Kreis – Wikipedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Kreis – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"a18d23e4-fc5c-4a35-840a-58843941f8d6","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Kreis","wgTitle":"Kreis","wgCurRevisionId":250843111,"wgRevisionId":250843111,"wgArticleId":9573,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Kreis", "Kreisgeometrie"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Kreis","wgRelevantArticleId":9573,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250843111,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":80000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId": "Q17278","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready", "ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.gallery","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="Vorlage_Dieser_Artikel"><div class="noviewer noresize" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" id="bksicon" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> Dieser Artikel beschreibt die geometrische Figur. Weitere Bedeutungen sind unter <a href="/wiki/Kreis_(Begriffskl%C3%A4rung)" class="mw-disambig" title="Kreis (Begriffsklärung)">Kreis (Begriffsklärung)</a> aufgeführt.</div> </div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Datei:KreisMittelpunktRadius.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/KreisMittelpunktRadius.svg/290px-KreisMittelpunktRadius.svg.png" decoding="async" width="290" height="290" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/KreisMittelpunktRadius.svg/435px-KreisMittelpunktRadius.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/KreisMittelpunktRadius.svg/580px-KreisMittelpunktRadius.svg.png 2x" data-file-width="250" data-file-height="250" /></a><figcaption></figcaption></figure> Ein Kreis ist eine ebene <a href="/wiki/Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrische Figur</a>. Er wird definiert als die <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> aller Punkte einer <a href="/wiki/Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, die den gleichen <a href="/wiki/Abstand" title="Abstand">Abstand</a> zu einem bestimmten Punkt dieser Ebene (dem <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a>) haben.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der <a href="/wiki/Radius" title="Radius">Radius</a> oder Halbmesser des Kreises,<a href="#cite_note-2">[2]</a> er ist eine <a href="/wiki/Positive_Zahl" class="mw-redirect" title="Positive Zahl">positive</a> <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a>. Der Kreis gehört zu den klassischen und <a href="/wiki/Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">grundlegenden Objekten</a> der <a href="/wiki/Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">euklidischen Geometrie</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Umgangssprachlich und früher wird mit dem Begriff Kreis häufig auch eine Kreisfläche oder eine runde <a href="/wiki/Scheibe" title="Scheibe">Scheibe</a> bezeichnet.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Unter einem Kringel versteht man einen kleinen, nicht exakt gezeichneter Kreis bzw. ringförmigen Schnörkel.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Bereits die <a href="/wiki/Altes_%C3%84gypten" title="Altes Ägypten">alten Ägypter</a> und <a href="/wiki/Babylonier" title="Babylonier">Babylonier</a> versuchten, den <a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des Kreises näherungsweise zu bestimmen. In der griechischen <a href="/wiki/Antike" title="Antike">Antike</a> stieß der Kreis wegen seiner Vollkommenheit auf Interesse. <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a> versuchte erfolglos, den Kreis mit den Werkzeugen <a href="/wiki/Zirkel" title="Zirkel">Zirkel</a> und <a href="/wiki/Lineal" title="Lineal">Lineal</a> in ein <a href="/wiki/Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können (siehe <a href="/wiki/Quadratur_des_Kreises" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</a>). Erst 1882 konnte <a href="/wiki/Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand von Lindemann</a> durch den Nachweis einer besonderen Eigenschaft der <a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a>, nämlich der <a href="/wiki/Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">Transzendenz</a>, zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Worterklärungen">1 Worterklärungen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Kreisflächen">1.1 Kreisflächen</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Bogen,_Sehne,_Sektor,_Segment_und_Ring">1.2 Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Sekante,_Tangente_und_Passante">1.3 Sekante, Tangente und Passante</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Formale_Definition">2 Formale Definition</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Geschichte">3 Geschichte</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Zeit_der_Ägypter_und_Babylonier">3.1 Zeit der Ägypter und Babylonier</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Antike">3.2 Antike</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Renaissance">3.3 Renaissance</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#19._Jahrhundert">3.4 19. Jahrhundert</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Gleichungen">4 Gleichungen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Koordinatengleichung">4.1 Koordinatengleichung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Funktionsgleichung">4.2 Funktionsgleichung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Parameterdarstellung">4.3 Parameterdarstellung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Komplexe_Darstellung">4.4 Komplexe Darstellung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Dreipunkteform_einer_Kreisgleichung">4.5 Dreipunkteform einer Kreisgleichung</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-17"><a href="#Kreis_durch_drei_Punkte">4.5.1 Kreis durch drei Punkte</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Kreisberechnung">5 Kreisberechnung</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-19"><a href="#Kreiszahl">5.1 Kreiszahl</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-20"><a href="#Umfang">5.2 Umfang</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-21"><a href="#Kreisfläche">5.3 Kreisfläche</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-22"><a href="#Durchmesser">5.4 Durchmesser</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-23"><a href="#Krümmung">5.5 Krümmung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-24"><a href="#Weitere_Formeln">5.6 Weitere Formeln</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-25"><a href="#Näherungen_für_den_Flächeninhalt">6 Näherungen für den Flächeninhalt</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-26"><a href="#Annäherung_durch_Quadrate">6.1 Annäherung durch Quadrate</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-27"><a href="#Auszählen_in_einem_Raster">6.2 Auszählen in einem Raster</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-28"><a href="#Annäherung_durch_Integration">6.3 Annäherung durch Integration</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-29"><a href="#Annäherung_durch_Vielecke">6.4 Annäherung durch Vielecke</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-30"><a href="#Geometrische_Sätze_und_Begriffe_rund_um_den_Kreis">7 Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-31"><a href="#Symmetrie_und_Abbildungseigenschaften">7.1 Symmetrie und Abbildungseigenschaften</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-32"><a href="#Kreiswinkel_und_Winkelsätze">7.2 Kreiswinkel und Winkelsätze</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-33"><a href="#Sätze_über_Sehnen,_Sekanten_und_Tangenten">7.3 Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-34"><a href="#Umkreise_und_Inkreise_in_Dreiecken">7.4 Umkreise und Inkreise in Dreiecken</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-35"><a href="#Umkreise_in_unregelmäßigen_Vielecken">7.5 Umkreise in unregelmäßigen Vielecken</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-36"><a href="#Viereck">7.5.1 Viereck</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-37"><a href="#Sechseck">7.5.2 Sechseck</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-38"><a href="#Einem_Kreis_einbeschriebene_Kreise">7.6 Einem Kreis einbeschriebene Kreise</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-39"><a href="#Beziehungen_im_Dreipass">7.6.1 Beziehungen im Dreipass</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-40"><a href="#Beziehungen_im_Vierpass">7.6.2 Beziehungen im Vierpass</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-41"><a href="#Beziehungen_im_Sechspass">7.6.3 Beziehungen im Sechspass</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-42"><a href="#Bogendreieck">7.7 Bogendreieck</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-43"><a href="#Kreisspiegelungen_und_Möbiustransformationen">7.8 Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-44"><a href="#Konstruktionen_mit_Zirkel_und_Lineal">8 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-45"><a href="#Thaleskreis">8.1 Thaleskreis</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-46"><a href="#Konstruktion_von_Tangenten">8.2 Konstruktion von Tangenten</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-47"><a href="#Kreis_durch_drei_gegebene_Punkte">8.3 Kreis durch drei gegebene Punkte</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-48"><a href="#Streckendrittelung">8.4 Streckendrittelung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-49"><a href="#Flächenverdoppelung">8.5 Flächenverdoppelung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-50"><a href="#Kreisteilung">8.6 Kreisteilung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-51"><a href="#Konstruktionen_nur_mit_dem_Zirkel">8.7 Konstruktionen nur mit dem Zirkel</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-52"><a href="#Erstes_Napoleonisches_Problem">8.7.1 Erstes Napoleonisches Problem</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-53"><a href="#Zweites_Napoleonisches_Problem">8.7.2 Zweites Napoleonisches Problem</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-54"><a href="#Kreisberechnung_in_der_Analysis">9 Kreisberechnung in der Analysis</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-55"><a href="#Der_Kreis_als_Kurve">9.1 Der Kreis als Kurve</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-56"><a href="#Kreisumfang">9.2 Kreisumfang</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-57"><a href="#Flächeninhalt">9.3 Flächeninhalt</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-58"><a href="#Krümmung_2">9.4 Krümmung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-59"><a href="#Isoperimetrisches_Problem">9.5 Isoperimetrisches Problem</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-60"><a href="#Verallgemeinerungen_und_verwandte_Themen">10 Verallgemeinerungen und verwandte Themen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-61"><a href="#Sphäre">10.1 Sphäre</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-62"><a href="#Kegelschnitte">10.2 Kegelschnitte</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-63"><a href="#Kreise_in_der_synthetischen_Geometrie">10.3 Kreise in der synthetischen Geometrie</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-64"><a href="#Zeichnung_im_digitalen_Raster">10.4 Zeichnung im digitalen Raster</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-65"><a href="#Siehe_auch">11 Siehe auch</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-66"><a href="#Literatur">12 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-67"><a href="#Weblinks">13 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-68"><a href="#Einzelnachweise">14 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Worterklärungen">Worterklärungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Worterklärungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Worterklärungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisflächen">Kreisflächen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisflächen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisflächen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine <a href="/wiki/Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a>, also ein <a href="/wiki/Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">eindimensionales</a> Gebilde, und keine zweidimensionale <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a>. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie<a href="#cite_note-6">[6]</a> anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der <a href="/wiki/Offene_Menge" title="Offene Menge">offenen</a> (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht. In den <a href="/wiki/Elemente_(Euklid)" title="Elemente (Euklid)">Elementen</a> des <a href="/wiki/Euklid" title="Euklid">Euklid</a> hingegen wird als Kreis die von der Kurve umschlossene Fläche bezeichnet.<a href="#cite_note-7">[7]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bogen,_Sehne,_Sektor,_Segment_und_Ring">Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Couronne.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Couronne.svg/220px-Couronne.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Couronne.svg/330px-Couronne.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Couronne.svg/440px-Couronne.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a><figcaption>Kreisring</figcaption></figure></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:BogenSektorSegment.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/BogenSektorSegment.svg/440px-BogenSektorSegment.svg.png" decoding="async" width="440" height="152" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/BogenSektorSegment.svg/660px-BogenSektorSegment.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/BogenSektorSegment.svg/880px-BogenSektorSegment.svg.png 2x" data-file-width="550" data-file-height="190" /></a><figcaption>Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment</figcaption></figure></div> Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein <a href="/wiki/Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a>. Eine <a href="/wiki/Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Verbindungsstrecke</a> von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als <a href="/wiki/Sehne_(Geometrie)" title="Sehne (Geometrie)">Kreissehne</a>. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die <a href="/wiki/Durchmesser" title="Durchmesser">Durchmesser</a>. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang. Ein <a href="/wiki/Kreissektor" title="Kreissektor">Kreissektor</a> (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet. <a href="/wiki/Kreissegment" title="Kreissegment">Kreissegmente</a> (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen. Ein <a href="/wiki/Kreisring" title="Kreisring">Kreisring</a> entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sekante,_Tangente_und_Passante">Sekante, Tangente und Passante</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Sekante, Tangente und Passante" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sekante, Tangente und Passante">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für die Lage einer <a href="/wiki/Gerade" title="Gerade">Geraden</a> in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten: <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:SekTangPass.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/SekTangPass.svg/220px-SekTangPass.svg.png" decoding="async" width="220" height="143" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/SekTangPass.svg/330px-SekTangPass.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/SekTangPass.svg/440px-SekTangPass.svg.png 2x" data-file-width="770" data-file-height="500" /></a><figcaption>Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante</figcaption></figure> <ul><li>Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade <a href="/wiki/Sekante" title="Sekante">Sekante</a> (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.</li> <li>Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine <a href="/wiki/Tangente" title="Tangente">Tangente</a> (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (<a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonal</a>, normal) zum entsprechenden Radius.</li> <li>Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als <a href="/wiki/Passante" title="Passante">Passante</a>. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Definition">Formale Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Formale Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formale Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kreis.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Kreis.svg/220px-Kreis.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Kreis.svg/330px-Kreis.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Kreis.svg/440px-Kreis.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Ein Kreis mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}">, Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> und Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}">.</figcaption></figure> In einer Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> ist ein Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} \in E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} \in E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1240feef8113c9e62e9e46abad98316d56c5caa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.747ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} \in E}"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r>0}"> die Punktmenge <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}=r\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">|</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}=r\right\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e793b418627e549f1aa8d9367a2b45611eca0d3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.748ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle k=\left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}=r\right\}.}"><a href="#cite_note-8">[8]</a></dd></dl> Dabei ist der Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> eine positive reelle Zahl, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathrm {MX} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathrm {MX} }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3627742bbeefd5621acc28becb7231953c27917c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.989ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathrm {MX} }}}"> bezeichnet die Länge der <a href="/wiki/Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Strecke</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathrm {MX} ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathrm {MX} ]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df392cf388e4c6cf3cd7223cc72665a3b88d1baa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\mathrm {MX} ]}">. Der doppelte Radius heißt <a href="/wiki/Durchmesser" title="Durchmesser">Durchmesser</a> und wird oft mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> bezeichnet. Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> und Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> sind durch die Beziehungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedbeca9223f2026e9d51322e86d67e10c092792" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.525ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d=2r}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=d/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=d/2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845a37c1b7741d8a0ccd8a6c1244daa64fa3dbfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=d/2}"> miteinander verknüpft. Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> die Länge jedes Radius und die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> die Länge jedes Durchmessers. Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}<r\right\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">|</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo><</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}<r\right\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e40941111d9ea419f7c8ad69d6742db685d18c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.438ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}<r\right\},}"></dd></dl> die abgeschlossene Kreisscheibe als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}\leq r\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>E</mi> <mtext> </mtext> <mo fence="false" stretchy="false">|</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}\leq r\right\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb79e27e5ffe58db35b717fb3fccdeefa252355e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.438ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{\mathrm {X} \in E~\vert ~{\overline {\mathrm {MX} }}\leq r\right\}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Geschichte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geschichte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeit_der_Ägypter_und_Babylonier">Zeit der Ägypter und Babylonier</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Zeit der Ägypter und Babylonier" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zeit der Ägypter und Babylonier">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg/220px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg.png" decoding="async" width="220" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg/330px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg/440px-01_Ann%C3%A4herung_an_Kreisfl%C3%A4che.svg.png 2x" data-file-width="424" data-file-height="385" /></a><figcaption>Kreis (grün) mit d = 9, Quadrat (gepunktete Linie) umschreibt Kreis, unregelmäßiges Achteck (blau) mit A = 63, Quadrat (rot) mit s = 8/9·d mit A = 64 und Kreis mit A = 63,617...</figcaption></figure><div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/240px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg" decoding="async" width="240" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/360px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg/480px-Probl%C3%A8me-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg 2x" data-file-width="1292" data-file-height="1072" /></a><figcaption>Annäherung der Kreisfläche im Papyrus Rhind, die obige Figur im Quadrat wird als unregelmäßiges Achteck gedeutet, darunter die Rechenschritte am Beispiel d = 9 (<a href="/wiki/Chet_(Altes_%C3%84gypten)" title="Chet (Altes Ägypten)">Chet</a>).</figcaption></figure></div> Der Kreis gehört neben dem <a href="/wiki/Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> und der <a href="/wiki/Gerade" title="Gerade">geraden</a> Linie zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Schon vor viertausend Jahren beschäftigten sich die Ägypter mit ihm in ihren Studien zur Geometrie. Sie konnten den Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> eines Kreises näherungsweise bestimmen, indem sie vom Durchmesser d ein Neuntel seiner Länge abzogen und das Ergebnis mit sich selbst multiplizierten. Sie rechneten also <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>≈</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>256</mn> <mn>81</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3,160</mn> <mn>49</mn> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5128203be270517af7f4dedd637b8fae50f5bfd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.669ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}"></dd></dl> und bestimmten so näherungsweise (mit einer Abweichung von nur etwa +0,6 %) den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese Näherung wurde in der altägyptischen Abhandlung <a href="/wiki/Papyrus_Rhind" title="Papyrus Rhind">Papyrus Rhind</a> gefunden. Sie lässt sich erhalten (siehe nebenstehendes Bild), wenn man den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck annähert.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Um die Seite des zum Kreis annähernd flächengleichen Quadrates (rot) rechnerisch zu erhalten, ermittelt man nach <a href="/wiki/Kurt_Vogel_(Mathematikhistoriker)" title="Kurt Vogel (Mathematikhistoriker)">Kurt Vogel</a> den Flächeninhalt des unregelmäßigen Achtecks und bestimmt aus dessen Wert die nächstliegende Quadratzahl. Die Wurzel daraus ist dann die gesuchte Seitenlänge des flächengleichen Quadrates.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Die Babylonier (1900 bis 1600 vor Christus) benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen. Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen sie vom Kreisumfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> aus, den sie als dreimal den Kreisdurchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> schätzten. Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des <a href="/wiki/Quadrieren" class="mw-redirect" title="Quadrieren">Quadrates</a> des Umfanges geschätzt, also<a href="#cite_note-12">[12]</a> mit einer Abweichung von −4,5 % ein deutlich schlechteres Ergebnis. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Altes_Holzrad.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Altes_Holzrad.jpg/220px-Altes_Holzrad.jpg" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Altes_Holzrad.jpg 1.5x" data-file-width="255" data-file-height="191" /></a><figcaption>In der Technik ermöglicht die kreisrunde Form des <a href="/wiki/Rad" title="Rad">Rades</a> die <a href="/wiki/Rollen" title="Rollen">rollende</a> Fortbewegung.</figcaption></figure> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/240px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" decoding="async" width="240" height="144" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/360px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/480px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 2x" data-file-width="750" data-file-height="449" /></a><figcaption>Fragment des Papyrus Rhind</figcaption></figure></div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d92c24ec08567fb421807f2bd54a0b6ed87a09b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.441ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},}"></dd></dl> Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten. Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments (die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang) berechnen. Damit begründeten sie die <a href="/wiki/Sehne_(Geometrie)" title="Sehne (Geometrie)">Sehnengeometrie</a>, die später von <a href="/wiki/Hipparchos_(Astronom)" title="Hipparchos (Astronom)">Hipparch</a> weiterentwickelt wurde und die <a href="/wiki/Claudius_Ptolemaios" class="mw-redirect" title="Claudius Ptolemaios">Claudius Ptolemaios</a> an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches <a href="/wiki/Almagest" title="Almagest">Almagest</a> stellte.<a href="#cite_note-13">[13]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Antike">Antike</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Antike" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Antike">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements,_1570_(560x900).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg/220px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg" decoding="async" width="220" height="337" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg/330px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg/440px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg 2x" data-file-width="1766" data-file-height="2702" /></a><figcaption>Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570)</figcaption></figure> Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Als der erste bedeutende Philosoph dieser Zeit, der sich mit Mathematik beschäftigte, gilt <a href="/wiki/Thales" title="Thales">Thales</a> von Milet (624–546 v. Chr.). Er brachte Wissen über die Geometrie aus Ägypten mit nach Griechenland, wie zum Beispiel die Aussage, dass der Durchmesser den Kreis halbiert. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt. Der heute <a href="/wiki/Satz_von_Thales" class="mw-redirect" title="Satz von Thales">nach Thales benannte Satz</a> besagt, dass <a href="/wiki/Peripheriewinkel" class="mw-redirect" title="Peripheriewinkel">Peripheriewinkel</a> im Halbkreis <a href="/wiki/Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechte Winkel</a> sind. Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des <a href="/wiki/Winkel" title="Winkel">Winkels</a> auftrat.<a href="#cite_note-14">[14]</a> Die erste bekannte Definition des Kreises geht auf den griechischen Philosophen <a href="/wiki/Platon" title="Platon">Platon</a> (428/427–348/347 v. Chr.) zurück, die er in seinem <a href="/wiki/Platonischer_Dialog" title="Platonischer Dialog">Dialog</a> <a href="/wiki/Parmenides_(Platon)" title="Parmenides (Platon)">Parmenides</a> formulierte: <div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;"> <div style="margin:1em 0;"><blockquote style="margin:0;"> „Rund ist doch wohl das, dessen äußerste Teile überall vom Mittelpunkt aus gleich weit entfernt sind.“ </blockquote> </div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r181095833">.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}</style>Platon: Parmenides<a href="#cite_note-15">[15]</a></div></div> Zirka 300 Jahre vor Christus lebte der griechische Mathematiker <a href="/wiki/Euklid_von_Alexandria" class="mw-redirect" title="Euklid von Alexandria">Euklid von Alexandria</a>. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich. Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischer Raum</a>, <a href="/wiki/Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">euklidische Geometrie</a> oder <a href="/wiki/Euklidische_Metrik" class="mw-redirect" title="Euklidische Metrik">euklidische Metrik</a> in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren <a href="/wiki/Die_Elemente" class="mw-redirect" title="Die Elemente">Die Elemente</a>, eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die <a href="/wiki/Arithmetik" title="Arithmetik">Arithmetik</a> und <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte. Er folgerte die mathematischen Aussagen aus <a href="/wiki/Axiom" title="Axiom">Postulaten</a> und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Von <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a>, der vermutlich zwischen 287 v. Chr. und 212 v. Chr. auf Sizilien lebte, ist eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel <a href="/wiki/Die_Kreismessung" title="Die Kreismessung">Die Kreismessung</a> überliefert.<a href="#cite_note-Archimedes-17">[17]</a> Er bewies in dieser Arbeit, dass der Flächeninhalt eines Kreises (AK) gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (AD) mit dem Kreisradius (r) als der einen und dem Kreisumfang (UK) als der anderen <a href="/wiki/Kathete" class="mw-redirect" title="Kathete">Kathete</a> ist. Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich also als ½ · Umfang · Radius angeben (s. Bild).<a href="#cite_note-18">[18]</a> Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der <a href="/wiki/Quadratur_des_Kreises" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</a> auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Dreieck-rechtwinklig,_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg/480px-01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg.png" decoding="async" width="480" height="185" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg/720px-01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg/960px-01_Dreieck-rechtwinklig%2C_gleiche_Kreisfl%C3%A4chen.svg.png 2x" data-file-width="529" data-file-height="204" /></a><figcaption>Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{D}={\tfrac {1}{2}}U_{K}\cdot r=A_{K}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{D}={\tfrac {1}{2}}U_{K}\cdot r=A_{K}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f06526b0a0f6525191fb9b041e1c2e5ae3fab5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:20.636ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle A_{D}={\tfrac {1}{2}}U_{K}\cdot r=A_{K}}"></figcaption></figure> <div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;"> <div style="margin:1em 0;"><blockquote style="margin:0;"> „Jeder Kreis ist einem rechtwinkligen Dreiecke inhaltsgleich, insofern der Radius gleich der einen der den rechten Winkel einschließenden Seiten, der Umfang aber gleich der Basis [gemeint ist: der anderen Kathete] ist.“ </blockquote> </div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r181095833">Archimedes: Die Kreismessung<a href="#cite_note-19">[19]</a></div></div> In seiner Abhandlung Die Kreismessung konnte Archimedes zeigen, dass der Umfang eines Kreises größer als 3 10⁄71 und kleiner als 3 1⁄7 des Durchmessers ist. Für praktische Zwecke wird diese Näherung 22⁄7 (~ 3,143) heute noch verwendet. Aus diesen beiden Aussagen folgert man, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie 11⁄14 verhält. Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.<a href="#cite_note-20">[20]</a> Archimedes gibt hier eine gute Näherung der Proportionalitätskonstante an. In einer weiteren Arbeit Über Spiralen<a href="#cite_note-Archimedes-17">[17]</a> beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten <a href="/wiki/Archimedische_Spirale" title="Archimedische Spirale">archimedischen Spirale</a>. Mit dieser Konstruktion war es Archimedes möglich, den Umfang eines Kreises auf einer Geraden abzutragen. Auf diese Weise konnte nun der Flächeninhalt eines Kreises exakt bestimmt werden. Jedoch kann diese Spirale nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.<a href="#cite_note-21">[21]</a> <a href="/wiki/Apollonios_von_Perge" title="Apollonios von Perge">Apollonios von Perge</a> lebte zirka 200 Jahre vor Christus. In seiner Kegelschnittlehre Konika fasste er unter anderem die <a href="/wiki/Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> und den Kreis als Schnitte eines geraden Kreiskegels auf – genauso wie es heute noch in der <a href="/wiki/Algebraische_Geometrie" title="Algebraische Geometrie">algebraischen Geometrie</a> definiert wird. Seine Erkenntnisse gehen auf seine Vorgänger Euklid und <a href="/wiki/Aristaios_der_%C3%84ltere" class="mw-redirect" title="Aristaios der Ältere">Aristaios</a> (um 330 v. Chr.) zurück, deren verfasste Abhandlungen über Kegelschnitte jedoch nicht mehr überliefert sind.<a href="#cite_note-22">[22]</a> Nach Apollonios ist weiterhin das <a href="/wiki/Apollonisches_Problem" title="Apollonisches Problem">apollonische Problem</a> benannt, zu drei gegebenen Kreisen mit den euklidischen Werkzeugen Lineal und Zirkel die Kreise zu konstruieren, die die gegebenen berühren. Jedoch im Vergleich zu Euklids Elementen, die auch im Mittelalter die Grundlage der Geometrie bildeten, fanden die Werke von Apollonios zunächst nur im islamischen Bereich Beachtung. In Westeuropa erlangten seine Bücher erst im 17. Jahrhundert größere Bedeutung, als <a href="/wiki/Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> die Ellipse als die wahre Bahn eines Planeten um die Sonne erkannte.<a href="#cite_note-23">[23]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Renaissance">Renaissance</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Renaissance" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Renaissance">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der Wissenschaftsgeschichte nennt man den Zeitraum zwischen 1400 n. Chr. und 1630 n. Chr. üblicherweise <a href="/wiki/Renaissance" title="Renaissance">Renaissance</a>, auch wenn der zeitliche Abschnitt nicht mit der Periodisierung etwa der Kunstgeschichte übereinstimmt. In dieser Zeit fanden Euklids Elemente wieder mehr Beachtung. Sie gehörten zu den ersten gedruckten Büchern und wurden in den darauffolgenden Jahrhunderten in vielen verschiedenen Ausgaben verlegt. <a href="/wiki/Erhard_Ratdolt" title="Erhard Ratdolt">Erhard Ratdolt</a> stellte 1482 in Venedig die erste gedruckte Ausgabe der Elemente her. Eine der bedeutendsten Ausgaben von Euklids Elementen wurde von dem Jesuiten <a href="/wiki/Christoph_Clavius" class="mw-redirect" title="Christoph Clavius">Christoph Clavius</a> herausgegeben. Er fügte den eigentlichen Texten Euklids neben den spätantiken Büchern XIV und XV noch ein sechzehntes Buch und weitere umfangreiche Ergänzungen hinzu. Beispielsweise ergänzte er eine Konstruktion der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise.<a href="#cite_note-24">[24]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="19._Jahrhundert">19. Jahrhundert</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: 19. Jahrhundert" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: 19. Jahrhundert">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg/220px-Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg" decoding="async" width="220" height="267" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.jpg 1.5x" data-file-width="280" data-file-height="340" /></a><figcaption>Ferdinand von Lindemann</figcaption></figure> Nach Vorleistungen von <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, der die <a href="/wiki/Eulersche_Identit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Eulersche Identität">eulersche Identität</a> aufstellte, <a href="/wiki/Johann_Heinrich_Lambert" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</a> und <a href="/wiki/Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Charles Hermite</a> konnte <a href="/wiki/Ferdinand_von_Lindemann" title="Ferdinand von Lindemann">Ferdinand von Lindemann</a> 1882 beweisen, dass die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> transzendent ist. Das heißt, es gibt keine <a href="/wiki/Polynomfunktion" class="mw-redirect" title="Polynomfunktion">Polynomfunktion</a> mit <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen</a> Koeffizienten, für die π eine Nullstelle ist. Da jedoch schon im 17. Jahrhundert gezeigt wurde, dass die Kreiszahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> eine Nullstelle einer solchen Polynomfunktion sein müsse, damit die <a href="/wiki/Quadratur_des_Kreises" title="Quadratur des Kreises">Quadratur des Kreises</a> mit Zirkel und Lineal funktioniere, wurde somit zugleich bewiesen, dass es kein solches Verfahren geben kann.<a href="#cite_note-25">[25]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gleichungen">Gleichungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Gleichungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gleichungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der <a href="/wiki/Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytischen Geometrie</a> werden geometrische Objekte mit Hilfe von <a href="/wiki/Gleichung" title="Gleichung">Gleichungen</a> beschrieben. Punkte in der Ebene werden dazu meist durch ihre <a href="/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinaten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> dargestellt und ein Kreis ist dann die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die jeweilige Gleichung erfüllen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Koordinatengleichung">Koordinatengleichung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Koordinatengleichung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Koordinatengleichung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der <a href="/wiki/Euklidischer_Abstand" title="Euklidischer Abstand">euklidische Abstand</a> eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {X} =(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {X} =(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d1f70d0f9ddf4cd3fb81f25a09105d2bd14734" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {X} =(x,y)}"> vom Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a2da499812444a54c4d0f7815dc24af7240f08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}"> berechnet sich als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}={\sqrt {(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}={\sqrt {(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c4f582f1874ebd13a812232884a07590a0a0e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:33.179ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}={\sqrt {(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}}}.}"></dd></dl> Durch Quadrieren der definierenden Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">X</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}=r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8630a64d4dd424aaf6a7003b2ad96714efc85611" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.136ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {XM}}}=r}"> ergibt sich die Koordinatengleichung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a2317cebaf22c2b2bfc38f7013b06682893eba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.322ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}"></dd></dl> für die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> auf dem Kreis mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a2da499812444a54c4d0f7815dc24af7240f08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} =(x_{M},y_{M})}"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Ausmultipliziert ergibt sich daraus: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7848d760ff929d058f904fb30e881580965b6124" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.941ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0}"></dd></dl> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=-2x_{M}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=-2x_{M}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3c3030125567ebc8fa11cfe78b3c22fc3b10c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.588ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=-2x_{M}}">,  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=-2y_{M}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=-2y_{M}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1d6cf0646778021430f33df80e73173475e9a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.165ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=-2y_{M}}">  und  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}-r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}-r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f797b92e1238fe72e37bb9fc6b530866cbdf1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.276ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle c=x_{M}^{2}+y_{M}^{2}-r^{2}}">.</dd></dl> Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des <a href="/wiki/Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreises</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4ba9a57bd82841e5889575e2ff3e1ef5fad8e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.347ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionsgleichung">Funktionsgleichung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Funktionsgleichung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Funktionsgleichung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Da der Kreis kein <a href="/wiki/Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraph</a> ist, lässt er sich auch nicht durch eine <a href="/wiki/Funktionsgleichung#Definition" class="mw-redirect" title="Funktionsgleichung">Funktionsgleichung</a> darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y_{M}\pm {\sqrt {r^{2}-(x-x_{M})^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y_{M}\pm {\sqrt {r^{2}-(x-x_{M})^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e307aa5a64a1527b73f5e1888b4141dea11c3ccd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:27.782ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle y=y_{M}\pm {\sqrt {r^{2}-(x-x_{M})^{2}}}}"></dd></dl> verwendet werden. Für den Einheitskreis vereinfacht sich dieses zu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b99427657928bcdfe6fad47b3ba5075f0626bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.419ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Parameterdarstellung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Parameterdarstellung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch <a href="/wiki/Polarkoordinate" class="mw-redirect" title="Polarkoordinate">Polarkoordinaten</a>): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r\cos \varphi \\y&=y_{M}+r\sin \varphi \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r\cos \varphi \\y&=y_{M}+r\sin \varphi \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd77ffdd65e91995d073c96b63728cd0f5bfcc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.763ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r\cos \varphi \\y&=y_{M}+r\sin \varphi \end{aligned}}}"></dd></dl> Hier werden die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> durch den <a href="/wiki/Parameter_(Mathematik)" title="Parameter (Mathematik)">Parameter</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> ausgedrückt, der alle Werte mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>φ</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07ebffe3181ca98c6933cf63cb31d5247fab3f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.374ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }"> annehmen kann. Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \varphi \\y&=\sin \varphi \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \varphi \\y&=\sin \varphi \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c0d74cd4d039bf0ff63114f22967e43fef83e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.198ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \varphi \\y&=\sin \varphi \end{aligned}}}"></dd></dl> Es ist auch eine Parameterdarstellung ohne den Rückgriff auf trigonometrische Funktion möglich (rationale Parametrisierung), allerdings wird dabei die gesamte Menge der reellen Zahlen als Parameterbereich benötigt und der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{M}-r,y_{M})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{M}-r,y_{M})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14aef49d5879e4691bcd77607ba82772b503a94f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.12ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{M}-r,y_{M})}"> wird nur als Grenzwert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\to \pm \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>±</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\to \pm \infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbda30d0700f34775bc707f42c512963af83b10f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.586ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\to \pm \infty }"> erreicht. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=y_{M}+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=y_{M}+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1be2a0f80d5a5f04cd53156fb288dcda7d4ead" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.087ex; margin-bottom: -0.251ex; width:19.09ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{M}+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=y_{M}+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}"></dd></dl> Für den Einheitskreis ergibt sich dann: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc56f7999d9f156e9ae0cdff0abda11eb2a731b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.087ex; margin-bottom: -0.251ex; width:11.912ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexe_Darstellung">Komplexe Darstellung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Komplexe Darstellung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Komplexe Darstellung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der <a href="/wiki/Komplexe_Zahlenebene" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlenebene">komplexen Zahlenebene</a> lässt sich der Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4e6188050411fca8f98386ce06ac17c49e25ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\in \mathbb {C} }"> mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r>0}"> durch die Gleichung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z-m|=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z-m|=r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac0351a35547d7326dc71956d5ed456a34c4675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |z-m|=r}"></dd></dl> darstellen. Mit Hilfe der komplexen <a href="/wiki/Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> erhält man die Parameterdarstellung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=m+re^{i\varphi },\quad 0\leq \varphi <2\pi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>φ</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>φ</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=m+re^{i\varphi },\quad 0\leq \varphi <2\pi .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a0703d748c56e6a1544570a0fa32f9cf45b65b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.451ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle z=m+re^{i\varphi },\quad 0\leq \varphi <2\pi .}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dreipunkteform_einer_Kreisgleichung">Dreipunkteform einer Kreisgleichung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Dreipunkteform einer Kreisgleichung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Dreipunkteform einer Kreisgleichung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Koordinatengleichung des Kreises durch drei vorgegebene Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201df5d993a5f9d4819a624c9d878cf81bac37c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}">, die nicht auf einer Gerade liegen, ergibt sich durch Umformung der <a href="/wiki/Ellipse#Peripheriewinkelsatz_und_3-Punkteform_für_Ellipsen" title="Ellipse">3-Punkteform</a> (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung): <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\;.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="red"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="green"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\;.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78624499bfecd0a9c2e13cc885e64154ae9e67e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:81.376ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\;.}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kreis_durch_drei_Punkte">Kreis durch drei Punkte</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Kreis durch drei Punkte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreis durch drei Punkte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Aus der Dreipunkteform und der Koordinatengleichung ergibt sich für den Kreis durch drei vorgegebene Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201df5d993a5f9d4819a624c9d878cf81bac37c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}"> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}:={x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2},\quad z_{2}:={x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2},\quad z_{3}:={x_{3}}^{2}+{y_{3}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}:={x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2},\quad z_{2}:={x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2},\quad z_{3}:={x_{3}}^{2}+{y_{3}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef331919e973dbbda9430a0dc19ca9afd39d32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:52.934ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z_{1}:={x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2},\quad z_{2}:={x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2},\quad z_{3}:={x_{3}}^{2}+{y_{3}}^{2}}"></dd></dl> und den Determinanten <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A:=\det {\begin{pmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad B:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad C:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}},\quad D:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>:=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>B</mi> <mo>:=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>C</mi> <mo>:=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>D</mi> <mo>:=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A:=\det {\begin{pmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad B:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad C:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}},\quad D:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}\quad }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208e322f1645d4699c43151242997e73901b4ad7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:114.927ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle A:=\det {\begin{pmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad B:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}},\quad C:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}},\quad D:=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}\quad }"></dd></dl> für den Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{m},y_{m})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{m},y_{m})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad1904bbe759ab59a4fe514a28dfbd10fff49c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.662ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{m},y_{m})}"> und den Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\colon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>:</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\colon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bef0cfcf31f9f7244bf041657e5e68ecbac537d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.695ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\colon }"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{m}=-{\frac {A}{2C}},\quad y_{m}=-{\frac {B}{2C}};\quad r^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+4CD}{4C^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>A</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{m}=-{\frac {A}{2C}},\quad y_{m}=-{\frac {B}{2C}};\quad r^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+4CD}{4C^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca85e36442e253a0bc5339df514483b08841b11a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:52.062ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle x_{m}=-{\frac {A}{2C}},\quad y_{m}=-{\frac {B}{2C}};\quad r^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+4CD}{4C^{2}}}}"></dd></dl> Liegen die drei gegebenen Punkte auf einer Geraden, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f750a7094a396d89a81974cdf35783db2bb287b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C=0}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kreisberechnung">Kreisberechnung</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisberechnung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisberechnung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreiszahl">Kreiszahl</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Kreiszahl" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreiszahl">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a></div> Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist aus Gründen der <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">Ähnlichkeit</a> für alle Kreise gleich groß. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses wird in der Elementargeometrie als die Kreiszahl <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ={\frac {U}{d}}={\frac {U}{2r}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>U</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>U</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ={\frac {U}{d}}={\frac {U}{2r}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e92272ad9b7f31839349096a8f028d9cabe6155" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.842ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \pi ={\frac {U}{d}}={\frac {U}{2r}}.}"></dd></dl> definiert. Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> hat den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =3{,}14159\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mn>3,141</mn> <mn>59</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =3{,}14159\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6736de5c36ad7c738a85aaffa678c5175f29cf54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.162ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi =3{,}14159\dots }">. Sie ist eine <a href="/wiki/Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">transzendente Zahl</a>, die auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik eine herausragende Bedeutung hat. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umfang">Umfang</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Umfang" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umfang">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Entsprechend der obigen Definition von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> als das Verhältnis von Kreisumfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"> zu Kreisdurchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=\pi d=2\pi r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=\pi d=2\pi r.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49df6da6505dbc47d1c86387473e9243b5392a45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.717ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U=\pi d=2\pi r.}"></dd></dl> Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> der Radius des Kreises. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisfläche">Kreisfläche</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisfläche" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisfläche">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Circle_Area_de.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Circle_Area_de.svg/180px-Circle_Area_de.svg.png" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Circle_Area_de.svg/270px-Circle_Area_de.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Circle_Area_de.svg/360px-Circle_Area_de.svg.png 2x" data-file-width="265" data-file-height="265" /></a><figcaption>Ein Vergleich des Flächeninhalts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> einer Kreisscheibe mit einem Quadrat über seinem Radius verdeutlicht, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783186de50eb5b91780057097ef4c1ddb4ba6394" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2r^{2}}"> und kleiner als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98b2a7ea71ef5661cc65360672d4cd58319b056" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4r^{2}}"> ist.</figcaption></figure></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Area_of_a_circle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Area_of_a_circle.svg/420px-Area_of_a_circle.svg.png" decoding="async" width="420" height="179" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Area_of_a_circle.svg/630px-Area_of_a_circle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Area_of_a_circle.svg/840px-Area_of_a_circle.svg.png 2x" data-file-width="1175" data-file-height="500" /></a><figcaption>Näherung der Kreisfläche durch ein Rechteck</figcaption></figure></div> Der <a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> (<a href="/wiki/Latein" title="Latein">lat.</a> area: Fläche) der Kreisfläche, auch Kreisinhalt genannt, lässt sich durch <a href="/wiki/Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a>-Betrachtungen berechnen, die auf <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a> zurückgehen. Wenn man den Kreis, wie in der nebenstehenden Abbildung veranschaulicht, in Kreissektoren zerlegt, lässt sich seine Fläche in eine annähernd rechteckige Form (rechte Figur) bringen. Der Flächeninhalt bleibt gleich. Je feiner man nun den Kreis in Sektoren unterteilt, um so mehr nähert sich die nur annähernd rechteckige Form (rechte Figur) einem Rechteck an mit der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \,r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \,r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ab53079ad2988f033d8d301334d1af252230bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.768ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi \,r}"> (halber Umfang) und der Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Im Grenzwert ergibt sich als Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> der Kreisfläche somit: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{,}78540\;d^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,785</mn> <mn>40</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{,}78540\;d^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e89ea0a703e7a745b2f184e79a0edbb62868ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.1ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{,}78540\;d^{2}.}"></dd></dl> Ein formaler Beweis dieser Formel lässt sich zum Beispiel über <a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrieren</a> der <a href="#Funktionsgleichung">Kreisgleichung</a> führen oder nutzt, wie Archimedes, die unten beschriebene <a href="#Näherungen_für_den_Flächeninhalt">Annäherung</a> durch regelmäßige Vielecke. Aus Gründen der <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">Ähnlichkeit</a> ist der Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> der Kreisfläche proportional zum Quadrat des <a href="/wiki/Radius" title="Radius">Radius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> (und damit auch zum Quadrat des <a href="/wiki/Durchmesser" title="Durchmesser">Durchmessers</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}">) eines Kreises. Die Grenzwert-Betrachtung mittels der Zerlegung des Kreises in Sektoren (siehe Abbildung oben) zeigt, dass der Proportionalitätsfaktor identisch ist mit dem Proportionalitätsfaktor beim Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Durchmesser">Durchmesser</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Durchmesser" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Durchmesser">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Durchmesser" title="Durchmesser">Durchmesser</a></div> Der Durchmesser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> eines Kreises mit Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> und mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> lässt sich durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2r=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}\approx 1{,}12838\;{\sqrt {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>A</mi> <mi>π</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>1,128</mn> <mn>38</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>A</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2r=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}\approx 1{,}12838\;{\sqrt {A}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4ee9c81f64f7fe5ab7eecc77e7f988f01bd7d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.734ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle d=2r=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}\approx 1{,}12838\;{\sqrt {A}}}"></dd></dl> berechnen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Krümmung">Krümmung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Krümmung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Krümmung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine im Vergleich zu den bis jetzt beschriebenen Größen weniger elementare Eigenschaft des Kreises ist die <a href="/wiki/Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a>. Zur präzisen Definition der Krümmung werden Begriffe aus der <a href="/wiki/Analysis" title="Analysis">Analysis</a> benötigt, sie lässt sich jedoch aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Kreises einfach berechnen. Anschaulich gibt die Krümmung in jedem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> an, wie stark der Kreis in der unmittelbaren Umgebung des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> von einer Geraden abweicht. Die Krümmung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa }"> des Kreises im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> lässt sich durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa (\mathrm {P} )={\frac {1}{r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (\mathrm {P} )={\frac {1}{r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f956093990fc931b6dcc370727549e4cde6dad13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.828ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \kappa (\mathrm {P} )={\frac {1}{r}}}"></dd></dl> berechnen, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> wieder der Radius des Kreises ist. Im Gegensatz zu anderen mathematischen <a href="/wiki/Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurven</a> hat der Kreis in jedem Punkt die gleiche Krümmung. Außer dem Kreis hat nur noch die Gerade eine konstante Krümmung, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa =0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed1d91d4f48fcf6feafbaea86ff7f635721fc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.6ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \kappa =0}">. Bei allen anderen Kurven ist die Krümmung vom Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> abhängig. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Formeln">Weitere Formeln</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Weitere Formeln" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weitere Formeln">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In den folgenden Formeln bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"> den Sektorwinkel im <a href="/wiki/Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a>. Bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>α</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb0468d39268c4405a9286d2cba77c2e4631fed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha '}"> den Winkel im <a href="/wiki/Gradma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Gradmaß">Gradmaß</a>, so gilt die Umrechnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\alpha '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mn>180</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>α</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\alpha '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba55512c1c6be7e5859808635935371e5585ea12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.892ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}\alpha '}">. <table class="wikitable"> <tbody><tr class=""hintergrundfarbe6"> <th colspan="2">Formeln zum Kreis </th></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Fläche eines <a href="/wiki/Kreisring" title="Kreisring">Kreisringes</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd2f2d5c6651af01b79c8f2f9e350d7ce2cf612" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.077ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A=\pi (r_{a}^{2}-r_{i}^{2})}"> </td></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Länge eines Kreisbogens </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{B}=r\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{B}=r\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b7e2ee97271672825682684a47f2a4f48db25c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.697ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{B}=r\alpha }"> </td></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Fläche <a href="/wiki/Kreissektor" title="Kreissektor">Kreissektor</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {SK} }={\frac {r^{2}}{2}}\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">K</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {SK} }={\frac {r^{2}}{2}}\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49521acd58ed43fd76c51608e68a9380af78bfcc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.693ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {SK} }={\frac {r^{2}}{2}}\alpha }"> </td></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Fläche eines <a href="/wiki/Kreissegment" title="Kreissegment">Kreissegments</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\mathrm {SG} }={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">G</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\mathrm {SG} }={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad83ec98b4f17eecd44b32f0f60d6760cd3d379" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.764ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A_{\mathrm {SG} }={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\alpha -\sin \alpha \right)}"> </td></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Länge <a href="/wiki/Kreissehne" class="mw-redirect" title="Kreissehne">Kreissehne</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7179bf77e317882cf8ce6e3e537403d561a748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.381ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle l_{\mathrm {KS} }=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}"> </td></tr> <tr> <th style="text-align:left;">Höhe (Kreissegment) </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfb95fb5489c60591c384be433c1ea5c05d31d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.584ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle h=r-r\cos {\frac {\alpha }{2}}}"> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Näherungen_für_den_Flächeninhalt">Näherungen für den Flächeninhalt</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Näherungen für den Flächeninhalt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Näherungen für den Flächeninhalt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Da die Kreiszahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> eine <a href="/wiki/Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">transzendente Zahl</a> ist, gibt es kein Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal, mit dem man den Flächeninhalt exakt bestimmen kann. Außerdem sind transzendente Zahlen auch <a href="/wiki/Irrationale_Zahl" title="Irrationale Zahl">irrational</a>, und daher hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> auch keine <a href="/wiki/Festkommazahl" title="Festkommazahl">endliche Dezimalbruchentwicklung</a>, weshalb der Kreisflächeninhalt bei <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalem</a> Radius auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung besitzt. Aus diesen Gründen wurden bis heute unterschiedliche Näherungsverfahren für den Flächeninhalt und somit auch den Umfang eines Kreises entwickelt. Manche der Näherungsverfahren, wie beispielsweise das im Abschnitt <a href="#Annäherung_durch_Vielecke">Annäherung durch Vielecke</a> erläuterte Verfahren, können durch mehrfache Wiederholung ein beliebig genaues Ergebnis liefern. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annäherung_durch_Quadrate">Annäherung durch Quadrate</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Annäherung durch Quadrate" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Annäherung durch Quadrate">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Kreis mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> wird mit einem Quadrat der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb337de6fbd1ab48176084f9c4534b8c55847042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2r}"> umschrieben. Ihm wird weiter ein Quadrat mit der Diagonalen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb337de6fbd1ab48176084f9c4534b8c55847042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2r}"> einbeschrieben. Der Flächeninhalt des äußeren Quadrates ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98b2a7ea71ef5661cc65360672d4cd58319b056" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4r^{2}}">, der des inneren nach der <a href="/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che" title="Dreiecksfläche">Dreiecksflächen</a>formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783186de50eb5b91780057097ef4c1ddb4ba6394" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2r^{2}}"> und der <a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">Mittelwert</a> ist somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad2fd5ebbf82572898d6cbf3e7373705669e91b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3r^{2}}">. Mit dieser Näherung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad2fd5ebbf82572898d6cbf3e7373705669e91b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.265ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3r^{2}}"> wird die Kreisfläche mit einem <a href="/wiki/Fehlerschranke#Relativer_Fehler" title="Fehlerschranke">relativen Fehler</a> von weniger als 5 % bestimmt. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Auszählen_in_einem_Raster">Auszählen in einem Raster</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Auszählen in einem Raster" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Auszählen in einem Raster">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt (z. B. mit <a href="/wiki/Millimeterpapier" title="Millimeterpapier">Millimeterpapier</a>). Zählt man alle Quadrate, die vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die den Kreis lediglich schneiden, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse ergibt eine Näherung für den Flächeninhalt des Kreises, deren Güte mit der Feinheit des Quadratrasters steigt. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annäherung_durch_Integration">Annäherung durch Integration</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=28" title="Abschnitt bearbeiten: Annäherung durch Integration" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=28" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Annäherung durch Integration">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Man kann die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen <a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">zusammensetzen</a>. Dazu verwendet man die Gleichungen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8016311ee944c3710aa941cdc34cd6f452fff184" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.713ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdaf12e71a56ab9dc3e2da7b8f19d2b329e77a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.823ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}=\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}">.</dd></dl> <div style="float:right;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Circle_approximation_with_polygons.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Circle_approximation_with_polygons.svg/220px-Circle_approximation_with_polygons.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Circle_approximation_with_polygons.svg/330px-Circle_approximation_with_polygons.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Circle_approximation_with_polygons.svg/440px-Circle_approximation_with_polygons.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="220" /></a><figcaption>Annäherung an den Umkreis über ein Sechseck und ein Zwölfeck</figcaption></figure></div> <div style="float:right;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png/225px-KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png" decoding="async" width="225" height="221" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png/338px-KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png/450px-KREZQUAD_Kreisflaechen_Integration.png 2x" data-file-width="538" data-file-height="529" /></a><figcaption>Kreisflächen-Integration</figcaption></figure></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annäherung_durch_Vielecke">Annäherung durch Vielecke</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=29" title="Abschnitt bearbeiten: Annäherung durch Vielecke" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=29" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Annäherung durch Vielecke">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Bei einer anderen Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist in den Kreis ein regelmäßiges <a href="/wiki/Sechseck" title="Sechseck">Sechseck</a> einzuzeichnen, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges <a href="/wiki/Zw%C3%B6lfeck" title="Zwölfeck">Zwölfeck</a>. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort. In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des <a href="/wiki/Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satzes von Pythagoras</a> jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch <a href="/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che" title="Dreiecksfläche">Dreiecksflächen</a>berechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern. Entsprechend kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten also auf ihm liegen. Man erhält eine fallende <a href="/wiki/Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> von Flächenmaßen, deren <a href="/wiki/Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a> wiederum die Kreisfläche ist. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geometrische_Sätze_und_Begriffe_rund_um_den_Kreis">Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=30" title="Abschnitt bearbeiten: Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=30" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrie_und_Abbildungseigenschaften">Symmetrie und Abbildungseigenschaften</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=31" title="Abschnitt bearbeiten: Symmetrie und Abbildungseigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=31" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Symmetrie und Abbildungseigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrie</a>. Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine <a href="/wiki/Achsensymmetrie" title="Achsensymmetrie">Symmetrieachse</a>. Zudem ist der Kreis <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)#Rotationssymmetrie_/_Drehsymmetrie" title="Symmetrie (Geometrie)">rotationssymmetrisch</a>, d. h., jede <a href="/wiki/Drehung" title="Drehung">Drehung</a> um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. In der <a href="/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a> werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine <a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a> charakterisiert. Formal ergibt sich dafür die <a href="/wiki/Orthogonale_Gruppe" title="Orthogonale Gruppe">orthogonale Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978098671ba9316b57d09845e071c44f221ed52d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (2)}">, das ist die <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> der <a href="/wiki/Orthogonale_Matrix" title="Orthogonale Matrix">orthogonalen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0e3400ffb97d67c00267ed50cddfe824cbe80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\times 2}">-<a href="/wiki/Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrizen</a>. Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander <a href="/wiki/Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruent</a>, lassen sich also durch <a href="/wiki/Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Parallelverschiebungen</a> aufeinander abbilden. Zwei beliebige Kreise sind zueinander <a href="/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlich</a>. Sie lassen sich stets durch eine <a href="/wiki/Zentrische_Streckung" title="Zentrische Streckung">zentrische Streckung</a> und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreiswinkel_und_Winkelsätze">Kreiswinkel und Winkelsätze</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=32" title="Abschnitt bearbeiten: Kreiswinkel und Winkelsätze" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=32" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreiswinkel und Winkelsätze">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kreiswinkel" title="Kreiswinkel">Kreiswinkel</a> und <a href="/wiki/Satz_von_Thales" class="mw-redirect" title="Satz von Thales">Satz von Thales</a></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Sehnentangentenwinkel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Sehnentangentenwinkel.svg/220px-Sehnentangentenwinkel.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Sehnentangentenwinkel.svg/330px-Sehnentangentenwinkel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Sehnentangentenwinkel.svg/440px-Sehnentangentenwinkel.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a><figcaption>Kreiswinkel: Der Umfangswinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }"> hängt nicht von der Lage des Punktes C auf dem Kreisbogen ab. Er ist halb so groß wie der Zentriwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"> und genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }">.</figcaption></figure></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Triangle-thales-circle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle-thales-circle.svg/220px-Triangle-thales-circle.svg.png" decoding="async" width="220" height="112" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle-thales-circle.svg/330px-Triangle-thales-circle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Triangle-thales-circle.svg/440px-Triangle-thales-circle.svg.png 2x" data-file-width="360" data-file-height="183" /></a><figcaption>Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken</figcaption></figure></div> Eine Kreissehne mit Endpunkten A und B teilt einen gegebenen Kreis in zwei Kreisbögen. Ein Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle {\rm {ACB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle {\rm {ACB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ffe3f33786d70a22cf6ab3afcaf7cfda9c0328" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle {\rm {ACB}}}"> mit Scheitel C auf einem der Kreisbögen wird Umfangswinkel oder Peripheriewinkel genannt. Der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle {\rm {AMB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle {\rm {AMB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd840cf0ed8d1cc3b174c0de1ce4794c7da415fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.198ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle {\rm {AMB}}}"> mit Scheitel im Mittelpunkt M heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel. Im Spezialfall, dass die Sehne den Mittelpunkt enthält, also ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel mit 180°. In dieser Situation gilt eine grundlegende Aussage der Kreisgeometrie, der Satz von Thales: Er besagt, dass Umfangswinkel über einem Durchmesser stets rechte Winkel sind, also 90° betragen. Der Kreis um das <a href="/wiki/Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinklige Dreieck</a> wird in dieser Situation auch Thaleskreis genannt (Weiteres im Abschnitt <a href="#Thaleskreis">Thaleskreis</a>). Auch im Fall einer beliebigen Kreissehne sind alle Umfangswinkel, die auf dem gleichen Kreisbogen liegen, gleich groß. Diese Aussage wird auch Umfangswinkelsatz genannt. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt Fasskreisbogen. Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf der gleichen Seite der Sehne, dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz). Zwei Umfangswinkel, die auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergänzen einander zu 180°. Der Umfangswinkel ist genauso groß wie der spitze Sehnentangentenwinkel zwischen der Sehne und der durch einen ihrer Endpunkte verlaufenden Tangente (Sehnentangentenwinkelsatz). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sätze_über_Sehnen,_Sekanten_und_Tangenten">Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=33" title="Abschnitt bearbeiten: Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=33" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für Kreise gilt der <a href="/wiki/Sehnensatz" title="Sehnensatz">Sehnensatz</a>, der besagt: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5575f4e0f04d210e7b2d834e8f54da860db3e6d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.576ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}},}"></dd></dl> d. h., die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte sind gleich. Zwei Sehnen eines Kreises, die einander nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder einander in einem Punkt S außerhalb des Kreises schneiden. Ist Letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der <a href="/wiki/Sekantensatz" title="Sekantensatz">Sekantensatz</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">D</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885346e0a5c6cac3c5918d2b11900a34467faec0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.576ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}\cdot {\overline {\rm {DS}}}.}"></dd></dl> Im Fall einer Sekante, die den Kreis in den Punkte A und C schneidet, und einer Tangente, die den Kreis im Punkt B berührt, gilt der <a href="/wiki/Sekanten-Tangenten-Satz" title="Sekanten-Tangenten-Satz">Sekanten-Tangenten-Satz</a>: Ist S der Schnittpunkt von Sekante und Tangente, so folgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf86ab8584baada4e76d240dcb505374a8007db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.768ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AS}}}\cdot {\overline {\rm {CS}}}={\overline {\rm {BS}}}^{2}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkreise_und_Inkreise_in_Dreiecken">Umkreise und Inkreise in Dreiecken</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=34" title="Abschnitt bearbeiten: Umkreise und Inkreise in Dreiecken" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=34" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umkreise und Inkreise in Dreiecken">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also ein nicht ausgeartetes <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreieck</a> bilden, dann existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch diese Punkte, nämlich der <a href="/wiki/Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a> des Dreiecks ABC. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei <a href="/wiki/Streckensymmetrale" class="mw-redirect" title="Streckensymmetrale">Mittelsenkrechten</a> des Dreiecks. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis einbeschrieben werden, der die drei Seiten berührt, d. h., die Dreiecksseiten bilden Tangenten des Kreises. Dieser Kreis wird <a href="/wiki/Inkreis" title="Inkreis">Inkreis</a> des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei <a href="/wiki/Winkelhalbierende" title="Winkelhalbierende">Winkelhalbierenden</a>. In der Elementargeometrie werden noch weitere <a href="/wiki/Kreise_am_Dreieck" title="Kreise am Dreieck">Kreise am Dreieck</a> betrachtet: Die <a href="/wiki/Ankreis" title="Ankreis">Ankreise</a> liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Ein weiterer interessanter Kreis am Dreieck ist der <a href="/wiki/Feuerbachkreis" title="Feuerbachkreis">Feuerbachkreis</a>, benannt nach <a href="/wiki/Karl_Wilhelm_Feuerbach" title="Karl Wilhelm Feuerbach">Karl Wilhelm Feuerbach</a>. Auf ihm liegen die drei Seitenmittelpunkte und die drei <a href="/wiki/Fu%C3%9Fpunkt" title="Fußpunkt">Fußpunkte</a> der <a href="/wiki/H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhen</a>. Da auf ihm außerdem die drei Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks liegen, wird der Feuerbachkreis auch Neunpunktekreis genannt. Sein Mittelpunkt liegt wie der <a href="/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt" title="Geometrischer Schwerpunkt">Schwerpunkt</a>, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der <a href="/wiki/Eulersche_Gerade" title="Eulersche Gerade">eulerschen Geraden</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkreise_in_unregelmäßigen_Vielecken">Umkreise in unregelmäßigen Vielecken</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=35" title="Abschnitt bearbeiten: Umkreise in unregelmäßigen Vielecken" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=35" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umkreise in unregelmäßigen Vielecken">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Im Gegensatz zu Dreiecken besitzen unregelmäßige <a href="/wiki/Polygon" title="Polygon">Polygone</a> (Vielecke) mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen keinen Umkreis oder Inkreis. Für <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßige Polygone</a> existieren beide, eingezeichnet oder nicht, allerdings stets. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Viereck">Viereck</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=36" title="Abschnitt bearbeiten: Viereck" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=36" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Viereck">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a>, das einen Umkreis besitzt, wird <a href="/wiki/Sehnenviereck" title="Sehnenviereck">Sehnenviereck</a> genannt. Ein <a href="/wiki/Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexes</a> Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird <a href="/wiki/Tangentenviereck" title="Tangentenviereck">Tangentenviereck</a> genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sechseck">Sechseck</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=37" title="Abschnitt bearbeiten: Sechseck" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=37" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sechseck">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg/220px-Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg.png" decoding="async" width="220" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg/330px-Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg/440px-Satz_von_Ceva_fuer_Kreise.svg.png 2x" data-file-width="312" data-file-height="319" /></a><figcaption>Satz von Ceva für Kreise</figcaption></figure> Ein unregelmäßiges Sechseck mit Umkreis (auch <a href="/w/index.php?title=Sehnensechseck&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sehnensechseck (Seite nicht vorhanden)">Sehnensechseck</a> genannt), dessen Diagonalen sich in einem Punkt schneiden, hat besondere Eigenschaften, die an den <a href="/wiki/Satz_von_Ceva" title="Satz von Ceva">Satz von Ceva</a> erinnern. In der Fachliteratur wird der nachfolgende Satz deshalb mitunter auch als „Satz von Ceva für Kreise“ bezeichnet: In einem Kreis schneiden sich die drei Sehnen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AX}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AX}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6078fbde89fea602522b6a8c1a074151445fc2ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.723ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AX}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BY}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BY}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923db100c0ecd1084587cfc7c7bbf09214d9d7ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.537ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle BY}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CZ}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CZ}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c1e58b4605e3fcad75c1b109036c2fcf17571b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.447ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CZ}"> in einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> (siehe Abbildung). Dann gilt für die Seiten des einbeschriebenen Sechsecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AZBXCY}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>Z</mi> <mi>B</mi> <mi>X</mi> <mi>C</mi> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AZBXCY}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652eb216ed889ffe6c3ad447c7ac2bf38e250d9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AZBXCY}"> die <a href="/wiki/Verh%C3%A4ltnisgleichung" class="mw-redirect" title="Verhältnisgleichung">Verhältnisgleichung</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df690937bfae66c8088de75dd5e29b455cd28c6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.539ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}">.</dd></dl> Nach dem Sehnensatz sind folgende Dreiecke ähnlich zueinander: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AZP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>Z</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AZP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f518714c2efe74fba78ce1b3978d5fe4ec3663d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AZP}"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle XCP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mi>C</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle XCP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c278198b910aeb32577d50008beca6c691013f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle XCP}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BXP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mi>X</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BXP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae9403d5291349c1a6a18a9eec60cb95a98342e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.489ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle BXP}"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle YAP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mi>A</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle YAP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49fd7a35c9605ec667dde5e461ffd8b3e595a65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle YAP}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CYP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>Y</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CYP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12a02ed8abbbaf7a9b06ca68ae430c9b5a9f2b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.285ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CYP}"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ZBP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mi>B</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ZBP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d17b9731550ba50e0a1dd0a4d068f7ce591d00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ZBP}"></dd></dl> Also gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{g}}={\frac {a}{x}}={\frac {z}{c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>z</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{g}}={\frac {a}{x}}={\frac {z}{c}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10446bba9b25339fa1e445adefd27b2d902c1042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.339ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{g}}={\frac {a}{x}}={\frac {z}{c}}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {f}{k}}={\frac {b}{y}}={\frac {x}{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {f}{k}}={\frac {b}{y}}={\frac {x}{a}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d7cc82ade3d71baed2892b7f220aa7d8962e28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.469ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {f}{k}}={\frac {b}{y}}={\frac {x}{a}}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {h}{e}}={\frac {c}{z}}={\frac {y}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>z</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>y</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {h}{e}}={\frac {c}{z}}={\frac {y}{b}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83878d52b4be45a0ba626c52e8352585946b06d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.288ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {h}{e}}={\frac {c}{z}}={\frac {y}{b}}}"></dd></dl> Da die Flächeninhalte ähnlicher Figuren wie die Quadrate der entsprechenden Seitenlängen ansteigen, folgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}={\frac {d}{g}}\cdot {\frac {f}{k}}\cdot {\frac {h}{e}}=\left({\frac {az}{cx}}\cdot {\frac {bx}{ay}}\cdot {\frac {cy}{bz}}\right)^{\frac {1}{2}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}={\frac {d}{g}}\cdot {\frac {f}{k}}\cdot {\frac {h}{e}}=\left({\frac {az}{cx}}\cdot {\frac {bx}{ay}}\cdot {\frac {cy}{bz}}\right)^{\frac {1}{2}}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802cb1be29e0c4ea967071c439f01f9c33ef8c0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:47.766ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}={\frac {d}{g}}\cdot {\frac {f}{k}}\cdot {\frac {h}{e}}=\left({\frac {az}{cx}}\cdot {\frac {bx}{ay}}\cdot {\frac {cy}{bz}}\right)^{\frac {1}{2}}=1}"></dd></dl> und weiter für die Flächeninhalte der Teildreiecke: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {[AZP]}{[XCP]}}={\frac {d^{2}}{g^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mi>Z</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mi>C</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {[AZP]}{[XCP]}}={\frac {d^{2}}{g^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625e686a57a625e488b12af1844c11047500931d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.828ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {[AZP]}{[XCP]}}={\frac {d^{2}}{g^{2}}}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {[XPB]}{[PYA]}}={\frac {f^{2}}{k^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mi>P</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mi>Y</mi> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {[XPB]}{[PYA]}}={\frac {f^{2}}{k^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8b37f70762ff0f25e627e5bab8344d576d8525" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.929ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {[XPB]}{[PYA]}}={\frac {f^{2}}{k^{2}}}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {[PCY]}{[ZBP]}}={\frac {h^{2}}{e^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mi>C</mi> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>Z</mi> <mi>B</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {[PCY]}{[ZBP]}}={\frac {h^{2}}{e^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c38aa02ad9110f470d39effbc74b4c9d4b4de84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.743ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {[PCY]}{[ZBP]}}={\frac {h^{2}}{e^{2}}}}"></dd></dl> Somit gilt: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {[AZP]\cdot [XPB]\cdot [PCY]}{[XCP]\cdot [PYA]\cdot [ZBP]}}=\left({\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}\right)^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>A</mi> <mi>Z</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mi>P</mi> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mi>C</mi> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mi>C</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mi>Y</mi> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>Z</mi> <mi>B</mi> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {[AZP]\cdot [XPB]\cdot [PCY]}{[XCP]\cdot [PYA]\cdot [ZBP]}}=\left({\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}\right)^{2}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaadff3b169a55b078db9a0b053d8351db27e7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:45.554ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {[AZP]\cdot [XPB]\cdot [PCY]}{[XCP]\cdot [PYA]\cdot [ZBP]}}=\left({\frac {d}{e}}\cdot {\frac {f}{g}}\cdot {\frac {h}{k}}\right)^{2}=1}"></dd></dl> Daraus folgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df690937bfae66c8088de75dd5e29b455cd28c6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.539ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{e}}={\frac {f}{g}}={\frac {h}{k}}}"></dd></dl> und gleichzeitig, dass das Produkt der Flächen der grünen Dreiecke gleich dem Produkt der Flächen der gelben Dreiecke ist. Damit ist die Aussage des Satzes bewiesen.<a href="#cite_note-26">[26]</a><a href="#cite_note-27">[27]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einem_Kreis_einbeschriebene_Kreise">Einem Kreis einbeschriebene Kreise</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=38" title="Abschnitt bearbeiten: Einem Kreis einbeschriebene Kreise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=38" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einem Kreis einbeschriebene Kreise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Dreipass" title="Dreipass">Dreipass</a>, <a href="/wiki/Vierpass" title="Vierpass">Vierpass</a> und <a href="/wiki/Vielpass" title="Vielpass">Vielpass</a></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beziehungen_im_Dreipass">Beziehungen im Dreipass</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=39" title="Abschnitt bearbeiten: Beziehungen im Dreipass" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=39" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beziehungen im Dreipass">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Gegeben sei ein <a href="/wiki/Dreipass" title="Dreipass">Dreipass</a> mit drei sich paarweise berührenden <a href="/wiki/Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruenten</a> Kreisen mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">, die einem Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> einbeschrieben sind. Dann gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f1519f2d2237b54a62b6ec4f3a22ccafb53e21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.984ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}">.</dd></dl> Beweis: <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Dreipass_Beweisfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Dreipass_Beweisfigur.svg/180px-Dreipass_Beweisfigur.svg.png" decoding="async" width="180" height="179" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Dreipass_Beweisfigur.svg/270px-Dreipass_Beweisfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Dreipass_Beweisfigur.svg/360px-Dreipass_Beweisfigur.svg.png 2x" data-file-width="409" data-file-height="406" /></a><figcaption>Figur 1</figcaption></figure> Der Umkreis eines <a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitigen Dreiecks</a> mit der Seitenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"> hat den Radius <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R={\frac {s}{3}}{\sqrt {3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R={\frac {s}{3}}{\sqrt {3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc45b16677a8b9f13f49c8dc8553c60ac37cd8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.959ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle R={\frac {s}{3}}{\sqrt {3}}}">,</dd></dl> was gleichbedeutend ist mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=R{\sqrt {3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=R{\sqrt {3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd3acb5ff576c1f22d217a0eb2477f15eddd94f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.051ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=R{\sqrt {3}}}">.</dd></dl> Hieraus folgt nach dem Strahlensatz im gelben Dreieck von Figur 1 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (R-r):R=(2r):\left(R{\sqrt {3}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (R-r):R=(2r):\left(R{\sqrt {3}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dff2e388e765bba63ff07be41a6a5f7353ab8b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.212ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (R-r):R=(2r):\left(R{\sqrt {3}}\right)}"></dd></dl> und weiter nach elementaren algebraischen Termumformungen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f1519f2d2237b54a62b6ec4f3a22ccafb53e21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.984ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle r=R\cdot \left(2{\sqrt {3}}-3\right)}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beziehungen_im_Vierpass">Beziehungen im Vierpass</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=40" title="Abschnitt bearbeiten: Beziehungen im Vierpass" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=40" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beziehungen im Vierpass">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Vierpass_Beweisfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Vierpass_Beweisfigur.svg/180px-Vierpass_Beweisfigur.svg.png" decoding="async" width="180" height="179" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Vierpass_Beweisfigur.svg/270px-Vierpass_Beweisfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Vierpass_Beweisfigur.svg/360px-Vierpass_Beweisfigur.svg.png 2x" data-file-width="233" data-file-height="232" /></a><figcaption>Figur 2</figcaption></figure> Gegeben sei ein <a href="/wiki/Vierpass" title="Vierpass">Vierpass</a> aus Dreiviertelkreisbögen von vier kongruenten Kreisen mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">, die einem Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> einbeschrieben sind. Dann gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47eed8a53eb60ee16c6ac6bf2ad39d99fbbf48a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.821ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}">.</dd></dl> Beweis: Nach dem Satz des Pythagoras gilt im gelben Dreieck von Figur 2 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2r)^{2}=2\cdot \left(R-r\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2r)^{2}=2\cdot \left(R-r\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c3a35499dab0fdc9bbbf76774dc6fdd828a42e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.531ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (2r)^{2}=2\cdot \left(R-r\right)^{2}}">.</dd></dl> Hieraus folgt nach elementaren algebraischen Termumformungen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47eed8a53eb60ee16c6ac6bf2ad39d99fbbf48a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.821ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle r=R\cdot \left({\sqrt {2}}-1\right)}">.<a href="#cite_note-28">[28]</a></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Sechspass_Beweisfigur.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Sechspass_Beweisfigur.svg/180px-Sechspass_Beweisfigur.svg.png" decoding="async" width="180" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Sechspass_Beweisfigur.svg/270px-Sechspass_Beweisfigur.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Sechspass_Beweisfigur.svg/360px-Sechspass_Beweisfigur.svg.png 2x" data-file-width="347" data-file-height="352" /></a><figcaption>Figur 3</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beziehungen_im_Sechspass">Beziehungen im Sechspass</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=41" title="Abschnitt bearbeiten: Beziehungen im Sechspass" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=41" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beziehungen im Sechspass">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Gegeben sei ein <a href="/wiki/Sechspass" class="mw-redirect" title="Sechspass">Sechspass</a> aus Zweidrittelkreisbögen von sechs kongruenten Kreisen mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">, die einem Kreis mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> einbeschrieben sind. Dann gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {R}{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>R</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {R}{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7eba79ec56fa87e70e730112c5a24116fe343e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.747ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {R}{3}}}">.</dd></dl> Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus Figur 3 aufgrund der Eigenschaften der eingezeichneten gleichseitigen Dreiecke.<a href="#cite_note-29">[29]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bogendreieck">Bogendreieck</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=42" title="Abschnitt bearbeiten: Bogendreieck" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=42" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Bogendreieck">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Drei <a href="/wiki/Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkte</a> eines Quadrats seien Mittelpunkte dreier Kreise, die durch den Diagonalenschnittpunkt des Quadrates verlaufen. Dann ist das Quadrat flächengleich zu dem von den drei Kreisen begrenzten gelben Bereich, dem sogenannten Bogendreieck (Figuren 4 und 5).<a href="#cite_note-Zeuge-30">[30]</a> Der Beweis ergibt sich durch geometrische Verschiebungen und Drehungen aus den Figuren 6, 7 und 8. Eine andere Beweisvariante verwendet eine <a href="/wiki/Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierung</a> der Ebene mit den gelben Kreisteilen bzw. den rot umrandeten Quadraten. Die Flächengleichheit resultiert aus der Tatsache, dass einerseits die gelben Kreisteile und andererseits die rot umrandeten Quadrate jeweils die gesamte Ebene parkettieren (Figur 9).<a href="#cite_note-Zeuge-30">[30]</a> Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, vom durch drei Kreisen begrenzten Bogendreieck ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren. <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 132px"> <div class="thumb" style="width: 130px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_1.svg" class="mw-file-description" title="Figur 4"><img alt="Figur 4" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Kreisteilquadratur_1.svg/195px-Kreisteilquadratur_1.svg.png" decoding="async" width="130" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Kreisteilquadratur_1.svg/293px-Kreisteilquadratur_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Kreisteilquadratur_1.svg/390px-Kreisteilquadratur_1.svg.png 2x" data-file-width="463" data-file-height="356" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 4</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 133.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 131.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_2.svg" class="mw-file-description" title="Figur 5"><img alt="Figur 5" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Kreisteilquadratur_2.svg/197px-Kreisteilquadratur_2.svg.png" decoding="async" width="132" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Kreisteilquadratur_2.svg/296px-Kreisteilquadratur_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Kreisteilquadratur_2.svg/394px-Kreisteilquadratur_2.svg.png 2x" data-file-width="465" data-file-height="354" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 5</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 134px"> <div class="thumb" style="width: 132px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg" class="mw-file-description" title="Figur 6"><img alt="Figur 6" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg/198px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg.png" decoding="async" width="132" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg/297px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg/396px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_1.svg.png 2x" data-file-width="467" data-file-height="354" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 6</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 134.66666666667px"> <div class="thumb" style="width: 132.66666666667px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg" class="mw-file-description" title="Figur 7"><img alt="Figur 7" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg/199px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg.png" decoding="async" width="133" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg/298px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg/397px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_2.svg.png 2x" data-file-width="466" data-file-height="352" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 7</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 134px"> <div class="thumb" style="width: 132px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg" class="mw-file-description" title="Figur 8"><img alt="Figur 8" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg/198px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg.png" decoding="async" width="132" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg/298px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg/397px-Kreisteilquadratur_Beweisschritt_3.svg.png 2x" data-file-width="464" data-file-height="351" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 8</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 200.66666666667px"> <div class="thumb" style="width: 198.66666666667px;"><a href="/wiki/Datei:Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg" class="mw-file-description" title="Figur 9"><img alt="Figur 9" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg/298px-Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg.png" decoding="async" width="199" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg/447px-Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg/596px-Kreisteilquadratur_Parkettierung.svg.png 2x" data-file-width="1381" data-file-height="696" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 9</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisspiegelungen_und_Möbiustransformationen">Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=43" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=43" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kreisspiegelung" title="Kreisspiegelung">Kreisspiegelung</a> und <a href="/wiki/M%C3%B6biustransformation" title="Möbiustransformation">Möbiustransformation</a></div> Die Kreisspiegelung, auch Inversion genannt, ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die eine „Spiegelung“ der euklidischen Ebene an einem gegebenen Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {M}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ee5fdc5c9d35baa4fc1f20f57c666a5808882e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {M}}}"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> beschreibt. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {P\neq M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>≠</mo> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {P\neq M}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3b8a9b65627bdd2975d75383bcf1e838839f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.812ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\rm {P\neq M}}}"> ein gegebener Punkt, dann ist sein Bildpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {P'}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {P'}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fc2e4bee89f0cbf98bf80e6d1bc7812c74530f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.268ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\rm {P'}}}"> dadurch bestimmt, dass er auf der <a href="/wiki/Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgeraden</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {MP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {MP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7700423601a93d4ce847583e718cb0fe1e1b6e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.714ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {MP}}}"> liegt und sein Abstand von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {M}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ee5fdc5c9d35baa4fc1f20f57c666a5808882e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {M}}}"> die Gleichung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {MP}}}\cdot {\overline {\rm {MP'}}}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <msup> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {MP}}}\cdot {\overline {\rm {MP'}}}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc7fde65a8648426159c7ef4954da033cab2cbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.223ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {MP}}}\cdot {\overline {\rm {MP'}}}=r^{2}}"></dd></dl> erfüllt. Die Kreisspiegelung bildet das Innere des gegebenen Kreises <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> auf sein Äußeres ab und umgekehrt. Alle Kreispunkte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> werden auf sich selbst abgebildet. Kreisspiegelungen sind <a href="/wiki/Winkeltreue_Abbildung" class="mw-redirect" title="Winkeltreue Abbildung">winkeltreu</a>, <a href="/wiki/Orientierung_(Mathematik)" title="Orientierung (Mathematik)">orientierungsumkehrend</a> und <a href="/wiki/Kreistreue_Abbildung" title="Kreistreue Abbildung">kreistreu</a>. Letzteres bedeutet, dass verallgemeinerte Kreise – das sind Kreise und Geraden – wieder auf verallgemeinerte Kreise abgebildet werden. Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen – eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen der Ebene – sind daher ebenfalls winkeltreu und kreistreu, allerdings orientierungserhaltend. Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen lassen sich besonders übersichtlich mit Hilfe komplexer Zahlen darstellen: Bei einer Kreisspiegelung eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bb93c0dc865623bd559f01b03e9bbbba71b81f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.262ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}"> an dem Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75717211476165fd4c566321c09ffb148cbcee69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in \mathbb {C} :|x-z_{0}|=r\}}"> lautet die Formel für den Bildpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67f236d8ceb2736c9df4556e29df0b85a5904fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=z_{0}+{\frac {r^{2}}{{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=z_{0}+{\frac {r^{2}}{{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be23612215fae0884814b5077621c5462ca1be6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.708ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle w=z_{0}+{\frac {r^{2}}{{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}}.}"></dd></dl> Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt einfach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=1/{\bar {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=1/{\bar {z}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5e59581d87096904511e188733b0d52abbdd45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.384ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=1/{\bar {z}}}">. Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch gebrochen lineare Funktionen der Gestalt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4398aa41ef66502fe31cbab8cec6230d731caa74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.755ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}"></dd></dl> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d0cc0340821f235827a05fbec2674fff8b74dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.071ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ad\neq bc}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>≠</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ad\neq bc}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c995a28ac21cef6f9cd248531f16d455cf7e364" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.549ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ad\neq bc}"> dargestellt. <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Potenz_(Geometrie)" title="Potenz (Geometrie)">Potenz (Geometrie)</a></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktionen_mit_Zirkel_und_Lineal">Konstruktionen mit Zirkel und Lineal</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=44" title="Abschnitt bearbeiten: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=44" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg/220px-Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg.png" decoding="async" width="220" height="246" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg/330px-Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg/440px-Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg.png 2x" data-file-width="1730" data-file-height="1933" /></a><figcaption>In der Geometrie schlägt man Kreise mittels eines Zirkels.</figcaption></figure> Ein klassisches Problem der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> ist die <a href="/wiki/Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal</a> in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge. In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden. Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Naturgemäß spielen daher bei allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Kreise eine wichtige Rolle. Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Thaleskreis">Thaleskreis</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=45" title="Abschnitt bearbeiten: Thaleskreis" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=45" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Thaleskreis">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Satz_des_Thales" title="Satz des Thales">Satz des Thales</a></div> Für die Konstruktion des Thaleskreises über einer gegebenen Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541161142b0d23906353c32ec3a34951c5c82be0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.504ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}"> wird zunächst der Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} }"> dieser Strecke konstruiert, der auch der Mittelpunkt des Thaleskreises ist. Dazu werden um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A} }"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {B} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {B} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.646ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {B} }"> jeweils zwei kurze Kreisbögen mit dem gleichen Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> geschlagen, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> so groß gewählt werden muss, dass die vier Kreisbögen sich in zwei Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> schneiden. Das ist z. B. für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\overline {\rm {AB}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\overline {\rm {AB}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f755e1961e23e7ce942a3f3f12a8cedcbd687c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.651ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r={\overline {\rm {AB}}}}"> der Fall. Die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {CD}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {CD}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eaceb0dc9a4c03b1960ae9f0edb97d0de56dcac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.569ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {CD}}}}"> schneidet dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541161142b0d23906353c32ec3a34951c5c82be0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.504ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}}"> im Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} }">. Der gesuchte Thaleskreis ist nun der Kreis mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} }"> und Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AM}}}={\overline {\rm {MB}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AM}}}={\overline {\rm {MB}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9756f91a87a225682312ff2e2e5a598c5471d87a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.979ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AM}}}={\overline {\rm {MB}}}}">. (Figur 1) <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 399.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 397.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg" class="mw-file-description" title="Figur 1: Der Thaleskreis über einer gegebenen Strecke '"`UNIQ--postMath-000000CA-QINU`"' Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises durch Punkt '"`UNIQ--postMath-000000CB-QINU`"' an den Kreis '"`UNIQ--postMath-000000CC-QINU`"'"><img alt="Figur 1: Der Thaleskreis über einer gegebenen Strecke '"`UNIQ--postMath-000000CA-QINU`"' Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises durch Punkt '"`UNIQ--postMath-000000CB-QINU`"' an den Kreis '"`UNIQ--postMath-000000CC-QINU`"'" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg/596px-01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg.png" decoding="async" width="398" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg/894px-01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg/1191px-01-Thaleskreis_und_Tangenten.svg.png 2x" data-file-width="716" data-file-height="451" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 1: Der Thaleskreis über einer gegebenen Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1226848d970de5f9ea2bf62b9549e3819f64bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.15ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {AB}}}.}"> Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises durch <a href="/wiki/Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> an den Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.858ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k.}"></div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion_von_Tangenten">Konstruktion von Tangenten</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=46" title="Abschnitt bearbeiten: Konstruktion von Tangenten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=46" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Konstruktion von Tangenten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Tangente" title="Tangente">Tangente</a></div> Gegeben sei ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> außerhalb eines Kreises <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {M} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {M} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {M} }"> und es sollen die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert werden, die durch den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {P} }"> laufen. Diese elementare Konstruktionsaufgabe lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Thales lösen: Man konstruiert den Thaleskreis mit der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\rm {PM}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">P</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\rm {PM}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadb6dd13efcf04f978537ab4e36508d76aa29de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.829ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\rm {PM}}}}"> als Durchmesser. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> sind dann die Berührpunkte der gesuchten Tangenten. (Figur 1) <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreis_durch_drei_gegebene_Punkte">Kreis durch drei gegebene Punkte</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=47" title="Abschnitt bearbeiten: Kreis durch drei gegebene Punkte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=47" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreis durch drei gegebene Punkte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg/260px-01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg.png" decoding="async" width="260" height="219" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg/390px-01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg/520px-01_Kreis_aus_drei_Punkten-Z_u_L.svg.png 2x" data-file-width="341" data-file-height="287" /></a><figcaption>Kreis (rot) verläuft durch die drei gegebenen Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3298ea9aa77c226be56a7d8515baaa517b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"></figcaption></figure> Gegeben sind die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3298ea9aa77c226be56a7d8515baaa517b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}">, gesucht ist jener Kreis der durch diese Punkte verläuft. Es beginnt mit dem Ziehen dreier Kreise mit gleicher Zirkelöffnung mit dem Radius gleich dem zweitgrößten Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\overline {AB}}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\overline {AB}}|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6a8893bd3732e2a45ee87f8d39b22821814e9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.916ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |{\overline {AB}}|}"> um die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3298ea9aa77c226be56a7d8515baaa517b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}">. Als Schnittpunkte ergeben sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D,E,F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D,E,F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa63765c26e578eb90ba6c3a0a7b70b04c6978f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.509ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D,E,F}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Nun werden die beiden Mittelsenkrechten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ms_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ms_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af6e643f40bdae9602f39c3f87d129035e01535" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.185ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ms_{1}}"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ms_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ms_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f391e93232c1fd1b091d722c0302edb884426694" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.185ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ms_{2}}"> der Abstände <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\overline {BC}}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\overline {BC}}|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431070b47fba22e04ffdd4ac68ee9970b04417b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.007ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |{\overline {BC}}|}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\overline {AB}}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\overline {AB}}|}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6a8893bd3732e2a45ee87f8d39b22821814e9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.916ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |{\overline {AB}}|}"> mithilfe der Verbindungen der Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> generiert. Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> des gesuchten Kreises, der abschließend durch die drei Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3298ea9aa77c226be56a7d8515baaa517b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> gezogen wird. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Streckendrittelung">Streckendrittelung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=48" title="Abschnitt bearbeiten: Streckendrittelung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=48" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Streckendrittelung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für jede der folgenden alternativen Figuren bedarf es nur einer Zirkelöffnung, sprich die Kreise haben stets den <a href="/wiki/Radius" title="Radius">Radius</a> gleich der gegebenen Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}">. Die alphabetisch bezeichneten Punkte zeigen jeweils die Reihenfolge der Konstruktionsschritte für die Drittelung der <a href="/wiki/Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Strecke</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> an. In Figur 2, Figur 4 und in Figur 5 erzeugt jeweils der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> die Streckendrittelung. In Figur 2 ist die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AF}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AF}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a2a05a6abaf851dbf5ac3a1b4206b9d38dd8d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.759ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AF}}}"> halb so lang wie die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {FB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>F</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {FB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8befc1abf85fed326ff0eb0ea0dd09488c2a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.62ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {FB}}}">.<a href="#cite_note-31">[31]</a><a href="#cite_note-32">[32]</a> In Figur 3 liefert der Teilungspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"> die Drittelung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}">. Konstruktion der <a href="/wiki/Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkte</a> in Figur 4 bzw. in Figur 5: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> ist der Schnittpunkt der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> und der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DE}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DE}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4fcfc4373cde19c969df60998941ce1e27ac57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.854ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DE}}}">.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> ist der Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> und der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DE}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DE}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4fcfc4373cde19c969df60998941ce1e27ac57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.854ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DE}}}">.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"> ist der Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> und dem Kreis mit dem Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">.</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> ist der Schnittpunkt der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> und der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CH}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CH}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b72437793f1df45048e1832af4d4aacc0f14607" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.031ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CH}}}"> und liefert somit das letzte Drittel der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}">.</li></ul> Die Figur 4 mit den Kreismittelpunkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3298ea9aa77c226be56a7d8515baaa517b90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.541ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> und Figur 5 mit den Kreismittelpunkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B,C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B,C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce2acf22b93dfbd22373336bd9c22dbd98a49d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.341ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B,C}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> sind elementare Vereinfachungen der Konstruktionen „Zwei Mal halbieren“ bzw. „Drei Mal halbieren“ von Hans Walser aus dem Jahr 2007.<a href="#cite_note-33">[33]</a> <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 356px"> <div class="thumb" style="width: 354px;"><a href="/wiki/Datei:Streckendrittelung.svg" class="mw-file-description" title="Figur 2: Drittelung der Strecke '"`UNIQ--postMath-000000FF-QINU`"'"><img alt="Figur 2: Drittelung der Strecke '"`UNIQ--postMath-000000FF-QINU`"'" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Streckendrittelung.svg/531px-Streckendrittelung.svg.png" decoding="async" width="354" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Streckendrittelung.svg/797px-Streckendrittelung.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Streckendrittelung.svg/1062px-Streckendrittelung.svg.png 2x" data-file-width="375" data-file-height="265" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 2: Drittelung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 266px"> <div class="thumb" style="width: 264px;"><a href="/wiki/Datei:Dreiteilung_einer_Strecke.svg" class="mw-file-description" title="Figur 3: Drittelung der Strecke '"`UNIQ--postMath-00000100-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000101-QINU`"'"><img alt="Figur 3: Drittelung der Strecke '"`UNIQ--postMath-00000100-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000101-QINU`"'" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Dreiteilung_einer_Strecke.svg/396px-Dreiteilung_einer_Strecke.svg.png" decoding="async" width="264" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Dreiteilung_einer_Strecke.svg/594px-Dreiteilung_einer_Strecke.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Dreiteilung_einer_Strecke.svg/791px-Dreiteilung_einer_Strecke.svg.png 2x" data-file-width="960" data-file-height="910" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 3: Drittelung der Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AT}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AT}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbc8b499a42634591521762f3c14bc4fd6cfb4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.054ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AT}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}"></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 253.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 251.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:01_Strecke_dritteln.svg" class="mw-file-description" title="Figur 4: Streckendrittelung '"`UNIQ--postMath-00000102-QINU`"'"><img alt="Figur 4: Streckendrittelung '"`UNIQ--postMath-00000102-QINU`"'" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/01_Strecke_dritteln.svg/377px-01_Strecke_dritteln.svg.png" decoding="async" width="252" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/01_Strecke_dritteln.svg/567px-01_Strecke_dritteln.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/01_Strecke_dritteln.svg/755px-01_Strecke_dritteln.svg.png 2x" data-file-width="313" data-file-height="311" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 4: Streckendrittelung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AF}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AF}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fd569c1d610dcdedf1fe6552e62440d65f4b34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.138ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AF}}={\tfrac {1}{3}}{\overline {AB}}}"></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 253.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 251.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:01_Strecke_3-teilig.svg" class="mw-file-description" title="Figur 5: Strecke '"`UNIQ--postMath-00000103-QINU`"' gedrittelt '"`UNIQ--postMath-00000104-QINU`"'"><img alt="Figur 5: Strecke '"`UNIQ--postMath-00000103-QINU`"' gedrittelt '"`UNIQ--postMath-00000104-QINU`"'" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/01_Strecke_3-teilig.svg/377px-01_Strecke_3-teilig.svg.png" decoding="async" width="252" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/01_Strecke_3-teilig.svg/567px-01_Strecke_3-teilig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/01_Strecke_3-teilig.svg/755px-01_Strecke_3-teilig.svg.png 2x" data-file-width="313" data-file-height="311" /></a></div> <div class="gallerytext">Figur 5: Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f91c39c977790f3cc4e768d5aad89bb1696110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.622ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AB}}}"> gedrittelt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AF}}={\overline {FI}}={\overline {IB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>F</mi> <mi>I</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>I</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AF}}={\overline {FI}}={\overline {IB}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f01eb212d740a50a9b969a07325503abc34c87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:16.131ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AF}}={\overline {FI}}={\overline {IB}}}"></div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächenverdoppelung">Flächenverdoppelung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=49" title="Abschnitt bearbeiten: Flächenverdoppelung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=49" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Flächenverdoppelung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg/220px-Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg/330px-Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg/440px-Kreis_Fl%C3%A4chenverdopplung.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="220" /></a><figcaption>Figur 6: Die Fläche des roten Kreises ist doppelt so groß wie die Fläche des kleinen, blauen Kreises.</figcaption></figure> Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des <a href="/wiki/Villard_de_Honnecourt" title="Villard de Honnecourt">Villard de Honnecourt</a> dargestellt. Dieses Verfahren funktioniert, da (nach dem <a href="/wiki/Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a>) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7141bbea8649ae3a04044fefd61a18b0c51f65d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}}"></dd></dl> und damit der Flächeninhalt des großen Kreises <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi R^{2}=2\pi r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi R^{2}=2\pi r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b21b1eb98dcd38da4daf43fd2988203c75e1c4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.846ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \pi R^{2}=2\pi r^{2}}"></dd></dl> genau doppelt so groß ist wie der des kleinen Kreises. (Figur 6) <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisteilung">Kreisteilung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=50" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisteilung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=50" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisteilung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kreisteilung" title="Kreisteilung">Kreisteilung</a></div> Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung. Hierbei soll zu einer gegebenen <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-Eck einbeschrieben werden. Die auf dem Kreis gelegenen Eckpunkte teilen diesen dann in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> gleich lange Kreisbögen. Diese Konstruktion ist nicht für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> möglich: Mit Hilfe der <a href="/wiki/Abstrakte_Algebra" title="Abstrakte Algebra">algebraischen</a> Theorie der <a href="/wiki/K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Körpererweiterungen</a> lässt sich zeigen, dass sie genau dann durchführbar ist, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> eine <a href="/wiki/Primfaktorzerlegung" title="Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> der Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\dotsm p_{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\dotsm p_{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaecccc76e752b49137c41e04a0bc42293e85eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.989ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\dotsm p_{m}}"></dd></dl> hat mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.784ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}"> und paarweise verschiedenen <a href="/wiki/Fermat-Zahl" title="Fermat-Zahl">fermatschen Primzahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f628f1560be35052cb1dd04faf175597421069a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.336ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}}">, also Primzahlen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{2^{r}}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{2^{r}}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451445e1b215faa70293026c9766abb1c8023910" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{2^{r}}+1}">. Damit ist die Konstruktion also beispielsweise für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mn>15</mn> <mo>,</mo> <mn>16</mn> <mo>,</mo> <mn>17</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c39a8d8899bb5fafa00eab93d04983ba09a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=3,4,5,6,8,10,12,15,16,17}"> möglich, jedoch nicht für z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=7,9,11,13,14}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>9</mn> <mo>,</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mn>13</mn> <mo>,</mo> <mn>14</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=7,9,11,13,14}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee73c7286d8f390631694351bface0bd7e4e4a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.929ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=7,9,11,13,14}">. <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> wies im Jahre 1796 nach, dass die Konstruktion des regelmäßigen <a href="/wiki/Siebzehneck" title="Siebzehneck">Siebzehnecks</a> unter alleiniger Verwendung von <a href="/wiki/Zirkel_und_Lineal" class="mw-redirect" title="Zirkel und Lineal">Zirkel und Lineal</a> möglich ist. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktionen_nur_mit_dem_Zirkel">Konstruktionen nur mit dem Zirkel</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=51" title="Abschnitt bearbeiten: Konstruktionen nur mit dem Zirkel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=51" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Konstruktionen nur mit dem Zirkel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Satz_von_Mohr-Mascheroni" title="Satz von Mohr-Mascheroni">Satz von Mohr-Mascheroni</a></div> Bei gewissen geometrischen Konstruktionen kann auf ein Lineal verzichtet werden. Der <a href="/wiki/Frankreich" title="Frankreich">französische</a> <a href="/wiki/Kaiser" title="Kaiser">Kaiser</a> <a href="/wiki/Napoleon_Bonaparte" title="Napoleon Bonaparte">Napoleon Bonaparte</a>, der sich unter anderem auch mit <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">geometrischen</a> Fragestellungen befasste, lieferte zwei Beispiele für solche <a href="/wiki/Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">Konstruktionsaufgaben</a>, die in der Fachliteratur auch als Napoleonische Probleme bezeichnet werden.<a href="#cite_note-34">[34]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Erstes_Napoleonisches_Problem">Erstes Napoleonisches Problem</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=52" title="Abschnitt bearbeiten: Erstes Napoleonisches Problem" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=52" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Erstes Napoleonisches Problem">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind ein Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit dem <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> und dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> sowie ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> auf der Kreislinie gegeben, so sind die Eckpunkte eines einbeschriebenen <a href="/wiki/Quadrat" title="Quadrat">Quadrats</a> ausschließlich mit dem <a href="/wiki/Zirkel" title="Zirkel">Zirkel</a> konstruierbar. 1. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Der eine <a href="/wiki/Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkt</a> dieses Kreises mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> (von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> aus gegen den <a href="/wiki/Uhrzeigersinn" class="mw-redirect" title="Uhrzeigersinn">Uhrzeigersinn</a>).</dd></dl> 2. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Der eine Schnittpunkt dieses Kreises mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> (von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> aus gegen den Uhrzeigersinn).</dd></dl> 3. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Der eine Schnittpunkt dieses Kreises mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> (von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> aus gegen den Uhrzeigersinn).</dd></dl> 4. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> und einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}">. Der eine Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> liege außerhalb von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">).</dd></dl> 5. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CM}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CM}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86bcc5d06ebf07739cdc5c5efaf74305e5e3b18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.446ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CM}}}">. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}">.</dd> <dd>Hierbei resultiert die Wahl des Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CM}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CM}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86bcc5d06ebf07739cdc5c5efaf74305e5e3b18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.446ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CM}}}"> aus folgendem Sachverhalt:</dd> <dd>Das Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CMP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CMP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68191dbc20a55910e0e44279e3f65d4324324c25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.954ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CMP}"> hat den rechten Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle PMC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>P</mi> <mi>M</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle PMC}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1df5e5070dea0ad7bd37fa80dac721ec791a3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.632ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle PMC}">. Dieser setzt sich zusammen aus dem 60°-Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle PMA}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>P</mi> <mi>M</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle PMA}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac3504ea12ba8d773b622a8b7662995cf59000d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.609ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle PMA}"> des gleichseitigen Dreiecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AMP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AMP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3686e5cd94ea1ee7af70f7715c61ec4e9be01ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.931ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AMP}"> und dem 30°-Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle AMC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∠</mi> <mi>A</mi> <mi>M</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle AMC}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e9a37eef58dfc455a4c8098b42912da38583b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.63ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \angle AMC}"> des durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CM}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CM}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b577af7b948f949d920682efd58b9feccc0040f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.209ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle CM}"> <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">symmetrisch</a> geteilten gleichseitigen Dreiecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABM}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABM}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fdb17f71a77d05c0119f3facc6af144eac28d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.949ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABM}">.</dd> <dd>Deshalb gilt nach dem <a href="/wiki/Satz_des_Pythagoras" title="Satz des Pythagoras">Satz des Pythagoras</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}={\overline {PC}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>P</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}={\overline {PC}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a451c67b7158294238fe18d092daf4fdee3a19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.655ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}={\overline {PC}}^{2}}"></dd></dl></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PB}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PB}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9152209e2f334627253ea50f939b320ec60df4ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.509ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle PB}"> – und damit auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PC}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1aea8bc84e57461ee27b7d813be528fb9a7d5fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.512ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle PC}"> – ist doppelt so lang wie die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {r}{2}}\cdot {\sqrt {3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {r}{2}}\cdot {\sqrt {3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c14efd30f1e893102201ce6ff110d2a3b29d42d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.776ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {r}{2}}\cdot {\sqrt {3}}}"> des gleichseitigen Dreiecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AMP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AMP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3686e5cd94ea1ee7af70f7715c61ec4e9be01ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.931ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle AMP}">, bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABM}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABM}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fdb17f71a77d05c0119f3facc6af144eac28d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.949ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABM}">. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}={\overline {PC}}^{2}-{\overline {MP}}^{2}=3r^{2}-r^{2}=2r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>P</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}={\overline {PC}}^{2}-{\overline {MP}}^{2}=3r^{2}-r^{2}=2r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8307c058124e34d20c9b7a79767a7406ce40b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:39.326ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {MC}}^{2}={\overline {PC}}^{2}-{\overline {MP}}^{2}=3r^{2}-r^{2}=2r^{2}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {MC}}=r\cdot {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {MC}}=r\cdot {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a956a60138eff195ca68a0ed4993e85d403de1da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.316ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {MC}}=r\cdot {\sqrt {2}}}"></dd></dl></dd> <dd>Dies ist die <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalenlänge</a> des einbeschriebenen Quadrats <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PQRS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mi>Q</mi> <mi>R</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PQRS}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f2d9a8a7684d1c77f22174f6d3f3c20b7c4f14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PQRS}">.</dd> <dd>Damit sind die Eckpunkte des einbeschriebenen Quadrats <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle PQRS}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mi>Q</mi> <mi>R</mi> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle PQRS}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f2d9a8a7684d1c77f22174f6d3f3c20b7c4f14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.847ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle PQRS}"> ausschließlich mit dem Zirkel konstruiert.</dd></dl> Grafische Darstellung der Konstruktionsschritte (Die hinzugekommenen Schritte sind jeweils rot markiert.): <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 1"><img alt="Schritt 1" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_1.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 1</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 2"><img alt="Schritt 2" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_2.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 2</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 3"><img alt="Schritt 3" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_3.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 3</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 4"><img alt="Schritt 4" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_4.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 4</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 5"><img alt="Schritt 5" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_5.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 5</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg" class="mw-file-description" title="Fertige Konstruktion"><img alt="Fertige Konstruktion" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg/317px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg/476px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg/634px-Napoleonisches_Problem_1_Konstruktionsschritt_6.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="240" /></a></div> <div class="gallerytext">Fertige Konstruktion</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zweites_Napoleonisches_Problem">Zweites Napoleonisches Problem</h4>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=53" title="Abschnitt bearbeiten: Zweites Napoleonisches Problem" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=53" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zweites Napoleonisches Problem">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind ein Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> sowie ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> auf der Kreislinie gegeben, so ist der Mittelpunkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> ausschließlich mit dem Zirkel konstruierbar. 1. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}"> mit einem Radius zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb337de6fbd1ab48176084f9c4534b8c55847042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2r}">. Die Schnittpunkte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}">.</dd></dl> 2. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {AP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {AP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d680c356ce90088e17582d7bfec25806d7355d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.768ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {AP}}}"> und einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {BP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>B</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {BP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2eaca2bc21e59018ddfbf20ab40543f8a1b59b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.789ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {BP}}}">. Der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}">.</dd></dl> 3. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {CP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {CP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfcc902ab4be08653cc73889bc351911e0654be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.791ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {CP}}}">. Die Schnittpunkte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}">.</dd></dl> 4. Konstruktionsschritt: <dl><dd>Zeichne einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {DP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>D</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {DP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1958d1a25e80660e3bad1121d47a0b24b26839e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.949ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {DP}}}"> und einen Kreis um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> mit dem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {EP}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>E</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {EP}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df0bf673919c9db99b1f8f38ca43dac0f71501e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.801ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {EP}}}">. Der zweite Schnittpunkt dieser beiden Kreise ist der Mittelpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">.</dd></dl> Grafische Darstellung der Konstruktionsschritte (Die hinzugekommenen Schritte sind jeweils rot markiert.): <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 1"><img alt="Schritt 1" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg/317px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg/476px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg/634px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_1.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="264" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 1</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 2"><img alt="Schritt 2" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg/317px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg/476px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg/634px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_2.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="264" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 2</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg" class="mw-file-description" title="Schritt 3"><img alt="Schritt 3" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg/317px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg/476px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg/634px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_3.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="264" /></a></div> <div class="gallerytext">Schritt 3</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 213.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 211.33333333333px;"><a href="/wiki/Datei:Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg" class="mw-file-description" title="Fertige Konstruktion"><img alt="Fertige Konstruktion" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg/317px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg.png" decoding="async" width="212" height="130" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg/476px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg/634px-Napoleonisches_Problem_2_Konstruktionsschritt_4.svg.png 2x" data-file-width="429" data-file-height="264" /></a></div> <div class="gallerytext">Fertige Konstruktion</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kreisberechnung_in_der_Analysis">Kreisberechnung in der Analysis</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=54" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisberechnung in der Analysis" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=54" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisberechnung in der Analysis">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der modernen <a href="/wiki/Analysis" title="Analysis">Analysis</a> werden die <a href="/wiki/Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrischen Funktionen</a> und die Kreiszahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa <a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinus und Kosinus</a> über ihre Darstellung als <a href="/wiki/Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihe</a> definieren. Eine gängige Definition für den Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Kreis_als_Kurve">Der Kreis als Kurve</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=55" title="Abschnitt bearbeiten: Der Kreis als Kurve" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=55" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Der Kreis als Kurve">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der <a href="/wiki/Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>, einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der <a href="/wiki/Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Differential-</a> und <a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integralrechnung</a> untersucht, werden Kreise als spezielle <a href="/wiki/Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurven</a> angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten <a href="/wiki/Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> als <a href="/wiki/Weg_(Mathematik)" title="Weg (Mathematik)">Weg</a> beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">, dann ist durch die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a694de043d7335d09672ba01fab40576d7b778" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.643ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon [0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}}"> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)={\begin{pmatrix}r\cos t\\r\sin t\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)={\begin{pmatrix}r\cos t\\r\sin t\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a53c72c5ef7dddfe064d363dff4564878588a36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.972ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(t)={\begin{pmatrix}r\cos t\\r\sin t\end{pmatrix}}}"></dd></dl> eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der <a href="/wiki/Trigonometrie" title="Trigonometrie">trigonometrischen Formel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d240b508e15094e5a7cc98ae94e42df28973de4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.63ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1}"> folgt für die <a href="/wiki/Euklidische_Norm" title="Euklidische Norm">euklidische Norm</a> der parametrisierten Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f(t)|=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(t)|=r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746b770b16a44b9b910c5f8e3228fb4712a8376" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(t)|=r}">, das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Da Sinus und Kosinus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }">-<a href="/wiki/Periodizit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Periodizität (Mathematik)">periodische</a> Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,2\pi ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,2\pi ]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,2\pi ]}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> genau einem Kreisumlauf. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreisumfang">Kreisumfang</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=56" title="Abschnitt bearbeiten: Kreisumfang" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=56" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreisumfang">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der Umfang des Kreises ergibt sich als <a href="/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a> des Weges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> durch <a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integration</a> zu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U=L(f)=\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|{\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\end{pmatrix}}\right|\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=r\int _{0}^{2\pi }1\,dt=2\pi r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U=L(f)=\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|{\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\end{pmatrix}}\right|\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=r\int _{0}^{2\pi }1\,dt=2\pi r.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bc1ab084b5314c9f237fa058b708e27fda297d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:100.792ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle U=L(f)=\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|{\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\end{pmatrix}}\right|\,dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=r\int _{0}^{2\pi }1\,dt=2\pi r.}"></dd></dl> Analog gilt für die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c484de351ba40ccb9a5ad522c29c1aac5686c0df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.739ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(t)}"> des durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{[0,t]}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{[0,t]}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7502f93282d8ef8893d1b846ff3cd7d4bf183f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.946ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f|_{[0,t]}}"> gegebenen Teilkreisbogens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s(t)=rt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s(t)=rt}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8245133927cce8bc4bf874a16ca9e26cd125854" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.726ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s(t)=rt}">. Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}(s)={\begin{pmatrix}r\cos(s/r)\\r\sin(s/r)\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(s)={\begin{pmatrix}r\cos(s/r)\\r\sin(s/r)\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1a5e58976e80288166932912c5c931773b0881" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.528ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(s)={\begin{pmatrix}r\cos(s/r)\\r\sin(s/r)\end{pmatrix}}}"></dd></dl> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in [0,2\pi r]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in [0,2\pi r]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35189ce5963764c3dc16536a2e25bae90c49361d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.964ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\in [0,2\pi r]}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächeninhalt">Flächeninhalt</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=57" title="Abschnitt bearbeiten: Flächeninhalt" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=57" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Flächeninhalt">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der Flächeninhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> der Kreisscheibe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fa62189c4611d9c7c5ef460a8c6f69fabd0c82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.968ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}}">, also das <a href="/wiki/Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}">, kann als (zweidimensionales) Integral <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\int _{K}1\,d(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\int _{K}1\,d(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd5ab536db6394160c77553815f14b3bea4f75e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.308ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A=\int _{K}1\,d(x,y)}"></dd></dl> dargestellt werden. Um die etwas mühsame Berechnung dieses Integrals in kartesischen Koordinaten zu umgehen, ist es günstig, eine <a href="/wiki/Transformationssatz" title="Transformationssatz">Transformation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\rho \cos \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\rho \cos \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f30463dc254b0659a8a89a4ecb9ea81ed183a52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.036ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=\rho \cos \varphi }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\rho \sin \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\rho \sin \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dade62a0c15d1721d38366fdd460ad2bff30b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.606ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=\rho \sin \varphi }"> auf <a href="/wiki/Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Polarkoordinaten</a> durchzuführen. Damit ergibt sich <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\pi =\pi r^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>ρ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>ρ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>ρ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>ρ</mi> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\pi =\pi r^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de551caff40f11288b71dc1c67975d891bf5843" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:59.39ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{r}\rho \,d\rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\pi =\pi r^{2}.}"></dd></dl> Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die <a href="/wiki/Sektorformel_von_Leibniz" title="Sektorformel von Leibniz">Sektorformel von Leibniz</a> auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=r\cos t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=r\cos t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d59f38e82294d9b17a52761704e3bf9bca5976" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.851ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)=r\cos t}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)=r\sin t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=r\sin t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f1f2f60037b72cef397628e188f7e319f65045" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)=r\sin t}"> erhält man damit ebenfalls <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}\int _{0}^{2\pi }dt=\pi r^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}\int _{0}^{2\pi }dt=\pi r^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6371f4ff6fa7bf6f0e0ca0451e7b0a0e68d82f8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:87.091ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}\int _{0}^{2\pi }dt=\pi r^{2}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Krümmung_2">Krümmung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=58" title="Abschnitt bearbeiten: Krümmung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=58" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Krümmung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für die oben hergeleitete Parametrisierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}(s)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(s)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29639cbd45f8653087dd1f9c4186a5e2e7f75700" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.599ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(s)}"> des Kreises nach seiner Bogenlänge ergibt sich <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}'(s)={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\hat {f}}''(s)={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}}\\-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>und</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}'(s)={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\hat {f}}''(s)={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}}\\-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fd17a1fd12f68d656155db9e1e5c6b06b05ee1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:51.255ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}'(s)={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {s}{r}}\\\cos {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\hat {f}}''(s)={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}}\\-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\end{pmatrix}}.}"></dd></dl> Für die <a href="/wiki/Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> des Kreises erhält man daher <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa =|{\hat {f}}''(s)|={\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}\cos ^{2}{\frac {s}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\sin ^{2}{\frac {s}{r}}}}={\frac {1}{r}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>″</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa =|{\hat {f}}''(s)|={\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}\cos ^{2}{\frac {s}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\sin ^{2}{\frac {s}{r}}}}={\frac {1}{r}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7faeddb1d571f24a16f2edceb7081b8be8000473" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:44.828ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa =|{\hat {f}}''(s)|={\sqrt {{\frac {1}{r^{2}}}\cos ^{2}{\frac {s}{r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\sin ^{2}{\frac {s}{r}}}}={\frac {1}{r}}.}"></dd></dl> Die Krümmung des Kreises ist also konstant und der Krümmungsradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{\kappa }}=r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>κ</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\kappa }}=r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db03ec72e17a6c4ae1e6cb55784e2e236a3ed026" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.93ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\kappa }}=r}"> ist gerade sein Radius. In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen. Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Isoperimetrisches_Problem">Isoperimetrisches Problem</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=59" title="Abschnitt bearbeiten: Isoperimetrisches Problem" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=59" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Isoperimetrisches Problem">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Isoperimetrisches_Problem" title="Isoperimetrisches Problem">Isoperimetrisches Problem</a></div> Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. isoperimetrischen Problems. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im 19. Jahrhundert erbracht. Da eine Kurve gesucht ist, die ein <a href="/wiki/Funktional" title="Funktional">Funktional</a> maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der <a href="/wiki/Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a>. Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der <a href="/wiki/Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihen</a>.<a href="#cite_note-35">[35]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen_und_verwandte_Themen">Verallgemeinerungen und verwandte Themen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=60" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen und verwandte Themen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=60" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen und verwandte Themen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sphäre">Sphäre</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=61" title="Abschnitt bearbeiten: Sphäre" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=61" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Sphäre">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Sph%C3%A4re_(Mathematik)" title="Sphäre (Mathematik)">Sphäre (Mathematik)</a></div> Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern. Dann erhält man die Hülle einer <a href="/wiki/Kugel" title="Kugel">Kugel</a>. Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. Analog lässt sich die 2-Sphäre auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> Dimensionen zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-Sphäre verallgemeinern. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kegelschnitte">Kegelschnitte</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=62" title="Abschnitt bearbeiten: Kegelschnitte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=62" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kegelschnitte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitt</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Conic_Sections_de.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Conic_Sections_de.svg/220px-Conic_Sections_de.svg.png" decoding="async" width="220" height="237" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Conic_Sections_de.svg/330px-Conic_Sections_de.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Conic_Sections_de.svg/440px-Conic_Sections_de.svg.png 2x" data-file-width="1950" data-file-height="2100" /></a><figcaption>Der Kreis als Kegelschnitt</figcaption></figure> In der <a href="/wiki/Planimetrie" title="Planimetrie">ebenen Geometrie</a> kann der Kreis als spezielle <a href="/wiki/Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> aufgefasst werden, bei der die beiden <a href="/wiki/Brennpunkt_(Geometrie)" title="Brennpunkt (Geometrie)">Brennpunkte</a> mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen. Beide <a href="/wiki/Halbachsen_der_Ellipse" title="Halbachsen der Ellipse">Halbachsen</a> sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreis<a href="/wiki/Kegel_(Geometrie)" title="Kegel (Geometrie)">kegels</a> mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse. Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen <a href="/wiki/Quadrik" title="Quadrik">Quadrik</a>. Hierbei ergibt sich eine weitere, äquivalente Definition für Kreise (<a href="/wiki/Kreis_des_Apollonios" title="Kreis des Apollonios">Kreis des Apollonios</a>): Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Quotient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> ausgehenden <a href="/wiki/Strahl_(Geometrie)" title="Strahl (Geometrie)">Strahl</a> im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r/q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r/q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9669612b5694450f89afd45628802498b037bbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r/q}"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\cdot q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\cdot q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a008b66dd95262bd4d2a2af2f8b65edca8ae260e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.797ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r\cdot q}"> und wechselseitig auf der <a href="/wiki/Pol_und_Polare" title="Pol und Polare">Polaren</a> des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), <a href="/wiki/Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a> (konstante Differenz) und die <a href="/wiki/Cassinische_Kurve" title="Cassinische Kurve">Cassinische Kurve</a> (konstantes Produkt der Abstände). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreise_in_der_synthetischen_Geometrie">Kreise in der synthetischen Geometrie</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=63" title="Abschnitt bearbeiten: Kreise in der synthetischen Geometrie" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=63" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Kreise in der synthetischen Geometrie">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der <a href="/wiki/Synthetische_Geometrie" title="Synthetische Geometrie">synthetischen Geometrie</a> können Kreise in bestimmten <a href="/wiki/Affine_Ebene" title="Affine Ebene">affinen Ebenen</a> (zum Beispiel <a href="/wiki/Pr%C3%A4euklidische_Ebene" title="Präeuklidische Ebene">präeuklidischen Ebenen</a>) ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine Orthogonalitätsrelation definiert werden, indem der Satz vom <a href="/wiki/Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a> (Mittellotensatz) zur Definition des Kreises verwendet wird. Dadurch kann dann ein schwächerer Begriff der „Abstands-“ oder „Längengleichheit“ von <a href="/wiki/Paarmenge" title="Paarmenge">Punktepaaren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,B)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,B)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce67314185650d6f0deba39db7dcec9378f4d4d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.35ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,B)}"> in solchen Ebenen eingeführt werden. → Siehe dazu <a href="/wiki/Pr%C3%A4euklidische_Ebene" title="Präeuklidische Ebene">Präeuklidische Ebene</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeichnung_im_digitalen_Raster">Zeichnung im digitalen Raster</h3>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=64" title="Abschnitt bearbeiten: Zeichnung im digitalen Raster" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=64" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zeichnung im digitalen Raster">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere <a href="/wiki/Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> entwickelt, siehe dazu <a href="/wiki/Rasterung_von_Kreisen" title="Rasterung von Kreisen">Rasterung von Kreisen</a>. Diese Verfahren sind insbesondere für die <a href="/wiki/Computergrafik" title="Computergrafik">Computergrafik</a> von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen die <a href="/wiki/Grundrechenart" title="Grundrechenart">Grundrechenarten</a> aus. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=65" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=65" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreis</a></li> <li><a href="/wiki/Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreis</a></li> <li><a href="/wiki/Halbkreis" title="Halbkreis">Halbkreis</a></li> <li><a href="/wiki/Kleinkreis" title="Kleinkreis">Kleinkreis</a></li> <li><a href="/wiki/Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a></li> <li><a href="/wiki/Kreisgruppe" title="Kreisgruppe">Kreisgruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Kreisring" title="Kreisring">Kreisring</a></li> <li><a href="/wiki/Kreissegment" title="Kreissegment">Kreissegment</a></li> <li><a href="/wiki/Kreissektor" title="Kreissektor">Kreissektor</a></li> <li><a href="/wiki/Kreiswinkel" title="Kreiswinkel">Kreiswinkel</a></li> <li><a href="/wiki/Malfatti-Kreis" title="Malfatti-Kreis">Malfatti-Kreis</a></li> <li><a href="/wiki/Sehne_(Geometrie)" title="Sehne (Geometrie)">Sehne (Geometrie)</a></li> <li><a href="/wiki/Zindlerkurve" title="Zindlerkurve">Zindlerkurve</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=66" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=66" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Günter Aumann: Kreisgeometrie. Eine elementare Einführung. Springer, Berlin 2015, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3662453053" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-662-45305-3</a>.</li> <li><a href="/wiki/Ilka_Agricola" title="Ilka Agricola">Ilka Agricola</a>, <a href="/wiki/Thomas_Friedrich_(Mathematiker)" title="Thomas Friedrich (Mathematiker)">Thomas Friedrich</a>: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783834813855" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-8348-1385-5</a>.</li> <li><a href="/wiki/Christian_B%C3%A4r_(Mathematiker)" title="Christian Bär (Mathematiker)">Christian Bär</a>: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783110224580" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-11-022458-0</a>.</li> <li>Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783834808561" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-8348-0856-1</a>.</li> <li><a href="/wiki/Gyula_Strommer" title="Gyula Strommer">Gyula Strommer</a>: Konstruktionen allein mit dem Zirkel in der hyperbolischen Ebene. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 1964, no. 214–215, 1964, pp. 192–200</li> <li><a href="/wiki/Ludwig_Bieberbach" title="Ludwig Bieberbach">Ludwig Bieberbach</a>: Theorie der geometrischen Konstruktionen, Springer Basel 1952, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783034869119" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-0348-6911-9</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=67" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=67" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Circle_geometry?uselang=de">Commons: Kreis</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Transzendenz_von_e_und_%CF%80" class="extiw" title="b:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π">Wikibooks: Beweis der Transzendenz von e und π</a> – im Beweisarchiv</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Kreis" class="extiw" title="wikt:Kreis">Wiktionary: Kreis</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Quadratur" class="extiw" title="wikt:Quadratur">Wiktionary: Quadratur</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/kreis.htm">Kreis.</a> In: „Mathematische Basteleien“</li> <li><a href="/wiki/Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Circle.html">Circle.</a> In: <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Kreis&veaction=edit&section=68" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Kreis&action=edit&section=68" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Harald Scheid: <cite style="font-style:italic">Kreis</cite>. Hrsg.: Meyers Lexikonredaktion. 6. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim 2000, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3411053461" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-411-05346-1</a>, S. 343.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreis&rft.au=Harald+Scheid&rft.btitle=Kreis&rft.date=2000&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=3411053461&rft.pages=343&rft.place=Mannheim&rft.pub=Bibliographisches+Institut" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Guido Walz: <cite style="font-style:italic">Kreis</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 2. Auflage. Teil: Band 3, Lexikon der Mathematik Band 3: Inp bis Mon. Springer Spektrum, Berlin 2017, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662535028" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-53502-8</a>, S. 214.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreis&rft.atitle=Kreis&rft.au=Guido+Walz&rft.date=2017&rft.edition=2.&rft.genre=journal&rft.isbn=9783662535028&rft.issue=Lexikon+der+Mathematik+Band+3%3A+Inp+bis+Mon&rft.jtitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.pages=214&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer+Spektrum&rft.volume=Teil%3A+Band+3" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Euklid von Alexandria: <cite style="font-style:italic">Die Ersten Sechs Bücher Elementorum Euclidis:</cite>. In welchen die Anfäng und Gründe der Geometria ordentlich gelehret, und gründtlich erwiesen werden / Mit sonderm Fleiß und Mühe auß Griechischer in unsere Hohe deutsche Sprach übergesetzet ... und aigentlichest erkläret ... Durch Simonem Marium Guntzenhusanum Franc. Fürstlichen Brandenb: bestalten Mathematicum, und Medicinae Utriusq[ue] Studiosum. Hrsg.: Simon Marius. Böhem, Onoltzbach 1610, S. 18 v. 188.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreis&rft.au=Euklid+von+Alexandria&rft.btitle=Die+Ersten+Sechs+B%C3%BCcher+Elementorum+Euclidis%3A&rft.date=1610&rft.genre=book&rft.pages=18+v.+188&rft.place=Onoltzbach&rft.pub=B%C3%B6hem" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Kai Möller: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lernflix.at/was-ist-ein-kreis-kreisflaeche-umfang-segment">Was ist ein Kreis? Kreisfläche? Umfang? Segment?</a> In: Website <a rel="nofollow" class="external free" href="https://lernflix.at/">https://lernflix.at/</a>. Kai Möller, abgerufen am 13. Juni 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreis&rft.title=Was+ist+ein+Kreis%3F+Kreisfl%C3%A4che%3F+Umfang%3F+Segment%3F&rft.description=Was+ist+ein+Kreis%3F+Kreisfl%C3%A4che%3F+Umfang%3F+Segment%3F&rft.identifier=https%3A%2F%2Flernflix.at%2Fwas-ist-ein-kreis-kreisflaeche-umfang-segment&rft.creator=Kai+M%C3%B6ller&rft.publisher=Kai+M%C3%B6ller&rft.language=de">  </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/rechtschreibung/Kringel">Kringel, der.</a> In: <a href="/wiki/Duden" title="Duden">Duden</a>. <a href="/wiki/Cornelsen_Verlag" title="Cornelsen Verlag">Cornelsen Verlag</a>, abgerufen am 7. Februar 2024.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreis&rft.title=Kringel%2C+der&rft.description=Kringel%2C+der&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.duden.de%2Frechtschreibung%2FKringel&rft.publisher=%5B%5BCornelsen+Verlag%5D%5D">  </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> vgl. Definitionen in: Euklid, Elemente. Buch I; in der <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.opera-platonis.de/euklid/">Übersetzung nach Rudolf Haller</a> heißt es: „Ein Kreis ist eine ebene Figur innerhalb einer Linie, von deren Punkte zu einem besonderen Punkt innerhalb der Figur gleiche gerade Strecken zu ziehen sind.“ </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540493273" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-49327-3</a>, S. 143. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 13. </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 23. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 18. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 19–20. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 31–33. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783540493273" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-540-49327-3</a>, S. 145. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 49–50. </li> <li id="cite_note-Archimedes-17">↑ <a href="#cite_ref-Archimedes_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-Archimedes_17-1">b</a> In englischer Übersetzung von <a href="/wiki/Thomas_Heath" title="Thomas Heath">Thomas Little Heath</a>: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91 ff., Über Spiralen: S. 151 ff., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABW0362.0001.001">(Digitalisat).</a> </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Norbert Froese: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.antike-griechische.de/Archimedes.pdf#page=11&zoom=auto,-17,599">1. Kreismessung und archimedische Spirale.</a> Archimedes – Das antike Jahrtausend-Genie. 21. November 2023, abgerufen am 5. November 2024.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreis&rft.title=1.+Kreismessung+und+archimedische+Spirale&rft.description=1.+Kreismessung+und+archimedische+Spirale&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.antike-griechische.de%2FArchimedes.pdf%23page%3D11%26zoom%3Dauto%2C-17%2C599&rft.creator=Norbert+Froese&rft.date=2023-11-21">  </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Markus Ruppert: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10040500/mitarbeiterfiles/ruppert/ml_165/Archimedes_ungekuerzt.pdf#page=4&zoom=auto,-13,40">Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes.</a> Archimedes, der Kreis und die Kugel. Universität Würtzburg, 2011, abgerufen am 30. September 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreis&rft.title=Bestimmung+von+Kreisfl%C3%A4che+und+Kreisumfang+nach+Archimedes&rft.description=Bestimmung+von+Kreisfl%C3%A4che+und+Kreisumfang+nach+Archimedes&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.uni-wuerzburg.de%2Ffileadmin%2F10040500%2Fmitarbeiterfiles%2Fruppert%2Fml_165%2FArchimedes_ungekuerzt.pdf%23page%3D4%26zoom%3Dauto%2C-13%2C40&rft.creator=Markus+Ruppert&rft.publisher=Universit%C3%A4t+W%C3%BCrtzburg&rft.date=2011">  </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> <a href="/wiki/Euklids_Elemente" class="mw-redirect" title="Euklids Elemente">Euklids Elemente</a>. XII, § 2. </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 40–42. </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 72–73. </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 247–248. </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540679243" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-67924-3</a>, S. 405–406. </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662454602" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-45460-2</a>, Seiten 70 und 71 </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> L. Hoehn: A simple generalisation of Ceva’s theorem. <a href="/wiki/Mathematical_Gazette" class="mw-redirect" title="Mathematical Gazette">Mathematical Gazette</a> (1989), 73, S. 126–127 </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> <a href="/wiki/G%C3%BCnter_Aumann" title="Günter Aumann">Günter Aumann</a>: Kreisgeometrie, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662453056" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-45305-6</a>, Seiten 10–13 </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662638309" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-63830-9</a>, S. 148 </li> <li id="cite_note-Zeuge-30">↑ <a href="#cite_ref-Zeuge_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-Zeuge_30-1">b</a> Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, <a href="/wiki/Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag GmbH, <a href="/wiki/Berlin" title="Berlin">Berlin</a> 2021, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662638309" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-63830-9</a>, S. 33/167 </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="/wiki/Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="/wiki/Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="/wiki/Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503300" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50330-0</a>, S. 30. </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> Scott Coble: <cite style="font-style:italic">Proof with Words: An Efficient Trisection of a Line Segment</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematics Magazine</cite>. Band 67, Nr. 5, Dezember 1994, <a href="/wiki/Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220025-570X%22&key=cql">0025-570X</a>, S. 354, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/0025570X.1994.11996248">10.1080/0025570X.1994.11996248</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreis&rft.atitle=Proof+with+Words%3A+An+Efficient+Trisection+of+a+Line+Segment&rft.au=Scott+Coble&rft.date=1994-12&rft.doi=10.1080%2F0025570X.1994.11996248&rft.genre=journal&rft.issn=0025-570X&rft.issue=5&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.pages=354&rft.volume=67" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Hans Walser: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dritteln_Halbieren/Dritteln_Halbieren.pdf">Dritteln durch Halbieren.</a> (PDF) 3 Der elegante Weg. 1. April 2007, S. 1–2, abgerufen am 10. August 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreis&rft.title=Dritteln+durch+Halbieren&rft.description=Dritteln+durch+Halbieren&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.walser-h-m.ch%2Fhans%2FMiniaturen%2FD%2FDritteln_Halbieren%2FDritteln_Halbieren.pdf&rft.creator=Hans+Walser&rft.date=2007-04-01">  </li> <li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> <a href="/wiki/G%C3%BCnter_Aumann" title="Günter Aumann">Günter Aumann</a>: Kreisgeometrie, Springer Spektrum, Springer-Verlag <a href="/wiki/Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="/wiki/Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2015, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662453056" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-45305-6</a>, Seiten 237–240 </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Hurwitz: Quelques applications geometriques des series de Fourier. Annales de l’Ecole Normale, Band 19, 1902, S. 357–408. Der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Band 1, Springer, 1924, S. 45. </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4032962-8">4032962-8</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4032962-8">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4032962-8">OGND</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4032962-8">AKS</a>) </div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kreis&oldid=250843111">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kreis&oldid=250843111</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Kreis" title="Kategorie:Kreis">Kreis</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Kreisgeometrie" title="Kategorie:Kreisgeometrie">Kreisgeometrie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Kreis&returntoquery=section%3D68%26veaction%3Dedit" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich.">Benutzerkonto erstellen</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Kreis&returntoquery=section%3D68%26veaction%3Dedit" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Kreis" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Kreis" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" 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data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="Aragonesisch" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="exzellenter Artikel"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9" title="دائرة – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دائرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D8%B1%D9%87" title="دايره – Ägyptisches Arabisch" lang="arz" hreflang="arz" data-title="دايره" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="Ägyptisches Arabisch" class="interlanguage-link-target">مصرى</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%83%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4" title="বৃত্ত – Assamesisch" lang="as" hreflang="as" data-title="বৃত্ত" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="Assamesisch" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Circunferencia" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ay mw-list-item"><a href="https://ay.wikipedia.org/wiki/Muyu" title="Muyu – Aymara" lang="ay" hreflang="ay" data-title="Muyu" data-language-autonym="Aymar aru" data-language-local-name="Aymara" class="interlanguage-link-target">Aymar aru</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C3%87evr%C9%99" title="Çevrə – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Çevrə" 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title="Акружына – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Акружына" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%8A%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Окръжност – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Окръжност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%83%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4" title="বৃত্ত – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বৃত্ত" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link 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class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle" title="Cercle – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Cercle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Kreis_(Geometrii)" title="Kreis (Geometrii) – Nordfriesisch" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Kreis (Geometrii)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Nordfriesisch" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Ciorcal" title="Ciorcal – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Ciorcal" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%BD%A2" title="圓形 – Gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="圓形" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="Gan" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Serk" title="Serk – Französisch-Guayana Kreolisch" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Serk" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Französisch-Guayana Kreolisch" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Cearcall" title="Cearcall – Gälisch (Schottland)" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Cearcall" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="Gälisch (Schottland)" class="interlanguage-link-target">Gàidhlig</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Circunferencia" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B5%E0%AA%B0%E0%AB%8D%E0%AA%A4%E0%AB%81%E0%AA%B3" title="વર્તુળ – Gujarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="વર્તુળ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="Gujarati" class="interlanguage-link-target">ગુજરાતી</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gv mw-list-item"><a href="https://gv.wikipedia.org/wiki/Kiarkyl" title="Kiarkyl – Manx" lang="gv" hreflang="gv" data-title="Kiarkyl" data-language-autonym="Gaelg" data-language-local-name="Manx" class="interlanguage-link-target">Gaelg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A2%D7%92%D7%9C" title="מעגל – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="מעגל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%A4" title="वृत्त – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="वृत्त" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Circle" title="Circle – Fidschi-Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Circle" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fidschi-Hindi" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="Kružnica – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="Kružnica – Obersorbisch" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="Obersorbisch" class="interlanguage-link-target">Hornjoserbsce</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8k_(non)" title="Sèk (non) – Haiti-Kreolisch" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Sèk (non)" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="Haiti-Kreolisch" class="interlanguage-link-target">Kreyòl ayisyen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6r_(geometria)" title="Kör (geometria) – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kör (geometria)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%87%D6%80%D5%BB%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%A3%D5%AB%D5%AE" title="Շրջանագիծ – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Շրջանագիծ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Circulo" title="Circulo – Interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Circulo" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="Lingkaran – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Lingkaran" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Cirklo" title="Cirklo – Ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Cirklo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Ido" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hringur_(r%C3%BAmfr%C3%A6%C3%B0i)" title="Hringur (rúmfræði) – Isländisch" lang="is" hreflang="is" data-title="Hringur (rúmfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Isländisch" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Circonferenza" title="Circonferenza – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Circonferenza" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="円 (数学) – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="円 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Soerkl" title="Soerkl – Jamaikanisch-Kreolisch" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Soerkl" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaikanisch-Kreolisch" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Bunderan" title="Bunderan – Javanisch" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Bunderan" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="Javanisch" class="interlanguage-link-target">Jawa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AC%E1%83%A0%E1%83%94%E1%83%AC%E1%83%98%E1%83%A0%E1%83%98" title="წრეწირი – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="წრეწირი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tawinest" title="Tawinest – Kabylisch" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tawinest" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="Kabylisch" class="interlanguage-link-target">Taqbaylit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B5%D2%A3%D0%B1%D0%B5%D1%80" title="Шеңбер – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Шеңбер" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9A%E1%9E%84%E1%9F%92%E1%9E%9C%E1%9E%84%E1%9F%8B" title="រង្វង់ – Khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="រង្វង់" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="Khmer" class="interlanguage-link-target">ភាសាខ្មែរ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B5%E0%B3%83%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%A4" title="ವೃತ್ತ – Kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ವೃತ್ತ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="Kannada" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)" title="원 (기하학) – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="원 (기하학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Gilover" title="Gilover – Kurdisch" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Gilover" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="Kurdisch" class="interlanguage-link-target">Kurdî</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Kylgh" title="Kylgh – Kornisch" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Kylgh" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="Kornisch" class="interlanguage-link-target">Kernowek</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B9%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Айлана (математика) – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Айлана (математика)" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Circulus" title="Circulus – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Circulus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Krees_(Geometrie)" title="Krees (Geometrie) – Luxemburgisch" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Krees (Geometrie)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Luxemburgisch" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Sirculo" title="Sirculo – Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Sirculo" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target">Lingua Franca Nova</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="Cirkel – Limburgisch" lang="li" hreflang="li" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="Limburgisch" class="interlanguage-link-target">Limburgs</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rcc" title="Sércc – Lombardisch" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Sércc" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombardisch" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Apskritimas" title="Apskritimas – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Apskritimas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Ri%C5%86%C4%B7a_l%C4%ABnija" title="Riņķa līnija – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Riņķa līnija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Faribolana" title="Faribolana – Malagasy" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Faribolana" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="Malagasy" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D2%A5%D0%B3%D0%BE" title="Оҥго – Ostmari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Оҥго" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Ostmari" class="interlanguage-link-target">Олык марий</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-min mw-list-item"><a href="https://min.wikipedia.org/wiki/Lingkaran" title="Lingkaran – Minangkabau" lang="min" hreflang="min" data-title="Lingkaran" data-language-autonym="Minangkabau" data-language-local-name="Minangkabau" class="interlanguage-link-target">Minangkabau</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="exzellenter Artikel"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Кружница – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Кружница" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B5%E0%B5%83%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="വൃത്തം – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="വൃത്തം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B9%D1%80%D0%BE%D0%B3" title="Тойрог – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Тойрог" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%81%E0%A4%B3" title="वर्तुळ – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="वर्तुळ" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Bulatan" title="Bulatan – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Bulatan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%85%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%9D%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8" title="စက်ဝိုင်း – Birmanisch" lang="my" hreflang="my" data-title="စက်ဝိုင်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="Birmanisch" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Krink" title="Krink – Niederdeutsch" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Krink" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="Niederdeutsch" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%83%E0%A4%A4" title="वृत – Nepalesisch" lang="ne" hreflang="ne" data-title="वृत" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="Nepalesisch" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%9A%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%83" title="चाकः – Newari" lang="new" hreflang="new" data-title="चाकः" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="Newari" class="interlanguage-link-target">नेपाल भाषा</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="Cirkel – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Sirkel" title="Sirkel – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Sirkel" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Sirkel" title="Sirkel – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Sirkel" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Cercle" title="Cercle – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Cercle" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Geengoo" title="Geengoo – Oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Geengoo" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="Oromo" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AC%E0%AD%83%E0%AC%A4%E0%AD%8D%E0%AC%A4" title="ବୃତ୍ତ – Oriya" lang="or" hreflang="or" data-title="ବୃତ୍ତ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="Oriya" class="interlanguage-link-target">ଓଡ଼ିଆ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%9A%E0%A9%B1%E0%A8%95%E0%A8%B0" title="ਚੱਕਰ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਚੱਕਰ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pih mw-list-item"><a href="https://pih.wikipedia.org/wiki/Sirkil" title="Sirkil – Pitcairn-Englisch" lang="pih" hreflang="pih" data-title="Sirkil" data-language-autonym="Norfuk / Pitkern" data-language-local-name="Pitcairn-Englisch" class="interlanguage-link-target">Norfuk / Pitkern</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g" title="Okrąg – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Okrąg" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%DB%81" title="دائرہ – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="دائرہ" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D8%AF%DA%A9%D9%87" title="گردکه – Paschtu" lang="ps" hreflang="ps" data-title="گردکه" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="Paschtu" class="interlanguage-link-target">پښتو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia" title="Circunferência – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Circunferência" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/P%27allta_muyu" title="P'allta muyu – Quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="P'allta muyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="Quechua" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Cerc" title="Cerc – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Cerc" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-rup mw-list-item"><a href="https://roa-rup.wikipedia.org/wiki/%C8%9Aerc%C4%BEiu" title="Țercľiu – Aromunisch" lang="rup" hreflang="rup" data-title="Țercľiu" data-language-autonym="Armãneashti" data-language-local-name="Aromunisch" class="interlanguage-link-target">Armãneashti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Окружность – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Окружность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3" title="Круг – Russinisch" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Круг" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="Russinisch" class="interlanguage-link-target">Русиньскый</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/C%C3%ACrculu_(giometr%C3%ACa)" title="Cìrculu (giometrìa) – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Cìrculu (giometrìa)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Raing" title="Raing – Schottisch" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Raing" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="Schottisch" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D9%88%D9%84" title="گول – Sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="گول" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="Sindhi" class="interlanguage-link-target">سنڌي</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="Kružnica – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Circle" title="Circle – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Circle" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnica" title="Kružnica – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kružnica" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kro%C5%BEnica" title="Krožnica – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Krožnica" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Denderedzwa" title="Denderedzwa – Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Denderedzwa" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Shona" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Goobo" title="Goobo – Somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Goobo" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="Somali" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Rrethi" title="Rrethi – Albanisch" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Rrethi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Albanisch" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0" title="Кружница – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Кружница" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Bunderan_(%C3%A9lmu_ukur)" title="Bunderan (élmu ukur) – Sundanesisch" lang="su" hreflang="su" data-title="Bunderan (élmu ukur)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="Sundanesisch" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Cirkel" title="Cirkel – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Cirkel" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Duara" title="Duara – Suaheli" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Duara" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="Suaheli" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="வட்டம் – Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வட்டம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tamil" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B5%E0%B1%83%E0%B0%A4%E0%B1%8D%E0%B0%A4%E0%B0%AE%E0%B1%81" title="వృత్తము – Telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="వృత్తము" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="Telugu" 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mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Aylana" title="Aylana – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Aylana" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Sercio" title="Sercio – Venetisch" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Sercio" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetisch" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n" title="Đường tròn – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Đường tròn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Lidong" title="Lidong – Waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Lidong" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="Waray" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86" title="圆 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="圆" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Isazinge" title="Isazinge – Xhosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Isazinge" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="Xhosa" class="interlanguage-link-target">IsiXhosa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%96" title="קרייז – Jiddisch" lang="yi" hreflang="yi" data-title="קרייז" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Jiddisch" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%92b%C3%ACr%C3%ADpo" title="Òbìrípo – Yoruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Òbìrípo" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="Yoruba" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-za mw-list-item"><a href="https://za.wikipedia.org/wiki/Luenz" title="Luenz – Zhuang" lang="za" hreflang="za" data-title="Luenz" data-language-autonym="Vahcuengh" data-language-local-name="Zhuang" class="interlanguage-link-target">Vahcuengh</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86" title="圆 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="圆" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li 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