CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="gl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Espazo de Hilbert - Wikipedia, a enciclopedia libre</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )glwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","xaneiro","febreiro","marzo","abril","maio","xuño","xullo","agosto","setembro","outubro","novembro","decembro"],"wgRequestId":"1a0e415e-3488-48f2-bcc0-d6bcfdc7583d","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Espazo_de_Hilbert","wgTitle":"Espazo de Hilbert","wgCurRevisionId":6257554,"wgRevisionId":6257554,"wgArticleId":347071,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Análise matemática","Álxebra","Mecánica cuántica"],"wgPageViewLanguage":"gl","wgPageContentLanguage":"gl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Espazo_de_Hilbert","wgRelevantArticleId":347071,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault": true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"gl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"gl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q190056","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.gadget.PortalClass":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready", "ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints", "ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=gl&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=gl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=gl&modules=ext.gadget.PortalClass%2Ccharinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=gl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Espazo de Hilbert - Wikipedia, a enciclopedia libre"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//gl.m.wikipedia.org/wiki/Espazo_de_Hilbert"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Editar" href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (gl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//gl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Espazo_de_Hilbert"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.gl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Fonte Atom de novas de Wikipedia" href="/w/index.php?title=Especial:Cambios_recentes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Espazo_de_Hilbert rootpage-Espazo_de_Hilbert skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Saltar ao contido</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Sitio"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mover á barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">agochar</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegación </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visitar a páxina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_da_comunidade" title="Información acerca do proxecto, do que pode facer e dos lugares onde atopar as cousas"><span>Portal da comunidade</span></a></li><li id="n-A-Taberna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:A_Taberna"><span>A Taberna</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Actualidade" title="Información acerca de acontecementos de actualidade"><span>Actualidade</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Cambios_recentes" title="A lista de modificacións recentes no wiki [r]" accesskey="r"><span>Cambios recentes</span></a></li><li id="n-Artigos-de-calidade" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Artigos_de_calidade"><span>Artigos de calidade</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Ao_chou" title="Cargar unha páxina ao chou [x]" accesskey="x"><span>Páxina ao chou</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Axuda" title="O lugar para informarse"><span>Axuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="a Wikipedia en galego" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-gl.svg" width="118" height="13" style="width: 7.375em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Procurar" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Procurar neste wiki [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Procura</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Procurar en Wikipedia" aria-label="Procurar en Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Procurar neste wiki [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Procurar"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Procurar</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Ferramentas persoais"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparencia"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Cambia a aparencia do tamaño da fonte, o ancho e a cor da páxina" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparencia" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparencia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_gl.wikipedia.org&uselang=gl" class=""><span>Doazóns</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crear_unha_conta&returnto=Espazo+de+Hilbert" title="É recomendable que cree unha conta e acceda ao sistema, se ben non é obrigatorio" class=""><span>Crear unha conta</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Iniciar_sesi%C3%B3n&returnto=Espazo+de+Hilbert" title="É recomendable que se rexistre, se ben non é obrigatorio [o]" accesskey="o" class=""><span>Acceder ao sistema</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Máis opcións" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ferramentas persoais" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Ferramentas persoais</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú de usuario" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_gl.wikipedia.org&uselang=gl"><span>Doazóns</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crear_unha_conta&returnto=Espazo+de+Hilbert" title="É recomendable que cree unha conta e acceda ao sistema, se ben non é obrigatorio"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crear unha conta</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Iniciar_sesi%C3%B3n&returnto=Espazo+de+Hilbert" title="É recomendable que se rexistre, se ben non é obrigatorio [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Acceder ao sistema</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Páxinas para os editores sen a sesión iniciada <a href="/wiki/Axuda:Introduci%C3%B3n" aria-label="Máis información sobre a edición"><span>máis información</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:As_mi%C3%B1as_contribuci%C3%B3ns" title="Unha lista das modificacións feitas desde este enderezo IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucións</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:A_mi%C3%B1a_conversa" title="Conversa acerca de edicións feitas desde este enderezo IP [n]" accesskey="n"><span>Conversa</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Sitio"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contidos" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contidos</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mover á barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">agochar</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inicio</div> </a> </li> <li id="toc-Introdución" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Introdución"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Introdución</span> </div> </a> <ul id="toc-Introdución-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemplos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemplos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Exemplos</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Exemplos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Mostrar ou agochar a subsección "Exemplos"</span> </button> <ul id="toc-Exemplos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Espazos_euclidianos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espazos_euclidianos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Espazos euclidianos</span> </div> </a> <ul id="toc-Espazos_euclidianos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espazos_de_sucesións" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espazos_de_sucesións"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Espazos de sucesións</span> </div> </a> <ul id="toc-Espazos_de_sucesións-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espazos_de_Lebesgue" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espazos_de_Lebesgue"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Espazos de Lebesgue</span> </div> </a> <ul id="toc-Espazos_de_Lebesgue-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Espazos_de_Sobolev" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Espazos_de_Sobolev"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Espazos de Sobolev</span> </div> </a> <ul id="toc-Espazos_de_Sobolev-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Bases_ortonormais" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bases_ortonormais"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Bases ortonormais</span> </div> </a> <ul id="toc-Bases_ortonormais-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Operacións_nos_espazos_de_Hilbert" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Operacións_nos_espazos_de_Hilbert"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Operacións nos espazos de Hilbert</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Operacións_nos_espazos_de_Hilbert-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Mostrar ou agochar a subsección "Operacións nos espazos de Hilbert"</span> </button> <ul id="toc-Operacións_nos_espazos_de_Hilbert-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Suma_directa_e_produto_tensorial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Suma_directa_e_produto_tensorial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Suma directa e produto tensorial</span> </div> </a> <ul id="toc-Suma_directa_e_produto_tensorial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Complementos_e_proxeccións_ortogonais" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Complementos_e_proxeccións_ortogonais"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Complementos e proxeccións ortogonais</span> </div> </a> <ul id="toc-Complementos_e_proxeccións_ortogonais-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Reflexividade" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Reflexividade"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Reflexividade</span> </div> </a> <ul id="toc-Reflexividade-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Operadores_en_espazos_de_Hilbert" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Operadores_en_espazos_de_Hilbert"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Operadores en espazos de Hilbert</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Operadores_en_espazos_de_Hilbert-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Mostrar ou agochar a subsección "Operadores en espazos de Hilbert"</span> </button> <ul id="toc-Operadores_en_espazos_de_Hilbert-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Operadores_limitados" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Operadores_limitados"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Operadores limitados</span> </div> </a> <ul id="toc-Operadores_limitados-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Operadores_non_limitados" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Operadores_non_limitados"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Operadores non limitados</span> </div> </a> <ul id="toc-Operadores_non_limitados-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Véxase_tamén" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véxase_tamén"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Véxase tamén</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Véxase_tamén-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Mostrar ou agochar a subsección "Véxase tamén"</span> </button> <ul id="toc-Véxase_tamén-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Mostrar ou agochar a táboa de contidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Mostrar ou agochar a táboa de contidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Espazo de Hilbert</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artigo noutra lingua. Dispoñible en 59 linguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-59" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">59 linguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Hilbert-ruimte" title="Hilbert-ruimte – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Hilbert-ruimte" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%D8%A1_%D9%87%D9%8A%D9%84%D8%A8%D8%B1%D8%AA" title="فضاء هيلبرت – árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="فضاء هيلبرت" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Espaciu_de_Hilbert" title="Espaciu de Hilbert – asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Espaciu de Hilbert" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Hilbert_f%C9%99zas%C4%B1" title="Hilbert fəzası – acerbaixano" lang="az" hreflang="az" data-title="Hilbert fəzası" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="acerbaixano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82_%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%83%D1%8B%D2%93%D1%8B" title="Гильберт арауығы – baxkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Гильберт арауығы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baxkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BB%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Хилбертово пространство – búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Хилбертово пространство" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B9%E0%A6%BF%E0%A6%B2%E0%A6%AC%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%9F_%E0%A6%9C%E0%A6%97%E0%A7%8E" title="হিলবার্ট জগৎ – bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="হিলবার্ট জগৎ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Espai_de_Hilbert" title="Espai de Hilbert – catalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Espai de Hilbert" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%86%D8%B4%D8%A7%DB%8C%DB%8C%DB%8C_%DA%BE%DB%8C%D9%84%D8%A8%DB%8E%D8%B1%D8%AA" title="بۆشاییی ھیلبێرت – kurdo central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بۆشاییی ھیلبێرت" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Hilbert%C5%AFv_prostor" title="Hilbertův prostor – checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Hilbertův prostor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Hilbertrum" title="Hilbertrum – dinamarqués" lang="da" hreflang="da" data-title="Hilbertrum" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarqués" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum" title="Hilbertraum – alemán" lang="de" hreflang="de" data-title="Hilbertraum" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82_%CE%A7%CE%AF%CE%BB%CE%BC%CF%80%CE%B5%CF%81%CF%84" title="Χώρος Χίλμπερτ – grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Χώρος Χίλμπερτ" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="artigo bo"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space" title="Hilbert space – inglés" lang="en" hreflang="en" data-title="Hilbert space" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Hilberta_spaco" title="Hilberta spaco – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Hilberta spaco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert" title="Espacio de Hilbert – español" lang="es" hreflang="es" data-title="Espacio de Hilbert" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="español" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Hilberti_ruum" title="Hilberti ruum – estoniano" lang="et" hreflang="et" data-title="Hilberti ruum" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoniano" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Hilberten_espazio" title="Hilberten espazio – éuscaro" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Hilberten espazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="éuscaro" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C_%D9%87%DB%8C%D9%84%D8%A8%D8%B1%D8%AA" title="فضای هیلبرت – persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فضای هیلبرت" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Hilbertin_avaruus" title="Hilbertin avaruus – finés" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Hilbertin avaruus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert – francés" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Espace de Hilbert" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98" title="מרחב הילברט – hebreo" lang="he" hreflang="he" data-title="מרחב הילברט" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert-t%C3%A9r" title="Hilbert-tér – húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Hilbert-tér" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%80%D5%AB%D5%AC%D5%A2%D5%A5%D6%80%D5%BF%D5%B5%D5%A1%D5%B6_%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%AE%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Հիլբերտյան տարածություն – armenio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Հիլբերտյան տարածություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_Hilbert" title="Ruang Hilbert – indonesio" lang="id" hreflang="id" data-title="Ruang Hilbert" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hilbert-r%C3%BAm" title="Hilbert-rúm – islandés" lang="is" hreflang="is" data-title="Hilbert-rúm" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert" title="Spazio di Hilbert – italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Spazio di Hilbert" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間 – xaponés" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ヒルベルト空間" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="xaponés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%9E%90%EB%B2%A0%EB%A5%B4%ED%8A%B8_%EA%B3%B5%EA%B0%84" title="힐베르트 공간 – coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="힐베르트 공간" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82_%D0%BC%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B3%D0%B8" title="Гильберт мейкиндиги – kirguiz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Гильберт мейкиндиги" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirguiz" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Hilberto_erdv%C4%97" title="Hilberto erdvė – lituano" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Hilberto erdvė" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BB%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%B9%D0%BD_%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD_%D0%B7%D0%B0%D0%B9" title="Хилбертийн орон зай – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Хилбертийн орон зай" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Ruang_Hilbert" title="Ruang Hilbert – malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Ruang Hilbert" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Hilbertruimte" title="Hilbertruimte – neerlandés" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Hilbertruimte" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Hilbertrom" title="Hilbertrom – noruegués nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Hilbertrom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruegués nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Hilbert-rom" title="Hilbert-rom – noruegués bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Hilbert-rom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruegués bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B2%E0%A8%AC%E0%A8%B0%E0%A8%9F_%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8" title="ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ – panxabí" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panxabí" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_Hilberta" title="Przestrzeń Hilberta – polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przestrzeń Hilberta" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DB%81%D9%84%D8%A8%D8%B1%D9%B9_%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B3" title="ہلبرٹ سپیس – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ہلبرٹ سپیس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert – portugués" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Espaço de Hilbert" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_Hilbert" title="Spațiu Hilbert – romanés" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Spațiu Hilbert" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanés" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Гильбертово пространство – ruso" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Гильбертово пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space" title="Hilbert space – escocés" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Hilbert space" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocés" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_prostor" title="Hilbertov prostor – serbocroata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Hilbertov prostor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space" title="Hilbert space – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Hilbert space" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_priestor" title="Hilbertov priestor – eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Hilbertov priestor" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_prostor" title="Hilbertov prostor – esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Hilbertov prostor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Hap%C3%ABsira_e_Hilbertit" title="Hapësira e Hilbertit – albanés" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Hapësira e Hilbertit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BB%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Хилбертов простор – serbio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Хилбертов простор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Hilbertrum" title="Hilbertrum – sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Hilbertrum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espasyong_Hilbert" title="Espasyong Hilbert – tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espasyong Hilbert" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Hilbert_uzay%C4%B1" title="Hilbert uzayı – turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Hilbert uzayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір – ucraíno" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Гільбертів простір" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraíno" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Gilbert_fazosi" title="Gilbert fazosi – uzbeko" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Gilbert fazosi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_Hilbert" title="Không gian Hilbert – vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Không gian Hilbert" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="希尔伯特空间 – chinés wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="希尔伯特空间" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chinés wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="希尔伯特空间 – chinés" lang="zh" hreflang="zh" data-title="希尔伯特空间" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinés" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%96%93" title="希爾伯特空間 – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="希爾伯特空間" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%82%E6%8B%94%E7%A9%BA%E9%96%93" title="囂拔空間 – cantonés" lang="yue" hreflang="yue" data-title="囂拔空間" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q190056#sitelinks-wikipedia" title="Editar as ligazóns interlingüísticas" class="wbc-editpage">Editar as ligazóns</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espazos de nomes"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Espazo_de_Hilbert" title="Ver o contido da páxina [c]" accesskey="c"><span>Artigo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Conversa:Espazo_de_Hilbert&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Conversa acerca do contido desta páxina (a páxina aínda non existe) [t]" accesskey="t"><span>Conversa</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a variante de lingua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">galego</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistas"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Espazo_de_Hilbert"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit" title="Editar esta páxina [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit" title="Editar o código fonte desta páxina [e]" accesskey="e"><span>Editar a fonte</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=history" title="Versións anteriores desta páxina [h]" accesskey="h"><span>Ver o historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas das páxinas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ferramentas" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Ferramentas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Ferramentas</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mover á barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">agochar</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Máis opcións" > <div class="vector-menu-heading"> Accións </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Espazo_de_Hilbert"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit" title="Editar esta páxina [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit" title="Editar o código fonte desta páxina [e]" accesskey="e"><span>Editar a fonte</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=history"><span>Ver o historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Xeral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1xinas_que_ligan_con_esta/Espazo_de_Hilbert" title="Lista de todas as páxinas do wiki que ligan cara a aquí [j]" accesskey="j"><span>Páxinas que ligan con esta</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Cambios_relacionados/Espazo_de_Hilbert" rel="nofollow" title="Cambios recentes nas páxinas ligadas desde esta [k]" accesskey="k"><span>Cambios relacionados</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1xinas_especiais" title="Lista de todas as páxinas especiais [q]" accesskey="q"><span>Páxinas especiais</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&oldid=6257554" title="Ligazón permanente a esta versión desta páxina"><span>Ligazón permanente</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=info" title="Máis información sobre esta páxina"><span>Información da páxina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Cita&page=Espazo_de_Hilbert&id=6257554&wpFormIdentifier=titleform" title="Información sobre como citar esta páxina"><span>Citar esta páxina</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fgl.wikipedia.org%2Fwiki%2FEspazo_de_Hilbert"><span>Xerar URL acurtado</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fgl.wikipedia.org%2Fwiki%2FEspazo_de_Hilbert"><span>Descargar o código QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimir/exportar </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=Espazo+de+Hilbert"><span>Crear un libro</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Espazo_de_Hilbert&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&printable=yes" title="Versión para imprimir da páxina [p]" accesskey="p"><span>Versión para imprimir</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Noutros proxectos </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Hilbert_space" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q190056" title="Ligazón ao elemento conectado no repositorio de datos [g]" accesskey="g"><span>Elemento de Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas das páxinas"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover á barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">agochar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Na Galipedia, a Wikipedia en galego.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="gl" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>, un <b>espazo de Hilbert</b> é unha xeneralización do concepto de <a href="/wiki/Espazo_euclidiano" title="Espazo euclidiano">espazo euclidiano</a>. Esta xeneralización permite que nocións e técnicas alxébricas e xeométricas aplicables aos espazos de dimensión dous e tres se estendan a espazos de dimensión arbitraria, incluíndo espazos de dimensión infinita. Exemplos desas nocións e técnicas son a de <a href="/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo">ángulo</a> entre vectores, <a href="/w/index.php?title=Ortogonalidade_(matem%C3%A1ticas)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ortogonalidade (matemáticas) (a páxina aínda non existe)">ortogonalidade de vectores</a>, o <a href="/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras" title="Teorema de Pitágoras">teorema de Pitágoras</a>, <a href="/w/index.php?title=Proxecci%C3%B3n_ortogonal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Proxección ortogonal (a páxina aínda non existe)">proxección ortogonal</a>, <a href="/wiki/Distancia" title="Distancia">distancia entre vectores</a> e <a href="/w/index.php?title=Converxencia_(matem%C3%A1ticas)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Converxencia (matemáticas) (a páxina aínda non existe)">converxencia</a> dunha <a href="/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Sucesión matemática">sucesión</a>. O nome dado a estes espazos é en honor ao matemático <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> quen os empregou no seu estudo das <a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_integral&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuación integral (a páxina aínda non existe)">ecuacións integrais</a>. </p><p>Máis formalmente, defínese como un <a href="/w/index.php?title=Espazo_de_produto_interior&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo de produto interior (a páxina aínda non existe)">espazo de produto interior</a> que é <a href="/wiki/Espazo_completo" title="Espazo completo">completo</a> con respecto á <a href="/w/index.php?title=Norma_vectorial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norma vectorial (a páxina aínda non existe)">norma vectorial</a> definida polo produto interior. Os espazos de Hilbert serven para clarificar e para xeneralizar o concepto de <a href="/wiki/Series_de_Fourier" class="mw-redirect" title="Series de Fourier">series de Fourier</a>, certas <a href="/w/index.php?title=Transformaci%C3%B3ns_lineares&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transformacións lineares (a páxina aínda non existe)">transformacións lineares</a> tales como a <a href="/w/index.php?title=Transformaci%C3%B3n_de_Fourier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transformación de Fourier (a páxina aínda non existe)">transformación de Fourier</a>, e son de importancia crucial na formulación matemática da <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>. </p><p>Os espazos de Hilbert e as súas propiedades estúdanse dentro da <a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">análise funcional</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introdución"><span id="Introduci.C3.B3n"></span>Introdución</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=1" title="Editar a sección: «Introdución»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=1" title="Editar o código fonte da sección: Introdución"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cada <a href="/w/index.php?title=Produto_interior&action=edit&redlink=1" class="new" title="Produto interior (a páxina aínda non existe)">produto interior</a> <.,.> nun <a href="/wiki/Espazo_vectorial" title="Espazo vectorial">espazo vectorial</a> <i>H</i>, que pode ser <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">real</a> ou <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">complexo</a>, dá lugar a unha <a href="/w/index.php?title=Norma_vectorial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norma vectorial (a páxina aínda non existe)">norma</a> ||.|| que se define como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a885f02102ba1179708035546be39be936979b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.579ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}"></span> </p> </blockquote> <p><i>H</i> é un <b>espazo de Hilbert</b> se é <a href="/wiki/Espazo_completo" title="Espazo completo">completo</a> con respecto a esta norma. Completo neste contexto significa que calquera <a href="/w/index.php?title=Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sucesión de Cauchy (a páxina aínda non existe)">sucesión de Cauchy</a> de elementos do espazo <a href="/w/index.php?title=Converxencia_(matem%C3%A1ticas)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Converxencia (matemáticas) (a páxina aínda non existe)">converxe</a> a un elemento no espazo, no sentido que a norma das diferenzas tende a cero. Cada espazo de Hilbert é xa que logo un <a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Banach&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo de Banach (a páxina aínda non existe)">espazo de Banach</a> (pero non ao contrario). </p><p>Todos os espazos finito-dimensionais con produto interior (tales como o <a href="/wiki/Espazo_euclidiano" title="Espazo euclidiano">espazo euclidiano</a> co produto escalar ordinario) son espazos de Hilbert. Isto permite que poidamos extrapolar nocións dende os espazos de dimensión finita aos espazos de Hilbert de dimensión infinita (por exemplo os espazos de funcións). Porén, os exemplos infinito-dimensionais teñen moitas máis aplicacións. Estas inclúen: </p> <ul><li>A teoría das <a href="/wiki/Representaci%C3%B3n_de_grupo" title="Representación de grupo">representacións do grupo</a> unitarias.</li> <li>A teoría dos procesos estocásticos <a href="/w/index.php?title=Cadrado_integrable&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cadrado integrable (a páxina aínda non existe)">cadrado integrables</a>.</li> <li>A teoría en espazos de Hilbert de <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuacións diferenciais parciais</a>, en particular formulacións do <a href="/w/index.php?title=Problema_de_Dirichlet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Problema de Dirichlet (a páxina aínda non existe)">problema de Dirichlet</a>.</li> <li>Análise espectral de funcións, incluíndo teorías de <a href="/w/index.php?title=Wavelet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wavelet (a páxina aínda non existe)">wavelets</a>.</li> <li>Formulacións matemáticas da <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>.</li></ul> <p>O produto interior permite que se adopte unha visión "xeométrica" e que se utilice a linguaxe xeométrica familiar dos espazos de dimensión finita. De todos os espazos vectoriais topolóxicos infinito-dimensionais, os espazos de Hilbert son os de "mellor comportamento" e os máis próximos aos espazos finito-dimensionais. </p><p>Os elementos dun espazo de Hilbert abstracto chámanse ás veces "vectores". Nas aplicacións, son tipicamente <a href="/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Sucesión matemática">sucesións</a> de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">números complexos</a> ou de funcións. Na mecánica cuántica por exemplo, un conxunto físico é descrito por un espazo complexo de Hilbert que conteña as "<a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_ondas" class="mw-redirect" title="Función de ondas">funcións de ondas</a>" para os estados posibles do conxunto. </p><p>Unha das metas do <a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier">análise de Fourier</a> é facilitar un método para escribir unha función dada como a suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funcións baixas dadas. Este problema pódese estudar de xeito abstracto nos espazos de Hilbert: cada espazo de Hilbert ten unha <a href="/w/index.php?title=Base_ortonormal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Base ortonormal (a páxina aínda non existe)">base ortonormal</a>, e cada elemento do espazo de Hilbert pode escribirse nun xeito único como suma de múltiplos destes elementos baixos. </p><p>Os espazos de Hilbert denomináronse así por <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>, que os estudou no contexto das ecuacións integrais. A orixe da designación, aínda que é confuso, foi empregado xa por <a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a> no seu famoso libro <i>a teoría de grupos e a mecánica cuántica</i> publicado en 1931. <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> foi quizais o matemático que máis claramente recoñeceu a súa importancia. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemplos">Exemplos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=2" title="Editar a sección: «Exemplos»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=2" title="Editar o código fonte da sección: Exemplos"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nos seguintes exemplos, asumiremos que o corpo subxacente de escalares é <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>, aínda que as definicións son similares ao caso de que o corpo subxacente de escalares sexa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espazos_euclidianos">Espazos euclidianos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=3" title="Editar a sección: «Espazos euclidianos»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=3" title="Editar o código fonte da sección: Espazos euclidianos"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O primeiro exemplo constitúeno os espazos de dimensión finita co produto escalar ordinario. Noutras palabras, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span><sup><i>n</i></sup> coa definición de produto interior seguinte: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c330233b7fc31371c88c50accf077497b2e756b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.858ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}"></span> </p> </blockquote> <p>onde a barra sobre un <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">número complexo</a> denota a súa conxugación complexa. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espazos_de_sucesións"><span id="Espazos_de_sucesi.C3.B3ns"></span>Espazos de sucesións</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=4" title="Editar a sección: «Espazos de sucesións»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=4" title="Editar o código fonte da sección: Espazos de sucesións"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Os espazos de Hilbert non necesariamente teñen dimensión finita, de feito en moitas aplicacións tipicamente o espazo de Hilbert considerado é un espazo de Hilbert infinito-dimensional. Un dos exemplos de espazo de Hilbert de dimensión infinita é o seguinte: se <i>B</i> é un <a href="/wiki/Conxunto" title="Conxunto">conxunto</a>, definimos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(B)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec10dbcecdcb7ede7aadbea8f75b99109e08705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"></span> sobre <i>B</i>, da forma: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>:</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9bbd2f829914dc4ce5f6eb65686071a59b6df6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:40.738ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}"></span> </p> </blockquote> <p>Este espazo convértese nun espazo de Hilbert co produto interior </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd24cef96e9838a944ef43e2a5b4e35cb5da9ea7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.311ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \langle x,e\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}"></span> </p> </blockquote> <p>para todo <i>x</i> e <i>y</i> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(B)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec10dbcecdcb7ede7aadbea8f75b99109e08705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"></span>. <i>B</i> non ten por que ser un <a href="/wiki/Conxunto_numerable" title="Conxunto numerable">conxunto numerable</a> nesta definición, aínda que se <i>B</i> non é numerable, o espazo de Hilbert que resulta non é separable. Expresado de xeito máis concreto, cada espazo de Hilbert é <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfo</a> a un da forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(B)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec10dbcecdcb7ede7aadbea8f75b99109e08705" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(B)}"></span> para un conxunto adecuado <i>B</i>. Se <i>B</i> = <b>N</b>, escríbese simplemente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f1f909abd70bd3d8fff0f7ae1ac23052387e18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}}"></span>. Algúns exemplos de sucesións de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55d0c40a21df75f1737fcf80d6f3f6492302873" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.634ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}"></span>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>v</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f960f73e276b2433aca07c7f7f45531bd9006c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.077ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}"></span> </p> </blockquote> <p>En cambio: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><br /> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ non está definida, xa que }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∉</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>w</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> non está definida, xa que </mtext> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ non está definida, xa que }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945a7f2445ed10dbf2cdddf9e8c2c833a52a1068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:80.656ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ non está definida, xa que }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty }"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espazos_de_Lebesgue">Espazos de Lebesgue</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=5" title="Editar a sección: «Espazos de Lebesgue»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=5" title="Editar o código fonte da sección: Espazos de Lebesgue"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Outro exemplo interesante de <a href="/w/index.php?title=Espazos_de_Banach&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazos de Banach (a páxina aínda non existe)">espazos de Banach</a> de dimensión infinita son os <a href="/w/index.php?title=Espazos_Lp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazos Lp (a páxina aínda non existe)">espazos <i>L<sup>p</sup></i></a>. Estes son <a href="/w/index.php?title=Espazo_funcional&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo funcional (a páxina aínda non existe)">espazos funcionais</a> asociados a <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_da_medida" class="mw-redirect" title="Teoría da medida">espazos de medida</a> (<i>X</i>, <i>M</i>, μ), onde <i>M</i> é unha <a href="/wiki/Sigma-%C3%A1lxebra" title="Sigma-álxebra">σ-álxebra</a> de subconxuntos de <i>X</i> e μ é unha medida numerablemente aditiva en <i>M</i>. Se <i>p</i> = 2 estes espazos son ademais un espazo de Hilbert, sexa por tanto, <i>L</i>² <sub>μ</sub>(<i>X</i>) o espazo de funcións medibles cadrado-integrables complexo-valoradas en <i>X</i>, módulo o subespazo desas funcións cunha integral cuadrática que sexa cero, ou equivalentemente igual a cero case por todas as partes. Cadrado integrable significa que a integral do cadrado do seu valor absoluto é finita. <i>Módulo igualdade case por todas as partes</i> significa que as funcións son identificadas se e só se son <i>iguais agás nun conxunto de medida 0</i>. </p><p>O produto interior das funcións <i>f</i> e <i>g</i> dáse como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7e645d9123af925ccf712510108302aaf5fdaf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.303ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}"></span> </p> </blockquote> <p>Precísase demostrar: </p> <ul><li>Que esta integral ten de feito sentido.</li> <li>Que o espazo que resulta é completo.</li></ul> <p>Estes son feitos tecnicamente doados. Cómpre observar que ao empregar a integral de Lebesgue asegúrase de que o espazo sexa completo. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Espazos_de_Sobolev">Espazos de Sobolev</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=6" title="Editar a sección: «Espazos de Sobolev»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=6" title="Editar o código fonte da sección: Espazos de Sobolev"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Os <a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Sobolev&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo de Sobolev (a páxina aínda non existe)">espazos de Sobolev</a>, denotados por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13344c5b6a38dbbff4aa37004fae950c02270f97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\,}"></span> son outro exemplo de espazos de Hilbert, que adoitan empregarse no marco das <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3ns_en_derivadas_parciais" class="mw-redirect" title="Ecuacións en derivadas parciais">ecuacións en derivadas parciais</a> definidas sobre un certo dominio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771ad27abf999ca4ae152aeb523d93eca2447b7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.065ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega \,}"></span>. Os espazos de Sobolev xeneralizan os espazos <i>L<sup>p</sup></i>. </p><p>Ademais dos espazos de Sobolev xerais <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W^{m,p}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W^{m,p}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff917e88559332ca588886e29c50275500cea397" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.854ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle W^{m,p}\,}"></span> úsanse certas notacións particulares para certo tipo de espazos: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07bfa4ff56fb34179caaac3de7ed11dd9065649d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.701ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e13a29e126518f93c1253fce16b3543d6b8603" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.839ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bases_ortonormais">Bases ortonormais</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=7" title="Editar a sección: «Bases ortonormais»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=7" title="Editar o código fonte da sección: Bases ortonormais"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un concepto importante é o dunha <b><a href="/w/index.php?title=Base_ortonormal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Base ortonormal (a páxina aínda non existe)">base ortonormal</a></b> dun espazo de Hilbert <i>H</i>: esta é unha familia {<i>e</i><sub><i>k</i></sub>}<sub><i>k</i> ∈ <i>B</i></sub> de <i>H</i> 'satisfaciendo: </p> <ul><li>Os elementos están normalizados: Cada elemento da familia ten norma 1: ||<i>e</i><sub><i>k</i></sub>|| = 1 para todo <i>k</i> en <i>B</i></li> <li>Os elementos son ortogonais: dous elementos calquera de <i>B</i> son ortogonais; isto quere dicir: <<i>e</i><sub><i>k</i></sub>, <i>e</i><sub><i>j</i></sub>> = 0 para todos os <i>k</i>, <i>j</i> en <i>B</i> cumprindo a condición <i>j</i> ≠ <i>k</i>.</li> <li>Expansión densa: a <a href="/w/index.php?title=Expansi%C3%B3n_linear&action=edit&redlink=1" class="new" title="Expansión linear (a páxina aínda non existe)">expansión linear</a> de <i>B</i> é <a href="/w/index.php?title=Conxunto_denso&action=edit&redlink=1" class="new" title="Conxunto denso (a páxina aínda non existe)">densa</a> en <i>H</i>.</li></ul> <p>Tamén empregamos as expresións <i>secuencia ortonormal</i> e <i>conxunto ortonormal</i>. Os exemplos de bases ortonormais inclúen: </p> <ul><li>O conxunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma unha base ortonormal de <b>R</b>³</li> <li>A secuencia {<i>f</i><sub><i>n</i></sub>: <i>n</i> ∈ <b>Z</b>} con <i>f</i><sub><i>n</i></sub>(<i>x</i>) = <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial" title="Función exponencial">exp</a>(2π<i>inx</i>) forma unha base ortonormal do espazo complexo L²([0, 1])</li> <li>A familia {<i>e</i><sub><i>b</i></sub>: <i>b</i> ∈ <i>B</i>} con <i>e</i><sub><i>b</i></sub>(<i>c</i>) = 1 se <i>b</i> = <i>c</i> e 0 en caso contrario, forma unha base ortonormal de <i>l</i>²(<i>B</i>).</li></ul> <p>Cómpre observar que no caso infinito-dimensional, unha base ortonormal non será unha base no sentido da <a href="/wiki/%C3%81lxebra_linear" class="mw-redirect" title="Álxebra linear">álxebra linear</a>; para distinguir as dúas, a última base chámase <a href="/w/index.php?title=Base_de_Hamel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Base de Hamel (a páxina aínda non existe)">base de Hamel</a>. </p><p>Usando o <a href="/wiki/Lema_de_Zorn" title="Lema de Zorn">lema de Zorn</a>, pódese demostrar que <i>cada</i> espazo de Hilbert admite unha base ortonormal; ademais, dúas bases ortonormais calquera do mesmo espazo teñen o mesmo <a href="/wiki/N%C3%BAmero_cardinal" title="Número cardinal">cardinal</a>. Un espazo de Hilbert é <a href="/w/index.php?title=Espazo_separable&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo separable (a páxina aínda non existe)">separable</a> se e só se admite unha <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_posicional" title="Notación posicional">base</a> ortonormal numerable. </p><p>Posto que todos os espazos separables infinito-dimensionais de Hilbert son isomorfos, e posto que case todos os espazos de Hilbert usados na <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> son separables, cando os físicos falan de <i>espazo de Hilbert</i> queren significar o separable. </p><p>Se {<i>e</i><sub><i>k</i></sub>}<sub><i>k</i> ∈ <i>B</i></sub> é unha base ortonormal de <i>H</i>, entón cada elemento <i>x</i> de <i>H</i> pode escribirse como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e972a27a441c8b2f6eaf891abce48ad7dcde4fee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.3ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}}"></span> </p> </blockquote> <p>Mesmo se <i>B</i> non é numerable, case todos os termos nesta suma serán iguais a cero, e a expresión está polo tanto ben definida. Esta suma tamén se chama a <i>expansión de Fourier</i> de <i>x</i>. </p><p>Si {<i>e</i><sub><i>k</i></sub>}<sub><i>k</i> ∈ <i>B</i></sub> é unha base ortonormal de <i>H</i>, entón <i>H</i> é <i>isomorfo</i> a <i>l</i>²(<i>B</i>) no sentido seguinte: existe unha <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_linear" title="Función linear">función linear</a> bixectiva Φ : <i>H</i> → <i>l</i>²(<i>B</i>) tal que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,e\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>e</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,e\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd40f714a174dd0248b97ddd7c5984f3a5330f8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.819ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,e\rangle }"></span></dd></dl> <p>para todo <i>x</i> e <i>y</i> en <i>H</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operacións_nos_espazos_de_Hilbert"><span id="Operaci.C3.B3ns_nos_espazos_de_Hilbert"></span>Operacións nos espazos de Hilbert</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=8" title="Editar a sección: «Operacións nos espazos de Hilbert»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=8" title="Editar o código fonte da sección: Operacións nos espazos de Hilbert"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Suma_directa_e_produto_tensorial">Suma directa e produto tensorial</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=9" title="Editar a sección: «Suma directa e produto tensorial»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=9" title="Editar o código fonte da sección: Suma directa e produto tensorial"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dados dous (o máis) espazos de Hilbert, podemos combinalos nun espazo máis grande de Hilbert tomando a súa <a href="/wiki/Suma_directa" title="Suma directa">suma directa</a> ou o seu <a href="/wiki/Produto_tensorial" title="Produto tensorial">produto tensorial</a>. A primeira construción baséase na <a href="/w/index.php?title=Uni%C3%B3n_de_conxuntos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Unión de conxuntos (a páxina aínda non existe)">unión de conxuntos</a> e a segunda no <a href="/wiki/Produto_cartesiano" title="Produto cartesiano">produto cartesiano</a>. </p><p>A suma directa require que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∩</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\{0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150bc458a9cd5b3ef901acd7fe204c990865fd9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\{0\}}"></span>, e é o mínimo espazo de Hilbert que "contén" a unión dos dous conxuntos: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">↪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab9eb1f3e1056988e9d41c18839aa7b26142b42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:64.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})}"></span> </p> </blockquote> <p>Mentres que o produto tensorial é o mínimo espazo de Hilbert que "contén" o produto castesiano: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">↪</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>dim</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da96105240bb6543328a50ecc0a04332e34fcbe7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.822ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Complementos_e_proxeccións_ortogonais"><span id="Complementos_e_proxecci.C3.B3ns_ortogonais"></span>Complementos e proxeccións ortogonais</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=10" title="Editar a sección: «Complementos e proxeccións ortogonais»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=10" title="Editar o código fonte da sección: Complementos e proxeccións ortogonais"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se <i>S</i> é un subconxunto do espazo de Hilbert <i>H</i>, definimos o conxunto de vectores ortogonais a <i>S</i> </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊥</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>:</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2f355b3a1221a860b61b977d534faece911d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}"></span> </p> </blockquote> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle S^{\bot }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊥</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle S^{\bot }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2169f6622707cfc7407242a47de06ebc8efcc83f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.278ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle S^{\bot }}"></span> é un <a href="/w/index.php?title=Subespazo_vectorial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Subespazo vectorial (a páxina aínda non existe)">subespazo</a> <a href="/wiki/Conxunto_pechado" title="Conxunto pechado">pechado</a> de <i>H</i> e forma, polo tanto, un espazo de Hilbert. Se <i>V</i> é un subespazo cerrado de <i>H</i>, entón o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊥</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16521121db8e9182ac4437ce00133ca4243bb24f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.558ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"></span> chámase o <i>complemento ortogonal</i> de <i>V</i>. De feito, cada <i>x</i> en <i>H</i> pode entón escribirse univocamente como <i>x</i> = <i>v</i> + <i>w</i> con <i>v</i> en <i>V</i> e <i>w</i> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊥</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16521121db8e9182ac4437ce00133ca4243bb24f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.558ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"></span>. Polo tanto, <i>H</i> é a suma directa interna de Hilbert de <i>V</i>y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">⊥</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16521121db8e9182ac4437ce00133ca4243bb24f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.558ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle V^{\bot }}"></span>. O operador linear P<sub><i>V</i></sub> : <i>H</i> → <i>H</i> que leva <i>x</i> en <i>v</i> chámase a <i>proxección ortogonal</i> sobre <i>V</i>. </p><p><b>Teorema</b>. A proxección ortogonal P<sub><i>V</i></sub> é un operador linear auto-adxunto en <i>H</i> con norma ≤ 1 coa propiedade P<sub><i>V</i></sub>² = P<sub><i>V</i></sub>. Por outra banda, calquera operador linear E <i>auto-adxunto</i> tal que <i>E</i>² = <i>E</i> é da forma P<sub><i>V</i></sub>, onde <i>V</i> é o rango de <i>E</i>. Para cada <i>x</i> en <i>H</i>, P<sub><i>V</i></sub>(<i>x</i>) é o elemento único <i>v</i> en <i>V</i> que minimiza a distancia ||<i>x</i> - <i>v</i>||. </p><p>Isto proporciona a interpretación xeométrica de P<sub><i>V</i></sub>(<i>x</i>): é a mellor aproximación a <i>x</i> por un elemento de <i>V</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Reflexividade">Reflexividade</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=11" title="Editar a sección: «Reflexividade»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=11" title="Editar o código fonte da sección: Reflexividade"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Unha propiedade importante de calquera espazo de Hilbert é a súa reflexividade, é dicir, o seu espazo bidual (dual do dual) é isomorfo ao propio espazo. De feito, se ten aínda máis, o propio espazo dual é <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfo</a> ao espazo orixinal. Tense unha descrición completa e conveniente do <a href="/w/index.php?title=Espazo_dual&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espazo dual (a páxina aínda non existe)">espazo dual</a> (o espazo de todas as funcións lineares continuas do espazo <i>H</i> no corpo base), que é en si mesmo un espazo de Hilbert. De feito, o <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_representaci%C3%B3n_de_Riesz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de representación de Riesz (a páxina aínda non existe)">teorema de representación de Riesz</a> establece que para cada elemento φ do <i>H</i> ' dual existe un e só un <i>u</i> en <i>H</i> tal que </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e33a6f67b739ab3b57b13f3b2bfc5aee2ce5f3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.513ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle }"></span> </p> </blockquote> <p>para todo <i>x</i> en <i>H</i> e a asociación φ ↔ <i>u</i> proporciona un <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfismo</a> antilinear entre <i>H</i> e <i>H</i> '. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operadores_en_espazos_de_Hilbert">Operadores en espazos de Hilbert</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=12" title="Editar a sección: «Operadores en espazos de Hilbert»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=12" title="Editar o código fonte da sección: Operadores en espazos de Hilbert"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Operadores_limitados">Operadores limitados</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=13" title="Editar a sección: «Operadores limitados»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=13" title="Editar o código fonte da sección: Operadores limitados"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Para un espazo H de <i>Hilbert</i>, os <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3n_linear" class="mw-redirect" title="Transformación linear">operadores lineares</a> <a href="/wiki/Continuidade_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Continuidade (matemáticas)">continuos</a> <i>A</i>: <i>H</i> → <i>H</i> son de interese particular. Un operador continuo é limitado no sentido que aplica conxuntos limitados a <a href="/w/index.php?title=Limitado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Limitado (a páxina aínda non existe)">conxuntos limitados</a>. Isto permite definir a súa <a href="/w/index.php?title=Norma_vectorial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norma vectorial (a páxina aínda non existe)">norma</a> como </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>:</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd7ac7a5e6144c12af93ab3ba5ab06ad7856ce6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.438ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.}"></span> </p> </blockquote> <p>A suma e a composición de dous operadores lineares continuos son á súa vez continuos e lineares. Para <i>y</i> en <i>H</i>, a función que envía <i>x</i> a <<i>y</i>, <i>Ax</i>> é linear e continua, e segundo o <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_representaci%C3%B3n_de_Riesz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de representación de Riesz (a páxina aínda non existe)">teorema de representación de Riesz</a> pódese polo tanto representar na forma </p> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c291746cb8227432f271f0dcfe447af866bbea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .}"></span> </p> </blockquote> <p>Isto define outro operador linear continuo <i>A</i><sup>*</sup>: <i>H</i> → <i>H</i>, o <i>adxunto</i> de <i>A</i>. </p><p>O conxunto L(<i>H</i>) de todos os operadores lineares continuos en <i>H</i>, xunto coa adición e as operacións de composición, a norma e a operación adxunto, forman unha <a href="/w/index.php?title=C-estrela-%C3%A1lxebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="C-estrela-álxebra (a páxina aínda non existe)">C<sup>*</sup>-álxebra</a>; de feito, esta é a orixe da motivación e o máis importante exemplo dunha C<sup>*</sup>-álxebra. </p><p>Un elemento <i>A</i> en L(<i>H</i>) chámase <i>auto-adxunto</i> ou <i>hermitiano</i> se <i>A</i><sup>*</sup> = <i>A</i>. Estes operadores comparten moitas propiedades dos <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reais</a> e vense ás veces como xeneralizacións deles. </p><p>Un elemento <i>U</i> de L(<i>H</i>) chámase <i>unitario</i> se <i>U</i> é invertible e o seu inverso vén dado por <i>U</i><sup>*</sup>. Isto pode tamén expresarse requirindo que <<i>Ux</i>, <i>Uy</i>> = <<i>x</i>, <i>y</i>> para todos os <i>x</i>, <i>y</i> en <i>H</i>. Os operadores unitarios forman un <a href="/w/index.php?title=Grupo_topol%C3%B3xico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo topolóxico (a páxina aínda non existe)">grupo</a> baixo composición, que se pode ver como o <a href="/wiki/Automorfismo" title="Automorfismo">grupo de automorfismos</a> de <i>H</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Operadores_non_limitados">Operadores non limitados</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=14" title="Editar a sección: «Operadores non limitados»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=14" title="Editar o código fonte da sección: Operadores non limitados"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>, tamén se consideran operadores lineares, que non necesariamente son continuos e que non necesariamente están definidos en todo espazo <i>H</i>. Requírese só que se definan nun subespazo <a href="/w/index.php?title=Conxunto_denso&action=edit&redlink=1" class="new" title="Conxunto denso (a páxina aínda non existe)">denso</a> de <i>H</i>. É posible definir operadores non limitados auto-adxuntos, e estes desempeñan o papel dos <i>observables</i> na formulación matemática da mecánica cuántica. </p><p>Exemplos de operadores non limitados auto-adxuntos no espazo de Hilbert <i>L</i>²(<b>R</b>) son: </p> <ul><li>Unha extensión conveniente do operador diferencial</li></ul> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2240ed46af5b39eb1b61b3cd6835693564a57e47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.932ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle [Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad }"></span> </p> </blockquote> <dl><dd>onde <i>i</i> é a unidade imaxinaria e <i>f</i> é unha función diferenciable de soporte compacto.</dd></dl> <ul><li>O operador de multiplicación por <i>x</i>:</li></ul> <blockquote style="padding: 5px 10px;background-color: white; text-align:left; margin-left:30px; margin-bottom:0.8em; margin-top:0.5em"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [Bf](x)=xf(x).\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>B</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [Bf](x)=xf(x).\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975b54efdd465680561b38e2fcd4c63dea8e7b52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.29ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [Bf](x)=xf(x).\quad }"></span> </p> </blockquote> <p>estes corresponden aos observables de <a href="/wiki/Cantidade_de_movemento" title="Cantidade de movemento">momento</a> e posición, respectivamente, expresados en <a href="/w/index.php?title=Unidades_at%C3%B3micas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Unidades atómicas (a páxina aínda non existe)">unidades atómicas</a>. Cómpre observar que nin <i>A</i> nin <i>B</i> se definen en todo <i>H</i>, posto que no caso de <i>A</i> a derivada non necesita existir, e no caso de <i>B</i> a función do produto non precisa ser cadrado-integrable. En ambos os casos, o conxunto de argumentos posibles forman subespazos densos de <i>L</i>²(<b>R</b>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véxase_tamén"><span id="V.C3.A9xase_tam.C3.A9n"></span>Véxase tamén</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=15" title="Editar a sección: «Véxase tamén»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=15" title="Editar o código fonte da sección: Véxase tamén"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&veaction=edit&section=16" title="Editar a sección: «Bibliografía»" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&action=edit&section=16" title="Editar o código fonte da sección: Bibliografía"><span>editar a fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">Dieudonne, Jean Alexandre (1966). <i>Fundamentos de análise moderno</i>. Barcelona: Reverté. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_bibliogr%C3%A1ficas/9788429150605" title="Especial:Fontes bibliográficas/9788429150605">9788429150605</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fgl.wikipedia.org%3AEspazo+de+Hilbert&rft.aufirst=Jean+Alexandre&rft.aulast=Dieudonne&rft.btitle=Fundamentos+de+an%C3%A1lise+moderno&rft.date=1966&rft.genre=book&rft.isbn=9788429150605&rft.place=Barcelona&rft.pub=Revert%C3%A9&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Control_de_autoridades" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Control_de_autoridades" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Axuda:Control_de_autoridades" title="Axuda:Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd plainlinks" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span>: <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q190056" class="extiw" title="wikidata:Q190056">Q190056</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_Central_de_Florencia" title="Biblioteca Nacional Central de Florencia">BNCF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=38484">38484</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Espa%C3%B1a" title="Biblioteca Nacional de España">BNE</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX531621">XX531621</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11979628h">11979628h</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">EBID</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/Hilbert-space">ID</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gran_Enciclop%C3%A8dia_Catalana" title="Gran Enciclopèdia Catalana">GEC</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0032649.xml">0032649</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4159850-7">4159850-7</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://www.jstor.org/topic/hilbert-spaces">hilbert-spaces</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85060803">sh85060803</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;">MAG: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://academic.microsoft.com/v2/detail/62799726">62799726</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Dieta" title="Biblioteca Nacional da Dieta">NDL</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00563198">00563198</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional da República Checa">NKC</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph117602">ph117602</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_t%C3%A9cnica_nacional_de_Praga" title="Biblioteca técnica nacional de Praga">PSH</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://psh.techlib.cz/skos/PSH7665">7665</a></span></span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Traído desde «<a dir="ltr" href="https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&oldid=6257554">https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&oldid=6257554</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Categoría:Análise matemática">Análise matemática</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:%C3%81lxebra" title="Categoría:Álxebra">Álxebra</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Categoría:Mecánica cuántica">Mecánica cuántica</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> A última edición desta páxina foi o 15 de decembro de 2022 ás 17:41.</li> <li id="footer-info-copyright">Todo o texto está dispoñible baixo a <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">licenza Creative Commons recoñecemento compartir igual 4.0</a>; pódense aplicar termos adicionais. Consulte os <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/gl">termos de uso</a> para obter máis información.<br />Wikipedia® é unha marca rexistrada da <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, unha organización sen fins lucrativos.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Normas de protección de datos</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Acerca_de">Acerca de Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Advertencia_xeral">Advertencias</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conduta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolvedores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/gl.wikipedia.org">Estatísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaración de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//gl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Espazo_de_Hilbert&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Vista móbil</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5857dfdcd6-tl2np","wgBackendResponseTime":142,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.231","walltime":"0.394","ppvisitednodes":{"value":524,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":10421,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":536,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":4,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":12,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":1260,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":13,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 225.207 1 -total"," 78.20% 176.116 1 Modelo:Control_de_autoridades"," 18.96% 42.705 1 Modelo:Cita_libro"," 2.19% 4.938 16 Modelo:Ecuación"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.143","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5909184,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-864bbfd546-bwf2g","timestamp":"20241129230304","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Espazo de Hilbert","url":"https:\/\/gl.wikipedia.org\/wiki\/Espazo_de_Hilbert","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q190056","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q190056","author":{"@type":"Organization","name":"Colaboradores dos proxectos da Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2016-08-07T10:08:03Z","dateModified":"2022-12-15T17:41:42Z","headline":"espazo euclidiano que permite a s\u00faa aplicaci\u00f3n a espazos de dimensi\u00f3n arbitraria"}</script> </body> </html>