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<span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Tipos de números</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Tipos_de_números-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Tipos de números</span> </button> <ul id="toc-Tipos_de_números-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Lista_de_los_tipos_de_números_existentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lista_de_los_tipos_de_números_existentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Lista de los tipos de números existentes</span> </div> </a> <ul id="toc-Lista_de_los_tipos_de_números_existentes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Estructura_de_los_sistemas_numéricos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" 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class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Historia del concepto de número</span> </button> <ul id="toc-Historia_del_concepto_de_número-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Las_fracciones_unitarias_egipcias_(Papiro_de_Ahmes/Rhind)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Las_fracciones_unitarias_egipcias_(Papiro_de_Ahmes/Rhind)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Las fracciones unitarias egipcias (Papiro de Ahmes/Rhind)</span> </div> </a> <ul id="toc-Las_fracciones_unitarias_egipcias_(Papiro_de_Ahmes/Rhind)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fracciones_sexagesimales_babilónicas_(documentos_cuneiformes)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fracciones_sexagesimales_babilónicas_(documentos_cuneiformes)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)</span> </div> </a> <ul id="toc-Fracciones_sexagesimales_babilónicas_(documentos_cuneiformes)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Descubrimiento_de_los_inconmensurables" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Descubrimiento_de_los_inconmensurables"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Descubrimiento de los inconmensurables</span> </div> </a> <ul id="toc-Descubrimiento_de_los_inconmensurables-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Creación_del_cero" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Creación_del_cero"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Creación del cero</span> </div> </a> <ul id="toc-Creación_del_cero-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Números_negativos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Números_negativos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>Números negativos</span> </div> </a> <ul id="toc-Números_negativos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Transmisión_del_sistema_indo-arábigo_a_Occidente" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transmisión_del_sistema_indo-arábigo_a_Occidente"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.6</span> <span>Transmisión del sistema indo-arábigo a Occidente</span> </div> </a> <ul id="toc-Transmisión_del_sistema_indo-arábigo_a_Occidente-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Las_fracciones_continuas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Las_fracciones_continuas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.7</span> <span>Las fracciones continuas</span> </div> </a> <ul id="toc-Las_fracciones_continuas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Primera_formulación_de_los_números_complejos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Primera_formulación_de_los_números_complejos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.8</span> <span>Primera formulación de los números complejos</span> </div> </a> <ul id="toc-Primera_formulación_de_los_números_complejos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Generalización_de_las_fracciones_decimales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Generalización_de_las_fracciones_decimales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.9</span> <span>Generalización de las fracciones decimales</span> </div> </a> <ul id="toc-Generalización_de_las_fracciones_decimales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_principio_de_inducción_matemática" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_principio_de_inducción_matemática"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.10</span> <span>El principio de inducción matemática</span> </div> </a> <ul id="toc-El_principio_de_inducción_matemática-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_interpretación_geométrica_de_los_números_complejos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#La_interpretación_geométrica_de_los_números_complejos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.11</span> <span>La interpretación geométrica de los números complejos</span> </div> </a> <ul id="toc-La_interpretación_geométrica_de_los_números_complejos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Descubrimiento_de_los_números_trascendentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Descubrimiento_de_los_números_trascendentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.12</span> <span>Descubrimiento de los números trascendentes</span> </div> </a> <ul id="toc-Descubrimiento_de_los_números_trascendentes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teorías_de_los_irracionales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teorías_de_los_irracionales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.13</span> <span>Teorías de los irracionales</span> </div> </a> <ul id="toc-Teorías_de_los_irracionales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Álgebras_hipercomplejas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Álgebras_hipercomplejas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.14</span> <span>Álgebras hipercomplejas</span> </div> </a> <ul id="toc-Álgebras_hipercomplejas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoría_de_conjuntos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoría_de_conjuntos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.15</span> <span>Teoría de conjuntos</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoría_de_conjuntos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Socialmente" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Socialmente"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.16</span> <span>Socialmente</span> </div> </a> <ul id="toc-Socialmente-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Sistemas_de_representación_de_los_números" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Sistemas_de_representación_de_los_números"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Sistemas de representación de los números</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Sistemas_de_representación_de_los_números-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Sistemas de representación de los números</span> </button> <ul id="toc-Sistemas_de_representación_de_los_números-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cifra,_dígito_y_numeral" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cifra,_dígito_y_numeral"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Cifra, dígito y numeral</span> </div> </a> <ul id="toc-Cifra,_dígito_y_numeral-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Base_numérica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Base_numérica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Base numérica</span> </div> </a> <ul id="toc-Base_numérica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Números_en_las_lenguas_naturales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Números_en_las_lenguas_naturales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Números en las lenguas naturales</span> </div> </a> <ul id="toc-Números_en_las_lenguas_naturales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Número</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 189 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-189" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">189 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal (afrikáans)" lang="af" hreflang="af" data-title="Getal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikáans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Zahl" title="Zahl (alemán suizo)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Zahl" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemán suizo" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%89%81%E1%8C%A5%E1%88%AD" title="ቁጥር (amárico)" lang="am" hreflang="am" data-title="ቁጥር" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amárico" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero (aragonés)" lang="an" hreflang="an" data-title="Numero" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonés" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ang mw-list-item"><a href="https://ang.wikipedia.org/wiki/R%C4%ABm" title="Rīm (inglés antiguo)" lang="ang" hreflang="ang" data-title="Rīm" data-language-autonym="Ænglisc" data-language-local-name="inglés antiguo" class="interlanguage-link-target"><span>Ænglisc</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-anp mw-list-item"><a href="https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या (angika)" lang="anp" hreflang="anp" data-title="संख्या" data-language-autonym="अंगिका" data-language-local-name="angika" class="interlanguage-link-target"><span>अंगिका</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arc mw-list-item"><a href="https://arc.wikipedia.org/wiki/%DC%A1%DC%A2%DC%9D%DC%A2%DC%90" title="ܡܢܝܢܐ (arameo)" lang="arc" hreflang="arc" data-title="ܡܢܝܢܐ" data-language-autonym="ܐܪܡܝܐ" data-language-local-name="arameo" class="interlanguage-link-target"><span>ܐܪܡܝܐ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="সংখ্যা (asamés)" lang="as" hreflang="as" data-title="সংখ্যা" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="asamés" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu" title="Númberu (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-atj mw-list-item"><a href="https://atj.wikipedia.org/wiki/Akitasowin" title="Akitasowin (atikamekw)" lang="atj" hreflang="atj" data-title="Akitasowin" data-language-autonym="Atikamekw" data-language-local-name="atikamekw" class="interlanguage-link-target"><span>Atikamekw</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C6%8Fd%C9%99d" title="Ədəd (azerbaiyano)" lang="az" hreflang="az" data-title="Ədəd" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaiyano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد (South Azerbaijani)" lang="azb" hreflang="azb" data-title="عدد" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%BA%D0%B0%D0%BD" title="Һан (baskir)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Zoih" title="Zoih (Bavarian)" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Zoih" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="Bavarian" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Skaitlios" title="Skaitlios (Samogitian)" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Skaitlios" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Bilang" title="Bilang (Central Bikol)" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Bilang" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA" title="Лік (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Лік" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA" title="Лік (Belarusian (Taraškievica orthography))" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Лік" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Число" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A8%E0%A4%82%E0%A4%AC%E0%A4%B0" title="नंबर (Bhojpuri)" lang="bh" hreflang="bh" data-title="नंबर" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bjn mw-list-item"><a href="https://bjn.wikipedia.org/wiki/Wilangan" title="Wilangan (Banjar)" lang="bjn" hreflang="bjn" data-title="Wilangan" data-language-autonym="Banjar" data-language-local-name="Banjar" class="interlanguage-link-target"><span>Banjar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="সংখ্যা (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%82%E0%BE%B2%E0%BD%84%E0%BD%A6%E0%BC%8B%E0%BD%80%E0%BC%8D" title="གྲངས་ཀ། (tibetano)" lang="bo" hreflang="bo" data-title="གྲངས་ཀ།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="tibetano" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Niver" title="Niver (bretón)" lang="br" hreflang="br" data-title="Niver" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretón" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj (bosnio)" lang="bs" 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hreflang="cbk" data-title="Numero" data-language-autonym="Chavacano de Zamboanga" data-language-local-name="Chavacano" class="interlanguage-link-target"><span>Chavacano de Zamboanga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cho mw-list-item"><a href="https://cho.wikipedia.org/wiki/Hohltina" title="Hohltina (choctaw)" lang="cho" hreflang="cho" data-title="Hohltina" data-language-autonym="Chahta anumpa" data-language-local-name="choctaw" class="interlanguage-link-target"><span>Chahta anumpa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95" title="ژمارە (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-co mw-list-item"><a href="https://co.wikipedia.org/wiki/Numeru" title="Numeru (corso)" lang="co" hreflang="co" data-title="Numeru" data-language-autonym="Corsu" data-language-local-name="corso" class="interlanguage-link-target"><span>Corsu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cr mw-list-item"><a href="https://cr.wikipedia.org/wiki/%E1%90%8A%E1%91%AD%E1%90%A6%E1%91%96%E1%93%B1%E1%90%A3" title="ᐊᑭᐦᑖᓱᐣ (cree)" lang="cr" hreflang="cr" data-title="ᐊᑭᐦᑖᓱᐣ" data-language-autonym="Nēhiyawēwin / ᓀᐦᐃᔭᐍᐏᐣ" data-language-local-name="cree" class="interlanguage-link-target"><span>Nēhiyawēwin / ᓀᐦᐃᔭᐍᐏᐣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADslo" title="Číslo (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cu mw-list-item"><a href="https://cu.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BC%D1%A7" title="Чисмѧ (eslavo eclesiástico)" lang="cu" hreflang="cu" data-title="Чисмѧ" data-language-autonym="Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ" data-language-local-name="eslavo eclesiástico" class="interlanguage-link-target"><span>Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="Хисеп (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif" title="Rhif (galés)" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galés" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dag mw-list-item"><a href="https://dag.wikipedia.org/wiki/Kalinli" title="Kalinli (Dagbani)" lang="dag" hreflang="dag" data-title="Kalinli" data-language-autonym="Dagbanli" data-language-local-name="Dagbani" class="interlanguage-link-target"><span>Dagbanli</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl" title="Zahl (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dty mw-list-item"><a href="https://dty.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%BE" title="अंका (Doteli)" lang="dty" hreflang="dty" data-title="अंका" data-language-autonym="डोटेली" data-language-local-name="Doteli" class="interlanguage-link-target"><span>डोटेली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Αριθμός (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3mmer" title="Nómmer (Emiliano-Romagnolo)" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nómmer" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Number" title="Number (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Nombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Arv" title="Arv (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Arv" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki" title="Zenbaki (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmiru" title="Númiru (Extremaduran)" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Númiru" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="Extremaduran" class="interlanguage-link-target"><span>Estremeñu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ff mw-list-item"><a href="https://ff.wikipedia.org/wiki/Limle" title="Limle (fula)" lang="ff" hreflang="ff" data-title="Limle" data-language-autonym="Fulfulde" data-language-local-name="fula" class="interlanguage-link-target"><span>Fulfulde</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Luku" title="Luku (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Luku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Arv" title="Arv (Võro)" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Arv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="Võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Naba" title="Naba (fiyiano)" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Naba" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fiyiano" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal (feroés)" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Tal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="feroés" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frp mw-list-item"><a href="https://frp.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro (Arpitan)" lang="frp" hreflang="frp" data-title="Nombro" data-language-autonym="Arpetan" data-language-local-name="Arpitan" class="interlanguage-link-target"><span>Arpetan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Taal" title="Taal (frisón septentrional)" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Taal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frisón septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal (frisón occidental)" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Getal" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="frisón occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir" title="Uimhir (irlandés)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 (chino gan)" lang="gan" hreflang="gan" data-title="數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="chino gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Nomm" title="Nomm (Guianan Creole)" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Nomm" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/%C3%80ireamh" title="Àireamh (gaélico escocés)" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Àireamh" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="gaélico escocés" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero" title="Número (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Papapy" title="Papapy (guaraní)" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Papapy" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guaraní" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-guc mw-list-item"><a href="https://guc.wikipedia.org/wiki/Nuumerokana" title="Nuumerokana (Wayuu)" lang="guc" hreflang="guc" data-title="Nuumerokana" data-language-autonym="Wayuunaiki" data-language-local-name="Wayuu" class="interlanguage-link-target"><span>Wayuunaiki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ha mw-list-item"><a href="https://ha.wikipedia.org/wiki/Lamba" title="Lamba (hausa)" lang="ha" hreflang="ha" data-title="Lamba" data-language-autonym="Hausa" data-language-local-name="hausa" class="interlanguage-link-target"><span>Hausa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-haw mw-list-item"><a href="https://haw.wikipedia.org/wiki/N%C4%81_helu" title="Nā helu (hawaiano)" lang="haw" hreflang="haw" data-title="Nā helu" data-language-autonym="Hawaiʻi" data-language-local-name="hawaiano" class="interlanguage-link-target"><span>Hawaiʻi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="מספר (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Ginti" title="Ginti (Fiji Hindi)" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Ginti" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Nonm" title="Nonm (criollo haitiano)" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Nonm" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="criollo haitiano" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1m" title="Szám (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szám" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%AB%D5%BE" title="Թիվ (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%AB%D6%82" title="Թիւ (Western Armenian)" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Թիւ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero (interlingua)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Lumur" title="Lumur (iban)" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Lumur" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ilo mw-list-item"><a href="https://ilo.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero (ilocano)" lang="ilo" hreflang="ilo" data-title="Numero" data-language-autonym="Ilokano" data-language-local-name="ilocano" class="interlanguage-link-target"><span>Ilokano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro (ido)" lang="io" hreflang="io" data-title="Nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Tala_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Tala (stærðfræði) (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Tala (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Nomba" title="Nomba (Jamaican Creole English)" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/namcu" title="namcu (lojban)" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="namcu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="lojban" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Wilangan_(mat%C3%A9matika)" title="Wilangan (matématika) (javanés)" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Wilangan (matématika)" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="javanés" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="რიცხვი (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/San" title="San (karakalpako)" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="San" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="karakalpako" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Am%E1%B8%8Dan" title="Amḍan (cabileño)" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Amḍan" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="cabileño" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/%C3%91%CA%8A%CA%8A_(t%CA%8A%CA%8Az%CA%8A%CA%8A)" title="Ñʊʊ (tʊʊzʊʊ) (Kabiye)" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Ñʊʊ (tʊʊzʊʊ)" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target"><span>Kabɩyɛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D0%BD" title="Сан (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ಸಂಖ್ಯೆ (canarés)" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="canarés" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="수 (수학) (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="수 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar" title="Hejmar (kurdo)" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmar" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurdo" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Niver" title="Niver (córnico)" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Niver" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="córnico" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus" title="Numerus (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Zuel" title="Zuel (luxemburgués)" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Zuel" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxemburgués" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lbe mw-list-item"><a href="https://lbe.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%8C%D0%B4%D0%B0%D0%B4" title="Аьдад (Lak)" lang="lbe" hreflang="lbe" data-title="Аьдад" data-language-autonym="Лакку" data-language-local-name="Lak" class="interlanguage-link-target"><span>Лакку</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero (Lingua Franca Nova)" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Numero" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lg mw-list-item"><a href="https://lg.wikipedia.org/wiki/Ennamba" title="Ennamba (ganda)" lang="lg" hreflang="lg" data-title="Ennamba" data-language-autonym="Luganda" data-language-local-name="ganda" class="interlanguage-link-target"><span>Luganda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal (limburgués)" lang="li" hreflang="li" data-title="Getal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limburgués" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Numer" title="Numer (lombardo)" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Numer" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardo" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99" title="ຈຳນວນ (lao)" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="lao" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Skai%C4%8Dius" title="Skaičius (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Skaitlis" title="Skaitlis (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mai mw-list-item"><a href="https://mai.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95" title="अंक (maithili)" lang="mai" hreflang="mai" data-title="अंक" data-language-autonym="मैथिली" data-language-local-name="maithili" class="interlanguage-link-target"><span>मैथिली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa" title="Isa (malgache)" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgache" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%BE%D1%82%D0%BF%D0%B0%D0%BB" title="Шотпал (Eastern Mari)" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Шотпал" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Број (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="സംഖ്യ (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BE" title="Тоо (mongol)" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या (maratí)" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="maratí" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor" title="Nombor (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmaro" title="Númaro (mirandés)" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Númaro" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="mirandés" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ကိန်း (birmano)" lang="my" hreflang="my" data-title="ကိန်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmano" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mzn mw-list-item"><a href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B4%D9%85%D8%A7%D8%B1%DA%A9" title="اشمارک (mazandaraní)" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="اشمارک" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="mazandaraní" class="interlanguage-link-target"><span>مازِرونی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nah mw-list-item"><a href="https://nah.wikipedia.org/wiki/Tlapohualli" title="Tlapohualli (Nahuatl)" lang="nah" hreflang="nah" data-title="Tlapohualli" data-language-autonym="Nāhuatl" data-language-local-name="Nahuatl" class="interlanguage-link-target"><span>Nāhuatl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Tahl" title="Tahl (bajo alemán)" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Tahl" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="bajo alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95" title="अङ्क (nepalí)" lang="ne" hreflang="ne" data-title="अङ्क" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalí" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B2%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%83" title="ल्याः (nevarí)" lang="new" hreflang="new" data-title="ल्याः" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="nevarí" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Getal_(wiskunde)" title="Getal (wiskunde) (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Getal (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Tall" title="Tall (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre (Novial)" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Nombre" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nrm mw-list-item"><a href="https://nrm.wikipedia.org/wiki/Neunm%C3%A9tho" title="Neunmétho (Norman)" lang="nrf" hreflang="nrf" data-title="Neunmétho" data-language-autonym="Nouormand" data-language-local-name="Norman" class="interlanguage-link-target"><span>Nouormand</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nso mw-list-item"><a href="https://nso.wikipedia.org/wiki/Nomoro" title="Nomoro (sotho septentrional)" lang="nso" hreflang="nso" data-title="Nomoro" data-language-autonym="Sesotho sa Leboa" data-language-local-name="sotho septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Sesotho sa Leboa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Nombre" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8B%D0%BC%C3%A6%D1%86" title="Нымæц (osético)" lang="os" hreflang="os" data-title="Нымæц" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="osético" class="interlanguage-link-target"><span>Ирон</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="ਅੰਕ (punyabí)" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="punyabí" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba" title="Liczba (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczba" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="نمبر (Western Punjabi)" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد (pastún)" lang="ps" hreflang="ps" data-title="عدد" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="pastún" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero" title="Número (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupay" title="Yupay (quechua)" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupay" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r" title="Număr (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-rup mw-list-item"><a href="https://roa-rup.wikipedia.org/wiki/Numiru" title="Numiru (arrumano)" lang="rup" hreflang="rup" data-title="Numiru" data-language-autonym="Armãneashti" data-language-local-name="arrumano" class="interlanguage-link-target"><span>Armãneashti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-tara mw-list-item"><a href="https://roa-tara.wikipedia.org/wiki/Numere" title="Numere (Tarantino)" lang="nap-x-tara" hreflang="nap-x-tara" data-title="Numere" data-language-autonym="Tarandíne" data-language-local-name="Tarantino" class="interlanguage-link-target"><span>Tarandíne</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D1%96%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Чісло (Rusyn)" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Чісло" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="Rusyn" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%83" title="संख्याः (sánscrito)" lang="sa" hreflang="sa" data-title="संख्याः" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="sánscrito" class="interlanguage-link-target"><span>संस्कृतम्</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%85%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BD" title="Ахсаан (sakha)" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Ахсаан" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="sakha" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru" title="Nùmmuru (siciliano)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%DA%AF" title="انگ (sindi)" lang="sd" hreflang="sd" data-title="انگ" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="sindi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sg mw-list-item"><a href="https://sg.wikipedia.org/wiki/N%C3%B6m%C3%B6r%C3%B6" title="Nömörö (sango)" lang="sg" hreflang="sg" data-title="Nömörö" data-language-autonym="Sängö" data-language-local-name="sango" class="interlanguage-link-target"><span>Sängö</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Am%E1%B8%8Dan" title="Amḍan (tashelhit)" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Amḍan" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="tashelhit" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Number" title="Number (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADslo_(matematika)" title="Číslo (matematika) (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Číslo (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/%C5%A0tevilo" title="Število (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Nhamba" title="Nhamba (shona)" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Nhamba" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Thiin_(cillanaad)" title="Thiin (cillanaad) (somalí)" lang="so" hreflang="so" data-title="Thiin (cillanaad)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalí" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numri" title="Numri (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numri" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Број (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Wilangan" title="Wilangan (sundanés)" lang="su" hreflang="su" data-title="Wilangan" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundanés" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba" title="Namba (suajili)" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suajili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/N%C5%AFmera" title="Nůmera (Silesian)" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Nůmera" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="எண் (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="எண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tcy mw-list-item"><a href="https://tcy.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ಸಂಖ್ಯೆ (Tulu)" lang="tcy" hreflang="tcy" data-title="ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ತುಳು" data-language-local-name="Tulu" class="interlanguage-link-target"><span>ತುಳು</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B8%E0%B0%82%E0%B0%96%E0%B1%8D%E0%B0%AF" title="సంఖ్య (telugu)" lang="te" hreflang="te" data-title="సంఖ్య" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4" title="Адад (tayiko)" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Адад" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tayiko" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="จำนวน (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ti mw-list-item"><a href="https://ti.wikipedia.org/wiki/%E1%89%81%E1%8C%BD%E1%88%AA" title="ቁጽሪ (tigriña)" lang="ti" hreflang="ti" data-title="ቁጽሪ" data-language-autonym="ትግርኛ" data-language-local-name="tigriña" class="interlanguage-link-target"><span>ትግርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/San" title="San (turcomano)" lang="tk" hreflang="tk" data-title="San" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="turcomano" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Bilang" title="Bilang (tagalo)" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Bilang" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Say%C4%B1" title="Sayı (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Sayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ts mw-list-item"><a href="https://ts.wikipedia.org/wiki/Nomboro" title="Nomboro (tsonga)" lang="ts" hreflang="ts" data-title="Nomboro" data-language-autonym="Xitsonga" data-language-local-name="tsonga" class="interlanguage-link-target"><span>Xitsonga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D0%BD" title="Сан (tártaro)" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Сан" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tártaro" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tum mw-list-item"><a href="https://tum.wikipedia.org/wiki/Chipendero" title="Chipendero (tumbuka)" lang="tum" hreflang="tum" data-title="Chipendero" data-language-autonym="ChiTumbuka" data-language-local-name="tumbuka" class="interlanguage-link-target"><span>ChiTumbuka</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8B%D0%B4" title="Лыд (udmurt)" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Лыд" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="udmurt" class="interlanguage-link-target"><span>Удмурт</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Число" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عدد" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Son" title="Son (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Son" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9maro" title="Nùmaro (Venetian)" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Nùmaro" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Lugu" title="Lugu (Veps)" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Lugu" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="Veps" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91" title="Số (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Ihap" title="Ihap (waray)" lang="war" hreflang="war" data-title="Ihap" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B9%D0%B3" title="Тойг (kalmyk)" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Тойг" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kalmyk" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/INANI" title="INANI (xhosa)" lang="xh" hreflang="xh" data-title="INANI" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="xhosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%A3" title="რიცხუ (Mingrelian)" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="რიცხუ" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="Mingrelian" class="interlanguage-link-target"><span>მარგალური</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%90%D7%9C" title="צאל (yidis)" lang="yi" hreflang="yi" data-title="צאל" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yidis" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/N%E1%BB%8D%CC%81mb%C3%A0" title="Nọ́mbà (yoruba)" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Nọ́mbà" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="yoruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B4%B0%E2%B5%8E%E2%B4%B9%E2%B4%B0%E2%B5%8F" title="ⴰⵎⴹⴰⵏ (tamazight estándar marroquí)" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⴰⵎⴹⴰⵏ" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="tamazight estándar marroquí" class="interlanguage-link-target"><span>ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 (Literary Chinese)" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2%CD%98-ba%CC%8Dk" title="Sò͘-ba̍k (chino min nan)" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sò͘-ba̍k" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="chino min nan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zu mw-list-item"><a href="https://zu.wikipedia.org/wiki/Inombolo" title="Inombolo (zulú)" lang="zu" hreflang="zu" data-title="Inombolo" data-language-autonym="IsiZulu" data-language-local-name="zulú" class="interlanguage-link-target"><span>IsiZulu</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11563#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/N%C3%BAmero" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discusi%C3%B3n:N%C3%BAmero" rel="discussion" title="Discusión acerca de la página [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">español</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistas"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet 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vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><div class="rellink noprint hatnote"> Para el concepto lingüístico, véase <a href="/wiki/N%C3%BAmero_gramatical" title="Número gramatical">Número gramatical</a>.</div> <div class="rellink noprint hatnote"> Para otros usos de este término, véase <a href="/wiki/N%C3%BAmero_(desambiguaci%C3%B3n)" class="mw-disambig" title="Número (desambiguación)">Número (desambiguación)</a>.</div> <p>Un <b>número</b> es un <a href="/wiki/Concepto" title="Concepto">concepto abstracto que</a> se emplea para contar (<a href="/wiki/Cantidad" title="Cantidad">cantidades</a>), medir (<a href="/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica" title="Magnitud física">magnitudes</a>) y etiquetar. Los números más sencillos, que utilizamos todos en la vida cotidiana, son los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturales</a>: 1, 2, 3, etc. Se denotan mediante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span> y sirven también como ordinales, para establecer un orden (primero, segundo,...). En ocasiones usamos el término <i>número</i> para hablar de lo que en realidad es un numeral o cifra (por ejemplo, nuestros <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_ar%C3%A1bigos" class="mw-redirect" title="Números arábigos">números arábigos</a>). Desde un punto de vista totalmente general un número es cualquier elemento de una estructura lógico-matemática conocida como <a href="/wiki/Sistema_num%C3%A9rico" title="Sistema numérico">sistema numérico</a>. </p><p>Los números desempeñan un papel fundamental en las <a href="/wiki/Ciencias_f%C3%A1cticas" title="Ciencias fácticas">ciencias empíricas</a>; no solo los naturales, sino muchos otros tipos de números que contemplan las matemáticas. El conjunto de <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_enteros" class="mw-redirect" title="Números enteros">números enteros</a> (representados por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span>) es una ampliación de los naturales, incluyendo los negativos (que utilizamos para representar deudas, y en los termómetros para las temperaturas bajo cero). Si incluimos los números fraccionarios (1/3, 0,75, -3,25, etc.) se obtiene el conjunto de los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_racionales" class="mw-redirect" title="Números racionales">números racionales</a>, cuyo símbolo es <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>. Ya en la Antigüedad se descubrió que existen números no racionales: la diagonal de un cuadrado de lado 1 mide raíz de 2, un número que no puede representarse como número entero ni como fracción; es irracional. Los racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales, (ℝ). Posteriormente, se han ido agregando otros tipos de números: imaginarios, trascendentes, irreales, complejos... </p><p>Nótese que la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros" title="Teoría de números">teoría de números</a> es una rama de las matemáticas que se ocupa de los enteros (no de números en general). El origen de los números es que los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y se utilizan para contar elementos de un conjunto finito, ya que se procede a enumerar dichos elementos de una manera ordenada seleccionándolos uno tras otro a la vez que se le atribuye a cada uno un número. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tipos_de_números"><span id="Tipos_de_n.C3.BAmeros"></span>Tipos de números</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=1" title="Editar sección: Tipos de números"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:AL_Numeros_01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/AL_Numeros_01.svg/460px-AL_Numeros_01.svg.png" decoding="async" width="460" height="230" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/AL_Numeros_01.svg/690px-AL_Numeros_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/AL_Numeros_01.svg/920px-AL_Numeros_01.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="400" /></a><figcaption>Clasificación de los números.</figcaption></figure> <p>Los números más conocidos son los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_naturales" class="mw-redirect" title="Números naturales">números naturales</a>. Denotados mediante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>, son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Estos, conjuntamente con los números «negativos», conforman el conjunto de los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_enteros" class="mw-redirect" title="Números enteros">enteros</a>, denotados mediante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"></span> (del alemán <i>Zahlen</i>, ‘números’). Los números naturales negativos permiten representar formalmente deudas, y generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales. Es decir, ya tenemos solución para operaciones como, por ejemplo, 3-2 = 1. </p><p>Otro tipo de números ampliamente usados son números <a href="/wiki/Fracci%C3%B3n" title="Fracción">fraccionarios</a>, los cuales representan tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_racionales" class="mw-redirect" title="Números racionales">números racionales</a> (que usualmente se define para que incluya tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números se designa como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"></span>. Al igual que con los números enteros se puede calcular el resultado de cualquier resta, con los racionales es posible efectuar divisiones que no tienen resultado entero, como 15/2 = 7,5 o 7½. </p><p>Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la <a href="/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_dos" title="Raíz cuadrada de dos">diagonal de un cuadrado de lado unidad</a>) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una <a href="/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy" title="Sucesión de Cauchy">sucesión de Cauchy</a> de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span>. Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_algebraicos" class="mw-redirect" title="Números algebraicos">soluciones de una ecuación polinomial</a> o algebraica, y estos reciben el nombre de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_trascendental" class="mw-redirect" title="Número trascendental">transcendentales</a>. Los más conocidos de estos números son el número <a href="/wiki/N%C3%BAmero_pi" class="mw-redirect" title="Número pi">π (Pi)</a> y el <a href="/wiki/N%C3%BAmero_e" title="Número e">número e</a> (este último base de los <a href="/wiki/Logaritmo_natural" title="Logaritmo natural">logaritmos naturales</a>), los cuales están relacionados entre sí por la <a href="/wiki/Identidad_de_Euler" title="Identidad de Euler">identidad de Euler</a>. </p><p>Uno de los problemas de los números reales es que no forman un <a href="/wiki/Cuerpo_algebraicamente_cerrado" title="Cuerpo algebraicamente cerrado">cuerpo algebraicamente cerrado</a>, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complejos" class="mw-redirect" title="Números complejos">números complejos</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span>, que son el mínimo <a href="/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Cuerpo (matemática)">cuerpo</a> algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además, en algunas aplicaciones prácticas, así como en las formulaciones estándar de la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a> se considera útil introducir los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_complejos" class="mw-redirect" title="Números complejos">números complejos</a>. Al parecer, la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en <a href="/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3rica" title="Física teórica">física teórica</a> y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d9950eb62a726dae925200b6aec6a9003df374" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.528ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }"></span> fueron de alguna manera «descubiertos» o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física. </p><p>Al margen de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan solo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_hipercomplejos" class="mw-redirect" title="Números hipercomplejos">números hipercomplejos</a>, que incluyen a los <a href="/wiki/Cuaterniones" class="mw-redirect" title="Cuaterniones">cuaterniones</a>, útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos, como <a href="/wiki/Octoniones" class="mw-redirect" title="Octoniones">octoniones</a> y los <a href="/wiki/Sedeniones" title="Sedeniones">sedeniones</a>. </p><p>A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades <a href="/wiki/Infinita" class="mw-redirect" title="Infinita">infinitas</a> e <a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal">infinitesimales</a>, como los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal" title="Número hiperreal">hiperreales</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5c9fcdf7653b2b2991bcb1a39cc45af40abe58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }"></span> y los <a href="/wiki/Transfinitos" class="mw-redirect" title="Transfinitos">transfinitos</a>. E igualmente los números racionales pueden extenderse de otras maneras, como por ejempo para formar los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_p-%C3%A1dico" title="Número p-ádico">números p-ádicos</a>, entre los cuales se encuentran los enteros p-ádicos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}"></span>, los racionales p-ádicos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"></span> o los complejos p-ádicos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\mathbb {C} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\mathbb {C} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce50bc8493272e3fe2f63bdd13e981dfad3547a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.514ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\mathbb {C} _{p}}"></span>, que satisfacen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\subset \mathbb {Q} _{p}\subset \mathbb {C} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>⊂</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>⊂</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\subset \mathbb {Q} _{p}\subset \mathbb {C} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2342366cdd45ba9454c64c3a1c067198c9ffd7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\subset \mathbb {Q} _{p}\subset \mathbb {C} _{p}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lista_de_los_tipos_de_números_existentes"><span id="Lista_de_los_tipos_de_n.C3.BAmeros_existentes"></span>Lista de los tipos de números existentes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=2" title="Editar sección: Lista de los tipos de números existentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeros" class="mw-redirect" title="Teoría de los números">teoría de los números</a> trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están: </p> <div style="-moz-column-count:3; column-count:3;"> <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">Números naturales</a> <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo">Número primo</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_compuesto" title="Número compuesto">Números compuestos</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_perfecto" title="Número perfecto">Números perfectos</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_entero" title="Número entero">Números enteros</a> <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_negativo" title="Número negativo">Números negativos</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_par" class="mw-redirect" title="Número par">Números pares</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_impar" class="mw-redirect" title="Número impar">Números impares</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">Números racionales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">Números reales</a> <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional">Números irracionales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_algebraico" title="Número algebraico">Números algebraicos</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_trascendente" title="Número trascendente">Números trascendentes</a></li></ul></li> <li>Extensiones de los números reales <ul><li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">Números complejos</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmeros_hipercomplejos" class="mw-redirect" title="Números hipercomplejos">Números hipercomplejos</a> <ul><li><a href="/wiki/Cuaterniones" class="mw-redirect" title="Cuaterniones">Cuaterniones</a></li> <li><a href="/wiki/Octoniones" class="mw-redirect" title="Octoniones">Octoniones</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal" title="Número hiperreal">Números hiperreales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmeros_superreales" class="mw-redirect" title="Números superreales">Números superreales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmeros_surreales" class="mw-redirect" title="Números surreales">Números surreales</a></li></ul></li> <li>Números usados en teoría de conjuntos</li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_ordinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)" title="Número ordinal (teoría de conjuntos)">Números ordinales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_cardinal_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)" title="Número cardinal (teoría de conjuntos)">Números cardinales</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_transfinito" title="Número transfinito">Números transfinitos</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Estructura_de_los_sistemas_numéricos"><span id="Estructura_de_los_sistemas_num.C3.A9ricos"></span>Estructura de los sistemas numéricos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=3" title="Editar sección: Estructura de los sistemas numéricos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstracta" title="Álgebra abstracta">álgebra abstracta</a> y <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a> un sistema numérico se caracteriza por una: </p> <ul><li><b><a href="/wiki/Estructura_algebraica" title="Estructura algebraica">Estructura algebraica</a></b>, usualmente un <a href="/wiki/Anillo_conmutativo" title="Anillo conmutativo">anillo conmutativo</a> o <a href="/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)" title="Cuerpo (matemáticas)">cuerpo matemático</a> (en el caso no conmutativo son un <a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_un_cuerpo" title="Álgebra sobre un cuerpo">álgebra sobre un cuerpo</a> y en el caso de los números naturales solo un <a href="/wiki/Monoide" title="Monoide">monoide</a> conmutativo).</li> <li><b><a href="/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden" title="Relación de orden">Estructura de orden</a></b>, usualmente un <a href="/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden" title="Relación de orden">conjunto ordenado</a>, en el caso de los números naturales, enteros, racionales y reales se trata de <a href="/wiki/Orden_total" title="Orden total">conjuntos totalmente ordenados</a>, aunque los números complejos e hipercomplejos solo son conjuntos parcialmente ordenados. Los reales además son un <a href="/wiki/Conjunto_bien_ordenado" title="Conjunto bien ordenado">conjunto bien ordenado</a> y con un <a href="/wiki/Orden_denso" title="Orden denso">orden denso</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li> <li><b><a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">Estructura topológica</a></b>, los conjuntos numéricos numerables usualmente son conjuntos disconexos, sobre los que se considera la <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa_discreta" title="Topología discreta">topología discreta</a>, mientras que sobre los <a href="/wiki/Conjunto_numerable" title="Conjunto numerable">conjuntos no numerables</a> se considera una topología que los hace adecuados para el <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a>.</li></ul> <p>Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante <a href="/wiki/Diagrama_de_Hasse" title="Diagrama de Hasse">diagramas de Hasse</a>, <a href="/wiki/Diagrama_de_Euler" title="Diagrama de Euler">diagramas de Euler</a> y <a href="/wiki/Diagrama_de_Venn" title="Diagrama de Venn">diagramas de Venn</a>, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de <a href="/wiki/Cuadril%C3%A1tero" title="Cuadrilátero">cuadrilátero</a> y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones transcendentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos" title="Teoría de modelos">teoría de modelos</a> durante el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>, se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Números_naturales_especiales"><span id="N.C3.BAmeros_naturales_especiales"></span>Números naturales especiales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=4" title="Editar sección: Números naturales especiales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. Se pueden encuadrar dentro de la <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_recreativa" title="Matemática recreativa">matemática recreativa</a>. A continuación se indican algunos: </p> <ul><li><b>Perfecto:</b> número igual a la suma de sus divisores (incluyendo el 1). Ejemplo: 6 = 1 + 2 + 3.</li> <li><b>Sheldon</b>: el número 73, es el 21° número primo, que al multiplicar 7 × 3 = 21; Y al dar la vuelta a sus dígitos da 37 que es el 12° número primo.</li> <li><b>Narcisista</b>: número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.</li> <li><b>Omirp</b>: número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo: 1597 y 7951 son primos.</li> <li><b>Vampiro</b>: número que es el producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 × 81.</li> <li><b>Hamsteriano</b>: Su estructura aritmética N= (a×b)<sup>2</sup>-1, donde <i>a</i> y <i>b</i> son primos los dos, la suma de sus divisores sobrepasa N, y la cantidad de sus divisores es > a×b/2; va como ejemplo: 1224 = (5×7)<sup>2</sup>-1</li> <li><b>Pitagórico:</b> una terna pitagórica son tres números que cumplen las siguientes condiciones: el cuadrado de uno de ellos, más el cuadrado de otro, es igual al cuadrado del tercero, por ejemplo: (3, 4, 5) ya que 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 9 + 16 = 25 = 5<sup>2</sup></li></ul> <p>Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del <a href="/wiki/Cero" title="Cero">cero</a>, con una base constante. </p><p>Más formalmente, en <i><a href="/wiki/Los_fundamentos_de_la_aritm%C3%A9tica" title="Los fundamentos de la aritmética">Los fundamentos de la aritmética</a></i>, <a href="/wiki/Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a> (1848-1925) realiza una definición de «número», la cual fue tomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> [1872-1870], cocreador de <i><a href="/wiki/Principia_mathematica" class="mw-redirect" title="Principia mathematica">Principia mathematica</a></i>): </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161259348">.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:var(--background-color-neutral-subtle);color:var(--color-base);border-left:3px solid var(--border-color-base);font-size:90%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid var(--border-color-divider);border-top:1px solid var(--border-color-divider);margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}</style> <blockquote class="flexquote"> <div class="flex"> <div class="quote">«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).</div> </div> </blockquote> <p>Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ve inhabilitado para definir al número como la expresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el continuo). </p><p>Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturales</a>, explícita que supone sabida una definición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos <i>cero</i>, <i>sucesor</i> y <i>número</i>. De esta manera postula: </p> <ul><li>0 es un número natural</li> <li>el sucesor de todo número es un número</li> <li>dos números diferentes no tienen el mismo sucesor</li> <li>0 no es el sucesor de ningún número</li> <li>y la propiedad inductiva</li></ul> <p>Sin embargo, si uno define el concepto <i>cero</i> como el número 100, y el concepto <i>número</i> como <i>los números mayores a 100</i>, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su formalización. </p><p>La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historia_del_concepto_de_número"><span id="Historia_del_concepto_de_n.C3.BAmero"></span>Historia del concepto de número</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=5" title="Editar sección: Historia del concepto de número"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Huesos_de_ishango.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Huesos_de_ishango.jpg/240px-Huesos_de_ishango.jpg" decoding="async" width="240" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Huesos_de_ishango.jpg/360px-Huesos_de_ishango.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Huesos_de_ishango.jpg/480px-Huesos_de_ishango.jpg 2x" data-file-width="490" data-file-height="224" /></a><figcaption><a href="/wiki/Hueso_de_Ishango" title="Hueso de Ishango">Hueso de Ishango</a>.</figcaption></figure> <p>Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de <a href="/wiki/Contar" title="Contar">contar</a> y comparar cuál de dos conjuntos de entidades similares tiene mayor cantidad de elementos. Las primeras sociedades humanas se encontraron muy pronto con el problema de determinar cuál de dos conjuntos era «mayor» que otro, o de conocer con precisión cuántos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, solo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término «muchos» para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como «3 más 3 y otros 3». </p><p>El <a href="/wiki/Cuenta_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Cuenta (matemáticas)">conteo</a> se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en <a href="/wiki/Palo_tallado" title="Palo tallado">huesos tallados</a>: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos <span style="white-space:nowrap">37 000 años</span> de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en cinco grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos <span style="white-space:nowrap">30 000 años</span> de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares.<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque está testimoniado el empleo de otras bases numéricas. </p><p>El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En conjunto, desde hace <span style="white-space:nowrap">5000 años</span> la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías: </p> <ol><li><b>Sistemas de notación aditiva</b>. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas, …, necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: <a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_egipcia" title="Numeración egipcia">egipcio</a>, hitita, cretense, <a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_romana" title="Numeración romana">romano</a>, griego, armenio y judío.</li> <li><b>Sistemas de notación híbrida</b>. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en estos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: chino clásico, asirio, armenio, etíope y <a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_maya" title="Numeración maya">maya</a>. Este último utilizaba símbolos para el 1, el 5 y el 0. Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (año <span style="white-space:nowrap">36 a. C.</span>) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.</li> <li><b>Sistemas de <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_posicional" title="Notación posicional">notación posicional</a></b>. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas, …, o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: el <a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_china" title="Numeración china">sistema chino</a> (<span style="white-space:nowrap">300 a. C.</span>) que no disponía de 0, el <a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_babil%C3%B3nica" title="Numeración babilónica">sistema babilónico</a> (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin 0 hasta el <span style="white-space:nowrap">300 a. C.</span></li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Las_fracciones_unitarias_egipcias_(Papiro_de_Ahmes/Rhind)"><span id="Las_fracciones_unitarias_egipcias_.28Papiro_de_Ahmes.2FRhind.29"></span>Las fracciones unitarias egipcias (<a href="/wiki/Papiro_de_Ahmes" title="Papiro de Ahmes">Papiro de Ahmes/Rhind</a>)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=6" title="Editar sección: Las fracciones unitarias egipcias (Papiro de Ahmes/Rhind)"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Fracci%C3%B3n_egipcia" title="Fracción egipcia"> Fracción egipcia</a></i></div> <p>En este papiro adquirido por <a href="/wiki/Alexander_Henry_Rhind" title="Alexander Henry Rhind">Alexander Henry Rhind</a> (1833-1863) en 1858, cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/n+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/n+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca4d6a8b693e0ff169c8381e4713bfeaf689198" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n/n+1}"></span>. Hay tablas de descomposición de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fad95ae763b1a6575dece8877b0d8b5967a5365" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/n}"></span> desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/5=1/3+1/15}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>15</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/5=1/3+1/15}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fb8f2829e9ecde8f17a285dce24c12a7c6a9ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/5=1/3+1/15}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/7=1/4+1/28}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>7</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>28</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/7=1/4+1/28}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5c339dc6b78a10b920055d0052ac98dcdd6975" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/7=1/4+1/28}"></span>, no sabemos por qué no utilizaban <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/n=1/n+1/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/n=1/n+1/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec993b81e6f9b1f74bda9963e7986d6ea52eac9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/n=1/n+1/n}"></span> pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e10667bad240500f5044257143510127e03d69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/n}"></span>. </p><p>Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4. La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por «duplicaciones» y «mediaciones», por ejemplo 69×19=69×(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fracciones_sexagesimales_babilónicas_(documentos_cuneiformes)"><span id="Fracciones_sexagesimales_babil.C3.B3nicas_.28documentos_cuneiformes.29"></span>Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=7" title="Editar sección: Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En las tablillas cuneiformes de la dinastía <a href="/wiki/Hammurabi" title="Hammurabi">Hammurabi</a> (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 60+2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 60+2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd067c83daa8a90f1fbea163122992feb59fa8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.331ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2\times 60+2}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+2\times 60-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+2\times 60-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1e5f415ab1dacffa3767b7b359d77af55d768a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.333ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2+2\times 60-1}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 60-1+2\times 60-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 60-1+2\times 60-2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c04ae60d021733d2437797009c0fd13fa18291" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:23.502ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2\times 60-1+2\times 60-2}"></span> con una representación basada en la interpretación del problema. </p><p>Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijo, etc. Por ejemplo, para calcular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>, tomaban su mejor aproximación entera <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}}"></span>, y calculaban <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{1}=a/a_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{1}=a/a_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861b62bf4b4aa18f67dbc0e6fa58ede21487841f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{1}=a/a_{1}}"></span> (una mayor y otra menor) y entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}=(a_{1}+b_{1})/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}=(a_{1}+b_{1})/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625e959ace125f6a0975a9bf751e88ef08dbce78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.693ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{2}=(a_{1}+b_{1})/2}"></span> es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{2}=a/a_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{2}=a/a_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c19a637c850c986348cf8345f2803d6a4082fda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{2}=a/a_{2}}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{3}=(a_{2}+b_{2})/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{3}=(a_{2}+b_{2})/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db591a8b1b8b9ca7562ea67ae95a0d2a568f9df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.693ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{3}=(a_{2}+b_{2})/2}"></span> obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d08dd865689204f563ce6f0de095c8ca67410" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{3}}"></span> partiendo de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}=1;30}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mn>30</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}=1;30}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0bc59400ee92ce7b847b1f7bbe9c8938b347c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.904ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{1}=1;30}"></span> (véase <a href="/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada#Algoritmo_babilónico" title="Raíz cuadrada">algoritmo babilónico</a>). </p><p>Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111…) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909…), pero no se percataron del desarrollo periódico. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Descubrimiento_de_los_inconmensurables">Descubrimiento de los inconmensurables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=8" title="Editar sección: Descubrimiento de los inconmensurables"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la <a href="/wiki/Escuela_pitag%C3%B3rica" class="mw-redirect" title="Escuela pitagórica">escuela pitagórica</a> (se utiliza el <a href="/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras" title="Teorema de Pitágoras">teorema de Pitágoras</a>). <a href="/wiki/Arist%C3%B3teles" title="Aristóteles">Aristóteles</a> (<span style="white-space:nowrap">384-322 a. C.</span>) menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la <a href="/wiki/Diagonal" title="Diagonal">diagonal</a> de un <a href="/wiki/Cuadrado" title="Cuadrado">cuadrado</a> con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es: </p><p>Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional, que podremos escribirlo como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p/q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p/q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa5bd4cf049744deac0ac4a04c07998bd6befa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:3.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p/q}"></span>, con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}=s^{2}+s^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}=s^{2}+s^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f45c4c255f87dd6da13a7cb705abbc5618d171" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d^{2}=s^{2}+s^{2}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (d/s)^{2}=p^{2}/q^{2}=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>s</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (d/s)^{2}=p^{2}/q^{2}=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4977690735816d014f5394ad36296f058e900e36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.211ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (d/s)^{2}=p^{2}/q^{2}=2}"></span>, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{2}=2q^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{2}=2q^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f15b6913e8b13408cb0c9111120c2a09d06e2ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.708ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p^{2}=2q^{2}}"></span> y por tanto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef685027b97072ee63a8c738f395cd40f63767e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p^{2}}"></span> debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=2r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ede7a40b7f58b7a216763952c33ab637545941" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.568ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=2r}"></span>, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4r^{2}=2q^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4r^{2}=2q^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6b8261ed9dadd214701be15973a80d5ef06437" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.66ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 4r^{2}=2q^{2}}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r^{2}=q^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r^{2}=q^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db11c5e61f6e47e8087d849564577f674cc3eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.497ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2r^{2}=q^{2}}"></span>, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d4dbdf3feb09055609f33baa8a7ae23aef1d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.134ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q^{2}}"></span> es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción. </p><p>La teoría pitagórica de <i>todo es número</i> quedó seriamente dañada. </p><p>El problema lo resolvería <a href="/wiki/Eudoxo_de_Cnido" title="Eudoxo de Cnido">Eudoxo de Cnido</a> (408-355 a. C.) tal como nos indica <a href="/wiki/Euclides" title="Euclides">Euclides</a> en el libro V de <i>Los elementos</i>. Para ello estableció el axioma de Arquímedes: «Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra» (excluye el 0). Después, en la definición 5, da la famosa formulación de Eudoxo: </p><p>«Dos magnitudes están en la misma razón <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a/b=c/d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a/b=c/d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a076edfc5baf1667b743528cb0d74f1dc15c5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a/b=c/d}"></span> si dados dos <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturales</a> cualesquiera m y n, si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ma=nb}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ma=nb}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c13a271532e6d7644a4d958fa86fe4c700fa3a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.761ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ma=nb}"></span> entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mc=nd}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mc=nd}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027272cbda31334d39d1307c5a3c0796daa8b829" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.756ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle mc=nd}"></span> (definición que intercambiando el 2.º y 3.º términos equivale a nuestro procedimiento actual). </p><p>En el libro <i>Historia de la matemética</i> (1985), de J. P. Colette, se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">número real</a> que dará <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind</a> (1831-1916), divide las fracciones en las <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m/n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eebcb27a9df80445dbe86eefee5d131d6e0e7e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m/n}"></span> tales que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ma=nb}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ma=nb}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c13a271532e6d7644a4d958fa86fe4c700fa3a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.761ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ma=nb}"></span> y las que no. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Creación_del_cero"><span id="Creaci.C3.B3n_del_cero"></span>Creación del cero</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=9" title="Editar sección: Creación del cero"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Cero" title="Cero"> Cero</a></i></div> <p>En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. Por ejemplo, en el sistema <a href="/wiki/Historia_de_Babilonia" class="mw-redirect" title="Historia de Babilonia">babilónico</a> el número <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 32}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>32</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 32}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28cd1505cccfe738e9c90499f48ef42bf2ed5c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 32}"></span> escrito en base 60 puede ser <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\times 60+2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\times 60+2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edc501f370ec8404721e8be4449957a9a1a3c9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.331ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3\times 60+2}"></span> o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\times 60^{2}+0\times 60+2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>60</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\times 60^{2}+0\times 60+2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb5a0f64ac87e091aa45ec44723da46390a9f17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.553ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3\times 60^{2}+0\times 60+2}"></span>. A veces, se utilizaba la posición vacía para evitar este problema 3 _ 2; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no equivocarse. </p><p>Hacia el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">III</span> a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa <i>oudos</i> 'vacío', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemático parece haber surgido en la <a href="/wiki/India" title="India">India</a> antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del Viejo Mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío. </p><p>En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">III</span> a. C. Se trata de una estela <a href="/wiki/Olmeca" class="mw-redirect" title="Olmeca">olmeca</a> tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los <a href="/wiki/Mayas" class="mw-redirect mw-disambig" title="Mayas">mayas</a> inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Números_negativos"><span id="N.C3.BAmeros_negativos"></span>Números negativos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=10" title="Editar sección: Números negativos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Brahmagupta" title="Brahmagupta">Brahmagupta</a>, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Ecuación cuadrática">ecuaciones cuadráticas</a>, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">aritmética</a> (+, -, *, /, potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba <i>los bienes</i>, <i>las deudas</i> y <i>la nada</i>. Así, por ejemplo, para el cociente, establece: </p><p><i>Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)</i> </p><p>No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a>. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica, y su mezcla de lo práctico con lo formal. </p><p>Sin embargo, el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el <a href="/wiki/Renacimiento" title="Renacimiento">Renacimiento</a>) para que fuese recuperado. </p><p>Al parecer, los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transmisión_del_sistema_indo-arábigo_a_Occidente"><span id="Transmisi.C3.B3n_del_sistema_indo-ar.C3.A1bigo_a_Occidente"></span>Transmisión del sistema indo-arábigo a Occidente</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=11" title="Editar sección: Transmisión del sistema indo-arábigo a Occidente"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Varios autores del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIII</span> contribuyeron a esta difusión, destacan <a href="/wiki/Alexandre_de_Villedieu" title="Alexandre de Villedieu">Alexandre de Villedieu</a> (1225), <a href="/wiki/Johannes_de_Sacrobosco" title="Johannes de Sacrobosco">Sacrobosco</a> (circa 1195, o 1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como <a href="/wiki/Fibonacci" class="mw-redirect" title="Fibonacci">Fibonacci</a>, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, <i>El <a href="/wiki/Liber_abaci" title="Liber abaci">Liber abaci</a></i>, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,...,u_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,...,u_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2823f6d3255b439a91f522b1346e88ca30924697" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,...,u_{n}}"></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe79f22e617c93e91db151d356cf05ddbd8fa9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.784ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}"></span>. </p><p>No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de estos últimos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Las_fracciones_continuas">Las fracciones continuas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=12" title="Editar sección: Las fracciones continuas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Pietro_Antonio_Cataldi" title="Pietro Antonio Cataldi">Pietro Antonio Cataldi</a> (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> y sea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> el mayor número cuyo cuadrado es menor que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=N^{2}-a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=N^{2}-a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e065d784aec18c97311f32d402704feea6e6fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=N^{2}-a^{2}}"></span>, tenemos: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N-a=(N^{2}-a^{2})/(N+a)=b/(2a+N-a)=b/(2a+(b/2a+...))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N-a=(N^{2}-a^{2})/(N+a)=b/(2a+N-a)=b/(2a+(b/2a+...))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e8bca8a251e6dca26335b86b4831430194e63c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:70.455ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle N-a=(N^{2}-a^{2})/(N+a)=b/(2a+N-a)=b/(2a+(b/2a+...))}"></span> que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a… Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)… </p><p>Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Primera_formulación_de_los_números_complejos"><span id="Primera_formulaci.C3.B3n_de_los_n.C3.BAmeros_complejos"></span>Primera formulación de los números complejos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=13" title="Editar sección: Primera formulación de los números complejos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Los números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones (<a href="/wiki/Michael_Stifel" title="Michael Stifel">M. Stifel</a> (1487-1567), <a href="/wiki/Simon_Stevin" title="Simon Stevin">S. Stevin</a> (1548-1620)) y por casi ninguno como coeficientes). Estos números se llamaron inicialmente <i>ficticii</i> 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlos números respetables). A pesar de esto <a href="/wiki/Gerolamo_Cardano" title="Gerolamo Cardano">G. Cardano</a> (1501-1576) conoce la <a href="/wiki/Regla_de_los_signos" class="mw-redirect" title="Regla de los signos">regla de los signos</a> y <a href="/wiki/Rafael_Bombelli" title="Rafael Bombelli">R. Bombelli</a> (1526-1573) las reglas aditivas a través de <i>haberes</i> y <i>débitos</i>, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo. </p><p>Cardano en la resolución del problema <i>dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40</i> obtiene como soluciones <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>15</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47542fd65df12534ec3ebabcad3e9a04fd17bb8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.072ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 5+{\sqrt {-15}}}"></span> (en su notación 5p:Rm:15) y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>15</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ba528b9eefa844a719e335df01be4c1c43669a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.072ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 5-{\sqrt {-15}}}"></span> (en su notación 5m:Rm:15), soluciones que consideró meras manipulaciones <i>«sutiles, pero inútiles»</i>. </p><p>En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su <i>Álgebra</i> que tuvo lo que llamó <i>"una idea loca"</i>, esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (+\mathrm {i} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (+\mathrm {i} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ae83397fe769298e6f9b5bb28a883619b1cd9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (+\mathrm {i} )}"></span> para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +{\sqrt {-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +{\sqrt {-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126c0c912277f7c0b633ca5647270eb3d430342c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.715ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle +{\sqrt {-1}}}"></span> y m.d.m. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-\mathrm {i} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\mathrm {i} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12aa3051ffff21d9c55c90e76d226f4db2c0b61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\mathrm {i} )}"></span> para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\sqrt {-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\sqrt {-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d890148245ca54bcba4bd0212708c869a4ce217" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.715ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle -{\sqrt {-1}}}"></span> dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2.º grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b\mathrm {i} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b\mathrm {i} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d51de259dbe8977449f656684454c12e2e48964" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.715ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b\mathrm {i} }"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Generalización_de_las_fracciones_decimales"><span id="Generalizaci.C3.B3n_de_las_fracciones_decimales"></span>Generalización de las fracciones decimales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=14" title="Editar sección: Generalización de las fracciones decimales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que <a href="/wiki/Simon_Stevin" title="Simon Stevin">Simon Stevin</a> publicó en 1585 <i>De Thiende (La Disme)</i>. En su definición primera dice que la Disme es una especie de <a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">aritmética</a> que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: <i>cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (primera posición decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda (2)</i>. Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), o 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade que <i>no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9</i>. </p><p>Esta notación la simplificó <a href="/wiki/Joost_B%C3%BCrgi" title="Joost Bürgi">Joost Bürgi</a> (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un «.» en la parte superior de las unidades 372·43, poco después <a href="/wiki/Giovanni_Antonio_Magini" title="Giovanni Antonio Magini">Magini</a> (1555-1617) usó el «.» entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la <i>Constructio</i> de <a href="/wiki/John_Napier" title="John Napier">Napier</a> (1550-1617) de 1619. La «,» también fue usada a comienzos del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span> por el holandés <a href="/wiki/Willebrord_Snellius" class="mw-redirect" title="Willebrord Snellius">Willebrord Snellius</a>: 372,43. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_principio_de_inducción_matemática"><span id="El_principio_de_inducci.C3.B3n_matem.C3.A1tica"></span>El principio de inducción matemática</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=15" title="Editar sección: El principio de inducción matemática"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Inducción matemática"> Inducción matemática</a></i></div> <p>Su antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismo silogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los primeros <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> números naturales impares es el cuadrado del <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>-ésimo término, es decir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+3+5+7+\dots +(2n-1)=n^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+3+5+7+\dots +(2n-1)=n^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e070b09d42109120153d1b23d5ed89f8d51cd6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.492ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1+3+5+7+\dots +(2n-1)=n^{2}}"></span>. <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Pascal</a> (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en su formulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy, para probar propiedades relativas al triángulo numérico que lleva su nombre. La demostración por inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, los cuales se describen a continuación en notación moderna: </p><p>Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> es un subconjunto de los números naturales (denotado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>) donde cada elemento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> cumple la propiedad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e303d2c14cd399b6f52b468c9fd44a542bed422" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(n)}"></span> y se tiene que: </p> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}"></span> pertenece a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span>.</li> <li>El hecho de que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> sea un miembro de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"></span> implica que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}"></span> también lo es.</li></ol> <p>entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0090da3845ac28c0c7142ed894e7bb0641ebcccc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S=\mathbb {N} }"></span>, es decir que todos los números naturales <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> tienen la propiedad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e303d2c14cd399b6f52b468c9fd44a542bed422" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(n)}"></span>. </p><p>De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita de fichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas las fichas de esa fila. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="La_interpretación_geométrica_de_los_números_complejos"><span id="La_interpretaci.C3.B3n_geom.C3.A9trica_de_los_n.C3.BAmeros_complejos"></span>La interpretación geométrica de los números complejos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=16" title="Editar sección: La interpretación geométrica de los números complejos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Esta interpretación suele ser atribuida a <a href="/wiki/Gauss" class="mw-redirect" title="Gauss">Gauss</a> (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por <a href="/wiki/D%E2%80%99Alembert" class="mw-redirect" title="D’Alembert">D’Alembert</a>, <a href="/wiki/Euler" class="mw-redirect" title="Euler">Euler</a> y <a href="/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange" class="mw-redirect" title="Joseph-Louis de Lagrange">Lagrange</a>, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostración correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos. También trabajó con los números enteros complejos que adoptan la forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+bi}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+bi}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92f853c2c9235c06be640b91b7c75e2a907cbda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+bi}"></span>, con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> enteros. Este símbolo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"></span> para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea1ea9ac61e6e1e84ac39130f78143c18865719" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.906ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {-1}}}"></span> fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> en su obra <i>Disquisitiones arithmeticae</i> de 1801. </p><p>La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por <a href="/wiki/Caspar_Wessel" title="Caspar Wessel">Caspar Wessel</a> (1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama «<i>plano de Gauss</i>» a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después. </p><p>Desde la época de Girard (mitad siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span>) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, <i>ver es creer</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Descubrimiento_de_los_números_trascendentes"><span id="Descubrimiento_de_los_n.C3.BAmeros_trascendentes"></span>Descubrimiento de los números trascendentes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=17" title="Editar sección: Descubrimiento de los números trascendentes"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVIII</span>, en la época en que <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> demostró que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806b2751f62ef9c86ca80e8d3c662ae5dd4d1c2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.138ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{2}}"></span> son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman. </p><p>Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}/10+a_{2}/10^{2!}+a_{3}/10^{3!}+...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}/10+a_{2}/10^{2!}+a_{3}/10^{3!}+...}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566d5589ab0e7091ed62da0a476c7d19f3caab4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.541ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{1}/10+a_{2}/10^{2!}+a_{3}/10^{3!}+...}"></span> (p. ej., 0,101001…) son trascendentes. </p><p><a href="/wiki/Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Hermite</a> (1822-1901) en una memoria <i>Sobre la función exponencial</i> de 1873 demostró la trascendencia de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+...+c_{n}e^{n}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+...+c_{n}e^{n}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7a58a1a611159e4ac6a700010507cd09650811" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.552ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+...+c_{n}e^{n}=0}"></span> no puede existir. </p><p>Lindeman (1852-1939) en la memoria <i>Sobre el número <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span></i> de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la ecuación: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{1}e^{x}+c_{2}e^{x}+............+c_{n}e^{x}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{1}e^{x}+c_{2}e^{x}+............+c_{n}e^{x}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ddc0990168c558e2d7779f8e0663c833492e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:36.24ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{1}e^{x}+c_{2}e^{x}+............+c_{n}e^{x}=0}"></span> con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}"></span> algebraicos, por tanto la ecuación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{ix}+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{ix}+1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df749fa8c845e93a1b073bcb4b7fa331442c6f82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e^{ix}+1=0}"></span> no tiene solución para x algebraico, pero haciendo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4512a97fa6b7772825e2c887e010a99e217005" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.76ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=\pi }"></span> tenemos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df775a0c261a326174c1b91e36b7c29d151e5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}"></span>, entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\pi i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\pi i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1a639e16fac8a0856a9dd36901e3547d1f1c70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.563ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=\pi i}"></span> no puede ser algebraico y como i lo es entonces π es trascendente. </p><p>El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921151d29231ebd65eea7632a88215273a32234c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.167ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{b}}"></span>, con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son trascendentes o no: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{e}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2eaafb7132378e304dd42d23dc9cc97c5e78bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.082ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e^{e}}"></span>,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{e^{e}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{e^{e}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6e49b326960de226320b64be841af80fdf540c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.868ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{e^{e}}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{e^{e^{e}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{e^{e^{e}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d8a5e2c06c7034af54e212a09290ba33379390" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.623ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e^{e^{e^{e}}}}"></span>, … Sin embargo, e y 1/e sí que son trascendentes. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teorías_de_los_irracionales"><span id="Teor.C3.ADas_de_los_irracionales"></span>Teorías de los irracionales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=18" title="Editar sección: Teorías de los irracionales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hasta mediados del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span>. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración lógica sobre bases aritméticas. </p><p><a href="/wiki/Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bolzano</a> había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, pero su teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962. <a href="/wiki/William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">Hamilton</a> hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud tiempo, a partir de particiones de números racionales: </p> <dl><dd>si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\cfrac {n_{1}}{m_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\cfrac {n_{1}}{m_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329b121a083297f09ca575cc57b305020c745aed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:8.259ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle a={\cfrac {n_{1}}{m_{1}}}}"></span>,</dd> <dd>cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b={\cfrac {n_{1}^{2}}{m_{1}^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\cfrac {n_{1}^{2}}{m_{1}^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e1d987facc4446ab44a17401e6d780549b153b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:8.027ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle b={\cfrac {n_{1}^{2}}{m_{1}^{2}}}}"></span></dd> <dd>y si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\cfrac {n_{2}}{m_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\cfrac {n_{2}}{m_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f51ecbb4c00d8a61cfdae6875037c04fb1d4d61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:8.259ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle a={\cfrac {n_{2}}{m_{2}}}}"></span></dd> <dd>cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b={\cfrac {n_{2}^{2}}{m_{2}^{2}}}\quad \longrightarrow \quad a={\sqrt {b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⟶</mo> <mspace width="1em" /> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>b</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\cfrac {n_{2}^{2}}{m_{2}^{2}}}\quad \longrightarrow \quad a={\sqrt {b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b93f17a61d77ff8f5550f09a7f08e64c17ab897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.03ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle b={\cfrac {n_{2}^{2}}{m_{2}^{2}}}\quad \longrightarrow \quad a={\sqrt {b}}}"></span></dd> <dd>pero no desarrolló más su teoría.</dd></dl> <p>Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetización de los números reales: </p> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Charles_Meray&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles Meray (aún no redactado)">Charles Meray</a> (1835-1911) en su obra <i>Nouveau précis d’analyse infinitesimale</i> define el número irracional como un límite de sucesiones de números racionales,<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> sin tener en cuenta que la existencia misma del límite presupone una definición del número real.</li></ul> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Hermann_Heine&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hermann Heine (aún no redactado)">Hermann Heine</a> (1821-1881) publicó, en el <i>Journal de Crelle</i> en 1872, su artículo «Los elementos de la teoría de funciones», donde proponía ideas similares a las de <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantor</a>, teoría que en conjunto se llama actualmente «<a href="/wiki/Teorema_de_Heine-Cantor" title="Teorema de Heine-Cantor">teorema de Heine-Cantor</a>».</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> (1831-1916) publica su <i>Stetigkeit und irrationale zahlen</i>. Su idea se basa en la continuidad de la recta real y en los "<i>agujeros</i>" que hay si solo consideramos los números racionales. En la sección dedicada al «<i>dominio R</i>» enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta: «<i>cada punto de la recta divide los puntos de ésta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto de la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división</i>». Esta misma idea la utiliza en la sección «<i>creación de los números irracionales</i>» para introducir su concepto de «<i>cortadura</i>». <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> apuntaría después que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> (1845-1918). Define los conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental, y límite de una sucesión fundamental, y partiendo de ellos define el número real.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/Karl_Weierstrass" class="mw-redirect" title="Karl Weierstrass">Karl Weierstrass</a> (1815-1897). No llegó a publicar su trabajo, continuación de los de Bolzano, Abel y Cauchy, pero fue conocido por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. Su caracterización basada en los «<i>intervalos encajados</i>», que pueden contraerse a un número racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizable como las anteriores, pero proporciona fácil acceso a la representación decimal de los números reales.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Álgebras_hipercomplejas"><span id=".C3.81lgebras_hipercomplejas"></span>Álgebras hipercomplejas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=19" title="Editar sección: Álgebras hipercomplejas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La construcción de obtención de los números complejos a partir de los números reales, y su conexión con el grupo de transformaciones afines en el plano sugirió a algunos matemáticos otras generalizaciones similares conocidas como <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_hipercomplejos" class="mw-redirect" title="Números hipercomplejos">números hipercomplejos</a>. En todas estas generalizaciones los números complejos son un subconjunto de estos nuevos sistemas numéricos, aunque estas generalizaciones tienen la estructura matemática de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_un_cuerpo" title="Álgebra sobre un cuerpo">álgebra sobre un cuerpo</a>, pero en ellos la operación de multiplicación no es conmutativa. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoría_de_conjuntos"><span id="Teor.C3.ADa_de_conjuntos"></span>Teoría de conjuntos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=20" title="Editar sección: Teoría de conjuntos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" title="Teoría de conjuntos"> Teoría de conjuntos</a></i></div> <p>La teoría de conjuntos sugirió muchas y variadas formas de extender los números naturales y los números reales de formas diferentes a como los números complejos extendían al conjunto de los números reales. El intento de capturar la idea de conjunto con un número no finito de elementos llevó a la aritmética de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_transfinito" title="Número transfinito">números transfinitos</a> que generalizan a los naturales, pero no a los números enteros. Los números transfinitos fueron introducidos por <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> hacia 1873. </p><p>Los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_hiperreales" class="mw-redirect" title="Números hiperreales">números hiperreales</a> usados en el análisis no estándar generalizan a los reales pero no a los números complejos (aunque admiten una complejificación que generalizaría también a los números complejos). Aunque parece los números hiperreales no proporcionan resultados matemáticos interesantes que vayan más allá de los obtenibles en el análisis real, algunas demostraciones y pruebas matemáticas parecen más simples en el formalismo de los números hiperreales, por lo que no están exentos de importancia práctica. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Socialmente">Socialmente</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=21" title="Editar sección: Socialmente"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Los números naturales por la necesidad de contar.</li> <li>Los números fraccionarios por la necesidad de medir partes de un todo, y compartir.</li> <li>Los enteros negativos por fenómenos de doble sentido: izquierda-derecha, arriba-abajo, pérdida-ganancia.</li> <li>Los números reales por la necesidad de medir segmentos.</li> <li>Los números complejos por exigencias de resolver ecuaciones algebraicas, como el caso de la cúbicas o de x<sup>2</sup> + 1 = 0.<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sistemas_de_representación_de_los_números"><span id="Sistemas_de_representaci.C3.B3n_de_los_n.C3.BAmeros"></span>Sistemas de representación de los números</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=22" title="Editar sección: Sistemas de representación de los números"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cifra,_dígito_y_numeral"><span id="Cifra.2C_d.C3.ADgito_y_numeral"></span>Cifra, dígito y numeral</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=23" title="Editar sección: Cifra, dígito y numeral"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)" title="Cifra (matemática)"> Cifra (matemática)</a></i></div> <p>Una de las formas más frecuentes de representar números por escrito consiste en un «conjunto finito de símbolos» o dígitos que, adecuadamente combinados, permiten formar cifras que funcionan como representaciones de números (cuando una secuencia específica de signos se emplea para representar un número se la llama numeral, aunque una cifra también puede representar simplemente un código identificativo). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Base_numérica"><span id="Base_num.C3.A9rica"></span>Base numérica</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=24" title="Editar sección: Base numérica"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Base_(aritm%C3%A9tica)" title="Base (aritmética)"> Base (aritmética)</a></i></div> <p>Tanto las lenguas naturales como la mayor parte de sistemas de representación de números mediante cifras, usan un inventario finito de unidades para expresar una cantidad mucho mayor de números. Una manera importante de lograr eso es el uso de una <a href="/wiki/Base_(aritm%C3%A9tica)" title="Base (aritmética)">base aritmética</a> en esos sistemas un número se expresa en general mediante suma o multiplicación de números. Los sistemas puramente aritméticos recurren a bases donde cada signo recibe una interpretación diferente según su posición. Así en el siguiente numeral arábigo (base 10): </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 13568\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>13568</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 13568\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75391261a075a4c4f0582dbc0096f8d7be17ac37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.199ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 13568\,}"></span> </p> </blockquote> <p>El <8> por estar en última posición representa unidades, el <6> representa decenas, el <5> centenas, el <3> millares y el <1> decenas de millares. Es decir, ese numeral representara el número: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{\langle 13568\rangle }=1\cdot 10^{4}+3\cdot 10^{3}+5\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}=13568}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mn>13568</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>13568</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{\langle 13568\rangle }=1\cdot 10^{4}+3\cdot 10^{3}+5\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}=13568}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00cc289197db873c5d150a6718321ffa636cfd1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:61.491ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle n_{\langle 13568\rangle }=1\cdot 10^{4}+3\cdot 10^{3}+5\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}=13568}"></span> </p> </blockquote> <p>Muchas lenguas del mundo usan una base decimal, igual que el sistema arábigo, aunque también es frecuente que las lenguas usen sistemas vigesimales (base 20). De hecho la idea de usar un número finito de dígitos o signos para representar números arbitrariamente grandes funciona para cualquier base <i>b</i>, donde b es un número entero mayor o igual que 2. Los ordenadores frecuentemente usan para sus operaciones la base binaria (<i>b</i> = 2), y para ciertos usos también se emplea la base octal (<i>b</i> = 8 ) o hexadecimal (<i>b</i> = 16). La base coincide con el número de signos primarios, si un sistema posicional tiene <i>b</i> símbolos primarios que designaremos por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,2\dots ,b-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,2\dots ,b-1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209775485ee402e98a284e906a85a326de835ce2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.412ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,2\dots ,b-1\}}"></span>, el numeral: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\qquad S_{i}\in \{0,1,2\dots ,b-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\qquad S_{i}\in \{0,1,2\dots ,b-1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc66f2ee2694bb16058b227950a4624b3d28340d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\qquad S_{i}\in \{0,1,2\dots ,b-1\}}"></span> </p> </blockquote> <p>Designará al número: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{\langle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\rangle }=S_{n}\cdot b^{n}+\dots +S_{2}\cdot b^{2}+S_{1}\cdot b^{1}+S_{0}\cdot b^{0}=\sum _{k=0}^{n}S_{k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{\langle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\rangle }=S_{n}\cdot b^{n}+\dots +S_{2}\cdot b^{2}+S_{1}\cdot b^{1}+S_{0}\cdot b^{0}=\sum _{k=0}^{n}S_{k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52911d49482704ff2d093020f23b5c2c508cc555" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:69.792ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle n_{\langle S_{n}S_{n-1}\dots S_{2}S_{1}S_{0}\rangle }=S_{n}\cdot b^{n}+\dots +S_{2}\cdot b^{2}+S_{1}\cdot b^{1}+S_{0}\cdot b^{0}=\sum _{k=0}^{n}S_{k}b^{k}}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Números_en_las_lenguas_naturales"><span id="N.C3.BAmeros_en_las_lenguas_naturales"></span>Números en las lenguas naturales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=25" title="Editar sección: Números en las lenguas naturales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Numeral_(ling%C3%BC%C3%ADstica)" title="Numeral (lingüística)"> Numeral (lingüística)</a></i></div> <p>Las <a href="/wiki/Lengua_natural" title="Lengua natural">lenguas naturales</a> usan nombres o numerales para los números frecuentemente basados en el contaje mediante dedos, razón por la cual la mayoría de las lenguas usan sistemas de numeración en base 10 (dedos de las manos) o base 20 (dedos de manos y pies), aunque también existen algunos sistemas exóticos que emplean otras bases. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=26" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n" title="Sistema de numeración">Sistema de numeración</a></li> <li><a href="/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)" title="Cifra (matemática)">Cifra</a></li> <li><a href="/wiki/Anexo:N%C3%BAmeros" title="Anexo:Números">Anexo:Números</a></li> <li><a href="/wiki/Anexo:Nombres_de_los_n%C3%BAmeros_en_espa%C3%B1ol" title="Anexo:Nombres de los números en español">Anexo:Nombres de los números en español</a></li></ul> <table style="margin:2em; border:2px solid silver; font-size:95%; border-collapse:collapse"> <tbody><tr> <td> <table style="margin:4px; border:2px solid silver"> <tbody><tr> <td> <table style="margin:1em"> <caption><a class="mw-selflink selflink">Clasificación de los números</a> </caption> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">Complejos</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle :\;\mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\;\mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c800b917bd652c093461395df2d796718aef00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.615ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle :\;\mathbb {C} }"></span> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">Reales</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle :\;\mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\;\mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b09bba427588b2a529ebcf8fdb7536da42003b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.615ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle :\;\mathbb {R} }"></span> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_racional" title="Número racional">Racionales</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle :\;\mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\;\mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f77b368ade52a03084dad12fba5b25129cebe0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.745ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle :\;\mathbb {Q} }"></span> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_entero" title="Número entero">Enteros</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle :\;\mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\;\mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff631a0751189f28ca66b5d8ab161f05259f8f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle :\;\mathbb {Z} }"></span> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">Naturales</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle :\;\mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>:</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle :\;\mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ba123110cb54a0b89909e10845ed2ee8c52e8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.615ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle :\;\mathbb {N} }"></span> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Uno" title="Uno">Uno</a>: 1 </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo">Naturales primos</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_compuesto" title="Número compuesto">Naturales compuestos</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Cero" title="Cero">Cero</a>: 0 </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_negativo" title="Número negativo">Enteros negativos</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/Fracci%C3%B3n" title="Fracción">Fraccionarios</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td>Exactos </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico" title="Número decimal periódico">Periódicos</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td>Puros </td></tr> <tr> <td>Mixtos </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td> <table> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_irracional" title="Número irracional">Irracionales</a> </td> <td> <table style="border-left:4px solid green"> <tbody><tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_algebraico" title="Número algebraico">Irracionales algebraicos</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_trascendente" title="Número trascendente">Trascendentes</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/N%C3%BAmero_imaginario" title="Número imaginario">Imaginarios</a> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=27" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">No hay relación de orden en el conjunto ℂ de los complejos, tal como existe en los reales, racionales, enteros y naturales</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">No necesariamente. El sistema de los números reales puede ser definido axiomáticamente, tal como lo hizo David Hilbert; del mismo modo el de los números complejos, tal como lo hacen <a href="/wiki/George_P%C3%B3lya" title="George Pólya">Polya</a> (1887-1985), <a href="/w/index.php?title=Lars_Alfhors&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lars Alfhors (aún no redactado)">Alfhors</a> (1907-1996), <a href="/wiki/Aleks%C3%A9i_Markush%C3%A9vich" title="Alekséi Markushévich">Markusévich</a> (1908-1979), etc.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Ian_Stewart" title="Ian Stewart">Ian Stewart</a>, <i>Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788484323693" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-84-8432-369-3</a> p. 12-13</i></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Ian_Stewart" title="Ian Stewart">Ian Stewart</a>, <i>Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788484323693" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-84-8432-369-3</a> p. 14</i></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFMéray1872" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=Charles_M%C3%A9ray&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles Méray (aún no redactado)">Méray, Charles</a> (1872). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995638"><i>Nouveau précis d'analyse infinitésimale</i></a> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en francés)</span>. Paris: F. Savy, Libraire-editeur. pp. 2-4.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AN%C3%BAmero&rft.au=M%C3%A9ray%2C+Charles&rft.aufirst=Charles&rft.aulast=M%C3%A9ray&rft.btitle=Nouveau+pr%C3%A9cis+d%27analyse+infinit%C3%A9simale&rft.date=1872&rft.genre=book&rft.pages=2-4&rft.place=Paris&rft.pub=F.+Savy%2C+Libraire-editeur&rft_id=https%3A%2F%2Fgallica.bnf.fr%2Fark%3A%2F12148%2Fbpt6k995638&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFRoque2011" class="citation publicación">Roque, Tatiana (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://publimath.univ-irem.fr/biblio/ACF11054.htm">«Les définitions les plus rigoureuses sont-elles plus faciles à comprendre ? Charles Méray et la proposition d'une définition "naturelle" des nombres irrationnels»</a>. <i>History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the Sixth European Summer University (ESU 6)</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en francés)</span>: 639-648<span class="reference-accessdate">. Consultado el 9 de julio de 2019</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AN%C3%BAmero&rft.atitle=Les+d%C3%A9finitions+les+plus+rigoureuses+sont-elles+plus+faciles+%C3%A0+comprendre+%3F+Charles+M%C3%A9ray+et+la+proposition+d%27une+d%C3%A9finition+%22naturelle%22+des+nombres+irrationnels&rft.au=Roque%2C+Tatiana&rft.aufirst=Tatiana&rft.aulast=Roque&rft.date=2011&rft.genre=article&rft.jtitle=History+and+Epistemology+in+Mathematics+Education%3A+Proceedings+of+the+Sixth+European+Summer+University+%28ESU+6%29&rft.pages=639-648&rft_id=http%3A%2F%2Fpublimath.univ-irem.fr%2Fbiblio%2FACF11054.htm&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Trejo: El concepto de número</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=N%C3%BAmero&action=edit&section=28" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li class="mw-empty-elt"></li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/12px-Spanish_Wikiquote.SVG.png" decoding="async" width="12" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/19px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/25px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 2x" data-file-width="272" data-file-height="330" /></span></span> <a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote">Wikiquote</a> alberga frases célebres de o sobre <b><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/N%C3%BAmero" class="extiw" title="q:Número">Número</a></b>.</li> <li class="mw-empty-elt"></li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> <a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Wikimedia Commons">Wikimedia Commons</a> alberga una galería multimedia sobre <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Numbers" class="extiw" title="commons:Numbers">Número</a></b>.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid 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style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q11563" class="extiw" title="wikidata:Q11563">Q11563</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Numbers">Numbers</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q11563%22">Q11563</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" 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href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119326327">119326327</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119326327">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4067271-2">4067271-2</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85093206">sh85093206</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Dieta" title="Biblioteca Nacional de la Dieta">NDL</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00571509">00571509</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph202644">ph202644</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538634905171">987007538634905171</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Art_%26_Architecture_Thesaurus" title="Art & Architecture Thesaurus">AAT</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.getty.edu/vow/AATFullDisplay?find=&logic=AND&note=&subjectid=300055665">300055665</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/number-mathematics">url</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/numero_(Enciclopedia-Italiana)">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q11563" class="extiw" title="wikidata:Q11563">Q11563</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Numbers">Numbers</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q11563%22">Q11563</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/30px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></a></span> Citas célebres:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/N%C3%BAmero" class="extiw" title="q:Número">Número</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Número&oldid=162765125">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Número&oldid=162765125</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categoría</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:N%C3%BAmeros" title="Categoría:Números">Números</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con 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