A1.Ex81.m1.6a"><mrow id="A1.Ex81.m1.6.6.1" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.4" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex81.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.9">Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma24" title="Lemma 24. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a> and the consistency of <math alttext="\widehat{\Psi}_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" 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xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.9.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1c">\widehat{\Psi}_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.9.m1.1d">over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> imply</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx25"> <tbody id="A1.E31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(P_{j}\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j% }(s)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}Q^{-1}z_{t}^{*}u_{t}(r))^{% \prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{P}(1)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E31.m1.9"><semantics id="A1.E31.m1.9a"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">A</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E31.m1.2.2" xref="A1.E31.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">u</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E31.m1.4.4" xref="A1.E31.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E31.m1.5.5" xref="A1.E31.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.E31.m1.1.1.1.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.E31.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.E31.m1.1.1.1.1" xref="A1.E31.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.E31.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E31.m1.6.6" xref="A1.E31.m1.6.6.cmml">r</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E31.m1.7.7" xref="A1.E31.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><msub id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.3" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.1" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.3.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">(</mo><mn id="A1.E31.m1.8.8" xref="A1.E31.m1.8.8.cmml">1</mn><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E31.m1.9.9.1.2" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E31.m1.9b"><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1"><eq id="A1.E31.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.3"></eq><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.1">~</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2"><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.3.3.cmml" xref="A1.E31.m1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2"><plus id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.2"></plus><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.2"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3"><divide id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3"></divide><cn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.2">1</cn><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3"><root id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3a.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3"></root><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1"><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3"><eq id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1"><plus id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑢</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.4.4.cmml" xref="A1.E31.m1.4.4">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.E31.m1.5.5.cmml" xref="A1.E31.m1.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.E31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E31.m1.1.1.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" 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xref="A1.E31.m1.9.9.1.1.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.E31.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="A1.E31.m1.8.8">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E31.m1.9c">\displaystyle(P_{j}\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j% }(s)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}Q^{-1}z_{t}^{*}u_{t}(r))^{% \prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{P}(1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E31.m1.9d">( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_B ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.19">where <math alttext="z_{t}^{*}=(w_{t}^{\prime},F_{1t}^{*},\ldots,F_{Jt}^{*})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.4.cmml">=</mo><msup id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.5" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.6" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.7" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.5" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4"><eq id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.4"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.5.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3">superscript</csymbol><vector id="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.4.4.3.3.3"><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.2.2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><cn id="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.3.p3.10.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><ci 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italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="F_{lt}^{*}=(f_{1jt}^{*},\ldots,f_{K_{j}jt}^{*})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3"><semantics id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.SS4.3.p3.11.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2b"><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2"><eq id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.4.3"></times></apply><list id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.12.m3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2c">f_{ljt}^{*}=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.12.m3.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, and <math alttext="Q=E[z_{t}^{*}(z_{t}^{*})^{\prime}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.13.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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Note that <math alttext="z_{t}^{*}=z_{t}+e_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.2.cmml">e</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1"><eq id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3"><plus id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.1"></plus><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.2">𝑒</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.14.m5.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1c">z_{t}^{*}=z_{t}+e_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.14.m5.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="e_{t}=(\langle\varepsilon_{jt},\psi_{1j}\rangle,\ldots,\langle\varepsilon_{jt}% ,\psi_{K_{j}j}\rangle)^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3"><semantics id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.2.cmml">e</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.5" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3b"><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3"><eq id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.3"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.2">𝑒</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2"><list id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2"><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">1</cn><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.1.1">…</ci><list id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></vector><ci id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.15.m6.3.3.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3c">e_{t}=(\langle\varepsilon_{jt},\psi_{1j}\rangle,\ldots,\langle\varepsilon_{jt}% ,\psi_{K_{j}j}\rangle)^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.15.m6.3d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ( ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ , … , ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q=E[z_{t}z_{t}^{\prime}]+E[e_{t}e_{t}^{\prime}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.4.cmml">Q</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi 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id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.16.m7.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" 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id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.16.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>. Because <math alttext="E[z_{t}z_{t}^{\prime}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup 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id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.17.m8.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1c">E[z_{t}z_{t}^{\prime}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.17.m8.1d">italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math> is positive definite by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption3" title="Assumption 3. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>(c), <math alttext="Q" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1a"><mi id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.18.m9.1.1.cmml">Q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1b"><ci id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.18.m9.1.1">𝑄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1c">Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.18.m9.1d">italic_Q</annotation></semantics></math> must be positive definite as well, and <math alttext="Q^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1a"><msup id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.2.cmml">Q</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3a" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.2">𝑄</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3"><minus id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.3.p3.19.m10.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1c">Q^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.19.m10.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> exists. The additional term in the expression above is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\omega^{(B)}_{jt}(r,s)=(\Psi_{j}(s))^{\prime}P_{j}Q^{-1}\sum_{k=1}^{J}\bigg{(}% E[z_{t}^{*}](F_{kt}^{*})^{\prime}-E[z_{t}^{*}(F_{kt}^{*})^{\prime}]G_{kt}\bigg% {)}B_{k}(r)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex82.m1.6"><semantics id="A1.Ex82.m1.6a"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msubsup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex82.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex82.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex82.m1.3.3" xref="A1.Ex82.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.cmml"><msup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.4.4" xref="A1.Ex82.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3a" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.2.cmml">Q</mi><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3a" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3b" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><munderover id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.1" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2a" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.4.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex82.m1.5.5" xref="A1.Ex82.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex82.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex82.m1.6b"><apply 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id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2">Ψ</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex82.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex82.m1.4.4">𝑠</ci></apply><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.2">𝑄</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3"><minus id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3"></minus><cn id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.5.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3"><eq id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.4"></minus><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2"></times><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.2">𝐺</ci><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3"><times id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2">𝐵</ci><ci id="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex82.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="A1.Ex82.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex82.m1.5.5">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex82.m1.6c">\omega^{(B)}_{jt}(r,s)=(\Psi_{j}(s))^{\prime}P_{j}Q^{-1}\sum_{k=1}^{J}\bigg{(}% E[z_{t}^{*}](F_{kt}^{*})^{\prime}-E[z_{t}^{*}(F_{kt}^{*})^{\prime}]G_{kt}\bigg% {)}B_{k}(r),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex82.m1.6d">italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_B ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.22">where <math alttext="G_{kt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1a"><msub id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.2">𝐺</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.20.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1c">G_{kt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.20.m1.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the <math alttext="K_{j}\times K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.21.m2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1c">K_{j}\times K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.21.m2.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT × italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> matrix with the <math alttext="(l,m)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.22.m3.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.22.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.22.m3.2.3.2" 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)</annotation></semantics></math>-entries</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx26"> <tbody id="A1.E32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle[G_{kt}]_{lm}=(\lambda_{lk}-\lambda_{mk})^{-1}(f_{mkt}^{*}y_{lkt}% -E[f_{mkt}^{*}y_{lkt}]+f_{lkt}^{*}y_{mkt}-E[f_{lkt}^{*}y_{mkt}])1_{\{l\neq m\}}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E32.m1.2"><semantics id="A1.E32.m1.2a"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1" 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xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.3a" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mn id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.E32.m1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E32.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="A1.E32.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E32.m1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.E32.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E32.m1.2b"><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1"><eq id="A1.E32.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐺</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3"><minus id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3"></minus><cn id="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.2.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1"><minus id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.3"></minus><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1"><plus id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1"><minus id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑘</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑘</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.1"></times><apply 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xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci><ci id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml" 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id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4">subscript</csymbol><cn id="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.E32.m1.2.2.1.1.3.4.2">1</cn><set id="A1.E32.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1"><neq id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.1"></neq><ci id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><ci id="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E32.m1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply></set></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E32.m1.2c">\displaystyle[G_{kt}]_{lm}=(\lambda_{lk}-\lambda_{mk})^{-1}(f_{mkt}^{*}y_{lkt}% -E[f_{mkt}^{*}y_{lkt}]+f_{lkt}^{*}y_{mkt}-E[f_{lkt}^{*}y_{mkt}])1_{\{l\neq m\}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E32.m1.2d">[ italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] + italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) 1 start_POSTSUBSCRIPT { italic_l ≠ italic_m } end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.47">Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma29" title="Lemma 29. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a> implies</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx27"> <tbody id="A1.E33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\Psi}_{j}(s)-S_{j}\Psi_{j}(s))^{\prime}S_{j}B_{% j}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)+o_{P}(1)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E33.m1.8"><semantics id="A1.E33.m1.8a"><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.cmml"><msqrt id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow 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stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.E33.m1.3.3" xref="A1.E33.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2a" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4.2.cmml">S</mi><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2b" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5.2.cmml">B</mi><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2c" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.6.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E33.m1.4.4" xref="A1.E33.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2a" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.cmml"><munderover id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.1.2.3.3" 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xref="A1.E33.m1.1.1.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.E33.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E33.m1.5.5" xref="A1.E33.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.2.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E33.m1.6.6" xref="A1.E33.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.1" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.3" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><msub id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.E33.m1.8.8.1.1.3.3.2.2" 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\varepsilon_{jt}^{*}(s)h_{jt}^{\prime}B_{j}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex83.m1.8"><semantics id="A1.Ex83.m1.8a"><mrow id="A1.Ex83.m1.8.8" xref="A1.Ex83.m1.8.8.cmml"><mrow id="A1.Ex83.m1.8.8.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.2.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.1" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex83.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex83.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex83.m1.8.8.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex83.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex83.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" 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id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2a" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4.3" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2b" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.5.2" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex83.m1.8.8.1.1.5.2.1" stretchy="false" 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xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.2.3"></times></apply><ci id="A1.Ex83.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex83.m1.6.6">𝑠</ci><apply id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.2">ℎ</ci><apply id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3"><times id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.4.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.1.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.2.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.2">𝐵</ci><ci id="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.3.cmml" xref="A1.Ex83.m1.8.8.1.3.5.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex83.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex83.m1.7.7">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex83.m1.8c">\displaystyle\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)=(\Psi_{j}(s))^{\prime}G_{jt}B_{j}(r)+% \varepsilon_{jt}^{*}(s)h_{jt}^{\prime}B_{j}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex83.m1.8d">italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ψ ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.27">with <math alttext="\varepsilon_{jt}^{*}(s)=X_{jt}(s)-\mu_{j}(s)-(F_{jt}^{*})^{\prime}\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5"><semantics id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1" 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xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.2a" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.23.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5b"><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5"><eq id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.2"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3"><times id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.3.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.23.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1"><minus id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.2"></minus><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.23.m1.5.5.1.3.2.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="h_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1a"><msub id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.2.cmml">h</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.24.m2.1.1.1.cmml" 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id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.2.cmml">h</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.1a" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.4" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3a" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.26.m4.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2c">h_{ljt}=\lambda_{lj}^{-1}\langle\gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.26.m4.2d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ⟩</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.27.m5.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4"><eq id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.2"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.2"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.27.m5.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.27.m5.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4c">\gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.27.m5.4d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) ]</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx29"> <tbody id="A1.Ex84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex84.m1.5"><semantics id="A1.Ex84.m1.5a"><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5" xref="A1.Ex84.m1.5.5.cmml"><msqrt id="A1.Ex84.m1.5.5.3" xref="A1.Ex84.m1.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m1.5.5.3.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2" 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xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m1.3.3" xref="A1.Ex84.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex84.m1.4.4" xref="A1.Ex84.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.2.3.2"><ci id="A1.Ex84.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex84.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3"><times id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m1.5.5.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex84.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex84.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex84.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex84.m1.5c">\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex84.m1.5d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(z_{t}^{*}u_{t}(r))^{% \prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{% P}(1)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex84.m2.10"><semantics id="A1.Ex84.m2.10a"><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.3.3" xref="A1.Ex84.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.4.4" xref="A1.Ex84.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex84.m2.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.1.1.1.1" xref="A1.Ex84.m2.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex84.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.5.5" xref="A1.Ex84.m2.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex84.m2.6.6" xref="A1.Ex84.m2.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex84.m2.2.2.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex84.m2.2.2.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex84.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex84.m2.7.7" xref="A1.Ex84.m2.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex84.m2.8.8" xref="A1.Ex84.m2.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex84.m2.9.9" xref="A1.Ex84.m2.9.9.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex84.m2.10.10.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex84.m2.10b"><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1"><eq id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1"><plus id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3"><root id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3"></root><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex84.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex84.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex84.m2.4.4">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.Ex84.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.1.1.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex84.m2.5.5.cmml" xref="A1.Ex84.m2.5.5">𝑟</ci><ci id="A1.Ex84.m2.6.6.cmml" xref="A1.Ex84.m2.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.Ex84.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.2.2.1.1">Ψ</ci></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><ci id="A1.Ex84.m2.7.7.cmml" xref="A1.Ex84.m2.7.7">𝑟</ci><ci id="A1.Ex84.m2.8.8.cmml" xref="A1.Ex84.m2.8.8">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3"><times id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex84.m2.10.10.1.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex84.m2.9.9.cmml" type="integer" xref="A1.Ex84.m2.9.9">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex84.m2.10c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(z_{t}^{*}u_{t}(r))^{% \prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{% P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex84.m2.10d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_B ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ψ ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.29">Note that <math alttext="(z_{t}^{*}u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}% _{jt}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9"><semantics id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.cmml"><msup id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.2a" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.28.m1.9.9.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow 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alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1a" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.3.p3.29.m2.1.1.1.1.1.1.3" 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Therefore, by the central limit theorem for alpha-mixing sequences (e.g., Theorem 5.20 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">White.2001</span>]</cite>), we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx30"> <tbody id="A1.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))\overset{d}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,\Omega_{j}(r,s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E34.m1.9"><semantics id="A1.E34.m1.9a"><mrow id="A1.E34.m1.9.9" xref="A1.E34.m1.9.9.cmml"><msqrt id="A1.E34.m1.9.9.4" xref="A1.E34.m1.9.9.4.cmml"><mi id="A1.E34.m1.9.9.4.2" xref="A1.E34.m1.9.9.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.E34.m1.9.9.3" xref="A1.E34.m1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.3" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E34.m1.1.1" xref="A1.E34.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E34.m1.2.2" xref="A1.E34.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.3" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.1" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E34.m1.3.3" xref="A1.E34.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E34.m1.4.4" xref="A1.E34.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E34.m1.8.8.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.E34.m1.9.9.3a" xref="A1.E34.m1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.E34.m1.9.9.5" xref="A1.E34.m1.9.9.5.cmml"><mo id="A1.E34.m1.9.9.5.2" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.9.9.5.2.cmml">→</mo><mo id="A1.E34.m1.9.9.5.1" xref="A1.E34.m1.9.9.5.1.cmml">𝑑</mo></mover><mo id="A1.E34.m1.9.9.3b" xref="A1.E34.m1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E34.m1.9.9.6" xref="A1.E34.m1.9.9.6.cmml">𝒩</mi><mo id="A1.E34.m1.9.9.3c" xref="A1.E34.m1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E34.m1.9.9.2.1" xref="A1.E34.m1.9.9.2.2.cmml"><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.9.9.2.2.cmml">(</mo><mn id="A1.E34.m1.7.7" xref="A1.E34.m1.7.7.cmml">0</mn><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.3" xref="A1.E34.m1.9.9.2.2.cmml">,</mo><mrow id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.cmml"><msub id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.3" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.1" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.2" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E34.m1.5.5" xref="A1.E34.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.2.2" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E34.m1.6.6" xref="A1.E34.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E34.m1.9.9.2.1.4" stretchy="false" xref="A1.E34.m1.9.9.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E34.m1.9b"><apply id="A1.E34.m1.9.9.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9"><times id="A1.E34.m1.9.9.3.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.3"></times><apply id="A1.E34.m1.9.9.4.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.4"><root id="A1.E34.m1.9.9.4a.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.4"></root><ci id="A1.E34.m1.9.9.4.2.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.4.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1"><minus id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2"><times id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2"><ci id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.2.3.2"><ci id="A1.E34.m1.1.1.cmml" xref="A1.E34.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.E34.m1.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3"><times id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E34.m1.8.8.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.E34.m1.3.3.cmml" xref="A1.E34.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.E34.m1.4.4.cmml" xref="A1.E34.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.E34.m1.9.9.5.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.5"><ci id="A1.E34.m1.9.9.5.1.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.5.1">𝑑</ci><ci id="A1.E34.m1.9.9.5.2.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.5.2">→</ci></apply><ci id="A1.E34.m1.9.9.6.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.6">𝒩</ci><interval closure="open" id="A1.E34.m1.9.9.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1"><cn id="A1.E34.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="A1.E34.m1.7.7">0</cn><apply id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1"><times id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.1.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.1"></times><apply id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.2">Ω</ci><ci id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E34.m1.9.9.2.1.1.3.2"><ci id="A1.E34.m1.5.5.cmml" xref="A1.E34.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="A1.E34.m1.6.6.cmml" xref="A1.E34.m1.6.6">𝑠</ci></interval></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E34.m1.9c">\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))\overset{d}{% \rightarrow}\mathcal{N}(0,\Omega_{j}(r,s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E34.m1.9d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) overitalic_d start_ARG → end_ARG caligraphic_N ( 0 , roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.33">for any fixed <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.30.m1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.1" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.30.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.30.m1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5"><in id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.1"></in><list id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.30.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.30.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.30.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.30.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.30.m1.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Omega_{j}(r,s)=Var[(z_{t}^{*}u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(% r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11"><semantics id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.3.cmml">V</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.4" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.4.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2a" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.5" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.5.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2b" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.5.5" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.6.6" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.7.7" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.8.8" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.2a" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.1" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.9.9" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.9.9.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.31.m2.10.10" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.10.10.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11b"><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11"><eq id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.2"></eq><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3"><times id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.2">Ω</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.3.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.4.4">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1"><times id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.2"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.3">𝑉</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.4">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.5">𝑟</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1"><plus id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.1.1.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.7.7.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.7.7">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.8.8.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.8.8">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4"><times id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.2.2.1.1">Ψ</ci></apply><apply id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.11.11.1.1.1.1.4.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.9.9.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.9.9">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.31.m2.10.10.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.31.m2.10.10">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11c">\Omega_{j}(r,s)=Var[(z_{t}^{*}u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(% r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.31.m2.11d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = italic_V italic_a italic_r [ ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_B ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ψ ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ]</annotation></semantics></math>. To show that <math alttext="\widehat{\Omega}_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.32.m3.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2b"><apply id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.2.2">Ω</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.3.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.32.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.32.m3.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2c">\widehat{\Omega}_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.32.m3.2d">over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> is a consistent estimator for <math alttext="\Omega_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2"><semantics id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.33.m4.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2b"><apply id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.2">Ω</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.3.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.33.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.33.m4.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2c">\Omega_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.33.m4.2d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, we apply Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma25" title="Lemma 25. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma30" title="Lemma 30. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>, which give</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx31"> <tbody id="A1.Ex85"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(P_{j}\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j% }(s)+\sqrt{T}(\widehat{\Psi}_{j}(s)-S_{j}\Psi_{j}(s))^{\prime}S_{j}B_{j}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex85.m1.7"><semantics id="A1.Ex85.m1.7a"><mrow id="A1.Ex85.m1.7.7" xref="A1.Ex85.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.cmml"><msup id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex85.m1.1.1" xref="A1.Ex85.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex85.m1.6.6.1.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2.1" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.3" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.2a" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex85.m1.6.6.1.4.2" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.6.6.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex85.m1.2.2" xref="A1.Ex85.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex85.m1.6.6.1.4.2.2" 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id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.3" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex85.m1.7.7.2.2a" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.2" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.2.cmml">S</mi><mi id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.3" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m1.7.7.2.2b" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.2" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.2.cmml">B</mi><mi id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.3" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex85.m1.7.7.2.2c" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex85.m1.7.7.2.6.2" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.cmml"><mo id="A1.Ex85.m1.7.7.2.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex85.m1.5.5" xref="A1.Ex85.m1.5.5.cmml">r</mi><mo 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id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex85.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.2">𝐵</ci><ci id="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex85.m1.7.7.2.5.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex85.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex85.m1.5.5">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex85.m1.7c">\displaystyle(P_{j}\widehat{Q}^{-1}\widetilde{A}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j% }(s)+\sqrt{T}(\widehat{\Psi}_{j}(s)-S_{j}\Psi_{j}(s))^{\prime}S_{j}B_{j}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex85.m1.7d">( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex86"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}\widehat{Q}^{-1}% \widehat{z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{% \omega}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex86.m1.6"><semantics id="A1.Ex86.m1.6a"><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6" xref="A1.Ex86.m1.6.6.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1" 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xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">u</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex86.m1.1.1" xref="A1.Ex86.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex86.m1.2.2" xref="A1.Ex86.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex86.m1.3.3" xref="A1.Ex86.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex86.m1.4.4" xref="A1.Ex86.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.3" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.1" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.3.2" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex86.m1.5.5" xref="A1.Ex86.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex86.m1.6b"><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6"><eq id="A1.Ex86.m1.6.6.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex86.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1"><plus id="A1.Ex86.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.2"></plus><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3"><divide id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.3"><root id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.3.3a.cmml" 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xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2"><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.1.1">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex86.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex86.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex86.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex86.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3"><times id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex86.m1.6.6.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex86.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="A1.Ex86.m1.5.5">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex86.m1.6c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}\widehat{Q}^{-1}% \widehat{z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{% \omega}_{jt}(r,s)\Big{)}+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex86.m1.6d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.49">Therefore, by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E31" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E33" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>),</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx32"> <tbody id="A1.Ex87"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}([\widehat{Q}^{-1}]_{j}% \widehat{z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{% \omega}_{jt}(r,s)\Big{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex87.m1.5"><semantics id="A1.Ex87.m1.5a"><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5" xref="A1.Ex87.m1.5.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex87.m1.5.5.3a" xref="A1.Ex87.m1.5.5.3.cmml"><mn id="A1.Ex87.m1.5.5.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex87.m1.5.5.3.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.3.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2a" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.3" 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xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">u</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex87.m1.1.1" xref="A1.Ex87.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex87.m1.2.2" xref="A1.Ex87.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex87.m1.3.3" xref="A1.Ex87.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex87.m1.4.4" xref="A1.Ex87.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex87.m1.5b"><apply id="A1.Ex87.m1.5.5.cmml" 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id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1"><plus id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex87.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><times 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start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex88"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}Q^{-1}z_{t}^{*% }u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s% )\Big{)}=o_{P}(1)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex88.m1.10"><semantics id="A1.Ex88.m1.10a"><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.3.3" xref="A1.Ex88.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.4.4" xref="A1.Ex88.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex88.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex88.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex88.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.5.5" xref="A1.Ex88.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex88.m1.6.6" xref="A1.Ex88.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex88.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex88.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex88.m1.7.7" xref="A1.Ex88.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex88.m1.8.8" xref="A1.Ex88.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.1" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex88.m1.9.9" xref="A1.Ex88.m1.9.9.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex88.m1.10.10.1.2" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex88.m1.10b"><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1"><eq id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1"><minus id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.2"></times><apply 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xref="A1.Ex88.m1.4.4">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.Ex88.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.1.1.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex88.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex88.m1.5.5">𝑟</ci><ci id="A1.Ex88.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex88.m1.6.6">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝜔</ci><ci id="A1.Ex88.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.2.2.1.1">Ψ</ci></apply><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><interval closure="open" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><ci id="A1.Ex88.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex88.m1.7.7">𝑟</ci><ci id="A1.Ex88.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex88.m1.8.8">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3"><times id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex88.m1.10.10.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex88.m1.9.9.cmml" type="integer" xref="A1.Ex88.m1.9.9">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex88.m1.10c">\displaystyle\quad-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}(P_{j}Q^{-1}z_{t}^{*% }u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+\omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s% )\Big{)}=o_{P}(1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex88.m1.10d">- divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_B ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ψ ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.50">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx33"> <tbody id="A1.Ex89"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{\Omega}_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex89.m1.2"><semantics id="A1.Ex89.m1.2a"><mrow id="A1.Ex89.m1.2.3" xref="A1.Ex89.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex89.m1.2.3.2" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex89.m1.2.3.2.3" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex89.m1.2.3.1" xref="A1.Ex89.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex89.m1.2.3.3.2" xref="A1.Ex89.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex89.m1.1.1" xref="A1.Ex89.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex89.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.Ex89.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex89.m1.2.2" xref="A1.Ex89.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex89.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex89.m1.2b"><apply id="A1.Ex89.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3"><times id="A1.Ex89.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex89.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex89.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.2.2">Ω</ci></apply><ci id="A1.Ex89.m1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex89.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.Ex89.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex89.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex89.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex89.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex89.m1.2c">\displaystyle\widehat{\Omega}_{j}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex89.m1.2d">over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}([\widehat{Q}^{-1}]_{j}\widehat{% z}_{t}\widehat{u}_{t}(r))^{\prime}\widehat{\Psi}_{j}(s)+\widehat{\omega}_{jt}(% r,s)\Big{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex89.m2.5"><semantics id="A1.Ex89.m2.5a"><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5" xref="A1.Ex89.m2.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3a" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2a" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">u</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex89.m2.1.1" xref="A1.Ex89.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex89.m2.2.2" xref="A1.Ex89.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex89.m2.3.3" xref="A1.Ex89.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex89.m2.4.4" xref="A1.Ex89.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex89.m2.5b"><apply id="A1.Ex89.m2.5.5.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5"><eq id="A1.Ex89.m2.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex89.m2.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex89.m2.5.5.1.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1"><times id="A1.Ex89.m2.5.5.1.2.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.2"></times><apply id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3"><divide id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3"></divide><cn id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1"><apply id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex89.m2.5.5.1.1.2">superscript</csymbol><apply 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end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + over^ start_ARG italic_ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex90"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overset{p}{\to}E\Big{[}((z_{t}^{*}u_{t}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)+% \omega^{(B)}_{jt}(r,s)+\omega^{(\Psi)}_{jt}(r,s))^{2}\Big{]}=\Omega_{j}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex90.m1.11"><semantics id="A1.Ex90.m1.11a"><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11" xref="A1.Ex90.m1.11.11.cmml"><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.2.cmml">→</mo><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.1.cmml">𝑝</mo></mover><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.4" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.2a" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.3.3" xref="A1.Ex90.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.4.4" xref="A1.Ex90.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex90.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex90.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex90.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.5.5" xref="A1.Ex90.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex90.m1.6.6" xref="A1.Ex90.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">ω</mi><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mrow id="A1.Ex90.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.Ex90.m1.2.2.1.1.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex90.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex90.m1.7.7" xref="A1.Ex90.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex90.m1.8.8" xref="A1.Ex90.m1.8.8.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex90.m1.9.9" xref="A1.Ex90.m1.9.9.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.3.3.2.2" xref="A1.Ex90.m1.11.11.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex90.m1.10.10" xref="A1.Ex90.m1.10.10.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex90.m1.11.11.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex90.m1.11.11.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex90.m1.11b"><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11"><eq id="A1.Ex90.m1.11.11.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.2"></eq><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1"><times id="A1.Ex90.m1.11.11.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.2"></times><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3"><ci id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.1">𝑝</ci><ci id="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.3.2">→</ci></apply><ci id="A1.Ex90.m1.11.11.1.4.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex90.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) + italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ψ ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] = roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.51">by the law of large numbers for alpha-mixing processes (e.g., Theorem 3.47 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">White.2001</span>]</cite>). Therefore, by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E34" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>) and Slutsky’s theorem,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx34"> <tbody id="A1.E35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{% \widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}\overset{d}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1)\quad\text{% pointwise for}\ r,s\in[a,b]." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.E35.m1.13"><semantics id="A1.E35.m1.13a"><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.E35.m1.7.7" xref="A1.E35.m1.7.7.cmml"><mfrac id="A1.E35.m1.7.7a" xref="A1.E35.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5" xref="A1.E35.m1.5.5.5.cmml"><msqrt id="A1.E35.m1.5.5.5.7" xref="A1.E35.m1.5.5.5.7.cmml"><mi id="A1.E35.m1.5.5.5.7.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.7.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.6" xref="A1.E35.m1.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E35.m1.1.1.1.1" xref="A1.E35.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E35.m1.2.2.2.2" xref="A1.E35.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.1" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E35.m1.3.3.3.3" xref="A1.E35.m1.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E35.m1.4.4.4.4" xref="A1.E35.m1.4.4.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msqrt id="A1.E35.m1.7.7.7" xref="A1.E35.m1.7.7.7.cmml"><mrow id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.cmml"><msub id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.1" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.3" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.3" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.2" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="A1.E35.m1.6.6.6.1.1.1" xref="A1.E35.m1.6.6.6.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.2.2" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.2" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml">→</mo><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1.cmml">𝑑</mo></mover><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.3" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mn id="A1.E35.m1.8.8" xref="A1.E35.m1.8.8.cmml">0</mn><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mn id="A1.E35.m1.9.9" xref="A1.E35.m1.9.9.cmml">1</mn><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mspace id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.3" width="1em" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml"><mtext id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2a.cmml">pointwise for</mtext><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.1" lspace="0.500em" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.3" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.4" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.E35.m1.12.12" xref="A1.E35.m1.12.12.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.3" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.1.cmml"><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.1.cmml">[</mo><mi id="A1.E35.m1.10.10" xref="A1.E35.m1.10.10.cmml">a</mi><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.2.2" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.E35.m1.11.11" xref="A1.E35.m1.11.11.cmml">b</mi><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.E35.m1.13.13.1.2" lspace="0em" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.E35.m1.13b"><apply id="A1.E35.m1.13.13.1.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1"><in id="A1.E35.m1.13.13.1.1.3.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.3"></in><list id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.3.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2"><apply id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1"><times id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.E35.m1.7.7.cmml" 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id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="A1.E35.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.E35.m1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.E35.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3"><times id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.E35.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="A1.E35.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.E35.m1.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.E35.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A1.E35.m1.4.4.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="A1.E35.m1.7.7.7.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7"><root id="A1.E35.m1.7.7.7a.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7"></root><apply id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2"><times id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.3"></times><apply id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.1.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2"><ci id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.2.2">Ω</ci></apply><ci id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.3.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.5.2"><ci id="A1.E35.m1.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.E35.m1.6.6.6.1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.7.7.7.2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.1">𝑑</ci><ci id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.2.2">→</ci></apply><ci id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.1.1.1.4.2"><cn id="A1.E35.m1.8.8.cmml" type="integer" xref="A1.E35.m1.8.8">0</cn><cn id="A1.E35.m1.9.9.cmml" type="integer" xref="A1.E35.m1.9.9">1</cn></interval></apply><apply id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2"><times id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2"><mtext id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.2">pointwise for</mtext></ci><ci id="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="A1.E35.m1.12.12.cmml" xref="A1.E35.m1.12.12">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.1.cmml" xref="A1.E35.m1.13.13.1.1.4.2"><ci id="A1.E35.m1.10.10.cmml" xref="A1.E35.m1.10.10">𝑎</ci><ci id="A1.E35.m1.11.11.cmml" xref="A1.E35.m1.11.11">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.E35.m1.13c">\displaystyle\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{% \widehat{\Omega}_{j}(r,s)}}\overset{d}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1)\quad\text{% pointwise for}\ r,s\in[a,b].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.E35.m1.13d">divide start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) end_ARG end_ARG overitalic_d start_ARG → end_ARG caligraphic_N ( 0 , 1 ) pointwise for italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.35">To show that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E35" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>) also holds uniformly in <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.34.m1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.1" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.34.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.34.m1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5"><in id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.1"></in><list id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.34.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.34.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.34.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.34.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.34.m1.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> in the space of continuous functions <math alttext="\mathcal{C}[a,b]\times\mathcal{C}[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.35.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.35.m2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.1" rspace="0.222em" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.1.cmml">×</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.3.cmml">𝒞</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.1" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.35.m2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.3.3.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.4.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5"><times id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2"><times id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2"><times id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.2">𝒞</ci><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.2.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.2.2">𝑏</ci></interval></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.2.3">𝒞</ci></apply><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.5.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.3.3">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.35.m2.4.4">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4c">\mathcal{C}[a,b]\times\mathcal{C}[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.35.m2.4d">caligraphic_C [ italic_a , italic_b ] × caligraphic_C [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> equipped with the sup-norm, we employ Theorem 7.5 in <span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS4.3.p3.35.1">\textcite</span>Billingsley.1999, which requires that two conditions must be satisfied. First, finite-dimensional convergence of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E35" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>) holds because, by the Cramer-Wold device and the central limit theorem for alpha-mixing sequences, the vector</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex91"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Bigg{(}\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r_{1},s_{1})-\beta_{j}(r_{1},s_{1})% )}{\sqrt{\widehat{\Omega}_{j}(r_{1},s_{1})}},\ldots,\frac{\sqrt{T}(\widehat{% \beta}_{j}(r_{k},s_{k})-\beta_{j}(r_{k},s_{k}))}{\sqrt{\widehat{\Omega}_{j}(r_% {k},s_{k})}}\Bigg{)}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex91.m1.7"><semantics id="A1.Ex91.m1.7a"><mrow id="A1.Ex91.m1.7.8.2" xref="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.7.8.2.1" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml">(</mo><mfrac id="A1.Ex91.m1.3.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.cmml"><msqrt id="A1.Ex91.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msqrt id="A1.Ex91.m1.3.3.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2.1" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mn id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex91.m1.7.8.2.2" xref="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex91.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="A1.Ex91.m1.7.7.cmml">…</mi><mo id="A1.Ex91.m1.7.8.2.3" xref="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml">,</mo><mfrac id="A1.Ex91.m1.6.6" xref="A1.Ex91.m1.6.6.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.cmml"><msqrt id="A1.Ex91.m1.4.4.1.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.3.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo 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xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex91.m1.7.8.2.4" maxsize="260%" minsize="260%" xref="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex91.m1.7b"><vector id="A1.Ex91.m1.7.8.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.7.8.2"><apply 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xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.3"></times><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2"><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" 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id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.4.2.2">Ω</ci></apply><ci id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex91.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.Ex91.m1.6.6.3.2.2.2.2.2.3.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG , … , divide start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.41">converges to a Gaussian vector for any <math alttext="r_{1},\ldots,r_{k}\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5"><semantics id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">r</mi><mn id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.3" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.3.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.36.m1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5b"><apply id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5"><in id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.3"></in><list id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2"><apply id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.3.3">…</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.2">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.5.5.4.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.36.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.36.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5c">r_{1},\ldots,r_{k}\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.36.m1.5d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="s_{1},\ldots,s_{k}\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5"><semantics id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">s</mi><mn id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.4" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.2.cmml">s</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.3" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.3.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.37.m2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5b"><apply id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5"><in id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.3"></in><list id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2"><apply id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.3.3">…</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.5.5.4.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.37.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.37.m2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5c">s_{1},\ldots,s_{k}\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.37.m2.5d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. The second condition is asymptotic uniform stochastic equicontinuity of the left-hand side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E35" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>). This follows from Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>(b). Since <math alttext="Y_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.38.m3.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1c">Y_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.38.m3.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> and <math alttext="X_{jt}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.39.m4.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1c">X_{jt}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.39.m4.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> have differentiable sample paths, and <math alttext="B(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.2.2">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.40.m5.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1c">B(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.40.m5.1d">italic_B ( italic_r )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1"><semantics id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1b"><apply id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2"><times id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.2">Ψ</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.41.m6.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1c">\Psi_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.41.m6.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> are differentiable,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex92"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{\widehat{\Omega% }_{j}(r,s)}}" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex92.m1.7"><semantics id="A1.Ex92.m1.7a"><mfrac id="A1.Ex92.m1.7.7" xref="A1.Ex92.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex92.m1.5.5.5" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.cmml"><msqrt id="A1.Ex92.m1.5.5.5.7" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.7.cmml"><mi id="A1.Ex92.m1.5.5.5.7.2" 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xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex92.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex92.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex92.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex92.m1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.1" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex92.m1.3.3.3.3" xref="A1.Ex92.m1.3.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex92.m1.4.4.4.4" xref="A1.Ex92.m1.4.4.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msqrt id="A1.Ex92.m1.7.7.7" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.2" mathvariant="normal" 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id="A1.Ex92.m1.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5"><times id="A1.Ex92.m1.5.5.5.6.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.6"></times><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.7.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.7"><root id="A1.Ex92.m1.5.5.5.7a.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.7"></root><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.7.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.7.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1"><minus id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2"><times id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.2.2">𝛽</ci></apply><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="A1.Ex92.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex92.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.2.2.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3"><times id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.5.5.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex92.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.3.3.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex92.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex92.m1.4.4.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex92.m1.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7"><root id="A1.Ex92.m1.7.7.7a.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7"></root><apply id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2"><times id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2"><ci id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.2.2">Ω</ci></apply><ci id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.5.2"><ci id="A1.Ex92.m1.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex92.m1.6.6.6.1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex92.m1.7.7.7.2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex92.m1.7c">\frac{\sqrt{T}(\widehat{\beta}_{j}(r,s)-\beta_{j}(r,s))}{\sqrt{\widehat{\Omega% }_{j}(r,s)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex92.m1.7d">divide start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) end_ARG start_ARG square-root start_ARG over^ start_ARG roman_Ω end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.3.p3.42">also has differentiable and hence Lipschitz-continuous sample paths, and the sufficient condition for asymptotic uniform stochastic equicontinuity stated in Theorem 22.10 in <span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS4.3.p3.42.1">\textcite</span>Davidson.2021 is fulfilled. Hence (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E35" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">35</span></a>) holds uniformly in the space <math alttext="\mathcal{C}[a,b]\times\mathcal{C}[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4"><semantics id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.2.cmml">𝒞</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.1" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.42.m1.1.1" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.42.m1.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.1" rspace="0.222em" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.1.cmml">×</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.3" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.3.cmml">𝒞</mi></mrow><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.1" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.42.m1.3.3" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.3.3.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.4" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.4.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4b"><apply id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5"><times id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2"><times id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.1"></times><apply id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2"><times id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.1"></times><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.2">𝒞</ci><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.2.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.2.2">𝑏</ci></interval></apply><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.2.3">𝒞</ci></apply><interval closure="closed" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.3.3">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.3.p3.42.m1.4.4">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4c">\mathcal{C}[a,b]\times\mathcal{C}[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.3.p3.42.m1.4d">caligraphic_C [ italic_a , italic_b ] × caligraphic_C [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="A1.SS4.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">A.4.1 </span>Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> </h4> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.p1.1">In this subsection we present some auxiliary lemmas required for the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3. ‣ 4.3 Least squares estimator ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. Throughout the proofs of these lemmas, we will use the following definitions and useful facts:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="A1.I1"> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i1.p1.2">For all real numbers <math alttext="c_{1},c_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2b"><list id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2"><apply id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><cn id="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑐</ci><cn id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2c">c_{1},c_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i1.p1.1.m1.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we have <math alttext="(c_{1}+c_{2})^{2}\leq 2(c_{1}^{2}+c_{2}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><msup id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml"><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2"><leq id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3"></leq><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><plus id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><cn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2"><times id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2"></times><cn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3">2</cn><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1"><plus id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><cn id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn 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2(c_{1}^{2}+c_{2}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i1.p1.2.m2.2d">( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 2 ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i2.p1.7">The Euclidean vector norm for a <math alttext="n\times 1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><times id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1c">n\times 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_n × 1</annotation></semantics></math> vector <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> is <math alttext="\|a\|_{2}=(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><msubsup id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2b"><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2"><eq id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.2"></eq><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.1.1">𝑎</ci></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1"><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3"><eq id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2c">\|a\|_{2}=(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.3.m3.2d">∥ italic_a ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The Frobenius matrix norm for a <math alttext="n\times k" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1"><times id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.2">𝑛</ci><ci id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1c">n\times k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.4.m4.1d">italic_n × italic_k</annotation></semantics></math> matrix <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1a"><mi id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.5.m5.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1b"><ci id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.5.m5.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.5.m5.1d">italic_A</annotation></semantics></math> is <math alttext="\|A\|_{F}=(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}A_{ij}^{2})^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2"><semantics id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.1.1.cmml">A</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.2.cmml">=</mo><msup id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.3.cmml">k</mi></msubsup><msubsup id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.cmml"><mn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2b"><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2"><eq id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.2"></eq><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.1.1">𝐴</ci></apply><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.3.3">𝐹</ci></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1"><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><eq id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2"><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3"><eq id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3"><divide id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.1"></divide><cn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.6.m6.2.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2c">\|A\|_{F}=(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}A_{ij}^{2})^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.6.m6.2d">∥ italic_A ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. We have <math alttext="\|ab^{\prime}\|_{F}\leq\|a\|_{2}\|b\|_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3"><semantics id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.7.m7.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.7.m7.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3b"><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3"><leq id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.2"></leq><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3"><times id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.1"></times><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.1.1">𝑎</ci></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i2.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.2.2">𝑏</ci></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.7.m7.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3c">\|ab^{\prime}\|_{F}\leq\|a\|_{2}\|b\|_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.7.m7.3d">∥ italic_a italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ≤ ∥ italic_a ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_b ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and, by the triangle and Cauchy-Schwarz inequalities,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex93"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Big{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}a_{t}b_{t}^{\prime}\Big{\|}_{F}\leq\frac{1}{T% }\sum_{t=1}^{T}\|a_{t}\|_{2}\|b_{t}\|_{2}\leq\Big{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}% \|a_{t}\|_{2}^{2}\Big{)}^{1/2}\Big{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|b_{t}\|_{2}^{2% }\Big{)}^{1/2}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex93.m1.1"><semantics id="A1.Ex93.m1.1a"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><munderover id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.8" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.8.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msup id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><msubsup id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><msubsup id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.1" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex93.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex93.m1.1b"><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1"><and id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1"></and><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1"><leq id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.7"></leq><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4"><divide id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4"></divide><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.2">1</cn><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2"><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply 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id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1"><leq id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.8"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex93.m1.1.1.1.1.3.cmml" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5"><times id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.3"></times><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1"><times id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.3.1.cmml" 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cd="latexml" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3"><divide id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.4.1.3.1.cmml" 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xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3"><divide id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.1"></divide><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex93.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" 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italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i2.p1.9">Furthermore, <math alttext="\|Aa\|_{2}\leq\|A\|_{F}\|a\|_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3"><semantics id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.8.m1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.3.2.2" 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xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply><cn id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3"><times id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.1"></times><apply id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.8.m1.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" 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encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.8.m1.3d">∥ italic_A italic_a ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ ∥ italic_A ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_a ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="|a^{\prime}b|\leq\|a\|_{2}\|b\|_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3"><semantics id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3a"><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.9.m2.1.1" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.1" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="A1.I1.i2.p1.9.m2.2.2" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.3" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3b"><apply id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3"><leq id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.2"></leq><apply id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1"><abs id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.2"></abs><apply id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3.3.1.1.1.cmml" 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id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3c">|a^{\prime}b|\leq\|a\|_{2}\|b\|_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i2.p1.9.m2.3d">| italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_b | ≤ ∥ italic_a ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_b ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i3.p1.7">The Hilbert-Schmidt norm and the <math alttext="L^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1a"><msup id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i3.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1c">L^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-norm are compatible, i.e., for an operator <math alttext="\mathcal{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1b"><ci id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.2.m2.1.1">𝒯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1c">\mathcal{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.2.m2.1d">caligraphic_T</annotation></semantics></math> and a function <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1a"><mi id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1b"><ci id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.3.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math> we have <math alttext="\|\mathcal{T}x\|\leq\|\mathcal{T}\|_{\mathcal{S}}\|x\|" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3"><semantics id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3a"><mrow id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.2" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.2.cmml">≤</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.2.2" 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id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3b"><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3"><leq id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.2"></leq><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1"><times id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3"><times id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.1"></times><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.1.1">𝒯</ci></apply><ci id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.2.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.3.3.3.3.2.1">norm</csymbol><ci id="A1.I1.i3.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.4.m4.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3c">\|\mathcal{T}x\|\leq\|\mathcal{T}\|_{\mathcal{S}}\|x\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.4.m4.3d">∥ caligraphic_T italic_x ∥ ≤ ∥ caligraphic_T ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_x ∥</annotation></semantics></math>. Furthermore, <math alttext="\langle\mathcal{T}(x),y\rangle=\langle x,\mathcal{T}^{*}(y)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6"><semantics id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6a"><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.cmml"><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i3.p1.5.m5.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.3" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i3.p1.5.m5.2.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.4" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.3" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.2.cmml"><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.2.cmml">⟨</mo><mi id="A1.I1.i3.p1.5.m5.4.4" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.4.4.cmml">x</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.3" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.2.cmml">,</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.cmml"><msup id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.2.cmml">𝒯</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.3" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.3.2" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i3.p1.5.m5.3.3" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.3.3.cmml">y</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.4" stretchy="false" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6b"><apply id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6"><eq id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.3"></eq><list id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1"><apply id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1"><times id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.1"></times><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.5.5.1.1.1.2">𝒯</ci><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.2.2">𝑦</ci></list><list id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1"><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.4.4.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.4.4">𝑥</ci><apply id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1"><times id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.1"></times><apply id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.2">𝒯</ci><times id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.6.6.2.1.1.2.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i3.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.5.m5.3.3">𝑦</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6c">\langle\mathcal{T}(x),y\rangle=\langle x,\mathcal{T}^{*}(y)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.5.m5.6d">⟨ caligraphic_T ( italic_x ) , italic_y ⟩ = ⟨ italic_x , caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) ⟩</annotation></semantics></math> for all <math alttext="x,y\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.6.m6.2"><semantics id="A1.I1.i3.p1.6.m6.2a"><mrow id="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3" xref="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3.2.2" xref="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3.2.1.cmml"><mi id="A1.I1.i3.p1.6.m6.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.6.m6.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3.2.2.1" xref="A1.I1.i3.p1.6.m6.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi 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alttext="\mathcal{T}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1"><semantics id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1a"><msup id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.2" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.2.cmml">𝒯</mi><mo id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.3" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1b"><apply id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.2">𝒯</ci><times id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i3.p1.7.m7.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1c">\mathcal{T}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i3.p1.7.m7.1d">caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the adjoint operator.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">4.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i4.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i4.p1.16">Define <math alttext="z_{t}^{*}=(w_{t}^{\prime},(F_{1t}^{*})^{\prime},\ldots,(F_{Jt}^{*})^{\prime})^% {\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4"><semantics id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.4.cmml">=</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1" 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xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.7" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4b"><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4"><eq id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.4"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.5.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3">superscript</csymbol><vector id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3"><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply 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xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2">𝐽</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.3.3.3.3">′</ci></apply></vector><ci id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.1.m1.4.4.3.5">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4c">z_{t}^{*}=(w_{t}^{\prime},(F_{1t}^{*})^{\prime},\ldots,(F_{Jt}^{*})^{\prime})^% {\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.1.m1.4d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , … , ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_J italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="F_{jt}^{*}=(f_{1jt}^{*},\ldots,f_{K_{j}jt}^{*})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3"><semantics id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.5" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3b"><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3"><eq id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.3"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.4.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2"><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3"></times></apply></vector><ci id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.2.m2.3.3.2.4">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3c">F_{jt}^{*}=(f_{1jt}^{*},\ldots,f_{K_{j}jt}^{*})^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.2.m2.3d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="f_{ljt}^{*}=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2b"><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2"><eq id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.4.3"></times></apply><list id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2"><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2c">f_{ljt}^{*}=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.3.m3.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> Define the sign matrices <math alttext="S_{j}=diag(s_{1j},\ldots,s_{K_{j}j})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3"><semantics id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.2.cmml">S</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.4.cmml">d</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.5" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.5.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3a" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.6" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.6.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3b" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.7" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.7.cmml">g</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3c" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.5" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3b"><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3"><eq id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.3"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.2">𝑆</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2"><times id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.3"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.4">𝑑</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.5">𝑖</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.6.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.6">𝑎</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.7.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.7">𝑔</ci><vector id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2"><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.1.1">…</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.4.m4.3.3.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3c">S_{j}=diag(s_{1j},\ldots,s_{K_{j}j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.4.m4.3d">italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> for <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3"><semantics id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.1" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mn id="A1.I1.i4.p1.5.m5.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.5.m5.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3b"><apply id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4"><eq id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.1"></eq><ci id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.2">𝑗</ci><list id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.4.3.2"><cn id="A1.I1.i4.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.1.1">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.2.2">…</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.5.m5.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.5.m5.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math> with <math alttext="s_{lj}=sign(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.4" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2a" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.5" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.5.cmml">g</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2b" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.6" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.6.cmml">n</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2c" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1"><eq id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.2"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.4">𝑖</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.5">𝑔</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.6.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.6">𝑛</ci><list id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1c">s_{lj}=sign(\langle\widehat{\psi}_{lj},\psi_{lj}\rangle)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.6.m6.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_s italic_i italic_g italic_n ( ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ )</annotation></semantics></math> for <math alttext="l=1,\ldots,K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3"><semantics id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml"><mn id="A1.I1.i4.p1.7.m7.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.7.m7.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3b"><apply id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3"><eq id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.2"></eq><ci id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.3">𝑙</ci><list id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1"><cn id="A1.I1.i4.p1.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.1.1">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.2.2">…</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.7.m7.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3c">l=1,\ldots,K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.7.m7.3d">italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="S=diag(I_{N},S_{1},\ldots,S_{J})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4"><semantics id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.5" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.5.cmml">S</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.5.cmml">d</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.6" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.6.cmml">i</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4a" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.7" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.7.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4b" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.8" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.8.cmml">g</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4c" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mn id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.6" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.7" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.2.cmml">S</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.3.cmml">J</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.8" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4b"><apply id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4"><eq id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.4"></eq><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.5">𝑆</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3"><times id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.4"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.5">𝑑</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.6.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.6">𝑖</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.7.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.7">𝑎</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.8.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.8">𝑔</ci><vector id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3"><apply id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.2.2.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.2">𝑆</ci><cn id="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.3.3.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.1.1">…</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.8.m8.4.4.3.3.3.3.3">𝐽</ci></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4c">S=diag(I_{N},S_{1},\ldots,S_{J})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.8.m8.4d">italic_S = italic_d italic_i italic_a italic_g ( italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT , italic_S start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_J end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> with the property <math alttext="S=S^{\prime}=S^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.2.cmml">S</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.5" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.5.cmml">=</mo><msup id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.2" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.2.cmml">S</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3a" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1b"><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1"><and id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1a.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1"></and><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1b.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1"><eq id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.3"></eq><ci id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.2">𝑆</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.3">′</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1c.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1"><eq id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.4.cmml" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1d.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1"></share><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.2">𝑆</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3"><minus id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3"></minus><cn id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.9.m9.1.1.6.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1c">S=S^{\prime}=S^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.9.m9.1d">italic_S = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Furthermore, define <math alttext="\varepsilon_{jt}^{*}(s)=X_{jt}(s)-\mu_{j}(s)-(F_{jt}^{*})^{\prime}\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5"><semantics id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2a" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.cmml"><msup id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2a" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.10.m10.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5b"><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5"><eq id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.2"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.3.2.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1"><minus id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.2"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.2"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.5.5.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.10.m10.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.10.m10.4.4">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5c">\varepsilon_{jt}^{*}(s)=X_{jt}(s)-\mu_{j}(s)-(F_{jt}^{*})^{\prime}\Psi_{j}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.10.m10.5d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) = italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q=E[z_{t}^{*}(z_{t}^{*})^{\prime}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.3.cmml">Q</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3" 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id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1c">Q=E[z_{t}^{*}(z_{t}^{*})^{\prime}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.11.m11.1d">italic_Q = italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q^{*}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}z_{t}^{*}(z_{t}^{*})^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.cmml"><msup id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi 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xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.2"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3"><divide id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1"><apply id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.12.m12.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.12.m12.1d">italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="y_{ljt}=\langle Y_{t}-E[Y_{t}],\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2"><semantics id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.4.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.4.3" 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id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.4" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2b"><apply id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.cmml" 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id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.13.m13.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2c">y_{ljt}=\langle Y_{t}-E[Y_{t}],\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.13.m13.2d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, <math alttext="g_{lmjt}=s_{mj}s_{lj}((f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y% _{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}]))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1b" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1b"><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1"><eq id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.2"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.2">𝑔</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.3">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.4">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.5.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.3.3.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.2"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.2">𝑠</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1"><plus id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" 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xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.14.m14.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1c">g_{lmjt}=s_{mj}s_{lj}((f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y% _{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}]))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.14.m14.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) + ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\widehat{g}_{lmjt}=\widehat{f}_{mjt}\widehat{y}_{ljt}-\overline{f_{mj}y_{lj}}+% \widehat{f}_{ljt}\widehat{y}_{mjt}-\overline{f_{lj}y_{mj}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1"><semantics id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1b" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.5" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.1a" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.4" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.2.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.1" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.2.cmml">y</mi><mrow 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id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3"><times id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.15.m15.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1c">\widehat{g}_{lmjt}=\widehat{f}_{mjt}\widehat{y}_{ljt}-\overline{f_{mj}y_{lj}}+% \widehat{f}_{ljt}\widehat{y}_{mjt}-\overline{f_{lj}y_{mj}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.15.m15.1d">over^ start_ARG italic_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4"><semantics id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4a"><mrow id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.cmml"><mrow id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3" 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xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.I1.i4.p1.16.m16.3.3" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4b"><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4"><eq id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.2"></eq><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.I1.i4.p1.16.m16.3.3.cmml" xref="A1.I1.i4.p1.16.m16.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4c">\gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i4.p1.16.m16.4d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i5" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">5.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i5.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i5.p1.1">We will frequently use the facts that all random variables have bounded forth moments by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>(a) and that the primitives are <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1" xref="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i5.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i5.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistent by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmtheorem1" title="Theorem 1. ‣ 4.1 Primitives ‣ 4 Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. Further, we frequently apply the Cauchy-Schwarz and triangle inequalities.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i6" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">6.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i6.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i6.p1.1">We will frequently use the law of large numbers for alpha-mixing sequences (Theorem 3.47 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">White.2001</span>]</cite>) and the central limit theorem for alpha mixing sequences (Theorem 5.20 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">White.2001</span>]</cite>).</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="A1.I1.i7" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">7.</span> <div class="ltx_para" id="A1.I1.i7.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.I1.i7.p1.5">All results in this subsection follow under Assumptions <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption4" title="Assumption 4. ‣ 3 Functional factor regression"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, for any <math alttext="j=1,\ldots,J" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3"><semantics id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3a"><mrow id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.2" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.1" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mn id="A1.I1.i7.p1.1.m1.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.2.1" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.3" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.3.cmml">J</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3b"><apply id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4"><eq id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.2">𝑗</ci><list id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="A1.I1.i7.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="A1.I1.i7.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.2.2">…</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.1.m1.3.3">𝐽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3c">j=1,\ldots,J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i7.p1.1.m1.3d">italic_j = 1 , … , italic_J</annotation></semantics></math>, <math alttext="l=1,\ldots,K_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3"><semantics id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3a"><mrow id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.3" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.2" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mn id="A1.I1.i7.p1.2.m2.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.2" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.2.m2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.2.2.cmml">…</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.3" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">K</mi><mi id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3b"><apply id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3"><eq id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.2"></eq><ci id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.3">𝑙</ci><list id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1"><cn id="A1.I1.i7.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.1.1">1</cn><ci id="A1.I1.i7.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.2.2">…</ci><apply id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3c">l=1,\ldots,K_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i7.p1.2.m2.3d">italic_l = 1 , … , italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="t\in\mathbb{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.2" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.3" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℤ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1"><in id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.3.m3.1.1.3">ℤ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1c">t\in\mathbb{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i7.p1.3.m3.1d">italic_t ∈ blackboard_Z</annotation></semantics></math>, <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4"><semantics id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4a"><mrow id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.cmml"><mrow id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.2" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.4.m4.3.3" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.2.1" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.4" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.1" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.2" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.4.m4.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.2.2" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.4.m4.2.2" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4b"><apply id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5"><in id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.1"></in><list id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.2.2"><ci id="A1.I1.i7.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.4.5.3.2"><ci id="A1.I1.i7.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.4.m4.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i7.p1.4.m4.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>, as <math alttext="T\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1a"><mrow id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.2" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.3" mathvariant="normal" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1b"><apply id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1"><ci id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.1">→</ci><ci id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.2">𝑇</ci><infinity id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.I1.i7.p1.5.m5.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1c">T\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.I1.i7.p1.5.m5.1d">italic_T → ∞</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma8.1.1.1">Lemma 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma8.p1.1"><math alttext="\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma8.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma8.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma8.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma8.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma8.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1">By Cauchy-Schwarz, the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, and bounded fourth moments,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx35"> <tbody id="A1.Ex94"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex94.m1.1"><semantics id="A1.Ex94.m1.1a"><msubsup id="A1.Ex94.m1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex94.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex94.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex94.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex94.m2.1b"><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1"><eq id="A1.Ex94.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex94.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1"><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></minus><list id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3"><times id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply><cn id="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex94.m2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex94.m2.1c">\displaystyle=\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}\langle X_{jt}-\widehat{% \mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle-\langle X_{jt}-\mu_{j},s_{lj}\psi_{lj}% \rangle\Big{)}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex94.m2.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ - ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex95"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}\langle\mu_{j}-\widehat{% \mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+\langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}% -s_{lj}\psi_{lj}\rangle\Big{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex95.m1.1"><semantics id="A1.Ex95.m1.1a"><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex95.m1.1b"><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1"><eq id="A1.Ex95.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex95.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1"><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></plus><list id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex95.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex96"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}% \|^{2}+\|X_{jt}-\mu_{j}\|^{2}\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|^{2}=O_{P}% (T^{-1})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex96.m1.1"><semantics id="A1.Ex96.m1.1a"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.8" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex96.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex96.m1.1b"><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1"><and id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1"></and><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1"><leq id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3"><plus id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.4"></plus><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" 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xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" 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xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.3"></times><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" 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type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex96.m1.1.1.1.1.3.cmml" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.2"></times><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex96.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex96.m1.1c">\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}% \|^{2}+\|X_{jt}-\mu_{j}\|^{2}\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|^{2}=O_{P}% (T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex96.m1.1d">≤ 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.1.p1.2">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma9.1.1.1">Lemma 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma9.p1.1"><math alttext="\|\widehat{Q}-SQ^{*}S\|_{F}=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma9.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma9.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" 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id="Thmlemma9.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑄</ci><times id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2"><times id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.2"></times><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma9.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply 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class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma9.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.2.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.2.p1.1">By the triangle inequality, the relation of Frobenius and Euclidean norm, Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>, and bounded fourth moments,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx36"> <tbody id="A1.Ex97"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|\widehat{Q}-SQ^{*}S\|_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex97.m1.1"><semantics id="A1.Ex97.m1.1a"><msub id="A1.Ex97.m1.1.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex97.m1.1.1.3" xref="A1.Ex97.m1.1.1.3.cmml">F</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex97.m1.1b"><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex97.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex97.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑄</ci><times id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex97.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex97.m1.1.1.3">𝐹</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex97.m1.1c">\displaystyle\|\widehat{Q}-SQ^{*}S\|_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex97.m1.1d">∥ over^ start_ARG italic_Q end_ARG - italic_S italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex98"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}% ^{\prime}-(Sz_{t}^{*})(Sz_{t}^{*})^{\prime}\bigg{\|}_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex98.m1.1"><semantics id="A1.Ex98.m1.1a"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2a" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1a" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex98.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.3.cmml">F</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex98.m1.1b"><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1"><eq id="A1.Ex98.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex98.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"><divide id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"></divide><cn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3"><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><times id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2"><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2"><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci 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xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex98.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex98.m1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex98.m1.1c">\displaystyle=\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\widehat{z}_{t}% 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{% \prime}\widehat{z}_{t}^{\prime}+(Sz_{t}^{*})(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{% \prime}\bigg{\|}_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex99.m1.1"><semantics id="A1.Ex99.m1.1a"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="A1.Ex99.m1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex99.m1.1.1.1.3" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.3.cmml">F</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex99.m1.1b"><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1"><eq id="A1.Ex99.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.4"></plus><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><minus id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex99.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex99.m1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex99.m1.1c">\displaystyle=\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{% \prime}\widehat{z}_{t}^{\prime}+(Sz_{t}^{*})(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{% \prime}\bigg{\|}_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex99.m1.1d">= ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex100"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}% )^{\prime}\widehat{z}_{t}^{\prime}\bigg{\|}_{F}+\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}% ^{T}(Sz_{t}^{*})(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{\prime}\bigg{\|}_{F}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex100.m1.2"><semantics id="A1.Ex100.m1.2a"><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.4" xref="A1.Ex100.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><msub id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4a" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.3.cmml">F</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex100.m1.2b"><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2"><leq id="A1.Ex100.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex100.m1.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2"><plus id="A1.Ex100.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.1.1.1.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"></times><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4"><divide id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4"></divide><cn id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2">1</cn><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex100.m1.2.2.2.2.3">𝐹</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex100.m1.2c">\displaystyle\leq\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}% )^{\prime}\widehat{z}_{t}^{\prime}\bigg{\|}_{F}+\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}% ^{T}(Sz_{t}^{*})(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})^{\prime}\bigg{\|}_{F}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex100.m1.2d">≤ ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT + ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex101"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_% {2}^{2}\bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}\|_{2}^% {2}\bigg{)}^{1/2}+\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|z_{t}^{*}\|_{2}^{2}\bigg{% )}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_{2}^{2% }\bigg{)}^{1/2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex101.m1.4"><semantics id="A1.Ex101.m1.4a"><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4" xref="A1.Ex101.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.6" xref="A1.Ex101.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.5" xref="A1.Ex101.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.5" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.cmml"><msup id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msubsup id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.1" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.1" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex101.m1.4b"><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4"><eq id="A1.Ex101.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4"><plus id="A1.Ex101.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.5"></plus><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2"><times id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci 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id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3"><divide id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.1"></divide><cn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4"><times id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.3"></times><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1"><times id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply></apply><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3"><divide id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.1"></divide><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.3.3.3.3.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1"><times id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3"><divide id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.1"></divide><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex101.m1.4.4.4.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex101.m1.4c">\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_% {2}^{2}\bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}\|_{2}^% {2}\bigg{)}^{1/2}+\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|z_{t}^{*}\|_{2}^{2}\bigg{% )}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*}\|_{2}^{2% }\bigg{)}^{1/2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex101.m1.4d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex102"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=O_{P}(T^{-1/2})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex102.m1.1"><semantics id="A1.Ex102.m1.1a"><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex102.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex102.m1.1b"><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex102.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex102.m1.1c">\displaystyle=O_{P}(T^{-1/2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex102.m1.1d">= italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.2.p1.2">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma10.1.1.1">Lemma 10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma10.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma10.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma10.p1.1"><math alttext="\|Q^{*}-Q\|_{F}=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma10.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">Q</mi></mrow><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma10.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><times id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑄</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3"><times id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.2">𝑜</ci><ci id="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.2.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma10.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma10.p1.1.m1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2c">\|Q^{*}-Q\|_{F}=o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma10.p1.1.m1.2d">∥ italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_Q ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma10.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.3.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2">Since <math alttext="z_{t}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1a"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1c">z_{t}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.1.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> alpha-mixing of size <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1"><divide id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.2"></divide><ci id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.3">𝜈</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1c">-\nu/(\nu-2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.3.p1.2.m2.1d">- italic_ν / ( italic_ν - 2 )</annotation></semantics></math>, the result follows from the law of large numbers for alpha-mixing sequences. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma11.1.1.1">Lemma 11</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma11.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma11.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma11.p1.2"><math alttext="\|\widehat{Q}-SQS\|_{F}=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma11.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma11.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑄</ci><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3"><times id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.2">𝑜</ci><ci id="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.2.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma11.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma11.p1.1.m1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2c">\|\widehat{Q}-SQS\|_{F}=o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma11.p1.1.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_Q end_ARG - italic_S italic_Q italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma11.p1.2.1"> and <math alttext="\|\widehat{Q}^{-1}-SQ^{-1}S\|_{F}=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3a" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Q</mi><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3a" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><minus id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"></minus><cn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑄</ci><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3"><times id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.2">𝑜</ci><ci id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma11.p1.2.1.m1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2c">\|\widehat{Q}^{-1}-SQ^{-1}S\|_{F}=o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma11.p1.2.1.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_Q end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_S italic_Q start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_S ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.4.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1">Follows by Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma9" title="Lemma 9. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>–<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma10" title="Lemma 10. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>, the triangle inequality, the fact that <math alttext="S=S^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3a" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3"></minus><cn id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1c">S=S^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.4.p1.1.m1.1d">italic_S = italic_S start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the continuous mapping theorem. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma12.1.1.1">Lemma 12</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma12.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma12.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma12.p1.1"><math alttext="\|\widehat{B}(r)-SB(r)\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma12.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.cmml"><msub id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1a" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.4.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.cmml"><msub id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3a" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4b"><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4"><eq id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><times id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2"><times id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.2"></times><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.2">𝑂</ci><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"></minus><apply id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2"><divide id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma12.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4c">\|\widehat{B}(r)-SB(r)\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma12.p1.1.m1.4d">∥ over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) - italic_S italic_B ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma12.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.5.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3">Since <math alttext="\beta_{j}(r)=(B_{j}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.1.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4"><eq id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.3.cmml" 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id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.2.2">𝑟</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.1.m1.4.4.1.3.1.cmml" 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id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5"><semantics id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.3.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo 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xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5b"><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5"><eq id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.2"></eq><apply 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xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5.5.1.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5c">\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt}(s)\,\mathrm{d}s=(B_{j}(r))^{\prime}F_{jt}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.2.m2.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) roman_d italic_s = ( italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the regression equation can be represented as <math alttext="Y_{t}(r)=(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)+u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><msup id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.4" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.4.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2b" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4"><eq id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1"><plus id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.2"></plus><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.3">𝑆</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.1.4">𝐵</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4c">Y_{t}(r)=(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)+u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.3.m3.4d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex103"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{Q}\widehat{B}(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}Y_{t}(r)=% \widehat{Q}SB(r)+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Sz_{t}^{*}-\widehat{% z}_{t})^{\prime}SB(r)+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex103.m1.6"><semantics id="A1.Ex103.m1.6a"><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6" xref="A1.Ex103.m1.6.6.cmml"><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.1a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.3.4.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex103.m1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.4" xref="A1.Ex103.m1.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.5" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.cmml"><mfrac id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.cmml"><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.cmml"><munderover id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.1a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.4.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex103.m1.2.2" xref="A1.Ex103.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.6" xref="A1.Ex103.m1.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.4" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.4.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1b" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.5.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex103.m1.3.3" xref="A1.Ex103.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.5.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2c" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex103.m1.4.4" xref="A1.Ex103.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.2a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2.cmml"><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.cmml"><munderover id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.1" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3.3" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.1a" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.4.2" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex103.m1.5.5" xref="A1.Ex103.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex103.m1.6b"><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6"><and id="A1.Ex103.m1.6.6a.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6"></and><apply id="A1.Ex103.m1.6.6b.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6"><eq id="A1.Ex103.m1.6.6.4.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.4"></eq><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3"><times id="A1.Ex103.m1.6.6.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.1"></times><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2"><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3"><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.1">^</ci><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.3.3.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex103.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5"><times id="A1.Ex103.m1.6.6.5.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.1"></times><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2"><divide id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2"></divide><cn id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3"><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.1.2.3.2.cmml" 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id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.5.3.2.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex103.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex103.m1.6.6c.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6"><eq id="A1.Ex103.m1.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex103.m1.6.6.5.cmml" id="A1.Ex103.m1.6.6d.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6"></share><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1"><plus id="A1.Ex103.m1.6.6.1.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.2"></plus><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3"><times id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2"><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" 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xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex103.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.6">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex104"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{Q}^{-1}(\widehat{B}(r)-SB(r))=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t% }(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t})^{\prime}SB(r)+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(Sz_{t}^{% *}-\widehat{z}_{t})u_{t}(r)+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex104.m1.6"><semantics id="A1.Ex104.m1.6a"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">Q</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex104.m1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex104.m1.2.2" xref="A1.Ex104.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.4" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2b" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2c" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex104.m1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml"><munderover id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.4.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex104.m1.4.4" xref="A1.Ex104.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.cmml"><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.cmml"><munderover id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1a" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.3" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1b" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.5.2" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex104.m1.5.5" xref="A1.Ex104.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex104.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex104.m1.6b"><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1"><eq id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.4"></eq><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.2.2">𝑄</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3"><minus id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3"></minus><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐵</ci><ci id="A1.Ex104.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3"><plus id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.3"></plus><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.2"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3"><divide id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3"></divide><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1"><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4">𝑆</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5">𝐵</ci><ci id="A1.Ex104.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.2"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3"><divide id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3"></divide><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1"><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.2.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex104.m1.4.4">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4"><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.1"></times><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2"><divide id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2"></divide><cn id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3"><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.1.2.2"></sum><apply 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id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex104.m1.6.6.1.1.3.4.3.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex104.m1.5.5.cmml" 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end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.7">By Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> and bounded fourth moments,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx37"> <tbody id="A1.Ex105"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Sz_{t}^{*}-% \widehat{z}_{t})^{\prime}SB(r)\bigg{\|}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex105.m1.2"><semantics id="A1.Ex105.m1.2a"><msub id="A1.Ex105.m1.2.2" xref="A1.Ex105.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex105.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi 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end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex106"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}\|_{2}^{2}% \bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t}\|_% {2}^{2}\bigg{)}^{1/2}\|B(r)\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex106.m1.5"><semantics id="A1.Ex106.m1.5a"><mrow id="A1.Ex106.m1.5.5" xref="A1.Ex106.m1.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.5.5.6" xref="A1.Ex106.m1.5.5.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.7" xref="A1.Ex106.m1.5.5.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.4.4.3" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.cmml"><msup id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.4" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msubsup id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.4a" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex106.m1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.3" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.8" xref="A1.Ex106.m1.5.5.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.5.5.4" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.cmml"><msub id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.2" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.3" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.4.2" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex106.m1.5b"><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5"><and id="A1.Ex106.m1.5.5a.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5"></and><apply id="A1.Ex106.m1.5.5b.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5"><leq id="A1.Ex106.m1.5.5.7.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex106.m1.5.5.6.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3"><times id="A1.Ex106.m1.4.4.3.4.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.4"></times><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3"><divide id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1"><times id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3"><divide id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.1"></divide><cn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1"><times id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.1.1.1.2">𝐵</ci><ci id="A1.Ex106.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.4.4.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex106.m1.5.5c.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5"><eq id="A1.Ex106.m1.5.5.8.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex106.m1.4.4.3.cmml" id="A1.Ex106.m1.5.5d.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5"></share><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.4.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4"><times id="A1.Ex106.m1.5.5.4.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.2"></times><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex106.m1.5.5.4.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex106.m1.5c">\displaystyle\leq\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|\widehat{z}_{t}\|_{2}^{2}% \bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t}\|_% {2}^{2}\bigg{)}^{1/2}\|B(r)\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex106.m1.5d">≤ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_B ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.8">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex107"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t})u_{t}(r)\bigg{\|% }_{2}\leq\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t}\|_{2}^{% 2}\bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}|u_{t}(r)|^{2}\bigg{)}^{1/2}=% O_{P}(T^{-1/2})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex107.m1.3"><semantics id="A1.Ex107.m1.3a"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex107.m1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.6" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><msubsup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><msup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex107.m1.2.2" xref="A1.Ex107.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.7" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex107.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex107.m1.3b"><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1"><and id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1"></and><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1"><leq id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.6"></leq><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex107.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply><apply 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xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus 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id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3"><divide id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.1"></divide><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1"><times id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex107.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3"><divide id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></divide><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">1</cn><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1"><eq id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex107.m1.3.3.1.1.3.cmml" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1"></share><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4"><times id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.2"></times><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex107.m1.3.3.1.1.4.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex107.m1.3c">\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t})u_{t}(r)\bigg{\|% }_{2}\leq\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\|Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t}\|_{2}^{% 2}\bigg{)}^{1/2}\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}|u_{t}(r)|^{2}\bigg{)}^{1/2}=% O_{P}(T^{-1/2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex107.m1.3d">∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ≤ ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT | italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.9">The result follows from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma11" title="Lemma 11. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a> and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex108"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)\bigg{\|}_{2}=O_{P}(T^{-1/% 2})," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex108.m1.2"><semantics id="A1.Ex108.m1.2a"><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex108.m1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex108.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex108.m1.2b"><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1"><eq id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" 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id="A1.Ex108.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2"><times id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex108.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex108.m1.2c">\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)\bigg{\|}_{2}=O_{P}(T^{-1/% 2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex108.m1.2d">∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5">which holds because <math alttext="z_{t}^{*}u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1a" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2"><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1c">z_{t}^{*}u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.4.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> is a zero mean martingale difference sequence for all <math alttext="r\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3"><in id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.1"></in><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.2">𝑟</ci><interval closure="closed" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.3.3.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2c">r\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.5.p1.5.m2.2d">italic_r ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma13.1.1.1">Lemma 13</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma13.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma13.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma13.p1.1"><math alttext="\|\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})u_{t}(r)\|_{2}=O_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemma13.p1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.3" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.1" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma13.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3b"><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3"><eq id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3"><times id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.2">𝑂</ci><ci id="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.3.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma13.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma13.p1.1.m1.2.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3c">\|\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})u_{t}(r)\|_{2}=O_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma13.p1.1.m1.3d">∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma13.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.6.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.4">Similarly to the proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx38"> <tbody id="A1.Ex109"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})u_{t}(r)\bigg{% \|}_{2}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex109.m1.2"><semantics id="A1.Ex109.m1.2a"><msubsup id="A1.Ex109.m1.2.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex109.m1.1.1" xref="A1.Ex109.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex109.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex109.m1.2.2.1.3" 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start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex110"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}% \langle\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+\langle X_{jt}-\mu% _{j},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle\Big{)}u_{t}(r)\bigg{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex110.m1.2"><semantics id="A1.Ex110.m1.2a"><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.2" 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id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex110.m1.1.1" xref="A1.Ex110.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex110.m1.2b"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2"><eq id="A1.Ex110.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex110.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></plus><list id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><minus id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply><apply id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex110.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex110.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex110.m1.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex110.m1.2c">\displaystyle=\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}\Big{(}% \langle\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+\langle X_{jt}-\mu% _{j},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle\Big{)}u_{t}(r)\bigg{)}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex110.m1.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ⟨ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex111"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}% \langle\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle u_{t}(r)\bigg{)}^{% 2}+\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}\langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi% _{lj}\rangle u_{t}(r)\bigg{)}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex111.m1.4"><semantics id="A1.Ex111.m1.4a"><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4" xref="A1.Ex111.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.4" xref="A1.Ex111.m1.4.4.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><msup id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex111.m1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><msup id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.5.2" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex111.m1.2.2" xref="A1.Ex111.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex111.m1.4b"><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4"><leq id="A1.Ex111.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex111.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2"><plus id="A1.Ex111.m1.4.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.3"></plus><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1"><times id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.2"></times><cn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.3">2</cn><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1"><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1"><apply 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id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><eq id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><list id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><apply id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex111.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1"><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3"><eq id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3"></times><list id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2"><minus id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list><apply id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.4.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex111.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex111.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex111.m1.4.4.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex111.m1.4c">\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}% \langle\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle u_{t}(r)\bigg{)}^{% 2}+\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}\langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi% _{lj}\rangle u_{t}(r)\bigg{)}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex111.m1.4d">≤ 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex112"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}% \|^{2}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}u_{t}(r)\bigg{)}^{2}+\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}% \psi_{lj}\|^{2}\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}-\mu_{j})u_{t}(r)\bigg{\|}^{2}=O_% {P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex112.m1.7"><semantics id="A1.Ex112.m1.7a"><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7" xref="A1.Ex112.m1.7.7.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.6" xref="A1.Ex112.m1.7.7.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.7" xref="A1.Ex112.m1.7.7.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.4" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3a" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex112.m1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.5" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.cmml"><msup id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.3" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2a" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex112.m1.2.2" xref="A1.Ex112.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.8" xref="A1.Ex112.m1.7.7.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.9" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.cmml"><msub id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.cmml"><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.3" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.9.1" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex112.m1.7.7.9.3.2" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.cmml"><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.9.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex112.m1.3.3" xref="A1.Ex112.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex112.m1.7.7.9.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex112.m1.7b"><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7"><and id="A1.Ex112.m1.7.7a.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7"></and><apply id="A1.Ex112.m1.7.7b.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7"><leq id="A1.Ex112.m1.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.7"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex112.m1.7.7.6.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.6">absent</csymbol><apply 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xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.3.3">𝐽</ci></apply><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><cn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1"><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><eq id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex112.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4"><times id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.3"></times><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.6.6.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1"><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex112.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.7.7.4.4.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex112.m1.7.7c.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7"><eq id="A1.Ex112.m1.7.7.8.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex112.m1.7.7.4.cmml" id="A1.Ex112.m1.7.7d.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7"></share><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.9.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9"><times id="A1.Ex112.m1.7.7.9.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.1"></times><apply id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.1.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.2.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.3.cmml" xref="A1.Ex112.m1.7.7.9.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex112.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex112.m1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex112.m1.7c">\displaystyle\leq 2\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}% \|^{2}\bigg{(}\sum_{t=1}^{T}u_{t}(r)\bigg{)}^{2}+\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}% \psi_{lj}\|^{2}\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}-\mu_{j})u_{t}(r)\bigg{\|}^{2}=O_% {P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex112.m1.7d">≤ 2 ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3">by the consistency of the primitives, bounded fourth moments, Cauchy-Schwarz, and because <math alttext="u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2"><times id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1c">u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.1.m1.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(X_{jt}(s)-\mu_{j}(s))u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2a" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4"><times id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2"><times id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4.4.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.3.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4c">(X_{jt}(s)-\mu_{j}(s))u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.2.m2.4d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math> are zero mean martingale difference sequences for all <math alttext="r,s\in[a,b]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">[</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5"><in id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.1"></in><list id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.4">𝑠</ci></list><interval closure="closed" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4.5.3.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4c">r,s\in[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.6.p1.3.m3.4d">italic_r , italic_s ∈ [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math> by Assumption <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmassumption1" title="Assumption 1. ‣ 2 Function-on-function regression problem"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma14.1.1.1">Lemma 14</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma14.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma14.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma14.p1.1"><math alttext="\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\frac{1}{T}\sum_{t% =1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}+O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemma14.p1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.4" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.4" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mfrac id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msubsup id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml"><msub id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1a" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.4" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">+</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml"><msub id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3a" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml 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xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" 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id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2"><times id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3"><times id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.2">𝑓</ci><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3"><times id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.4.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.3.3.2.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1"><times id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.2"></times><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.2">𝑂</ci><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma14.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3c">\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\frac{1}{T}\sum_{t% =1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}+O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma14.p1.1.m1.3d">⟨ over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma14.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.7.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2">We have <math alttext="\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\frac{1}{T}\sum_{t% =1}^{T}\langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.5" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mfrac id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4.2.cmml">1</mn><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4"><eq id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.4.4.5"></eq><list id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.7.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="f_{ljt}^{*}=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.2.3" 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id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.cmml" 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id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.4.3"></times></apply><list id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.7.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>, which implies</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx39"> <tbody id="A1.Ex113"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle-\frac% {1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex113.m1.2"><semantics id="A1.Ex113.m1.2a"><mrow id="A1.Ex113.m1.2.2" xref="A1.Ex113.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex113.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex113.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex113.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex113.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex113.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi 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id="A1.Ex113.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex113.m2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex113.m2.2c">\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{% lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex113.m2.2d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex114"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\Big{\langle}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}-\mu_{j}),\psi_{lj}% -s_{lj}\psi_{lj}\Big{\rangle}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex114.m1.2"><semantics id="A1.Ex114.m1.2a"><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.4" xref="A1.Ex114.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" 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xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.5" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex114.m1.2b"><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2"><eq id="A1.Ex114.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex114.m1.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.4">absent</csymbol><list id="A1.Ex114.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2"><minus id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex114.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex114.m1.2c">\displaystyle=\Big{\langle}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}-\mu_{j}),\psi_{lj}% -s_{lj}\psi_{lj}\Big{\rangle}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex114.m1.2d">= ⟨ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex115"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\bigg{\|}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}-\mu_{j})\bigg{\|}\|% \widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex115.m1.1"><semantics id="A1.Ex115.m1.1a"><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex115.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex115.m1.1b"><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1"><leq id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.3"></leq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci 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id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" 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id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex115.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" 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\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex115.m1.1d">≤ ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4">because <math alttext="\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.3.m1.1.1.1.1"><csymbol 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id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2c">\|\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}(X_{t}-\mu)\|=O_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.7.p1.4.m2.2d">∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ ) ∥ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math> by the central limit theorem for alpha-mixing sequences. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma15"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma15.1.1.1">Lemma 15</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma15.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma15.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma15.p1.1"><math alttext="\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle=O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma15.p1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemma15.p1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.4" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.4" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3a" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma15.p1.1.m1.3b"><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3"><eq id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.4"></eq><list id="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci 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xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3"></minus><cn id="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma15.p1.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma15.p1.1.m1.3c">\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle=O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma15.p1.1.m1.3d">⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma15.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.8.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.2">We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx40"> <tbody id="A1.Ex116"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}% \rangle+\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex116.m1.3"><semantics id="A1.Ex116.m1.3a"><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex116.m1.2.2.2.4" 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xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.4" xref="A1.Ex116.m1.3.3.4.cmml">+</mo><msup id="A1.Ex116.m1.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex116.m1.3.3.3.3" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex116.m1.3b"><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3"><plus id="A1.Ex116.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.4"></plus><apply id="A1.Ex116.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2"><times id="A1.Ex116.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.3"></times><cn id="A1.Ex116.m1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.4">2</cn><list id="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex116.m1.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex116.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex116.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1"><minus id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex116.m1.3.3.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci 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<td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle 2s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}% \rangle+\langle\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}% \psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex117.m1.4"><semantics id="A1.Ex117.m1.4a"><mrow id="A1.Ex117.m1.4.4" xref="A1.Ex117.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.4.4.6" xref="A1.Ex117.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex117.m1.4.4.5" xref="A1.Ex117.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex117.m1.4.4.4" xref="A1.Ex117.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex117.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.1" 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xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list><list id="A1.Ex117.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.4.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1"><minus id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex117.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" 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\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex117.m1.4d">= ⟨ 2 italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> 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id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex118.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci 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ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle\widehat{\psi}_{lj},\widehat{\psi}_{lj}\rangle-\langle% \widehat{\psi}_{lj},s_{lj}\psi_{lj}\rangle+\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{% \psi}_{lj}\rangle-\langle s_{lj}\psi_{lj},s_{lj}\psi_{lj}\rangle=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex119.m1.8"><semantics id="A1.Ex119.m1.8a"><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8" xref="A1.Ex119.m1.8.8.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.10" xref="A1.Ex119.m1.8.8.10.cmml"></mi><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.11" xref="A1.Ex119.m1.8.8.11.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8.8" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.cmml"><mrow id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.cmml"><mrow id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex119.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.5" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex119.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.7" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.3.cmml"><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.2" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.4" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.1" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.9" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.9.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.3.cmml"><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.2" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.1" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.2" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.4" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.1" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex119.m1.8.8.12" xref="A1.Ex119.m1.8.8.12.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex119.m1.8.8.13" xref="A1.Ex119.m1.8.8.13.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex119.m1.8b"><apply id="A1.Ex119.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8"><and id="A1.Ex119.m1.8.8a.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8"></and><apply id="A1.Ex119.m1.8.8b.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8"><eq id="A1.Ex119.m1.8.8.11.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.11"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex119.m1.8.8.10.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.10">absent</csymbol><apply id="A1.Ex119.m1.8.8.8.cmml" 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id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3"><times id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.5.5.5.5.5.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2"><ci id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3"><times id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.6.6.6.6.6.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply><list id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2"><apply id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1"><times id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3"><times id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3"><times id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.7.7.7.7.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2"><times id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.2.cmml" 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xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.8.8.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply><apply id="A1.Ex119.m1.8.8c.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8"><eq id="A1.Ex119.m1.8.8.12.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8.12"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex119.m1.8.8.8.cmml" id="A1.Ex119.m1.8.8d.cmml" xref="A1.Ex119.m1.8.8"></share><cn id="A1.Ex119.m1.8.8.13.cmml" type="integer" xref="A1.Ex119.m1.8.8.13">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex119.m1.8c">\displaystyle=\langle\widehat{\psi}_{lj},\widehat{\psi}_{lj}\rangle-\langle% \widehat{\psi}_{lj},s_{lj}\psi_{lj}\rangle+\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{% \psi}_{lj}\rangle-\langle s_{lj}\psi_{lj},s_{lj}\psi_{lj}\rangle=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex119.m1.8d">= ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ - ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ - ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.3">by the orthonormality of the eigenfunctions. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx41"> <tbody id="A1.Ex120"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 2\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}% \rangle=-\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|^{2}=O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex120.m1.4"><semantics id="A1.Ex120.m1.4a"><mrow id="A1.Ex120.m1.4.4" xref="A1.Ex120.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex120.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex120.m1.4.4.6" xref="A1.Ex120.m1.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.3.3.3" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex120.m1.3.3.3a" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.cmml">−</mo><msup id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" 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xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.3" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="A1.Ex120.m1.4.4.7" xref="A1.Ex120.m1.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.4.4.4" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.2" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.3" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex120.m1.4.4.4.2" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow 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xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2"><minus id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3"><minus id="A1.Ex120.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3"></minus><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex120.m1.3.3.3.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex120.m1.4.4c.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4"><eq id="A1.Ex120.m1.4.4.7.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex120.m1.3.3.3.cmml" id="A1.Ex120.m1.4.4d.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4"></share><apply id="A1.Ex120.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4"><times id="A1.Ex120.m1.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.2"></times><apply id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex120.m1.4.4.4.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex120.m1.4c">\displaystyle 2\langle s_{lj}\psi_{lj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}% \rangle=-\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|^{2}=O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex120.m1.4d">2 ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = - ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1">by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives. This trick is inspired by the approach in <span class="ltx_ERROR undefined" id="A1.SS4.SSS1.8.p1.1.1">\textcite</span>Kokoszka.2013. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma16"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma16.1.1.1">Lemma 16</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma16.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma16.p1"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex121"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\psi_{lj})\rangle=\frac{1}{T}\sum_{t=% 1}^{T}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[% f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}(T^{-1})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex121.m1.1"><semantics id="A1.Ex121.m1.1a"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow 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id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex121.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex121.m1.1b"><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.5"></eq><list id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.2"></times><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex121.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex121.m1.1c">\langle\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\psi_{lj})\rangle=\frac{1}{T}\sum_{t=% 1}^{T}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[% f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}(T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex121.m1.1d">⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) + ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.9.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2">We have <math alttext="\widehat{D}_{j}=\widehat{C}_{j}\widehat{C}_{j}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1c">\widehat{D}_{j}=\widehat{C}_{j}\widehat{C}_{j}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="D_{j}=C_{j}C_{j}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">D</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1c">D_{j}=C_{j}C_{j}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.2.m2.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx42"> <tbody id="A1.Ex122"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{D}_{j}-D_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex122.m1.1"><semantics id="A1.Ex122.m1.1a"><mrow id="A1.Ex122.m1.1.1" xref="A1.Ex122.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex122.m1.1.1.2" xref="A1.Ex122.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex122.m1.1.1.2.2" xref="A1.Ex122.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex122.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex122.m1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex122.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex122.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex122.m1.1.1.2.3" xref="A1.Ex122.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex122.m1.1.1.1" xref="A1.Ex122.m1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex122.m1.1.1.3" xref="A1.Ex122.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex122.m1.1.1.3.2" 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id="A1.Ex122.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex122.m1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex122.m1.1c">\displaystyle\widehat{D}_{j}-D_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex122.m1.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\widehat{C}_{j}-C_{j})(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})+(\widehat% {C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}+C_{j}(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex122.m2.4"><semantics id="A1.Ex122.m2.4a"><mrow id="A1.Ex122.m2.4.4" xref="A1.Ex122.m2.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex122.m2.4.4.6" xref="A1.Ex122.m2.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex122.m2.4.4.5" xref="A1.Ex122.m2.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex122.m2.4.4.4" xref="A1.Ex122.m2.4.4.4.cmml"><mrow 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xref="A1.Ex122.m2.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex122.m2.4.4.4.4.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex122.m2.4.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex122.m2.4.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex122.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex122.m2.4b"><apply id="A1.Ex122.m2.4.4.cmml" xref="A1.Ex122.m2.4.4"><eq id="A1.Ex122.m2.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex122.m2.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex122.m2.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex122.m2.4.4.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex122.m2.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex122.m2.4.4.4"><plus id="A1.Ex122.m2.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex122.m2.4.4.4.5"></plus><apply id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex122.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex122.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex122.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex122.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply 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xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex122.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex122.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex122.m2.3.3.3.3"><times id="A1.Ex122.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex122.m2.3.3.3.3.2"></times><apply id="A1.Ex122.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex122.m2.3.3.3.3.1.1"><minus 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+ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex123"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\widehat{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}+C_{j}(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}% ^{*})+O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex123.m1.3"><semantics id="A1.Ex123.m1.3a"><mrow id="A1.Ex123.m1.3.3" xref="A1.Ex123.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex123.m1.3.3.5" xref="A1.Ex123.m1.3.3.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex123.m1.3.3.4" xref="A1.Ex123.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow 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id="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex123.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex123.m1.3c">\displaystyle=(\widehat{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}+C_{j}(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}% ^{*})+O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex123.m1.3d">= ( over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5">because <math alttext="\|(\widehat{C}_{j}-C_{j})(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})\|_{\mathcal{S}}\leq\|% \widehat{C}_{j}-C_{j}\|_{\mathcal{S}}^{2}=O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.1.3">𝒮</ci></apply><cn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3c.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.6.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.2.2.2.cmml" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3d.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3"></share><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3c">\|(\widehat{C}_{j}-C_{j})(\widehat{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})\|_{\mathcal{S}}\leq\|% \widehat{C}_{j}-C_{j}\|_{\mathcal{S}}^{2}=O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.3.m1.3d">∥ ( over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ≤ ∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Furthermore, let <math alttext="\widetilde{C}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1a"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1c">\widetilde{C}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.4.m2.1d">over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sample cross-covariance operator with true mean, which is the integral operator with the kernel function <math alttext="\widetilde{c}_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(X_{jt}(r)-\mu_{j}(r))(Y_{t}(s% )-E[Y_{t}(s)])" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.cmml"><mfrac id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4.2.cmml">1</mn><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.4.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.5.m3.8.8.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" 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end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] )</annotation></semantics></math>. Then,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex124"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{c}_{j}(r,s)-\widetilde{c}_{j}(r,s)=(\widehat{\mu}_{j}(r)-\mu_{j}(r))(% E[Y_{t}(s)]-\overline{Y}(s))," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex124.m1.9"><semantics id="A1.Ex124.m1.9a"><mrow id="A1.Ex124.m1.9.9.1" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.cmml"><msub id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.1" 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id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2"><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.2.3.2"><ci id="A1.Ex124.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex124.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.1"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2"><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.2.2">𝑐</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.4.3.3.2"><ci id="A1.Ex124.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.Ex124.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex124.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></apply><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.3"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex124.m1.5.5">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex124.m1.6.6">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1"><minus id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex124.m1.7.7">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex124.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑌</ci></apply><ci id="A1.Ex124.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex124.m1.8.8">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex124.m1.9c">\widehat{c}_{j}(r,s)-\widetilde{c}_{j}(r,s)=(\widehat{\mu}_{j}(r)-\mu_{j}(r))(% E[Y_{t}(s)]-\overline{Y}(s)),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex124.m1.9d">over^ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - over~ start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ( italic_s ) ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7">and <math alttext="\|\widehat{C}_{j}-\widetilde{C}_{j}\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.3.cmml">𝒮</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.1.1.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2c">\|\widehat{C}_{j}-\widetilde{C}_{j}\|_{\mathcal{S}}=O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.6.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.7.m2.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, which implies</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex125"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{D}_{j}-D_{j}=(\widetilde{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}+C_{j}(\widetilde{C}_{% j}^{*}-C_{j}^{*})+O_{P}(T^{-1})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex125.m1.1"><semantics id="A1.Ex125.m1.1a"><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msub id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.2.2" 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xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4a" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3a" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex125.m1.1.1.1.2" lspace="0em" 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cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3"><plus id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.4"></plus><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply 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xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex125.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex125.m1.1c">\widehat{D}_{j}-D_{j}=(\widetilde{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}+C_{j}(\widetilde{C}_{% j}^{*}-C_{j}^{*})+O_{P}(T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex125.m1.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.16">Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx43"> <tbody id="A1.Ex126"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\psi_{lj})\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex126.m1.2"><semantics id="A1.Ex126.m1.2a"><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex126.m1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex126.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex126.m1.2b"><list id="A1.Ex126.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2"><apply id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2"><times id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex126.m1.2c">\displaystyle\langle\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\psi_{lj})\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex126.m1.2d">⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}(\psi_{lj})% \rangle+\langle\psi_{mj},C_{j}(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})(\psi_{lj})% \rangle+O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex126.m2.5"><semantics id="A1.Ex126.m2.5a"><mrow id="A1.Ex126.m2.5.5" xref="A1.Ex126.m2.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.5.5.7" xref="A1.Ex126.m2.5.5.7.cmml"></mi><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.6" xref="A1.Ex126.m2.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.5.5.5" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.cmml"><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.6" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.3" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.1" 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xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.6a" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.cmml"><msub id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3.2" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3.3" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.2" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3a" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex126.m2.5.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.4.3"></times></apply><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list><list id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.3.3.3.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2"><times id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex126.m2.4.4.4.4.2.2.4.1.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A1.Ex126.m2.5c">\displaystyle=\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})C_{j}^{*}(\psi_{lj})% \rangle+\langle\psi_{mj},C_{j}(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})(\psi_{lj})% \rangle+O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex126.m2.5d">= ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex127"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})(\psi_{mj}),C_{j}^{*}(% \psi_{lj})\rangle+\langle C_{j}^{*}(\psi_{mj}),(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*% })(\psi_{lj})\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex127.m1.4"><semantics id="A1.Ex127.m1.4a"><mrow id="A1.Ex127.m1.4.4" xref="A1.Ex127.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex127.m1.4.4.6" xref="A1.Ex127.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex127.m1.4.4.5" 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xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex127.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex127.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex127.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex127.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex127.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msubsup 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id="A1.Ex127.m1.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex127.m1.4.4.4.4.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex127.m1.4c">\displaystyle=\langle(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*})(\psi_{mj}),C_{j}^{*}(% \psi_{lj})\rangle+\langle C_{j}^{*}(\psi_{mj}),(\widetilde{C}_{j}^{*}-C_{j}^{*% })(\psi_{lj})\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex127.m1.4d">= ⟨ ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + ⟨ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex128"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{lj})\rangle+% \langle\psi_{lj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{mj})\rangle+O_{P}(T^{-1})," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex128.m1.1"><semantics id="A1.Ex128.m1.1a"><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.7.cmml"></mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.4" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6a" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.cmml"><msub id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3a" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex128.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex128.m1.1b"><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.7">absent</csymbol><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5"><plus id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.6"></plus><list id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list><list id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2"><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5"><times id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.2"></times><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex128.m1.1.1.1.1.5.5.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex128.m1.1c">\displaystyle=\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{lj})\rangle+% \langle\psi_{lj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{mj})\rangle+O_{P}(T^{-1}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex128.m1.1d">= ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13">where the last step follows with <math alttext="\gamma_{lj}(q)=E[f_{ljt}^{*}Y_{t}(q)]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.2.2.cmml">q</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.1.1">𝑞</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.2"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.2.2">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3c">\gamma_{lj}(q)=E[f_{ljt}^{*}Y_{t}(q)]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.8.m1.3d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) = italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) ]</annotation></semantics></math> because <math alttext="\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3b"><list id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.1.1">…</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci 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id="A1.SS4.SSS1.9.p1.9.m2.3d">italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the left-singular functions of <math alttext="C_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1a"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.10.m3.1.1.2.cmml" 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.cmml"><msup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.5.5.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.4.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.3a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.11.m4.6.6.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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The kernel function of the integral operator <math alttext="\widetilde{C}_{j}-C_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.13.m6.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi 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alttext="\widetilde{c}_{j}(r,s)-c_{j}(r,s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}w_{jt}(r,s)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex129.m1.6"><semantics id="A1.Ex129.m1.6a"><mrow id="A1.Ex129.m1.6.7" xref="A1.Ex129.m1.6.7.cmml"><mrow id="A1.Ex129.m1.6.7.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.cmml"><mrow id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.3" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.1" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.3.2" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex129.m1.6.7.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi 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start_ARG italic_c end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.17">with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex130"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w_{jt}(r,s)=(X_{jt}(r)-\mu_{j}(r))(Y_{t}(s)-E[Y_{t}(s)])-E[(X_{jt}(r)-\mu_{j}(% r))(Y_{t}(s)-E[Y_{t}(s)])]." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex130.m1.11"><semantics id="A1.Ex130.m1.11a"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml">w</mi><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex130.m1.2.2" xref="A1.Ex130.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.4" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.3.3" xref="A1.Ex130.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.4.4" xref="A1.Ex130.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.5.5" xref="A1.Ex130.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.6.6" xref="A1.Ex130.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.4" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.7.7" xref="A1.Ex130.m1.7.7.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex130.m1.8.8" xref="A1.Ex130.m1.8.8.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex130.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3"><minus id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.4"></minus><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex130.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex130.m1.4.4">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex130.m1.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex130.m1.6.6">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.2"></times><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.3"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex130.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex130.m1.7.7">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex130.m1.8.8">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.9.9.cmml" xref="A1.Ex130.m1.9.9">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex130.m1.11.11.1.1.3.3.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex130.m1.10.10.cmml" xref="A1.Ex130.m1.10.10">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex130.m1.11c">w_{jt}(r,s)=(X_{jt}(r)-\mu_{j}(r))(Y_{t}(s)-E[Y_{t}(s)])-E[(X_{jt}(r)-\mu_{j}(% r))(Y_{t}(s)-E[Y_{t}(s)])].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex130.m1.11d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] ) - italic_E [ ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15">Therefore, with <math alttext="f_{mjt}^{*}=\langle X_{jt}-\mu_{j},\psi_{mj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.14.m1.2.2.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times 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Y_{t}-E[Y_{t}],\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.3" 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.2">𝑦</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.4.3.4">𝑡</ci></apply></apply><list id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2c">y_{ljt}=\langle Y_{t}-E[Y_{t}],\psi_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.15.m2.2d">italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex131"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{lj})\rangle=\frac{1}{T}\sum% _{t=1}^{T}\Big{(}f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}]\Big{)}," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex131.m1.1"><semantics id="A1.Ex131.m1.1a"><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex131.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex131.m1.1b"><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.4"></eq><list id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3"><divide id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3"></divide><cn id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1"><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><minus id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex131.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex131.m1.1c">\langle\psi_{mj},(\widetilde{C}_{j}-C_{j})(\gamma_{lj})\rangle=\frac{1}{T}\sum% _{t=1}^{T}\Big{(}f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}]\Big{)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex131.m1.1d">⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.9.p1.18">and the result follows. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma17"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma17.1.1.1">Lemma 17</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma17.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma17.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma17.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma17.p1.1.1">For <math alttext="m\neq l" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1"><neq id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.1"></neq><ci id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1c">m\neq l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma17.p1.1.1.m1.1d">italic_m ≠ italic_l</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex132"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle=\frac{1}{T}% \sum_{t=1}^{T}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}+O_{P}(T^{-1})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex132.m1.1"><semantics id="A1.Ex132.m1.1a"><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><munderover id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mfrac id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1b" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.5" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.3.2" 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id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><msub id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3a" 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xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3"><times id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1"><times id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.2"></times><apply id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex132.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex132.m1.1c">\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle=\frac{1}{T}% \sum_{t=1}^{T}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}+O_{P}(T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex132.m1.1d">⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.10.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5">The eigenpair <math alttext="(\lambda_{mj},\psi_{mj})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2c">(\lambda_{mj},\psi_{mj})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.1.m1.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is defined through the equation <math alttext="D_{j}(\psi_{mj})(r)=\lambda_{mj}\psi_{mj}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml 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italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is symmetric with the property that <math alttext="\langle D_{j}(x),y\rangle=\langle x,D_{j}(y)\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.2.2">𝑦</ci></list><list id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.4.4">𝑥</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6.6.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.3.3">𝑦</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6c">\langle D_{j}(x),y\rangle=\langle x,D_{j}(y)\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.4.m4.6d">⟨ italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) , italic_y ⟩ = ⟨ italic_x , italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) ⟩</annotation></semantics></math> for all <math alttext="x,y\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3"><in id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.1"></in><list id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.2">𝑦</ci></list><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2.3.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2c">x,y\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.5.m5.2d">italic_x , italic_y ∈ italic_H</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex133"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{mj}\langle\psi_{mj},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\langle D_{j}(\psi_{mj% }),\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\langle\psi_{mj},D_{j}(\widehat{\psi}_{lj})\rangle." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex133.m1.1"><semantics id="A1.Ex133.m1.1a"><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.8" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.9" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.6.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.3" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex133.m1.1.1.1.1.5.1.1.3.1" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ⟨ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7">The sample eigenpair <math alttext="(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2b"><interval closure="open" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2c">(\widehat{\lambda}_{lj},\widehat{\psi}_{lj})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.6.m1.2d">( over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is defined through the equation <math alttext="\widehat{D}_{j}(\widehat{\psi}_{lj})(r)=\widehat{\lambda}_{lj}\widehat{\psi}_{% lj}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.7.m2.3.3.3.1" 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Then,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx44"> <tbody id="A1.Ex134"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{mj})\langle s_{mj}\psi_{mj},% \widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex134.m1.3"><semantics id="A1.Ex134.m1.3a"><mrow id="A1.Ex134.m1.3.3" xref="A1.Ex134.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex134.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex136"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\lambda}_{lj}\widehat{\psi}_{lj% }\rangle-\lambda_{mj}\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex136.m1.4"><semantics id="A1.Ex136.m1.4a"><mrow id="A1.Ex136.m1.4.4" xref="A1.Ex136.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.4.4.6" xref="A1.Ex136.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex136.m1.4.4.5" xref="A1.Ex136.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.4.4.4" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1" 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xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex136.m1.4.4.4.5" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.5.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.2" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.1" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.3" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.4.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex136.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.3.3" 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encoding="MathML-Content" id="A1.Ex136.m1.4b"><apply id="A1.Ex136.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex136.m1.4.4"><eq id="A1.Ex136.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex136.m1.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex136.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex136.m1.4.4.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex136.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4"><minus id="A1.Ex136.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex136.m1.4.4.4.5"></minus><list id="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex136.m1.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex136.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times 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class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{D}_{j}(\widehat{\psi}_{lj})% \rangle-\langle s_{mj}\psi_{mj},D_{j}(\widehat{\psi}_{lj})\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex137.m1.4"><semantics id="A1.Ex137.m1.4a"><mrow id="A1.Ex137.m1.4.4" xref="A1.Ex137.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex137.m1.4.4.6" xref="A1.Ex137.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex137.m1.4.4.5" xref="A1.Ex137.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex137.m1.4.4.4" xref="A1.Ex137.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex137.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex137.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex137.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex137.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex137.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex137.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex137.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex137.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex137.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" 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italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ - ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex138"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{% lj})\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex138.m1.2"><semantics id="A1.Ex138.m1.2a"><mrow id="A1.Ex138.m1.2.2" xref="A1.Ex138.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex138.m1.2.2.4" xref="A1.Ex138.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex138.m1.2.2.3" xref="A1.Ex138.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.1" 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id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" 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xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2"><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex138.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex138.m1.2c">\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{% lj})\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex138.m1.2d">= ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex139"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(s_{lj}\psi_{lj})% \rangle+\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_% {lj}\psi_{lj})\rangle," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex139.m1.1"><semantics id="A1.Ex139.m1.1a"><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.5" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.4" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex139.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex139.m1.1b"><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4"><plus id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.5"></plus><list id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></list><list id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2"><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex139.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex139.m1.1c">\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(s_{lj}\psi_{lj})% \rangle+\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_% {lj}\psi_{lj})\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex139.m1.1d">= ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ + ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.14">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex140"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}% \psi_{lj})\rangle|\leq\|(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi% _{lj})\|\leq\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\|_{\mathcal{S}}\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj% }\psi_{lj}\|" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex140.m1.4"><semantics id="A1.Ex140.m1.4a"><mrow id="A1.Ex140.m1.4.4" xref="A1.Ex140.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi 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id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.4.4.6" xref="A1.Ex140.m1.4.4.6.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">D</mi><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.4.4.7" xref="A1.Ex140.m1.4.4.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex140.m1.4.4.4" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1" 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xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex140.m1.4b"><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4"><and id="A1.Ex140.m1.4.4a.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4"></and><apply 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id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></list></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1"><times id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.3"></times><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3"><times id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.2.2.2.1.1.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.4.4c.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4"><leq id="A1.Ex140.m1.4.4.7.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex140.m1.2.2.2.cmml" id="A1.Ex140.m1.4.4d.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4"></share><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4"><times id="A1.Ex140.m1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.3"></times><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.2">𝐷</ci><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.3.3.3.1.3">𝒮</ci></apply><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1"><minus id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.2.1.cmml" 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xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex140.m1.4.4.4.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex140.m1.4c">|\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}% \psi_{lj})\rangle|\leq\|(\widehat{D}_{j}-D_{j})(\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi% _{lj})\|\leq\|\widehat{D}_{j}-D_{j}\|_{\mathcal{S}}\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj% }\psi_{lj}\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex140.m1.4d">| ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ | ≤ ∥ ( over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ ≤ ∥ over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_S end_POSTSUBSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8">which is <math alttext="O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1c">O_{P}(T^{-1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.8.m1.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> by the consistency of the primitives. Therefore, with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma16" title="Lemma 16. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx45"> <tbody id="A1.Ex141"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{mj})\langle s_{mj}\psi_{mj},% \widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex141.m1.3"><semantics id="A1.Ex141.m1.3a"><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.4" xref="A1.Ex141.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.4" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex141.m1.3b"><apply id="A1.Ex141.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3"><times id="A1.Ex141.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.4"></times><apply id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci 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id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex141.m1.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2"><minus id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3"><times id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex141.m1.3.3.3.2.2.2.3.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex142"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\langle s_{mj}\psi_{mj},(\widehat{D}_{j}-D_{j})(s_{lj}\psi_{lj})% \rangle+O_{P}(T^{-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex142.m1.3"><semantics id="A1.Ex142.m1.3a"><mrow id="A1.Ex142.m1.3.3" xref="A1.Ex142.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex142.m1.3.3.5" 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id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex142.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" 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xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex142.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub 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id="A1.Ex143"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}s_{lj}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-% E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}% (T^{-1})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex143.m1.1"><semantics id="A1.Ex143.m1.1a"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.3a" 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id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex143.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex143.m1.1b"><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2"><plus id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" 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xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex143.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex143.m1.1c">\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}s_{lj}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-% E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}% (T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex143.m1.1d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) + ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13">This term is <math alttext="O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1c">O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.9.m1.1d">italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> because <math alttext="(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_% {mjt}])" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi 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xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi 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id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.10.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci 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italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) + ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] )</annotation></semantics></math> is mean zero <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1a"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1b"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.11.m3.1.1.cmml" 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stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1"><divide id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.2"></divide><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.3">𝜈</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝜈</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1c">-\nu/(\nu-2)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.12.m4.1d">- italic_ν / ( italic_ν - 2 )</annotation></semantics></math> and satisfies the conditions for the central limit theorem for alpha-mixing sequences. Therefore, with <math alttext="|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}|=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1"><abs id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2"><times id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2c">|\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj}|=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.13.m5.2d">| over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT | = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex144"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="(\widehat{\lambda}_{lj}-\lambda_{lj})\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}_{% lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle=O_{P}(T^{-1})," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex144.m1.1"><semantics id="A1.Ex144.m1.1a"><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex144.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex144.m1.1b"><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><list id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.3.3.2"><apply id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><times id="A1.Ex144.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.15">and we get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx46"> <tbody id="A1.Ex145"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(\lambda_{lj}-\lambda_{mj})\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}% _{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex145.m1.3"><semantics id="A1.Ex145.m1.3a"><mrow id="A1.Ex145.m1.3.3" xref="A1.Ex145.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex145.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex145.m1.3.3.4" xref="A1.Ex145.m1.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2" xref="A1.Ex145.m1.3.3.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex145.m1.3.3.3.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex145.m1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.4" xref="A1.Ex145.m1.3.3.3.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.2" xref="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex145.m1.3.3.3.2.2.2.2" 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end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex146"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}s_{lj}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-% E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}% (T^{-1})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex146.m1.1"><semantics id="A1.Ex146.m1.1a"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" 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minsize="160%" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex146.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex146.m1.1b"><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2"><plus id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1"><times 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xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" 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id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply 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id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"></minus><cn id="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex146.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex146.m1.1c">\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}s_{lj}\Big{(}(f_{mjt}^{*}y_{ljt}-% E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])+(f_{ljt}^{*}y_{mjt}-E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])\Big{)}+O_{P}% (T^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex146.m1.1d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) + ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ) ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.10.p1.16">Then, the result follows. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma18"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma18.1.1.1">Lemma 18</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma18.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma18.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma18.p1.1"><math alttext="\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\varepsilon_{jt}^{*},s_{lj}\psi_{lj}-% \widehat{\psi}_{lj}\rangle=O_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma18.p1.1.m1.3"><semantics id="Thmlemma18.p1.1.m1.3a"><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><msubsup id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="Thmlemma18.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><msub id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2.3" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.1" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.3.2" xref="Thmlemma18.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo 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start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma18.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.11.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7">With <math alttext="\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[X_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi 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xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.5.2" 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id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.2.3">𝑏</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.2">𝛽</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.1.1.4.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.1.1.cmml" 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xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5.5.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5c">\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,q)E[X_{jt}(q)\varepsilon_{jt}(s)]\,\mathrm{d}q=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.1.m1.5d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_q ) italic_E [ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] roman_d italic_q = 0</annotation></semantics></math> it follows that <math alttext="E[f_{mjt}^{*}\varepsilon_{jt}(s)]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.1.1">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2c">E[f_{mjt}^{*}\varepsilon_{jt}(s)]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.2.m2.2d">italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ] = 0</annotation></semantics></math>. Further, because <math alttext="f_{mjt}^{*}=f_{mjt}+\langle\varepsilon_{jt},\psi_{mj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.4.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2b"><apply 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id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2c">f_{mjt}^{*}=f_{mjt}+\langle\varepsilon_{jt},\psi_{mj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.3.m3.2d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> and <math alttext="\varepsilon_{jt}^{*}(s)=\varepsilon_{jt}(s)-\sum_{m=1}^{K_{j}}\langle% \varepsilon_{jt},\psi_{mj}\rangle\psi_{mj}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2" 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xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.3" rspace="0.055em" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.2" rspace="0em" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msubsup><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.5.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5"><eq id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.4.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2"><minus id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.3"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3"></times><list id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5.5.2.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5c">\varepsilon_{jt}^{*}(s)=\varepsilon_{jt}(s)-\sum_{m=1}^{K_{j}}\langle% \varepsilon_{jt},\psi_{mj}\rangle\psi_{mj}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.4.m4.5d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) = italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> we have <math alttext="E[f_{mjt}^{*}\varepsilon_{jt}^{*}(s)]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.2"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.1.1">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2c">E[f_{mjt}^{*}\varepsilon_{jt}^{*}(s)]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.5.m5.2d">italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ] = 0</annotation></semantics></math>. Therefore, <math alttext="z_{t}^{*}\varepsilon_{jt}^{*}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.2.3.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1c">z_{t}^{*}\varepsilon_{jt}^{*}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.6.m6.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> is a zero mean alpha-mixing sequence of order <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1"><minus id="A1.SS4.SSS1.11.p1.7.m7.1.1.2.cmml" 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with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex147"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}\bigg{\|}\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}z_{t}^{*}\varepsilon_{jt}% ^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex147.m1.3"><semantics id="A1.Ex147.m1.3a"><mrow id="A1.Ex147.m1.3.3.1" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow 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id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></times></apply><ci id="A1.Ex147.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.1.1">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex147.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex147.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex147.m1.2.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex147.m1.3c">\int_{a}^{b}\bigg{\|}\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}z_{t}^{*}\varepsilon_{jt}% ^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex147.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_s = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.9">which follows by the central limit theorem for alpha-mixing sequences. Furthermore, with Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex148"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{a}^{b}\bigg{\|}\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}% \varepsilon_{jt}^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex148.m1.3"><semantics id="A1.Ex148.m1.3a"><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.2" 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xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex148.m1.2.2" xref="A1.Ex148.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex148.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" 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id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></times></apply><ci id="A1.Ex148.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.1.1">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex148.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex148.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex148.m1.2.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex148.m1.3c">\int_{a}^{b}\bigg{\|}\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}% \varepsilon_{jt}^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex148.m1.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∥ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_s = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8">Consequently, by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.8.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx47"> <tbody id="A1.Ex149"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\varepsilon_{jt}^{*}% ,s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\bigg{\|}_{2}^{2}\leq\|s_{lj}\psi_{% lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\|^{2}\int_{a}^{b}\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}% \widehat{z}_{t}\varepsilon_{jt}^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex149.m1.1"><semantics id="A1.Ex149.m1.1a"><mrow id="A1.Ex149.m1.1b"><mo id="A1.Ex149.m1.1.1" mathsize="210%" rspace="0.167em">∥</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex149.m1.1.2"><munderover id="A1.Ex149.m1.1.2a"><mo id="A1.Ex149.m1.1.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="A1.Ex149.m1.1.2.2.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.2.2.3.2">t</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.2.2.3.1">=</mo><mn id="A1.Ex149.m1.1.2.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex149.m1.1.2.3">T</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex149.m1.1.3"><mover accent="true" id="A1.Ex149.m1.1.3.2"><mi id="A1.Ex149.m1.1.3.2.2">z</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.3.2.1">^</mo></mover><mi id="A1.Ex149.m1.1.3.3">t</mi></msub><mrow id="A1.Ex149.m1.1.4"><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.1" stretchy="false">⟨</mo><msubsup id="A1.Ex149.m1.1.4.2"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.2.2.2">ε</mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.4.2.2.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.2.2.3.2">j</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.2.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.2.2.3.3">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.2.3">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.3">,</mo><msub id="A1.Ex149.m1.1.4.4"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.4.2">s</mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.4.4.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.4.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.4.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.4.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex149.m1.1.4.5"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.5.2">ψ</mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.4.5.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.5.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.5.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.5.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.6">−</mo><msub id="A1.Ex149.m1.1.4.7"><mover accent="true" id="A1.Ex149.m1.1.4.7.2"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.7.2.2">ψ</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.7.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex149.m1.1.4.7.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.7.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.7.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.4.7.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex149.m1.1.4.8" stretchy="false">⟩</mo></mrow><msubsup id="A1.Ex149.m1.1.5"><mo id="A1.Ex149.m1.1.5.2.2" lspace="0em" mathsize="210%" rspace="0.0835em">∥</mo><mn id="A1.Ex149.m1.1.5.2.3">2</mn><mn id="A1.Ex149.m1.1.5.3">2</mn></msubsup><mo id="A1.Ex149.m1.1.6" lspace="0.0835em" rspace="0em">≤</mo><mo id="A1.Ex149.m1.1.7" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><msub id="A1.Ex149.m1.1.8"><mi id="A1.Ex149.m1.1.8.2">s</mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.8.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.8.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.8.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.8.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex149.m1.1.9"><mi id="A1.Ex149.m1.1.9.2">ψ</mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.9.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.9.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.9.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.9.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex149.m1.1.10">−</mo><msub id="A1.Ex149.m1.1.11"><mover accent="true" id="A1.Ex149.m1.1.11.2"><mi id="A1.Ex149.m1.1.11.2.2">ψ</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.11.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex149.m1.1.11.3"><mi id="A1.Ex149.m1.1.11.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.11.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.11.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex149.m1.1.12" stretchy="false">⟩</mo><mo id="A1.Ex149.m1.1.13" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><msup id="A1.Ex149.m1.1.14"><mi id="A1.Ex149.m1.1.14a"></mi><mn id="A1.Ex149.m1.1.14.1">2</mn></msup><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex149.m1.1.15"><mo id="A1.Ex149.m1.1.15a">∫</mo></mstyle><msub id="A1.Ex149.m1.1.16"><mi id="A1.Ex149.m1.1.16a"></mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.16.1">a</mi></msub><msup id="A1.Ex149.m1.1.17"><mi id="A1.Ex149.m1.1.17a"></mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.17.1">b</mi></msup><mo id="A1.Ex149.m1.1.18" lspace="0em" mathsize="210%" rspace="0.167em">∥</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex149.m1.1.19"><mo id="A1.Ex149.m1.1.19a" movablelimits="false">∑</mo></mstyle><msub id="A1.Ex149.m1.1.20"><mi id="A1.Ex149.m1.1.20a"></mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.20.1"><mi id="A1.Ex149.m1.1.20.1.2">t</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.20.1.1">=</mo><mn id="A1.Ex149.m1.1.20.1.3">1</mn></mrow></msub><msup id="A1.Ex149.m1.1.21"><mi id="A1.Ex149.m1.1.21a"></mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.21.1">T</mi></msup><mover accent="true" id="A1.Ex149.m1.1.22"><mi id="A1.Ex149.m1.1.22.2">z</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.22.1">^</mo></mover><msub id="A1.Ex149.m1.1.23"><mi id="A1.Ex149.m1.1.23a"></mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.23.1">t</mi></msub><mi id="A1.Ex149.m1.1.24">ε</mi><msub id="A1.Ex149.m1.1.25"><mi id="A1.Ex149.m1.1.25a"></mi><mrow id="A1.Ex149.m1.1.25.1"><mi id="A1.Ex149.m1.1.25.1.2">j</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.25.1.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.25.1.3">t</mi></mrow></msub><msup id="A1.Ex149.m1.1.26"><mi id="A1.Ex149.m1.1.26a"></mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.26.1">∗</mo></msup><mo id="A1.Ex149.m1.1.27" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.28">s</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.29" stretchy="false">)</mo><mo id="A1.Ex149.m1.1.30" lspace="0em" mathsize="210%" rspace="0.167em">∥</mo><msub id="A1.Ex149.m1.1.31"><mi id="A1.Ex149.m1.1.31a"></mi><mn id="A1.Ex149.m1.1.31.1">2</mn></msub><msup id="A1.Ex149.m1.1.32"><mi id="A1.Ex149.m1.1.32a"></mi><mn id="A1.Ex149.m1.1.32.1">2</mn></msup><mi id="A1.Ex149.m1.1.33" mathvariant="normal">d</mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.34">s</mi><mo id="A1.Ex149.m1.1.35">=</mo><mi id="A1.Ex149.m1.1.36">O</mi><msub id="A1.Ex149.m1.1.37"><mi id="A1.Ex149.m1.1.37a"></mi><mi id="A1.Ex149.m1.1.37.1">P</mi></msub><mo id="A1.Ex149.m1.1.38" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex149.m1.1.39">1</mn><mo id="A1.Ex149.m1.1.40" stretchy="false">)</mo><mo id="A1.Ex149.m1.1.41" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex149.m1.1c">\displaystyle\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\varepsilon_{jt}^{*}% ,s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\bigg{\|}_{2}^{2}\leq\|s_{lj}\psi_{% lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\|^{2}\int_{a}^{b}\bigg{\|}\sum_{t=1}^{T}% \widehat{z}_{t}\varepsilon_{jt}^{*}(s)\bigg{\|}_{2}^{2}\,\mathrm{d}s=O_{P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex149.m1.1d">∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ ∥ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT ∥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT roman_d italic_s = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.11.p1.10">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma19"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma19.1.1.1">Lemma 19</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma19.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma19.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma19.p1.1"><math alttext="\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j% },\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}SE[z_{t}^{*}]s_{% lj}f_{ljt}^{*}+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma19.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.cmml"><mfrac id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.cmml"><mn id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml"><msubsup id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mfrac id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.cmml"><mn id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml"><msubsup id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2a" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2b" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.2.cmml">s</mi><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2c" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.2.cmml">f</mi><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1a" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.4" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml">+</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.3" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.1" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml">(</mo><mn 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id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.2">𝑓</ci><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3"><times id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.3">𝑗</ci><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.4.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.1.1.1.6.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3"><times id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2">𝑜</ci><ci id="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.4.4.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma19.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlemma19.p1.1.m1.1.1">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4c">\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j% },\widehat{\psi}_{lj}\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}SE[z_{t}^{*}]s_{% lj}f_{ljt}^{*}+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma19.p1.1.m1.4d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma19.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.12.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.12.p1.1">We have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx48"> <tbody id="A1.Ex150"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\widehat{% \mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex150.m1.2"><semantics id="A1.Ex150.m1.2a"><mrow id="A1.Ex150.m1.2.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m1.2.2.4" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex150.m1.2.2.4a" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex150.m1.2.2.4.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex150.m1.2.2.4.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m1.2.2.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2.1" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex150.m1.1.1.1.1.1.1.1" 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id="A1.Ex150.m1.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4"><divide id="A1.Ex150.m1.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4"></divide><cn id="A1.Ex150.m1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.2">1</cn><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.3"><root id="A1.Ex150.m1.2.2.4.3a.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.3"></root><ci id="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.4.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2"><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.3.2.3"><eq 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id="A1.Ex150.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex150.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex150.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" 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alttext="\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\bigg{)}\bigg{(}% \frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}\bigg{)}+O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex150.m2.3"><semantics id="A1.Ex150.m2.3a"><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.3.3.5" xref="A1.Ex150.m2.3.3.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.4" xref="A1.Ex150.m2.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><msub id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2a" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1a" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1a" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.4" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3a" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex150.m2.3b"><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3"><eq id="A1.Ex150.m2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex150.m2.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.5">absent</csymbol><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3"><plus id="A1.Ex150.m2.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.4"></plus><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1"><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2"><divide id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2"></divide><cn id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.2">1</cn><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3"><root id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3a.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3"></root><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3"><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3"><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3"><times id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.2"></times><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex150.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex150.m2.3c">\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\bigg{)}\bigg{(}% \frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}\bigg{)}+O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex150.m2.3d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex151"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}\bigg{)}\bigg{(}\frac% {1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}\bigg{)}+O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex151.m1.3"><semantics id="A1.Ex151.m1.3a"><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.3.3.5" xref="A1.Ex151.m1.3.3.5.cmml"></mi><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.4" xref="A1.Ex151.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2a" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1a" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1a" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.4" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3a" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex151.m1.3b"><apply id="A1.Ex151.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3"><eq id="A1.Ex151.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex151.m1.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.5">absent</csymbol><apply id="A1.Ex151.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3"><plus id="A1.Ex151.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.4"></plus><apply id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.cmml" 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xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑆</ci><apply id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1"><times id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.1"></times><apply 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xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2"><times id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex151.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex151.m1.3c">\displaystyle=\bigg{(}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}\bigg{)}\bigg{(}\frac% {1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}\bigg{)}+O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex151.m1.3d">= ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex152"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}E[Sz_{t}^{*}]s_{lj}f_{ljt}^{*}+o% _{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex152.m1.2"><semantics id="A1.Ex152.m1.2a"><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow 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xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1a" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.4" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.3" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.1" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.3.2" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex152.m1.1.1" xref="A1.Ex152.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex152.m1.2b"><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2"><eq id="A1.Ex152.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex152.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1"><plus id="A1.Ex152.m1.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.2"></plus><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1"><times id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3"><divide id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3"><root id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3"></root><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1"><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" 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id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3"><times id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.1.1.1.5.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3"><times id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex152.m1.2.2.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex152.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex152.m1.1.1">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex152.m1.2c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}E[Sz_{t}^{*}]s_{lj}f_{ljt}^{*}+o% _{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex152.m1.2d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_E [ italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.12.p1.2">where we applied Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma14" title="Lemma 14. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a> in the first line, Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> in the second line, and the law of large numbers for alpha-mixing sequences in the third line. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma20"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma20.1.1.1">Lemma 20</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma20.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma20.p1"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex153"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle X_{jt}-\mu_{j},s_{lj}% \psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{% \begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]\frac{s_{mj}g_{lmjt}}{% \lambda_{lj}-\lambda_{mj}}+o_{P}(1)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex153.m1.3"><semantics id="A1.Ex153.m1.3a"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><munderover id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1a" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.4" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1b" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.5" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex153.m1.2.2" xref="A1.Ex153.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex153.m1.3.3.1.2" lspace="0em" 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xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3"><plus id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.2"></plus><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1"><minus id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1"></minus><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3"><divide id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3"><root id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3"></root><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1"><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2"></sum><list id="A1.Ex153.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><neq id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></neq><ci id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.3">𝑆</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5"><divide id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5"></divide><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2"><times 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xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.2">𝑔</ci><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.3">𝑚</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.4">𝑗</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.2.3.3.5">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3"><minus id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.1"></minus><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.cmml" 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xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.1"></times><apply id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex153.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex153.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex153.m1.2.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex153.m1.3c">\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle X_{jt}-\mu_{j},s_{lj}% \psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{% \begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]\frac{s_{mj}g_{lmjt}}{% \lambda_{lj}-\lambda_{mj}}+o_{P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex153.m1.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] divide start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.13.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3">The <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1a"><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1b"><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.1.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>-th regressor function admits the representation <math alttext="X_{jt}(s)-\mu_{j}(s)=(F_{lj}^{*})^{\prime}(\Psi_{j}(s))+\varepsilon_{jt}^{*}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6"><semantics id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6" 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xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.2.m2.6.6.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" 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class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6"><semantics id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.1" 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id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6b"><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6"><eq id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.3"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.4.2.3"></times></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2"><minus id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.3"></minus><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.2.2">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.2">𝜇</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.5.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2"><times id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.6.6.2.2.3"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.13.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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Then,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx49"> <tbody id="A1.Ex154"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle X_{jt}-\mu% _{j},s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex154.m1.2"><semantics id="A1.Ex154.m1.2a"><mrow id="A1.Ex154.m1.2.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex154.m1.2.2.4" xref="A1.Ex154.m1.2.2.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex154.m1.2.2.4a" xref="A1.Ex154.m1.2.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex154.m1.2.2.4.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex154.m1.2.2.4.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex154.m1.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex154.m1.2.2.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex154.m1.2.2.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3a" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.4.2.2" 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id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex154.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex154.m1.2c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle X_{jt}-\mu% _{j},s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex154.m1.2d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex155"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{m=1}^{K_{j}}\widehat{z}_{% t}f_{mjt}^{*}s_{mj}\langle s_{mj}\psi_{mj},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}% \rangle+\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\langle\varepsilon_{jt}% ^{*},s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex155.m1.4"><semantics id="A1.Ex155.m1.4a"><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.6" xref="A1.Ex155.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.5" xref="A1.Ex155.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mn id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.1a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.4" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.5.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.6.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3b" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.5" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4a" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mn id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3a" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex155.m1.4b"><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4"><eq id="A1.Ex155.m1.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex155.m1.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4"><plus id="A1.Ex155.m1.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.5"></plus><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2"><minus id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2"></minus><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4"><divide id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4"></divide><cn id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.2">1</cn><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3"><root id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3a.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3"></root><ci id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.4.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3"><eq 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id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.4.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci 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id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci><apply id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.cmml" 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xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2"><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex155.m1.4.4.4.4.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex155.m1.4c">\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{m=1}^{K_{j}}\widehat{z}_{% 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italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ⟨ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex156"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{\begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\widehat{z}_{t}f_{mjt}^{*}s_{mj}\bigg{(}\frac{1}% {T}\sum_{h=1}^{T}\frac{g_{lmjh}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}\bigg{)}+O_{P}(T^{-% 1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex156.m1.3"><semantics id="A1.Ex156.m1.3a"><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.3.3.4" xref="A1.Ex156.m1.3.3.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1b" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.5" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.5.cmml">h</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex156.m1.3b"><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3"><eq id="A1.Ex156.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex156.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2"><plus id="A1.Ex156.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.3"></plus><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1"><minus id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1"></minus><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" 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id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><neq id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></neq><ci id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex156.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" 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id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">ℎ</ci><cn id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑔</ci><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑚</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.4">𝑗</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.5.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.5">ℎ</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></minus><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3"><times id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2"><times id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex156.m1.3.3.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex156.m1.3c">\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\sum_{\begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\widehat{z}_{t}f_{mjt}^{*}s_{mj}\bigg{(}\frac{1}% {T}\sum_{h=1}^{T}\frac{g_{lmjh}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}\bigg{)}+O_{P}(T^{-% 1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex156.m1.3d">= - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_h = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_h end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.4">where the last step follows from Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma15" title="Lemma 15. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma17" title="Lemma 17. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma18" title="Lemma 18. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>. Furthermore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex157"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}f_{mjt}^{*}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}% Sz_{t}^{*}f_{mjt}^{*}+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})f_{% mjt}^{*}=SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex157.m1.3"><semantics id="A1.Ex157.m1.3a"><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.4" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex157.m1.3.3.4.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.2.cmml"><mn id="A1.Ex157.m1.3.3.4.2.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.4.2.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.4.1" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.4.3" 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xref="A1.Ex157.m1.3.3.4.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.5" xref="A1.Ex157.m1.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.cmml"><munderover id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex157.m1.2.2.1.3.3.2.4" 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id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1" 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id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.6" xref="A1.Ex157.m1.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi 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xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.1" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex157.m1.1.1" xref="A1.Ex157.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex157.m1.3b"><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3"><and id="A1.Ex157.m1.3.3a.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3"></and><apply id="A1.Ex157.m1.3.3b.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3"><eq id="A1.Ex157.m1.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.5"></eq><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.4"><times id="A1.Ex157.m1.3.3.4.1.cmml" 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xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex157.m1.3.3c.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3"><eq id="A1.Ex157.m1.3.3.6.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex157.m1.2.2.1.cmml" id="A1.Ex157.m1.3.3d.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3"></share><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2"><plus id="A1.Ex157.m1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.2"></plus><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1"><times id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.3">𝑆</ci><ci id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.4.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3"><times id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex157.m1.3.3.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex157.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex157.m1.1.1">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex157.m1.3c">\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}f_{mjt}^{*}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}% Sz_{t}^{*}f_{mjt}^{*}+\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(\widehat{z}_{t}-Sz_{t}^{*})f_{% mjt}^{*}=SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex157.m1.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.13.p1.5">by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> and the law of large numbers for alpha-mixing sequences, and the result follows. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma21"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma21.1.1.1">Lemma 21</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma21.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma21.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma21.p1.1"><math alttext="|\widehat{u}_{t}(r)-u_{t}(r)|=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma21.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma21.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" 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xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3a" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma21.p1.1.m1.4b"><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4"><eq id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1"><abs id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.2"></abs><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><minus id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><times id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmlemma21.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" 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id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"></minus><apply id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2"><divide id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma21.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma21.p1.1.m1.4c">|\widehat{u}_{t}(r)-u_{t}(r)|=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma21.p1.1.m1.4d">| over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) | = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma21.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.14.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.14.p1.2">With <math alttext="u_{t}(r)=Y_{t}(r)-(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.14.p1.1.m1.4.4.3.2.2" 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start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx50"> <tbody id="A1.Ex158"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\widehat{u}_{t}(r)-u_{t}(r)|" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex158.m1.3"><semantics id="A1.Ex158.m1.3a"><mrow id="A1.Ex158.m1.3.3.1" xref="A1.Ex158.m1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex158.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex158.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex158.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex158.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" 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xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.2.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3"><ci id="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex158.m2.3.3.1.1.1.3.3.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex158.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex158.m2.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex158.m2.3c">\displaystyle=|(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)-\widehat{z}_{t}^{\prime}\widehat{B}(% r)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex158.m2.3d">= | ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex159"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=|(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t})^{\prime}SB(r)+\widehat{z}_{t}^{% \prime}(SB(r)-\widehat{B}(r))|" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex159.m1.4"><semantics id="A1.Ex159.m1.4a"><mrow id="A1.Ex159.m1.4.4" xref="A1.Ex159.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex159.m1.4.4.3" xref="A1.Ex159.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex159.m1.4.4.2" xref="A1.Ex159.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex159.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex159.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex159.m1.4.4.1.1.2" 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xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex160.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.3" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex160.m1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A1.Ex160.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.5" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.cmml"><msub id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.3" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.3" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1a" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex160.m1.2.2" xref="A1.Ex160.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex160.m1.3.3" xref="A1.Ex160.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.3" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.9" xref="A1.Ex160.m1.8.8.9.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.8.8.5" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.cmml"><msub id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.2" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.3" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.5.2" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3a" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex160.m1.6.6.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1"><minus id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2"><times id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.2.3">𝐵</ci><ci id="A1.Ex160.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.1.1.1.3.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex160.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex160.m1.7.7.4.4.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex160.m1.8.8c.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8"><eq id="A1.Ex160.m1.8.8.9.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex160.m1.7.7.4.cmml" id="A1.Ex160.m1.8.8d.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8"></share><apply id="A1.Ex160.m1.8.8.5.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5"><times id="A1.Ex160.m1.8.8.5.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.2"></times><apply id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex160.m1.8.8.5.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex160.m1.8c">\displaystyle\leq\|Sz_{t}^{*}-\widehat{z}_{t}\|_{2}\|B(r)\|_{2}+\|\widehat{z}_% {t}\|_{2}\|SB(r)-\widehat{B}(r)\|_{2}=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex160.m1.8d">≤ ∥ italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_B ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + ∥ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_S italic_B ( italic_r ) - over^ start_ARG italic_B end_ARG ( italic_r ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.14.p1.3">by the triangle inequality, bounded fourth moments, and Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma12" title="Lemma 12. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma22"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma22.1.1.1">Lemma 22</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma22.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma22.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma22.p1.1"><math alttext="|\widehat{f}_{ljt}-s_{lj}f_{ljt}^{*}|=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma22.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma22.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow 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id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1a" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.4" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3a" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma22.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1"><abs id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" 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xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma22.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma22.p1.1.m1.2c">|\widehat{f}_{ljt}-s_{lj}f_{ljt}^{*}|=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma22.p1.1.m1.2d">| over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT | = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma22.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.15"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.15.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1">With Cauchy-Schwarz, bounded fourth moments, and the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx51"> <tbody id="A1.Ex161"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\widehat{f}_{ljt}-s_{lj}f_{ljt}^{*}|" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex161.m1.1"><semantics id="A1.Ex161.m1.1a"><mrow id="A1.Ex161.m1.1.1.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex161.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi 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xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex161.m2.1b"><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1"><eq id="A1.Ex161.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex161.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1"><abs id="A1.Ex161.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.5"></minus><list id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" 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xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><times id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3"><times id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex161.m2.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml" 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|</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex162"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=|\langle\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+% \langle X_{jt}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\rangle|" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex162.m1.1"><semantics id="A1.Ex162.m1.1a"><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" 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xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex162.m1.1b"><apply id="A1.Ex162.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1"><eq id="A1.Ex162.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex162.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex162.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1"><abs id="A1.Ex162.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.5"></plus><list id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex162.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci 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ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}\|+\|X_{jt}-\mu_{j}\|\|\widehat{% \psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|=O_{P}(T^{-1/2})." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex163.m1.1"><semantics id="A1.Ex163.m1.1a"><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" 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id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi 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xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3a" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex163.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex163.m1.1b"><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1"><and id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1a.cmml" 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xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1"><minus id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3"><times id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" 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id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.2"></times><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex163.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex163.m1.1c">\displaystyle\leq\|\mu_{j}-\widehat{\mu}_{j}\|+\|X_{jt}-\mu_{j}\|\|\widehat{% \psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|=O_{P}(T^{-1/2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex163.m1.1d">≤ ∥ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ + ∥ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.15.p1.2">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma23"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma23.1.1.1">Lemma 23</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma23.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma23.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma23.p1.1"><math alttext="|\widehat{g}_{lmjt}-g_{lmjt}|=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma23.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma23.p1.1.m1.2a"><mrow 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id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.1a" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.4" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.1b" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.5" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1a" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.4" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.4.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1b" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.5" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.1" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.3.2" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma23.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma23.p1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2"><eq id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1"><abs id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.2"></abs><apply id="Thmlemma23.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" 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id="Thmlemma23.p1.1.m1.2d">| over^ start_ARG italic_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT | = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma23.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.16"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.16.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.16.p1.1">Analogously to the proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex164"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\widehat{y}_{ljt}-s_{lj}y_{ljt}|\leq\|E[Y_{t}]-\overline{Y}\|+\|Y_{t}-E[Y_{t}% ]\|\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|=O_{P}(T^{-1/2})," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex164.m1.1"><semantics id="A1.Ex164.m1.1a"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo 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id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.7" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.7.cmml">≤</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3" 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xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.2">norm</csymbol><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1"><minus id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3"><times id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3"><times id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex164.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5"><times id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.2"></times><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex164.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex164.m1.1c">|\widehat{y}_{ljt}-s_{lj}y_{ljt}|\leq\|E[Y_{t}]-\overline{Y}\|+\|Y_{t}-E[Y_{t}% ]\|\|\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj}\|=O_{P}(T^{-1/2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex164.m1.1d">| over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT | ≤ ∥ italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ∥ + ∥ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ∥ ∥ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ∥ = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.16.p1.2">and, therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx52"> <tbody id="A1.Ex165"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{f}_{mjt}\widehat{y}_{ljt}-s_{mj}s_{lj}f_{mjt}^{*}y_{ljt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex165.m1.1"><semantics id="A1.Ex165.m1.1a"><mrow id="A1.Ex165.m1.1.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex165.m1.1.1.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.1a" xref="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.2.3.3.4" 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xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.2" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.1" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.1a" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.4" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex165.m1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex165.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex165.m1.1.1.3.5" 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id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1a" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.4" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.1a" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.4" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.2a" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1a" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1a" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.4" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.7" xref="A1.Ex165.m2.3.3.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.3" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.3.2" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3a" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex165.m2.3b"><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3"><and id="A1.Ex165.m2.3.3a.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3"></and><apply id="A1.Ex165.m2.3.3b.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3"><eq id="A1.Ex165.m2.3.3.6.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex165.m2.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.5">absent</csymbol><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2"><plus id="A1.Ex165.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.3"></plus><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex165.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" 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id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex165.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex165.m2.3.3c.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3"><eq id="A1.Ex165.m2.3.3.7.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex165.m2.2.2.2.cmml" id="A1.Ex165.m2.3.3d.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3"></share><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3"><times id="A1.Ex165.m2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.2"></times><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex165.m2.3.3.3.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex165.m2.3c">\displaystyle=(\widehat{f}_{mjt}-s_{mj}f_{mjt}^{*})\widehat{y}_{ljt}+s_{mj}f_{% mjt}^{*}(\widehat{y}_{ljt}-s_{lj}y_{ljt})=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex165.m2.3d">= ( over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.16.p1.3">by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>, Cauchy-Schwarz, and bounded fourth moments. By similar arguments,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx53"> <tbody id="A1.Ex166"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\overline{f_{mj}y_{lj}}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{f}_{mjt% }\widehat{y}_{ljt}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}f_{mjt}^{*}s_{lj}y_{ljt}+O_{% P}(T^{-1/2})," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex166.m1.1"><semantics id="A1.Ex166.m1.1a"><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1b" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.4" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex166.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml 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id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2"><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2"><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.Ex166.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1"></share><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.4.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.5.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex166.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex166.m1.1c">\displaystyle\overline{f_{mj}y_{lj}}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{f}_{mjt% }\widehat{y}_{ljt}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{mj}f_{mjt}^{*}s_{lj}y_{ljt}+O_{% P}(T^{-1/2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex166.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.16.p1.4">and by the law of large numbers for alpha-mixing sequences,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex167"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\overline{f_{mj}y_{lj}}=s_{mj}s_{lj}E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}]+o_{P}(1)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex167.m1.2"><semantics id="A1.Ex167.m1.2a"><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex167.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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alttext="\displaystyle\widehat{g}_{lmjt}-g_{lmjt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex168.m1.1"><semantics id="A1.Ex168.m1.1a"><mrow id="A1.Ex168.m1.1.1" xref="A1.Ex168.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex168.m1.1.1.2" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex168.m1.1.1.2.2" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex168.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="A1.Ex168.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1a" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.4" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1b" xref="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m1.1.1.2.3.5" 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=(\widehat{f}_{mjt}\widehat{y}_{ljt}-s_{mj}s_{lj}f_{mjt}^{*}y_{% ljt})-(\overline{f_{mj}y_{lj}}-s_{mj}s_{lj}E[f_{mjt}^{*}y_{ljt}])" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex168.m2.2"><semantics id="A1.Ex168.m2.2a"><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.4" xref="A1.Ex168.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" 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id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1a" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2a" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.5" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2b" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex168.m2.2b"><apply id="A1.Ex168.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2"><eq 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xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply 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xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3"><times id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex168.m2.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.4.cmml" 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xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3"><ci id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.1">¯</ci><apply id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2"><times id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex168.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" 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italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex169"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad+(\widehat{f}_{ljt}\widehat{y}_{mjt}-s_{mj}s_{lj}f_{mjt}^{*}% y_{mjt})-(\overline{f_{lj}y_{mj}}-s_{mj}s_{lj}E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex169.m1.2"><semantics id="A1.Ex169.m1.2a"><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1a" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" 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id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi 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xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1a" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1" 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id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1" 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id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mrow id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex169.m1.2b"><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2"><minus id="A1.Ex169.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.3"></minus><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1"><plus id="A1.Ex169.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1"></plus><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑦</ci></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"></times></apply><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3"><times id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1"><minus id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3"><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.1">¯</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.5">𝐸</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex169.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex169.m1.2c">\displaystyle\quad+(\widehat{f}_{ljt}\widehat{y}_{mjt}-s_{mj}s_{lj}f_{mjt}^{*}% y_{mjt})-(\overline{f_{lj}y_{mj}}-s_{mj}s_{lj}E[f_{ljt}^{*}y_{mjt}])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex169.m1.2d">+ ( over^ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_y end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) - ( over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex170"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=o_{P}(1)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex170.m1.2"><semantics id="A1.Ex170.m1.2a"><mrow id="A1.Ex170.m1.2.2.1" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.1" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex170.m1.1.1" xref="A1.Ex170.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex170.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex170.m1.2b"><apply id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1"><eq id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3"><times id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex170.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex170.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex170.m1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex170.m1.2c">\displaystyle=o_{P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex170.m1.2d">= italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.16.p1.6">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma24"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma24.1.1.1">Lemma 24</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma24.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma24.p1"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex171"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)+\sum_{j=1}% ^{J}\bigg{(}SE[z_{t}^{*}](F_{jt}^{*})^{\prime}S_{j}-SE[z_{t}^{*}(F_{jt}^{*})^{% \prime}]G_{jt}\bigg{)}B_{j}(r)+o_{P}(1)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex171.m1.5"><semantics id="A1.Ex171.m1.5a"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex171.m1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml"><munderover id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1b" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.5.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex171.m1.2.2" xref="A1.Ex171.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3b" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3c" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">S</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2b" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex171.m1.3.3" xref="A1.Ex171.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex171.m1.4.4" xref="A1.Ex171.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex171.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex171.m1.5b"><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1"><eq id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.Ex171.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1"><plus id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2"></divide><cn id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3"><root id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3"></root><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.3.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply 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cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.2">𝑆</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑆</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝐺</ci><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex171.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4"><times id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex171.m1.5.5.1.1.1.4.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex171.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="A1.Ex171.m1.4.4">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex171.m1.5c">\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)+\sum_{j=1}% ^{J}\bigg{(}SE[z_{t}^{*}](F_{jt}^{*})^{\prime}S_{j}-SE[z_{t}^{*}(F_{jt}^{*})^{% \prime}]G_{jt}\bigg{)}B_{j}(r)+o_{P}(1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex171.m1.5d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma24.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma24.p1.3.3">and <math alttext="\widetilde{A}(r)=O_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.1" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.3.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml"><msub id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.1" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3"><eq id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2"><times id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.1"></times><apply id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3"><times id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.1"></times><apply id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.2">𝑂</ci><ci id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2c">\widetilde{A}(r)=O_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma24.p1.1.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\widetilde{A}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.2" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.1" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2"><times id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2"><ci id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.1">~</ci><ci id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1c">\widetilde{A}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma24.p1.2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math> is defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E30" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>) and <math alttext="G_{jt}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">G</mi><mrow id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐺</ci><apply id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1c">G_{jt}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma24.p1.3.3.m3.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#A1.E32" title="In Proof. ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">32</span></a>)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.17"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.17.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3">Since <math alttext="\beta_{j}(r)=(B_{j}(r))^{\prime}\Psi_{j}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo 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xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3.2" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4"><eq id="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.1.m1.4.4.2"></eq><apply 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alttext="\int_{a}^{b}\beta_{j}(r,s)X_{jt}(s)\,\mathrm{d}s=(B_{j}(r))^{\prime}F_{jt}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3.cmml">a</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.3.cmml">b</mi></msubsup><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.2.2.2" 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id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5"><eq id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1">subscript</csymbol><int id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.2"></int><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.2.m2.5.5.3.1.3.cmml" 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) roman_d italic_s = ( italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the regression equation can be represented as <math alttext="Y_{t}(r)=(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)+u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><msup id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2a" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.4" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.4.cmml">B</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2b" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4"><eq id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.2"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1"><plus id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.2"></plus><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.2"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4.4.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4c">Y_{t}(r)=(Sz_{t}^{*})^{\prime}SB(r)+u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.3.m3.4d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r ) + italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx55"> <tbody id="A1.Ex172"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}u% _{t}(r)+\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}% _{t})^{\prime}SB(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex172.m1.4"><semantics id="A1.Ex172.m1.4a"><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4" xref="A1.Ex172.m1.4.4.cmml"><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.3.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.3.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.3.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex172.m1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2a" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1a" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.4.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex172.m1.2.2" xref="A1.Ex172.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3a" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" 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id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.4">𝑆</ci><ci id="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex172.m1.4.4.1.1.1.1.5">𝐵</ci><ci id="A1.Ex172.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex172.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex172.m1.4c">\displaystyle\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}u% _{t}(r)+\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}(Sz_{t}^{*}-\widehat{z}% _{t})^{\prime}SB(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex172.m1.4d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_B ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex173"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}u_{t}(r)+\frac{1}% {\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}% \langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+\langle X_{jt}-\mu% _{j},s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\Big{)}s_{lj}\beta_{lj}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex173.m1.3"><semantics id="A1.Ex173.m1.3a"><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.cmml"><munderover id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.1a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.4.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex173.m1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex173.m1.2.2" xref="A1.Ex173.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex173.m1.3b"><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3"><eq id="A1.Ex173.m1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex173.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1"><plus id="A1.Ex173.m1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2"><divide id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2"></divide><cn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.2">1</cn><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3"><root id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3a.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3"></root><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.2.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3"><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.1.2.3.cmml" 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xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex173.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.1.1">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3"><divide id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.3.2">1</cn><apply 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xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" 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xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></plus><list id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2"><minus id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2"><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝛽</ci><apply id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex173.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex173.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex173.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex173.m1.3c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}u_{t}(r)+\frac{1}% {\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\widehat{z}_{t}\sum_{j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}% \langle\widehat{\mu}_{j}-\mu_{j},\widehat{\psi}_{lj}\rangle+\langle X_{jt}-\mu% _{j},s_{lj}\psi_{lj}-\widehat{\psi}_{lj}\rangle\Big{)}s_{lj}\beta_{lj}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex173.m1.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( ⟨ over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex174"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)+\sum_% {j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}SE[z_{t}^{*}]s_{lj}f_{ljt}^{*}-\sum_{\begin{% subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]s_{mj}\frac{g_{lmjt}}{% \lambda_{lj}-\lambda_{mj}}\Big{)}s_{lj}\beta_{lj}(r)\bigg{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex174.m1.4"><semantics id="A1.Ex174.m1.4a"><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex174.m1.4.4.1.3a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">u</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex174.m1.2.2" xref="A1.Ex174.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">J</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msubsup id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><munderover id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">S</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.4.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2b" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2c" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.cmml"><mfrac id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.cmml"><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1b" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.5" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.cmml"><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo 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xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.3"></times></apply></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"></sum><list id="A1.Ex174.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><neq id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></neq><ci id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">𝑆</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.4">𝐸</ci><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" 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xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6"><divide id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6"></divide><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.2">𝑔</ci><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.2.3.1.cmml" 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id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex174.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex174.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex174.m1.4c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}Sz_{t}^{*}u_{t}(r)+\sum_% {j=1}^{J}\sum_{l=1}^{K_{j}}\Big{(}SE[z_{t}^{*}]s_{lj}f_{ljt}^{*}-\sum_{\begin{% subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}SE[z_{t}^{*}f_{mjt}^{*}]s_{mj}\frac{g_{lmjt}}{% \lambda_{lj}-\lambda_{mj}}\Big{)}s_{lj}\beta_{lj}(r)\bigg{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex174.m1.4d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_S italic_E [ italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ] italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex175"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\quad+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex175.m1.1"><semantics id="A1.Ex175.m1.1a"><mrow id="A1.Ex175.m1.1.2" xref="A1.Ex175.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex175.m1.1.2a" xref="A1.Ex175.m1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex175.m1.1.2.2" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex175.m1.1.2.2.1" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex175.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex175.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex175.m1.1.1" xref="A1.Ex175.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex175.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex175.m1.1b"><apply id="A1.Ex175.m1.1.2.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2"><plus id="A1.Ex175.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2"></plus><apply id="A1.Ex175.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2"><times id="A1.Ex175.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex175.m1.1.2.2.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex175.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex175.m1.1.1">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex175.m1.1c">\displaystyle\quad+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex175.m1.1d">+ italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8">where we applied Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma13" title="Lemma 13. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma19" title="Lemma 19. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma20" title="Lemma 20. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>. We have <math alttext="\widetilde{A}(r)=O_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.2.cmml">O</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.1"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.2.2.2">𝐴</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.2">𝑂</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2.2">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2c">\widetilde{A}(r)=O_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.4.m1.2d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math> by the central limit theorem for alpha-mixing sequences because <math alttext="z_{t}^{*}u_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1a" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.2.3"></times></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.2">𝑢</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1c">z_{t}^{*}u_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.5.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>, <math alttext="f_{ljt}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1a"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1a" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1c">f_{ljt}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.6.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="g_{lmjt}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.7.m4.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.7.m4.1a"><msub id="A1.SS4.SSS1.17.p1.7.m4.1.1" 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italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have mean zero and are alpha-mixing of size <math alttext="-\nu/(\nu-2)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1a" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.3.cmml">ν</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.17.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi 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id="Thmlemma25.p1"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex176"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\widehat{z}_{t}% \widehat{u}_{t}(r)+\sum_{j=1}^{J}\overline{z}\widehat{F}_{jt}^{\prime}\widehat% {B}_{j}(r)-\overline{zF_{j}^{\prime}}\widehat{G}_{jt}\widehat{B}_{j}(r)\bigg{)% }+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex176.m1.6"><semantics id="A1.Ex176.m1.6a"><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6" xref="A1.Ex176.m1.6.6.cmml"><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow 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xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex176.m1.2.2" xref="A1.Ex176.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" rspace="0.055em" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.3.cmml">J</mi></munderover><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1a" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1b" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.5.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex176.m1.3.3" xref="A1.Ex176.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">B</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex176.m1.4.4" xref="A1.Ex176.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.3" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.1" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.3.2" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex176.m1.5.5" xref="A1.Ex176.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex176.m1.6b"><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6"><eq id="A1.Ex176.m1.6.6.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.2"></eq><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3"><times id="A1.Ex176.m1.6.6.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.1"></times><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2"><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.1">~</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.3.2.2">𝐴</ci></apply><ci 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id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply 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id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2"><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex176.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑧</ci><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2"><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝐵</ci></apply><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex176.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex176.m1.4.4">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3"><times id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex176.m1.6.6.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex176.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="A1.Ex176.m1.5.5">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex176.m1.6c">\widetilde{A}(r)=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\widehat{z}_{t}% \widehat{u}_{t}(r)+\sum_{j=1}^{J}\overline{z}\widehat{F}_{jt}^{\prime}\widehat% {B}_{j}(r)-\overline{zF_{j}^{\prime}}\widehat{G}_{jt}\widehat{B}_{j}(r)\bigg{)% }+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex176.m1.6d">over~ start_ARG italic_A end_ARG ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_z end_ARG over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over¯ start_ARG italic_z italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG over^ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.18"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.18.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1">This follows from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma24" title="Lemma 24. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a> together with the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, the facts that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex177"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\overline{z}-E[\widehat{z}_{t}]=o_{P}(1),\quad\overline{zF_{j}^{\prime}}-E[% \widehat{z}_{t}\widehat{F}_{jt}^{\prime}]=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex177.m1.4"><semantics id="A1.Ex177.m1.4a"><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" 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xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex177.m1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.3" rspace="1.167em" xref="A1.Ex177.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex177.m1.2.2" xref="A1.Ex177.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex177.m1.4b"><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.3a.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1"><eq id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1"><minus id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3"><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex177.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex177.m1.1.1">1</cn></apply></apply><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2"><eq id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.2"></eq><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1"><minus id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.2"></minus><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3"><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.1">¯</ci><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2"><times id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.1"></times><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.2">𝑧</ci><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1"><times id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑧</ci></apply><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3"><times id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.1"></times><apply id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex177.m1.4.4.2.2.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex177.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex177.m1.2.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex177.m1.4c">\overline{z}-E[\widehat{z}_{t}]=o_{P}(1),\quad\overline{zF_{j}^{\prime}}-E[% \widehat{z}_{t}\widehat{F}_{jt}^{\prime}]=o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex177.m1.4d">over¯ start_ARG italic_z end_ARG - italic_E [ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) , over¯ start_ARG italic_z italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - italic_E [ over^ start_ARG italic_z end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.18.p1.2">by the law of large numbers for alpha-mixing sequences, and Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma8" title="Lemma 8. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma12" title="Lemma 12. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma21" title="Lemma 21. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma23" title="Lemma 23. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma26"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma26.1.1.1">Lemma 26</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma26.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma26.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma26.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma26.p1.2.2">Let <math alttext="\{v_{ij}\}_{i\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><set id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set><apply id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3"><in id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1c">\{v_{ij}\}_{i\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma26.p1.1.1.m1.1d">{ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an orthonormal basis of <math alttext="span(\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j})^{\perp}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.4" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.5" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.5.cmml">p</mi><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3a" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.6" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.6.cmml">a</mi><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3b" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.7" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.7.cmml">n</mi><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3c" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.4" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.5" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.4" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.4.cmml">⟂</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3"><times id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.3"></times><ci id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.4">𝑠</ci><ci id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.5.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.5">𝑝</ci><ci id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.6.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.6">𝑎</ci><ci id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.7.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.7">𝑛</ci><apply id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2"><apply id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma26.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci 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Then,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex178"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sqrt{T}\langle\widehat{\psi}_{lj},v_{ij}\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^% {T}\frac{1}{\lambda_{lj}}\langle\widehat{\varepsilon}_{jt},v_{ij}\rangle% \langle s_{lj}\gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle+o_{P}(1)." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex178.m1.2"><semantics id="A1.Ex178.m1.2a"><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msqrt id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow 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id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.7" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.cmml"><mn id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.5" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.cmml"><munderover id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.cmml"><mn id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2.cmml">1</mn><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mfrac><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5a" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi 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id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2"></sum><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3"><eq id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5"></times><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6"><divide id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6"></divide><cn id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2">1</cn><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><list id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2"><minus id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2"></minus><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6"><times id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.1"></times><apply id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex178.m1.2.2.1.1.6.6.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex178.m1.1.1.cmml" type="integer" 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end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ⟩ + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.19"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.19.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1">With <math alttext="\widehat{D}_{j}=\widehat{C}_{j}\widehat{C}_{j}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1"><eq id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝐷</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1c">\widehat{D}_{j}=\widehat{C}_{j}\widehat{C}_{j}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex179"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\widehat{\psi}_{lj},v_{ij}\rangle=\frac{1}{\widehat{\lambda}_{lj}}% \langle\widehat{D}_{j}(\widehat{\psi}_{lj}),v_{ij}\rangle=\frac{1}{\widehat{% \lambda}_{lj}}\langle\widehat{C}_{j}^{*}(\widehat{\psi}_{lj}),\widehat{C}_{j}^% {*}(v_{ij})\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex179.m1.1"><semantics id="A1.Ex179.m1.1a"><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.8" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mn id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml">1</mn><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mfrac><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">D</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.9" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mfrac id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.cmml"><mn id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.2.cmml">1</mn><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.4.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mfrac><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.4" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml"><msubsup id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex179.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex179.m1.1b"><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1"><and id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1"></and><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.8"></eq><list id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2"><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2"><times id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2"><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.2.2">𝐶</ci></apply><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><times id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3"></times></apply><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex179.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex179.m1.1c">\langle\widehat{\psi}_{lj},v_{ij}\rangle=\frac{1}{\widehat{\lambda}_{lj}}% \langle\widehat{D}_{j}(\widehat{\psi}_{lj}),v_{ij}\rangle=\frac{1}{\widehat{% \lambda}_{lj}}\langle\widehat{C}_{j}^{*}(\widehat{\psi}_{lj}),\widehat{C}_{j}^% {*}(v_{ij})\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex179.m1.1d">⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟨ over^ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟨ over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) , over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.4">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex180"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{C}_{j}^{*}(v_{mj})(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\langle\widehat{% \varepsilon}_{jt},v_{ij}\rangle(Y_{t}(r)-\overline{Y}(r)),\quad\widehat{% \varepsilon}_{jt}(s)=X_{jt}(s)-\widehat{\mu}_{j}(s)-\widehat{F}_{jt}^{\prime}% \widehat{\Psi}_{j}(s)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex180.m1.8"><semantics id="A1.Ex180.m1.8a"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.cmml"><mn id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.cmml"><munderover id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.4.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.2.2" xref="A1.Ex180.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.3.3" xref="A1.Ex180.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.4.4" xref="A1.Ex180.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">X</mi><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.5.5" xref="A1.Ex180.m1.5.5.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml">μ</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.6.6" xref="A1.Ex180.m1.6.6.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1a" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.cmml"><msubsup id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.2.cmml">F</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.2.cmml">Ψ</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.1" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.3" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1a" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.4.2" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.cmml"><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex180.m1.7.7" xref="A1.Ex180.m1.7.7.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex180.m1.8.8.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex180.m1.8b"><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.5"></eq><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex180.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.4"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.5"><divide 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xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1"><minus id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.2">𝑌</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2"><eq id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.1"></eq><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex180.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex180.m1.4.4">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3"><minus id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.1"></minus><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex180.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex180.m1.5.5">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.2.2">𝜇</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex180.m1.6.6">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.1"></times><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.2.2">𝐹</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3"><times id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.2.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2"><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.2.2">Ψ</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex180.m1.8.8.1.1.2.2.3.4.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex180.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex180.m1.7.7">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex180.m1.8c">\widehat{C}_{j}^{*}(v_{mj})(r)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\langle\widehat{% \varepsilon}_{jt},v_{ij}\rangle(Y_{t}(r)-\overline{Y}(r)),\quad\widehat{% \varepsilon}_{jt}(s)=X_{jt}(s)-\widehat{\mu}_{j}(s)-\widehat{F}_{jt}^{\prime}% \widehat{\Psi}_{j}(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex180.m1.8d">over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_r ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ( italic_r ) ) , over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - over^ start_ARG italic_μ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - over^ start_ARG italic_F end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG roman_Ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2">and, by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a> and the consistency of <math alttext="\overline{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1a"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1"><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1.1.2">𝑌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1c">\overline{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.2.m1.1d">over¯ start_ARG italic_Y end_ARG</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx56"> <tbody id="A1.Ex181"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{C}_{j}^{*}(\widehat{\psi}_{lj})(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex181.m1.2"><semantics id="A1.Ex181.m1.2a"><mrow id="A1.Ex181.m1.2.2" 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id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex181.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex181.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex181.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex181.m1.2c">\displaystyle\widehat{C}_{j}^{*}(\widehat{\psi}_{lj})(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex181.m1.2d">over^ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\widehat{f}_{ljt}(Y_{t}(r)-\overline{Y}% (r))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex181.m2.3"><semantics id="A1.Ex181.m2.3a"><mrow id="A1.Ex181.m2.3.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex181.m2.3.3.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex181.m2.3.3.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex181.m2.3.3.1" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex181.m2.3.3.1.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex181.m2.3.3.1.3a" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex181.m2.3.3.1.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2a" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex181.m2.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo 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ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])% +O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex182.m1.4"><semantics id="A1.Ex182.m1.4a"><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4" xref="A1.Ex182.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.4.4.4" xref="A1.Ex182.m1.4.4.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3a" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" 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xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.4" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex182.m1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex182.m1.2.2" xref="A1.Ex182.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3a" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex182.m1.4b"><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4"><eq id="A1.Ex182.m1.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.3"></eq><csymbol cd="latexml" 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cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" 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id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex182.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex182.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2"><times id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex182.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex182.m1.4c">\displaystyle=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])% +O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex182.m1.4d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex183"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=s_{lj}\gamma_{lj}(r)+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex183.m1.2"><semantics id="A1.Ex183.m1.2a"><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1a" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.4.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex183.m1.1.1" xref="A1.Ex183.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.cmml"><msub id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.3" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.3.2" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.cmml"><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex183.m1.2.2" xref="A1.Ex183.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex183.m1.2b"><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3"><eq id="A1.Ex183.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex183.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3"><plus id="A1.Ex183.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.1"></plus><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2"><times id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3"><times id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3"><times id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex183.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3"><times id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.1"></times><apply id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex183.m1.2.3.3.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex183.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex183.m1.2.2">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex183.m1.2c">\displaystyle=s_{lj}\gamma_{lj}(r)+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex183.m1.2d">= italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.5">where the last step follows from the law of large numbers for alpha-mixing sequences implying</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex184"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])\overset{p}{\to}% \gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])]." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex184.m1.6"><semantics id="A1.Ex184.m1.6a"><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><munderover id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex184.m1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex184.m1.2.2" xref="A1.Ex184.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml">→</mo><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml">𝑝</mo></mover><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2b" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2c" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex184.m1.3.3" xref="A1.Ex184.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1a" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.4" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex184.m1.4.4" xref="A1.Ex184.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex184.m1.5.5" xref="A1.Ex184.m1.5.5.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex184.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex184.m1.6b"><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1"><eq id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3"><divide id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.3.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" 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xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex184.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex184.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.2.2">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4"><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.1">𝑝</ci><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2">→</ci></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex184.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.2"></times><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" 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xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex184.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex184.m1.4.4">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex184.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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\gamma_{lj}(r)=E[f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E[Y_{t}(r)])].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex184.m1.6d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) overitalic_p start_ARG → end_ARG italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) = italic_E [ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.6">Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex185"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sqrt{T}\langle\widehat{\psi}_{lj},v_{ij}\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^% {T}\frac{1}{\widehat{\lambda}_{lj}}\langle\widehat{\varepsilon}_{jt},v_{ij}% \rangle\langle s_{lj}\gamma_{lj},Y_{t}-\overline{Y}\rangle+o_{P}(1)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex185.m1.2"><semantics id="A1.Ex185.m1.2a"><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msqrt id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.7" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.cmml"><mn id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.6.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.5" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.cmml"><munderover id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.5.3.cmml">T</mi></munderover><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.cmml"><mfrac id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.cmml"><mn id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.2.cmml">1</mn><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.2.cmml">λ</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.6.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mfrac><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5a" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.5" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.cmml"><msub id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.cmml"><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.3" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.1" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.3.2" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.cmml"><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex185.m1.1.1" xref="A1.Ex185.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.3.2.2" stretchy="false" 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xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.5.3.3.3.3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2"><minus id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.1"></minus><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3"><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.1">¯</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.4.4.4.4.2.2.3.2">𝑌</ci></apply></apply></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6"><times id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.1"></times><apply id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex185.m1.2.2.1.1.6.6.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex185.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.Ex185.m1.1.1">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex185.m1.2c">\sqrt{T}\langle\widehat{\psi}_{lj},v_{ij}\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^% {T}\frac{1}{\widehat{\lambda}_{lj}}\langle\widehat{\varepsilon}_{jt},v_{ij}% \rangle\langle s_{lj}\gamma_{lj},Y_{t}-\overline{Y}\rangle+o_{P}(1),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex185.m1.2d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟨ over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ⟩ + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3">and the results follows by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.19.p1.3.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, Cauchy-Schwarz, and bounded fourth moments. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma27"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma27.1.1.1">Lemma 27</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma27.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma27.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma27.p1.1"><math alttext="|\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)-\varepsilon_{jt}^{*}(s)|=O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma27.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma27.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.cmml"><msub id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3.2.cmml">O</mi><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3a" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.3" 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xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3"><times id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2">𝜀</ci><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3"><times id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" 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xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"><minus id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3"></minus><apply id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2"><divide id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma27.p1.1.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma27.p1.1.m1.4c">|\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)-\varepsilon_{jt}^{*}(s)|=O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma27.p1.1.m1.4d">| over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) | = italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma27.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.20"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.20.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1">This follows by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.20.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>, Cauchy-Schwarz, and bounded fourth moments. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma28"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma28.1.1.1">Lemma 28</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma28.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma28.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma28.p1.1"><math alttext="|\widehat{\gamma}_{lj}(s)-s_{lj}\gamma_{lj}(s)|=o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma28.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo 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id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1a" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.4.2" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo 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id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mn id="Thmlemma28.p1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4b"><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4"><eq id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1"><abs id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><minus id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2"><times id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" 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id="Thmlemma28.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3"><times id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3"><times id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3"><times id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3"><times id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.1"></times><apply id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.2">𝑜</ci><ci id="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.4.4.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="Thmlemma28.p1.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma28.p1.1.m1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4c">|\widehat{\gamma}_{lj}(s)-s_{lj}\gamma_{lj}(s)|=o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma28.p1.1.m1.4d">| over^ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) | = italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma28.p1.1.1">.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.21"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.21.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1">By the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma22" title="Lemma 22. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>, Cauchy-Schwarz, and bounded fourth moments,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex186"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\gamma}_{lj}(s)=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{lj}f_{ljt}^{*}(Y_{t}(r)-E% [Y_{t}(r)])+O_{P}(T^{-1/2})," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex186.m1.4"><semantics id="A1.Ex186.m1.4a"><mrow id="A1.Ex186.m1.4.4.1" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.cmml"><msub id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.2" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.1" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.2" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.1" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.3" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.1" 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id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex186.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex186.m1.4b"><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1"><eq id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.1"></times><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2"><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.4.2.2.1.cmml" 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id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑓</ci><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑗</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4.3"></times></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex186.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.Ex186.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2"><times id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.2"></times><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑂</ci><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex186.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ] ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.21.p1.2">and the result follows by the law of large numbers for alpha-mixing sequences. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma29"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma29.1.1.1">Lemma 29</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma29.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma29.p1"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx57"> <tbody id="A1.Ex187"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\psi}_{lj}(s)-s_{lj}\psi_{lj}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex187.m1.3"><semantics id="A1.Ex187.m1.3a"><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3" xref="A1.Ex187.m1.3.3.cmml"><msqrt id="A1.Ex187.m1.3.3.3" xref="A1.Ex187.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.3.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex187.m1.1.1" xref="A1.Ex187.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" 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xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex187.m1.2.2" xref="A1.Ex187.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.4.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex187.m1.3b"><apply id="A1.Ex187.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3"><times id="A1.Ex187.m1.3.3.2.cmml" 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id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3"><times id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex187.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex187.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.3"><times id="A1.Ex187.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="A1.Ex187.m1.3c">\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\psi}_{lj}(s)-s_{lj}\psi_{lj}(s))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex187.m1.3d">square-root start_ARG italic_T end_ARG ( over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex188"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}s_{mj}% \psi_{mj}(s)+\frac{1}{\lambda_{lj}}\varepsilon_{jt}^{*}(s)\langle s_{lj}\gamma% _{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle\rangle\bigg{)}+o_{P}(1)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex188.m1.3"><semantics id="A1.Ex188.m1.3a"><mrow id="A1.Ex188.m1.3b"><mo id="A1.Ex188.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex188.m1.3.5"><mfrac id="A1.Ex188.m1.3.5a"><mn id="A1.Ex188.m1.3.5.2">1</mn><msqrt id="A1.Ex188.m1.3.5.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.5.3.2">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex188.m1.3.6"><munderover id="A1.Ex188.m1.3.6a"><mo id="A1.Ex188.m1.3.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="A1.Ex188.m1.3.6.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.6.2.3.2">t</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.6.2.3.1">=</mo><mn id="A1.Ex188.m1.3.6.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex188.m1.3.6.3">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.1" maxsize="210%" minsize="210%">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex188.m1.3.7.2"><munderover id="A1.Ex188.m1.3.7.2a"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1a"><mtd id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1b"><mrow id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">=</mo><mn id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1c"><mtd id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1d"><mrow id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mi id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">≠</mo><mi id="A1.Ex188.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.2.3.2">K</mi><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.2.3.3">j</mi></msub></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex188.m1.3.7.3"><mfrac id="A1.Ex188.m1.3.7.3a"><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.2">g</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.3">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.1a">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.4">j</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.1b">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.2.3.5">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3"><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.2.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.1">−</mo><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.3.3.3.3.3">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.4"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.4.2">s</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.4.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.4.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.4.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.4.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.5"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.5.2">ψ</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.5.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.5.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.5.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.5.3.3">j</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.6"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex188.m1.2.2">s</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex188.m1.3.7.8"><mfrac id="A1.Ex188.m1.3.7.8a"><mn id="A1.Ex188.m1.3.7.8.2">1</mn><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.8.3.3.3">j</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle><msubsup id="A1.Ex188.m1.3.7.9"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.9.2.2">ε</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.9.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.9.2.3.2">j</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.9.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.9.2.3.3">t</mi></mrow><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.9.3">∗</mo></msubsup><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.10"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.3">s</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.10.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.11"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2.2">s</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.2.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3.2">γ</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3.3"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.3.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.4">,</mo><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.11.5"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.5.2">Y</mi><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.5.3">t</mi></msub><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.6">−</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.7">E</mi><mrow id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8"><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8.1" stretchy="false">[</mo><msub id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8.2"><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8.2.2">Y</mi><mi id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8.2.3">t</mi></msub><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.8.3" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.11.9" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex188.m1.3.7.12" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex188.m1.3.8" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo><mo id="A1.Ex188.m1.3.9">+</mo><mi id="A1.Ex188.m1.3.10">o</mi><msub id="A1.Ex188.m1.3.11"><mi id="A1.Ex188.m1.3.11a"></mi><mi id="A1.Ex188.m1.3.11.1">P</mi></msub><mo id="A1.Ex188.m1.3.12" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex188.m1.3.13">1</mn><mo id="A1.Ex188.m1.3.14" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex188.m1.3c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}s_{mj}% \psi_{mj}(s)+\frac{1}{\lambda_{lj}}\varepsilon_{jt}^{*}(s)\langle s_{lj}\gamma% _{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle\rangle\bigg{)}+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex188.m1.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_s ) ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ⟩ ⟩ ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.22"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.22.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5">Let <math alttext="\{v_{ij}\}_{i\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1a"><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><set id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></set><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3"><in id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.1"></in><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1.1.3.3">ℕ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1c">\{v_{ij}\}_{i\in\mathbb{N}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.1.m1.1d">{ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i ∈ blackboard_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an orthonormal basis of <math alttext="span(\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j})^{\perp}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.4.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.3" 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xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.5" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml">K</mi><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.6" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml">⟂</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3b"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.3"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.4">𝑠</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.5.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.5">𝑝</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.6.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.6">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.7.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.7">𝑛</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2">superscript</csymbol><vector id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></vector><csymbol cd="latexml" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3.3.2.4">perpendicular-to</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3c">span(\psi_{1j},\ldots,\psi_{K_{j}j})^{\perp}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.2.m2.3d">italic_s italic_p italic_a italic_n ( italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT 1 italic_j end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ⟂ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, <math alttext="\{\widehat{\psi}_{lj}\}_{l=1}^{K_{j}}\cup\{v_{il}\}_{l\in\mathbb{N}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.cmml"><msubsup id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" 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id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2">subscript</csymbol><set id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.1.1"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.3.m3.2.2.2.1.1.1.1.cmml" 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id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.1"></times><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.3.3.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.1.1">𝑎</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2.2">𝑏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2c">L^{2}[a,b]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.4.m4.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_a , italic_b ]</annotation></semantics></math>. Using the representation of <math alttext="\sqrt{T}(\widehat{\psi}_{lj}(s)-s_{lj}\psi_{lj}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.cmml"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.2" 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xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.5.m5.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) )</annotation></semantics></math> with respect to this basis, we get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx58"> <tbody id="A1.Ex189"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\psi}_{lj}(s)-s_{lj}\psi_{lj}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex189.m1.3"><semantics id="A1.Ex189.m1.3a"><mrow id="A1.Ex189.m1.3.3" xref="A1.Ex189.m1.3.3.cmml"><msqrt id="A1.Ex189.m1.3.3.3" xref="A1.Ex189.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex189.m1.3.3.3.2" xref="A1.Ex189.m1.3.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex189.m1.3.3.2" xref="A1.Ex189.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex189.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex189.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo 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xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3a" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex190.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.1" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.3" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.5.2" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex190.m1.1.1" xref="A1.Ex190.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.5" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.cmml"><msqrt id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3a" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.1" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.3" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.3a" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.5.2" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex190.m1.2.2" xref="A1.Ex190.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex190.m1.6b"><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6"><eq id="A1.Ex190.m1.6.6.5.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex190.m1.6.6.6.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.6">absent</csymbol><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4"><plus id="A1.Ex190.m1.6.6.4.5.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.5"></plus><apply id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2"><times id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4"><root id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4a.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4"></root><ci id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.4.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2"><apply id="A1.Ex190.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" 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id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.4.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2"><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3"><eq id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity 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xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.5.5.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply 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id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3"><times id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex190.m1.6.6.4.4.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex190.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex190.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex190.m1.6c">\displaystyle=\sqrt{T}\sum_{m=1}^{K_{j}}\langle\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_% {lj},\psi_{mj}\rangle\psi_{mj}(s)+\sqrt{T}\sum_{i=1}^{\infty}\langle\widehat{% \psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj},v_{ij}\rangle v_{ij}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex190.m1.6d">= square-root start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_m = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + square-root start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex191"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sqrt{T}\sum_{\begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\langle\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj},\psi_% {mj}\rangle\psi_{mj}(s)+\sqrt{T}\sum_{i=1}^{\infty}\langle\widehat{\psi}_{lj},% v_{ij}\rangle v_{ij}(s)+O_{P}(T^{-1/2})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex191.m1.8"><semantics id="A1.Ex191.m1.8a"><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8" xref="A1.Ex191.m1.8.8.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.8.8.7" xref="A1.Ex191.m1.8.8.7.cmml"></mi><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.6" xref="A1.Ex191.m1.8.8.6.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8.5" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.cmml"><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.cmml"><msqrt id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3a" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.1" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.3" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.5.2" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex191.m1.2.2" xref="A1.Ex191.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.6" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.cmml"><msqrt id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.4" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.4.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.4.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.cmml"><munderover id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3a" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.3.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex191.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.1" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.3" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.3a" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.5.2" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex191.m1.3.3" xref="A1.Ex191.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.7.7.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.6a" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.6.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.cmml"><msub id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3.2" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3.2.cmml">O</mi><mi id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3.3" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.3.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.2" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.2.cmml">T</mi><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3a" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></msup><mo id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex191.m1.8b"><apply id="A1.Ex191.m1.8.8.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8"><eq id="A1.Ex191.m1.8.8.6.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.6"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex191.m1.8.8.7.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.7">absent</csymbol><apply id="A1.Ex191.m1.8.8.5.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5"><plus id="A1.Ex191.m1.8.8.5.6.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.6"></plus><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2"><times id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4"><root id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4a.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4"></root><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.4.2">𝑇</ci></apply><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2"><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.2.2"></sum><list id="A1.Ex191.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><neq id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></neq><ci id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2"><times id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.3"></times><list id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="A1.Ex191.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" 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id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><apply id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.5.5.2.2.2.2.4.2">𝜓</ci><apply 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cd="ambiguous" id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1">superscript</csymbol><ci id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3"><minus id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3"></minus><apply id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2"><divide id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.1"></divide><cn id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex191.m1.8.8.5.5.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex191.m1.8c">\displaystyle=\sqrt{T}\sum_{\begin{subarray}{c}m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\langle\widehat{\psi}_{lj}-s_{lj}\psi_{lj},\psi_% {mj}\rangle\psi_{mj}(s)+\sqrt{T}\sum_{i=1}^{\infty}\langle\widehat{\psi}_{lj},% v_{ij}\rangle v_{ij}(s)+O_{P}(T^{-1/2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex191.m1.8d">= square-root start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + square-root start_ARG italic_T end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + italic_O start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 / 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex192"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{s_{mj}g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}% s_{mj}\psi_{mj}(s)+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_{lj}}\langle\widehat{% \varepsilon}_{jt},v_{ij}\rangle\langle s_{lj}\gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle v% _{ij}(s)\bigg{)}+o_{P}(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex192.m1.5"><semantics id="A1.Ex192.m1.5a"><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5" xref="A1.Ex192.m1.5.5.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><munderover id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml"><munderover id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">≠</mo><mi id="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.2.cmml">K</mi><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.cmml">j</mi></msub></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mfrac id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml">g</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.3.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.4.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1b" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.5" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.1.cmml">−</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml">ψ</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1b" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.5.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex192.m1.2.2" xref="A1.Ex192.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><munderover id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.3" mathvariant="normal" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.cmml"><mfrac id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.cmml"><mn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.2.cmml">1</mn><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5a" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.cmml">s</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.4" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.3.cmml">E</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5b" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5c" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.8.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.8.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex192.m1.3.3" xref="A1.Ex192.m1.3.3.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.8.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" maxsize="210%" minsize="210%" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.2.cmml">o</mi><mi id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.3" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.1" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.3.2" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.cmml"><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.cmml">(</mo><mn id="A1.Ex192.m1.4.4" xref="A1.Ex192.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex192.m1.5b"><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5"><eq id="A1.Ex192.m1.5.5.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex192.m1.5.5.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1"><plus id="A1.Ex192.m1.5.5.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.2"></plus><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3"><divide id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3"></divide><cn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3"><root id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3a.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3"></root><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.3.3.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1"><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3"><eq id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci 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id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.2">𝐾</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.1"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2"><divide id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2"></divide><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.1"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.2">𝑔</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.3">𝑚</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.4">𝑗</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.5.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.2.3.3.5">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3"><minus id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.1"></minus><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.2.3.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.2">𝜓</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.2">𝑚</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.6.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex192.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4"><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.2"></sum><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3"><eq id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.1"></eq><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.5.3"></infinity></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.5"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6"><divide id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6"></divide><cn id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.2.cmml" type="integer" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.2">1</cn><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.2">𝜆</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.6.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><list id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><list id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2"><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2">𝑠</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2"><minus id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.2"></minus><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.2"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.3">𝐸</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></list><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.2">𝑣</ci><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.1"></times><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.4.7.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex192.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3"><times id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.2">𝑜</ci><ci id="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex192.m1.5.5.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><cn id="A1.Ex192.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="A1.Ex192.m1.4.4">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex192.m1.5c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{s_{mj}g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}% s_{mj}\psi_{mj}(s)+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_{lj}}\langle\widehat{% \varepsilon}_{jt},v_{ij}\rangle\langle s_{lj}\gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle v% _{ij}(s)\bigg{)}+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex192.m1.5d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟨ over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex193"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}s_{mj}% \psi_{mj}(s)+\frac{1}{\lambda_{lj}}\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)\langle s_{lj}% \gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle\rangle\bigg{)}+o_{P}(1)." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="A1.Ex193.m1.3"><semantics id="A1.Ex193.m1.3a"><mrow id="A1.Ex193.m1.3b"><mo id="A1.Ex193.m1.3.4">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex193.m1.3.5"><mfrac id="A1.Ex193.m1.3.5a"><mn id="A1.Ex193.m1.3.5.2">1</mn><msqrt id="A1.Ex193.m1.3.5.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.5.3.2">T</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex193.m1.3.6"><munderover id="A1.Ex193.m1.3.6a"><mo id="A1.Ex193.m1.3.6.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="A1.Ex193.m1.3.6.2.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.6.2.3.2">t</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.6.2.3.1">=</mo><mn id="A1.Ex193.m1.3.6.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="A1.Ex193.m1.3.6.3">T</mi></munderover></mstyle><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.1" maxsize="210%" minsize="210%">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex193.m1.3.7.2"><munderover id="A1.Ex193.m1.3.7.2a"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.2.2.2" movablelimits="false">∑</mo><mtable id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt"><mtr id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1a"><mtd id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1b"><mrow id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">=</mo><mn id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1c"><mtd id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1d"><mrow id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mi id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">≠</mo><mi id="A1.Ex193.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">l</mi></mrow></mtd></mtr></mtable><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.2.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.2.3.2">K</mi><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.2.3.3">j</mi></msub></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex193.m1.3.7.3"><mfrac id="A1.Ex193.m1.3.7.3a"><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.2">g</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.3">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.1a">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.4">j</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.1b">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.2.3.5">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3"><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.2.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.1">−</mo><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.3.3.3.3.3">j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.4"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.4.2">s</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.4.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.4.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.4.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.4.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.5"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.5.2">ψ</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.5.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.5.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.5.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.5.3.3">j</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.6"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex193.m1.2.2">s</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.6.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.7">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex193.m1.3.7.8"><mfrac id="A1.Ex193.m1.3.7.8a"><mn id="A1.Ex193.m1.3.7.8.2">1</mn><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3.2">λ</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.8.3.3.3">j</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.9"><mover accent="true" id="A1.Ex193.m1.3.7.9.2"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.9.2.2">ε</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.9.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.9.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.9.3.2">j</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.9.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.9.3.3">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.10"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.3">s</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.10.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.11"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2.2">s</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.2.3.3">j</mi></mrow></msub><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3.2">γ</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3.3"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.3.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.4">,</mo><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.11.5"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.5.2">Y</mi><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.5.3">t</mi></msub><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.6">−</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.7">E</mi><mrow id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8"><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8.1" stretchy="false">[</mo><msub id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8.2"><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8.2.2">Y</mi><mi id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8.2.3">t</mi></msub><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.8.3" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.11.9" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex193.m1.3.7.12" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex193.m1.3.8" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo><mo id="A1.Ex193.m1.3.9">+</mo><mi id="A1.Ex193.m1.3.10">o</mi><msub id="A1.Ex193.m1.3.11"><mi id="A1.Ex193.m1.3.11a"></mi><mi id="A1.Ex193.m1.3.11.1">P</mi></msub><mo id="A1.Ex193.m1.3.12" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex193.m1.3.13">1</mn><mo id="A1.Ex193.m1.3.14" stretchy="false">)</mo><mo id="A1.Ex193.m1.3.15" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex193.m1.3c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{g_{lmjt}}{\lambda_{lj}-\lambda_{mj}}s_{mj}% \psi_{mj}(s)+\frac{1}{\lambda_{lj}}\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)\langle s_{lj}% \gamma_{lj},Y_{t}-E[Y_{t}]\rangle\rangle\bigg{)}+o_{P}(1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex193.m1.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ⟨ italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_E [ italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ] ⟩ ⟩ ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7">Here, we applied Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma15" title="Lemma 15. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a> in the third line, Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma17" title="Lemma 17. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma26" title="Lemma 26. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a> in the fourth line, and the fact that <math alttext="\langle\widehat{\varepsilon}_{jt},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=0" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2b"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2"><eq id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.3"></eq><list id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2"><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><cn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2c">\langle\widehat{\varepsilon}_{jt},\widehat{\psi}_{lj}\rangle=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.6.m1.2d">⟨ over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = 0</annotation></semantics></math> by construction implying <math alttext="\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)=\sum_{i=1}^{\infty}\langle\widehat{\varepsilon}_% {jt},v_{ij}\rangle v_{ij}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4"><semantics id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4a"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.cmml"><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.cmml"><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.2.cmml">ε</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.1" 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xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.2.cmml">v</mi><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.1" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.3" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.3a" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.5.2" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.cmml"><mo id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.2.2" 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id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.2.2">𝜀</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.2">𝑗</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2"><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.2"></sum><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3"><eq id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.3.3"></infinity></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.3"></times><list id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.3.cmml" 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xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.2.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></list><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.2">𝑣</ci><apply id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3"><times id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.1"></times><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.3.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4.4.2.2.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.2.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.2.2">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4c">\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)=\sum_{i=1}^{\infty}\langle\widehat{\varepsilon}_% {jt},v_{ij}\rangle v_{ij}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.22.p1.7.m2.4d">over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> in the fifth line. Finally, the result follows by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma27" title="Lemma 27. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma30"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma30.1.1.1">Lemma 30</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlemma30.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma30.p1"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A1.EGx59"> <tbody id="A1.Ex194"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sqrt{T}(\widehat{\psi}_{lj}(s)-s_{lj}\psi_{lj}(s))" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex194.m1.3"><semantics id="A1.Ex194.m1.3a"><mrow id="A1.Ex194.m1.3.3" xref="A1.Ex194.m1.3.3.cmml"><msqrt id="A1.Ex194.m1.3.3.3" xref="A1.Ex194.m1.3.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex194.m1.3.3.3.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.3.2.cmml">T</mi></msqrt><mo id="A1.Ex194.m1.3.3.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1" xref="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex194.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" 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id="A1.Ex195.m1.3.7.4.2"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.4.2.2">ψ</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.4.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.4.3"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.4.3.2">m</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.4.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.4.3.3">j</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.5"><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex195.m1.2.2">s</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.5.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.6">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex195.m1.3.7.7"><mfrac id="A1.Ex195.m1.3.7.7a"><mn id="A1.Ex195.m1.3.7.7.2">1</mn><msub id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3"><mover accent="true" id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.2"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.2.2">λ</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.3"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.7.3.3.3">j</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle><msub id="A1.Ex195.m1.3.7.8"><mover accent="true" id="A1.Ex195.m1.3.7.8.2"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.8.2.2">ε</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.8.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.8.3"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.8.3.2">j</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.8.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.8.3.3">t</mi></mrow></msub><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.9"><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.3">s</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.10"><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2"><mover accent="true" id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.2"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.2.2">γ</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.2.1">^</mo></mover><mrow id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.3"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.3.2">l</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.3.1">⁢</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.2.3.3">j</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.3">,</mo><msub id="A1.Ex195.m1.3.7.10.4"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.4.2">Y</mi><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.4.3">t</mi></msub><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.5">−</mo><mover accent="true" id="A1.Ex195.m1.3.7.10.6"><mi id="A1.Ex195.m1.3.7.10.6.2">Y</mi><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.6.1">¯</mo></mover><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.10.7" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex195.m1.3.7.11" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="A1.Ex195.m1.3.8" maxsize="210%" minsize="210%">)</mo><mo id="A1.Ex195.m1.3.9">+</mo><mi id="A1.Ex195.m1.3.10">o</mi><msub id="A1.Ex195.m1.3.11"><mi id="A1.Ex195.m1.3.11a"></mi><mi id="A1.Ex195.m1.3.11.1">P</mi></msub><mo id="A1.Ex195.m1.3.12" stretchy="false">(</mo><mn id="A1.Ex195.m1.3.13">1</mn><mo id="A1.Ex195.m1.3.14" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex195.m1.3c">\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{T}\bigg{(}\sum_{\begin{subarray}{c% }m=1\\ m\neq l\end{subarray}}^{K_{j}}\frac{\widehat{g}_{lmjt}}{\widehat{\lambda}_{lj}% -\widehat{\lambda}_{mj}}\widehat{\psi}_{mj}(s)+\frac{1}{\widehat{\lambda}_{lj}% }\widehat{\varepsilon}_{jt}(s)\langle\widehat{\gamma}_{lj},Y_{t}-\overline{Y}% \rangle\rangle\bigg{)}+o_{P}(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex195.m1.3d">= divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_T end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_m ≠ italic_l end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG over^ start_ARG italic_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT - over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG over^ start_ARG italic_λ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over^ start_ARG italic_ε end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ⟨ over^ start_ARG italic_γ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_j end_POSTSUBSCRIPT , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_Y end_ARG ⟩ ⟩ ) + italic_o start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT ( 1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="A1.SS4.SSS1.23"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="A1.SS4.SSS1.23.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1">This follows from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma29" title="Lemma 29. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a> and by the <math alttext="\sqrt{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1"><semantics id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1a"><msqrt id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1b"><apply id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1"><root id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1c">\sqrt{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS4.SSS1.23.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_T end_ARG</annotation></semantics></math>-consistency of the primitives, Cauchy-Schwarz, bounded fourth moments, and Lemmas <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma23" title="Lemma 23. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">23</span></a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma27" title="Lemma 27. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>, and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#Thmlemma28" title="Lemma 28. ‣ A.4.1 Auxiliary Lemmas for the proof of Theorem 3 ‣ A.4 Proof of Theorem 3 ‣ Appendix A Appendix"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS5"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.5 </span>Specification of the simulated coefficient functions</h3> <div class="ltx_para" id="A1.SS5.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS5.p1.6">The bivariate coefficient functions in the simulation chapter can be expressed in matrix notation as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex196"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\beta_{j}(r,s)=(V(r))^{\prime}\mathcal{B}_{j}V(s)," class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex196.m1.5"><semantics id="A1.Ex196.m1.5a"><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex196.m1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex196.m1.2.2" xref="A1.Ex196.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex196.m1.3.3" xref="A1.Ex196.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">ℬ</mi><mi id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.4" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2b" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.5.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.Ex196.m1.4.4" xref="A1.Ex196.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex196.m1.5.5.1.2" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex196.m1.5b"><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1"><eq id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3"><times id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="A1.Ex196.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.Ex196.m1.2.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1"><times id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="A1.Ex196.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.2">ℬ</ci><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><ci id="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex196.m1.5.5.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="A1.Ex196.m1.4.4.cmml" xref="A1.Ex196.m1.4.4">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex196.m1.5c">\beta_{j}(r,s)=(V(r))^{\prime}\mathcal{B}_{j}V(s),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex196.m1.5d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) = ( italic_V ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_V ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS5.p1.5">where <math alttext="V(r)=(v_{1}(r),v_{2}(r),\ldots,v_{K}(r))^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p1.1.m1.8"><semantics id="A1.SS5.p1.1.m1.8a"><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.cmml"><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.2.cmml">V</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.3.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.cmml"><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.1.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.4" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.4.cmml">=</mo><msup id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml"><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.4" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">v</mi><mn id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.5" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><msub id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.3.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.6" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="A1.SS5.p1.1.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.7" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml"><msub id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.cmml">v</mi><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3.cmml">K</mi></msub><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml"><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="A1.SS5.p1.1.m1.4.4" xref="A1.SS5.p1.1.m1.4.4.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.8" stretchy="false" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.5" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.5.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p1.1.m1.8b"><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8"><eq id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.4.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.4"></eq><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5"><times id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.1"></times><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.5.2">𝑉</ci><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.4.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3">superscript</csymbol><vector id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.4.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3"><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝑣</ci><cn id="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.2.2">𝑟</ci></apply><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2"><times id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.1"></times><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p1.1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.5.5">…</ci><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3"><times id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.1"></times><apply id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.2">𝑣</ci><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.3.3.3.2.3">𝐾</ci></apply><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.4.4">𝑟</ci></apply></vector><ci id="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.5.cmml" xref="A1.SS5.p1.1.m1.8.8.3.5">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p1.1.m1.8c">V(r)=(v_{1}(r),v_{2}(r),\ldots,v_{K}(r))^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p1.1.m1.8d">italic_V ( italic_r ) = ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) , … , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) ) start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <math alttext="K\times 1" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.SS5.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1"><times id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.1"></times><ci id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p1.2.m2.1c">K\times 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p1.2.m2.1d">italic_K × 1</annotation></semantics></math> vector of Fourier basis functions evaluated at <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.SS5.p1.3.m3.1a"><mi id="A1.SS5.p1.3.m3.1.1" xref="A1.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p1.3.m3.1b"><ci id="A1.SS5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.3.m3.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p1.3.m3.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p1.3.m3.1d">italic_r</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathcal{B}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p1.4.m4.1"><semantics id="A1.SS5.p1.4.m4.1a"><msub id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.2" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ℬ</mi><mi id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.3" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p1.4.m4.1b"><apply id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.2">ℬ</ci><ci id="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.4.m4.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p1.4.m4.1c">\mathcal{B}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p1.4.m4.1d">caligraphic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <math alttext="K\times K" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p1.5.m5.1"><semantics id="A1.SS5.p1.5.m5.1a"><mrow id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.2" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.3" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p1.5.m5.1b"><apply id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1"><times id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.1"></times><ci id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.2">𝐾</ci><ci id="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.SS5.p1.5.m5.1.1.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p1.5.m5.1c">K\times K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p1.5.m5.1d">italic_K × italic_K</annotation></semantics></math> matrix.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS5.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.SS5.p2.2">In our implementation, we have two slope functions <math alttext="j=\left\{1,2\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p2.1.m1.2"><semantics id="A1.SS5.p2.1.m1.2a"><mrow id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.2" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.1" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.2.1" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">{</mo><mn id="A1.SS5.p2.1.m1.1.1" xref="A1.SS5.p2.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="A1.SS5.p2.1.m1.2.2" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.2.3" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p2.1.m1.2b"><apply id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3"><eq id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.1"></eq><ci id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.2">𝑗</ci><set id="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.3.3.2"><cn id="A1.SS5.p2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p2.1.m1.1.1">1</cn><cn id="A1.SS5.p2.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p2.1.m1.2.2">2</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p2.1.m1.2c">j=\left\{1,2\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p2.1.m1.2d">italic_j = { 1 , 2 }</annotation></semantics></math> with <math alttext="K=3" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p2.2.m2.1"><semantics id="A1.SS5.p2.2.m2.1a"><mrow id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.1" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p2.2.m2.1b"><apply id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1"><eq id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p2.2.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p2.2.m2.1c">K=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p2.2.m2.1d">italic_K = 3</annotation></semantics></math> for both of them and we set</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.SS5.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex197"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{B}_{1}=\begin{bmatrix}-0.03&0.09&0.15\\ 0.11&-0.94&0.26\\ -0.30&-0.17&0.21\end{bmatrix};\quad\mathcal{B}_{2}=\begin{bmatrix}-0.41&-0.29&% -0.28\\ -0.42&-0.26&0.09\\ -0.73&-0.12&0.15\end{bmatrix}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex197.m1.3"><semantics id="A1.Ex197.m1.3a"><mrow id="A1.Ex197.m1.3.3.1"><mrow id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">ℬ</mi><mn id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex197.m1.1.1.3" xref="A1.Ex197.m1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.3.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1b" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">0.03</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1c" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">0.09</mn></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1d" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">0.15</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1e" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1f" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">0.11</mn></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1g" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">0.94</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1h" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">0.26</mn></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1i" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1j" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">0.30</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1k" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">0.17</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1l" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex197.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">0.21</mn></mtd></mtr></mtable><mo id="A1.Ex197.m1.1.1.3.2" xref="A1.Ex197.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.3a.cmml">;</mo><mrow id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">ℬ</mi><mn id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex197.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.3" xref="A1.Ex197.m1.2.2.2.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.3.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1" rowspacing="0pt" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mtr id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1b" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">0.41</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1c" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1.2" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.2.1.2.cmml">0.29</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1d" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1.2" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.1.3.1.2.cmml">0.28</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1e" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1f" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml">0.42</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1g" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1.2" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.2.1.2.cmml">0.26</mn></mrow></mtd><mtd id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1h" xref="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.cmml"><mn id="A1.Ex197.m1.2.2.1.1.2.3.1" 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start_CELL - 0.42 end_CELL start_CELL - 0.26 end_CELL start_CELL 0.09 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 0.73 end_CELL start_CELL - 0.12 end_CELL start_CELL 0.15 end_CELL end_ROW end_ARG ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.SS5.p3.3">These specific choices of <math alttext="\mathcal{B}_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p3.1.m1.1"><semantics id="A1.SS5.p3.1.m1.1a"><msub id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.2" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.2.cmml">ℬ</mi><mn id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.3" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p3.1.m1.1b"><apply id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.2">ℬ</ci><cn id="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p3.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p3.1.m1.1c">\mathcal{B}_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p3.1.m1.1d">caligraphic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{B}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.SS5.p3.2.m2.1a"><msub id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.2" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.2.cmml">ℬ</mi><mn id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.3" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p3.2.m2.1b"><apply id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.2">ℬ</ci><cn id="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.SS5.p3.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p3.2.m2.1c">\mathcal{B}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p3.2.m2.1d">caligraphic_B start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> ensure that <math alttext="rank(\beta_{j}(r,s))=K" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.SS5.p3.3.m3.3"><semantics id="A1.SS5.p3.3.m3.3a"><mrow id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.cmml"><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.3" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.3.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.4" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.4.cmml">a</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2a" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.5" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.5.cmml">n</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2b" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.6" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.6.cmml">k</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2c" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">β</mi><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.1.1" xref="A1.SS5.p3.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.2.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.2" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mi id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.3" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.3.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.SS5.p3.3.m3.3b"><apply id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3"><eq id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.2"></eq><apply id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1"><times id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.2"></times><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.3.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.3">𝑟</ci><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.4.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.4">𝑎</ci><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.5.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.5">𝑛</ci><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.6.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.6">𝑘</ci><apply id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1"><times id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝛽</ci><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><interval closure="open" id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.2.2">𝑠</ci></interval></apply></apply><ci id="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="A1.SS5.p3.3.m3.3.3.3">𝐾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.SS5.p3.3.m3.3c">rank(\beta_{j}(r,s))=K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.SS5.p3.3.m3.3d">italic_r italic_a italic_n italic_k ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s ) ) = italic_K</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS6"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.6 </span>Functional regression coefficients and confidence regions</h3> <figure class="ltx_figure" id="A1.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf1.g1" src="x9.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1.8.3.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><math alttext="\widehat{\varphi}_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1.4.m1.2"><semantics id="A1.F1.sf1.4.m1.2b"><mrow id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.1" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.2" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1.4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf1.4.m1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1.4.m1.2c"><apply id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3"><times id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.F1.sf1.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf1.4.m1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.4.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1.4.m1.2d">\widehat{\varphi}_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1.4.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="P_{t-1}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3"><minus id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1d">P_{t-1}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1.5.1.m1.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf1.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf2.g1" src="x10.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf2.8.3.1" style="font-size:90%;">((b))</span> </span><math alttext="\widehat{\varphi}_{2}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2.4.m1.2"><semantics id="A1.F1.sf2.4.m1.2b"><mrow id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.1" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.2" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2.4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf2.4.m1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf2.4.m1.2c"><apply id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3"><times id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.F1.sf2.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf2.4.m1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.4.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2.4.m1.2d">\widehat{\varphi}_{2}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2.4.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf2.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="P_{t-2}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3"><minus id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1d">P_{t-2}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2.5.1.m1.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf2.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf3.g1" src="x11.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf3.8.3.1" style="font-size:90%;">((c))</span> </span><math alttext="\widehat{\varphi}_{5}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3.4.m1.2"><semantics id="A1.F1.sf3.4.m1.2b"><mrow id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.1" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.2" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3.4.m1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf3.4.m1.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3.4.m1.2c"><apply id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3"><times id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.2.3">5</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.F1.sf3.4.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf3.4.m1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.4.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3.4.m1.2d">\widehat{\varphi}_{5}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3.4.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf3.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="P_{t-5}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3"><minus id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.2.2.3.3">5</cn></apply></apply><ci id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1d">P_{t-5}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3.5.1.m1.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure A1</span>: </span><span class="ltx_text" id="A1.F1.2.1" style="font-size:90%;">First column panels show the estimated functional regression coefficients of model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). Second and third column panels display the lower and upper confidence regions of the <math alttext="95\%" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.2.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.2.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.2.1.m1.1.1" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A1.F1.2.1.m1.1.1.2" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1.2.cmml">95</mn><mo id="A1.F1.2.1.m1.1.1.1" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.2.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.F1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="A1.F1.2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.2.1.m1.1.1.2">95</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.2.1.m1.1d">95\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.2.1.m1.1e">95 %</annotation></semantics></math> confidence interval. The estimated number of factors used in this analysis are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T2" title="Table 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The underlying German power market data spans all working days between 2012 and 2017.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A1.F1a"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf1a"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf1a.g1" src="x12.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1a.8.3.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4"><semantics id="A1.F1.sf1a.4.m1.4b"><mrow id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.cmml"><msub id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.4" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F1.sf1a.4.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.1" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.2" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1a.4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4c"><apply id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5"><times id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.1"></times><apply id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F1.sf1a.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf1a.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf1a.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf1a.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1a.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1a.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="L_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci 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xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf1a.6.2.m2.1.1.cmml" 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id="A1.F1.sf2a.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F1.sf2a.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F1.sf2a.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf2a.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf2a.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf2a.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf2a.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2a.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,2}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2a.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf2a.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="L_{t-1}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" 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encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1d">L_{t-1}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2a.5.1.m1.1e">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2a.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf3a"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf3a.g1" src="x14.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf3a.8.3.1" style="font-size:90%;">((c))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{1,5}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4"><semantics id="A1.F1.sf3a.4.m1.4b"><mrow id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.cmml"><msub id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.4" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F1.sf3a.4.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.2.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.1" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.2" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3a.4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4c"><apply id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5"><times id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.1"></times><apply id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F1.sf3a.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.2.2.2.2">5</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf3a.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf3a.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf3a.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,5}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3a.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf3a.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="L_{t-5}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">L</mi><mrow id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.2">𝐿</ci><apply id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3"><minus id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.2.2.3.3">5</cn></apply></apply><ci id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1d">L_{t-5}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3a.5.1.m1.1e">italic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3a.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1a.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure A1</span>: </span><span class="ltx_text" id="A1.F1a.2.1" style="font-size:90%;">First column panels show the estimated functional regression coefficients of model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). Second and third column panels display the lower and upper confidence regions of the <math alttext="95\%" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1a.2.1.m1.1"><semantics id="A1.F1a.2.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1a.2.1.m1.1.1" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A1.F1a.2.1.m1.1.1.2" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1.2.cmml">95</mn><mo id="A1.F1a.2.1.m1.1.1.1" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1a.2.1.m1.1c"><apply id="A1.F1a.2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.F1a.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="A1.F1a.2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1a.2.1.m1.1.1.2">95</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1a.2.1.m1.1d">95\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1a.2.1.m1.1e">95 %</annotation></semantics></math> confidence interval. The estimated number of factors used in this analysis are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T2" title="Table 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The underlying German power market data spans all working days between 2012 and 2017 (cont.).</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A1.F1b"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf1b"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf1b.g1" src="x15.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1b.8.3.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4"><semantics id="A1.F1.sf1b.4.m1.4b"><mrow id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.cmml"><msub id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.4" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F1.sf1b.4.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.1" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.2" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1b.4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4c"><apply id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5"><times id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.1"></times><apply id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F1.sf1b.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.1.1.1.1">2</cn><cn id="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf1b.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf1b.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf1b.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{2,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1b.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf1b.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="G_{t}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1c"><apply id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2"><times id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1d">G_{t}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1b.5.1.m1.1e">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf1b.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F1.sf2b"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F1.sf2b.g1" src="x16.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf2b.8.3.1" style="font-size:90%;">((b))</span> </span><math alttext="\widehat{\beta}_{2,2}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4"><semantics id="A1.F1.sf2b.4.m1.4b"><mrow id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.cmml"><msub id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.4" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F1.sf2b.4.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.4.1" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.1" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.2" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.2.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2b.4.m1.3.3" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.2.2" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.4" mathsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.2.3" maxsize="90%" minsize="90%" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4c"><apply id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5"><times id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.1.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.1"></times><apply id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F1.sf2b.4.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.1.1.1.1">2</cn><cn id="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf2b.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf2b.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf2b.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{2,2}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf2b.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 , 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf2b.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="G_{t-1}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.1" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.1" xref="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="A1.F1.sf2b.5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" 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id="A1.F1.sf3b.4.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.4.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F1.sf3b.4.m1.3.3.cmml" xref="A1.F1.sf3b.4.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F1.sf3b.4.m1.4.4.cmml" xref="A1.F1.sf3b.4.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3b.4.m1.4d">\widehat{\beta}_{2,5}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3b.4.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 , 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="A1.F1.sf3b.6.2" style="font-size:90%;">: impact of <math alttext="G_{t-5}(s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1"><semantics id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.2.cmml">G</mi><mrow id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3" 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xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.2">𝐺</ci><apply id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3"><minus id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><cn id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.2.2.3.3">5</cn></apply></apply><ci id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1.1">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1d">G_{t-5}(s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3b.5.1.m1.1e">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_t - 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s )</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{t}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1"><semantics id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1b"><mrow id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.2" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.1" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.1" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1c"><apply id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2"><times id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1d">P_{t}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1.sf3b.6.2.m2.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F1b.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure A1</span>: </span><span class="ltx_text" id="A1.F1b.2.1" style="font-size:90%;">First column panels show the estimated functional regression coefficients of model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.E26" title="In 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). Second and third column panels display the lower and upper confidence regions of the <math alttext="95\%" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F1b.2.1.m1.1"><semantics id="A1.F1b.2.1.m1.1b"><mrow id="A1.F1b.2.1.m1.1.1" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="A1.F1b.2.1.m1.1.1.2" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1.2.cmml">95</mn><mo id="A1.F1b.2.1.m1.1.1.1" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F1b.2.1.m1.1c"><apply id="A1.F1b.2.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.F1b.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1.1">percent</csymbol><cn id="A1.F1b.2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A1.F1b.2.1.m1.1.1.2">95</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F1b.2.1.m1.1d">95\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F1b.2.1.m1.1e">95 %</annotation></semantics></math> confidence interval. The estimated number of factors used in this analysis are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12611v1#S6.T2" title="Table 2 ‣ 6 Application to electricity price curve modeling"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. The underlying German power market data spans all working days between 2012 and 2017 (cont.).</span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="A1.SS7"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">A.7 </span>Functional pointwise p-values</h3> <figure class="ltx_figure" id="A1.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F2.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F2.sf1.g1" src="x18.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F2.sf1.8.4.1" style="font-size:90%;">((a))</span> </span><span class="ltx_text" id="A1.F2.sf1.6.3" style="font-size:90%;">p-value regions for the price regression coefficients <math alttext="\widehat{\varphi}_{1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2"><semantics id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2b"><mrow id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.cmml"><msub id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.1" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.3" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.1" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F2.sf1.4.1.m1.1.1" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.2" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2c"><apply id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3"><times id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.1"></times><apply id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2"><ci id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.3.3.2"><ci id="A1.F2.sf1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.4.1.m1.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2d">\widehat{\varphi}_{1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F2.sf1.4.1.m1.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\widehat{\varphi}_{2}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2"><semantics id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2b"><mrow id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.cmml"><msub id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.1" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.3" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.1" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F2.sf1.5.2.m2.1.1" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.2" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2c"><apply id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3"><times id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.1"></times><apply id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2"><ci id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.2.3">2</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.3.3.2"><ci id="A1.F2.sf1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.5.2.m2.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2d">\widehat{\varphi}_{2}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F2.sf1.5.2.m2.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{\varphi}_{5}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2"><semantics id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2b"><mrow id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.cmml"><msub id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.2.cmml">φ</mi><mo id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.1" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mn id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.3" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.1" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F2.sf1.6.3.m3.1.1" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.1.1.cmml">r</mi><mo id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.2.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.2" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.2.cmml">s</mi><mo id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2c"><apply id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3"><times id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.1"></times><apply id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2"><ci id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.2.2">𝜑</ci></apply><cn id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.2.3">5</cn></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.3.3.2"><ci id="A1.F2.sf1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.1.1">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf1.6.3.m3.2.2">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2d">\widehat{\varphi}_{5}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F2.sf1.6.3.m3.2e">over^ start_ARG italic_φ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A1.F2.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="293" id="A1.F2.sf2.g1" src="x19.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="A1.F2.sf2.8.4.1" style="font-size:90%;">((b))</span> </span><span class="ltx_text" id="A1.F2.sf2.6.3" style="font-size:90%;">p-value regions for the load regression coefficients <math alttext="\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4"><semantics id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4b"><mrow id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.cmml"><msub id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.2" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.1" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F2.sf2.4.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.2" 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xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2"><ci id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.4"><cn id="A1.F2.sf2.4.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.5.3.2"><ci id="A1.F2.sf2.4.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.4.cmml" xref="A1.F2.sf2.4.1.m1.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4d">\widehat{\beta}_{1,1}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F2.sf2.4.1.m1.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\widehat{\beta}_{1,2}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4"><semantics id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4b"><mrow id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.cmml"><msub id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.1" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.4" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F2.sf2.5.2.m2.1.1.1.1" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.4.1" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.1" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F2.sf2.5.2.m2.3.3" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.2.2" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.4" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4c"><apply id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5"><times id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.1"></times><apply id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2"><ci id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.4"><cn id="A1.F2.sf2.5.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.2.2.2.2">2</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.5.3.2"><ci id="A1.F2.sf2.5.2.m2.3.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.4.cmml" xref="A1.F2.sf2.5.2.m2.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4d">\widehat{\beta}_{1,2}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.F2.sf2.5.2.m2.4e">over^ start_ARG italic_β end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r , italic_s )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{\beta}_{1,5}(r,s)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4"><semantics id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4b"><mrow id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.cmml"><msub id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.cmml"><mover accent="true" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.cmml"><mi id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.1" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.4" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mn id="A1.F2.sf2.6.3.m3.1.1.1.1" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.4.1" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.2.cmml">5</mn></mrow></msub><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.1" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.F2.sf2.6.3.m3.3.3" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.3.3.cmml">r</mi><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.2.2" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.4" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.4.cmml">s</mi><mo id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4c"><apply id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5"><times id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.1"></times><apply id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2"><ci id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.1">^</ci><ci id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.2.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.2.2.2">𝛽</ci></apply><list id="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.4"><cn id="A1.F2.sf2.6.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.1.1.1.1">1</cn><cn id="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.2.2.2.2">5</cn></list></apply><interval closure="open" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.5.3.2"><ci id="A1.F2.sf2.6.3.m3.3.3.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.3.3">𝑟</ci><ci id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.4.cmml" xref="A1.F2.sf2.6.3.m3.4.4">𝑠</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.F2.sf2.6.3.m3.4d">\widehat{\beta}_{1,5}(r,s)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" 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style="font-size:90%;">Pointwise p-values from a two-tailed t-test on difference to zero. Dark red color indicates smaller values and the contour lines as defined in the legends indicate significance according to standard alpha levels of 0.01, 0.05 and 0.1.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <div class="ltx_para" id="A1.SS7.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.SS7.p1.1"></p> </div> </section> </section><div about="" class="ltx_rdf" property="dcterms:creator"></div> <div about="" class="ltx_rdf" property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" property="dcterms:title"></div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Fri Mar 14 16:24:07 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>