CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available" lang="nb" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Vis kilden til Derivasjon – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )nowikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januar","februar","mars","april","mai","juni","juli","august","september","oktober","november","desember"],"wgRequestId":"f9df1419-5b01-426c-9259-7edeb7d24725","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Derivasjon","wgTitle":"Derivasjon","wgCurRevisionId":23920936,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":38111,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[],"wgPageViewLanguage":"nb","wgPageContentLanguage":"nb","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Derivasjon","wgRelevantArticleId":38111,"wgTempUserName":null,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"nb", "pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"nb"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.InterProjectLinks":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","skins.vector.search.codex.styles":"ready", "skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.charinsert.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.edit.collapsibleFooter","site","mediawiki.page.ready","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.charinsert","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.wikiEditorKnapper","ext.gadget.link-missing-label","ext.gadget.new-section","ext.gadget.superinterwiki","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=ext.charinsert.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=nb&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=ext.gadget.InterProjectLinks&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nb&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Vis kilden til Derivasjon – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//no.m.wikipedia.org/wiki/Derivasjon"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Rediger" href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (nb)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//no.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://no.wikipedia.org/wiki/Derivasjon"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.no"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Atom-mating" href="/w/index.php?title=Spesial:Siste_endringer&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Derivasjon rootpage-Derivasjon skin-vector-2022 action-edit"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Hopp til innhold</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Nettsted"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hovedmeny" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Hovedmeny</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hovedmeny</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">skjul</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigasjon </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Forside" title="Gå til hovedsiden [z]" accesskey="z"><span>Forside</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Tilfeldig" title="Vis en tilfeldig side [x]" accesskey="x"><span>Tilfeldig side</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hjelp:Portal" title="Stedet for å få hjelp"><span>Hjelp</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Siste_endringer" title="Liste over siste endringer på wikien. [r]" accesskey="r"><span>Siste endringer</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-prosjekt" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-prosjekt" > <div class="vector-menu-heading"> Prosjekt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Prosjektportal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal"><span>Prosjektportal</span></a></li><li id="n-bidra" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Bidra_til_Wikipedia"><span>Hvordan bidra?</span></a></li><li id="n-tinget" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tinget"><span>Tinget</span></a></li><li id="n-torget" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Torget"><span>Torget</span></a></li><li id="n-konkurranser" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Konkurranser"><span>Konkurranser</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Wikipedia" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Wikipedia" > <div class="vector-menu-heading"> Wikipedia </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-kontakt" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt"><span>Kontakt Wikipedia</span></a></li><li id="n-wmno" class="mw-list-item"><a href="https://www.wikimedia.no" rel="nofollow" title="Medlemsorganisasjon for wikipedianere"><span>Wikimedia Norge</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Forside" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-no.svg" width="121" height="14" style="width: 7.5625em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Spesial:S%C3%B8k" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Søk i Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Søk</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Søk i Wikipedia" aria-label="Søk i Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Søk i Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Spesial:Søk"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Søk</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Personlig"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Endre skriftstørrelse, bredde og farge på siden." > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Utseende" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Utseende</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_no.wikipedia.org&uselang=nb" class=""><span>Doner</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Spesial:Opprett_konto&returnto=Derivasjon&returntoquery=action%3Dedit%26section%3D1" title="Du oppfordres til å opprette en konto og logge inn, men det er ikke obligatorisk" class=""><span>Opprett konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Spesial:Logg_inn&returnto=Derivasjon&returntoquery=action%3Dedit%26section%3D1" title="Du oppfordres til å logge inn, men det er ikke obligatorisk [o]" accesskey="o" class=""><span>Logg inn</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out user-links-collapsible-item" title="Flere alternativer" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Personlig" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Personlig</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Brukermeny" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_no.wikipedia.org&uselang=nb"><span>Doner</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:Opprett_konto&returnto=Derivasjon&returntoquery=action%3Dedit%26section%3D1" title="Du oppfordres til å opprette en konto og logge inn, men det er ikke obligatorisk"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Opprett konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:Logg_inn&returnto=Derivasjon&returntoquery=action%3Dedit%26section%3D1" title="Du oppfordres til å logge inn, men det er ikke obligatorisk [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Logg inn</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Nettsted"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Vis kilden til Derivasjon</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Artikkelen finnes kun på dette språket. Legg til artikkelen på andre språk" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-0" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Legg til språk</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="uls-after-portlet-link"></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Navnerom"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Derivasjon" title="Vis innholdssiden [c]" accesskey="c"><span>Artikkel</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Diskusjon:Derivasjon" rel="discussion" title="Diskusjon om innholdssiden [t]" accesskey="t"><span>Diskusjon</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Bytt språkvariant" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">norsk bokmål</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Visninger"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Derivasjon"><span>Les</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&veaction=edit" title="Rediger siden [v]" accesskey="v"><span>Rediger</span></a></li><li id="ca-edit" class="selected collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=edit" title="Rediger kildekoden for denne siden"><span>Rediger kilde</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=history" title="Tidligere sideversjoner av denne siden [h]" accesskey="h"><span>Vis historikk</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sideverktøy"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Verktøy" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Verktøy</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Verktøy</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">skjul</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Flere alternativer" > <div class="vector-menu-heading"> Handlinger </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Derivasjon"><span>Les</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&veaction=edit" title="Rediger siden [v]" accesskey="v"><span>Rediger</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="selected collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=edit" title="Rediger kildekoden for denne siden [e]" accesskey="e"><span>Rediger kilde</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=history"><span>Vis historikk</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Generelt </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Lenker_hit/Derivasjon" title="Liste over alle wikisider som lenker hit [j]" accesskey="j"><span>Lenker hit</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Relaterte_endringer/Derivasjon" rel="nofollow" title="Siste endringer i sider som blir lenket fra denne siden [k]" accesskey="k"><span>Relaterte endringer</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=no" title="Last opp filer [u]" accesskey="u"><span>Last opp fil</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spesial:Spesialsider" title="Liste over alle spesialsider [q]" accesskey="q"><span>Spesialsider</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Derivasjon&action=info" title="Mer informasjon om denne siden"><span>Sideinformasjon</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fno.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DDerivasjon%26action%3Dedit%26section%3D1"><span>Hent forkortet URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spesial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fno.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DDerivasjon%26action%3Dedit%26section%3D1"><span>Last ned QR-kode</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> På andre prosjekter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q29175" title="Lenke til koblet dataregisterelement [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-element</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Sideverktøy"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Utseende"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Utseende</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">flytt til sidefeltet</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">skjul</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">← <a href="/wiki/Derivasjon" title="Derivasjon">Derivasjon</a></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><p>Du har ikke tillatelse til å redigere denne siden fordi: </p> <div class="permissions-errors"><div class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>IP-adressa di er i et i et IP-intervall som har blitt <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">blokkert på alle Wikimedia-wikier</a>.</b> <p>Blokkeringen ble gjort av <a href="/wiki/Bruker:Jon_Kolbert" title="Bruker:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. Årsaken som ble oppgitt var <i><a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/NOP" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/NOP">Open proxy/Webhost</a>: See the <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/WM:OP/H" class="extiw" title="m:WM:OP/H">help page</a> if you are affected </i>. </p> <ul><li>Blokkeringen startet: 27. aug. 2023 kl. 16:12</li> <li>Blokkeringen utløper: 27. aug. 2028 kl. 16:12</li></ul> <p>Din nåværende IP-adresse er 8.222.208.146. Det blokkerte IP-intervallet er 8.222.128.0/17. </p><p>⧼blockedtext-includedetails-queries⧽ Hvis du mener du ble blokkert ved en feil kan du finne mer informasjon og instruksjoner i den globale policyen <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/No_open_proxies" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/No open proxies"><i>Ingen åpne proxyer</i></a>. </p> Du kan også diskutere blokkeringen ved å poste en forespørsel om gjennomgang <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Steward_requests/Global" class="extiw" title="m:Steward requests/Global">på Meta-Wiki</a>. Du kan også sende en e-post til <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Stewards" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Stewards">forvalternes</a> <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/VRT" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/VRT">VRT</a>-kø på <kbd>stewards@wikimedia.org</kbd>. Husk å ta med alle detaljene ovenfor.</div></div><hr /> <p>Du kan se og kopiere kildekoden til denne siden: </p><textarea readonly="" accesskey="," id="wpTextbox1" cols="80" rows="25" style="" class="mw-editfont-monospace" lang="nb" dir="ltr" name="wpTextbox1">== Derivasjon av en reell funksjon av én variabel == En reell funksjon av én variabel er en funksjon <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>. Et enkelt eksempel er funksjonen som beskriver en rett linje. For en rett linje er stigningstallet lik den deriverte til funksjonen som beskriver linjen. === Stigningstallet for en rett linje === [[Fil:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|250px|Stigningstalet til en rett linje: <math>a=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]] En rett linje kan beskrives med funksjonen :<math>f(x) = ax + b </math>. Hvis koeffisienten <math>b</math> er lik null, så er funksjonen [[lineær]]. Koeffisienten <math>a</math> er stigningstallet som styrer vinkelen <math>\theta</math> som linjen danner med <math>x</math>-aksen: :<math>\tan \theta = a</math>. Gitt to punkt <math>(x_1,y_1)</math> og <math>(x_2,y_2)</math>, så finner en stigningstallet ved :<math>a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math> Symbolet <math>\Delta</math> brukes for å beskrive en endring i en størrelse, og <math>\Delta x</math> og <math>\Delta y</math> er samsvarende endringer: :<math>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</math> Funksjonen som beskriver en rett linje, har derivert <math>f'(x) = a</math>. === Formell definisjon av den deriverte === En funksjon <math>f:U \to \mathbb{R}</math> som avbilder et [[intervall (matematikk)|åpent intervall]] <math>U</math> av reell tall, er deriverbar i <math>x_0 \in U</math> hvis den følgende [[grenseverdi]]en eksisterer: :<math>\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}</math> &nbsp;&nbsp;(med <math>h = \Delta x = x - x_0</math>) Grenseverdien kalles den ''deriverte'' til <math>f</math> med hensyn på <math>x</math> i <math>x_0</math>. Dersom grenseverdien ''ikke'' eksisterer, så er funksjonen ikke deriverbar i punktet. Hvis funksjonen er deriverbar i et hvert punkt i intervallet, sies funksjonen å være deriverbar i intervallet. Den deriverte definerer da en ny funksjon i intervallet, ofte skrevet som <math>f'(x)</math> eller <math>\frac{df}{dx}</math>: :<math>f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} \qquad x \in U</math>. Ordet «differensierbar» brukes synonymnt med «deriverbar». Det eksisterer mange ulike skriveformer for funksjonen som er resultat av derivasjonen, drøftet i det følgende avsnittet [[#Notasjon|Notasjon]]. En funksjon kan være deriverbar i hele <math>\mathbb{R}</math>, men kan også ha punkter der den ikke er deriverbar. Det eksisterer funksjoner som ikke er deriverbare i noe punkt, for eksempel funksjonen som beskriver [[Koch-kurven]], navngitt etter [[Helge von Koch]]. === Eksempler === Den deriverte til funksjonen <math>f(x) = x^2 - 3x + 2</math> i punktet <math>x = x_0</math> kan finnes ved å forenkle differensekvotienten :<math>\begin{align} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} &= \frac{\bigl((x_0+ h)^2 - 3(x_0 + h) + 2\bigr) - (x_0^2 - 3x_0 + 2)}{h}\\ &= \frac{x_0^2 + 2x_0h + h^2 - 3x_0 - 3h + 2 - x_0^2 + 3x_0 - 2}{h}\\ &= \frac{2x_0h + h^2 - 3h}{h}\\ &= 2x_0 + h - 3. \end{align}</math> Den deriverte finnes ved å ta grenseverdien når <math>h \to 0</math>: :<math>f'(x_0) = \lim_{h \to 0}(2x_0 + h - 3)= 2x_0 - 3</math>. Vanligvis finnes den deriverte av en funksjon ved hjelp av regneregler for derivasjon og ikke ved bruk av definisjonen, slik som er gjort her. Regnereglene må imidlertid bevises ved hjelp av definisjonen for den deriverte. [[Fil:Absolute value.svg|thumb|Absoluttverdi-funksjonen er ikke deriverbar for <math>x= 0</math>.]] Et eksempel på en funksjon som ikke er deriverbar overalt, er gitt ved [[absoluttverdi|absoluttverdi-funksjonen]]: :<math>f(x) = |x| = \left\{ \begin{array}{rl} x, & \text{hvis } x \geq 0 \\ -x, & \text{hvis } x < 0. \end{array}\right. </math> For <math>x \in (-\infty,0)</math> er den deriverte lik -1, mens i intervallet <math>(0,\infty)</math> er den deriverte lik 1. For <math>x = 0</math> eksisterer de to ensidige grenseverdiene, men da disse ikke er like, så er funksjonen ikke deriverbar for dette argumentet: :<math> \begin{alignat}{2} \lim_{x \nearrow 0} \frac {f(x) - f(0)} {x - 0} \ &= \ \lim_{x \nearrow 0}\frac {-x-0}{x-0} \ &&= \ -1 \\[5pt] \lim_{x \searrow 0} \frac {f(x) - f(0)} {x - 0} \ &= \ \lim_{x \searrow 0}\frac {x-0}{x-0} \ &&= \ 1 \end{alignat} </math>. Et slik punkt hvor den deriverte eksisterer på begge sider, men hvor de ensidige grenseverdiene er ulike, kalles et ''knekkpunkt'' for grafen til funksjonen. === Høyere-ordens deriverte === Hvis den deriverte til funksjonen <math>f</math> er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til <math>f</math> som den deriverte til den førstederiverte. Denne nye funksjonen kan skrives som <math>f''(x)</math>. Tilsvarende kan man definere den tredje deriverte <math>f'''(x)</math>, og så videre. Den ''n''-te deriverte kalles også den deriverte av orden ''n''. Ved å bruke samme eksempel som tidligere, finner en <math>\begin{alignat}{2} f(x) &= x^2 - 3x + 2 \\ f'(x) &= 2x - 3 \\ f''(x) &= 2 \\ f'''(x) &= 0 \end{alignat}</math> === Geometrisk tolkning === [[Fil:Derivasjon sekant tangent.png|thumb|Sekant og tangent til en funksjonsgraf]] Verdien av den deriverte i et punkt generaliserer stigningskoeffisienten for en rett linje. For en vilkårlig deriverbar funksjon vil verdien av den deriverte være lik stigningskoeffisienten til [[tangent]]en til funksjonsgrafen i punktet. For å definere tangenten starter en med en [[sekant]] gjennom to punkt på funksjonsgrafen, <math>(x_0, f(x_0))</math> og <math>(x_0 + h, f(x_0+h))</math>. Ved å la <math>h</math> gå mot null, som i grenseverdien som definerer den deriverte, vil sekanten nærme seg tangenten som grense. Ligningen for tangenten i punktet <math>(x_0, f(x_0))</math> er :<math>y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) </math> Den andrederiverte er et mål for [[krumning]]en til grafen i et punkt. En rett linje har ingen krumning, og funksjonen har en andrederivert lik null. Generelt har grafen til en vilkårlig funksjon en krumning <math>\kappa</math> gitt ved det følgende uttrykket:<ref name=RTL1>{{Kilde bok| forfatter=R. Tambs Lyche| utgivelsesår=1961| tittel=Matematisk Analyse, Bind I| utgivelsessted=Oslo| forlag=Gyldendal Norsk Forlag| url= }}</ref> : <math> \kappa = {f''\over (1 + f'^2)^{3/2}} </math> === Aritmetisk tolkning === Den deriverte til en funksjon <math> f </math> i punktet <math> x_0 </math> beskriver den lokale oppførselen til funksjonen i en omegnen om <math>x_0</math>. Fra definisjonen av den deriverte følger det at :<math>f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) h + r(x,h)</math> Leddet <math>r(x_0,h)</math> er en funksjon av både <math>x_0</math> og <math>h</math>, og leddet må gå mot null når <math>h</math> går mot null. For en liten verdi av <math>h</math> kan en derfor bruke tilnærmingen :<math>f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0) h </math> Den deriverte er et mål på den lineære andelen av endringen i <math>f(x)</math>, når <math>x</math> endres med et vilkårlig lite tall. En slik vilkårlig liten endring kalles en [[infinitesimal endring]]. Når tilnærmingen brukes for en endelig verdi av <math>h</math>, omtales tilnærmingen som en ''linearisering'' av funksjonen. === Antideriverte === Antiderivasjon er prosessen for å finne en antideriverte funksjon, også kalt en [[primitiv funksjon]]. En funksjon <math>F(x)</math> er en primitiv funksjon til <math>f(x)</math> dersom funksjonen <math>f</math> er dens deriverte, det vil si dersom <math>F'(x)=f(x)</math>. </textarea><div class="templatesUsed"></div><p id="mw-returnto">Tilbake til <a href="/wiki/Derivasjon" title="Derivasjon">Derivasjon</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Hentet fra «<a dir="ltr" href="https://no.wikipedia.org/wiki/Derivasjon">https://no.wikipedia.org/wiki/Derivasjon</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Personvern</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Om">Om Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Generelle_forbehold">Forbehold</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Atferdsnorm</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Utviklere</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/no.wikipedia.org">Statistikk</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Erklæring om informasjonskapsler</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//no.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivasjon&action=edit&section=1&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobilvisning</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5f58cd8b6-pvw76","wgBackendResponseTime":157,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.005","walltime":"0.008","ppvisitednodes":{"value":28,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":879,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":4,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-5f58cd8b6-pvw76","timestamp":"20241203211512","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>