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for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Strumenti</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Strumenti</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">sposta nella barra 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href="/w/index.php?title=Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni&action=edit" title="Modifica il wikitesto di questa pagina [e]" accesskey="e"><span>Modifica sorgente</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni&action=history"><span>Cronologia</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Generale </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciale:PuntanoQui/Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni" title="Elenco di tutte le pagine che sono collegate a questa [j]" accesskey="j"><span>Puntano qui</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciale:ModificheCorrelate/Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni" rel="nofollow" title="Elenco delle ultime modifiche alle pagine collegate a questa [k]" accesskey="k"><span>Modifiche correlate</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciale:PagineSpeciali" title="Elenco di tutte le pagine speciali [q]" accesskey="q"><span>Pagine speciali</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni&action=info" title="Ulteriori informazioni su questa pagina"><span>Informazioni pagina</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciale:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fit.wikibooks.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DLogica_matematica%2FCalcolo_delle_proposizioni%26action%3Dedit%26section%3D24"><span>Ottieni URL breve</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a 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Wikimedia Foundation</a>.</b> <p>Il blocco è stato eseguito da <a href="/wiki/Utente:Jon_Kolbert" title="Utente:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. La motivazione fornita è <i><a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/NOP" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/NOP">Open proxy/Webhost</a>: See the <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/WM:OP/H" class="extiw" title="m:WM:OP/H">help page</a> if you are affected </i>. </p> <ul><li>Inizio del blocco: 16:12, 27 ago 2023</li> <li>Fine del blocco: 16:12, 27 ago 2028</li></ul> <p>Il tuo indirizzo IP attuale è 8.222.208.146. L'intervallo bloccato è 8.222.128.0/17. </p><p>Si prega di specificare tutti i dettagli qui inclusi nel compilare qualsiasi richiesta di chiarimenti. Se ritieni di essere stato bloccato per errore, puoi trovare ulteriori informazioni e istruzioni nella policy globale <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/No_open_proxies" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/No open proxies">Niente proxy aperti</a>. </p> Altrimenti, per discutere del blocco <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Steward_requests/Global" class="extiw" title="m:Steward requests/Global">inserisci una richiesta di riesame su Meta-Wiki</a>. Puoi anche inviare un'e-mail alla coda <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Stewards" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Stewards">stewards</a> <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/VRT" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/VRT">VRT</a> all'indirizzo <kbd>stewards@wikimedia.org</kbd> includendo tutti i dettagli di cui sopra.</div></div><hr /> <p>È possibile visualizzare e copiare il codice sorgente di questa pagina. </p><textarea readonly="" accesskey="," id="wpTextbox1" cols="80" rows="25" style="" class="mw-editfont-monospace" lang="it" dir="ltr" name="wpTextbox1">=== Equivalenza logica === ==== Implicazione logica ==== {{Definizione| Diciamo che <math>A</math> ''implica logicamente'' <math>B</math> sse ogniqualvolta <math>I_\mathcal{V}(A)=\mathrm{T}</math> anche <math>I_\mathcal{V}(B)=\mathrm{T}</math>.}} ==== Equivalenza logica (Definizione) ==== {{Definizione| Diciamo che due proposizioni <math>A</math> e ''<math>B</math>'' sono ''logicamente equivalenti'' o ''tautologicamente equivalenti'' sse <math>I_\mathcal{V}(A)=I_\mathcal{V}(B)</math> per ogni valutazione booleana <math>I_\mathcal{V}</math>. In tal caso scriviamo <math>A \equiv B</math>. }} Diamo qui di seguito una lista di formule tautologicamente equivalenti. L'equivalenza può essere facilmente verificata tramite tavole di verità. {| |<math>A \land A </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> |idempotenza della congiunzione |- |<math>A \lor A </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> |idempotenza della disgiunzione |- |<math>A \land (B \land C) </math> |<math>\equiv </math> |<math>(A \land B) \land C</math> | associatività della congiunzione |- |<math>A \lor (B \lor C) </math> |<math>\equiv </math> |<math>(A \lor B) \lor C</math> | associatività della disgiunzione |- |<math>A \leftrightarrow (B \leftrightarrow C) </math> |<math>\equiv </math> |<math>(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow C</math> |associatività della doppia implicazione |- |<math>A \land B </math> |<math>\equiv </math> |<math>B \land A </math> |commutatività della congiunzione |- |<math>A \lor B </math> |<math>\equiv </math> |<math>B \lor A </math> |commutatività della disgiunzione |- |<math>A \leftrightarrow B </math> |<math>\equiv </math> |<math>B \leftrightarrow A </math> |commutatività della doppia implicazione |- |<math>A \land (B \lor C) </math> |<math>\equiv </math> |<math>(A \land B) \lor (A \land C)</math> | distributività della congiunzione sulla disgiunzione |- |<math>A \lor (B \land C) </math> |<math>\equiv </math> |<math>(A \lor B) \land (A \lor C)</math> | distributività della disgiunzione sulla congiunzione |- |<math>A \land (A \lor B) </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> |assorbimento della congiunzione sulla disgiunzione |- |<math>A \lor (A \land B) </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> |assorbimento della disgiunzione sulla congiunzione |- |<math>A \land \top </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> | neutralità del vero nella congiunzione |- |<math>A \lor \top </math> |<math>\equiv </math> |<math>\top</math> | assorbimento del vero nella disgiunzione |- |<math>A \lor \bot </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> |neutralità del falso nella disgiunzione |- |<math>A \land \bot </math> |<math>\equiv </math> |<math>\bot </math> |assorbimento del falso nella congiunzione |- |<math>\neg\neg A </math> |<math>\equiv </math> |<math>A</math> | doppia negazione |- |<math>\neg(A \land B) </math> |<math>\equiv </math> |<math>\neg A \lor \neg B</math> | legge di De Morgan per la congiunzione |- |<math>\neg(A \lor B) </math> |<math>\equiv </math> |<math>\neg A \land \neg B</math> | legge di De Morgan per la disgiunzione |- |<math>A \lor \neg A </math> |<math>\equiv </math> |<math>\top</math> |terzo escluso |- |<math>A \land \neg A </math> |<math>\equiv </math> |<math>\bot</math> |contraddizione |- |<math>A \to B </math> |<math>\equiv </math> |<math>\neg B \to \neg A </math> |contrapposizione |- |<math>A \to B </math> |<math>\equiv </math> |<math>\neg A \lor B </math> | trasformazione dell'implicazione in disgiunzione |- |} [[Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su algebra delle proposizioni|Esercizi ed esempi]] Relativamente alla legge del terzo escluso, il fatto che <math>A \lor \neg A </math> sia sempre vero sembra del tutto intuitivo. In effetti, questa è una caratteristica della logica classica; in altre logiche, per esempio nella logica intuizionista, questo fatto non vale. Intuitivamente ci si aspetta che, se una proposizione <math>A</math> è logicamente equivalente a una proposizione <math>B</math>, sostituendo <math>A</math> al posto di <math>B</math> in una formula <math>C</math>, il valore di verità di <math>C</math> non cambi. Cerchiamo ora di rendere più precisa questa nozione. Indichiamo con <math>F[p]</math> una formula proposizionale che può contenere delle occorrenze del simbolo <math>p</math> (detto ''metavariabile'' o ''parametro'' proposizionale, cioè <math>p</math> sta ad indicare un atomo). Con la notazione <math>F[X/p]</math> indicheremo la formula <math>F[X]</math>, in cui tutte le occorrenze di <math>p</math> sono state uniformemente e simultaneamente sostituite con occorrenze di una formula <math>X</math>. Chiameremo quest'operazione ''sostituzione uniforme''. ==== Primo teorema del rimpiazzamento ==== Siano <math>F[p]</math>, <math>X</math> e <math>Y</math> formule proposizionali e sia <math>I_\mathcal{V}</math> una valutazione booleana. Se <math>I_\mathcal{V}(X)=I_\mathcal{V}(Y)</math>, allora <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. ''Dimostrazione'' Per induzione strutturale. Osserviamo innanzitutto che, se <math>p</math> non occorre in <math>F</math>, nessuna sostituzione è stata fatta, e quindi l'asserto è banalmente verificato. (''Passo Base'') Supponiamo che <math>F[p]=p</math>, allora <math>F[X/p]=X</math> e <math>F[Y/p]=Y</math>; per ipotesi, <math>I_\mathcal{V}(X)=I_\mathcal{V}(Y)</math>, e dunque <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=I_\mathcal{V}(X)=I_\mathcal{V}(Y)=I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. (''Passo Induttivo'') Sia <math>F[p]=\neg A[p]</math>. Osserviamo che, per definizione di valutazione booleana: <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=\mathcal{Op}_\neg(I_\mathcal{V}(A[X/p]))</math>. Per ipotesi induttiva: <math>I_\mathcal{V}(A[X/p])=I_\mathcal{V}(A[Y/p])</math>. Quindi <math>\mathcal{Op}_\neg(I_\mathcal{V}(A[X/p]))= \mathcal{Op}_\neg(I_\mathcal{V}(A[Y/p]))</math>. Di nuovo, per definizione di valutazione booleana: <math>\mathcal{Op}_\neg(I_\mathcal{V}(A[Y/p]))= I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. Dunque <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. Analogamente, sia <math>F[p]=A[p] \circ B[p]</math>, con <math>\circ \in \{\land,\lor,\to,\leftrightarrow\}</math>. Osserviamo che, per definizione di valutazione booleana: <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=\mathcal{Op}_\circ(I_\mathcal{V}(A[X/p]),I_\mathcal{V}(B[X/p]))</math>. Per ipotesi induttiva: <math>I_\mathcal{V}(A[X/p])=I_\mathcal{V}(A[Y/p])</math> e <math>I_\mathcal{V}(B[X/p])=I_\mathcal{V}(B[Y/p])</math>. Quindi <math>\mathcal{Op}_\circ(I_\mathcal{V}(A[X/p]),I_\mathcal{V}(B[X/p]))= \mathcal{Op}_\circ(I_\mathcal{V}(A[Y/p]),I_\mathcal{V}(B[Y/p]))</math>. Di nuovo, per definizione di valutazione booleana: <math>\mathcal{Op}_\circ(I_\mathcal{V}(A[Y/p]),I_\mathcal{V}(B[Y/p]))= I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. Dunque <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math>. ==== Secondo teorema del rimpiazzamento ==== Se <math>X \equiv Y</math>, allora <math>F[X/p] \equiv F[Y/p]</math>. ''Dimostrazione'' Essendo <math>X \equiv Y</math> un'equivalenza logica, <math>I_\mathcal{V}(X)=I_\mathcal{V}(Y)</math> vale per ogni valutazione booleana <math>I_\mathcal{V}</math>; per il primo teorema del rimpiazzamento, si ha che <math>I_\mathcal{V}(F[X/p])=I_\mathcal{V}(F[Y/p])</math> vale per ogni valutazione booleana. Ne consegue che <math>F[X/p] \equiv F[Y/p]</math>. </textarea><div class="templatesUsed"></div><p id="mw-returnto">Torna a <a href="/wiki/Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni" title="Logica matematica/Calcolo delle proposizioni">Logica matematica/Calcolo delle proposizioni</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Estratto da "<a dir="ltr" href="https://it.wikibooks.org/wiki/Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni">https://it.wikibooks.org/wiki/Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/it">Privacy</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikibooks:About">Informazioni su Wikibooks</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikibooks:General_disclaimer">Avvertenze</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codice di condotta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Sviluppatori</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/it.wikibooks.org">Statistiche</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Dichiarazione sui cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//it.m.wikibooks.org/w/index.php?title=Logica_matematica/Calcolo_delle_proposizioni&action=edit&section=24&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versione mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-b8zqw","wgBackendResponseTime":149,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.005","walltime":"0.006","ppvisitednodes":{"value":17,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":803,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-b8zqw","timestamp":"20241124065013","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>