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Pépina sprawdzania pierwszości</span> </div> </a> <ul id="toc-Metoda_T._Pépina_sprawdzania_pierwszości-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Wzory_rekurencyjne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Wzory_rekurencyjne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Wzory rekurencyjne</span> </div> </a> <ul id="toc-Wzory_rekurencyjne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Własności</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Więcej_o_liczbach_pierwszych_Fermata" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Więcej_o_liczbach_pierwszych_Fermata"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Więcej o liczbach pierwszych Fermata</span> </div> </a> <ul id="toc-Więcej_o_liczbach_pierwszych_Fermata-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_pierwsze_Fermata_w_geometrii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_pierwsze_Fermata_w_geometrii"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Liczby pierwsze Fermata w geometrii</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_pierwsze_Fermata_w_geometrii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Liczby Fermata</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 41 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-41" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">41 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ang mw-list-item"><a href="https://ang.wikipedia.org/wiki/Fermat_t%C3%A6l" title="Fermat tæl – staroangielski" lang="ang" hreflang="ang" data-title="Fermat tæl" data-language-autonym="Ænglisc" data-language-local-name="staroangielski" class="interlanguage-link-target"><span>Ænglisc</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%81%D9%8A%D8%B1%D9%85%D8%A7" title="عدد فيرما – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد فيرما" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Ferma_%C9%99d%C9%99dl%C9%99ri" title="Ferma ədədləri – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Ferma ədədləri" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AB%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AE%E0%A6%BE_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="ফার্মা সংখ্যা – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ফার্মা সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BD%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="Число на Ферма – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Число на Ферма" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat" title="Nombre de Fermat – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre de Fermat" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Fermatovo_%C4%8D%C3%ADslo" title="Fermatovo číslo – czeski" lang="cs" 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Φερμά – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Αριθμός Φερμά" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number" title="Fermat number – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Fermat number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat" title="Número de Fermat – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Número de Fermat" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Nombro_de_Fermat" title="Nombro de Fermat – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Nombro de Fermat" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D9%81%D8%B1%D9%85%D8%A7" title="اعداد فرما – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="اعداد فرما" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat" title="Nombre de Fermat – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre de Fermat" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat" title="Número de Fermat – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número de Fermat" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88_%EC%88%98" title="페르마 수 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="페르마 수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%A5%D6%80%D5%B4%D5%A1%D5%B5%D5%AB_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Ֆերմայի թիվ – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆերմայի թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Fermat" title="Numero di Fermat – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero di Fermat" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A4%D7%A8%D7%9E%D7%94" title="מספר פרמה – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר פרמה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Ferma_skai%C4%8Dius" title="Ferma skaičius – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Ferma skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" 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data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Fermat-tallene" title="Fermat-tallene – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Fermat-tallene" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Fermattal" title="Fermattal – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Fermattal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_%C3%ABd_Fermat" title="Nùmer ëd Fermat – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" 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href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Fermat_number" title="Fermat number – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Fermat number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Fermatovo_pra%C5%A1tevilo" title="Fermatovo praštevilo – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Fermatovo praštevilo" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%D9%81%DB%8E%D8%B1%D9%85%D8%A7" title="ژمارەی فێرما – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارەی فێرما" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" 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data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%A1%E0%B8%B2" title="จำนวนแฟร์มา – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนแฟร์มา" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fermat_say%C4%B1lar%C4%B1" title="Fermat sayıları – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fermat sayıları" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0" title="Числа Ферма – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Числа Ферма" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_Fermat" title="Số Fermat – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số Fermat" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E6%95%B8" title="費馬數 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="費馬數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E6%95%B8" title="費馬數 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="費馬數" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q207264#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Liczby_Fermata" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Liczby_Fermata" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div 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href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" 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class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Liczby_Fermata"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Liczby_Fermata" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Liczby_Fermata" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&oldid=74685896" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej 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class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Liczby+Fermata"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Liczby_Fermata&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q207264" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" 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class="metadata plainlinks mbox mbox-content" tabindex="0"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75358068">.mw-parser-output .mbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid var(--color-progressive,#36c);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;margin:0 10%0.5em 10%;display:grid;padding:.3em;gap:.3em;grid-template-columns:60px 1fr;align-items:center;word-break:break-word}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:60px 1fr min-content}.mw-parser-output .mbox.without-icon{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .mbox-iconright,.mw-parser-output .mbox-icon{justify-self:center}.mw-parser-output .mbox-icon img{max-width:100%;object-fit:contain}.mw-parser-output .mbox p{font-size:inherit}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .mbox{margin-left:0;margin-right:0}}@media(max-width:600px){.mw-parser-output .mbox{width:100%}}@media(max-width:450px){.mw-parser-output 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srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></a></span></div></div> <div class="mbox-text"><b>Ten artykuł od 2012-03 wymaga <a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność">zweryfikowania</a> podanych informacji.</b><div class="hide-when-compact">Należy podać wiarygodne źródła w formie <a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">przypisów bibliograficznych</a>.<br /><small>Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.</small><br /><small><i>Sprawdź w źródłach:</i> <span class="plainlinks"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/szukaj/Liczby+Fermata.html">Encyklopedia PWN</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Liczby+Fermata%22">Google Books</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://scholar.google.com/scholar?q=%22Liczby+Fermata%22">Google Scholar</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://fbc.pionier.net.pl/search#fq={!tag=dcterms_accessRights}dcterms_accessRights%3A%22Dost%C4%99p%20otwarty%22&q=%22Liczby+Fermata%22">Federacja Bibliotek Cyfrowych</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://bazhum.muzhp.pl/artykul/lista/?generalQuery=%22Liczby+Fermata%22">BazHum</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://yadda.icm.edu.pl/baztech/search/page.action?qt=SEARCH&q=c_0language_0eq.all*sc.article*c_0keywords_0eq.Liczby+Fermata*l_0*c_0fulltext_0eq.all">BazTech</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://rcin.org.pl/dlibra/results?q=%22Liczby+Fermata%22&action=SimpleSearchAction&type=-6&p=0">RCIN</a> • Internet Archive (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/texts?query=%22Liczby+Fermata%22">texts</a> / <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/inlibrary?query=%22Liczby+Fermata%22">inlibrary</a>)</span></small><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%">Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w <a href="/wiki/Dyskusja:Liczby_Fermata" title="Dyskusja:Liczby Fermata">dyskusji tego artykułu</a>.</span><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%"> Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon <a href="/wiki/Szablon:Dopracowa%C4%87" title="Szablon:Dopracować">{{Dopracować}}</a> z tego artykułu.</span></div></div> </div> <p><b>Liczba Fermata</b> – <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczba naturalna</a> postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c168e5c8ec2740a7e6eab3f171c979166f1c96d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.643ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> jest nieujemną liczbą całkowitą<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup>. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Fermata</a>, który pierwszy badał ich własności. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Faktoryzacje_liczb_Fermata">Faktoryzacje liczb Fermata</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Faktoryzacje liczb Fermata" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Faktoryzacje liczb Fermata"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Oto kilka początkowych liczb Fermata: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011ef490862f8f275f6dbf3ee5355688a0b6e934" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.128ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{0}=2^{1}+1=3}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a51a2c7a5a330f4276a2e159d646bef36c83ee2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.128ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{1}=2^{2}+1=5}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>17</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6729f3187a108a450339dd1bd56160b4462a283b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.29ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{2}=2^{4}+1=17}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>257</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a046b2a37f4e05e91a72bab8942e6a6bec90d07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.453ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{3}=2^{8}+1=257}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>16</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>65537</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c74718c51471976825a1278adba102372a390b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.6ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{4}=2^{16}+1=65537}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>4294967297</mn> <mo>=</mo> <mn>641</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6700417</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bdd7341446cce1c96f8bed341183bb5f28483c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:43.814ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>64</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>18446744073709551617</mn> <mo>=</mo> <mn>274177</mn> <mo>⋅</mo> <mn>67280421310721</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071af93ad02e6490b1fb535e72f467917185b54d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:67.063ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>128</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>340282366920938463463374607431768211457</mn> <mo>=</mo> <mn>59649589127497217</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5704689200685129054721</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c2f44697f9b8b0610c0c98d9477abdbe3d3f86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:112.058ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liczby_Fermata_a_pierwszość"><span id="Liczby_Fermata_a_pierwszo.C5.9B.C4.87"></span>Liczby Fermata a pierwszość</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Liczby Fermata a pierwszość" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby Fermata a pierwszość"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Początkowe liczby Fermata <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0},\dots ,F_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0},\dots ,F_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63227be5b2d7e342376f098a7887091db82fc56b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.276ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{0},\dots ,F_{4}}"></span> są <a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczbami pierwszymi</a>. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27f57a4191be088259902a790ef2fb093ffb812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}"></span> są pierwsze, jednak <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> w roku <a href="/wiki/1732" title="1732">1732</a> pokazał, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>4294967297</mn> <mo>=</mo> <mn>641</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6700417</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577005785f1903cb95f67b0528bfe39000f99db5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417,}"></span> czyli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64647603e8358bf2b07099963d5ac2d8b75ee9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5}}"></span> jest <a href="/wiki/Liczby_z%C5%82o%C5%BCone" title="Liczby złożone">liczbą złożoną</a>. </p><p>Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04089d80bca8d0feb1843cfe2f7b81ffffcb970" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.88ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}}"></span> i nie wiadomo, czy jest ich więcej. </p><p>Zauważmy, że jeżeli liczba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e2d6ae605ac99baf648b70d204a3c9803a4d9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.384ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}+1}"></span> jest liczbą pierwszą, to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Metoda_T._Pépina_sprawdzania_pierwszości"><span id="Metoda_T._P.C3.A9pina_sprawdzania_pierwszo.C5.9Bci"></span>Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W roku 1877 francuski matematyk <a href="/w/index.php?title=Theophile_P%C3%A9pin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Theophile Pépin (strona nie istnieje)">Theophile Pépin</a> określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą. </p><p>Dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957e317312fd02f34c1d1c8c80bd8484c29fde6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n>1,}"></span> jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=(F_{n}-1)/2,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=(F_{n}-1)/2,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4deb00f3f8dd02386532a157c54fb16428b5af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m=(F_{n}-1)/2,}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{m}+1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{m}+1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6156a3bbaf52eab61a8668e545f9150f78b8dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.487ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3^{m}+1.}"></span> </p> <dl><dt>Przykład</dt></dl> <ul><li>liczba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}=17,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>17</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}=17,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd8b630e5f6bb983f27aa060d8febda597688cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.619ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}=17,}"></span></li> <li>zatem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=8,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=8,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f560052ea2044542ad36f7b144bde4cd8c495fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.948ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m=8,}"></span></li> <li>więc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{8}+1=6562,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>6562</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{8}+1=6562,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e4c2bec8ba7a1cb3192d8e547744f23b531be7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.615ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 3^{8}+1=6562,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6562/17=386}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6562</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>17</mn> <mo>=</mo> <mn>386</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6562/17=386}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0dd9964ccca20539c4ec00e859903cb9d0c5b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.723ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 6562/17=386}"></span></li> <li>dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2f97c07985b12b3aa154f0db1f2f7b3860a445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.196ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}.}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wzory_rekurencyjne">Wzory rekurencyjne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Wzory rekurencyjne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wzory rekurencyjne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Liczby Fermata spełniają następujące <a href="/wiki/Rekurencja" title="Rekurencja">zależności rekurencyjne</a>: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efcfe7930fb9cc3e7f6eeb75766483670f9ff986" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.141ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f46f73479092a2752d48f7ef33bd8ad12442ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.859ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2},}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f60105c73efcfa7bfba308dfcb91977207672e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:26.955ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42e25a368baa3cee4a5f1e1db0a00d38e197a9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}"></span></li></ul> <p>dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geqslant 2.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>2.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geqslant 2.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef531dc15f422dd2c2e3f175d6bc3d4c4a4701ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.302ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geqslant 2.}"></span> </p><p>Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu <a href="/wiki/Indukcja_matematyczna" title="Indukcja matematyczna">indukcji matematycznej</a>. Z ostatniej z nich wynika <b>twierdzenie Goldbacha</b>: </p> <blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;"><p>wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze</p></blockquote> <p>Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Kilka dalszych własności liczb Fermata: </p> <ul><li>Jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geqslant 2,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geqslant 2,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654e5067f90ffe435e001fc5153bc8e92b2ade63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\geqslant 2,}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo }}41{\pmod {72}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <mn>17</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> albo </mtext> </mstyle> </mrow> <mn>41</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>72</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo }}41{\pmod {72}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5394da699902dbd354062875d8f79404e9edea82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo }}41{\pmod {72}}}"></span> (zobacz: <a href="/wiki/Kongruencja" class="mw-disambig" title="Kongruencja">kongruencja</a>)</li> <li>Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geqslant 2,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geqslant 2,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654e5067f90ffe435e001fc5153bc8e92b2ade63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\geqslant 2,}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo }}97{\pmod {100}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <mn>17</mn> <mo>,</mo> <mn>37</mn> <mo>,</mo> <mn>57</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> albo </mtext> </mstyle> </mrow> <mn>97</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mn>100</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo }}97{\pmod {100}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0697354447080f793e0c97cfe9a21854de0f0c38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo }}97{\pmod {100}}.}"></span></li> <li>Liczba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(n,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(n,b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e35cc71217e4f2c50ca12eee7d25c28e3edadce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(n,b)}"></span> cyfr liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> w pozycyjnym <a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemie liczbowym</a> o podstawie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> jest równa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>≈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a42cba463ce6b825568e5694e63228087a67b73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:48.366ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor }"></span> (zobacz: <a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">funkcja podłoga</a>)</li> <li>Żadna liczba Fermata oprócz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}=5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aed80ee739484183d13636183bfcacf82e23974" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.81ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}=5}"></span> nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.</li> <li>Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span>-tych potęg, gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"></span> jest liczbą pierwszą większą od 2.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Więcej_o_liczbach_pierwszych_Fermata"><span id="Wi.C4.99cej_o_liczbach_pierwszych_Fermata"></span>Więcej o liczbach pierwszych Fermata</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Więcej o liczbach pierwszych Fermata" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Więcej o liczbach pierwszych Fermata"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dowodząc, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64647603e8358bf2b07099963d5ac2d8b75ee9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5}}"></span> jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy <a href="/wiki/Dzielnik" title="Dzielnik">dzielnik</a> liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> musi mieć postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k2^{n+1}+1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k2^{n+1}+1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df07a15072d98f8165a439deb3bfd7643a5728b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k2^{n+1}+1.}"></span> Dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb41e9a10a8fd7179b9170149a8d70949ba5d03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=5}"></span> oznacza to, że jedynie liczby postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 64k+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>64</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 64k+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e92df653178bb104e03f868f45044998f65cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.539ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 64k+1}"></span> mogą dzielić <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8fde13d82e9a8012bfdcb84c72827a5b57a8b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.36ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n};}"></span> dla biegłych w arytmetyce matematyków <a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wieku</a> sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae06b7800cad9154c30f06cc3e9ef2fb36c0e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.196ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5},}"></span> nie było żadnym problemem. </p><p>Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte: </p> <ul><li>Czy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> jest liczbą złożoną dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6b13dc8b113121cdaf76a723a61aa4f8be1468" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>4}"></span>?</li> <li>Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?</li> <li>Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?</li></ul> <p>W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> <mo>⩽</mo> <mn>32</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2540bbac1036753b73c3b1aa1acc9dab6dfb465" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.079ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32}"></span> wszystkie liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.713ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}}"></span> są złożone, jednak ich rozkłady na <a href="/wiki/Czynnik_pierwszy" title="Czynnik pierwszy">czynniki pierwsze</a> znane są jedynie dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\leqslant 11.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩽</mo> <mn>11.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\leqslant 11.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85891106cabf5c5c148f2e17955e5c9725549f0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.465ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\leqslant 11.}"></span> Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2478782},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2478782</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2478782},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539987d1aa7319a2194066e7f32a0ef4891258ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.128ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2478782},}"></span> a jednym z jej czynników pierwszych jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\cdot 2^{2478785}+1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2478785</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot 2^{2478785}+1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69303958a52340e08dc6b4b796c1f47b3ec8e116" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.64ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot 2^{2478785}+1.}"></span> </p><p>27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=35563}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>35563</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=35563}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42c6565e5e5edbc545c3be562efcdfad3e4df91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.305ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=35563}"></span> liczba Fermata ma dzielnik: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 357\cdot 2^{35567}+1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>357</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>35567</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 357\cdot 2^{35567}+1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51db856c2b8d17d30723bc7f55f5ddef2fca080" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.321ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 357\cdot 2^{35567}+1.}"></span> </p><p>Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza. </p> <ul><li><b>Twierdzenie Protha:</b> Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=k2^{m}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=k2^{m}+1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1779082b2f1cbe444f8da97afdd3a6f430517b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.86ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N=k2^{m}+1,}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span> jest nieparzyste i mniejsze od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{m}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{m}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130be2e7f5f9e731d6e9b27cadce146b5f04f654" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.484ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{m}.}"></span> Jeżeli istnieje liczba całkowita <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> taka, że:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6adf05fa7b48a596fbd57f26ad82f0bb1243914" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.762ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}"></span></dd></dl> <p>to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa <a href="/wiki/Kongruencja" class="mw-disambig" title="Kongruencja">kongruencja</a> nie zachodzi oraz </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff862fa65a1e21a7e0fed28567ae13d53c074db7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.744ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}"></span> (zobacz: <a href="/wiki/Symbol_Jacobiego" title="Symbol Jacobiego">symbol Jacobiego</a>),</dd></dl> <p>to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> jest liczbą złożoną. Jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=F_{n}>3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=F_{n}>3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb92e6298702a8ef8eaf8e9ea0070646daf848f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N=F_{n}>3,}"></span> to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ae9e73ea72a95921a7fbeba221311687f1367" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.617ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1.}"></span> </p> <ul><li>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geqslant 3-n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geqslant 3-n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ed422e7fc02536540b8eafba620751e2e5cba7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.891ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geqslant 3-n}"></span> jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> <a href="/wiki/Liczby_wzgl%C4%99dnie_pierwsze" title="Liczby względnie pierwsze">względnie pierwszej</a> z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.042ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> jest <a href="/w/index.php?title=Pierwiastek_pierwotny_modulo_n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pierwiastek pierwotny modulo n (strona nie istnieje)">pierwiastkiem pierwotnym</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bmod {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765861f03d1b5da3468266cce9956348f4440dd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\bmod {n}}}"></span> wtedy i tylko wtedy, gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> jest <a href="/wiki/Niereszta_kwadratowa_modulo" title="Niereszta kwadratowa modulo">nieresztą kwadratową</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bmod {n}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bmod {n}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd607456234b743bebb48b526964fc3a8b9268a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.723ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\bmod {n}}.}"></span></li> <li>Liczba Fermata <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}>3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}>3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537c2797f771631e31505486be4c17af2043ad48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.974ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n}>3}"></span> jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48b254a18ea4add082fe1c88d7a5af4bb6f9335" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.232ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.}"></span></dd></dl> <p>Stąd nowy dowód, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64647603e8358bf2b07099963d5ac2d8b75ee9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5}}"></span> nie jest pierwsza, bowiem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>62264</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>20449</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc754fd5504d96dcefa93bd12b8c2f25547f6369" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.868ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.}"></span> Podobnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>4046803256</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>1438793759</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea439566a26234a7ebf899f4682cf5bd5d4a4bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:33.845ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>16382350221535464479</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mn>8479443857936402504</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083c325e524fd818b59faa956cc90fa6c6ce8154" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:56.579ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liczby_pierwsze_Fermata_w_geometrii">Liczby pierwsze Fermata w geometrii</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Liczby pierwsze Fermata w geometrii" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby pierwsze Fermata w geometrii"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Twierdzenie_Gaussa-Wantzela" title="Twierdzenie Gaussa-Wantzela">Twierdzenie Gaussa-Wantzela</a> mówi, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>-kąt <a href="/wiki/Wielok%C4%85t_foremny" title="Wielokąt foremny">foremny</a> daje się skonstruować <a href="/wiki/Konstrukcje_klasyczne" title="Konstrukcje klasyczne">za pomocą cyrkla i linijki</a> wtedy i tylko wtedy, gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> jest liczbą postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1544c3f82ddc324e34fffc1626600850e22bb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.016ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7d85d4f91baa860c29c71d5ad7bb39bd169835" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:11.888ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots p_{s}}"></span> są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (k=0,s=1,p_{1}=F_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (k=0,s=1,p_{1}=F_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e38cd7490164468429ad014a01de2609c02ab7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.572ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (k=0,s=1,p_{1}=F_{1})}"></span> i sześciokąt foremny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f214437e6207652360aaebb4cfba5379c7df9842" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),}"></span> ale już nie siedmiokąt foremny. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3900479"><i>Fermata liczba</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-09-15]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Fermata+liczba&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3900479" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczby_Fermata&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=1FaasAqSblY">Liczby Fermata</a></i>, <a href="/wiki/Wydzia%C5%82_Matematyki_i_Nauk_Informacyjnych_Politechniki_Warszawskiej" title="Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej">Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej</a> (MiNI <a href="/wiki/Politechnika_Warszawska" title="Politechnika Warszawska">PW</a>), kanał „Archipelag Matematyki” na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 10 października 2017 [dostęp 2024-09-04].</li> <li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html"><i>Fermat Number</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Fermat+Number&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFermatNumber.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2022-07-02].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fermat_prime">Fermat prime</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: 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.opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Typy_liczb_naturalnych" title="Szablon:Typy liczb naturalnych"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Typy_liczb_naturalnych&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Typy liczb naturalnych (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Typy_liczb_naturalnych&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption">Typy <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczb naturalnych</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_jawny" title="Wzór jawny">jawnymi</a> wzorami <a href="/wiki/Funkcja_algebraiczna" title="Funkcja algebraiczna">algebraicznymi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_czworo%C5%9Bcienne" title="Liczby czworościenne">czworościenne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">kwadratowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_o%C5%9Bmio%C5%9Bcienne" title="Liczby ośmiościenne">ośmiościenne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_piramidalne" title="Liczby piramidalne">piramidalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_tr%C3%B3jk%C4%85tne" title="Liczby trójkątne">trójkątne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">jawnymi wzorami <a href="/wiki/Funkcja_przest%C4%99pna" class="mw-redirect" title="Funkcja przestępna">przestępnymi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_Cullena" title="Liczby Cullena">Cullena</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Fermata</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_jedynkowe" title="Liczby jedynkowe">jedynkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Mersenne%E2%80%99a" title="Liczby Mersenne’a">Mersenne’a</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">wzorami <a href="/wiki/Rekurencja" title="Rekurencja">rekurencyjnymi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_Bella" title="Liczby Bella">Bella</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Catalana" title="Liczby Catalana">Catalana</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Eulera" title="Liczby Eulera">Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego" title="Ciąg Fibonacciego">Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Pella" title="Liczby Pella">Pella</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Stirlinga" title="Liczby Stirlinga">Stirlinga</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_%CF%83" title="Funkcja σ">sumą dzielników</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_deficytowe" title="Liczby deficytowe">deficytowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_doskona%C5%82e" title="Liczby doskonałe">doskonałe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_nadmiarowe" title="Liczby nadmiarowe">nadmiarowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_na_czynniki" title="Rozkład na czynniki">faktoryzacją</a> (<a href="/wiki/Czynnik_pierwszy" title="Czynnik pierwszy">czynnikami pierwszymi</a>)</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_bezkwadratowe" title="Liczby bezkwadratowe">bezkwadratowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_sfeniczne" title="Liczby sfeniczne">sfeniczne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_g%C5%82adkie" title="Liczby gładkie">gładkie</a></li> <li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">nieparzyste</a></li> <li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">pierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_z%C5%82o%C5%BCone" title="Liczby złożone">złożone</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_p%C3%B3%C5%82pierwsze" title="Liczby półpierwsze">półpierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_sfeniczne" title="Liczby sfeniczne">sfeniczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a1_6"><th class="navbox-group opis" scope="row">własnościami <a href="/wiki/System_dziesi%C4%99tny" class="mw-redirect" title="System dziesiętny">zapisu dziesiętnego</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_Armstronga" title="Liczby Armstronga">Armstronga</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_autobiograficzne" title="Liczby autobiograficzne">autobiograficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_automorficzne" title="Liczby automorficzne">automorficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Nivena" title="Liczby Nivena">Nivena</a></li> <li><a href="/wiki/Palindrom" title="Palindrom">palindromiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Smitha" title="Liczby Smitha">Smitha</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_weso%C5%82e" title="Liczby wesołe">wesołe</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy <a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczb pierwszych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_bli%C5%BAniacze" title="Liczby bliźniacze">bliźniacze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_czworacze" title="Liczby czworacze">czworacze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze_Fibonacciego" title="Liczby pierwsze Fibonacciego">Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze_Germain" title="Liczby pierwsze Germain">Germain</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze_Ramanujana" title="Liczby pierwsze Ramanujana">Ramanujana</a></li> <li><a href="/wiki/Regularne_liczby_pierwsze" title="Regularne liczby pierwsze">regularne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze_Wiefericha" title="Liczby pierwsze Wiefericha">Wiefericha</a></li> <li><a href="/wiki/Para_Wiefericha" title="Para Wiefericha">pary Wiefericha</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne typy liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_Carmichaela" title="Liczby Carmichaela">Carmichaela</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jki_pitagorejskie" title="Trójki pitagorejskie">pitagorejskie</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pseudopierwsze" title="Liczby pseudopierwsze">pseudopierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Sierpi%C5%84skiego" title="Liczby Sierpińskiego">Sierpińskiego</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_taks%C3%B3wkowe" title="Liczby taksówkowe">taksówkowe</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Ci%C4%85gi_liczbowe" title="Szablon:Ciągi liczbowe"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Ci%C4%85gi_liczbowe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Ciągi liczbowe (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Ci%C4%85gi_liczbowe&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">Ciągi</a> liczbowe</div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia<br />definiujące</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ciągi ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcja</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">ciągi liczbowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczba</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy ciągów</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończone</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">para uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Krotka_(struktura_danych)" title="Krotka (struktura danych)">krotka</a></li> <li><a href="/wiki/Lista" title="Lista">lista</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Niesko%C5%84czono%C5%9B%C4%87" title="Nieskończoność">nieskończone</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">nieograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego" title="Ciąg Cauchy’ego">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Granica_ci%C4%85gu" title="Granica ciągu">zbieżne i rozbieżne</a> <ul><li><a href="/wiki/Granica_niew%C5%82a%C5%9Bciwa_funkcji" title="Granica niewłaściwa funkcji">rozbieżne do nieskończoności</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sumowalno%C5%9B%C4%87_metod%C4%85_Ces%C3%A0ro" title="Sumowalność metodą Cesàro">sumowalne metodą Cesàro</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_(matematyka)" title="Szereg (matematyka)">szeregi liczbowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Szereg_geometryczny" title="Szereg geometryczny">geometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_harmoniczny" title="Szereg harmoniczny">harmoniczne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_naprzemienny" title="Szereg naprzemienny">naprzemienne</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_Dirichleta" title="Szereg Dirichleta">Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">ułamki dziesiętne nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony" title="Iloczyn nieskończony">nieskończone iloczyny</a> liczbowe</li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy" title="Ułamek łańcuchowy">ułamki łańcuchowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_arytmetyczna" title="Funkcja arytmetyczna">funkcje arytmetyczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_addytywna_(teoria_liczb)" title="Funkcja addytywna (teoria liczb)">addytywne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_multiplikatywna" title="Funkcja multiplikatywna">multyplikatywne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">niemalejące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">nierosnące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">rosnące</a> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_superrosn%C4%85cy" title="Ciąg superrosnący">superrosnące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">malejące</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">stałe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe</a> <ul><li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_arytmetyczny" title="Ciąg arytmetyczny">arytmetyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_geometryczny" title="Ciąg geometryczny">geometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">ułamki dziesiętne</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">przykłady ciągów<br />liczb naturalnych</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">niemalejące</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Eulera" title="Ciąg Eulera">ciąg Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego" title="Ciąg Fibonacciego">ciąg Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_licz%C4%85ca_liczby_pierwsze" title="Funkcja licząca liczby pierwsze">funkcja pi (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span> – licząca liczby pierwsze)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Liouville%E2%80%99a" title="Funkcja Liouville’a">funkcja Liouville’a</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Armstronga" title="Liczby Armstronga">liczby Armstronga</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_autobiograficzne" title="Liczby autobiograficzne">liczby autobiograficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_automorficzne" title="Liczby automorficzne">liczby automorficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_bezkwadratowe" title="Liczby bezkwadratowe">liczby bezkwadratowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Carmichaela" title="Liczby Carmichaela">liczby Carmichaela</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Cullena" title="Liczby Cullena">liczby Cullena</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_czworo%C5%9Bcienne" title="Liczby czworościenne">liczby czworościenne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_deficytowe" title="Liczby deficytowe">liczby deficytowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_doskona%C5%82e" title="Liczby doskonałe">liczby doskonałe</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">liczby Fermata</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_g%C5%82adkie" title="Liczby gładkie">liczby gładkie</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Mersenne%E2%80%99a" title="Liczby Mersenne’a">liczby Mersenne’a</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_nadmiarowe" title="Liczby nadmiarowe">liczby nadmiarowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Nivena" title="Liczby Nivena">liczby Nivena</a></li> <li><a href="/wiki/Palindrom" title="Palindrom">liczby palindromiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Pella" title="Liczby Pella">liczby Pella</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczby pierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_piramidalne" title="Liczby piramidalne">liczby piramidalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_p%C3%B3%C5%82pierwsze" title="Liczby półpierwsze">liczby półpierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_pseudopierwsze" title="Liczby pseudopierwsze">liczby pseudopierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Smitha" title="Liczby Smitha">liczby Smitha</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_sfeniczne" title="Liczby sfeniczne">liczby sfeniczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Sierpi%C5%84skiego" title="Liczby Sierpińskiego">liczby Sierpińskiego</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_taks%C3%B3wkowe" title="Liczby taksówkowe">liczby taksówkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_tr%C3%B3jk%C4%85tne" title="Liczby trójkątne">liczby trójkątne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_weso%C5%82e" title="Liczby wesołe">liczby wesołe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_z%C5%82o%C5%BCone" title="Liczby złożone">liczby złożone</a></li> <li><a href="/wiki/Silnia" title="Silnia">silnia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Problem_Collatza" title="Problem Collatza">funkcja Collatza</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%84" title="Funkcja τ">funkcja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> (tau)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%83" title="Funkcja σ">funkcja <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> (sigma)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_M%C3%B6biusa" title="Funkcja Möbiusa">funkcja Möbiusa</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Mertensa" title="Funkcja Mertensa">funkcja Mertensa</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_%CF%86" title="Funkcja φ">tocjent Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Carmichaela" title="Funkcja Carmichaela">funkcja lambda Carmichaela</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_pierwsza_omega" title="Funkcja pierwsza omega"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }"></span> (funkcja pierwsza omega)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_pierwsza_omega" title="Funkcja pierwsza omega"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"></span> (funkcja druga omega)</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_Kempnera" title="Funkcja Kempnera">funkcja Kempnera</a></li> <li><a href="/wiki/Podsilnia" title="Podsilnia">podsilnia</a></li> <li><a href="/wiki/Suma_alikwotowa" title="Suma alikwotowa">suma alikwotowa</a></li> <li><a href="/wiki/Szereg_Grandiego" title="Szereg Grandiego">szereg Grandiego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przykłady<br />ciągów liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Charakter_Dirichleta" title="Charakter Dirichleta">charakter Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fareya" title="Ciąg Fareya">ciąg Fareya</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_von_Mangoldta" title="Funkcja von Mangoldta">funkcja von Mangoldta</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Bernoulliego" title="Liczby Bernoulliego">liczby Bernoulliego</a></li> <li><a href="/wiki/Problem_bazylejski" title="Problem bazylejski">problem bazylejski</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_harmoniczny" title="Ciąg harmoniczny">ciąg harmoniczny</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">ułamki egipskie</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga" title="Wzór Stirlinga">wzór Stirlinga</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">o <a href="/wiki/Granica_ci%C4%85gu" title="Granica ciągu">granicach</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Bolzana-Weierstrassa" title="Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa">Bolzana-Weierstrassa</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dw%C3%B3ch_ci%C4%85gach" title="Twierdzenie o dwóch ciągach">o dwóch ciągach</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_trzech_ci%C4%85gach" title="Twierdzenie o trzech ciągach">o trzech ciągach</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ci%C4%85gu_monotonicznego" title="Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego">o zbieżności ciągu monotonicznego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_%C5%9Brednich" title="Twierdzenie o zbieżności średnich">o zbieżności średnich</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Stolza" title="Twierdzenie Stolza">Stolza</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_ci%C4%85gach_jednomonotonicznych" title="Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych">o ciągach jednomonotonicznych</a></li> <li><a href="/wiki/To%C5%BCsamo%C5%9B%C4%87_Czebyszewa" title="Tożsamość Czebyszewa">nierówność Czebyszewa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Podci%C4%85g_(matematyka)" title="Podciąg (matematyka)">podciąg</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_uog%C3%B3lniony" title="Ciąg uogólniony">ciąg uogólniony</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_Dirichleta" title="Splot Dirichleta">splot Dirichleta</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbole nieoznaczone</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a></span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4672709-7">4672709-7</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph195830">ph195830</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007532614505171">987007532614505171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3900479.html">3900479</a></span></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/Fermat-prime">topic/Fermat-prime</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=Fermat-tal">Fermat-tal</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczby_Fermata&oldid=74685896">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczby_Fermata&oldid=74685896</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Rodzaje_liczb_naturalnych" title="Kategoria:Rodzaje liczb naturalnych">Rodzaje liczb naturalnych</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Konstrukcje_klasyczne" title="Kategoria:Konstrukcje klasyczne">Konstrukcje klasyczne</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryta kategoria: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_wymagaj%C4%85ce_uzupe%C5%82nienia_%C5%BAr%C3%B3de%C5%82_od_2012-03" title="Kategoria:Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2012-03">Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2012-03</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 4 wrz 2024, 22:44.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczby_Fermata&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-694cf4987f-hm6z8","wgBackendResponseTime":779,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.401","walltime":"0.602","ppvisitednodes":{"value":1318,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":62446,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":2672,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":1,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":24390,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":4,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 366.649 1 -total"," 36.73% 134.667 7 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 32.01% 117.367 1 Szablon:Typy_liczb_naturalnych"," 26.37% 96.702 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 22.34% 81.903 1 Szablon:Dopracować"," 16.43% 60.246 1 Szablon:Mbox"," 8.19% 30.032 1 Szablon:Przypisy"," 6.21% 22.764 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 4.91% 18.009 1 Szablon:MathWorld"," 3.82% 14.011 1 Szablon:Ciągi_liczbowe"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.204","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3565480,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-694cf4987f-hm6z8","timestamp":"20241126072506","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Liczby Fermata","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Liczby_Fermata","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q207264","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q207264","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-06-20T07:53:06Z","headline":"ci\u0105g liczb naturalnych zdefiniowany wzorem"}</script> </body> </html>