CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="ru" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Теория групп — Википедия</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ruwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","январь","февраль","март","апрель","май","июнь","июль","август","сентябрь","октябрь","ноябрь","декабрь"],"wgRequestId":"c6e333b8-a9d2-425b-8235-956f65d18e04","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Теория_групп","wgTitle":"Теория групп","wgCurRevisionId":135973703,"wgRevisionId":135973703,"wgArticleId":170188,"wgIsArticle":true, "wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Википедия:Статьи без источников (не распределённые по типам)","Википедия:Нет источников с апреля 2023","Википедия:Статьи с утверждениями без источников более 14 дней","Википедия:Статьи с ненаписанными разделами с декабря 2016 года","Википедия:Статьи с шаблонами недостатков по алфавиту","Википедия:Статьи без сносок с апреля 2023 года","Википедия:Статьи без сносок","Теория групп"],"wgPageViewLanguage":"ru","wgPageContentLanguage":"ru","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Теория_групп","wgRelevantArticleId":170188,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable": true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":135973703,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ru","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ru"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":false,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":50000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q874429","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics": true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.common-site":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.directLinkToCommons","ext.gadget.referenceTooltips", "ext.gadget.logo","ext.gadget.edittop","ext.gadget.navboxDefaultGadgets","ext.gadget.wikibugs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ru&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=ext.gadget.common-site&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <noscript><link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ru&modules=noscript&only=styles&skin=vector"></noscript> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Теория групп — Википедия"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Править" href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Википедия (ru)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ru.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Википедия — Atom-лента" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Теория_групп rootpage-Теория_групп skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Теория групп</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Материал из Википедии — свободной энциклопедии</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти к навигации</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти к поиску</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ru" dir="ltr"><p><b>Теория групп</b> — раздел <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Общая алгебра">общей алгебры</a>, изучающий <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Алгебраическая система">алгебраические структуры</a>, называемые <b><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика)">группами</a></b>, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Кольцо (математика)">кольца</a>, <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">поля</a>, <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Векторное пространство">векторные пространства</a>, являются группами с расширенным набором <a href="/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Операция (математика)">операций</a> и <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Аксиома">аксиом</a>. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован <a href="/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Глоссарий теории групп">собственный глоссарий</a>, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Алгебраическая группа">алгебраические группы</a> и <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">группы Ли</a> — стали самостоятельными областями математики. </p><p>Различные физические системы, такие как <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D1%8B" title="Кристаллы">кристаллы</a> или <a href="/wiki/%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC_%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0" title="Атом водорода">атом водорода</a>, обладают симметриями, которые можно смоделировать <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8" title="Группы симметрии">группами симметрии</a>, таким образом находя важные применения теории групп и тесно связанной с ней <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9" title="Теория представлений">теории представлений</a> в <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Физика">физике</a> и <a href="/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%8F" title="Химия">химии</a>. </p><p>Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> стала полная <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Классификация простых конечных групп">классификация простых конечных групп</a> — результат совместных усилий многих математиков, занимающий более 10 тыс. печатных страниц, основной массив которых опубликован с 1960 по 1980 годы. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ru" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Содержание</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#История"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">История</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Краткое_описание_теории"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Краткое описание теории</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Примеры_групп"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Примеры групп</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Абелевы_группы"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Абелевы группы</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Примеры"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Примеры</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Связанные_определения"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Связанные определения</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Свойства"><span class="tocnumber">4.3</span> <span class="toctext">Свойства</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Конечные_абелевы_группы"><span class="tocnumber">4.4</span> <span class="toctext">Конечные абелевы группы</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Вариации_и_обобщения"><span class="tocnumber">4.5</span> <span class="toctext">Вариации и обобщения</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Гиперболические_группы"><span class="tocnumber">4.6</span> <span class="toctext">Гиперболические группы</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Теория_представлений"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Теория представлений</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Приложения_теории_групп"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Приложения теории групп</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Нерешенные_проблемы_теории_групп"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Нерешенные проблемы теории групп</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Примечания"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Примечания</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Литература"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Литература</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Ссылки"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Ссылки</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="История"><span id=".D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F"></span>История</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=1" title="Редактировать раздел «История»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=1" title="Редактировать код раздела «История»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>У теории групп три исторических корня: теория алгебраических <a href="/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Уравнение">уравнений</a>, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Теория чисел">теория чисел</a> и <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Геометрия">геометрия</a>. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это <a href="/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4" title="Эйлер, Леонард">Леонард Эйлер</a>, <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85" title="Гаусс, Карл Фридрих">Карл Фридрих Гаусс</a>, <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8" title="Лагранж, Жозеф Луи">Жозеф Луи Лагранж</a>, <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9D%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%81_%D0%A5%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%B8%D0%BA" title="Абель, Нильс Хенрик">Нильс Хенрик Абель</a> и <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0,_%D0%AD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82" title="Галуа, Эварист">Эварист Галуа</a>. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">теорией полей</a>, разработав теорию, ныне называемую <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0" title="Теория Галуа">теорией Галуа</a>. </p><p>Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени <i>m</i>, которое имело бы <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" class="mw-redirect" title="Корень уравнения">корнями</a> <i>m</i> корней данного уравнения степени <i>n</i> (<i>m < n</i>). Эту задачу в простых случаях рассмотрел <a href="/wiki/%D0%A5%D1%83%D0%B4%D0%B4%D0%B5,_%D0%98%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD" title="Худде, Иоганн">Худде</a> (1659). В 1740 году <span data-interwiki-lang="en" data-interwiki-article="Nicholas Saunderson"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD,_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D1%81&action=edit&redlink=1" class="new" title="Сондерсон, Николас (страница отсутствует)">Сондерсон</a></span><sup class="noprint" style="font-style:normal; font-weight:normal;"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nicholas_Saunderson" class="extiw" title="en:Nicholas Saunderson"><span title="Nicholas Saunderson — версия статьи «Сондерсон, Николас» на английском языке">[англ.]</span></a></sup> заметил, что нахождение квадратичных множителей <a href="/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" class="mw-redirect" title="Биквадратное уравнение">биквадратных</a> выражений сводится к решению уравнения шестой степени, а Ле Сёр (1748) и <a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3,_%D0%AD%D0%B4%D1%83%D0%B0%D1%80%D0%B4" title="Варинг, Эдуард">Варинг</a> (с 1762 по 1782 годы) развили эту идею. </p><p>Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Перестановка">перестановок</a>, в 1770—1771 годы нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Резольвента алгебраического уравнения">резольвент</a>, с которыми он сталкивался, являются <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Рациональная функция">рациональными функциями</a> от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (<i>Calcul des Combinaisons</i>). Современная ему работа <a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%BB" title="Вандермонд, Александр Теофил">Вандермонда</a> (1770) также предвосхищала развитие теории групп. </p><p><a href="/wiki/%D0%A0%D1%83%D1%84%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B8,_%D0%9F%D0%B0%D0%BE%D0%BB%D0%BE" title="Руффини, Паоло">Паоло Руффини</a> в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп. </p><p>Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что </p> <ol><li>всякая <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика)">функция</a>, <a href="/wiki/%D0%98%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Инвариант (математика)">инвариантная</a> относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот,</li> <li>всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы.</li></ol> <p>Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в <a href="/wiki/1846" class="mw-redirect" title="1846">1846</a> г. не было издано собрание его сочинений. </p><p><a href="/wiki/%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8,_%D0%90%D1%80%D1%82%D1%83%D1%80" title="Кэли, Артур">Артур Кэли</a> и <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8,_%D0%9E%D0%B3%D1%8E%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D1%83%D0%B8" title="Коши, Огюстен Луи">Огюстен Луи Коши</a> стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Изучаемый ими предмет был популяризован <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B5,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%84%D1%80%D0%B5%D0%B4" title="Серре, Жозеф Альфред">Серре</a>, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, <a href="/wiki/%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD,_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%B8_%D0%AD%D0%BD%D0%BC%D0%BE%D0%BD_%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C" title="Жордан, Мари Энмон Камиль">Жорданом</a>, чей труд «Действия над подстановками» (<i>Traité des Substitutions</i>) стал классикой, и <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%82%D1%82%D0%BE,_%D0%9E%D0%B9%D0%B3%D0%B5%D0%BD" title="Нетто, Ойген">Ойгеном Нетто</a> (1882 год). Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики <a href="/wiki/XIX_%D0%B2%D0%B5%D0%BA" title="XIX век">XIX века</a>: <a href="/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0" title="Бертран, Жозеф Луи Франсуа">Бертран</a>, <a href="/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%82,_%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BB%D1%8C" title="Эрмит, Шарль">Эрмит</a>, <a href="/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%83%D1%81,_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3" title="Фробениус, Фердинанд Георг">Фробениус</a>, <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B4" title="Кронекер, Леопольд">Кронекер</a> и <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91,_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4" title="Матьё, Эмиль Леонард">Матьё</a>. </p><p>Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 году <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BA,_%D0%92%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80_%D1%84%D0%BE%D0%BD" title="Дик, Вальтер фон">Вальтером фон Диком</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>В 1884 году <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B8,_%D0%A1%D0%BE%D1%84%D1%83%D1%81" title="Ли, Софус">Софус Ли</a> положил начало изучению как <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9" class="mw-redirect" title="Группа преобразований">групп преобразований</a> того, что мы сейчас называем <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">группами Ли</a> и их <span data-interwiki-lang="en" data-interwiki-article="Discrete group"><a href="/w/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Дискретная подгруппа (страница отсутствует)">дискретными подгруппами</a></span><sup class="noprint" style="font-style:normal; font-weight:normal;"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_group" class="extiw" title="en:Discrete group"><span title="Discrete group — версия статьи «Дискретная подгруппа» на английском языке">[англ.]</span></a></sup>; за его трудами последовали работы <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3,_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC" title="Киллинг, Вильгельм">Киллинга</a>, <span data-interwiki-lang="en" data-interwiki-article="Eduard Study"><a href="/w/index.php?title=%D0%A8%D1%82%D1%83%D0%B4%D0%B8,_%D0%AD%D0%B4%D1%83%D0%B0%D1%80%D0%B4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Штуди, Эдуард (страница отсутствует)">Штуди</a></span><sup class="noprint" style="font-style:normal; font-weight:normal;"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Study" class="extiw" title="en:Eduard Study"><span title="Eduard Study — версия статьи «Штуди, Эдуард» на английском языке">[англ.]</span></a></sup>, <a href="/wiki/%D0%A8%D1%83%D1%80,_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B9" title="Шур, Исай">Шура</a>, <a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%83%D1%80%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Маурер, Людвиг (математик) (страница отсутствует)">Маурера</a> и <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BD,_%D0%AD%D0%BB%D0%B8" class="mw-redirect" title="Картан, Эли">Эли Картана</a>. Теория дискретных групп была разработана <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD,_%D0%A4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D1%81" title="Клейн, Феликс">Клейном</a>, Ли, <a href="/wiki/%D0%9F%D1%83%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B5,_%D0%90%D0%BD%D1%80%D0%B8" title="Пуанкаре, Анри">Пуанкаре</a> и <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%80,_%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BB%D1%8C_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C" class="mw-redirect" title="Пикар, Шарль Эмиль">Пикаром</a> в связи с изучением <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0" class="mw-redirect" title="Модулярная форма">модулярных форм</a> и других объектов. </p><p>В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 годами) была проведена огромная <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%85_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" class="mw-redirect" title="Классификация конечных простых групп">работа по классификации</a> всех конечных <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Простая группа">простых групп</a>, включающая десятки тысяч страниц статей. </p><p>Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD,_%D0%AD%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C" title="Артин, Эмиль">Артин</a>, <a href="/wiki/%D0%9D%D1%91%D1%82%D0%B5%D1%80,_%D0%AD%D0%BC%D0%BC%D0%B8" title="Нётер, Эмми">Эмми Нётер</a>, <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2,_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3" class="mw-redirect" title="Силов, Людвиг">Людвиг Силов</a> и другие. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Краткое_описание_теории"><span id=".D0.9A.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D0.B8.D1.81.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8"></span>Краткое описание теории</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=2" title="Редактировать раздел «Краткое описание теории»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=2" title="Редактировать код раздела «Краткое описание теории»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Cayley_graph_of_F2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cayley_graph_of_F2.svg/150px-Cayley_graph_of_F2.svg.png" decoding="async" width="150" height="150" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cayley_graph_of_F2.svg/225px-Cayley_graph_of_F2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cayley_graph_of_F2.svg/300px-Cayley_graph_of_F2.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1024" /></a><figcaption>Граф свободной группы порядка 2</figcaption></figure> <p>Понятие <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика)">группы</a> возникло в результате формального описания <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Симметрия">симметрии</a> и эквивалентности геометрических объектов. В <a href="/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0" title="Эрлангенская программа">эрлангенской программе</a> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD,_%D0%A4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D1%81" title="Клейн, Феликс">Феликса Клейна</a> изучение <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Геометрия">геометрии</a> было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D0%B0_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" class="mw-redirect" title="Фигура (геометрия)">фигуры</a> на <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" class="mw-redirect" title="Плоскость (геометрия)">плоскости</a>, то группой движений выясняется их равенство. </p><p><b>Определение</b>. Группой называется <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Множество">множество</a> элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам: </p> <ul><li><b>Замкнутость группы относительно операции умножения</b>. Для любых двух элементов группы их произведение является членом той же группы:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1)~~~\forall A,B\in G:~~~\exists C\in G~~~A\cdot B=C;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>C</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1)~~~\forall A,B\in G:~~~\exists C\in G~~~A\cdot B=C;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2f2fbcfd3f119a0217b794952a88fb5e07710f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.155ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1)~~~\forall A,B\in G:~~~\exists C\in G~~~A\cdot B=C;}"></span></dd></dl> <ul><li><b><a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ассоциативность (математика)">Ассоциативность</a> операции умножения</b>. Порядок выполнения умножения несущественен:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2)~~~\forall A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>C</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2)~~~\forall A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7691b6eae8f148386ee38480aeccb5b1829854" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2)~~~\forall A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;}"></span></dd></dl> <ul><li><b>Существование единичного элемента</b>. В группе существует некоторый элемент <i>E</i>, произведение которого с любым элементом <i>A</i> группы даёт тот же самый элемент <i>A</i>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3)~~~\exists E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>E</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mspace width="1em" /> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3)~~~\exists E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426875016c8e88ab35aaebc60d7fb09bd263ef8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3)~~~\exists E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;}"></span></dd></dl> <ul><li><b>Существование обратного элемента</b>. Для любого элемента <i>A</i> группы существует такой элемент <i>A</i><sup>−1</sup>, что их произведение даёт единичный элемент <i>E</i>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4)~~~\forall A\in G:~~~\exists A^{-1}\in G:~~~A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4)~~~\forall A\in G:~~~\exists A^{-1}\in G:~~~A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac33a29cbba74d5c573f4d6a68872c9044f5dd23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.522ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 4)~~~\forall A\in G:~~~\exists A^{-1}\in G:~~~A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E.}"></span></dd></dl> <p>Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют <i>коммутативными</i> или <i>абелевыми</i> группами. Для абелевой группы </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3af0b8aff690334d17c2d05fb1458bd09f7826c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.298ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.}"></span></dd></dl> <p>Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются <i>неабелевыми</i>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists A,B\in G:~~~A\cdot B\not =B\cdot A.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>A</mi> <mo>⋅</mo> <mi>B</mi> <mo>≠</mo> <mi>B</mi> <mo>⋅</mo> <mi>A</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists A,B\in G:~~~A\cdot B\not =B\cdot A.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6e0e8ec7e1709924cefd4d9153921d98e008b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.298ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \exists A,B\in G:~~~A\cdot B\not =B\cdot A.}"></span></dd></dl> <p>Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов. </p><p>Ниже приведён пример таблицы умножения (<a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8" title="Таблица Кэли">таблицы Кэли</a>) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение: </p> <table class="wikitable" width="30%"> <tbody><tr align="center"> <th></th> <th>1</th> <th>−1</th> <th>i</th> <th>−i </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">1</td> <td>1</td> <td>−1</td> <td>i</td> <td>−i </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">−1</td> <td>−1</td> <td>1</td> <td>−i</td> <td>i </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">i</td> <td>i</td> <td>−i</td> <td>−1</td> <td>1 </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">−i</td> <td>−i</td> <td>i</td> <td>1</td> <td>−1 </td></tr></tbody></table> <p>Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга. </p><p>Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется <a href="/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Бесконечная группа">бесконечной группой</a>. </p><p>Когда <a href="/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0" class="mw-redirect" title="Элемент множества">элементы</a> группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">группой Ли</a><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r141254988">.mw-parser-output .ts-fix-template{font-style:normal;font-weight:normal;white-space:nowrap}.mw-parser-output .ts-fix-error{font-size:inherit}@media screen{.mw-parser-output .ts-fix-text{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);box-decoration-break:clone;margin:0 -0.1em;padding:0 0.1em;transition:background 0.1s}.mw-parser-output .ts-fix-text:hover{background:#fee7e6}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .ts-fix-text:hover{background:#4f1312}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .ts-fix-text:hover{background:#4f1312}}@media screen and (hover:hover){.mw-parser-output .ts-fix-comment,.mw-parser-output .ts-fix-commented>a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}</style><sup class="ts-fix-template noprint">[<i><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Википедия:Ссылки на источники"><span title="нет источника (17 апреля 2023)">источник не указан 580 дней</span></a></i>]</sup>. Также говорят, что <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">группа Ли</a> — это группа, множество элементов которой образует гладкое <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5" title="Многообразие">многообразие</a>. С помощью <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">групп Ли</a> как групп <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Симметрия">симметрий</a> находятся решения <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" class="mw-redirect" title="Дифференциальные уравнения">дифференциальных уравнений</a>. </p><p>Группы повсеместно используются в <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">математике</a> и естественных науках, часто для обнаружения внутренней <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Симметрия">симметрии</a> объектов (<a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B2" class="mw-redirect" title="Группа автоморфизмов">группы автоморфизмов</a>). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Множество">множество</a> преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с <a href="/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Бинарная операция">операцией</a> композиции, образуют группу, называемую группой симметрии. </p><p>В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого <a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Полиномиальное уравнения (страница отсутствует)">полиномиального уравнения</a>. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Разрешимая группа">разрешимые группы</a>. </p><p>В <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F" title="Алгебраическая топология">алгебраической топологии</a> группы используются для описания инвариантов <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Топологическое пространство">топологических пространств</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп — <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Фундаментальная группа">фундаментальные группы</a>, <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%B9" class="mw-redirect" title="Группа гомологий">группы гомологий</a> и <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F)#Когомологии" class="mw-redirect" title="Гомология (топология)">когомологий</a>. </p><p>Группы Ли применяются при изучении <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Дифференциальное уравнение">дифференциальных уравнений</a> и <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5" title="Многообразие">многообразий</a>; они сочетают в себе теорию групп и <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Математический анализ">математический анализ</a>. Область анализа, связанная с этими группами, называется <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Гармонический анализ">гармоническим анализом</a>. </p><p>В <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика">комбинаторике</a> понятия <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BA" class="mw-redirect" title="Группа подстановок">группы подстановок</a> и <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B" title="Действие группы">действия группы</a> используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0" title="Лемма Бёрнсайда">лемма Бёрнсайда</a>. </p><p>Понимание теории групп также очень важно для <a href="/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Физика">физики</a> и других естественных наук. В <a href="/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%8F" title="Химия">химии</a> группы используются для классификации <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D1%88%D1%91%D1%82%D0%BA%D0%B0" title="Кристаллическая решётка">кристаллических решёток</a> и симметрий <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D0%B0" title="Молекула">молекул</a>. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B" title="Представление группы">представления групп</a>, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям. </p><p><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика)">Группа</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccc71a6904c5ab99ecaab1c8ed69e20815d66da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\cdot )}"></span> называется <b>циклической</b>, если она <i><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B" title="Порождающее множество группы">порождена</a></i> одним элементом <i>a</i>, то есть все её элементы являются степенями <i>a</i> (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде <i>na</i>, где <i>n</i> — <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Целое число">целое число</a>). Математическое обозначение: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\langle a\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\langle a\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7f578e506b5a149e90ef17675f826d82922584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.964ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=\langle a\rangle }"></span>. </p><p>Говорят, что <b>группа <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> действует на множестве <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span></b>, если задан <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF#Г" class="mw-redirect" title="Словарь терминов теории групп">гомоморфизм</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi :G\to S(M)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi :G\to S(M)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d909fff7eed6b5c801de194c4edd8a729755e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi :G\to S(M)}"></span> из группы <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> в группу <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(M)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(M)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1657f266ca1b3866f5736e8630b590e464d1b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(M)}"></span> всех перестановок множества <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span>. Для краткости <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Phi (g))(m)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Phi (g))(m)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4540cc0ceba32ecd46205e2f55481d59c3fabdb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.262ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Phi (g))(m)}"></span> часто записывают как <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle gm}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle gm}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84191716f5bd4cdd4b96ee2cf6f75b40a8cc0a16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.156ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle gm}"></span> или <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g.m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>.</mo> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g.m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9171bb5af7138674bb4513b511c475cbbf00106e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.19ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g.m}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примеры_групп"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF"></span>Примеры групп</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=3" title="Редактировать раздел «Примеры групп»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=3" title="Редактировать код раздела «Примеры групп»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Простейшей группой является группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элемента 1. Элемент 1 является единичным элементом группы и обратным самому себе:</li></ul> <table class="wikitable" width="12%"> <tbody><tr align="center"> <th></th> <th>1 </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">1</td> <td>1 </td></tr></tbody></table> <ul><li>Следующий простой пример — группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элементов (1, −1). Элемент 1 является единичным элементом группы, оба элемента группы обратны самим себе:</li></ul> <table class="wikitable" width="18%"> <tbody><tr align="center"> <th></th> <th>1</th> <th>−1 </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">1</td> <td>1</td> <td>-1 </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">-1</td> <td>-1</td> <td>1 </td></tr></tbody></table> <ul><li>Группой относительно обычной арифметической операции умножения является множество, состоящее из четырёх элементов (1, −1, i, -i). Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и -i являются обратными друг для друга.</li></ul> <table class="wikitable" width="30%"> <tbody><tr align="center"> <th></th> <th>1</th> <th>−1</th> <th>i</th> <th>-i </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">1</td> <td>1</td> <td>-1</td> <td>i</td> <td>-i </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">-1</td> <td>-1</td> <td>1</td> <td>-i</td> <td>i </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">i</td> <td>i</td> <td>-i</td> <td>-1</td> <td>1 </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">-i</td> <td>-i</td> <td>i</td> <td>1</td> <td>-1 </td></tr></tbody></table> <ul><li>Группой является два поворота пространства на 0° и 180° вокруг одной оси, если произведением двух поворотов считать их последовательное выполнение. Эта группа обычно обозначается <b>C<sub>2</sub></b>. Она изоморфна (то есть тождественна) приведённой выше группе с элементами 1 и −1. Поворот на угол 0°, поскольку он является тождественным, обозначен в таблице буквой E.</li></ul> <table class="wikitable" width="18%"> <tbody><tr align="center"> <th><b>C<sub>2</sub></b></th> <th>E</th> <th>R<sub>180</sub> </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">E</td> <td>E</td> <td>R<sub>180</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>180</sub></td> <td>R<sub>180</sub></td> <td>E </td></tr></tbody></table> <ul><li>Группу вместе с тождественным преобразованием E образует операция инверсии I, которая меняет направление каждого вектора на обратное. Групповой операцией является последовательное выполнение двух инверсий. Эта группа обычно обозначается <b>S<sub>2</sub></b>. Она изоморфна приведённой выше группе C<sub>2</sub>.</li></ul> <table class="wikitable" width="18%"> <tbody><tr align="center"> <th><b>S<sub>2</sub></b></th> <th>E</th> <th>I </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">E</td> <td>E</td> <td>I </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">I</td> <td>I</td> <td>E </td></tr></tbody></table> <ul><li>По аналогии с группой C<sub>2</sub> можно построить группу <b>C<sub>3</sub></b>, состоящую из поворотов плоскости на углы 0°, 120° и 240°. Можно сказать, что группа <b>C<sub>3</sub></b> является группой поворотов, переводящих правильный треугольник сам в себя.</li></ul> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:C3_group.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/d/d7/C3_group.gif/220px-C3_group.gif" decoding="async" width="220" height="78" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/d/d7/C3_group.gif/330px-C3_group.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/d/d7/C3_group.gif 2x" data-file-width="439" data-file-height="156" /></a><figcaption>Элементы группы C<sub>3</sub></figcaption></figure> <table class="wikitable" width="24%"> <tbody><tr align="center"> <th><b>C<sub>3</sub></b></th> <th>E</th> <th>R<sub>120</sub></th> <th>R<sub>240</sub> </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">E</td> <td>E</td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>240</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>E </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>240</sub></td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>E</td> <td>R<sub>120</sub> </td></tr></tbody></table> <ul><li>Если к группе C<sub>3</sub> прибавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>), то мы получим полную группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется <b>D<sub>3</sub></b>.</li></ul> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:D3_group.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/e/e8/D3_group.gif/220px-D3_group.gif" decoding="async" width="220" height="144" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/e/e8/D3_group.gif/330px-D3_group.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/e/e8/D3_group.gif 2x" data-file-width="429" data-file-height="280" /></a><figcaption>Элементы группы D<sub>3</sub></figcaption></figure> <table class="wikitable" width="42%"> <tbody><tr align="center"> <th><b>D<sub>3</sub></b></th> <th>E</th> <th>R<sub>120</sub></th> <th>R<sub>240</sub> </th> <th>R<sub>1</sub></th> <th>R<sub>2</sub></th> <th>R<sub>3</sub> </th></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">E</td> <td>E</td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>240</sub> </td> <td>R<sub>1</sub></td> <td>R<sub>2</sub></td> <td>R<sub>3</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>E </td> <td>R<sub>2</sub></td> <td>R<sub>3</sub></td> <td>R<sub>1</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>240</sub></td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>E</td> <td>R<sub>120</sub> </td> <td>R<sub>3</sub></td> <td>R<sub>1</sub></td> <td>R<sub>2</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>1</sub></td> <td>R<sub>1</sub></td> <td>R<sub>3</sub></td> <td>R<sub>2</sub> </td> <td>E</td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>R<sub>120</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>2</sub></td> <td>R<sub>2</sub></td> <td>R<sub>1</sub></td> <td>R<sub>3</sub> </td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>E</td> <td>R<sub>240</sub> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#EEEEFF">R<sub>3</sub></td> <td>R<sub>3</sub></td> <td>R<sub>2</sub></td> <td>R<sub>1</sub> </td> <td>R<sub>240</sub></td> <td>R<sub>120</sub></td> <td>E </td></tr></tbody></table> <ul><li>Совокупность всех вращений относительно одной оси образуют непрерывную группу, называемую <b>R<sub>2</sub></b>. Её элементы обозначим символами <i>R</i>(<i>a</i>), где <i>a</i> — угол поворота, находящийся в пределах 0 ≤ <i>a</i> < 360°. Для этой группы таблица умножения бесконечна, поэтому группа описывается общей формулой</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> </mtext> </mrow> </mrow> <msup> <mn>360</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0004f41aae4a62e4230501ef7cb834839a2ebd4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.051ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).}"></span></dd></dl> <p>Поскольку результат двух последовательных поворотов вокруг одной оси не зависит от порядка поворотов, группа R<sub>2</sub> является коммутативной. Обратный элемент в группе определяется формулой </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>360</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a7558399408d1fb7da4158c35c5893a87189fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.066ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).}"></span></dd></dl> <ul><li>Группа <b>R<sub>3</sub></b> представляет собой группу всевозможных вращений трёхмерного пространства относительно осей, проходящих через одну точку. Эта группа является группой симметрии сферы. Каждый элемент группы <i>R</i>(α,β,<i>a</i>) задаётся тремя параметрами: α и β — эйлеровы углы, задающие положение оси, <i>a</i> — угол поворота.</li></ul> <ul><li>Группа <b>S<sub><i>n</i></sub></b> или <i>симметрическая</i> группа порядка <i>n</i> — это совокупность <i>n</i>! всевозможных перестановок <i>n</i> элементов. Перестановку удобно обозначать символом</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007f1ffbd876875035f211c00aade6f9d2e5697a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.736ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix}},}"></span></dd></dl> <p>указывающим, что элемент <i>n</i> при перестановке заменяется на элемент <i>p<sub>n</sub></i>. Обратным элементом для элемента <i>P</i> будет элемент </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d70c20495aa9a3941cdaf74b28b7a21f20c3839" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.145ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\\1&2&3&\dots &n\end{pmatrix}}.}"></span></dd></dl> <p>Интересно, что группа <b>S<sub>3</sub></b> изоморфна группе <b>D<sub>3</sub></b>, так как последняя содержит всевозможные преобразования, переводящие треугольник сам в себя, а преобразование треугольника можно задать различными перестановками трёх его вершин: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}};~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}};~R_{240}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>120</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>240</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}};~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}};~R_{240}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2ff353975c50a81cde2e3e8ca9ebd84c453718" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.368ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}};~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}};~R_{240}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}};}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}};~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}};~~~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}};~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}};~~~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a3d76b63b3d9ea9faa67a41838c2701a70ee08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.703ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}};~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}};~~~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.}"></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2" title="Мультипликативная группа кольца вычетов">Мультипликативная группа кольца вычетов</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63043eb6b913833d5514f63b622cd1e6d242e2a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(n)}"></span> (где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> — натуральное число) - группа, образованная <a href="/wiki/%D0%92%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Взаимно простые числа">взаимно простыми</a> с <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> вычетами (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e630a0a2afd001a1ba53b500b3fbbe9d147c12c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"></span>) по модулю <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n.}"></span> Например, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7)\approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mspace width="1em" /> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7)\approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4714d669c395399971dfa49a94a0408c49e47da6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:112.237ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7)\approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Абелевы_группы"><span id=".D0.90.D0.B1.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.B2.D1.8B_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF.D1.8B"></span>Абелевы группы</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=4" title="Редактировать раздел «Абелевы группы»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=4" title="Редактировать код раздела «Абелевы группы»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Абелева</b> группа есть <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика)">группа</a>, в которой <a href="/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Бинарная операция">групповая операция</a> является <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" class="mw-redirect" title="Коммутативная операция">коммутативной</a>; то есть группа <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> абелева если <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=ba}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=ba}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794f6c310259e816eed4a00262d91bf4f53e37c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.553ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=ba}"></span> для любых двух элементов <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,\;b\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,\;b\in G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3b40e10dd0c71125537a27aaeefe9169127a14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,\;b\in G}"></span>. </p><p>Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"></span>. Абелевы группы являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Кольцо (алгебра)">кольца</a>, <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">поля</a> и <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE%D0%BC" title="Модуль над кольцом">модули</a>. Название дано в честь норвежского математика <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9D%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%81_%D0%A5%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%B8%D0%BA" title="Абель, Нильс Хенрик">Абеля</a> за его вклад в исследование групп подстановок. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Примеры"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B"></span>Примеры</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=5" title="Редактировать раздел «Примеры»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=5" title="Редактировать код раздела «Примеры»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Группа параллельных переносов в линейном пространстве.</li> <li>Любая <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Циклическая группа">циклическая группа</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\langle a\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\langle a\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7f578e506b5a149e90ef17675f826d82922584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.964ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=\langle a\rangle }"></span>. Действительно, для любых <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407e45335787b25bf78954908ec685cfb6b23622" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.876ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x=a^{n}}"></span> и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=a^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a^{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6084c98d953272292d237dceee6431e34e2b49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.159ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=a^{m}}"></span> верно, что <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f7b8c1f70bce995e2d17db1adf2ff09f082f21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}"></span>.</dd></dl> <ul><li>В частности, <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Целые числа">целые числа</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> образуют коммутативную группу по сложению, также как и <a href="/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8E_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0#Классы_вычетов" class="mw-redirect" title="Сравнение по модулю натурального числа">классы вычетов</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2120ebbc85f91df66c6de5446367bf9fd620844" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.658ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }"></span>.</li></ul></li> <li>Любое <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Кольцо (алгебра)">кольцо</a> является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Вещественные числа">вещественные числа</a> с операцией сложения.</li> <li>Обратимые элементы коммутативного <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Кольцо (алгебра)">кольца</a>, в частности, ненулевые элементы любого <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Поле (алгебра)">поля</a>, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Связанные_определения"><span id=".D0.A1.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F"></span>Связанные определения</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=6" title="Редактировать раздел «Связанные определения»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=6" title="Редактировать код раздела «Связанные определения»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>По аналогии с <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0" title="Размерность пространства">размерностью</a> <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Векторное пространство">векторных пространств</a>, каждая абелева группа имеет <b>ранг</b>. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B" class="mw-redirect" title="Кручение группы">кручению</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Свойства"><span id=".D0.A1.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0"></span>Свойства</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=7" title="Редактировать раздел «Свойства»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=7" title="Редактировать код раздела «Свойства»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Конечнопорождённые абелевы группы <a href="/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Изоморфизм (математика)">изоморфны</a> прямым суммам <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Циклическая группа">циклических групп</a>. <ul><li>Конечные абелевы группы <a href="/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" class="mw-redirect" title="Изоморфизм (математика)">изоморфны</a> прямым суммам конечных циклических групп.</li></ul></li> <li>Любая абелева группа имеет естественную структуру <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_%D0%BD%D0%B0%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE%D0%BC" title="Модуль над кольцом">модуля над кольцом</a> <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Целое число">целых чисел</a>. Действительно, пусть <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> — <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Натуральное число">натуральное число</a>, а <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> — элемент коммутативной группы <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> с операцией, обозначаемой +, тогда <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle nx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle nx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0462a4bf178bdace9596b456bd51467de65f54d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.724ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle nx}"></span> можно определить как <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+x+\ldots +x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+x+\ldots +x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0311919e9aaf752237b8857e5b106b6395222f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.233ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x+x+\ldots +x}"></span> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> раз) и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-n)x=-(nx)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-n)x=-(nx)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c954b2098c784d5458f6c81224c743dd5262226c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.782ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-n)x=-(nx)}"></span>. <ul><li>Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2" title="Кольцо главных идеалов">кольцом главных идеалов</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" class="mw-redirect" title="Конечнопорожденная абелева группа">конечнопорожденных абелевых групп</a>.</li></ul></li> <li>Множество <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC" title="Гомоморфизм">гомоморфизмов</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Hom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7706c7cd26a821f47a470c945b0e97a7764bb17a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.22ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}"></span> всех групповых гомоморфизмов из <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> в <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> само является абелевой группой. Действительно, пусть <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,\;g:G\to H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,\;g:G\to H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3428cf59081e7ca79a0b61eaae4c9842c74fc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.515ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,\;g:G\to H}"></span> — два <a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Гомоморфизм групп">гомоморфизма групп</a> между абелевыми группами, тогда их сумма <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d94a24abd865f6f9fd67a7df7e531cae1c769b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+g}"></span>, заданная как <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf80cb50218eac1e40d4a0908bd039db3bd0863c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}"></span>, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> некоммутативная группа).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Конечные_абелевы_группы"><span id=".D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.B5.D1.87.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B0.D0.B1.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.B2.D1.8B_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF.D1.8B"></span>Конечные абелевы группы</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=8" title="Редактировать раздел «Конечные абелевы группы»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=8" title="Редактировать код раздела «Конечные абелевы группы»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Простое число">простых чисел</a>. Это следствие общей <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Конечнопорождённая абелева группа">теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп</a> для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3479ced42be329101d99f1b16db46f9201354897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.212ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}"></span> изоморфно <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0" title="Прямая сумма">прямой сумме</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5474379674b9a5fd1b1336571cbeacbe81212d34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}"></span> и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b729c334a9863c47f0b7e3ad61342c2f0881bdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}"></span> тогда и только тогда, когда <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> и <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> взаимно просты. </p><p>Следовательно, можно записать абелеву группу <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> в форме прямой суммы </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <mo>…</mo> <mo>⊕</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3eaed94711618137c276ca210d030ad9519943" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.441ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}"></span></dd></dl> <p>двумя различными способами: </p> <ul><li>Где числа <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fbcfa9a8f61ae54788a1f1ccb42932fed5254c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.118ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}"></span> степени простых</li> <li>Где <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376315fd4983f01dada5ec2f7bebc48455b14a66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1}}"></span> делит <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51b4ba57ee596d8435fc4ed76703ca3a2fc444a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{2}}"></span>, которое делит <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d32e1c66b85257bfd6ad8be93186742d71a804" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{3}}"></span>, и так далее до <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{u}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{u}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271c4576ad6b3835df4470ddcf9aca83b36545fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{u}}"></span>.</li></ul> <p>Например, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>15</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>15</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ea0870df28ce5b9e1e9ca284c48715e7450a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}"></span> может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>15</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>10</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>⊕</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>9</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>12</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bda239a2abbf7db791987a228d1c50466b4f43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.876ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}"></span>. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Вариации_и_обобщения"><span id=".D0.92.D0.B0.D1.80.D0.B8.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.B8_.D0.BE.D0.B1.D0.BE.D0.B1.D1.89.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F"></span>Вариации и обобщения</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=9" title="Редактировать раздел «Вариации и обобщения»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=9" title="Редактировать код раздела «Вариации и обобщения»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><b>Дифференциальной группой</b> называется абелева группа <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de80478fce9090e43eed19100b37cc841661e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.931ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {C} }"></span>, в которой задан такой <a href="/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC" title="Эндоморфизм">эндоморфизм</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528389cdf95189b745c33ce13f198251f68ed9f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }"></span>, что <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9466655dcef8801f5d4e6f03da58b4fad2ab61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=0}"></span>. Этот эндоморфизм называется <i>дифференциалом</i>. Элементы дифференциальных групп называются <i>цепями</i>, элементы <a href="/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Ядро (алгебра)">ядра</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ker \,d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ker</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ker \,d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44baaaf33d6ddb67896e627227c8a72c50ba805" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ker \,d}"></span> — <i>циклами</i>, элементы <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)#Связанные_определения" title="Функция (математика)">образа</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Im} \,d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Im} \,d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369adbd0bb791a295c8f1d1e91f2a20a67e746d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.378ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Im} \,d}"></span> — <i>границами</i>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Гиперболические_группы"><span id=".D0.93.D0.B8.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B1.D0.BE.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF.D1.8B"></span>Гиперболические группы</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=10" title="Редактировать раздел «Гиперболические группы»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=10" title="Редактировать код раздела «Гиперболические группы»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Конечно-порождённая <b>группа</b> называется <b>гиперболической</b>, если она является гиперболической как метрическое пространство. </p><p>Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B5" title="Словарная метрика на группе">словарная</a>. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается <a href="/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%93%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Гиперболичность в смысле Громова">гиперболической</a> как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F" title="Квазиизометрия">квазиизометрично</a>, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих. </p> <ul><li>Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, «сходство» свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (<a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF)" class="mw-redirect" title="Граф Кэли (теория групп)">граф Кэли</a> которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.</li> <li>Группа PSL(2,Z) гиперболична.</li> <li>Конечная группа гиперболична.</li></ul> <ul><li>Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.</li> <li>Любая гиперболическая группа является <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" class="mw-redirect" title="Конечно-представленная группа">конечно-представленной</a>: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)</li> <li>Гиперболичность влечёт за собой (а, на самом деле, равносильна) линейному <a href="/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" class="mw-redirect" title="Изопериметрическое неравенство">изопериметрическому неравенству</a>: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).</li></ul> <ul><li>П. де ля Арп, Э. Гис, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090714185639/http://lib.mexmat.ru/books/2229">Гиперболические группы по Михаилу Громову</a></li></ul> <p>(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov) </p> <ul><li>Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Теория_представлений"><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B9"></span>Теория представлений</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=11" title="Редактировать раздел «Теория представлений»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=11" title="Редактировать код раздела «Теория представлений»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r137874932">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid #36c;background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;margin:0 10%}html body.mediawiki.skin-minerva .mw-parser-output .ambox{border-width:0 0 0 4px}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid var(--border-color-error,#b32424);background-color:var(--background-color-error-subtle,#fee7e6)}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid var(--border-color-error,#b32424)}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid var(--color-warning,#edab00)}.mw-parser-output .ambox-good{border-left:10px solid #66cc44}.mw-parser-output .ambox-discussion{border-left:10px solid #339966}.mw-parser-output .ambox-merge{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}.mw-parser-output .ambox .mbox-textsmall-div{font-size:90%}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(max-width:1366px){.mw-parser-output .ambox{margin-left:6%;margin-right:6%}}@media(max-width:719px){.mw-parser-output .ambox{margin-left:0;margin-right:0}}</style><table class="mbox-В_планах plainlinks metadata ambox ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Planned_section.svg" class="mw-file-description"><img alt="Пазлинка и перо" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Planned_section.svg/40px-Planned_section.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Planned_section.svg/60px-Planned_section.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Planned_section.svg/80px-Planned_section.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-div">Этот раздел статьи <b>ещё <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8" title="Википедия:Заготовка статьи">не написан</a></b>.</div><div class="mbox-textsmall-div hide-when-compact"><span class="hide-when-compact"> Здесь может располагаться раздел, посвящённый <b><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9" title="Теория представлений">теории представлений</a></b>. Помогите Википедии, написав его.</span> <span class="mbox-date"><i>(<span class="date">22 декабря 2016</span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Приложения_теории_групп"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BB.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF"></span>Приложения теории групп</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=12" title="Редактировать раздел «Приложения теории групп»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=12" title="Редактировать код раздела «Приложения теории групп»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Существует большое количество приложений теории групп. Многие структуры <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Общая алгебра">общей алгебры</a> могут быть рассмотрены как частные случаи групп, например, <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%BE_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Кольцо (математика)">кольца</a> могут быть рассмотрены как <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Абелева группа">абелевы группы</a> (относительно сложения) с введённой на них второй операцией — умножением. Поэтому группы лежат в основе большой части теории этих объектов. </p><p><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0" title="Теория Галуа">Теория Галуа</a> использует группы для описания симметрии корней многочлена. <a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0" title="Основная теорема теории Галуа">Основная теорема теории Галуа</a> устанавливает связь между <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Алгебраическое расширение">алгебраическими расширениями</a> и теорией групп. Это даёт эффективный критерий разрешимости алгебраических уравнений в условиях соответствующих <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0" title="Группа Галуа">групп Галуа</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Нерешенные_проблемы_теории_групп"><span id=".D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B1.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D1.8B_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B3.D1.80.D1.83.D0.BF.D0.BF"></span>Нерешенные проблемы теории групп</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=13" title="Редактировать раздел «Нерешенные проблемы теории групп»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=13" title="Редактировать код раздела «Нерешенные проблемы теории групп»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Самым известным сборником нескольких тысяч нерешённых проблем теории групп является <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%8C" class="mw-redirect" title="Коуровская тетрадь">Коуровская тетрадь</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примечания"><span id=".D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.87.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F"></span>Примечания</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=14" title="Редактировать раздел «Примечания»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=14" title="Редактировать код раздела «Примечания»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist columns" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Elwes, Richard, «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html">An enormous theorem: the classification of finite simple groups,</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html">Архивная копия</a> от 2 февраля 2009 на <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>» <i>Plus Magazine</i>, Issue 41, December 2006.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Например, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF)" title="Теорема Кэли (теория групп)">теорему Кэли</a> и <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF)" title="Теорема Коши (теория групп)">теорему Коши</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Барут А., Рончка Р.</i> Теория представлений групп и её приложения, т.1, 2, М., 1980.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Операция обычно называется «<i>умножение</i>», реже используется название «<i>сложение</i>»</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">отсюда, например, пошло название «<a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Подгруппа кручения">подгруппа кручения</a>» </span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Литература"><span id=".D0.9B.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0"></span>Литература</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=15" title="Редактировать раздел «Литература»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=15" title="Редактировать код раздела «Литература»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы, Изд-во ЛГУ, 1983.</li> <li>Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения, т.1, 2, М., 1980.</li> <li><a href="/wiki/%D0%96%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE,_%D0%94%D0%BC%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9F%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Желобенко, Дмитрий Петрович">Желобенко Д. П.</a> Компактные группы Ли и их представления, М., 1970.</li> <li>Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли, М., 1980.</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B3%D0%B0%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B8%D0%BB_%D0%98%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Каргаполов, Михаил Иванович">Каргаполов М. И.</a>, Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.</li> <li>Исаев А.П., Рубаков В.А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Изд-во URSS, 2018.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ссылки"><span id=".D0.A1.D1.81.D1.8B.D0.BB.D0.BA.D0.B8"></span>Ссылки</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit&section=16" title="Редактировать раздел «Ссылки»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>править</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit&section=16" title="Редактировать код раздела «Ссылки»"><span>править код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%91%D0%BE%D1%80%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%81,_%D0%A0%D0%B8%D1%87%D0%B0%D1%80%D0%B4" title="Борчердс, Ричард">Р. Борчердс</a>  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</small>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/playlist?list=PL8yHsr3EFj51pjBvvCPipgAT3SYpIiIsJ">Плейлист «Group theory»</a> на <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gap-system.org/index.html">GAP Groups, Algorithms, Programming a System for Computational Discrete Algebra</a>  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</small></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.today/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm">Higher dimensional group theory</a>  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</small></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html">History of the abstract group concept</a>  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</small></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://plus.maths.org/issue48/package/index.html">Plus teacher and student package: Group Theory</a>  <small class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</small></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Ссылки_на_внешние_ресурсы" data-name="External links" style="padding-top:1px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="colgroup" class="navbox-title" colspan="2" style="display:none"><span class="navbox-gear" style="float:left;text-align:left;width:5em;margin-right:0.5em"><span class="noprint skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:External_links" title="Перейти к шаблону «External links»"><img alt="Перейти к шаблону «External links»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a></span></span><div id="Ссылки_на_внешние_ресурсы" style="font-size:114%;margin:0 5em">Ссылки на внешние ресурсы</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><div style="padding: 0 35px 0 0; width: 100%;"><div class="skin-invert-image" style="float: left;"><span class="noprint skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8" title="Перейти к шаблону «Внешние ссылки»"><img alt="Перейти к шаблону «Внешние ссылки»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a></span> <span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q874429#identifiers" title="Перейти к элементу Викиданных"><img alt="Перейти к элементу Викиданных" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/14px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/21px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/28px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></div>  Тематические сайты</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/GroupTheory.html">MathWorld</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/group%20theory">nLab</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px">Словари и энциклопедии</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://denstoredanske.lex.dk/&id=gruppeteori">Большая датская</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/1933128">Большая российская (старая версия)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://bigenc.ru/c/teoriia-grupp-cfe63a">Большая российская (научно-образовательный портал)</a></li> <li><a href="https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Groups,_Theory_of" class="extiw" title="wikisource:1911 Encyclopædia Britannica/Groups, Theory of">Britannica (11-th)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/group-theory">Britannica (онлайн)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3908254.html">PWN</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r113287755">.mw-parser-output .ts-navbox-plaintitle{font-size:100%!important;margin:0 6em!important}</style></div><table class="nowraplinks authoritycontrol collapsible collapsed navbox-subgroup" style="border-spacing:0;text-align: left;"><tbody><tr><th scope="colgroup" class="navbox-title" colspan="2"><div id="В_библиографических_каталогах" class="ts-navbox-plaintitle" style="font-size:114%;margin:0 5em">В библиографических каталогах</div></th></tr><tr><td class="navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%98%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B8" title="Национальная библиотека Испании">BNE</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX4576398">XX4576398</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Национальная библиотека Франции">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11941215h">11941215h</a></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4072157-7">4072157-7</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%98%D0%B7%D1%80%D0%B0%D0%B8%D0%BB%D1%8F" title="Национальная библиотека Израиля">J9U</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007543476605171">987007543476605171</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80_%D0%91%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B8_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B0" title="Контрольный номер Библиотеки Конгресса">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85057512">sh85057512</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_(%D0%AF%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%8F)" title="Национальная парламентская библиотека (Япония)">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00562608">00562608</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D1%88%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%A0%D0%B5%D1%81%D0%BF%D1%83%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Национальная библиотека Чешской Республики">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph126556&CON_LNG=ENG">ph126556</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8" title="Университетская система документации">SUDOC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/027351440">027351440</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Теория_групп" data-name="Теория групп"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="colgroup" class="navbox-title" colspan="2"><span class="navbox-gear" style="float:left;text-align:left;width:5em;margin-right:0.5em"><span class="noprint skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Перейти к шаблону «Теория групп»"><img alt="Перейти к шаблону «Теория групп»" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/21px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/28px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png 2x" data-file-width="14" data-file-height="14" /></a></span></span><div id="Теория_групп" style="font-size:114%;margin:0 5em"><a class="mw-selflink selflink">Теория групп</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" class="mw-redirect" title="Словарь терминов теории групп">Основные понятия</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-items-nowrap" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Подгруппа">Подгруппа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Нормальная подгруппа">Нормальная подгруппа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Факторгруппа">Факторгруппа</a></li> <li>Произведение <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5#Прямое_произведение_групп" title="Прямое произведение">Прямое</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Полупрямое произведение">Полупрямое</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Свободное произведение">Свободное</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B" title="Действие группы">Действие группы</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" class="mw-redirect" title="Словарь терминов теории групп">Алгебраические свойства</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-items-nowrap" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Абелева группа">Коммутативная группа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Циклическая группа">Циклическая группа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Упорядоченная группа">Упорядоченная группа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Разрешимая группа">Разрешимая группа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%A8%D1%80%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Лемма Шрайера">Лемма Шрайера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF)" title="Теорема Лагранжа (теория групп)">Теорема Лагранжа</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Теоремы Силова">Теоремы Силова</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Классификация простых конечных групп">Классификация простых конечных групп</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Конечная группа">Конечные группы</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-items-nowrap" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0#Конечные_циклические_группы" title="Конечная группа">Конечная циклическая группа</a> C<sub><i>n</i></sub></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Симметрическая группа">Симметрическая группа</a> S<sub><i>n</i></sub></li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" class="mw-redirect" title="Диэдрическая группа">Диэдрическая группа</a> D<sub><i>n</i></sub></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Знакопеременная группа">Знакопеременная группа</a> A<sub><i>n</i></sub></li> <li><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0" title="Четверная группа Клейна">Четверная группа Клейна</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91" title="Группа Матьё">Группы Матьё</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91_M11&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Матьё M11 (страница отсутствует)">M<sub>11</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91_M12&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Матьё M12 (страница отсутствует)">M<sub>12</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91_M22&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Матьё M22 (страница отсутствует)">M<sub>22</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91_M23&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Матьё M23 (страница отсутствует)">M<sub>23</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%91_M24&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Матьё M24 (страница отсутствует)">M<sub>24</sub></a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%8F" title="Группы Конвея">Группы Конвея</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%8F_Co1" title="Группа Конвея Co1">Co<sub>1</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%8F_Co2&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Конвея Co2 (страница отсутствует)">Co<sub>2</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%8F_Co3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Конвея Co3 (страница отсутствует)">Co<sub>3</sub></a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%AF%D0%BD%D0%BA%D0%BE" title="Группа Янко">Группы Янко</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%AF%D0%BD%D0%BA%D0%BE_J1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Янко J1 (страница отсутствует)">J<sub>1</sub></a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%AF%D0%BD%D0%BA%D0%BE_J2" title="Группа Янко J2">J<sub>2</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%AF%D0%BD%D0%BA%D0%BE_J3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Янко J3 (страница отсутствует)">J<sub>3</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%AF%D0%BD%D0%BA%D0%BE_J4&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Янко J4 (страница отсутствует)">J<sub>4</sub></a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Группа Фишера">Группы Фишера</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0_Fi22&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Фишера Fi22 (страница отсутствует)">F<sub>22</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0_Fi23&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Фишера Fi23 (страница отсутствует)">F<sub>23</sub></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0_Fi24&action=edit&redlink=1" class="new" title="Группа Фишера Fi24 (страница отсутствует)">F<sub>24</sub></a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80_(%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0)" title="Монстр (группа)">Монстр</a> (М)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Топологическая группа">Топологические группы</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist hlist-items-nowrap" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%B8" title="Группа Ли">Группы Ли</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Полная линейная группа">Полная линейная</a> GL(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Ортогональная группа">Ортогональная</a> O(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Специальная ортогональная группа">Специальная ортогональная</a> SO(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Унитарная группа">Унитарная</a> U(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%83%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Специальная унитарная группа">Специальная унитарная</a> SU(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Симплектическая группа">Симплектическая</a> Sp(<i>n</i>)</li> <li><a href="/wiki/%D0%98%D1%81%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%D0%9B%D0%B8" class="mw-redirect" title="Исключительные простые группы Ли">Исключительные простые</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0" title="Группа Лоренца">Группа Лоренца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B5" title="Группа Пуанкаре">Группа Пуанкаре</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1px"><a href="/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Вычислительная теория групп">Алгоритмы на группах</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist hlist-items-nowrap" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A8%D1%80%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D1%81%D0%B0" title="Алгоритм Шрайера — Симса">Шрайера — Симса</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A2%D0%BE%D0%B4%D0%B4%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Алгоритм Тодда — Коксетера">Тодда — Коксетера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5_%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0%D1%85" title="Преобразование Фурье на группах">Преобразование Фурье</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r137874932"><table class="mbox-Нет_сносок plainlinks metadata ambox ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Emblem-important.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Emblem-important.svg/40px-Emblem-important.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Emblem-important.svg/60px-Emblem-important.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Emblem-important.svg/80px-Emblem-important.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-div">В статье есть список <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Википедия:Авторитетные источники">источников</a>, но <b>не хватает <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8" title="Википедия:Сноски">сносок</a></b>.</div><div class="mbox-textsmall-div hide-when-compact"><span class="hide-when-compact"> Без сносок сложно <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Википедия:Проверяемость">определить, из какого источника</a> взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8" title="Википедия:Ссылки на источники">сноски на источники</a>, подтверждающие информацию. Сведения без сносок <a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8#Материал_без_источников" title="Википедия:Авторитетные источники">могут быть удалены</a>.</span> <span class="mbox-date"><i>(<span class="date">17 апреля 2023</span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Источник — <a dir="ltr" href="https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теория_групп&oldid=135973703">https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теория_групп&oldid=135973703</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8" title="Служебная:Категории">Категория</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Категория:Теория групп">Теория групп</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Скрытые категории: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_(%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%BC)" title="Категория:Википедия:Статьи без источников (не распределённые по типам)">Википедия:Статьи без источников (не распределённые по типам)</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9D%D0%B5%D1%82_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81_%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F_2023" title="Категория:Википедия:Нет источников с апреля 2023">Википедия:Нет источников с апреля 2023</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D1%81_%D1%83%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B5_14_%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B9" title="Категория:Википедия:Статьи с утверждениями без источников более 14 дней">Википедия:Статьи с утверждениями без источников более 14 дней</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D1%81_%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%81_%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%B1%D1%80%D1%8F_2016_%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0" title="Категория:Википедия:Статьи с ненаписанными разделами с декабря 2016 года">Википедия:Статьи с ненаписанными разделами с декабря 2016 года</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D1%81_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D1%84%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%83" title="Категория:Википедия:Статьи с шаблонами недостатков по алфавиту">Википедия:Статьи с шаблонами недостатков по алфавиту</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%BA_%D1%81_%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F_2023_%D0%B3%D0%BE%D0%B4%D0%B0" title="Категория:Википедия:Статьи без сносок с апреля 2023 года">Википедия:Статьи без сносок с апреля 2023 года</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Категория:Википедия:Статьи без сносок">Википедия:Статьи без сносок</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навигация</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Персональные инструменты</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Страница участника для моего IP">Вы не представились системе</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D1%91_%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Страница обсуждений для моего IP [n]" accesskey="n"><span>Обсуждение</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9C%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Список правок, сделанных с этого IP-адреса [y]" accesskey="y"><span>Вклад</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C_%D1%83%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BD%D1%83%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C&returnto=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Мы предлагаем вам создать учётную запись и войти в систему, хотя это и не обязательно."><span>Создать учётную запись</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4&returnto=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Здесь можно зарегистрироваться в системе, но это необязательно. [o]" accesskey="o"><span>Войти</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Пространства имён</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Просмотреть контентную страницу [c]" accesskey="c"><span>Статья</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" rel="discussion" title="Обсуждение основной страницы [t]" accesskey="t"><span>Обсуждение</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">русский</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Просмотры</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF"><span>Читать</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&veaction=edit" title="Редактировать данную страницу [v]" accesskey="v"><span>Править</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=edit" title="Править исходный текст этой страницы [e]" accesskey="e"><span>Править код</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=history" title="Журнал изменений страницы [h]" accesskey="h"><span>История</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Больше возможностей" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Ещё</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Поиск</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Искать в Википедии" aria-label="Искать в Википедии" autocapitalize="sentences" title="Искать в Википедии [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Служебная:Поиск"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Найти страницы, содержащие указанный текст" value="Найти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти к странице, имеющей в точности такое название" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Навигация</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Перейти на заглавную страницу [z]" accesskey="z"><span>Заглавная страница</span></a></li><li id="n-content" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5"><span>Содержание</span></a></li><li id="n-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%98%D0%B7%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8" title="Статьи, считающиеся лучшими статьями проекта"><span>Избранные статьи</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Посмотреть случайно выбранную страницу [x]" accesskey="x"><span>Случайная статья</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%A2%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D1%8F" title="Статьи о текущих событиях в мире"><span>Текущие события</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ru.wikipedia.org&uselang=ru" title="Поддержите нас"><span>Пожертвовать</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-participation" class="mw-portlet mw-portlet-participation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-participation-label" > <h3 id="p-participation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Участие</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%D1%85" title="Сообщить об ошибке в этой статье"><span>Сообщить об ошибке</span></a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0:%D0%92%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"><span>Как править статьи</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="О проекте, о том, чем здесь можно заниматься, а также — где что находится"><span>Сообщество</span></a></li><li id="n-forum" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%BC" title="Форум участников Википедии"><span>Форум</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D0%B5%D0%B6%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8" title="Список последних изменений [r]" accesskey="r"><span>Свежие правки</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Список недавно созданных страниц"><span>Новые страницы</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Место расположения Справки"><span>Справка</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Инструменты</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D1%81%D1%8B%D0%BB%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B0/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" title="Список всех страниц, ссылающихся на данную [j]" accesskey="j"><span>Ссылки сюда</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B8/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF" rel="nofollow" title="Последние изменения в страницах, на которые ссылается эта страница [k]" accesskey="k"><span>Связанные правки</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B" title="Список служебных страниц [q]" accesskey="q"><span>Служебные страницы</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&oldid=135973703" title="Постоянная ссылка на эту версию страницы"><span>Постоянная ссылка</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=info" title="Подробнее об этой странице"><span>Сведения о странице</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&id=135973703&wpFormIdentifier=titleform" title="Информация о том, как цитировать эту страницу"><span>Цитировать страницу</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A2%25D0%25B5%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F_%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25BF%25D0%25BF"><span>Получить короткий URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:QrCode&url=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A2%25D0%25B5%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%258F_%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25BF%25D0%25BF"><span>Скачать QR-код</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Печать/экспорт</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:DownloadAsPdf&page=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&action=show-download-screen" title="Скачать эту страницу как файл PDF"><span>Скачать как PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&printable=yes" title="Версия этой страницы для печати [p]" accesskey="p"><span>Версия для печати</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">В других проектах</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Group_theory" hreflang="en"><span>Викисклад</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q874429" title="Ссылка на связанный элемент репозитория данных [g]" accesskey="g"><span>Элемент Викиданных</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">На других языках</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos — арагонский" lang="an" hreflang="an" data-title="Teoría de grupos" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="арагонский" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B2%D9%85%D8%B1" title="نظرية الزمر — арабский" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظرية الزمر" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабский" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos — астурийский" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Teoría de grupos" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурийский" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Qrup_n%C9%99z%C9%99riyy%C9%99si" title="Qrup nəzəriyyəsi — азербайджанский" lang="az" hreflang="az" data-title="Qrup nəzəriyyəsi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанский" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D3%A9%D1%80%D0%BA%D3%A9%D0%BC%D0%B4%D3%99%D1%80_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D2%BB%D1%8B" title="Төркөмдәр теорияһы — башкирский" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Төркөмдәр теорияһы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирский" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Gropiu_teuor%C4%97j%C4%97" title="Gropiu teuorėjė — Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Gropiu teuorėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8D%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF" title="Тэорыя груп — белорусский" lang="be" hreflang="be" data-title="Тэорыя груп" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="белорусский" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8D%D0%BE%D1%80%D1%8B%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0%D1%9E" title="Тэорыя групаў — белорусский (тарашкевица)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Тэорыя групаў" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="белорусский (тарашкевица)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B5" title="Теория на групите — болгарский" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Теория на групите" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарский" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Damkaniezh_ar_strollo%C3%B9" title="Damkaniezh ar strolloù — бретонский" lang="br" hreflang="br" data-title="Damkaniezh ar strolloù" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="бретонский" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Teorija_grupa" title="Teorija grupa — боснийский" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Teorija grupa" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснийский" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_grups" title="Teoria de grups — каталанский" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teoria de grups" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталанский" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%8C%DB%86%D8%B1%DB%8C%DB%8C_%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%88%D9%BE" title="تیۆریی گرووپ — центральнокурдский" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="تیۆریی گرووپ" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдский" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Teorie_grup" title="Teorie grup — чешский" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Teorie grup" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чешский" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%88%D0%BA%C4%83%D0%BD%D1%81%D0%B5%D0%BD_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9%C4%95" title="Ушкăнсен теорийĕ — чувашский" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ушкăнсен теорийĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чувашский" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Damcaniaeth_grwpiau" title="Damcaniaeth grwpiau — валлийский" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Damcaniaeth grwpiau" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлийский" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Gruppeteori_(matematik)" title="Gruppeteori (matematik) — датский" lang="da" hreflang="da" data-title="Gruppeteori (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="датский" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie — немецкий" lang="de" hreflang="de" data-title="Gruppentheorie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="немецкий" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CE%BF%CE%BC%CE%AC%CE%B4%CF%89%CE%BD" title="Θεωρία ομάδων — греческий" lang="el" hreflang="el" data-title="Θεωρία ομάδων" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="греческий" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory" title="Group theory — английский" lang="en" hreflang="en" data-title="Group theory" data-language-autonym="English" data-language-local-name="английский" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Grupo-teorio" title="Grupo-teorio — эсперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Grupo-teorio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="эсперанто" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos — испанский" lang="es" hreflang="es" data-title="Teoría de grupos" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="испанский" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Talde-teoria" title="Talde-teoria — баскский" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Talde-teoria" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскский" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="نظریه گروه‌ها — персидский" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نظریه گروه‌ها" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="персидский" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Ryhm%C3%A4teoria" title="Ryhmäteoria — финский" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ryhmäteoria" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="финский" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes — французский" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Théorie des groupes" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французский" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Teorie_dai_grups" title="Teorie dai grups — фриульский" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Teorie dai grups" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="фриульский" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos" title="Teoría de grupos — галисийский" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Teoría de grupos" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галисийский" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA" title="תורת החבורות — иврит" lang="he" hreflang="he" data-title="תורת החבורות" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="иврит" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%82%E0%A4%B9_%E0%A4%B8%E0%A4%BF%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%A4" title="समूह सिद्धांत — хинди" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समूह सिद्धांत" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="хинди" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_grupa" title="Teorija grupa — хорватский" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Teorija grupa" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватский" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Csoportelm%C3%A9let" title="Csoportelmélet — венгерский" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Csoportelmélet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="венгерский" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Theoria_de_gruppos" title="Theoria de gruppos — интерлингва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Theoria de gruppos" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="интерлингва" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup" title="Teori grup — индонезийский" lang="id" hreflang="id" data-title="Teori grup" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="индонезийский" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_gruppi" title="Teoria dei gruppi — итальянский" lang="it" hreflang="it" data-title="Teoria dei gruppi" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="итальянский" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論 — японский" lang="ja" hreflang="ja" data-title="群論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японский" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AF%E1%83%92%E1%83%A3%E1%83%A4%E1%83%97%E1%83%90_%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90" title="ჯგუფთა თეორია — грузинский" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ჯგუფთა თეორია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинский" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%B0%EB%A1%A0" title="군론 — корейский" lang="ko" hreflang="ko" data-title="군론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейский" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Theoria_catervarum" title="Theoria catervarum — латинский" lang="la" hreflang="la" data-title="Theoria catervarum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинский" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Grupu_teorija" title="Grupu teorija — латышский" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Grupu teorija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латышский" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Teori_kumpulan" title="Teori kumpulan — малайский" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Teori kumpulan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайский" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A5%81%E0%A4%AA_%E0%A4%B8%E0%A4%BF%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A4" title="ग्रुप सिद्धान्त — неварский" lang="new" hreflang="new" data-title="ग्रुप सिद्धान्त" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="неварский" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Groepentheorie" title="Groepentheorie — нидерландский" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Groepentheorie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нидерландский" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Gruppeteori" title="Gruppeteori — нюнорск" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Gruppeteori" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="нюнорск" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Gruppeteori" title="Gruppeteori — норвежский букмол" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Gruppeteori" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвежский букмол" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A8%B0%E0%A9%81%E0%A9%B1%E0%A8%AA_%E0%A8%A5%E0%A8%BF%E0%A8%8A%E0%A8%B0%E0%A9%80" title="ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ — панджаби" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗਰੁੱਪ ਥਿਊਰੀ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджаби" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup — польский" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Teoria grup" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польский" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%B9%D9%88%D9%84%DB%8C_%D8%B3%D9%88%DA%86" title="ٹولی سوچ — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ٹولی سوچ" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_grupos" title="Teoria dos grupos — португальский" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Teoria dos grupos" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальский" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_grupurilor" title="Teoria grupurilor — румынский" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Teoria grupurilor" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румынский" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D2%91%D1%80%D1%83%D0%BF" title="Теорія ґруп — русинский" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Теорія ґруп" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="русинский" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Group_theory" title="Group theory — шотландский" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Group theory" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="шотландский" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Teorija_grupa" title="Teorija grupa — сербскохорватский" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Teorija grupa" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербскохорватский" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Group_theory" title="Group theory — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Group theory" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3ria_gr%C3%BAp" title="Teória grúp — словацкий" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Teória grúp" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацкий" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Teorija_grup" title="Teorija grup — словенский" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Teorija grup" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенский" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Teoria_e_grupeve" title="Teoria e grupeve — албанский" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Teoria e grupeve" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанский" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Теорија група — сербский" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Теорија група" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербский" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Gruppteori" title="Gruppteori — шведский" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Gruppteori" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведский" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%95%E0%AF%8D_%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81" title="குலக் கோட்பாடு — тамильский" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குலக் கோட்பாடு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамильский" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B" title="ทฤษฎีกรุป — тайский" lang="th" hreflang="th" data-title="ทฤษฎีกรุป" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайский" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Teorya_ng_grupo" title="Teorya ng grupo — тагалог" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Teorya ng grupo" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагалог" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Grup_teorisi" title="Grup teorisi — турецкий" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Grup teorisi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецкий" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF" title="Теорія груп — украинский" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорія груп" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="украинский" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%DB%82_%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81" title="نظریۂ گروہ — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="نظریۂ گروہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_nh%C3%B3m" title="Lý thuyết nhóm — вьетнамский" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lý thuyết nhóm" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вьетнамский" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Teyorya_grupo" title="Teyorya grupo — варай" lang="war" hreflang="war" data-title="Teyorya grupo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="варай" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AE%BA" title="群论 — у" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="群论" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="у" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%95%D7%A4%D7%A2_%D7%98%D7%A2%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%A2" title="גרופע טעאריע — идиш" lang="yi" hreflang="yi" data-title="גרופע טעאריע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="идиш" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AE%BA" title="群论 — китайский" lang="zh" hreflang="zh" data-title="群论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайский" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/K%C3%BBn-l%C5%ABn" title="Kûn-lūn — миньнань" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kûn-lūn" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="миньнань" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A3%E8%AB%96" title="羣論 — кантонский" lang="yue" hreflang="yue" data-title="羣論" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонский" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q874429#sitelinks-wikipedia" title="Править ссылки на другие языки" class="wbc-editpage">Править ссылки</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Эта страница в последний раз была отредактирована 4 февраля 2024 в 12:23.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступен по <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ru">лицензии Creative Commons «С указанием авторства — С сохранением условий» (CC BY-SA)</a>; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. <span class="noprint">Подробнее см. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/ru">Условия использования</a>.</span><br /> Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/ru/">«Фонд Викимедиа» (Wikimedia Foundation, Inc.)</a></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/ru">Политика конфиденциальности</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Описание Википедии</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F:%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%B7_%D0%BE%D1%82_%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Отказ от ответственности</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Контакты">Свяжитесь с нами</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Universal_Code_of_Conduct/ru">Кодекс поведения</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Разработчики</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ru.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Заявление о куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ru.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобильная версия</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-65496f48b4-vchvs","wgBackendResponseTime":179,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.407","walltime":"0.672","ppvisitednodes":{"value":1245,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":43147,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":579,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":7,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":10604,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 389.841 1 -total"," 29.03% 113.165 1 Шаблон:Нет_АИ"," 26.80% 104.460 1 Шаблон:ВС"," 19.26% 75.064 1 Шаблон:В_планах"," 18.12% 70.650 2 Шаблон:Ambox"," 17.59% 68.582 1 Шаблон:Сортировка:_статьи_без_источников"," 13.68% 53.311 1 Шаблон:Сортировка:_по_странам"," 10.26% 40.009 3 Шаблон:Iw"," 3.63% 14.161 1 Шаблон:Примечания"," 3.37% 13.149 1 Шаблон:YouTube_Playlist"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.171","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3430850,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-7c479b968-g72gf","timestamp":"20241117231457","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0422\u0435\u043e\u0440\u0438\u044f \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f","url":"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q874429","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q874429","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0438\u043a\u0438\u043c\u0435\u0434\u0438\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-03-18T17:39:12Z","headline":"\u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438, \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0430\u0431\u0441\u0442\u0440\u0430\u043a\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432 \u0441 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438"}</script> </body> </html>