CINXE.COM

<!DOCTYPE html><html lang="ru"><head><meta charset="utf-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1,maximum-scale=1"> <title>Алгебра. Большая российская энциклопедия</title> <link href="https://mc.yandex.ru" rel="preconnect"> <link href="https://top-fwz1.mail.ru/js/code.js" as="script" crossorigin> <link href="https://news.gnezdo2.ru/gnezdo_news_tracker_new.js" as="script" crossorigin> <link href="https://mc.yandex.ru" rel="dns-prefetch"> <link href="https://mc.yandex.ru/metrika/tag.js" as="script" crossorigin> <meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c"> <meta name="msapplication-config" content="/meta/browserconfig.xml"> <meta name="theme-color" content="#ffffff"> <link rel="icon" sizes="32x32" href="/favicon.ico"> <link rel="icon" type="image/svg+xml" href="/meta/favicon.svg"> <link rel="apple-touch-icon" href="/meta/apple-touch-icon.png"> <link rel="icon" type="image/png" sizes="48x48" href="/meta/favicon-48x48.png"> <link rel="manifest" href="/meta/site.webmanifest"> <meta content="2023-01-30T15:03:44.000Z" name="article:modified_time"> <meta content="Научные теории, концепции, гипотезы, модели" property="article:section"> <meta content="Алгебраические уравнения" property="article:tag"> <meta content="Алгебраические операции" property="article:tag"> <meta content="А́лгебра, раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над..." name="description"> <meta content="Алгебраические уравнения, Алгебраические операции" name="keywords"> <meta content="А́лгебра, раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над..." property="og:description"> <meta content="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=K2mwjNK87zofppSZEffyIw&filename=vault/3cf067030012eb10bb78b0ddf25f3b6b.webp&width=1200" property="og:image"> <meta content="«Большая российская энциклопедия»" property="og:image:alt"> <meta content="792" property="og:image:height"> <meta content="webp&width=1200" property="og:image:type"> <meta content="1200" property="og:image:width"> <meta content="Алгебра" property="og:title"> <meta content="article" property="og:type"> <meta content="https://bigenc.ru/c/algebra-41fc2e" property="og:url"> <meta content="summary_large_image" property="twitter:card"> <meta content="Большая российская энциклопедия" property="og:site_name"> <meta content="2023-01-30T15:03:44.000Z" name="article:published_time"> <link rel="stylesheet" href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/entry.mpjHLZVQ.css"> <link rel="stylesheet" href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/components.EYp_E6uU.css"> <link rel="stylesheet" href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/Formula.OAWbmYZe.css"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/entry.-Z8AjeEO.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/chunk.eVCQshbn.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/components.a6A3eWos.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/index.64RxBmGv.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/Renderer.vue.KBqHlDjs.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/ArticleSidebar.vue.QjMjnOY7.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/Image.vue.hLe6_eLu.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/MediaFigure.vue.8Cjz8VZ4.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/Image.MIRfcYkN.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/Formula.hIoX9Hw3.js"> <link rel="modulepreload" as="script" crossorigin href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/PreviewLink.1ksiu7wu.js"> <link rel="prefetch" as="image" type="image/jpeg" href="https://s.bigenc.ru/_nuxt/fallback.OCsNm7LY.jpg"> <script type="module" src="https://s.bigenc.ru/_nuxt/entry.-Z8AjeEO.js" crossorigin></script></head><body><div id="__nuxt"><div class="loading-indicator" style="position:fixed;top:0;right:0;left:0;pointer-events:none;width:0%;height:1px;opacity:0;background:repeating-linear-gradient(to right,#7698f5 0%,#436ee6 50%,#0047e1 100%);background-size:Infinity% auto;transition:width 0.1s, height 0.4s, opacity 0.4s;z-index:999999;"></div><div><div class="bre-page" itemscope itemprop="mainEntity" itemtype="https://schema.org/WebPage"><header class="bre-header" itemprop="hasPart" itemscope itemtype="https://schema.org/WPHeader" style=""><div class="bre-header-fixed"><nav class="bre-header-nav"><div class="bre-header-nav-item _flex-start _logo"><a class="bre-header-logo -show-on-desktop-s _big" aria-label="Домой"></a><a class="bre-header-logo _small" aria-label="Домой"></a></div><div class="bre-header-nav-item _flex-start _catalog"><button type="button" class="b-button tw-gap-2 b-button--primary -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer tw-h-11 -show-on-desktop-s tw-px-4 tw-w-[132px] !tw-justify-start" data-v-cfbedafc><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M20.75 6a.75.75 0 0 1-.75.75H4a.75.75 0 0 1 0-1.5h16a.75.75 0 0 1 .75.75Zm-7 6a.75.75 0 0 1-.75.75H4a.75.75 0 0 1 0-1.5h9a.75.75 0 0 1 .75.75ZM20 18.75a.75.75 0 0 0 0-1.5H4a.75.75 0 0 0 0 1.5h16Z" fill="currentColor"/></svg>  Каталог </button><button type="button" class="b-button b-button--transparent -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer tw-gap-0 md:tw-gap-2 -hide-on-desktop-s" data-v-cfbedafc><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M20.75 6a.75.75 0 0 1-.75.75H4a.75.75 0 0 1 0-1.5h16a.75.75 0 0 1 .75.75Zm-7 6a.75.75 0 0 1-.75.75H4a.75.75 0 0 1 0-1.5h9a.75.75 0 0 1 .75.75ZM20 18.75a.75.75 0 0 0 0-1.5H4a.75.75 0 0 0 0 1.5h16Z" fill="currentColor"/></svg> Каталог</button></div><div class="bre-header-nav-item _flex-start lg:tw-flex-1"><div class="min-lg:tw-w-[228px] tw-relative max-md:tw-mb-[6px] max-md:tw-mt-4 lg:tw-w-full lg:tw-max-w-[606px] max-md:tw-hidden"><div class="tw-flex max-lg:tw-hidden" data-v-f39cd9b8><div class="tw-flex tw-w-full tw-items-center tw-border tw-border-solid tw-border-transparent tw-bg-gray-6 tw-px-3 tw-transition lg:hover:tw-bg-gray-5 lg:tw-bg-primary-white lg:tw-border-gray-5 lg:hover:tw-border-transparent lg:tw-rounded-e-none lg:tw-pr-4 tw-rounded-lg tw-h-11" data-v-f39cd9b8><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path d="M10 17C13.866 17 17 13.866 17 10C17 6.13401 13.866 3 10 3C6.13401 3 3 6.13401 3 10C3 13.866 6.13401 17 10 17Z" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> <path d="M21.0004 21.0004L15.5 15.5" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> </svg> <input class="b-search-input -text-headline-6 tw-h-full tw-shrink tw-grow tw-basis-auto tw-border-none tw-bg-transparent tw-p-0 tw-indent-2 tw-leading-none tw-text-primary-black tw-outline-none tw-transition md:tw-w-[154px] tw-placeholder-gray-2 lg:tw-placeholder-gray-1 lg:tw-indent-1 lg:tw-pr-4 lg:-text-caption-1 placeholder-on-focus" name="new-search" value="" type="text" placeholder="Искать в энциклопедии" autocomplete="off" spellcheck="false" data-v-f39cd9b8><button type="button" class="b-button tw-gap-2 b-button--transparent -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer b-button--icon-only" style="display:none;" data-v-f39cd9b8 data-v-cfbedafc><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" fill="none"><path stroke="currentColor" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="1.5" d="M17 17 7 7M17 7 7 17"/></svg> </button></div><button type="button" class="b-button tw-gap-2 b-button--primary -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer b-button--icon-only tw-h-11 tw-w-11 tw-rounded-s-none tw-flex-none" style="" data-v-cfbedafc><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path d="M10 17C13.866 17 17 13.866 17 10C17 6.13401 13.866 3 10 3C6.13401 3 3 6.13401 3 10C3 13.866 6.13401 17 10 17Z" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> <path d="M21.0004 21.0004L15.5 15.5" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> </svg> </button></div></div><button class="lg:tw-hidden"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path d="M10 17C13.866 17 17 13.866 17 10C17 6.13401 13.866 3 10 3C6.13401 3 3 6.13401 3 10C3 13.866 6.13401 17 10 17Z" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> <path d="M21.0004 21.0004L15.5 15.5" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> </svg> </button></div><div class="bre-header-nav-item _flex-start -show-on-tablet button-author-animation lg:tw-justify-end lg:tw-basis-[calc(50vw-348px)]"><a class="b-button tw-gap-2 b-button--secondary -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer tw-h-10 tw-w-[172px] tw-px-6 lg:tw-h-11" data-v-cfbedafc> Стать автором </a></div><div class="bre-header-nav-item _flex-start tw-relative max-md:tw-w-6 sm:tw-z-[9] md:tw-z-[21]"><div class="bre-header-profile"><a class="b-button tw-gap-2 b-button--primary -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer tw-h-10 tw-px-6 -show-on-tablet -hide-on-desktop-s tw-w-[102px]" data-v-cfbedafc> Войти </a><a class="b-button tw-gap-2 b-button--primary -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer tw-h-11 tw-px-6 -show-on-desktop-s tw-w-[102px]" data-v-cfbedafc> Войти </a><a class="b-button tw-gap-2 b-button--transparent -text-button tw-rounded-lg tw-cursor-pointer b-button--icon-only tw-mx-1 -hide-on-tablet" data-v-cfbedafc><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path d="M20 21V19C20 17.9391 19.5786 16.9217 18.8284 16.1716C18.0783 15.4214 17.0609 15 16 15H8C6.93913 15 5.92172 15.4214 5.17157 16.1716C4.42143 16.9217 4 17.9391 4 19V21" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> <path d="M12 12C14.2091 12 16 10.2091 16 8C16 5.79086 14.2091 4 12 4C9.79086 4 8 5.79086 8 8C8 10.2091 9.79086 12 12 12Z" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/> </svg> </a></div></div></nav></div></header><main class="bre-page-main"><div class="bre-article-layout _no-margin"><nav class="bre-article-layout__menu"><div class="bre-article-menu lg:tw-sticky"><div class="bre-article-menu__list"><div class="tw-grow tw-basis-0 max-md:tw-max-w-[80px]"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M4.29919 18V6C4.29919 4.61929 5.41848 3.5 6.79919 3.5H11.7992H13.4413C13.7192 3.5 13.9922 3.54628 14.25 3.63441V7C14.25 8.51878 15.4812 9.75 17 9.75H19.2992V12V18C19.2992 19.3807 18.1799 20.5 16.7992 20.5H6.79919C5.41848 20.5 4.29919 19.3807 4.29919 18ZM18.9149 8.25C18.8305 8.11585 18.7329 7.98916 18.623 7.87194L15.75 4.80733V7C15.75 7.69036 16.3096 8.25 17 8.25H18.9149ZM2.79919 6C2.79919 3.79086 4.59006 2 6.79919 2H11.7992H13.4413C14.5469 2 15.6032 2.45763 16.3594 3.26424L19.7173 6.84603C20.4124 7.58741 20.7992 8.56555 20.7992 9.58179V12V18C20.7992 20.2091 19.0083 22 16.7992 22H6.79919C4.59006 22 2.79919 20.2091 2.79919 18V6ZM7.04919 12C7.04919 11.5858 7.38498 11.25 7.79919 11.25H15.7992C16.2134 11.25 16.5492 11.5858 16.5492 12C16.5492 12.4142 16.2134 12.75 15.7992 12.75H7.79919C7.38498 12.75 7.04919 12.4142 7.04919 12ZM7.79919 16.25C7.38498 16.25 7.04919 16.5858 7.04919 17C7.04919 17.4142 7.38498 17.75 7.79919 17.75H12.7992C13.2134 17.75 13.5492 17.4142 13.5492 17C13.5492 16.5858 13.2134 16.25 12.7992 16.25H7.79919Z" fill="currentColor"/> </svg> СтатьяСтатья<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M4.29919 18V6C4.29919 4.61929 5.41848 3.5 6.79919 3.5H11.7992H13.4413C13.7192 3.5 13.9922 3.54628 14.25 3.63441V7C14.25 8.51878 15.4812 9.75 17 9.75H19.2992V12V18C19.2992 19.3807 18.1799 20.5 16.7992 20.5H6.79919C5.41848 20.5 4.29919 19.3807 4.29919 18ZM18.9149 8.25C18.8305 8.11585 18.7329 7.98916 18.623 7.87194L15.75 4.80733V7C15.75 7.69036 16.3096 8.25 17 8.25H18.9149ZM2.79919 6C2.79919 3.79086 4.59006 2 6.79919 2H11.7992H13.4413C14.5469 2 15.6032 2.45763 16.3594 3.26424L19.7173 6.84603C20.4124 7.58741 20.7992 8.56555 20.7992 9.58179V12V18C20.7992 20.2091 19.0083 22 16.7992 22H6.79919C4.59006 22 2.79919 20.2091 2.79919 18V6ZM7.04919 12C7.04919 11.5858 7.38498 11.25 7.79919 11.25H15.7992C16.2134 11.25 16.5492 11.5858 16.5492 12C16.5492 12.4142 16.2134 12.75 15.7992 12.75H7.79919C7.38498 12.75 7.04919 12.4142 7.04919 12ZM7.79919 16.25C7.38498 16.25 7.04919 16.5858 7.04919 17C7.04919 17.4142 7.38498 17.75 7.79919 17.75H12.7992C13.2134 17.75 13.5492 17.4142 13.5492 17C13.5492 16.5858 13.2134 16.25 12.7992 16.25H7.79919Z" fill="currentColor"/> </svg> Статья</div><div class="tw-grow tw-basis-0 max-md:tw-max-w-[80px]"><a href="/c/algebra-41fc2e/annotation" class="bre-article-menu__list-item"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M18.2363 4.12686C18.2363 3.43651 18.796 2.87686 19.4863 2.87686C20.1767 2.87686 20.7363 3.43651 20.7363 4.12686C20.7363 4.81722 20.1767 5.37686 19.4863 5.37686C18.796 5.37686 18.2363 4.81722 18.2363 4.12686ZM19.4863 1.37686C17.9675 1.37686 16.7363 2.60808 16.7363 4.12686C16.7363 4.43206 16.786 4.72564 16.8778 4.99996H7C4.79086 4.99996 3 6.79082 3 8.99996V19C3 21.2091 4.79086 23 7 23H17C19.2091 23 21 21.2091 21 19V8.99996C21 8.16642 20.745 7.39244 20.3089 6.75173C21.4258 6.40207 22.2363 5.35911 22.2363 4.12686C22.2363 2.60808 21.0051 1.37686 19.4863 1.37686ZM7 6.49996H16.6319L14.6964 8.43547C14.4035 8.72837 14.4035 9.20324 14.6964 9.49613C14.9893 9.78903 15.4641 9.78903 15.757 9.49613L18.3547 6.89846C19.0438 7.34362 19.5 8.11852 19.5 8.99996V19C19.5 20.3807 18.3807 21.5 17 21.5H7C5.61929 21.5 4.5 20.3807 4.5 19V8.99996C4.5 7.61924 5.61929 6.49996 7 6.49996ZM9.25 12C9.25 11.5857 9.58579 11.25 10 11.25H12H14C14.4142 11.25 14.75 11.5857 14.75 12C14.75 12.4142 14.4142 12.75 14 12.75H12H10C9.58579 12.75 9.25 12.4142 9.25 12ZM9.25 17C9.25 16.5857 9.58579 16.25 10 16.25H12H14C14.4142 16.25 14.75 16.5857 14.75 17C14.75 17.4142 14.4142 17.75 14 17.75H12H10C9.58579 17.75 9.25 17.4142 9.25 17Z" fill="currentColor"/> </svg> Аннотация</a>Аннотация<a href="/c/algebra-41fc2e/annotation" class="bre-article-menu__list-item tw-mx-auto tw-flex lg:tw-hidden"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M18.2363 4.12686C18.2363 3.43651 18.796 2.87686 19.4863 2.87686C20.1767 2.87686 20.7363 3.43651 20.7363 4.12686C20.7363 4.81722 20.1767 5.37686 19.4863 5.37686C18.796 5.37686 18.2363 4.81722 18.2363 4.12686ZM19.4863 1.37686C17.9675 1.37686 16.7363 2.60808 16.7363 4.12686C16.7363 4.43206 16.786 4.72564 16.8778 4.99996H7C4.79086 4.99996 3 6.79082 3 8.99996V19C3 21.2091 4.79086 23 7 23H17C19.2091 23 21 21.2091 21 19V8.99996C21 8.16642 20.745 7.39244 20.3089 6.75173C21.4258 6.40207 22.2363 5.35911 22.2363 4.12686C22.2363 2.60808 21.0051 1.37686 19.4863 1.37686ZM7 6.49996H16.6319L14.6964 8.43547C14.4035 8.72837 14.4035 9.20324 14.6964 9.49613C14.9893 9.78903 15.4641 9.78903 15.757 9.49613L18.3547 6.89846C19.0438 7.34362 19.5 8.11852 19.5 8.99996V19C19.5 20.3807 18.3807 21.5 17 21.5H7C5.61929 21.5 4.5 20.3807 4.5 19V8.99996C4.5 7.61924 5.61929 6.49996 7 6.49996ZM9.25 12C9.25 11.5857 9.58579 11.25 10 11.25H12H14C14.4142 11.25 14.75 11.5857 14.75 12C14.75 12.4142 14.4142 12.75 14 12.75H12H10C9.58579 12.75 9.25 12.4142 9.25 12ZM9.25 17C9.25 16.5857 9.58579 16.25 10 16.25H12H14C14.4142 16.25 14.75 16.5857 14.75 17C14.75 17.4142 14.4142 17.75 14 17.75H12H10C9.58579 17.75 9.25 17.4142 9.25 17Z" fill="currentColor"/> </svg> Аннотация</a></div><div class="tw-grow tw-basis-0 max-md:tw-max-w-[80px]"><a href="/c/algebra-41fc2e/references" class="bre-article-menu__list-item"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M5 3.25C3.48122 3.25 2.25 4.48122 2.25 6V16.1667C2.25 17.6854 3.48122 18.9167 5 18.9167H9.3C9.80519 18.9167 10.2974 19.1269 10.6662 19.5139C11.0362 19.9022 11.25 20.4361 11.25 21C11.25 21.4142 11.5858 21.75 12 21.75C12.4142 21.75 12.75 21.4142 12.75 21C12.75 20.4227 12.9564 19.8833 13.3026 19.4973C13.6464 19.114 14.0941 18.9167 14.5412 18.9167H19C20.5188 18.9167 21.75 17.6855 21.75 16.1667V6C21.75 4.48122 20.5188 3.25 19 3.25H15.3882C14.2627 3.25 13.2022 3.74922 12.4341 4.60572C12.266 4.79308 12.1147 4.99431 11.9809 5.20674C11.8358 4.98777 11.6713 4.78092 11.4885 4.58908C10.6758 3.73626 9.56568 3.25 8.4 3.25H5ZM12.75 17.993C13.2735 17.6237 13.8929 17.4167 14.5412 17.4167H19C19.6904 17.4167 20.25 16.857 20.25 16.1667V6C20.25 5.30964 19.6904 4.75 19 4.75H15.3882C14.7165 4.75 14.0534 5.04681 13.5507 5.60725C13.0457 6.17037 12.75 6.95001 12.75 7.77778V17.993ZM11.25 18.0438V7.77778C11.25 6.96341 10.9414 6.18924 10.4026 5.62389C9.86506 5.05976 9.14388 4.75 8.4 4.75H5C4.30964 4.75 3.75 5.30964 3.75 6V16.1667C3.75 16.857 4.30964 17.4167 5 17.4167H9.3C10.0044 17.4167 10.6825 17.64 11.25 18.0438Z" fill="currentColor"/> </svg> Библиография</a>Библиография<a href="/c/algebra-41fc2e/references" class="bre-article-menu__list-item tw-mx-auto tw-flex lg:tw-hidden"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M5 3.25C3.48122 3.25 2.25 4.48122 2.25 6V16.1667C2.25 17.6854 3.48122 18.9167 5 18.9167H9.3C9.80519 18.9167 10.2974 19.1269 10.6662 19.5139C11.0362 19.9022 11.25 20.4361 11.25 21C11.25 21.4142 11.5858 21.75 12 21.75C12.4142 21.75 12.75 21.4142 12.75 21C12.75 20.4227 12.9564 19.8833 13.3026 19.4973C13.6464 19.114 14.0941 18.9167 14.5412 18.9167H19C20.5188 18.9167 21.75 17.6855 21.75 16.1667V6C21.75 4.48122 20.5188 3.25 19 3.25H15.3882C14.2627 3.25 13.2022 3.74922 12.4341 4.60572C12.266 4.79308 12.1147 4.99431 11.9809 5.20674C11.8358 4.98777 11.6713 4.78092 11.4885 4.58908C10.6758 3.73626 9.56568 3.25 8.4 3.25H5ZM12.75 17.993C13.2735 17.6237 13.8929 17.4167 14.5412 17.4167H19C19.6904 17.4167 20.25 16.857 20.25 16.1667V6C20.25 5.30964 19.6904 4.75 19 4.75H15.3882C14.7165 4.75 14.0534 5.04681 13.5507 5.60725C13.0457 6.17037 12.75 6.95001 12.75 7.77778V17.993ZM11.25 18.0438V7.77778C11.25 6.96341 10.9414 6.18924 10.4026 5.62389C9.86506 5.05976 9.14388 4.75 8.4 4.75H5C4.30964 4.75 3.75 5.30964 3.75 6V16.1667C3.75 16.857 4.30964 17.4167 5 17.4167H9.3C10.0044 17.4167 10.6825 17.64 11.25 18.0438Z" fill="currentColor"/> </svg> Библиография</a></div><div class="tw-grow tw-basis-0 max-md:tw-max-w-[80px]"><a href="/c/algebra-41fc2e/versions" class="bre-article-menu__list-item"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M10.9565 3.85864H7.51619C7.8045 3.2057 8.4577 2.75 9.21734 2.75H13.5652H14.7687C15.4365 2.75 16.0697 3.0466 16.4972 3.55959L19.2502 6.86313C19.5871 7.26748 19.7717 7.77718 19.7717 8.30354V10.6957V16.7826C19.7717 17.5422 19.316 18.1954 18.663 18.4838V13.3043V10.9122C18.663 10.0349 18.3555 9.18542 17.7939 8.51149L15.0409 5.20795C14.3284 4.35298 13.273 3.85864 12.1601 3.85864H10.9565ZM14.913 22.7499C16.6051 22.7499 18.0354 21.6293 18.5022 20.0898C20.0762 19.8113 21.2717 18.4365 21.2717 16.7826V10.6957V8.30354C21.2717 7.42628 20.9641 6.57678 20.4025 5.90285L17.6496 2.59931C16.9371 1.74434 15.8817 1.25 14.7687 1.25H13.5652H9.21734C7.56341 1.25 6.18869 2.44548 5.91016 4.01947C4.37062 4.48633 3.25 5.91662 3.25 7.60864V18.9999C3.25 21.071 4.92893 22.7499 7 22.7499H14.913ZM7 5.35864C5.75736 5.35864 4.75 6.366 4.75 7.60864V18.9999C4.75 20.2426 5.75736 21.2499 7 21.2499H14.913C16.1557 21.2499 17.163 20.2426 17.163 18.9999V13.3043V10.9122C17.163 10.7991 17.1545 10.6867 17.1378 10.5761H15.3043C13.9296 10.5761 12.8152 9.46164 12.8152 8.08694V5.45611C12.6051 5.39215 12.3845 5.35864 12.1601 5.35864H10.9565H7ZM14.3152 6.68014V8.08694C14.3152 8.63322 14.758 9.07607 15.3043 9.07607H16.3118L14.3152 6.68014ZM6.72827 13.3043C6.72827 12.8901 7.06406 12.5543 7.47827 12.5543H14.4348C14.849 12.5543 15.1848 12.8901 15.1848 13.3043C15.1848 13.7185 14.849 14.0543 14.4348 14.0543H7.47827C7.06406 14.0543 6.72827 13.7185 6.72827 13.3043ZM7.47827 16.9022C7.06406 16.9022 6.72827 17.238 6.72827 17.6522C6.72827 18.0664 7.06406 18.4022 7.47827 18.4022H10.9565C11.3707 18.4022 11.7065 18.0664 11.7065 17.6522C11.7065 17.238 11.3707 16.9022 10.9565 16.9022H7.47827Z" fill="currentColor"/> </svg> Версии</a>Версии<a href="/c/algebra-41fc2e/versions" class="bre-article-menu__list-item tw-mx-auto tw-flex lg:tw-hidden"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M10.9565 3.85864H7.51619C7.8045 3.2057 8.4577 2.75 9.21734 2.75H13.5652H14.7687C15.4365 2.75 16.0697 3.0466 16.4972 3.55959L19.2502 6.86313C19.5871 7.26748 19.7717 7.77718 19.7717 8.30354V10.6957V16.7826C19.7717 17.5422 19.316 18.1954 18.663 18.4838V13.3043V10.9122C18.663 10.0349 18.3555 9.18542 17.7939 8.51149L15.0409 5.20795C14.3284 4.35298 13.273 3.85864 12.1601 3.85864H10.9565ZM14.913 22.7499C16.6051 22.7499 18.0354 21.6293 18.5022 20.0898C20.0762 19.8113 21.2717 18.4365 21.2717 16.7826V10.6957V8.30354C21.2717 7.42628 20.9641 6.57678 20.4025 5.90285L17.6496 2.59931C16.9371 1.74434 15.8817 1.25 14.7687 1.25H13.5652H9.21734C7.56341 1.25 6.18869 2.44548 5.91016 4.01947C4.37062 4.48633 3.25 5.91662 3.25 7.60864V18.9999C3.25 21.071 4.92893 22.7499 7 22.7499H14.913ZM7 5.35864C5.75736 5.35864 4.75 6.366 4.75 7.60864V18.9999C4.75 20.2426 5.75736 21.2499 7 21.2499H14.913C16.1557 21.2499 17.163 20.2426 17.163 18.9999V13.3043V10.9122C17.163 10.7991 17.1545 10.6867 17.1378 10.5761H15.3043C13.9296 10.5761 12.8152 9.46164 12.8152 8.08694V5.45611C12.6051 5.39215 12.3845 5.35864 12.1601 5.35864H10.9565H7ZM14.3152 6.68014V8.08694C14.3152 8.63322 14.758 9.07607 15.3043 9.07607H16.3118L14.3152 6.68014ZM6.72827 13.3043C6.72827 12.8901 7.06406 12.5543 7.47827 12.5543H14.4348C14.849 12.5543 15.1848 12.8901 15.1848 13.3043C15.1848 13.7185 14.849 14.0543 14.4348 14.0543H7.47827C7.06406 14.0543 6.72827 13.7185 6.72827 13.3043ZM7.47827 16.9022C7.06406 16.9022 6.72827 17.238 6.72827 17.6522C6.72827 18.0664 7.06406 18.4022 7.47827 18.4022H10.9565C11.3707 18.4022 11.7065 18.0664 11.7065 17.6522C11.7065 17.238 11.3707 16.9022 10.9565 16.9022H7.47827Z" fill="currentColor"/> </svg> Версии</a></div></div></div></nav><div><meta itemprop="image primaryImageOfPage" content="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120"><article itemscope itemprop="mainEntity" itemtype="https://schema.org/Article"><div itemprop="publisher" itemscope itemtype="https://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»"><meta itemprop="address" content="Покровский бульвар, д. 8, стр. 1А, Москва, 109028"><meta itemprop="telephone" content="+7 (495) 781-15-95"><meta itemprop="logo" content="https://s.bigenc.ru/_nuxt/logo.98u7ubS9.svg"></div><div itemprop="copyrightHolder" itemscope itemtype="https://schema.org/Organization"><meta itemprop="name" content="Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»"><meta itemprop="address" content="Покровский бульвар, д. 8, стр. 1А, Москва, 109028"><meta itemprop="telephone" content="+7 (495) 781-15-95"><meta itemprop="logo" content="https://s.bigenc.ru/_nuxt/logo.98u7ubS9.svg"></div><meta itemprop="articleSection" content="Научные теории, концепции, гипотезы, модели"><meta itemprop="headline" content="Алгебра"><meta itemprop="keywords" content="Алгебраические уравнения, Алгебраические операции"><div class="bre-article-page max-md:tw-mt-10 md:max-lg:tw-mt-[81px] max-md:tw-mt-[105px]"><nav class="bre-article-loc -hide-on-desktop-s"><div class="bre-article-loc-button">Содержание<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M6 9l6 6 6-6" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round"/></svg> <div class="bre-article-loc-short">Исторический очерк</div></div></nav><div class="article-sidebar -hide-on-desktop-s"><div class="article-sidebar-button -show-on-tablet -hide-on-desktop-s">Информация<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M6 9l6 6 6-6" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round"/></svg> <div class="article-sidebar-text -show-on-tablet -hide-on-desktop-s">Алгебра</div></div><div class="article-sidebar-wrapper -hide-on-tablet"><header class="bre-article-header -hide-on-tablet"><div class="bre-label__wrap"><a href="/t/scientific_theories" class="bre-label _link">Научные теории, концепции, гипотезы, модели</a>Научные теории, концепции, гипотезы, модели</div><h1 class="bre-article-header-title">Алгебра</h1></header><section class="-hide-on-tablet tw-h-14 md:tw-h-20"><div><div><div itemprop="interactionStatistic" itemscope itemtype="https://schema.org/InteractionCounter"><meta itemprop="interactionType" content="https://schema.org/ViewAction"><meta itemprop="userInteractionCount" content=""></div><div itemprop="interactionStatistic" itemscope itemtype="https://schema.org/InteractionCounter"><meta itemprop="interactionType" content="https://schema.org/ShareAction"><meta itemprop="userInteractionCount" content=""></div><div itemprop="interactionStatistic" itemscope itemtype="https://schema.org/InteractionCounter"><meta itemprop="interactionType" content="https://schema.org/LikeAction"><meta itemprop="userInteractionCount" content=""></div></div></div></section><meta itemprop="name" content="Математика"><meta itemprop="caption" content="Математика. Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»"><img src="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120" onerror="this.setAttribute('data-error', 1)" alt="Математика" data-nuxt-img sizes="320px" srcset="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=kwZEMADbF0h1k2QM5MQ63g&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=iDjHjthf4TWMMOWxyvO9-Q&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=aOq57ZwrPJzlZoA0JyAqNA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=RysrupjbIa5XYWB_pfATYQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=8eQ4RSvaDJue-elzThMhjA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=4tn4w-MU4hKmUoYIwAeqew&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=SXvkdFSbX19Vh-sgDBVBiQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1920 1920w" title="Математика" class="" itemprop="contentUrl"><div class="article-sidebar-meta"><dl class="tw-mt-0"><dt>Области знаний:</dt><dd>Алгебра</dd></dl></div></div></div><div class="bre-article-page__container"><div class="bre-article-page__content bre-article-content"><header class="bre-article-header -show-on-tablet"><div class="bre-label__wrap"><a href="/t/scientific_theories" class="bre-label _link">Научные теории, концепции, гипотезы, модели</a>Научные теории, концепции, гипотезы, модели</div><h1 class="bre-article-header-title">Алгебра</h1></header><section class="tw-flex"><div class="-show-on-tablet tw-h-14 md:tw-h-20"></div></section><div class="js-preview-link-root"><div itemprop="articleBody" class="bre-article-body"><section><section>А́лгебра [ср.-век. лат. algebra, от араб. الجبر – воссоединение (отдельных частей уравнения)], раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над математическими объектами и влияет на формирование общих понятий и методов математики. Задачи и методы алгебры заключались первоначально в составлении и решении уравнений. В связи с исследованиями уравнений развивалось понятие числа, были введены отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа; общее исследование свойств этих числовых систем относится к алгебре. В алгебре сформировались буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в форме, не содержащей конкретных чисел. Преобразования по определённым правилам (связанным со свойствами действий) буквенных выражений составляет аппарат классической алгебры. Развитие алгебры оказало большое влияние на развитие новых областей математики, в частности <a href="/c/matematicheskii-analiz-942618" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">математического анализа</a>, <a href="/c/differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">дифференциального</a> и <a href="/c/integral-noe-ischislenie-a6d86a" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">интегрального</a> исчисления. Применение алгебры возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраических методов является <a href="/c/lineinaia-algebra-541485" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">векторная алгебра</a> и её дальнейшее обобщение – <a href="/c/tenzornoe-ischislenie-6ae956" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">тензорная</a> алгебра, ставшая одним из важных средств современной физики.Алгебра в более широком, современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, называемые алгебраическими, по своим свойствам сходные со сложением и умножением чисел. Алгебра классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнений может быть вектор, матрица, оператор). Этот новый взгляд на алгебру, оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов не только в математике, но и в других науках, в частности в физике. Он укрепил связи алгебры с другими разделами математики и усилил влияние алгебры на их дальнейшее развитие.<h2 id="h2_istoricheskii_ocherk">Исторический очерк</h2>Алгебре предшествовала арифметика, операциями которой были сложение, вычитание, умножение и деление чисел, сначала только целых, а затем и дробных. Вначале отличие алгебры от арифметики заключалось в том, что в алгебре вводилась неизвестная величина, действия над которой, диктуемые условиями задачи, приводили к уравнению, из которого находилась эта неизвестная величина. Элемент такой трактовки арифметических задач содержится в древнеегипетском <a href="/c/matematicheskie-papirusy-699550" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">папирусе Ахмеса</a>, где искомая величина обозначается соответствующим иероглифом. Древние египтяне решали и достаточно сложные задачи (связанные, например, с арифметическими и геометрическими прогрессиями). Как формулировка задач, так и решения давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров.В начале 20 в. были расшифрованы <a href="/c/klinopisnye-matematicheskie-teksty-980ced" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">клинописные математические тексты</a> и другой древнейшей культуры – вавилонской. Вавилоняне уже за 4 тыс. лет до наших дней с помощью специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; некоторые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнений 3-й степени.Логические доказательства в математику впервые ввели древнегреческие геометры. В рамках геометрического метода многие математические вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин – как площадь прямоугольника и т. д. В современном математическом языке сохранилось, например, название «квадрат» для произведения величины на самоё себя. К другой, негеометрической линии развития древнегреческой математики относится трактат <a href="/c/diofant-a6f538" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Диофанта</a> «Арифметика», в котором он довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й, 2-й и более высоких степеней. В этом трактате можно найти попытки употребления буквенной символики и отрицательных чисел. На конкретных примерах предвосхищаются методы решения в рациональных числах уравнений 3-й степени с двумя неизвестными.Достижения древнегреческой науки развивались учёными средневекового Востока, в том числе <a href="/c/al-khorezmi-mukhammed-ibn-musa-2c1316" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">аль-Хорезми</a> и <a href="/c/abu-reikhan-al-biruni-53108b" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">аль-Бируни</a>. Учёные Востока передали Европе известную им математику в своей оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно алгеброй. Термин «алгебра» происходит от названия сочинения аль-Хорезми «Аль-джебр аль-мукаба-ла», означающего один из приёмов преобразования уравнений. Со времени аль-Хорезми алгебру можно рассматривать как отдельный раздел математики.Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс алгебры стал возможным только после появления удобных <a href="/c/matematicheskie-znaki-fce602" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">символов</a> для обозначения действий. Этот процесс шёл очень медленно, и только в конце 15 в. появились принятые теперь знаки <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>+</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">+</annotation></semantics></math>+ и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>–</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">–</annotation></semantics></math>–. Затем были введены и получили всеобщее признание знаки, обозначающие степень, корень, а также скобки. К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов современной алгебры – употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этого в алгебре и арифметике как бы не было общих правил и доказательств; рассматривались исключительно численные примеры, почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники того времени давали десятки частных правил вместо одного общего. <a href="/c/viet-fransua-16e9a4" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Ф. Виет</a> (1591) первым начал писать задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo separator="true">,</mo><mi>I</mi><mo separator="true">,</mo><mo>…</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A, E, I, \ldots</annotation></semantics></math>A,E,I,…, а известные – согласными <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>B</mi><mo separator="true">,</mo><mi>C</mi><mo separator="true">,</mo><mi>D</mi><mo separator="true">,</mo><mo>…</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">B, C, D, \ldots </annotation></semantics></math>B,C,D,…. Эти буквы он соединял имевшимися в то время знаками математических операций, т. о. впервые возникли буквенные формулы, характерные для современной алгебры. Начиная с <a href="/c/dekart-rene-01cca8" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Р. Декарта</a> для неизвестных употребляют, как правило, последние буквы латинского алфавита <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x, y, z</annotation></semantics></math>x,y,z.Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого языка формул было бы немыслимо бурное развитие математики начиная с 17 в., создание математического анализа, математического выражения законов механики и физики и др.Исторически первой задачей алгебры было решение <a href="/c/algebraicheskoe-uravnenie-f0cbfe" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">алгебраических уравнений</a>, т. е. нахождение их корней. Важную роль в решении уравнений сыграло появление отрицательных чисел. Они были введены индийскими математиками в 10 в., но учёные средневекового Востока их не использовали. С отрицательными числами свыкались постепенно; этому способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл, например убытка, недостатка, долга. Окончательно отрицательные числа вошли в употребление только в 17 в., после того как Р. Декарт предложил их наглядное геометрическое представление.При решении алгебраических уравнений возникла потребность расширения числовой области. Так, при решении уравнений 2-й степени появляются иррациональные числа. С извлечением корней сталкивались ещё древнегреческие и среднеазиатские математики, которые предложили остроумные способы их приближённого вычисления. Взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение комплексных чисел относится к 18 в.Любое уравнение <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n-й степени имеет <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math>n корней, вообще говоря комплексных, причём это верно и для уравнений с комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы алгебры, была впервые сформулирована в 17 в., её доказательство было дано в конце 18 в. <a href="/c/gauss-karl-fridrikh-c2314a" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">К. Ф. Гауссом</a>. Все известные доказательства должны были в той или иной форме использовать непрерывность; т. о., доказательство основной теоремы алгебры выходило за пределы алгебры, демонстрируя неразрывность математики в целом.Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к системам уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай систем <a href="/c/lineinoe-uravnenie-31bf8e" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">линейных уравнений</a>. К этим простейшим системам сводятся системы уравнений, встречающихся на практике. Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. <a href="/c/leibnits-gotfrid-vil-gel-m-b9fd2d" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Г. В. Лейбниц</a> (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений важную роль играет <a href="/c/matritsa-v-matematike-6f55e0" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">матрица</a>, составленная из их коэффициентов. Впоследствии матрицы стали предметом самостоятельного изучения в алгебре, т. к. их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений.Появление <a href="/c/analiticheskaia-geometriia-074ad1" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">аналитической геометрии</a> тесно связано с алгеброй. Если у древних греков чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь алгебраические средства выражения оказались настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул.В конце 17 – начале 18 вв. был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых, сыгравший важнейшую роль в развитии математики и её приложений, что во многом было подготовлено развитием алгебры. В частности, буквенные выражения и действия над ними способствовали зарождению ещё в 16–17 вв. взгляда на математические величины как на переменные, что характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой (функции от этой переменной).Алгебра и математический анализ развивались в 17–18 вв. в тесной связи. В алгебру проникали понятия и методы анализа, в этом направлении её обогатил <a href="/c/n-iuton-isaak-0f3dbe" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">И. Ньютон</a>. С другой стороны, алгебра дала анализу развитый набор формул и преобразований, сыгравших большую роль в начальный период развития интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в алгебре этого периода было появление учебника <a href="/c/eiler-leonard-0e881f" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Л. Эйлера</a>. Отличие алгебры от анализа в 18–19 вв. характеризуется тем, что алгебра имеет своим основным предметом дискретное, конечное. Основные операции, например сложение, производятся в алгебре конечное число раз. Эту особенность алгебры подчеркнул в 1-й половине 19 в. <a href="/c/lobachevskii-nikolai-ivanovich-dba442" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Н. И. Лобачевский</a>, назвав одну из своих книг «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834).К 18 в. алгебра сложилась примерно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта алгебра охватывает действия сложения, умножения с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень и обратное ему извлечение корня. Эти действия проводятся над числами или буквами, которые могут обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. На русском языке изложение элементарной алгебры в виде, сложившемся к началу 18 в., было впервые дано в «Арифметике…» <a href="/c/magnitskii-leontii-filippovich-41b5e0" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Л. Ф. Магницкого</a>.Алгебра 18–19 вв. есть прежде всего алгебра <a href="/c/mnogochlen-aa52f7" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">многочленов</a>. Предмет алгебры, таким образом, оказывается значительно у́же, чем предмет анализа. Вместе с тем алгебра и математический анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Во многих случаях изучение многочленов как довольно простых функций помогало развитию общей <a href="/c/teoriia-funktsii-c1fb6c" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">теории функций</a>. Через всю историю математики проходит тенденция сведения изучения более сложных функций к изучению многочленов или <a href="/c/riad-v-matematike-2e65f7" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">рядов</a>. С другой стороны, алгебра начинает всё больше пользоваться идеями непрерывности и бесконечности, характерными для математического анализа.<h2 id="h2_sovremennoe_sostoyanie_algeбrы">Современное состояние алгебры</h2>Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Простой пример даёт возможность проследить, как это происходит. Известна формула <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a+b)^2=a^2+ 2ab+b^2</annotation></semantics></math>(a+b)2=a2+2ab+b2. Её выводом является цепочка равенств: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a+b)^2= (a+b)(a+b)=\\=(a+b)a+(a+b)b=(a^2+ba)+(ab+b^2)=\\=a^2+(ba+ab)+b^2=a^2+ 2ab+b^2.</annotation></semantics></math>(a+b)2=(a+b)(a+b)==(a+b)a+(a+b)b=(a2+ba)+(ab+b2)==a2+(ba+ab)+b2=a2+2ab+b2.Здесь дважды использован закон дистрибутивности, закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец, используется закон коммутативности <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ba=ab</annotation></semantics></math>ba=ab. Что представляют собой объекты, обозначенные буквами <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math>a и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b</annotation></semantics></math>b, не имеет значения; важно, чтобы они принадлежали множеству, в котором определены две операции, сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Формула останется верной, если <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math>a и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b</annotation></semantics></math>b означают векторы, в этом случае сложение в левой части – это сложение векторов, а в правой части формулы – сложение чисел; под умножением понимается скалярное умножение векторов. В этой формуле вместо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math>a и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>b</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">b</annotation></semantics></math>b можно подставить также коммутирующие матрицы (т. е. такие, что <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>b</mi><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ab=ba</annotation></semantics></math>ab=ba, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и др.Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, приходят к понятию <a href="/c/universal-naia-algebra-96d34c" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">множества, наделённого алгебраическими операциями</a>. В ходе развития математики и её приложений первоначально выделились сравнительно немногие типы алгебраических структур: <a href="/c/gruppa-v-matematike-7f92b0" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">группы</a>, <a href="/c/pole-v-matematike-2cc2aa" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">поля</a>, <a href="/c/vektornoe-prostranstvo-22e0fb" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">векторные пространства</a>, <a href="/c/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">ассоциативные кольца и алгебры</a>, <a href="/c/modul-v-matematike-74de06" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">модули</a>. В дальнейшем предметом изучения стали также другие классы: неассоциативные <a href="/c/teoriia-kolets-2c1f3f" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">кольца</a> и алгебры (в том числе <a href="/c/teoriia-algebr-li-8bfb01" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">алгебры Ли</a>, <a href="/c/iordanova-algebra-a726d1" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">йордановы алгебры</a>), <a href="/c/teoriia-reshiotok-caaea9" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">решётки</a>, <a href="/c/teoriia-grupp-cfe63a" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">полугруппы</a> и др. Большим разделом алгебры, имеющим многочисленные приложения, как в самой математике, так и в естествознании, является теория представлений групп. Алгебра имеет тесные связи и с математической логикой (см. <a href="/c/buleva-algebra-bb6ceb" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Булева алгебра</a>, <a href="/c/teoriia-modelei-d24f43" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">Теория моделей</a>).Развиваются также разделы алгебры, изучающие алгебраические операции в множествах, снабжённых дополнительными структурами. Таким образом возникли <a href="/c/topologicheskaia-algebra-52c611" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">топологическая алгебра</a>, <a href="/c/teoriia-grupp-li-18f7b6" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">теория групп Ли</a> (т. е. групп, являющихся гладкими многообразиями), теории различных упорядоченных систем. Теория полей, возникшая из алгебраической теории чисел, и изучение коммутативных колец относятся к <a href="/c/kommutativnaia-algebra-692c3a" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">коммутативной алгебре</a>, которая служит основой <a href="/c/algebraicheskaia-geometriia-9c3b63" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">алгебраической геометрии</a>. Под влиянием топологии появился новый раздел алгебры – <a href="/c/gomologicheskaia-algebra-6ed450" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">гомологическая алгебра</a>, которая, в свою очередь, привела к возникновению <a href="/c/teoriia-kategorii-dfd110" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">теории категорий</a>, давшей новый универсальный язык для описания понятий не только алгебры, но и практически всех областей математики.Наряду с фундаментальной ролью внутри математики, алгебра имеет большое прикладное значение: она применяется в физике (симплектические формы в механике, представления групп Ли в квантовой теории, супералгебры Ли в теории поля, фёдоровские группы в кристаллографии), в <a href="/c/diskretnaia-matematika-6f71b5" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">дискретной математике</a> (<a href="/c/teoriia-avtomatov-1658d7" class="bre-preview-link" itemprop="url" data-external="false">теория автоматов</a>, алгебраическая теория кодирования), в математической экономике (линейные неравенства) и др.<a href="/a/a-kurosh-325961" class="">Курош Александр Геннадиевич</a>, <a href="/a/oy-shmidt-9d206f" class="">Шмидт Отто Юльевич</a>, <a href="/a/d-faddeev-2abf74" class="">Фаддеев Дмитрий Константинович</a>. Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2005.</section></section></div><meta itemprop="description" content="А́лгебра, раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над...">Опубликовано 30 января 2023 г. в 15:03 (GMT+3). Последнее обновление 30 января 2023 г. в 15:03 (GMT+3).<button type="button" class="b-button tw-gap-2 b-button--link -text-button-text tw-rounded-lg tw-cursor-pointer" data-v-cfbedafc>Связаться с редакцией</button></div></div><div class="bre-tags-wrap"><a href="/l/algebraicheskie-uravneniia-48ce21" class="bre-article-tag bre-article-tag__link _default _no-border" data-v-063d9480>#Алгебраические уравнения</a><a href="/l/algebraicheskie-operatsii-e5bef9" class="bre-article-tag bre-article-tag__link _default _no-border" data-v-063d9480>#Алгебраические операции</a></div></div><aside class="bre-article-page__sidebar -show-on-desktop-s" style=""><nav class="bre-article-loc lg:tw-sticky"><div class="bre-article-loc-button">Содержание<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M6 9l6 6 6-6" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round"/></svg> <div class="bre-article-loc-short">Исторический очерк</div></div></nav><div class="bre-article-page__sidebar-wrapper"><div class="article-sidebar"><div class="article-sidebar-button -show-on-tablet -hide-on-desktop-s">Информация<svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M6 9l6 6 6-6" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-linecap="round"/></svg> <div class="article-sidebar-text -show-on-tablet -hide-on-desktop-s"></div></div><div class="article-sidebar-wrapper -hide-on-tablet"><meta itemprop="name" content="Математика"><meta itemprop="caption" content="Математика. Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»"><img src="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120" onerror="this.setAttribute('data-error', 1)" alt="Математика" data-nuxt-img sizes="320px" srcset="https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=kwZEMADbF0h1k2QM5MQ63g&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=iDjHjthf4TWMMOWxyvO9-Q&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=aOq57ZwrPJzlZoA0JyAqNA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=RysrupjbIa5XYWB_pfATYQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=8eQ4RSvaDJue-elzThMhjA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=4tn4w-MU4hKmUoYIwAeqew&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=SXvkdFSbX19Vh-sgDBVBiQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1920 1920w" title="Математика" class="" itemprop="contentUrl"><div class="article-sidebar-meta"><dl class="tw-mt-0"><dt>Области знаний:</dt><dd>Алгебра</dd></dl></div></div></div></div></aside></div></article></div></div><div></div></main><footer class="bre-footer" itemscope itemprop="hasPart" itemtype="https://schema.org/WPFooter"><meta itemprop="copyrightNotice" content="&copy;&nbsp;АНО БРЭ, 2022&nbsp;&mdash;&nbsp;2024. Все права защищены."><div class="bre-footer__inner" itemprop="hasPart" itemscope itemtype="https://schema.org/SiteNavigationElement"><div class="_menu bre-footer-section"><ul class="bre-inline-menu _footer-link-groups"><li class="_footer-links bre-inline-menu__item"><ul class="bre-inline-menu _footer-links"><li class="_button bre-inline-menu__item"><a href="/p/about-project" class="" itemprop="url">О портале</a></li><li class="_button bre-inline-menu__item"><a href="/p/author" class="" itemprop="url">Стать автором</a></li><li class="_button bre-inline-menu__item"><a href="/p/partners" class="" itemprop="url">Партнёры</a></li><li class="_button bre-inline-menu__item"><a href="/p/copyright-holders" class="" itemprop="url">Правообладателям</a></li><li class="_button bre-inline-menu__item"><a href="/p/contacts" class="" itemprop="url">Контакты</a></li><li class="_button _full-width bre-inline-menu__item"><a href="https://old.bigenc.ru/" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank" itemprop="url">Старая версия сайта</a></li></ul></li><li class="bre-inline-menu__item"><ul class="bre-inline-menu"><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://t.me/bigenc" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" fill="none" viewBox="0 0 24 24"> <path fill="currentColor" d="m2.319 11.552 4.147 1.555 1.605 5.189a.49.49 0 0 0 .562.336.487.487 0 0 0 .214-.102l2.312-1.893a.686.686 0 0 1 .84-.024l4.17 3.043a.486.486 0 0 0 .766-.297L19.99 4.59a.494.494 0 0 0-.397-.584.49.49 0 0 0-.258.025l-17.022 6.6a.491.491 0 0 0 .006.92Zm5.493.728 8.107-5.02c.145-.088.294.11.17.227l-6.69 6.25a1.39 1.39 0 0 0-.43.832l-.228 1.698c-.03.227-.346.25-.41.03l-.875-3.096a.823.823 0 0 1 .356-.921Z"/> </svg> </a></li><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://vk.com/bigenc_ru" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" fill="none" viewBox="0 0 24 24"> <path fill="currentColor" d="M21.969 6.82c.17.425-.353 1.418-1.567 2.978-.17.213-.389.496-.656.85-.559.663-.875 1.1-.947 1.313-.122.284-.073.555.145.815.122.142.401.426.838.851h.037v.036c.996.874 1.664 1.62 2.004 2.234l.073.141.073.267v.336l-.255.266-.62.124-2.66.071c-.17.024-.37 0-.601-.07a2.607 2.607 0 0 1-.528-.213l-.22-.142a4.162 4.162 0 0 1-.728-.639 28.415 28.415 0 0 1-.71-.78 3.62 3.62 0 0 0-.638-.585c-.219-.153-.413-.206-.583-.16a.18.18 0 0 0-.091.036 1.473 1.473 0 0 0-.183.16 1.148 1.148 0 0 0-.218.301 2.19 2.19 0 0 0-.164.514c-.049.225-.073.49-.073.798a.939.939 0 0 1-.036.266 1.154 1.154 0 0 1-.073.195l-.037.036c-.146.141-.34.212-.583.212h-1.166a4.34 4.34 0 0 1-1.548-.141 5.719 5.719 0 0 1-1.367-.55c-.389-.225-.74-.45-1.057-.674a6.361 6.361 0 0 1-.729-.585l-.255-.248a1.58 1.58 0 0 1-.291-.284c-.122-.141-.37-.449-.747-.922a23.006 23.006 0 0 1-1.111-1.524A29.008 29.008 0 0 1 3.42 9.957 34.16 34.16 0 0 1 2.073 7.21.8.8 0 0 1 2 6.926c0-.071.012-.13.036-.177l.037-.036c.097-.142.291-.213.583-.213h2.879a.49.49 0 0 1 .218.054l.182.088.037.036c.121.07.206.177.255.319.146.33.31.68.492 1.046s.322.644.419.833l.146.284c.218.402.419.75.6 1.046.183.295.347.526.493.691.146.166.291.296.437.39.146.095.267.142.365.142.097 0 .194-.012.291-.036l.036-.053.128-.23.146-.461.09-.816V8.557a6.15 6.15 0 0 0-.108-.727 2.135 2.135 0 0 0-.146-.479l-.037-.106c-.17-.236-.473-.39-.91-.461-.074 0-.05-.083.072-.248a1.55 1.55 0 0 1 .401-.284c.364-.189 1.19-.272 2.478-.248.559 0 1.032.047 1.421.142.121.023.23.065.328.124.097.059.17.142.219.248.048.106.085.213.109.32.024.106.036.26.036.46v.55a5.784 5.784 0 0 0-.036.709v.85c0 .072-.006.214-.018.426a9.251 9.251 0 0 0-.018.497c0 .118.012.254.036.408.024.153.067.283.128.39a.55.55 0 0 0 .4.283c.061.012.152-.023.274-.106a2.55 2.55 0 0 0 .4-.355c.146-.153.328-.384.547-.691.219-.307.45-.662.692-1.064a18.64 18.64 0 0 0 1.13-2.305c.024-.047.055-.1.091-.16.037-.058.08-.1.128-.123h.036l.037-.036.145-.035h.219l2.988-.036c.267-.023.492-.011.674.036.182.047.286.106.31.177l.073.106Z"/> </svg> </a></li><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://dzen.ru/bigenc" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <defs> <mask id="inner-star"> <circle cx="12" cy="12" r="9" fill="#fff"/> <path d="M21 12.0964V11.9036C17.0143 11.775 15.195 11.6786 13.7357 10.2643C12.3214 8.805 12.2186 6.98571 12.0964 3H11.9036C11.775 6.98571 11.6786 8.805 10.2643 10.2643C8.805 11.6786 6.98571 11.7814 3 11.9036V12.0964C6.98571 12.225 8.805 12.3214 10.2643 13.7357C11.6786 15.195 11.7814 17.0143 11.9036 21H12.0964C12.225 17.0143 12.3214 15.195 13.7357 13.7357C15.195 12.3214 17.0143 12.2186 21 12.0964Z" fill="#000"/> </mask> </defs> <circle cx="12" cy="12" r="9" fill="currentColor" mask="url(#inner-star)"/> </svg> </a></li><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://ok.ru/group/70000000707835" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg viewBox="0 0 200 200" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path d="M100.1 99.2C109.8 99.2 118.6 95.2 124.9 88.9C131.2 82.6 135.2 73.8 135.2 64.1C135.2 54.4 131.2 45.6 124.9 39.3C118.6 33 109.8 29 100.1 29C90.4 29 81.6 33 75.3 39.3C69 45.5 65 54.3 65 64.1C65 73.9 69 82.6 75.3 88.9C81.6 95.2 90.5 99.2 100.1 99.2ZM88.9 52.7C91.8 49.8 95.8 48 100.2 48C104.7 48 108.6 49.8 111.5 52.7C114.4 55.6 116.2 59.6 116.2 64C116.2 68.5 114.4 72.4 111.5 75.3C108.6 78.2 104.6 80 100.2 80C95.7 80 91.8 78.2 88.9 75.3C86 72.4 84.2 68.4 84.2 64C84.2 59.6 86.1 55.6 88.9 52.7Z" fill="currentColor"/> <path d="M147.5 113.4L137.2 99.3C136.6 98.5 135.4 98.4 134.7 99.1C125 107.4 113 112.8 100.1 112.8C87.2 112.8 75.3 107.4 65.5 99.1C64.8 98.5 63.6 98.6 63 99.3L52.7 113.4C52.2 114.1 52.3 115 52.9 115.6C61.6 122.6 71.7 127.4 82.2 129.9L60.4 168.3C59.8 169.4 60.6 170.8 61.8 170.8H83.1C83.8 170.8 84.4 170.4 84.6 169.7L99.8 135.7L115 169.7C115.2 170.3 115.8 170.8 116.5 170.8H137.8C139.1 170.8 139.8 169.5 139.2 168.3L117.4 129.9C127.9 127.4 138 122.8 146.7 115.6C148 115 148.1 114.1 147.5 113.4Z" fill="currentColor"/> </svg> </a></li><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://www.youtube.com/channel/UCY4SUgcT8rBt4EgK9CAg6Ng" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M21.1623 4.21363C22.1781 4.48683 22.9706 5.28671 23.2453 6.30818C23.9638 9.22233 23.917 14.7319 23.2604 17.6916C22.9887 18.713 22.1932 19.5099 21.1774 19.7861C18.3094 20.4995 5.46414 20.4114 2.76226 19.7861C1.74641 19.5129 0.953955 18.713 0.679238 17.6916C0.0015019 14.914 0.0482943 9.04019 0.664143 6.32335C0.935842 5.30188 1.73131 4.50505 2.74716 4.22881C6.58112 3.42438 19.7977 3.68392 21.1623 4.21363ZM9.69057 8.44824L15.8491 11.9999L9.69057 15.5515V8.44824Z" fill="currentColor"/> </svg> </a></li><li class="bre-inline-menu__item"><a href="https://rutube.ru/channel/29677486/" rel="noopener noreferrer nofollow" target="_blank"><svg viewBox="0 0 24 24" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M3 6.45205C3 4.54554 4.54554 3 6.45205 3H17.5479C19.4545 3 21 4.54554 21 6.45205V17.5479C21 19.4545 19.4545 21 17.5479 21H6.45205C4.54554 21 3 19.4545 3 17.5479V6.45205ZM14.8657 7.43835H6.20547V16.8082H8.6159V13.7598H13.2346L15.342 16.8082H18.0411L15.7173 13.7458C16.439 13.6335 16.9586 13.3665 17.2761 12.9451C17.5936 12.5237 17.7524 11.8494 17.7524 10.9503V10.2479C17.7524 9.71409 17.6947 9.29268 17.5936 8.96955C17.4926 8.64646 17.3194 8.3655 17.0741 8.11265C16.8142 7.87383 16.5256 7.70526 16.1792 7.59288C15.8328 7.49454 15.3997 7.43835 14.8657 7.43835ZM14.476 11.6948H8.6159V9.50336H14.476C14.808 9.50336 15.0389 9.55957 15.1544 9.65789C15.2698 9.75622 15.342 9.93886 15.342 10.2058V10.9925C15.342 11.2734 15.2698 11.456 15.1544 11.5543C15.0389 11.6527 14.808 11.6948 14.476 11.6948ZM19.274 6.57535C19.274 7.18816 18.7771 7.68494 18.1646 7.68494C17.5516 7.68494 17.0548 7.18816 17.0548 6.57535C17.0548 5.96254 17.5516 5.46576 18.1646 5.46576C18.7771 5.46576 19.274 5.96254 19.274 6.57535Z" fill="currentColor"/> </svg> </a></li></ul></li></ul></div><div class="_border bre-footer-section"><ul class="bre-inline-menu"><li class="_footer-text bre-inline-menu__item">Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия» Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации. Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года. ISSN: 2949-2076</li><li class="_footer-text bre-inline-menu__item">Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия» Главный редактор: Кравец С. Л. Телефон редакции: <a href="tel:+74959179000">+7 (495) 917 90 00</a> Эл. почта редакции: <a href="mailto:secretar@greatbook.ru">secretar@greatbook.ru</a></li><li class="_half-width bre-inline-menu__item"><ul class="bre-inline-menu"><li class="tw-h-12 tw-mt-3 bre-inline-menu__item"><svg viewBox="0 0 60 48" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M25.577.226C14.027 1.426 4.087 8.42.903 17.586c-1.187 3.417-1.206 8.83-.045 12.525 4.42 14.064 24.29 21.772 41.012 15.91 4.81-1.686 7.426-3.253 11.082-6.64 9.507-8.81 9.383-22.047-.29-31.086C45.986 2.058 36.151-.872 25.576.226zm12.902 3.345c1.283.355 3.172 1.009 4.198 1.452l1.866.806-2.498.863c-2.472.855-2.529.854-5.365-.107-3.749-1.27-9.587-1.36-14.153-.22-2.764.692-3.65.744-5.015.298-.91-.298-1.657-.717-1.657-.93 0-.435 4.797-2.101 7.962-2.765 2.75-.577 11.74-.207 14.662.603zM16.498 7.354c1.654.685 1.69.756 1.736 3.35.051 2.917.542 5.21.962 4.494.147-.251.406-1.213.574-2.138.169-.924.839-2.208 1.49-2.854 1.145-1.134 2.687-1.289 5.207-.523.928.282.818 10.774-.116 11.128-.385.147-.7.475-.7.73 0 .284 1.353.395 3.494.288 3.904-.195 5.13-.936 5.627-3.4.42-2.078-1.08-3.728-3.748-4.125l-2.108-.313v-2.05c0-2.032.015-2.051 1.617-2.051 1.196 0 1.764.27 2.187 1.04l.57 1.039.28-1.155c.768-3.16 5.399-.393 7.647 4.569 1.253 2.765 2.241 6.748 1.786 7.198-.136.136-5.723.237-12.415.226-9.379-.016-12.595-.173-14.033-.686-1.026-.366-1.918-.67-1.982-.673-.065-.004-.117.409-.117.917 0 .877-.311.924-6.085.924H2.285l.316-1.733c.84-4.62 3.604-9.246 7.303-12.224 3.61-2.905 4.04-3.034 6.594-1.978zm31.704.637c4.444 3.03 8.238 8.665 8.977 13.334l.311 1.964H48.171l-.258-2.821c-.33-3.602-2.508-8.06-5.049-10.334-1.046-.936-1.816-1.789-1.71-1.894.31-.306 3.796-1.516 4.471-1.552.339-.018 1.498.568 2.577 1.303zm-15.32.018c.815.318.741.406-.584.697-1.994.438-8.188-.192-6.88-.7 1.21-.47 6.259-.468 7.463.003zm-1.45 8.003c1.79 1.593 1.82 3.79.064 4.582-1.793.81-2.58-.147-2.58-3.137 0-2.827.585-3.163 2.516-1.445zm-17.73 10.05c-.164 1.016-.152 1.848.026 1.848s1.017-.728 1.864-1.618l1.54-1.617H43.459l-.306 1.964c-.824 5.29-2.498 8.885-4.907 10.53-.976.667-1.813.75-5.132.505l-3.964-.292-.132-5.43c-.129-5.327-.112-5.429.897-5.429 1.575 0 2.733 1.32 2.733 3.115 0 1.338-.219 1.668-1.4 2.11-1.494.558-1.867 1.244-.676 1.244 2.64 0 4.921-3.225 3.992-5.646-.584-1.52-1.303-1.747-5.542-1.747-2.972 0-3.418.095-2.744.583.696.504.787 1.301.672 5.882l-.133 5.298-2.262.374c-2.662.442-3.293.074-4.047-2.355-1.024-3.302-.923-3.132-1.405-2.376-.239.374-.438 1.837-.442 3.252l-.007 2.572-2.547 1.046c-1.475.605-2.943.921-3.486.75-1.374-.431-6.27-5.358-7.66-7.707-1.317-2.227-2.856-7.512-2.4-8.243.166-.266 2.655-.462 5.864-.462H14l-.299 1.848zm43.493.335c-.525 3.8-2.78 7.8-6.359 11.283-1.79 1.742-3.553 3.167-3.916 3.167-.364 0-1.837-.446-3.273-.99l-2.612-.99 2.245-2.36c2.681-2.82 4.187-5.74 4.564-8.85.438-3.62.174-3.444 5.144-3.444h4.51l-.303 2.184zM34.867 39.034c-1.24.715-5.09 1.044-8.004.684-4.526-.56-2.874-1.182 3.103-1.168 4.098.01 5.484.147 4.9.484zm7.727 1.625c1.2.405 2.182.91 2.182 1.122 0 .54-4.773 2.26-8.396 3.028-3.871.82-9.19.82-13.061 0-3.535-.749-8.397-2.485-8.397-2.997 0-.195.81-.62 1.801-.944 1.592-.52 1.955-.489 3.13.273 1.141.74 2.277.86 8.11.86 5.997 0 7.028-.116 8.883-1 2.592-1.235 3.025-1.26 5.748-.342z" fill="currentColor"/></svg> </li><li class="tw-h-12 tw-mt-3 bre-inline-menu__item"><svg viewBox="0 0 48 48" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M23.723.258c.06.157 0 .258-.15.258a.254.254 0 0 0-.248.258c0 .142.118.258.263.258.144 0 .216.078.159.172-.058.095.056.172.253.172.196 0 .31-.077.253-.172-.058-.094.014-.172.159-.172.149 0 .263-.146.263-.338 0-.232-.08-.308-.255-.24-.183.072-.226.022-.151-.177.077-.203.005-.277-.27-.277-.262 0-.344.077-.276.258zm-.11 1.57c-.21.214-.128.712.134.815.414.162.781-.076.726-.471-.05-.362-.62-.59-.86-.344zm-.086 1.303c-.277.283-.254 1.342.058 2.608.405 1.644.432 1.654.764.283.508-2.103.396-3.097-.35-3.097a.767.767 0 0 0-.472.206zm-1.65.296c-.984.45-1.211 1.079-.825 2.284.161.502.398 1.124.526 1.382.218.44.284.463 1.032.363.44-.059.823-.127.853-.152.08-.067-.675-3.928-.796-4.07-.056-.066-.412.02-.79.193zm3.392-.113c-.143.439-.788 3.943-.734 3.989.03.025.415.094.855.153.747.1.814.076 1.032-.363.127-.258.364-.88.525-1.382.432-1.348.155-1.927-1.17-2.44-.323-.125-.457-.114-.509.043zM10.175 4.2c-.473.491-.977.824-1.428.944-.977.26-1.39.573-.612.463.325-.046.932-.13 1.35-.186.418-.056 1.193-.33 1.723-.611.53-.28 1.214-.511 1.519-.514.552-.006.55-.008-.288-.429-.464-.233-1-.424-1.189-.425-.19 0-.673.34-1.075.758zm25.301-.313c-.741.39-.747.4-.25.407.28.004.963.233 1.519.508.974.484 1.306.572 2.95.783.912.117.64-.153-.443-.44-.45-.12-.954-.454-1.427-.945-.842-.874-1.193-.921-2.349-.313zm-18.727.71c-.182.21-.193.3-.04.352.112.038.161.14.109.227-.053.086.015.157.15.157.293 0 .477-.415.342-.774-.123-.326-.251-.317-.56.038zm13.94-.038c-.095.254.023.774.176.774.043 0 .193-.116.332-.258.225-.23.225-.287 0-.516-.14-.142-.289-.258-.332-.258-.043 0-.122.116-.175.258zm-18.352.043c-.01.071-.006.361.008.645.015.284-.092.855-.236 1.27-.665 1.913-.131 2.904 1.849 3.431l.675.18-.498-.376c-.83-.627-1.274-1.18-1.274-1.584 0-.21.19-.82.421-1.356.548-1.26.563-2.088.043-2.23-.524-.143-.967-.134-.988.02zm22.253-.014c-.43.12-.378 1.028.127 2.191.232.535.422 1.153.422 1.373 0 .42-.442.973-1.275 1.597l-.497.372.59-.13c1.968-.433 2.597-1.564 1.933-3.475-.144-.414-.239-1.024-.211-1.355.045-.535.004-.605-.372-.629a2.652 2.652 0 0 0-.717.056zM3.422 5.958c-.489.633-.737 1.705-.609 2.632.205 1.48.872 2.56 2.75 4.454.968.977 1.799 1.737 1.845 1.69.212-.216-.4-1.476-1.08-2.223-.728-.8-1.653-2.533-1.539-2.882.031-.095.54.524 1.13 1.377.59.852 1.132 1.512 1.204 1.467.072-.046.177-.272.234-.504.08-.325-.126-.783-.912-2.023-.56-.88-1.327-2.24-1.706-3.021-.38-.78-.753-1.42-.83-1.42-.075 0-.295.204-.487.453zm13.32-.109c0 .26.088.352.296.312.162-.032.295-.172.295-.312 0-.139-.133-.279-.295-.31-.208-.042-.296.051-.296.31zm13.924-.172c-.141.233.05.517.348.517.134 0 .243-.155.243-.345 0-.356-.407-.474-.59-.172zm12.595 1.248c-.38.78-1.147 2.14-1.706 3.021-.787 1.24-.993 1.697-.913 2.023.057.232.163.459.235.504.072.045.613-.615 1.204-1.467.59-.853 1.098-1.472 1.13-1.377.113.349-.812 2.082-1.54 2.882-.68.747-1.292 2.007-1.08 2.222.047.048.877-.712 1.846-1.689 2.38-2.4 3.154-4.12 2.674-5.937-.185-.698-.761-1.602-1.022-1.602-.076 0-.449.64-.828 1.42zM7.924 5.877c-.552.206-.574.402-.127 1.09.395.609.425 1.246.08 1.711-.137.184-.248.449-.248.59 0 .19.097.16.39-.12.528-.505.622-.474.622.21 0 .343.143.749.35.989l.349.406-.1-.475c-.06-.286.009-.688.173-1.011.312-.615.256-1.332-.209-2.684-.324-.943-.453-1.014-1.28-.706zm30.871.706c-.465 1.352-.52 2.069-.208 2.684.164.323.232.725.172 1.011l-.1.475.35-.406c.206-.24.35-.646.35-.99 0-.683.093-.714.621-.209.293.28.39.31.39.12 0-.141-.11-.406-.247-.59-.345-.465-.316-1.102.079-1.71.457-.704.426-.882-.194-1.102-.814-.289-.88-.25-1.213.717zm-22.156.03c-.112.296.049 1.64.265 2.227.117.315.162.264.334-.378.273-1.02.178-1.991-.2-2.065a.365.365 0 0 0-.4.216zm14.005.009c-.132.35.036 1.882.25 2.27.122.224.203.069.356-.688.11-.537.175-1.15.145-1.363-.064-.461-.601-.618-.752-.22zm-15.213.127c-.54.266-.614.788-.251 1.775.3.819.336.85.895.793.32-.032.595-.07.61-.086.014-.014-.091-.627-.235-1.36-.266-1.36-.348-1.451-1.02-1.122zm2.414.004c-.114.362-.428 2.024-.428 2.268 0 .127.237.266.527.31.48.07.554.016.84-.627.172-.387.316-.878.318-1.091.006-.703-1.073-1.442-1.257-.86zm11.397.118c-.435.444-.442 1.04-.021 1.882.29.58.385.644.844.576.587-.088.6-.162.292-1.672-.235-1.153-.542-1.37-1.115-.786zm2.307 1c-.144.733-.249 1.346-.234 1.36.014.015.285.054.602.086.544.056.593.015.905-.754.189-.465.288-.986.23-1.217-.087-.355-.707-.808-1.105-.808-.075 0-.255.6-.398 1.333zm-9.406.066c-.41.168-.413.18-.094.419.457.343 3.443.344 3.902.001.316-.237.31-.252-.148-.43-.591-.23-3.09-.223-3.66.01zm-.928.947c-.186.15-.793.495-1.35.769-1.002.492-1.007.497-.41.497.784 0 2.113-.412 2.857-.887l.59-.377-.421-.125c-.656-.194-.902-.17-1.266.123zm4.304-.123l-.422.125.59.377c.746.476 2.075.888 2.858.886l.602-.002-.9-.427c-.496-.236-1.116-.583-1.377-.773-.501-.364-.67-.387-1.351-.186zm-9.283.805c-.14.053-.365.132-.502.177-.218.072-.218.101 0 .242.531.342 3.034.11 2.683-.25-.138-.14-1.898-.276-2.181-.17zm13.797.01c-.255.045-.464.145-.464.223 0 .238.486.352 1.49.349.986-.003 1.572-.2 1.233-.414-.25-.157-1.688-.257-2.259-.158zm-14.81.807c0 .49.798 1.74 1.55 2.43.904.828 1.277.996.988.446-.264-.503-.213-.575.2-.28.551.394.865.356.638-.076-.212-.403-.049-.435.412-.08.458.353.643.314.512-.106-.11-.354-.106-.355.356-.047.462.309.466.308.374-.052-.092-.357-.082-.356.5.047.623.43 2.109.584 2.318.238.06-.098-.093-.172-.358-.172-.255 0-.798-.165-1.208-.367l-.744-.368.48-.4.48-.4-.588-.007-.588-.006.58-.317c.632-.346.96-.861.41-.646-.54.211-4.146.31-5.257.145-.705-.105-1.055-.1-1.055.018zm10.999-.06c.04.124.335.37.653.543l.58.317-.589.006-.588.006.48.4.48.401-.744.368c-.41.202-.953.367-1.207.367-.266 0-.419.074-.36.172.21.346 1.696.193 2.32-.238.582-.403.591-.404.5-.046-.093.36-.088.36.374.051.461-.308.466-.307.356.047-.131.42.054.459.511.106.46-.355.624-.323.412.08-.226.432.087.47.638.076.413-.295.465-.223.2.28-.289.55.085.382.987-.446.753-.69 1.55-1.94 1.55-2.43 0-.117-.35-.123-1.054-.018-1.11.166-4.716.066-5.256-.145-.224-.088-.295-.057-.243.103zm-11.42.515c-.153.251.405 1.128 1.001 1.576l.517.389-.294-.423a12.588 12.588 0 0 1-.637-1.068c-.366-.691-.426-.74-.587-.474zm17.818.453c-.193.367-.484.856-.646 1.089l-.295.423.517-.389c.673-.505 1.184-1.373.95-1.611-.12-.122-.285.032-.526.488zM.61 11.206c-.159.262.61 1.77 1.246 2.445.734.778 2.12 1.771 3.374 2.417.813.42.915.436 1.159.188.147-.15.239-.293.205-.318a74.556 74.556 0 0 0-.906-.584 9.907 9.907 0 0 1-1.52-1.248c-.65-.683-.657-.702-.188-.521.589.227 1.262.691 2.383 1.644.746.635 1.772 1.09 1.772.785 0-.171-2-2.117-3.088-3.004-.539-.439-1.365-.997-1.836-1.24-.912-.471-2.454-.806-2.6-.564zm45.728-.016c-1.464.295-3.226 1.487-5.419 3.666-.58.576-1.054 1.098-1.054 1.158 0 .304 1.026-.15 1.772-.785 1.12-.953 1.794-1.417 2.383-1.644.469-.18.462-.162-.19.521-.37.39-1.054.95-1.518 1.248-.464.296-.872.56-.906.584-.035.025.057.168.204.318.244.248.346.232 1.16-.188 1.253-.646 2.64-1.64 3.373-2.417.926-.982 1.595-2.716 1.011-2.621-.064.01-.431.082-.816.16zm-32.82.184c-.8.3-.994 1.35-.38 2.064.219.254.295.249.911-.062.645-.325.708-.327 1.535-.051 1.27.424 1.602.2.622-.422-.43-.273-.988-.772-1.24-1.108-.474-.634-.702-.7-1.448-.42zm3.818.077c-.378.292-.784.267-.889-.053-.048-.148.133-.213.577-.21.61.005.628.02.312.263zm14.216-.053c-.104.32-.51.345-.889.053-.316-.243-.299-.258.313-.263.444-.004.625.062.576.21zm1.481.397c-.252.336-.81.835-1.24 1.108-.98.621-.649.845.623.422.827-.276.89-.274 1.534.051.616.31.693.316.91.062.638-.741.418-1.768-.445-2.075-.763-.27-.884-.233-1.382.432zm-25.399.065c-.297.567-.205 2.075.178 2.88.31.655 2.21 2.636 2.526 2.636.215 0-.294-1.246-.574-1.406-.298-.17-1.123-1.516-1.123-1.83 0-.109.318.154.706.584.697.77.709.775.908.396.181-.345.112-.492-.68-1.442-.484-.582-1.022-1.305-1.196-1.605-.367-.633-.504-.672-.745-.213zm31.987.213c-.174.3-.713 1.023-1.198 1.605-.79.95-.86 1.097-.678 1.442.199.38.21.374.907-.396.389-.43.706-.693.706-.585 0 .316-.825 1.661-1.122 1.83-.28.16-.79 1.407-.575 1.407.317 0 2.215-1.98 2.526-2.636.383-.805.476-2.313.178-2.88-.241-.46-.377-.42-.744.213zm-25.41.486c0 .095-.114.172-.253.172-.14 0-.254-.077-.254-.172 0-.095.114-.172.254-.172.139 0 .253.077.253.172zm20 0c.057.095-.015.172-.16.172-.144 0-.262-.077-.262-.172 0-.095.071-.172.158-.172.088 0 .206.077.264.172zm-14.43.497c0 .091.322.48.717.863l.717.698.054-.635c.04-.454-.03-.698-.243-.857-.212-.158-.33-.167-.413-.032-.083.138-.213.136-.474-.006-.208-.114-.359-.127-.359-.03zm7.193.069c-.214.159-.283.402-.244.857l.054.635.718-.698c.752-.732.953-1.157.405-.858-.198.108-.37.11-.473.005-.103-.104-.27-.083-.46.058zm-8.038.304c0 .293-.052.318-.337.162-.525-.286-.4.055.285.773.561.59.634.621.747.327.264-.686.163-1.21-.273-1.412-.374-.174-.422-.157-.422.15zm9.663-.132c-.397.183-.485.739-.222 1.413.124.318.18.293.747-.335.676-.747.791-1.065.288-.79-.264.144-.336.117-.38-.142-.044-.266-.119-.29-.433-.146zm-7.097 1.126c-.04.796.019 1.088.285 1.419.331.412.336.413.593.072.4-.533.33-1.362-.168-1.965-.24-.291-.487-.53-.548-.53-.062.001-.134.452-.162 1.004zm4.285-.474c-.498.603-.569 1.432-.168 1.965.257.341.262.34.594-.072.265-.33.324-.623.284-1.42-.027-.55-.1-1.002-.162-1.002-.061 0-.308.238-.548.529zm-11.354.155c-.573.173-1.067.294-1.097.269-.03-.025-.26-.096-.513-.157-.586-.144-.484.267.14.557.77.358 1.725.244 2.184-.26.34-.374.55-.792.372-.736l-1.086.327zm1.244.142c-.25.265-.454.619-.454.786 0 .283.03.282.464-.026.6-.425 1.474-.725 2.135-.732.497-.005.507-.018.196-.258-.18-.139-.678-.253-1.108-.253-.634 0-.864.09-1.233.483zm14.304-.23c-.31.24-.3.253.196.258.662.007 1.536.307 2.135.732.452.32.464.321.464.006 0-.178-.213-.532-.474-.786-.37-.362-.638-.463-1.233-.463-.418 0-.908.114-1.088.253zm2.457-.093c0 .074.187.34.414.59.459.504 1.414.618 2.185.26.623-.29.726-.7.14-.557-.253.061-.485.133-.515.158-.03.025-.543-.096-1.14-.27-.596-.174-1.084-.256-1.084-.181zm-12.489.748c0 .77.366 1.501.751 1.501.259 0 .43-.37.43-.928 0-.348-.78-1.309-1.064-1.309-.064 0-.117.332-.117.736zm7.373-.253c-.444.473-.555.94-.35 1.482.145.386.508.337.816-.11.27-.394.37-1.854.125-1.854-.075 0-.341.217-.59.482zm-16.74.488c-.643 1 .008 2.858 1.268 3.617.577.348.664.584.167.452-.186-.05-.338-.144-.338-.209 0-.164-2.158-1.804-2.825-2.148-.57-.293-1.965-.438-2.173-.226-.215.22.51 1.366 1.183 1.868.361.27 1.074.692 1.583.938.746.36.955.402 1.07.216.227-.364.19-.419-.496-.734a6.155 6.155 0 0 1-1.14-.708c-.82-.683-.074-.502 1.09.265.575.378 1.175.689 1.334.69.206.002.169.065-.13.22-.56.288-.62.744-.178 1.353l.363.5-.39-.087a45.326 45.326 0 0 0-1.393-.264c-1.17-.206-1.775-.622-.683-.469.372.052.917.148 1.213.213.48.106.528.082.45-.226-.096-.372-1.576-.899-2.518-.897-.763.001-1.76.333-1.76.586 0 .325 1.216 1.138 1.971 1.317.9.213 2.54.197 2.952-.028.25-.136.396-.136.529 0s.062.188-.256.188c-.287 0-.597.189-.886.54l-.445.539.375.407c.252.274.564.407.951.407h.577l-.456.552c-.464.562-1.676 1.232-2.008 1.11-.1-.036.27-.29.822-.563 1.03-.51 1.392-.927.803-.927-.447 0-1.705.463-2.227.82-.233.159-.614.299-.846.31-.232.012-.875.15-1.428.306-.553.156-1.199.278-1.435.27-.777-.026.93-.689 2.388-.927.732-.12 1.367-.255 1.413-.302.045-.046-.343-.129-.862-.183-1.34-.142-3.548.262-4.717.862-.57.292-1.435 1.07-1.435 1.289 0 .262.913.51 1.89.512 1.32.003 3.558-.763 3.933-1.347.154-.24.318-.397.364-.35.047.047-.046.29-.205.537-.369.574-.252.68.73.663 1.12-.02 2.23-.502 2.244-.974.01-.364.012-.363.163.02.119.3.288.386.76.386.334 0 .75-.077.923-.172.286-.156.307-.118.224.407-.114.712.179 1.314.638 1.314.19 0 .561-.221.826-.491l.482-.49.11.447c.129.53.553 1.05.856 1.05.298 0 .914-.836.914-1.24 0-.272.106-.218.582.296.991 1.071 1.163.852 1.182-1.508.01-1.199-.05-2.021-.148-2.021-.09 0-.374.206-.632.458-.36.352-.688.477-1.401.538-1.114.094-1.79-.156-2.39-.883-.378-.458-.425-.641-.344-1.342a5.43 5.43 0 0 1 .441-1.505c.673-1.344.393-2.112-1.216-3.342-.596-.456-1.297-1.172-1.557-1.592-.26-.42-.491-.762-.513-.762-.023 0-.172.204-.333.454zm7.926.019c.156.644.644 1.477.85 1.45.364-.045.262-.855-.175-1.383-.555-.673-.828-.7-.675-.067zm10.308.067c-.433.524-.537 1.317-.184 1.4.194.047.703-.822.86-1.467.152-.633-.121-.606-.676.067zm7.763.21c-.264.426-.966 1.148-1.559 1.604-.592.455-1.188 1-1.323 1.21-.344.532-.306 1.318.1 2.132.192.38.39 1.058.442 1.505.082.7.035.884-.343 1.342-.6.727-1.276.977-2.39.883-.731-.062-1.04-.184-1.433-.568-.275-.27-.553-.435-.619-.369-.064.067-.129 1.01-.143 2.095-.024 1.86-.006 1.975.308 1.975.183 0 .588-.277.9-.615.468-.505.57-.555.57-.28 0 .403.616 1.239.914 1.239.302 0 .727-.52.856-1.05l.11-.448.481.491c.265.27.636.49.826.49.456 0 .752-.6.64-1.299l-.089-.564.536.218c.294.12.725.166.957.103.35-.095.418-.212.396-.677a1.759 1.759 0 0 0-.41-.978l-.382-.415h.526c.322 0 .71-.167 1-.43l.474-.43-.552-.516c-.303-.284-.663-.517-.801-.517s-.25-.085-.25-.19c0-.119.11-.14.295-.053.515.239 2.24.283 3.054.078.919-.233 2.051-.94 2.051-1.283 0-.296-.863-.616-1.66-.616-1.031 0-2.518.51-2.618.898-.08.308-.031.332.45.226.295-.065.84-.161 1.212-.213 1.163-.163.442.282-.773.477-.596.095-1.224.217-1.397.27-.282.088-.277.047.06-.415.45-.62.393-1.075-.17-1.365-.3-.155-.337-.218-.13-.22.158-.001.759-.312 1.333-.69 1.164-.767 1.91-.948 1.09-.265a6.155 6.155 0 0 1-1.14.708c-.683.314-.722.371-.5.727.17.275 1.581-.323 2.64-1.119.703-.529 1.428-1.663 1.207-1.888-.234-.24-1.62-.067-2.298.285-.574.298-2.453 1.734-2.707 2.068-.135.177-.675.345-.674.21 0-.069.217-.25.48-.402 1.28-.742 1.969-2.81 1.246-3.735l-.312-.4-.48.776zm-13.945.848c-.297.856-.255 1.26.192 1.842l.33.43.334-.43c.397-.512.429-1.048.099-1.698-.461-.909-.678-.941-.955-.144zm2.172-.436c-.71.83-.812 1.614-.296 2.278l.333.43.334-.43c.39-.502.443-1.482.113-2.13-.214-.42-.243-.43-.484-.148zm-24.734.003c-.348.243.62 1.431 1.618 1.983 1.108.615 3.585 1.253 5.432 1.4l1.435.116-.417-.34c-.23-.187-1.076-.497-1.88-.688-1.466-.349-3.02-.979-3.02-1.225 0-.194 1.282.087 2.574.565 2.08.77 1.095-.396-1.064-1.26-1.145-.457-1.724-.582-2.944-.635-.836-.036-1.616.002-1.734.084zm43.865.307c-.683.238-1.48.554-1.772.703-.49.251-1.107.867-1.115 1.115-.002.06.509-.082 1.135-.314 1.295-.48 2.574-.76 2.574-.564 0 .261-1.449.855-2.948 1.208-.842.198-1.719.512-1.95.698l-.418.338 1.434-.113c1.85-.146 4.327-.781 5.433-1.395.988-.547 1.97-1.744 1.617-1.972-.477-.31-2.727-.142-3.99.296zm-24.21.342c-.104.654.19 1.814.473 1.858.091.015.27-.192.395-.46.258-.547.07-1.246-.47-1.743-.28-.259-.305-.237-.398.345zm8.132-.325c-.568.663-.685 1.074-.481 1.702.224.692.375.741.633.206.309-.64.368-1.045.241-1.65-.115-.549-.133-.56-.393-.258zm-6.714.204c-.275.523-.22 1.258.135 1.806l.316.489.274-.398c.405-.59.347-1.396-.135-1.856-.405-.388-.408-.389-.59-.041zm5.087.072c-.444.482-.488 1.263-.102 1.825l.273.398.316-.489c.366-.566.413-1.409.103-1.841-.2-.28-.24-.274-.59.107zm-4.148 1.864c-.324.47-.364 1.497-.082 2.126.258.578.381.554.816-.163.407-.672.361-1.276-.15-1.959l-.306-.41-.278.405zm1.498.147c-.142.28-.257.712-.257.963 0 .434.473 1.454.675 1.454.201 0 .675-1.02.675-1.454 0-.52-.436-1.47-.675-1.47-.088 0-.276.228-.418.507zm1.724-.116c-.494.768-.527 1.268-.128 1.926.438.723.56.748.82.169.293-.656.24-1.705-.11-2.144l-.304-.384-.278.433zm-4.762.12c-.368.414-.407 1.208-.1 1.983l.206.516.41-.483c.49-.579.538-1.465.109-2.006l-.3-.377-.325.367zm6.261.026c-.401.585-.344 1.424.135 1.99l.41.483.205-.516c.32-.806.27-1.596-.125-2l-.35-.356-.274.4zm-25.371.503c-.784.158-1.4.447-1.4.656 0 .264.774.872 1.566 1.23.754.34 3.358.677 5.269.683l.675.002-.506-.416c-.35-.288-.818-.45-1.52-.527-.556-.061-1.268-.193-1.58-.292-.837-.265-.323-.493.834-.37.61.065 1.082.025 1.336-.113.543-.296.271-.419-1.674-.757-1.734-.301-1.946-.308-3-.096zm42.159.073c-.688.131-1.447.29-1.688.351-.428.11-.43.117-.1.37.253.194.594.234 1.35.161 1.221-.118 1.763.11.907.381-.313.1-1.025.23-1.581.292-.702.077-1.169.24-1.52.527l-.506.416.675-.002c3.165-.01 5.53-.526 6.454-1.411.51-.488.483-.625-.174-.904-.867-.37-2.442-.444-3.817-.181zm-22.524 1.74c-.624.936-.58 1.103.287 1.103.402 0 .77-.04.82-.09.15-.154-.044-.845-.36-1.272l-.302-.408-.445.667zm1.701-.117c-.159.274-.29.662-.29.86 0 .306.103.36.676.36.573 0 .675-.054.675-.36 0-.362-.495-1.36-.675-1.36-.053 0-.226.225-.386.5zm1.688 0c-.16.274-.29.662-.29.86 0 .306.103.36.675.36.573 0 .676-.054.676-.36 0-.362-.496-1.36-.675-1.36-.053 0-.227.225-.386.5zm1.67-.074c-.151.234-.293.602-.315.817-.037.352.04.397.76.444.579.038.802-.011.802-.175 0-.213-.786-1.512-.915-1.512-.032 0-.182.192-.333.426zm-6.104.14c-.265.702-1.728 1.048-2.363.558-.477-.368-.581-.324-.581.246 0 .582.494 1.135 1.124 1.258.45.088.672-.198.502-.65-.078-.207.066-.258.739-.258.743 0 .846-.046.938-.417.056-.23.025-.559-.07-.732-.165-.299-.178-.3-.289-.005zm7.613.094c-.235.755.026 1.06.907 1.06.774 0 .808.02.79.474-.015.409.039.465.404.414.615-.085 1.181-.692 1.181-1.266 0-.488-.002-.49-.497-.228-.879.463-1.806.28-2.394-.475l-.275-.352-.116.373zM2.312 21.689c-.75.227-1.603.729-1.603.942 0 .103.323.376.717.606.64.374.916.419 2.574.419 1.021 0 2.082-.064 2.358-.142l.503-.142-.418-.33c-.277-.219-.57-.298-.868-.234-.585.123-1.73-.095-1.536-.293.081-.083.685-.181 1.341-.218.748-.042 1.36-.178 1.637-.363.243-.163.443-.326.443-.362 0-.137-4.662-.03-5.148.117zm5.883-.02c-.6.147-1.748.826-1.748 1.035 0 .379 1.308.78 2.48.759 1.504-.026 1.86-.139 1.569-.497-.138-.17-.52-.256-1.126-.256-.569 0-.878-.066-.813-.172.057-.095.332-.172.612-.172.632 0 1.16-.277 1.16-.609 0-.278-1.155-.325-2.134-.088zm29.475.064c0 .354.512.633 1.16.633.28 0 .555.077.613.172.064.106-.245.172-.814.172-.606 0-.988.087-1.126.256-.291.358.065.47 1.57.497 1.18.02 2.48-.38 2.48-.766 0-.08-.337-.346-.748-.591-.952-.569-3.135-.829-3.135-.373zm2.87-.177c0 .313 1.036.682 2.079.74.656.038 1.26.136 1.342.22.194.198-.952.415-1.537.292-.299-.064-.59.015-.868.234l-.417.33.502.142c.276.078 1.337.142 2.358.142 1.658 0 1.934-.045 2.574-.419.395-.23.718-.507.718-.614 0-.108-.361-.384-.802-.614-.725-.378-1.047-.423-3.376-.476-1.415-.032-2.573-.022-2.573.023zm-19.747 1.41c0 .07.165.426.367.792.253.46.426.615.559.502.16-.135.978.276 1.594.802.04.034-.008.145-.108.247-.13.132-.303.104-.606-.098-.316-.21-.456-.231-.548-.08-.07.116-.004.273.153.363.396.226.347.368-.256.731-.475.286-.503.343-.253.53.154.114.28.257.28.318 0 .24-.655.09-1.075-.247-.404-.323-.445-.466-.445-1.545 0-1.114-.025-1.195-.408-1.293-.85-.218-1.022-.06-1.076.989-.099 1.905.66 2.827 2.204 2.68.486-.047 1.004-.137 1.151-.201.156-.068.43.018.656.204l.387.32-.866.648c-.476.357-.865.7-.863.763.002.063.381.367.844.675.462.308.84.618.84.688-.003.265-1.423 1.054-1.61.895-.127-.106-.313.069-.571.538-.212.383-.35.73-.31.771.04.042.43.026.865-.035.621-.087.773-.17.708-.388-.055-.188.184-.46.741-.847l.824-.57.853.57c.587.392.828.657.77.847-.065.218.085.3.708.388.435.06.82.081.854.045.053-.053-.522-1.188-.749-1.48-.035-.044-.124.021-.2.145-.105.174-.293.114-.828-.263-.38-.269-.694-.54-.698-.603-.003-.063.374-.398.838-.746.465-.348.806-.696.76-.774-.048-.077-.428-.36-.845-.63-.417-.268-.759-.544-.759-.613 0-.069.18-.245.399-.392.307-.205.504-.226.855-.09.665.258 1.823.216 2.238-.08.52-.372.926-1.589.864-2.592L28.98 24h-1.351l-.084 1.263c-.071 1.061-.148 1.315-.483 1.591-.424.35-1.036.443-1.036.157a.17.17 0 0 1 .169-.172c.193 0 .235-.513.042-.522-.07-.003-.273-.118-.45-.255-.309-.238-.31-.266-.032-.58.387-.436.034-.681-.403-.28-.22.204-.398.244-.592.133-.232-.132-.143-.25.53-.696.57-.377.847-.476.933-.335.067.111.15.166.185.121.227-.291.802-1.426.75-1.48-.035-.035-.42-.015-.855.046-.623.087-.773.17-.708.388.058.19-.18.453-.755.837l-.84.56-.838-.56c-.614-.41-.815-.64-.748-.861.064-.215-.003-.301-.238-.301-.18 0-.565-.049-.855-.108-.29-.059-.527-.05-.527.02zm15.733.647c.035.118.517.439 1.069.712.552.273.914.53.804.57-.11.04-.429-.049-.709-.196-.663-.35-.695-.343-.695.14 0 .44.432.698 1.621.971.68.157 1.586.048 1.586-.191 0-.372-1.187-1.459-1.988-1.82-.98-.441-1.792-.531-1.688-.186zm3 .116c-.868.135-.702.21 1.132.51 1.244.203 2.77.841 2.069.865-.373.012-1.082-.15-2.676-.61l-.404-.117.39.538c.75 1.033 4.062 1.797 5.44 1.255.254-.1.463-.248.463-.327 0-.22-.866-.998-1.442-1.293-1.213-.624-3.648-1.025-4.971-.82zm-28.929 2.195c-.236.364-.479.913-.539 1.218-.096.49-.065.557.257.557.955 0 2.619-1.371 2.518-2.076-.054-.374-.094-.358-.869.326-1.077.952-1.282.9-.4-.1.189-.212.26-.387.158-.387-.101 0-.3-.044-.44-.1-.17-.066-.4.122-.685.562zm24.542-.243c0 .704 1.656 2.018 2.544 2.018.324 0 .354-.066.258-.557-.159-.81-.91-1.902-1.224-1.78-.14.056-.339.1-.44.1-.101 0-.03.175.157.387.189.213.4.492.472.62.191.341-.415-.013-.839-.49-.184-.207-.468-.45-.631-.539-.244-.133-.297-.09-.297.24zm-10.962.211c-.013.256-.39.209-.478-.06-.047-.144.03-.208.206-.171.155.033.277.137.272.231zm-18.005.424c-.884.517-2.088 1.778-2.088 2.188 0 .158.258.227.844.227.612 0 .935.093 1.173.335.348.355 2.61 5.897 2.796 6.848.06.307.178.56.264.56.085 0 .155.204.155.453 0 .25.168.796.372 1.213.367.75.367.766.057 1.354-.277.524-.287.653-.084 1.067.273.56 1.271 1.543 1.708 1.684.17.056.31.243.31.418 0 .398.925 1.208 1.379 1.208.306 0 .333-.09.271-.903-.038-.497-.12-1.02-.184-1.162-.083-.185.157-.436.855-.894 1.577-1.034 2.164-1.226 3.789-1.242 1.786-.017 2.015-.172 1.502-1.019-.332-.547-.337-.593-.058-.518.343.091 1.222-.534 1.222-.868 0-.144-.175-.19-.525-.138-.594.09-.818-.145-.822-.86-.003-.568.546-.998 1.274-.998.304 0 .65-.139.818-.328.282-.318.262-.33-.69-.397-.832-.059-1.03-.015-1.29.285l-.306.354.176-.369c.131-.273.113-.498-.072-.875-.202-.413-.364-.512-.882-.539-.349-.018-.78-.05-.96-.071-.205-.025-.468.176-.717.546-.215.322-.392.506-.392.41 0-.096.16-.382.357-.637.347-.45.348-.47.043-.71-.64-.503-1.744.153-2.098 1.245-.3.926-.131 1.123.627.728.873-.453 1.042-.419 1.103.227.08.837.535.815 1.298-.06l.64-.736.108.55c.066.333.21.549.37.549.233 0 .232.044-.009.419-.148.23-.245.637-.215.903.036.315-.044.544-.228.656-3.535 2.149-4.644 2.385-5.283 1.126-.229-.451-.36-.523-.942-.523-.496 0-.7-.08-.767-.302-.133-.438-1.1-2.484-1.275-2.699-.186-.227-1.999-4.03-1.999-4.193 0-.065.337-.3.748-.523.646-.35 1.748-1.473 2.2-2.244.22-.375-.725-.079-1.387.434-.677.526-.712.268-.066-.489.264-.31.52-.78.568-1.044.085-.47.08-.474-.27-.178-.917.773-1.675 1.565-1.986 2.077-.378.62-.57.61-.691-.04-.067-.359.034-.498.613-.844.381-.228 1.149-.78 1.706-1.227l1.013-.813-.652.118c-.359.065-1.093.354-1.632.642-1.22.652-1.722.553-.598-.118.7-.418.775-.511.502-.62-.547-.219-.799-.166-1.693.357zm33.962-.357c-.272.109-.197.202.503.62 1.123.671.622.77-.599.118-.539-.288-1.273-.577-1.631-.641l-.652-.118 1.097.883c1.657 1.334 2.887 1.91 4.077 1.91.704 0 .986-.065.986-.227 0-.41-1.204-1.671-2.087-2.188-.895-.523-1.146-.576-1.694-.357zm-16.736.346c.051.084-.026.2-.173.258-.464.181-.63.119-.407-.154.238-.293.443-.33.58-.104zm1.783.104c.175.215.152.258-.138.258-.37 0-.6-.223-.42-.407.17-.173.331-.13.558.149zm-12.566.47c-.28.686-.335 1.467-.125 1.803.27.435 1.886-1.041 1.889-1.726 0-.218-.733.072-.964.38-.18.242-.207.222-.214-.153-.004-.237-.08-.545-.167-.686-.125-.201-.213-.12-.419.382zm2.12-.158c-.353.915-.204 2.354.245 2.354.243 0 1.087-1.033 1.087-1.33 0-.324-.493-.384-.665-.082-.14.244-.171.206-.185-.222-.01-.284-.08-.671-.156-.86-.128-.32-.151-.31-.325.14zm2.024.213c-.403.697-.438 1.077-.158 1.703.257.576.414.553.822-.12.502-.83.587-1.32.28-1.632-.238-.244-.28-.215-.442.316l-.179.584.067-.731c.037-.402.044-.731.016-.731-.029 0-.211.275-.406.611zm14.091.12l.067.73-.179-.583c-.162-.53-.203-.56-.442-.316a.694.694 0 0 0-.161.67c.14.55.743 1.52.944 1.52.09 0 .255-.31.367-.688.175-.598.16-.768-.12-1.304-.451-.864-.553-.87-.476-.03zm2.035-.356c-.057.22-.108.592-.112.829-.006.369-.031.388-.176.136-.172-.302-.665-.242-.665.081 0 .308.848 1.331 1.103 1.331.32 0 .478-.7.372-1.66-.103-.93-.37-1.296-.522-.717zm2.028-.128a2.39 2.39 0 0 0-.117.67c-.005.33-.03.341-.212.097-.23-.31-.965-.6-.964-.38.002.346.721 1.292 1.218 1.6.485.3.561.308.693.068.186-.338.003-1.64-.288-2.045-.206-.287-.225-.288-.33-.01zm3.228.403c.047.257.302.722.567 1.033.615.722.628 1.102.017.517-.517-.495-1.706-.864-1.466-.455.756 1.29 2.592 2.728 3.482 2.728.94 0-.377-2.428-2.05-3.779l-.634-.512.084.468zm-13.538.058c.05.083-.101.24-.336.348-.33.154-.485.149-.686-.022-.233-.197-.23-.241.024-.431.292-.218.836-.16.997.105zm-12.79.304c-1.026.671-1.99 2.449-1.99 3.67 0 .798.021.84.38.729.652-.202 1.45-.919 1.905-1.709.402-.698.417-.795.193-1.23l-.243-.473-.263.518c-.144.285-.384.621-.532.747-.242.204-.251.178-.091-.25.098-.264.326-.69.507-.95.282-.404.742-1.401.629-1.364-.021.007-.244.147-.495.312zm6.2.463c-.241.59-.238.679.045 1.173.427.744.625.536.625-.656 0-1.216-.29-1.441-.67-.517zM29.3 27.42c-.14.375-.001 2 .175 2.045.088.022.298-.2.466-.494.282-.492.285-.585.05-1.162-.267-.649-.536-.8-.69-.389zm6.514-.015c0 .118.19.5.423.85.431.646.814 1.508.67 1.508-.043 0-.296-.306-.562-.68l-.484-.68-.197.441c-.17.38-.136.549.24 1.204.436.758 1.61 1.78 2.045 1.78.313 0 .3-1.381-.02-2.162-.368-.899-1.243-2.07-1.707-2.286-.313-.146-.408-.14-.408.025zm-21.648.982c-.054.142-.186.547-.292.9-.207.686-.507 1.021-.507.567 0-.15.111-.545.247-.876l.247-.603-.506.304c-.79.476-1.214 2.475-.713 3.367.168.301 1.135-.683 1.526-1.553.36-.803.398-1.04.259-1.65-.1-.435-.2-.613-.261-.456zm1.825.467c-.064.388-.229.848-.366 1.023-.228.29-.24.267-.136-.278.114-.593.113-.594-.287-.324-.463.312-.625 1.468-.319 2.288l.182.487.433-.412c.882-.84 1.27-2.204.858-3.007l-.248-.483-.117.706zm15.621-.167c-.35.863.034 2.136.89 2.951l.432.412.182-.487c.309-.828.145-1.975-.327-2.293l-.409-.276.117.594c.178.908-.207.396-.459-.61l-.207-.828-.219.537zm1.935.13c-.162.876.223 1.96.96 2.712.355.36.707.616.785.567.289-.182.346-1.434.103-2.267-.177-.61-.387-.93-.751-1.15l-.506-.304.247.603c.136.331.245.74.242.909-.005.283-.024.281-.25-.024-.136-.183-.294-.59-.352-.906-.146-.794-.347-.853-.478-.14zm-8.869.023c.37.25.672.48.672.514 0 .033-.304.265-.675.516l-.675.455-.675-.455c-.372-.25-.675-.49-.675-.533 0-.074 1.206-.95 1.308-.95.027 0 .351.204.72.453zm-6.74 1.946c-.116.657-.3 1.27-.41 1.364-.11.093-.502.194-.872.224l-.673.056.573.318c.315.175.92.33 1.343.345l.77.025.052-.645c.041-.51-.007-.645-.23-.645-.262 0-.263-.022-.003-.315.465-.522.294-1.922-.233-1.922-.06 0-.203.538-.318 1.195zm11.496-.988c-.295.3-.248 1.35.077 1.715.26.293.26.315 0 .315-.375 0-.396 1.17-.023 1.315.312.122 1.756-.23 2.09-.51.195-.164.098-.22-.504-.289l-.745-.086-.229-1.333c-.233-1.36-.31-1.49-.666-1.127zm2.034 3.1c-.467.23-.473.34-.042.736.185.172.337.412.337.535 0 .123.361.397.802.61.441.212.859.416.928.452.232.121.13-1.004-.138-1.533-.206-.406-1.174-1.068-1.46-.998a6.313 6.313 0 0 0-.427.198zm6.609.07c.08.213.026.257-.235.187-.273-.073-.34-.007-.34.335 0 .341.064.405.323.32.262-.084.307-.037.234.247-.071.277-.01.352.287.352.296 0 .357-.075.286-.352-.073-.284-.028-.33.234-.246.26.084.323.02.323-.32 0-.343-.066-.409-.34-.336-.261.07-.316.026-.235-.188.078-.205.007-.279-.268-.279-.276 0-.346.074-.27.28zm-8.087.36c-.549.052-.738.168-1.001.615-.179.303-.305.629-.282.724.023.094-.054.075-.172-.043-.24-.241-2.341-.304-2.341-.07 0 .36.723.773 1.375.787.552.01.767.111 1.04.482.294.4.314.534.14.922-.168.377-.289.44-.71.378-.644-.096-.746.069-.352.565.204.257.493.39.843.39.581 0 .65.181.337.882-.108.242-.148.489-.088.55.06.06.622.168 1.25.238 1.997.224 4.315.816 5.43 1.386.96.492 1.136.53 1.615.354.295-.109.707-.198.916-.198.85 0 2.018-.971 2.914-2.426l.28-.454-.871-.107c-1.123-.137-2.498-.137-3.787 0-.93.099-1.007.137-.836.416.295.481-.121.852-.952.847-1.3-.006-3.481-.98-3.481-1.554 0-.135.627-.076 1.06.1.27.11.29.044.194-.63-.058-.413-.24-.945-.402-1.182-.162-.237-.333-.84-.38-1.339-.06-.628-.207-1.039-.477-1.332-.215-.234-.435-.411-.488-.395a9.238 9.238 0 0 1-.774.094zm.93 2.294c0 .076.106.163.236.193.195.046.197.093.016.263-.177.166-.275.093-.487-.363-.146-.314-.372-.661-.502-.771-.192-.162-.262-.108-.365.277-.07.263-.112.788-.095 1.166.033.68.155.858 1.037 1.51.412.304.412.304-.094.046-.897-.458-1.097-.703-1.097-1.347 0-.411-.15-.8-.458-1.185-.366-.457-.38-.504-.074-.235.328.288.407.3.54.086.086-.138.157-.44.158-.672.003-.402.03-.391.594.237.325.361.59.72.59.795zm-6.372-.871c-.301.187-.548.434-.548.547 0 .114-.213 0-.474-.255-.547-.535-1.214-.622-1.214-.158 0 .166.133.544.295.837.41.743 1.393 1.907 1.393 1.651 0-.116.272-.518.606-.895.41-.462.635-.908.697-1.376.104-.787.014-.829-.755-.351zm.97.119c0 .253-.09.718-.203 1.034-.176.497-.163.612.105.872.22.213.33.24.384.09.042-.115.262-.489.49-.83l.412-.62-.383-.494c-.485-.627-.804-.648-.804-.052zm-4.108.025c-.366.412-.356.49.142 1.093.233.281.422.622.422.756 0 .322.242.312.513-.021.179-.219.167-.373-.063-.866-.155-.33-.28-.752-.28-.938 0-.425-.368-.437-.734-.024zm-6.358.179c-.408.222-.614.473-.673.817-.06.35-.198.512-.465.551-.5.073-.479.3.06.66.363.242.529.26.95.097l.51-.196-.097.61c-.084.529-.059.594.19.485.158-.069.579-.143.936-.165.986-.061 1.522-.562 1.662-1.55.078-.555.045-.97-.1-1.251l-.217-.422-.363.52c-.2.285-.434.701-.522.924-.117.298-.162.326-.17.104-.02-.55-.798-.348-1.16.301-.152.274-.192.287-.196.064-.002-.154.11-.376.248-.494.257-.217.361-1.376.124-1.376-.07 0-.394.144-.717.32zm16.981-.195c-.346.353.355 1.96 1.02 2.34.367.21 1.035-.007 1.243-.404.149-.283.127-.342-.13-.342a.719.719 0 0 1-.715-.703c0-.404-1.173-1.141-1.418-.89zm5.026.12c-.565.252-1.298 1.131-1.497 1.798-.122.41-.12.41.933.306.58-.058 1.074-.127 1.096-.153.128-.146.258-2.196.138-2.19-.078.003-.38.111-.67.24zm.949.012c0 .143.15.258.337.258.188 0 .338-.115.338-.258 0-.144-.15-.258-.337-.258-.188 0-.338.114-.338.258zm.881.859c.026.614.123 1.12.216 1.125.093.005.613.052 1.156.105.975.096.986.092.867-.308-.204-.682-.94-1.547-1.534-1.8-.31-.131-.605-.24-.657-.24-.052 0-.073.503-.047 1.118zm-.881.001c0 .143.15.258.337.258.188 0 .338-.115.338-.258 0-.143-.15-.258-.337-.258-.188 0-.338.115-.338.258zm.032.903c.031.166.169.301.306.301.136 0 .274-.135.305-.3.04-.212-.051-.302-.306-.302-.254 0-.345.09-.305.301zm-15.732.307c-.23.24-.564.569-.743.731-.865.787-1.11 1.074-1.11 1.303 0 .21.128.2.795-.058 1.187-.459 1.568-.875 1.568-1.71 0-.386-.02-.702-.046-.702-.025 0-.234.196-.464.436zm2.648-.321c-.23.235-.101 1.058.234 1.492.196.254.655.533 1.055.642.39.107.803.273.92.37.155.13.21.089.21-.156 0-.19-.461-.755-1.078-1.321a121.956 121.956 0 0 1-1.154-1.066c-.04-.042-.125-.024-.187.039zm-1.795.625c-.005.655.388 1.669.648 1.669.331 0 .703-.692.792-1.475l.097-.848-.45.516c-.249.287-.482.431-.523.326a3.04 3.04 0 0 0-.317-.516c-.223-.301-.242-.277-.247.328zm13.096.213a.276.276 0 0 0 .158.365c.33.13.48-.026.353-.364-.128-.34-.383-.341-.511-.001zm.936.02c.071.377.562.43.562.062 0-.14-.14-.283-.31-.317-.226-.044-.295.026-.252.256zm.89-.098c-.174.287.217.616.45.379.195-.199.073-.566-.188-.566-.081 0-.2.084-.262.187zm.853-.015c-.141.233.05.517.348.517.133 0 .243-.155.243-.345 0-.356-.407-.474-.59-.172zm1.041-.057c-.205.21-.116.574.14.574.141 0 .254-.153.254-.345 0-.342-.18-.447-.394-.229zm-4.594.244c-.063.103-.036.267.06.364.213.217.54.034.54-.303 0-.29-.435-.334-.6-.06zm5.354.099c.033.174.173.317.311.317.362 0 .31-.5-.06-.573-.225-.044-.294.026-.25.256zm-18.173.733c-.185.187-.965.612-1.733.946-.768.334-1.752.883-2.186 1.22-.888.692-1.489.744-1.467.127.009-.26-.084-.387-.284-.387-.664 0-1.177 1.053-.833 1.71.157.298.13.446-.154.813-.438.568-.442 1.264-.008 1.825.185.24.337.56.337.712 0 .408.293.33.61-.163l.28-.436.306.511c.168.281.456.594.64.694.407.223 1.199.235 1.525.024.168-.108.38-.01.717.333.561.572 1.258.769 1.875.53.388-.15.513-.099 1.025.423.32.327.652.594.736.594.084 0 .405-.265.713-.59.48-.505.62-.566.978-.428.587.228 1.64-.096 2.053-.632.279-.36.396-.405.673-.254.792.432 1.866-.045 2.254-1 .165-.408.19-.418.259-.107.141.64.715 1.074.715.54 0-.13.151-.432.337-.673.44-.569.442-1.523.006-1.926-.251-.231-.293-.383-.17-.618.381-.724.02-1.745-.683-1.933-.258-.068-.344-.017-.323.194.088.92-.458.968-1.489.132-.395-.32-1.478-.909-2.408-1.308-.929-.4-1.768-.854-1.865-1.008-.136-.218-.197-.23-.268-.055-.051.125-.264.43-.472.677-.414.49-.442.476-1.144-.52-.204-.29-.231-.29-.552.033zm.602 2.714c-.192.644-.438 1.904-.548 2.8-.191 1.554-.21 1.606-.418 1.119-.281-.66-.164-1.408.548-3.484.315-.92.584-1.828.598-2.017.022-.308.032-.305.096.034.04.208-.084.905-.276 1.548zm2.528 2.03c.23.732.2 1.688-.064 2.057-.199.277-.24.149-.333-1.042-.059-.747-.298-2.055-.531-2.907-.234-.851-.422-1.664-.42-1.806.005-.22.82 2.015 1.348 3.698zm-4.029-2.759c-.282.328-.714.947-.962 1.377-.436.76-.758.887-.75.297.005-.379.414-.89 1.32-1.653.923-.776 1.049-.783.392-.02zm5.668.683c.37.343.549.667.549.992 0 .582-.29.634-.493.09-.08-.216-.405-.739-.72-1.161-1.087-1.456-.97-1.442.664.079zM19.78 44.17c0 .12-.07.217-.157.217-.248 0-.7-.528-.596-.698.123-.203.753.2.753.481zm8.86-.018c-.297.22-.59.174-.59-.093 0-.075.171-.214.38-.31.482-.224.64.081.21.403z" fill="currentColor"/></svg> </li></ul></li><li class="_half-width _align-end tw-h-12 tw-mt-3 bre-inline-menu__item"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 48 48" fill="none"><circle cx="24" cy="24" r="23" stroke="currentColor" stroke-width="2"/><path fill="currentColor" d="M10.11 21.188v-1.516c.703-.031 1.195-.078 1.476-.14.448-.1.812-.298 1.094-.595.192-.203.338-.474.437-.812.057-.203.086-.354.086-.453h1.852V29h-2.282v-7.813H10.11Zm10.77 4.226c0 .61.165 1.107.493 1.492a1.57 1.57 0 0 0 1.25.578c.495 0 .883-.185 1.164-.554.286-.375.43-.86.43-1.453 0-.662-.162-1.167-.485-1.516a1.545 1.545 0 0 0-1.187-.531c-.38 0-.717.114-1.008.343-.438.339-.656.886-.656 1.641Zm3.133-4.89c0-.183-.07-.383-.21-.602-.24-.354-.602-.531-1.086-.531-.724 0-1.24.406-1.547 1.218-.167.448-.282 1.11-.344 1.985.276-.328.596-.568.96-.719a3.243 3.243 0 0 1 1.25-.227c1.006 0 1.829.342 2.47 1.024.645.682.968 1.555.968 2.617 0 1.057-.315 1.99-.945 2.797-.63.807-1.61 1.21-2.937 1.21-1.427 0-2.48-.595-3.157-1.788-.526-.932-.789-2.136-.789-3.61 0-.864.037-1.567.11-2.109.13-.963.382-1.766.757-2.406a3.89 3.89 0 0 1 1.266-1.32c.526-.334 1.154-.5 1.883-.5 1.052 0 1.89.27 2.515.812.625.537.977 1.253 1.055 2.148h-2.219Zm3.85 5.257v-2.039h3.203V20.54h2.055v3.203h3.203v2.04H33.12V29h-2.055v-3.219h-3.203Z"/></svg> </li></ul></div><div class="bre-footer-section"><ul class="bre-inline-menu _min-gap-x _no-gap-y"><li class="_footer-copyright bre-inline-menu__item">© АНО БРЭ, 2022 — 2025. Все права защищены.</li><li class="-hide-on-tablet _stretch-width -text-caption-1 text-decoration-underline tw-text-gray-2 tw-cursor-pointer bre-inline-menu__item">Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению. Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.</li><li class="-show-on-tablet _stretch-width -text-caption-1 text-decoration-underline tw-text-gray-2 tw-cursor-pointer bre-inline-menu__item">Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению. Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.</li></ul></div></div></footer></div></div></div><script type="application/json" id="__NUXT_DATA__" data-ssr="true">[["Reactive",1],{"data":2,"state":3,"once":5,"_errors":6,"serverRendered":7,"path":8,"pinia":9},{},{"$sreferer":4},"https://ya.ru/",["Set"],{},true,"/c/algebra-41fc2e",{"preview":10,"auth-token":12,"search":15,"page-loading":20,"search-suggestions":21,"filters":24,"component-header":26,"collection":27,"article":28,"article-media-slider":808,"modal":816,"article-notes":817,"article-loc":818,"article-sidebar":819,"author":820,"article-metrics":821,"collection-articles-favorite":822,"article-collections":823,"article-versions":824,"error-form":833,"text-selection":834},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7},null,{"post_":11,"postError":11,"postPending":7,"savedRoutePath":11,"isAuthorized":13,"firstNameLetter":14,"fullName":14,"userId":14,"processingRefresh":13,"showAuthModal":11},false,"",{"searchQuery":14,"savedList":16,"limit":17,"offset":18,"loading":13,"isSearchOpened":13,"page":19},[],10,0,1,{"loading":13},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7,"headerSearchQuery":14,"pageSearchQuery":14,"selectedSuggestionIndex":22,"focusOn":23},-1,"header",{"get_":11,"getError":11,"getPending":7,"loading":13,"isExtendedSearchOpened":13,"chosenFilters":25},{},{"showCategories":13,"isFixed":13},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7,"put_":-1,"putError":11,"putPending":7,"delete_":-1,"deleteError":11,"deletePending":7},{"get_":29,"getError":11,"getPending":13,"headers":803,"timeline":806,"isFullScreen":13,"getCache":807},{"article":30,"components":798},{"content":31,"createdAt":772,"id":773,"lastVersionId":774,"meta":775,"sections":11,"slug":789,"tags":790,"updatedAt":772},{"article":32,"biblioRecord":740,"category":741,"categorySlug":742,"sidebar":743,"title":747},[33],{"content":34,"type":739},[35],{"attrs":36,"content":38,"marks":11,"text":14,"type":739},{"section_id":37},"1fb400ff-da4a-4fb7-92cc-223f5bf62f89",[39,109,114,121,136,151,167,191,252,257,273,278,306,341,356,361,396,410,445,451,500,628,697,722],{"attrs":40,"content":41,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[42,50,52,65,67,75,77,85,87,96,98,106],{"attrs":11,"content":11,"marks":43,"text":48,"type":49},[44],{"attrs":45,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":47},{"version":46},"1","bold","А́лгебра","text",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":51,"type":49}," [ср.-век. лат. algebra, от араб. الجبر – воссоединение (отдельных частей уравнения)], раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над математическими объектами и влияет на формирование общих понятий и методов математики. Задачи и методы алгебры заключались первоначально в составлении и решении уравнений. В связи с исследованиями уравнений развивалось понятие числа, были введены отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа; общее исследование свойств этих числовых систем относится к алгебре. В алгебре сформировались буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в форме, не содержащей конкретных чисел. Преобразования по определённым правилам (связанным со свойствами действий) буквенных выражений составляет аппарат классической алгебры. Развитие алгебры оказало большое влияние на развитие новых областей математики, в частности ",{"attrs":11,"content":11,"marks":53,"text":64,"type":49},[54],{"attrs":55,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":56,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":59,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"94261858-156e-4460-9e9b-d84a599c9bf8","#","2",{"slug":60,"type":61},"matematicheskii-analiz-942618","article","114","a","математического анализа",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},", ",{"attrs":11,"content":11,"marks":68,"text":74,"type":49},[69],{"attrs":70,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":71,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":72,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"5ba9f480-1c30-42dd-96e7-59c7f2d9c796",{"slug":73,"type":61},"differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4","дифференциального",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49}," и ",{"attrs":11,"content":11,"marks":78,"text":84,"type":49},[79],{"attrs":80,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":81,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":82,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"a6d86a6f-d24d-407b-9236-c4490d1f7071",{"slug":83,"type":61},"integral-noe-ischislenie-a6d86a","интегрального",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":86,"type":49}," исчисления. Применение алгебры возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраических методов является ",{"attrs":11,"content":11,"marks":88,"text":95,"type":49},[89],{"attrs":90,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":91,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":92,"link_type":94,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"541485ea-adf9-40b6-b83e-1f17db608edc",{"slug":93,"type":61},"lineinaia-algebra-541485","9","векторная алгебра",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":97,"type":49}," и её дальнейшее обобщение – ",{"attrs":11,"content":11,"marks":99,"text":105,"type":49},[100],{"attrs":101,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":102,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":103,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"6ae956fb-f720-4189-889b-328f658317bd",{"slug":104,"type":61},"tenzornoe-ischislenie-6ae956","тензорная",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":107,"type":49}," алгебра, ставшая одним из важных средств современной физики.","paragraph",{"attrs":110,"content":111,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[112],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":113,"type":49},"Алгебра в более широком, современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, называемые алгебраическими, по своим свойствам сходные со сложением и умножением чисел. Алгебра классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнений может быть вектор, матрица, оператор). Этот новый взгляд на алгебру, оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов не только в математике, но и в других науках, в частности в физике. Он укрепил связи алгебры с другими разделами математики и усилил влияние алгебры на их дальнейшее развитие.",{"attrs":115,"content":117,"marks":11,"text":14,"type":120},{"textAlign":11,"version":46,"id":116},"h2_istoricheskii_ocherk",[118],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":119,"type":49},"Исторический очерк","h2",{"attrs":122,"content":123,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[124,126,134],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":125,"type":49},"Алгебре предшествовала арифметика, операциями которой были сложение, вычитание, умножение и деление чисел, сначала только целых, а затем и дробных. Вначале отличие алгебры от арифметики заключалось в том, что в алгебре вводилась неизвестная величина, действия над которой, диктуемые условиями задачи, приводили к уравнению, из которого находилась эта неизвестная величина. Элемент такой трактовки арифметических задач содержится в древнеегипетском ",{"attrs":11,"content":11,"marks":127,"text":133,"type":49},[128],{"attrs":129,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":130,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":131,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"699550ba-85cb-4f24-9fb6-2d2e617d7a22",{"slug":132,"type":61},"matematicheskie-papirusy-699550","папирусе Ахмеса",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":135,"type":49},", где искомая величина обозначается соответствующим иероглифом. Древние египтяне решали и достаточно сложные задачи (связанные, например, с арифметическими и геометрическими прогрессиями). Как формулировка задач, так и решения давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров.",{"attrs":137,"content":138,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[139,141,149],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":140,"type":49},"В начале 20 в. были расшифрованы ",{"attrs":11,"content":11,"marks":142,"text":148,"type":49},[143],{"attrs":144,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":145,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":146,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"980ced79-de73-477f-86b0-33fd1f12ae1b",{"slug":147,"type":61},"klinopisnye-matematicheskie-teksty-980ced","клинописные математические тексты",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":150,"type":49}," и другой древнейшей культуры – вавилонской. Вавилоняне уже за 4 тыс. лет до наших дней с помощью специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; некоторые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнений 3-й степени.",{"attrs":152,"content":153,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[154,156,165],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":155,"type":49},"Логические доказательства в математику впервые ввели древнегреческие геометры. В рамках геометрического метода многие математические вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин – как площадь прямоугольника и т. д. В современном математическом языке сохранилось, например, название «квадрат» для произведения величины на самоё себя. К другой, негеометрической линии развития древнегреческой математики относится трактат ",{"attrs":11,"content":11,"marks":157,"text":164,"type":49},[158],{"attrs":159,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":160,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":161,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"a6f5386e-aaac-4934-88b2-fc63c37f8488",{"slug":162,"type":61},"diofant-a6f538","25","Диофанта",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":166,"type":49}," «Арифметика», в котором он довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й, 2-й и более высоких степеней. В этом трактате можно найти попытки употребления буквенной символики и отрицательных чисел. На конкретных примерах предвосхищаются методы решения в рациональных числах уравнений 3-й степени с двумя неизвестными.",{"attrs":168,"content":169,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[170,172,180,181,189],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":171,"type":49},"Достижения древнегреческой науки развивались учёными средневекового Востока, в том числе ",{"attrs":11,"content":11,"marks":173,"text":179,"type":49},[174],{"attrs":175,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":176,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":177,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"2c131667-1f3b-463e-a86e-cad471c311ee",{"slug":178,"type":61},"al-khorezmi-mukhammed-ibn-musa-2c1316","аль-Хорезми",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":182,"text":188,"type":49},[183],{"attrs":184,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":185,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":186,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"53108bd3-60a5-46a1-98d0-8f73a53727f8",{"slug":187,"type":61},"abu-reikhan-al-biruni-53108b","аль-Бируни",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":190,"type":49},". Учёные Востока передали Европе известную им математику в своей оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно алгеброй. Термин «алгебра» происходит от названия сочинения аль-Хорезми «Аль-джебр аль-мукаба-ла», означающего один из приёмов преобразования уравнений. Со времени аль-Хорезми алгебру можно рассматривать как отдельный раздел математики.",{"attrs":192,"content":193,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[194,196,204,206,211,212,215,217,225,227,230,232,235,237,245,247,250],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":195,"type":49},"Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс алгебры стал возможным только после появления удобных ",{"attrs":11,"content":11,"marks":197,"text":203,"type":49},[198],{"attrs":199,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":200,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":201,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"fce6025e-e648-4f33-a442-faa3ad228115",{"slug":202,"type":61},"matematicheskie-znaki-fce602","символов",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":205,"type":49}," для обозначения действий. Этот процесс шёл очень медленно, и только в конце 15 в. появились принятые теперь знаки ",{"attrs":207,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":209,"title":14},"inline","+","formula",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49},{"attrs":213,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":214,"title":14},"–",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":216,"type":49},". Затем были введены и получили всеобщее признание знаки, обозначающие степень, корень, а также скобки. К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов современной алгебры – употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этого в алгебре и арифметике как бы не было общих правил и доказательств; рассматривались исключительно численные примеры, почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники того времени давали десятки частных правил вместо одного общего. ",{"attrs":11,"content":11,"marks":218,"text":224,"type":49},[219],{"attrs":220,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":221,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":222,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"16e9a4a2-b771-44b3-8810-db3b482ee454",{"slug":223,"type":61},"viet-fransua-16e9a4","Ф. Виет",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":226,"type":49}," (1591) первым начал писать задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными ",{"attrs":228,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":229,"title":14},"A, E, I, \\ldots",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":231,"type":49},", а известные – согласными ",{"attrs":233,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":234,"title":14},"B, C, D, \\ldots ",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":236,"type":49},". Эти буквы он соединял имевшимися в то время знаками математических операций, т. о. впервые возникли буквенные формулы, характерные для современной алгебры. Начиная с ",{"attrs":11,"content":11,"marks":238,"text":244,"type":49},[239],{"attrs":240,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":241,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":242,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"01cca8d4-e9f6-4fd4-bdc6-297f5b625149",{"slug":243,"type":61},"dekart-rene-01cca8","Р. Декарта",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":246,"type":49}," для неизвестных употребляют, как правило, последние буквы латинского алфавита ",{"attrs":248,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":249,"title":14},"x, y, z",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":251,"type":49},".",{"attrs":253,"content":254,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[255],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":256,"type":49},"Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого языка формул было бы немыслимо бурное развитие математики начиная с 17 в., создание математического анализа, математического выражения законов механики и физики и др.",{"attrs":258,"content":259,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[260,262,271],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":261,"type":49},"Исторически первой задачей алгебры было решение ",{"attrs":11,"content":11,"marks":263,"text":270,"type":49},[264],{"attrs":265,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":266,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":267,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"f0cbfe33-0455-4267-9471-c6e9b70d34e0",{"slug":268,"type":61},"algebraicheskoe-uravnenie-f0cbfe","24","алгебраических уравнений",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":272,"type":49},", т. е. нахождение их корней. Важную роль в решении уравнений сыграло появление отрицательных чисел. Они были введены индийскими математиками в 10 в., но учёные средневекового Востока их не использовали. С отрицательными числами свыкались постепенно; этому способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл, например убытка, недостатка, долга. Окончательно отрицательные числа вошли в употребление только в 17 в., после того как Р. Декарт предложил их наглядное геометрическое представление.",{"attrs":274,"content":275,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[276],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":277,"type":49},"При решении алгебраических уравнений возникла потребность расширения числовой области. Так, при решении уравнений 2-й степени появляются иррациональные числа. С извлечением корней сталкивались ещё древнегреческие и среднеазиатские математики, которые предложили остроумные способы их приближённого вычисления. Взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение комплексных чисел относится к 18 в.",{"attrs":279,"content":280,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[281,283,286,288,294,296,304],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":282,"type":49},"Любое уравнение ",{"attrs":284,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":285,"title":14},"n",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":287,"type":49},"-й степени имеет ",{"attrs":289,"content":11,"marks":290,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":285,"title":14},[291],{"attrs":292,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":293},{"version":46},"italic",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":295,"type":49}," корней, вообще говоря комплексных, причём это верно и для уравнений с комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы алгебры, была впервые сформулирована в 17 в., её доказательство было дано в конце 18 в. ",{"attrs":11,"content":11,"marks":297,"text":303,"type":49},[298],{"attrs":299,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":300,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":301,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"c2314a35-e32e-452b-aade-c82366cfc9a6",{"slug":302,"type":61},"gauss-karl-fridrikh-c2314a","К. Ф. Гауссом",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":305,"type":49},". Все известные доказательства должны были в той или иной форме использовать непрерывность; т. о., доказательство основной теоремы алгебры выходило за пределы алгебры, демонстрируя неразрывность математики в целом.",{"attrs":307,"content":308,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[309,311,319,321,329,331,339],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":310,"type":49},"Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к системам уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай систем ",{"attrs":11,"content":11,"marks":312,"text":318,"type":49},[313],{"attrs":314,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":315,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":316,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"31bf8e78-2911-4fbf-af08-254ba3cc8f5c",{"slug":317,"type":61},"lineinoe-uravnenie-31bf8e","линейных уравнений",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":320,"type":49},". К этим простейшим системам сводятся системы уравнений, встречающихся на практике. Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. ",{"attrs":11,"content":11,"marks":322,"text":328,"type":49},[323],{"attrs":324,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":325,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":326,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"b9fd2d64-f227-4f8a-bd21-aa3e4854321f",{"slug":327,"type":61},"leibnits-gotfrid-vil-gel-m-b9fd2d","Г. В. Лейбниц",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":330,"type":49}," (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений важную роль играет ",{"attrs":11,"content":11,"marks":332,"text":338,"type":49},[333],{"attrs":334,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":335,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":336,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"6f55e06c-d6c2-4e18-a7ca-4f9f1be7036c",{"slug":337,"type":61},"matritsa-v-matematike-6f55e0","матрица",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":340,"type":49},", составленная из их коэффициентов. Впоследствии матрицы стали предметом самостоятельного изучения в алгебре, т. к. их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений.",{"attrs":342,"content":343,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[344,346,354],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":345,"type":49},"Появление ",{"attrs":11,"content":11,"marks":347,"text":353,"type":49},[348],{"attrs":349,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":350,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":351,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"074ad106-eb24-42b8-bbe0-384eb2f575f2",{"slug":352,"type":61},"analiticheskaia-geometriia-074ad1","аналитической геометрии",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":355,"type":49}," тесно связано с алгеброй. Если у древних греков чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь алгебраические средства выражения оказались настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул.",{"attrs":357,"content":358,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[359],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":360,"type":49},"В конце 17 – начале 18 вв. был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых, сыгравший важнейшую роль в развитии математики и её приложений, что во многом было подготовлено развитием алгебры. В частности, буквенные выражения и действия над ними способствовали зарождению ещё в 16–17 вв. взгляда на математические величины как на переменные, что характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой (функции от этой переменной).",{"attrs":362,"content":363,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[364,366,374,376,384,386,394],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":365,"type":49},"Алгебра и математический анализ развивались в 17–18 вв. в тесной связи. В алгебру проникали понятия и методы анализа, в этом направлении её обогатил ",{"attrs":11,"content":11,"marks":367,"text":373,"type":49},[368],{"attrs":369,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":370,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":371,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"0f3dbee9-9266-4546-90fd-9eb3f14537cf",{"slug":372,"type":61},"n-iuton-isaak-0f3dbe","И. Ньютон",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":375,"type":49},". С другой стороны, алгебра дала анализу развитый набор формул и преобразований, сыгравших большую роль в начальный период развития интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в алгебре этого периода было появление учебника ",{"attrs":11,"content":11,"marks":377,"text":383,"type":49},[378],{"attrs":379,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":380,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":381,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"0e881f69-6bbe-4d57-bdd1-5e987f67d1a5",{"slug":382,"type":61},"eiler-leonard-0e881f","Л. Эйлера",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":385,"type":49},". Отличие алгебры от анализа в 18–19 вв. характеризуется тем, что алгебра имеет своим основным предметом дискретное, конечное. Основные операции, например сложение, производятся в алгебре конечное число раз. Эту особенность алгебры подчеркнул в 1-й половине 19 в. ",{"attrs":11,"content":11,"marks":387,"text":393,"type":49},[388],{"attrs":389,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":390,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":391,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"dba44257-3b08-4fa7-859f-d5748d09a2e4",{"slug":392,"type":61},"lobachevskii-nikolai-ivanovich-dba442","Н. И. Лобачевский",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":395,"type":49},", назвав одну из своих книг «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834).",{"attrs":397,"content":398,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[399,401,409],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":400,"type":49},"К 18 в. алгебра сложилась примерно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта алгебра охватывает действия сложения, умножения с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень и обратное ему извлечение корня. Эти действия проводятся над числами или буквами, которые могут обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. На русском языке изложение элементарной алгебры в виде, сложившемся к началу 18 в., было впервые дано в «Арифметике…» ",{"attrs":11,"content":11,"marks":402,"text":408,"type":49},[403],{"attrs":404,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":405,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":406,"link_type":163,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"41b5e006-a918-4804-9bcf-72253953caba",{"slug":407,"type":61},"magnitskii-leontii-filippovich-41b5e0","Л. Ф. Магницкого",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":251,"type":49},{"attrs":411,"content":412,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[413,415,423,425,433,435,443],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":414,"type":49},"Алгебра 18–19 вв. есть прежде всего алгебра ",{"attrs":11,"content":11,"marks":416,"text":422,"type":49},[417],{"attrs":418,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":419,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":420,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"aa52f7d6-b8a3-4126-8a63-642213301676",{"slug":421,"type":61},"mnogochlen-aa52f7","многочленов",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":424,"type":49},". Предмет алгебры, таким образом, оказывается значительно у́же, чем предмет анализа. Вместе с тем алгебра и математический анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Во многих случаях изучение многочленов как довольно простых функций помогало развитию общей ",{"attrs":11,"content":11,"marks":426,"text":432,"type":49},[427],{"attrs":428,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":429,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":430,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"c1fb6c96-4c3f-4a88-a544-6a794b54017e",{"slug":431,"type":61},"teoriia-funktsii-c1fb6c","теории функций",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":434,"type":49},". Через всю историю математики проходит тенденция сведения изучения более сложных функций к изучению многочленов или ",{"attrs":11,"content":11,"marks":436,"text":442,"type":49},[437],{"attrs":438,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":439,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":440,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"2e65f7ba-0fbb-41b1-be19-86d86dae549b",{"slug":441,"type":61},"riad-v-matematike-2e65f7","рядов",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":444,"type":49},". С другой стороны, алгебра начинает всё больше пользоваться идеями непрерывности и бесконечности, характерными для математического анализа.",{"attrs":446,"content":448,"marks":11,"text":14,"type":120},{"textAlign":11,"version":46,"id":447},"h2_sovremennoe_sostoyanie_algeбrы",[449],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":450,"type":49},"Современное состояние алгебры",{"attrs":452,"content":453,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[454,456,459,461,466,468,471,473,475,476,479,481,483,484,486,488,490,491,493,495,498],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":455,"type":49},"Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Простой пример даёт возможность проследить, как это происходит. Известна формула ",{"attrs":457,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":458,"title":14},"(a+b)^2=a^2+ 2ab+b^2",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":460,"type":49},". Её выводом является цепочка равенств: ",{"attrs":462,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":463,"displayMode":464,"src":465,"title":14},"block","displayMode","(a+b)^2= (a+b)(a+b)=\\\\=(a+b)a+(a+b)b=(a^2+ba)+(ab+b^2)=\\\\=a^2+(ba+ab)+b^2=a^2+ 2ab+b^2.",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":467,"type":49},"Здесь дважды использован закон дистрибутивности, закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец, используется закон коммутативности ",{"attrs":469,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":470,"title":14},"ba=ab",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":472,"type":49},". Что представляют собой объекты, обозначенные буквами ",{"attrs":474,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":63,"title":14},{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49},{"attrs":477,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":478,"title":14},"b",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":480,"type":49},", не имеет значения; важно, чтобы они принадлежали множеству, в котором определены две операции, сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Формула останется верной, если ",{"attrs":482,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":63,"title":14},{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49},{"attrs":485,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":478,"title":14},{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":487,"type":49}," означают векторы, в этом случае сложение в левой части – это сложение векторов, а в правой части формулы – сложение чисел; под умножением понимается скалярное умножение векторов. В этой формуле вместо ",{"attrs":489,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":63,"title":14},{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":76,"type":49},{"attrs":492,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":478,"title":14},{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":494,"type":49}," можно подставить также коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ",{"attrs":496,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":210},{"display":208,"displayMode":14,"src":497,"title":14},"ab=ba",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":499,"type":49},", что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и др.",{"attrs":501,"content":502,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[503,505,513,515,523,524,532,533,541,542,550,551,559,561,569,571,579,580,588,590,598,599,607,609,617,618,626],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":504,"type":49},"Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, приходят к понятию ",{"attrs":11,"content":11,"marks":506,"text":512,"type":49},[507],{"attrs":508,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":509,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":510,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"96d34c6e-03ec-433d-ac7e-35d7b2152c41",{"slug":511,"type":61},"universal-naia-algebra-96d34c","множества, наделённого алгебраическими операциями",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":514,"type":49},". В ходе развития математики и её приложений первоначально выделились сравнительно немногие типы алгебраических структур: ",{"attrs":11,"content":11,"marks":516,"text":522,"type":49},[517],{"attrs":518,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":519,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":520,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"7f92b00a-2eb2-4bf1-8b1e-ef4a0b6895e9",{"slug":521,"type":61},"gruppa-v-matematike-7f92b0","группы",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":525,"text":531,"type":49},[526],{"attrs":527,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":528,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":529,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"2cc2aa43-711d-41e6-9549-e2ebb267f326",{"slug":530,"type":61},"pole-v-matematike-2cc2aa","поля",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":534,"text":540,"type":49},[535],{"attrs":536,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":537,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":538,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"22e0fbeb-cc2c-4f1d-9282-ef71fc08584e",{"slug":539,"type":61},"vektornoe-prostranstvo-22e0fb","векторные пространства",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":543,"text":549,"type":49},[544],{"attrs":545,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":546,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":547,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"3dd256f4-89d9-47e4-9626-a0aaef13bcc2",{"slug":548,"type":61},"assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256","ассоциативные кольца и алгебры",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":552,"text":558,"type":49},[553],{"attrs":554,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":555,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":556,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"74de0633-410c-4284-8036-286e92edb19d",{"slug":557,"type":61},"modul-v-matematike-74de06","модули",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":560,"type":49},". В дальнейшем предметом изучения стали также другие классы: неассоциативные ",{"attrs":11,"content":11,"marks":562,"text":568,"type":49},[563],{"attrs":564,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":565,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":566,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"2c1f3f99-1671-48c5-94e4-baf377aa7976",{"slug":567,"type":61},"teoriia-kolets-2c1f3f","кольца",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":570,"type":49}," и алгебры (в том числе ",{"attrs":11,"content":11,"marks":572,"text":578,"type":49},[573],{"attrs":574,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":575,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":576,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"8bfb01be-49f5-4683-a75b-aa4360a1830a",{"slug":577,"type":61},"teoriia-algebr-li-8bfb01","алгебры Ли",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":581,"text":587,"type":49},[582],{"attrs":583,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":584,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":585,"link_type":269,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"a726d1f7-5188-418e-9f9c-7024e271ef6d",{"slug":586,"type":61},"iordanova-algebra-a726d1","йордановы алгебры",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":589,"type":49},"), ",{"attrs":11,"content":11,"marks":591,"text":597,"type":49},[592],{"attrs":593,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":594,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":595,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"caaea928-0e34-4b60-b173-6c69e2bde793",{"slug":596,"type":61},"teoriia-reshiotok-caaea9","решётки",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":600,"text":606,"type":49},[601],{"attrs":602,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":603,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":604,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"cfe63ab2-b054-433a-b3ec-182c90ec223c",{"slug":605,"type":61},"teoriia-grupp-cfe63a","полугруппы",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":608,"type":49}," и др. Большим разделом алгебры, имеющим многочисленные приложения, как в самой математике, так и в естествознании, является теория представлений групп. Алгебра имеет тесные связи и с математической логикой (см. ",{"attrs":11,"content":11,"marks":610,"text":616,"type":49},[611],{"attrs":612,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":613,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":614,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"bb6ceb35-c4aa-4532-a78e-41fe24c2dbf8",{"slug":615,"type":61},"buleva-algebra-bb6ceb","Булева алгебра",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":619,"text":625,"type":49},[620],{"attrs":621,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":622,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":623,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"d24f435c-a1ba-43b9-96ef-f698e0505906",{"slug":624,"type":61},"teoriia-modelei-d24f43","Теория моделей",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":627,"type":49},").",{"attrs":629,"content":630,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[631,633,641,642,650,652,660,662,670,672,680,682,687,695],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":632,"type":49},"Развиваются также разделы алгебры, изучающие алгебраические операции в множествах, снабжённых дополнительными структурами. Таким образом возникли ",{"attrs":11,"content":11,"marks":634,"text":640,"type":49},[635],{"attrs":636,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":637,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":638,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"52c611e0-48d6-422b-a8be-3f2c4bb0f6a3",{"slug":639,"type":61},"topologicheskaia-algebra-52c611","топологическая алгебра",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":66,"type":49},{"attrs":11,"content":11,"marks":643,"text":649,"type":49},[644],{"attrs":645,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":646,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":647,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"18f7b6bc-1c90-48cd-bdd7-e55b3f1a2493",{"slug":648,"type":61},"teoriia-grupp-li-18f7b6","теория групп Ли",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":651,"type":49}," (т. е. групп, являющихся гладкими многообразиями), теории различных упорядоченных систем. Теория полей, возникшая из алгебраической теории чисел, и изучение коммутативных колец относятся к ",{"attrs":11,"content":11,"marks":653,"text":659,"type":49},[654],{"attrs":655,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":656,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":657,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"692c3a83-bcc6-4576-9bfc-5c1d20902b12",{"slug":658,"type":61},"kommutativnaia-algebra-692c3a","коммутативной алгебре",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":661,"type":49},", которая служит основой ",{"attrs":11,"content":11,"marks":663,"text":669,"type":49},[664],{"attrs":665,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":666,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":667,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"9c3b63b4-670a-4ad2-b7eb-d819a829c950",{"slug":668,"type":61},"algebraicheskaia-geometriia-9c3b63","алгебраической геометрии",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":671,"type":49},". Под влиянием топологии появился новый раздел алгебры – ",{"attrs":11,"content":11,"marks":673,"text":679,"type":49},[674],{"attrs":675,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":676,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":677,"link_type":94,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"6ed450dd-3742-4c8b-a374-f34670be66a4",{"slug":678,"type":61},"gomologicheskaia-algebra-6ed450","гомологическая алгебра",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":681,"type":49},", которая, в свою очередь, привела к возникновению",{"attrs":11,"content":11,"marks":683,"text":686,"type":49},[684],{"attrs":685,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":293},{"version":46}," ",{"attrs":11,"content":11,"marks":688,"text":694,"type":49},[689],{"attrs":690,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":691,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":692,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"dfd110c8-f9f2-4700-812a-c04d4a5fd594",{"slug":693,"type":61},"teoriia-kategorii-dfd110","теории категорий",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":696,"type":49},", давшей новый универсальный язык для описания понятий не только алгебры, но и практически всех областей математики.",{"attrs":698,"content":699,"marks":11,"text":14,"type":108},{"textAlign":11},[700,702,710,712,720],{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":701,"type":49},"Наряду с фундаментальной ролью внутри математики, алгебра имеет большое прикладное значение: она применяется в физике (симплектические формы в механике, представления групп Ли в квантовой теории, супералгебры Ли в теории поля, фёдоровские группы в кристаллографии), в ",{"attrs":11,"content":11,"marks":703,"text":709,"type":49},[704],{"attrs":705,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":706,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":707,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"6f71b5b8-5384-408e-b2f9-75855967e51e",{"slug":708,"type":61},"diskretnaia-matematika-6f71b5","дискретной математике",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":711,"type":49}," (",{"attrs":11,"content":11,"marks":713,"text":719,"type":49},[714],{"attrs":715,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":63},{"content_id":716,"external":13,"graph_link":7,"href":57,"kind_id":58,"link":717,"link_type":62,"navigation_value":11,"target":14,"version":46},"1658d73c-7772-4fe1-9bdf-9315f7706f6f",{"slug":718,"type":61},"teoriia-avtomatov-1658d7","теория автоматов",{"attrs":11,"content":11,"marks":11,"text":721,"type":49},", алгебраическая теория кодирования), в математической экономике (линейные неравенства) и др.",{"attrs":723,"content":11,"marks":11,"text":14,"type":738},{"list":724},[725,729,732,735],{"slug":726,"type":727,"value":728},"a-kurosh-325961","portal_author","Курош Александр Геннадиевич",{"slug":730,"type":727,"value":731},"oy-shmidt-9d206f","Шмидт Отто Юльевич",{"slug":733,"type":727,"value":734},"d-faddeev-2abf74","Фаддеев Дмитрий Константинович",{"slug":14,"type":736,"value":737},"comments_to_the_author_signature","Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2005.","author","doc","Курош А. Г., Шмидт О. Ю., Фаддеев Д. К. Алгебра // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал – URL: https://bigenc.ru/c/algebra-41fc2e/?v=6081404. – Дата публикации: 30.01.2023","Научные теории, концепции, гипотезы, модели","scientific_theories",{"descriptionList":744,"image":748},[745],{"kind":49,"label":746,"value":747},"Области знаний","Алгебра",{"caption":749,"element":752},{"text":750,"title":751},"Математика. Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»","Математика",{"alt":751,"areaViews":753,"height":768,"placeholder":7,"src":769,"srcset":770,"title":751,"width":771},[754,758,763],{"alias":755,"height":756,"srcset":757,"width":756},"1/1",228,"https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=6VYkqpXGFFum_yaKmqqAcg&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=bzKaSbgT_itcDhGLcVw8oA&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=_tGXyUZVJ32BRDl5Yo461w&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=DlPXAGLUgtmi5b-vD1HVlw&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=6TDZj1bfqv3EnbZVakutYA&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=Ev3rMS_2VTHJ-ySyzsLZBg&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=B8xkvplBfD15y95eSPEDGw&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=1qoVMguHtIQccH4wHD9dUw&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=1920 1920w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=H1o_TZMlxu-UZUD9MsoWpw&filename=vault/187ea84b29837b026e5efb49c9f077e8.webp&width=3840 3840w",{"alias":759,"height":760,"srcset":761,"width":762},"3/4",752,"https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=nc3nKK9j9df4KQiLGGb84w&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=68zVF9E9tm6qxlltGCuhfg&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=aSDz96-qucNrk-ZKW064fw&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=d6kX3tl1wmAlDvL30Vn9DQ&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=5RtyQRTkWVMhxPJS0VrapA&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=8cD21MeHMxnMPkzwu_Mztg&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=cU70domXDGR7fB2crdZRiA&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=k-9U0n1UqYqOJRS-DZ7MWA&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=1920 1920w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=_E3VXK0Q6qbWZvcE8hxU_Q&filename=vault/98f5b7fbf6d02cf7b16bcca778dcf2af.webp&width=3840 3840w",564,{"alias":764,"height":765,"srcset":766,"width":767},"16/9",394,"https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=FajqjhmscSErdVNL6kwK_Q&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=kYo6Za7GRD2FRG1fIpTuRQ&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=XG_TlHmPh4ArMZcMY8icPw&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=Q7HjrlmJ87eIYUxcWojXJQ&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YM7IYwUUSz0OO065zdxwtw&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=ey_rnBaOXv-gXL2kcVAAoQ&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=_np0OMgBGGW8dLD13Rnv5Q&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=MiCmUdExF65IUpLkFHPAAw&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=1920 1920w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=_z5cHAbpX81T_4b7JROzdQ&filename=vault/00ea55d38dd1c40a960001366f02ee8d.webp&width=3840 3840w",700,1008,"https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120","https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120 120w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=kwZEMADbF0h1k2QM5MQ63g&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=320 320w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=iDjHjthf4TWMMOWxyvO9-Q&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=480 480w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=aOq57ZwrPJzlZoA0JyAqNA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=640 640w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=RysrupjbIa5XYWB_pfATYQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=768 768w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=8eQ4RSvaDJue-elzThMhjA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1024 1024w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=4tn4w-MU4hKmUoYIwAeqew&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1280 1280w,https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=SXvkdFSbX19Vh-sgDBVBiQ&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=1920 1920w",1528,"2023-01-30T15:03:44.000Z","41fc2eda-fdce-43cf-8ec6-9ff7cb81d7b5",6081404,{"article:modified_time":772,"article:section":741,"article:tag":776,"description":779,"keywords":780,"og:description":779,"og:image":781,"og:image:alt":782,"og:image:height":783,"og:image:type":784,"og:image:width":785,"og:title":786,"og:type":61,"og:url":787,"title":786,"twitter:card":788},[777,778],"Алгебраические уравнения","Алгебраические операции","А́лгебра, раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над...","Алгебраические уравнения, Алгебраические операции","https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=K2mwjNK87zofppSZEffyIw&filename=vault/3cf067030012eb10bb78b0ddf25f3b6b.webp&width=1200","«Большая российская энциклопедия»","792","webp&width=1200","1200","Алгебра. Большая российская энциклопедия","https://bigenc.ru/c/algebra-41fc2e","summary_large_image","algebra-41fc2e",[791,795],{"label":777,"link":792},{"slug":793,"type":794},"algebraicheskie-uravneniia-48ce21","tag",{"label":778,"link":796},{"slug":797,"type":794},"algebraicheskie-operatsii-e5bef9",{"createdAt":772,"tabs":799,"title":747,"updatedAt":772},[61,800,801,802],"annotation","references","versions",[804,805],{"id":116,"title":119,"type":120},{"id":447,"title":450,"type":120},{},"/content/articles/algebra-41fc2e",{"get_":809,"getError":11,"getPending":13,"slideNumber":18,"getCache":815},{"components":810,"media":812,"meta":813},{"createdAt":772,"tabs":811,"title":747,"updatedAt":772},[61,800,801,802],{},{"article:modified_time":772,"article:section":741,"article:tag":814,"description":779,"keywords":780,"og:description":779,"og:image":781,"og:image:alt":782,"og:image:height":783,"og:image:type":784,"og:image:width":785,"og:title":786,"og:type":61,"og:url":787,"title":786,"twitter:card":788},[777,778],"/content/articles/algebra-41fc2e/media?slider=true",{"isOpened":13},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7,"post_":-1,"postError":11,"postPending":7,"count":18,"noteActive":13,"allVersions":13,"rendered":13,"loading":13},{"isOpened":13},{"isOpened":13},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7},{"get_":11,"getError":11,"getPending":7,"post_":-1,"postError":11,"postPending":7},{"get_":825,"getError":11,"getPending":13,"getCache":832},{"components":826,"title":747,"versions":828},{"createdAt":772,"tabs":827,"title":747,"updatedAt":772},[61,800,801,802],[829],{"createdAt":772,"id":830,"isCurrent":7,"title":831},"6081404","Версия №1 (актуальная)","/content/articles/algebra-41fc2e/versions",{"show":13},{"text":14}]</script> <script>window.__NUXT__={};window.__NUXT__.config={public:{apiPrefix:"https://api.bigenc.ru",sVault:"",iVault:"",apiContentSubPrefix:"c.",apiUserSubPrefix:"u.",domain:"bigenc.ru",sentryDns:"https://be4279c4bfa0caa49440eefadf8abb1c@sentry.bigenc.ru/2",googleAnalytics:{id:"G-B0B7W0RKMV",allowedEnv:"production",url:"https://www.googletagmanager.com/gtag/js?id=G-B0B7W0RKMV"},mailRuCounter:{id:3400444,allowedEnv:"production",url:"https://top-fwz1.mail.ru/js/code.js"},version:"1.40.12",gnezdo:{id:2904018441,allowedEnv:"production",url:"https://news.gnezdo2.ru/gnezdo_news_tracker_new.js"},clickcloud:{id:"https://r.ccsyncuuid.net/match/1000511/",allowedEnv:"production"},yandexMetrika:{id:88885444,allowedEnv:"production",url:"https://mc.yandex.ru/metrika/tag.js",options:{defer:true,webvisor:true,clickmap:true,trackLinks:true,childIframe:true,accurateTrackBounce:true}},device:{enabled:true,defaultUserAgent:"Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_13_2) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/64.0.3282.39 Safari/537.36",refreshOnResize:false},persistedState:{storage:"cookies",debug:false,cookieOptions:{}}},app:{baseURL:"/",buildAssetsDir:"/_nuxt/",cdnURL:"https://s.bigenc.ru/"}}</script></body></html>