CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="vi" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Hàm số – Wikipedia tiếng Việt</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )viwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"vi normal","wgMonthNames":["","tháng 1","tháng 2","tháng 3","tháng 4","tháng 5","tháng 6","tháng 7","tháng 8","tháng 9","tháng 10","tháng 11","tháng 12"],"wgRequestId":"8209ffa7-51df-4a93-a2f3-193346d5987c","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Hàm_số","wgTitle":"Hàm số","wgCurRevisionId":70714518,"wgRevisionId":70714518,"wgArticleId":32126,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Nguồn CS1 tiếng Anh (en)","Lỗi không có mục tiêu Harv và Sfn","Quản lý CS1: địa điểm","Bài cơ bản","Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback","Bài viết chứa nhận dạng BNF","Bài viết chứa nhận dạng GND","Bài viết chứa nhận dạng LCCN","Bài viết chứa nhận dạng NDL","Bài viết chứa nhận dạng NKC","Hàm số và ánh xạ", "Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp","Toán học sơ cấp","Thuật ngữ toán học"],"wgPageViewLanguage":"vi","wgPageContentLanguage":"vi","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Hàm_số","wgRelevantArticleId":32126,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"vi","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"vi"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true, "wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11348","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media", "ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.did_you_mean","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.AVIM","ext.gadget.AVIM_portlet","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.switcher","ext.gadget.AdvancedSiteNotices","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=vi&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.gadget.charinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/1200px-Function_machine2.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1187"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/800px-Function_machine2.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="792"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/640px-Function_machine2.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="633"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Hàm số – Wikipedia tiếng Việt"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//vi.m.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Sửa đổi" href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (vi)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//vi.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.vi"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Nguồn cấp Atom của Wikipedia" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Hàm_số rootpage-Hàm_số skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Bước tới nội dung</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Trình đơn chính" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Trình đơn chính</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Trình đơn chính</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Điều hướng </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" title="Xem trang chính [z]" accesskey="z"><span>Trang Chính</span></a></li><li id="n-wikipedia-featuredcontent" class="mw-list-item"><a href="/wiki/C%E1%BB%95ng_th%C3%B4ng_tin:N%E1%BB%99i_dung_ch%E1%BB%8Dn_l%E1%BB%8Dc"><span>Nội dung chọn lọc</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Xem trang ngẫu nhiên [x]" accesskey="x"><span>Bài viết ngẫu nhiên</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y" title="Danh sách thay đổi gần đây trong wiki [r]" accesskey="r"><span>Thay đổi gần đây</span></a></li><li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:B%C3%A1o_l%E1%BB%97i_b%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt"><span>Báo lỗi nội dung</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikipedia-interaction" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikipedia-interaction" > <div class="vector-menu-heading"> Tương tác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-wikipedia-helppage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:S%C3%A1ch_h%C6%B0%E1%BB%9Bng_d%E1%BA%ABn"><span>Hướng dẫn</span></a></li><li id="n-aboutsite" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u"><span>Giới thiệu Wikipedia</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:C%E1%BB%99ng_%C4%91%E1%BB%93ng" title="Giới thiệu dự án, cách sử dụng và tìm kiếm thông tin ở đây"><span>Cộng đồng</span></a></li><li id="n-wikipedia-villagepump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn"><span>Thảo luận chung</span></a></li><li id="n-wikipedia-helpdesk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%C3%BAp_s%E1%BB%AD_d%E1%BB%A5ng_Wikipedia"><span>Giúp sử dụng</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="//vi.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Liên_lạc"><span>Liên lạc</span></a></li><li id="n-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tr%C3%ACnh_t%E1%BA%A3i_l%C3%AAn_t%E1%BA%ADp_tin"><span>Tải lên tập tin</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="Bách khoa toàn thư mở" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-vi.svg" width="120" height="10" style="width: 7.5em; height: 0.625em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%C3%ACm_ki%E1%BA%BFm" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Tìm kiếm</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Tìm kiếm trên Wikipedia" aria-label="Tìm kiếm trên Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Đặc_biệt:Tìm_kiếm"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Tìm kiếm</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Công cụ cá nhân"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Giao diện" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Giao diện</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi" class=""><span>Quyên góp</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=H%C3%A0m+s%E1%BB%91" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản" class=""><span>Tạo tài khoản</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=H%C3%A0m+s%E1%BB%91" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o" class=""><span>Đăng nhập</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Thêm tùy chọn" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ cá nhân" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Công cụ cá nhân</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Bảng chọn thành viên" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi"><span>Quyên góp</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=H%C3%A0m+s%E1%BB%91" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Tạo tài khoản</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=H%C3%A0m+s%E1%BB%91" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Đăng nhập</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Trang dành cho người dùng chưa đăng nhập <a href="/wiki/Tr%E1%BB%A3_gi%C3%BAp:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u" aria-label="Tìm hiểu thêm về sửa đổi"><span>tìm hiểu thêm</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C3%B3ng_g%C3%B3p_c%E1%BB%A7a_t%C3%B4i" title="Danh sách các sửa đổi được thực hiện qua địa chỉ IP này [y]" accesskey="y"><span>Đóng góp</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_t%C3%B4i" title="Thảo luận với địa chỉ IP này [n]" accesskey="n"><span>Thảo luận cho địa chỉ IP này</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Nội dung" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Nội dung</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ẩn</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Đầu</div> </a> </li> <li id="toc-Khái_niệm" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Khái_niệm"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Khái niệm</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Khái_niệm-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Khái niệm</span> </button> <ul id="toc-Khái_niệm-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Định_nghĩa_dùng_quan_hệ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Định_nghĩa_dùng_quan_hệ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Định nghĩa dùng quan hệ</span> </div> </a> <ul id="toc-Định_nghĩa_dùng_quan_hệ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cách_cho_hàm_số" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cách_cho_hàm_số"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Cách cho hàm số</span> </div> </a> <ul id="toc-Cách_cho_hàm_số-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Các_dạng_của_hàm_số" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_dạng_của_hàm_số"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Các dạng của hàm số</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Các_dạng_của_hàm_số-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Các dạng của hàm số</span> </button> <ul id="toc-Các_dạng_của_hàm_số-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Đơn_ánh,_song_ánh,_toàn_ánh" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Đơn_ánh,_song_ánh,_toàn_ánh"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Đơn ánh, song ánh, toàn ánh</span> </div> </a> <ul id="toc-Đơn_ánh,_song_ánh,_toàn_ánh-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Đơn_ánh" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Đơn_ánh"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1.1</span> <span>Đơn ánh</span> </div> </a> <ul id="toc-Đơn_ánh-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Toàn_ánh" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Toàn_ánh"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1.2</span> <span>Toàn ánh</span> </div> </a> <ul id="toc-Toàn_ánh-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Song_ánh" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Song_ánh"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1.3</span> <span>Song ánh</span> </div> </a> <ul id="toc-Song_ánh-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Minh_hoạ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Minh_hoạ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1.4</span> <span>Minh hoạ</span> </div> </a> <ul id="toc-Minh_hoạ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Hàm_hợp_và_hàm_ngược" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Hàm_hợp_và_hàm_ngược"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Hàm hợp và hàm ngược</span> </div> </a> <ul id="toc-Hàm_hợp_và_hàm_ngược-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Hàm_hợp" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Hàm_hợp"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>Hàm hợp</span> </div> </a> <ul id="toc-Hàm_hợp-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hàm_ngược" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Hàm_ngược"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.2</span> <span>Hàm ngược</span> </div> </a> <ul id="toc-Hàm_ngược-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Đồ_thị_của_hàm_số" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Đồ_thị_của_hàm_số"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Đồ thị của hàm số</span> </div> </a> <ul id="toc-Đồ_thị_của_hàm_số-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Các_tính_chất_của_hàm_số" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_tính_chất_của_hàm_số"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Các tính chất của hàm số</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Các_tính_chất_của_hàm_số-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Hiện/ẩn mục Các tính chất của hàm số</span> </button> <ul id="toc-Các_tính_chất_của_hàm_số-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Tính_đơn_điệu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_đơn_điệu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Tính đơn điệu</span> </div> </a> <ul id="toc-Tính_đơn_điệu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tính_chẵn_lẻ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_chẵn_lẻ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Tính chẵn lẻ</span> </div> </a> <ul id="toc-Tính_chẵn_lẻ-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Điều_kiện_để_một_hàm_số_chẵn_hoặc_lẻ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Điều_kiện_để_một_hàm_số_chẵn_hoặc_lẻ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2.1</span> <span>Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ</span> </div> </a> <ul id="toc-Điều_kiện_để_một_hàm_số_chẵn_hoặc_lẻ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Đồ_thị_của_hàm_số_chẵn_và_hàm_số_lẻ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Đồ_thị_của_hàm_số_chẵn_và_hàm_số_lẻ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2.2</span> <span>Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ</span> </div> </a> <ul id="toc-Đồ_thị_của_hàm_số_chẵn_và_hàm_số_lẻ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Tham_khảo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Tham_khảo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Tham khảo</span> </div> </a> <ul id="toc-Tham_khảo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Chú_thích" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Chú_thích"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Chú thích</span> </div> </a> <ul id="toc-Chú_thích-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Nội dung" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Đóng mở mục lục" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Đóng mở mục lục</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Hàm số</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Xem bài viết trong ngôn ngữ khác. Bài có sẵn trong 120 ngôn ngữ" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-120" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">120 ngôn ngữ</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Funksie" title="Funksie – Tiếng Afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Funksie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Tiếng Afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) – Tiếng Đức (Thụy Sĩ)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="Tiếng Đức (Thụy Sĩ)" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A0%E1%88%B5%E1%88%A8%E1%8A%AB%E1%89%A2" title="አስረካቢ – Tiếng Amharic" lang="am" hreflang="am" data-title="አስረካቢ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="Tiếng Amharic" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – Tiếng Inari Sami" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Funktio" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="Tiếng Inari Sami" class="interlanguage-link-target"><span>Anarâškielâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – Tiếng Ả Rập" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Tiếng Ả Rập" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matematica" title="Función matematica – Tiếng Aragon" lang="an" hreflang="an" data-title="Función matematica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="Tiếng Aragon" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática – Tiếng Asturias" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función matemática" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Tiếng Asturias" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(riyaziyyat)" title="Funksiya (riyaziyyat) – Tiếng Azerbaijan" lang="az" hreflang="az" data-title="Funksiya (riyaziyyat)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Tiếng Azerbaijan" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – Tiếng Indonesia" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Tiếng Indonesia" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi – Tiếng Mã Lai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fungsi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Tiếng Mã Lai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%95_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="অপেক্ষক (গণিত) – Tiếng Bangla" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অপেক্ষক (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Tiếng Bangla" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="Hâm-sò͘ – Tiếng Mân Nam" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="Tiếng Mân Nam" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tiếng Bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Tiếng Bashkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – Tiếng Belarus" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Tiếng Belarus" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फंक्शन (गणित) – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="फंक्शन (गणित)" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Tiếng Bosnia" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Tiếng Bosnia" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – Tiếng Bulgaria" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Tiếng Bulgaria" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3" title="Funció – Tiếng Catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Tiếng Catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функци (математика) – Tiếng Chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функци (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tiếng Chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)" title="Funkce (matematika) – Tiếng Séc" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkce (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tiếng Séc" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Murimo_(Masvomhu)" title="Murimo (Masvomhu) – Tiếng Shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Murimo (Masvomhu)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="Tiếng Shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ffwythiant" title="Ffwythiant – Tiếng Wales" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ffwythiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Tiếng Wales" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Funktion_(matematik)" title="Funktion (matematik) – Tiếng Đan Mạch" lang="da" hreflang="da" data-title="Funktion (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Tiếng Đan Mạch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – Moroccan Arabic" lang="ary" hreflang="ary" data-title="دالة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Moroccan Arabic" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) – Tiếng Đức" lang="de" hreflang="de" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="Tiếng Đức" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsioon_(matemaatika)" title="Funktsioon (matemaatika) – Tiếng Estonia" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsioon (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Tiếng Estonia" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση – Tiếng Hy Lạp" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Tiếng Hy Lạp" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Tiếng Anh" lang="en" hreflang="en" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Tiếng Anh" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática) – Tiếng Tây Ban Nha" lang="es" hreflang="es" data-title="Función (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Tiếng Tây Ban Nha" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Funkcio_(matematiko)" title="Funkcio (matematiko) – Tiếng Quốc Tế Ngữ" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Funkcio (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Tiếng Quốc Tế Ngữ" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_(matematika)" title="Funtzio (matematika) – Tiếng Basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Tiếng Basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع – Tiếng Ba Tư" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Tiếng Ba Tư" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Function" title="Function – Tiếng Fiji Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Function" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Tiếng Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Funksj%C3%B3n" title="Funksjón – Tiếng Faroe" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Funksjón" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="Tiếng Faroe" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques) – Tiếng Pháp" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Tiếng Pháp" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_(matamaitic)" title="Feidhm (matamaitic) – Tiếng Ireland" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Tiếng Ireland" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n" title="Función – Tiếng Galician" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Tiếng Galician" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 – Tiếng Cám" lang="gan" hreflang="gan" data-title="函數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="Tiếng Cám" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – Tiếng Kalmyk" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Функция" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="Tiếng Kalmyk" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98" title="함수 – Tiếng Hàn" lang="ko" hreflang="ko" data-title="함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Tiếng Hàn" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա) – Tiếng Armenia" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Tiếng Armenia" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="फलन – Tiếng Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Tiếng Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Tiếng Croatia" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Tiếng Croatia" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Funciono" title="Funciono – Tiếng Ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Funciono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="Tiếng Ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematica)" title="Function (mathematica) – Tiếng Khoa Học Quốc Tế" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Function (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Tiếng Khoa Học Quốc Tế" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fall_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Fall (stærðfræði) – Tiếng Iceland" lang="is" hreflang="is" data-title="Fall (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Tiếng Iceland" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="Funzione (matematica) – Tiếng Italy" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Tiếng Italy" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה – Tiếng Do Thái" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Tiếng Do Thái" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/K%C9%A9lab%C9%A9m" title="Kɩlabɩm – Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Kɩlabɩm" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target"><span>Kabɩyɛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ფუნქცია (მათემატიკა) – Tiếng Georgia" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფუნქცია (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Tiếng Georgia" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tiếng Kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Tiếng Kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Fonksyon_(mat%C3%A9matik)" title="Fonksyon (matématik) – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Fonksyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%95%E0%BA%B3%E0%BA%A5%E0%BA%B2_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ) – Tiếng Lào" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="Tiếng Lào" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio" title="Functio – Tiếng La-tinh" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Tiếng La-tinh" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – Tiếng Latvia" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Tiếng Latvia" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Funktioun_(Mathematik)" title="Funktioun (Mathematik) – Tiếng Luxembourg" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Funktioun (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Tiếng Luxembourg" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Tiếng Litva" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Tiếng Litva" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/fancu" title="fancu – Tiếng Lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="fancu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="Tiếng Lojban" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_(matematega)" title="Fonzion (matematega) – Tiếng Lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Tiếng Lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="Függvény (matematika) – Tiếng Hungary" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Függvény (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Tiếng Hungary" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – Tiếng Macedonia" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Tiếng Macedonia" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="ഫങ്ഷൻ – Tiếng Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഫങ്ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Tiếng Malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Funzjonijiet_(matematika)" title="Funzjonijiet (matematika) – Tiếng Malta" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Funzjonijiet (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="Tiếng Malta" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फल (गणित) – Tiếng Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फल (गणित)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Tiếng Marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" title="Функц (математик) – Tiếng Mông Cổ" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Функц (математик)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Tiếng Mông Cổ" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%96%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA" title="ဖန်ရှင် – Tiếng Miến Điện" lang="my" hreflang="my" data-title="ဖန်ရှင်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="Tiếng Miến Điện" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Cakacaka_(fika)" title="Cakacaka (fika) – Tiếng Fiji" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Cakacaka (fika)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="Tiếng Fiji" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde)" title="Functie (wiskunde) – Tiếng Hà Lan" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Tiếng Hà Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学) – Tiếng Nhật" lang="ja" hreflang="ja" data-title="関数 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Tiếng Nhật" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Funksion" title="Funksion – Tiếng Frisia Miền Bắc" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Funksion" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Tiếng Frisia Miền Bắc" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Funksjon_(matematikk)" title="Funksjon (matematikk) – Tiếng Na Uy (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Funksjon (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_funksjon" title="Matematisk funksjon – Tiếng Na Uy (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aplicacion_(matematicas)" title="Aplicacion (matematicas) – Tiếng Occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aplicacion (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Tiếng Occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Warroomii_(faankishinii)" title="Warroomii (faankishinii) – Tiếng Oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Warroomii (faankishinii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="Tiếng Oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(matematika)" title="Funksiya (matematika) – Tiếng Uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Funksiya (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Tiếng Uzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AB%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A8_(%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AC)" title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ) – Tiếng Punjab" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Tiếng Punjab" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86" title="فنکشن – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="فنکشن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Fongshan_(matimatix)" title="Fongshan (matimatix) – Tiếng Anh Jamaica Creole" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Fongshan (matimatix)" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Tiếng Anh Jamaica Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion" title="Fonsion – Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Afbillen_(Mathematik)" title="Afbillen (Mathematik) – Tiếng Hạ Giéc-man" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Afbillen (Mathematik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="Tiếng Hạ Giéc-man" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja" title="Funkcja – Tiếng Ba Lan" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Tiếng Ba Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática) – Tiếng Bồ Đào Nha" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Tiếng Bồ Đào Nha" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie" title="Funcție – Tiếng Romania" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Tiếng Romania" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Kinraysuyu" title="Kinraysuyu – Tiếng Quechua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Kinraysuyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="Tiếng Quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tiếng Nga" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Tiếng Nga" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F._%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D1%8D%D1%80%D1%87%D0%B8%D1%82%D1%8D,_%D1%81%D1%83%D0%BE%D0%BB%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D2%AF%D0%BC%D1%81%D1%8D%D1%8D%D0%BD%D1%8D" title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ – Tiếng Sakha" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="Tiếng Sakha" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Tiếng Scots" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="Tiếng Scots" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni" title="Funksioni – Tiếng Albania" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Tiếng Albania" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_(matim%C3%A0tica)" title="Funzioni (matimàtica) – Tiếng Sicilia" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Tiếng Sicilia" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Zobrazenie_(matematika)" title="Zobrazenie (matematika) – Tiếng Slovak" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Zobrazenie (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Tiếng Slovak" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – Tiếng Slovenia" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Tiếng Slovenia" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Funkcyjo" title="Funkcyjo – Silesian" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Funkcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Shaqada_(xisaabta)" title="Shaqada (xisaabta) – Tiếng Somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Shaqada (xisaabta)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="Tiếng Somali" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="فانکشن (ماتماتیک) – Tiếng Kurd Miền Trung" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشن (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Tiếng Kurd Miền Trung" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – Tiếng Serbia" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Tiếng Serbia" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – Tiếng Serbo-Croatia" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Tiếng Serbo-Croatia" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – Tiếng Sunda" lang="su" hreflang="su" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="Tiếng Sunda" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – Tiếng Phần Lan" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Tiếng Phần Lan" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktion" title="Funktion – Tiếng Thụy Điển" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Tiếng Thụy Điển" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Punsiyon_(matematika)" title="Punsiyon (matematika) – Tiếng Tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Punsiyon (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Tiếng Tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="சார்பு – Tiếng Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tiếng Tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tas%C9%A3ent_(tusnakt)" title="Tasɣent (tusnakt) – Tiếng Kabyle" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tasɣent (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="Tiếng Kabyle" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tiếng Tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="Tiếng Tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) – Tiếng Thái" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Tiếng Thái" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonksiyon" title="Fonksiyon – Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – Tiếng Udmurt" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="Tiếng Udmurt" class="interlanguage-link-target"><span>Удмурт</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика) – Tiếng Ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функція (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Tiếng Ukraina" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B9%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="تفاعل (ریاضیات) – Tiếng Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفاعل (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Tiếng Urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D9%81%DB%87%D9%86%D9%83%D8%B3%D9%89%D9%8A%DB%95" title="فۇنكسىيە – Tiếng Uyghur" lang="ug" hreflang="ug" data-title="فۇنكسىيە" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="Tiếng Uyghur" class="interlanguage-link-target"><span>ئۇيغۇرچە / Uyghurche</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Funkcii_(matematik)" title="Funkcii (matematik) – Veps" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Funkcii (matematik)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="Veps" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%98%A0%E5%B0%84" title="映射 – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="映射" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Funsiyon_(matematika)" title="Funsiyon (matematika) – Tiếng Waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Funsiyon (matematika)" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="Tiếng Waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 – Tiếng Ngô" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="函数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Tiếng Ngô" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A2" title="פונקציע – Tiếng Yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פונקציע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Tiếng Yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 – Tiếng Quảng Đông" lang="yue" hreflang="yue" data-title="函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Tiếng Quảng Đông" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Funkc%C4%97j%C4%97" title="Funkcėjė – Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Funkcėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 – Tiếng Trung" lang="zh" hreflang="zh" data-title="函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Tiếng Trung" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B5%9C%E2%B4%B0%E2%B5%99%E2%B5%96%E2%B5%8F%E2%B5%9C_(%E2%B5%9C%E2%B5%93%E2%B5%99%E2%B5%8F%E2%B4%B0%E2%B4%BD%E2%B5%9C)" title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ) – Tiếng Tamazight Chuẩn của Ma-rốc" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ)" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="Tiếng Tamazight Chuẩn của Ma-rốc" class="interlanguage-link-target"><span>ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348#sitelinks-wikipedia" title="Sửa liên kết giữa ngôn ngữ" class="wbc-editpage">Sửa liên kết</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Không gian tên"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Xem bài viết [c]" accesskey="c"><span>Bài viết</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:H%C3%A0m_s%E1%BB%91" rel="discussion" title="Thảo luận về trang này [t]" accesskey="t"><span>Thảo luận</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Thay đổi biến thể ngôn ngữ" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Tiếng Việt</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Giao diện"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91"><span>Đọc</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v"><span>Sửa đổi</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e"><span>Sửa mã nguồn</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=history" title="Các phiên bản cũ của trang này [h]" accesskey="h"><span>Xem lịch sử</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Công cụ</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Công cụ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Thêm tùy chọn" > <div class="vector-menu-heading"> Tác vụ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91"><span>Đọc</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v"><span>Sửa đổi</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e"><span>Sửa mã nguồn</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=history"><span>Xem lịch sử</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Chung </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BA%BFn_%C4%91%C3%A2y/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Các trang liên kết đến đây [j]" accesskey="j"><span>Các liên kết đến đây</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_li%C3%AAn_quan/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" rel="nofollow" title="Thay đổi gần đây của các trang liên kết đến đây [k]" accesskey="k"><span>Thay đổi liên quan</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Trang_%C4%91%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t" title="Một danh sách chứa tất cả trang đặc biệt [q]" accesskey="q"><span>Trang đặc biệt</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&oldid=70714518" title="Liên kết thường trực đến phiên bản này của trang"><span>Liên kết thường trực</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=info" title="Thêm chi tiết về trang này"><span>Thông tin trang</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Tr%C3%ADch_d%E1%BA%ABn&page=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&id=70714518&wpFormIdentifier=titleform" title="Hướng dẫn cách trích dẫn trang này"><span>Trích dẫn trang này</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FH%25C3%25A0m_s%25E1%25BB%2591"><span>Lấy URL ngắn gọn</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:QrCode&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FH%25C3%25A0m_s%25E1%25BB%2591"><span>Tải mã QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> In và xuất </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:S%C3%A1ch&bookcmd=book_creator&referer=H%C3%A0m+s%E1%BB%91"><span>Tạo một quyển sách</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:DownloadAsPdf&page=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=show-download-screen"><span>Tải dưới dạng PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&printable=yes" title="Bản để in ra của trang [p]" accesskey="p"><span>Bản để in ra</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Tại dự án khác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348" title="Liên kết đến khoản mục kết nối trong kho dữ liệu [g]" accesskey="g"><span>Khoản mục Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Giao diện</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ẩn</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-1000BCB" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Danh_s%C3%A1ch_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n_n%C3%AAn_c%C3%B3" title="Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin."><img alt="Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg/20px-1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg.png" decoding="async" width="20" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg/30px-1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg/40px-1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n.svg.png 2x" data-file-width="103" data-file-height="94" /></a></span></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Bách khoa toàn thư mở Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="vi" dir="ltr"><p class="mw-empty-elt"> </p> <table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:320px;margin:0 0 1.0em 1.0em;background:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em;letter-spacing:0.0125em; background-color:#FFCC99"><a class="mw-selflink selflink">Hàm số</a></th></tr><tr><td style="padding:0.2em 0 0.4em"><span class="texhtml texhtml-big" style="font-size:180%;"><i>x</i> ↦ <i>f</i> (<i>x</i>)</span></td></tr><tr><th style="padding:0.1em"> Ví dụ theo <a href="/wiki/Mi%E1%BB%81n_x%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%8Bnh" class="mw-redirect" title="Miền xác định">miền xác định</a> và <a href="/wiki/Mi%E1%BB%81n_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B" class="mw-redirect" title="Miền giá trị">miền giá trị</a></th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em;font-size:1.2em"> <table cellpadding="5"> <tbody><tr> <td title="tập tùy ý" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_Boole&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm giá trị Boole (trang không tồn tại)">→</a></td> <td title="Miền giá trị Boole"><span class="texhtml"><b>B</b>,</span></td><td title="Miền xác định Boole"><span class="texhtml"><b>B</b></span></td> <td style="font-size:150%"><a href="/w/index.php?title=C%E1%BA%B7p_c%C3%B3_th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cặp có thứ tự (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="nhiều biến Boole, hoặc đại số Boole hữu hạn"> <span class="texhtml"><b>B</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_Boole&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm Boole (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="Miền giá trị Boole"><span class="texhtml"><b>B</b></span></td> </tr> <tr> <td title="tập tùy ý" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_nguy%C3%AAn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm giá trị nguyên (trang không tồn tại)">→</a></td> <td title="số nguyên"><span class="texhtml"><b>Z</b>,</span></td><td title="số nguyên"><span class="texhtml"><b>Z</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/wiki/D%C3%A3y_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Dãy (toán học)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> <tr> <td title="tập tùy ý" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_th%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm giá trị thực (trang không tồn tại)">→</a></td> <td title="số thực"><span class="texhtml"><b>R</b>,</span></td><td title="số thực"><span class="texhtml"><b>R</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_bi%E1%BA%BFn_th%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm biến thực (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="không gian tọa độ thực (Euclid)"><span class="texhtml"><b>R</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_nhi%E1%BB%81u_bi%E1%BA%BFn_th%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm nhiều biến thực (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> <tr> <td title="tập tùy ý" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_ph%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm giá trị phức (trang không tồn tại)">→</a></td> <td title="số phức"><span class="texhtml"><b>C</b>,</span></td><td title="số phức"><span class="texhtml"><b>C</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_bi%E1%BA%BFn_ph%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm biến phức (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="không gian tọa độ phức"><span class="texhtml"><b>C</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_nhi%E1%BB%81u_bi%E1%BA%BFn_ph%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm nhiều biến phức (trang không tồn tại)">→</a></td><td title="tập tùy ý" style="color:gray"><span class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> </tbody></table></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> <a href="/w/index.php?title=Kh%C3%B4ng_gian_h%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Không gian hàm số (trang không tồn tại)">Loại/tính chất</a> </th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <a href="/wiki/H%C3%A0m_h%E1%BA%B1ng" title="Hàm hằng">Hằng</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_%C4%91%E1%BB%93ng_nh%E1%BA%A5t" title="Hàm đồng nhất">Đồng nhất</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%C3%81nh_x%E1%BA%A1_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh" class="mw-redirect" title="Ánh xạ tuyến tính">Tuyến tính</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c" title="Đa thức">Đa thức</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89" class="mw-redirect" title="Hàm hữu tỉ">Hữu tỉ</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Hàm số đại số">Đại số</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch" title="Hàm giải tích">Giải tích</a> <b>·</b>  <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_tr%C6%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm trơn (trang không tồn tại)">Trơn</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c" title="Hàm liên tục">Liên tục</a> <b>·</b>  <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_%C4%91o_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm đo được (trang không tồn tại)">Đo được</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%C4%90%C6%A1n_%C3%A1nh" title="Đơn ánh">Đơn ánh</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/To%C3%A0n_%C3%A1nh" title="Toàn ánh">Toàn ánh</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/Song_%C3%A1nh" title="Song ánh">Song ánh</a></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Xây dựng</th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <a href="/w/index.php?title=Thu_h%E1%BA%B9p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thu hẹp (toán học) (trang không tồn tại)">Thu hẹp</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_h%E1%BB%A3p" title="Hàm hợp">Hợp</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_t%C3%ADnh_lambda" title="Phép tính lambda">λ</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/H%C3%A0m_ng%C6%B0%E1%BB%A3c" title="Hàm ngược">Ngược</a></td> </tr><tr><th style="padding:0.1em"> Tổng quát</th></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_b%E1%BB%99_ph%E1%BA%ADn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm bộ phận (trang không tồn tại)">Bộ phận</a> <b>·</b>  <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_nhi%E1%BB%81u_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm nhiều giá trị (trang không tồn tại)">Nhiều giá trị</a> <b>·</b>  <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_%E1%BA%A9n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm ẩn (trang không tồn tại)">Ẩn</a></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-xem"><a href="/wiki/B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Bản mẫu:Hàm số"><abbr title="Xem bản mẫu này">x</abbr></a></li><li class="nv-thảo luận"><a href="/w/index.php?title=Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thảo luận Bản mẫu:Hàm số (trang không tồn tại)"><abbr title="Thảo luận bản mẫu này">t</abbr></a></li><li class="nv-sửa"><a class="external text" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit"><abbr title="Sửa bản mẫu này">s</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table><p>Trong <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Toán học">toán học</a>, một <b>hàm số</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>note 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> hay gọi ngắn là <b>hàm</b> (<a href="/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Anh" title="Tiếng Anh">Tiếng Anh</a>: <i>function</i>) là một loại <a href="/wiki/%C3%81nh_x%E1%BA%A1" title="Ánh xạ">ánh xạ</a> giữa hai <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tập hợp (toán học)">tập hợp</a> số liên kết mọi phần tử của tập số đầu tiên với đúng một phần tử của tập số thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Số nguyên">số nguyên</a> sang số nguyên hoặc từ <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a> sang số thực. </p><p>Các hàm số ban đầu là sự lý tưởng hóa cách một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ví dụ, vị trí của một <a href="/wiki/H%C3%A0nh_tinh" title="Hành tinh">hành tinh</a> là một <i>hàm số</i> của thời gian. <a href="/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_c%E1%BB%A7a_kh%C3%A1i_ni%E1%BB%87m_h%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lịch sử của khái niệm hàm số (trang không tồn tại)">Về mặt lịch sử</a>, khái niệm này được xây dựng dựa trên <a href="/wiki/Vi_t%C3%ADch_ph%C3%A2n" title="Vi tích phân">phép tính vi tích phân</a> vào cuối thế kỷ 17, và cho đến thế kỷ 19, các hàm được coi là <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_kh%E1%BA%A3_vi" title="Hàm số khả vi">khả vi</a> (nghĩa là chúng có mức độ mịn cao). Khái niệm hàm số được chính thức hóa vào cuối thế kỷ 19 dưới dạng <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p" title="Lý thuyết tập hợp">lý thuyết tập hợp</a>, và điều này đã mở rộng đáng kể các lĩnh vực ứng dụng của khái niệm này. </p><p>Một hàm số là một quá trình hoặc một mối quan hệ mà liên kết mỗi phần tử <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> của một <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tập hợp (toán học)">tập hợp</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span>, được gọi là <i><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_x%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%8Bnh" title="Tập xác định">miền xác định</a></i> của hàm số, đến một phần tử <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> duy nhất của một tập hợp <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> (có thể là cùng một tập hợp như X), và gọi là <i><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_%C4%91%C3%ADch" title="Tập hợp đích">tập hợp đích</a></i> của hàm số này. Hàm số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span>, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> và <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">h</span>.<sup id="cite_ref-:1_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-:1-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Nếu hàm được gọi là <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span>, quan hệ này được ký hiệu là <span class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i><span class="nowrap"> </span>(<i>x</i>)</span> (đọc là " <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> "), trong đó phần tử <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> là <i><a href="/wiki/Tham_s%E1%BB%91" title="Tham số">đối số</a></i> hoặc <i>đầu vào</i> của hàm và <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> là <i>giá trị của hàm</i>, <i>đầu ra</i> hoặc <i>ảnh</i> của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> theo <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> .<sup id="cite_ref-MacLane_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-MacLane-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Ký hiệu được sử dụng để biểu diễn đầu vào là <a href="/wiki/Bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91" title="Biến số">biến</a> của hàm (ví dụ: <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> là hàm của biến <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>).<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Một hàm số được biểu diễn duy nhất bởi tập hợp tất cả các <a href="/wiki/C%E1%BA%B7p_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c_s%E1%BA%AFp" title="Cặp được sắp">cặp số</a> <span class="texhtml">(<i>x</i>, <i>f</i><span class="nowrap"> </span>(<i>x</i>))</span>, được gọi là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Đồ thị của hàm số">đồ thị</a> của hàm số. <sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>note 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Khi miền và miền là tập hợp các số thực, mỗi cặp như vậy có thể được coi là <a href="/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_Descartes" title="Hệ tọa độ Descartes">tọa độ Descartes</a> của một điểm trong mặt phẳng. Tập hợp các điểm này được gọi là đồ thị của hàm số; nó là một phương tiện phổ biến để minh họa một hàm số. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Function_machine2.svg"><img resource="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Function_machine2.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/220px-Function_machine2.svg.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/330px-Function_machine2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/440px-Function_machine2.svg.png 2x" data-file-width="191" data-file-height="189" /></a><figcaption>Mô <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp">Lưu trữ</a> 2020-09-29 tại <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a> tả sơ đồ của một hàm số được mô tả ẩn dụ như một "máy" hoặc "<a href="/wiki/H%E1%BB%99p_%C4%91en" title="Hộp đen">hộp đen</a>" mà đối với mỗi đầu vào tạo ra một đầu ra tương ứng</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Graph_of_example_function.svg"><img resource="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Graph_of_example_function.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Graph_of_example_function.svg/220px-Graph_of_example_function.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Graph_of_example_function.svg/330px-Graph_of_example_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Graph_of_example_function.svg/440px-Graph_of_example_function.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a><figcaption>Đường <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp">Lưu trữ</a> 2020-09-29 tại <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a> cong màu đỏ là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Đồ thị của hàm số">đồ thị của một hàm số</a>, bởi vì bất kỳ đường thẳng đứng nào cũng có đúng một điểm giao nhau với đường cong trên.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADptin:Function_color_example_3.svg"><img resource="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Function_color_example_3.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_color_example_3.svg/220px-Function_color_example_3.svg.png" decoding="async" width="220" height="236" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_color_example_3.svg/330px-Function_color_example_3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Function_color_example_3.svg/440px-Function_color_example_3.svg.png 2x" data-file-width="321" data-file-height="345" /></a><figcaption>Một <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200929072715/https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp">Lưu trữ</a> 2020-09-29 tại <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a> hàm liên kết bất kỳ hình dạng màu nào trong số bốn hình màu với màu của nó.</figcaption></figure> <p>Các hàm số được sử dụng rộng rãi trong <a href="/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc" title="Khoa học">khoa học</a> và trong hầu hết các lĩnh vực toán học. Người ta đã nói rằng các hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" trong hầu hết các lĩnh vực toán học.<sup id="cite_ref-FOOTNOTESpivak200839_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTESpivak200839-7"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Khái_niệm"><span id="Kh.C3.A1i_ni.E1.BB.87m"></span>Khái niệm</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=1" title="Sửa đổi phần “Khái niệm”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=1" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Khái niệm"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nói một cách trực quan, hàm là một quá trình liên kết từng phần tử của tập hợp số <span class="texhtml"><i>X</i></span> với một phần tử của tập hợp số <span class="texhtml"><i>Y</i></span>. </p><p>Về mặt hình thức, một hàm <span class="texhtml"><i>f</i></span> từ tập <span class="texhtml"><i>X</i></span> đến tập <span class="texhtml"><i>Y</i></span> được xác định bởi tập <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> gồm các cặp có thứ tự <span class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> sao cho <span class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>X</i></span>, <span class="texhtml"><i>y</i> ∈ <i>Y</i></span>, và mọi phần tử của <span class="texhtml"><i>X</i></span> là thành phần đầu tiên của đúng một cặp có thứ tự ghép đôi trong <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> <sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>note 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Nói cách khác, với mọi <span class="texhtml"><i>x</i></span> trong <span class="texhtml"><i>X</i></span>, có đúng một phần tử <span class="texhtml"><i>y</i></span> sao cho cặp có thứ tự <span class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> thuộc tập các cặp xác định hàm <span class="texhtml"><i>f</i></span> . Tập hợp <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">G</span> được gọi là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Đồ thị của hàm số">đồ thị của hàm số</a>. Về mặt hình thức, nó có thể được xác định với hàm số trên, nhưng điều này che giấu cách giải thích thông thường về một chức năng như một quá trình. Do đó, trong cách sử dụng thông thường, hàm số thường được phân biệt với đồ thị của nó. </p><p>Trong định nghĩa về hàm số, <span class="texhtml"><i>X</i></span> và <span class="texhtml"><i>Y</i></span> tương ứng được gọi là <i>tập/miền xác định</i> và <i>tập đích</i>/ <i>miền giá trị</i> của hàm <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> <sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Nếu <span class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> thuộc tập xác định <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span>, thì <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> là <i>ảnh</i> của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> thông qua <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span>, hoặc <i>giá trị</i> của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> được áp dụng cho <i>đối số</i> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> . Đặc biệt, trong ngữ cảnh của các con số, người ta cũng nói rằng <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> là giá trị của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> đối với <i>giá trị <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> của biến của nó</i>, hay ngắn gọn hơn, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> là <i>giá trị của</i> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> <i>của</i> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>, được ký hiệu là <span class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>)</span> . </p><p>Hai hàm <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> và <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> là bằng nhau, nếu miền và tập hợp miền xác định của chúng giống nhau và giá trị đầu ra của chúng giống nhau trên toàn miền xác định đó. Chính thức hơn, <span class="texhtml"><i>f</i> = <i>g</i></span> nếu <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>)</span> với mọi <span class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>X</i></span>, trong đó <span class="texhtml"><i>f</i>:<i>X</i> → <i>Y</i></span> và <span class="texhtml"><i>g</i>:<i>X</i> → <i>Y</i></span> <sup id="cite_ref-FOOTNOTEApostol198135_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEApostol198135-11"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <sup id="cite_ref-FOOTNOTEKaplan197225_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEKaplan197225-12"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>note 4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Miền xác định và miền giá trị không phải lúc nào cũng được cung cấp rõ ràng khi một hàm được xác định và, nếu không có một số tính toán (có thể khó), người ta có thể chỉ biết rằng miền được chứa trong một tập hợp lớn hơn. Thông thường, điều này xảy ra trong <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Giải tích toán học">giải tích toán học</a>, trong đó "một hàm <span class="nowrap">từ <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> tới <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> "</span> thường đề cập đến một hàm có thể có một tập con thích hợp<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>note 5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> của <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> là miền xác định. Ví dụ, một "<a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_th%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm giá trị thực (trang không tồn tại)">hàm từ giá trị thực đến giá trị thực</a>" có thể tham chiếu đến một hàm có giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, một "hàm từ số thực đến số thực" không có nghĩa là miền của hàm là toàn bộ tập các <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a>, mà chỉ có nghĩa miền là tập các số thực có chứa <a href="/wiki/Kho%E1%BA%A3ng_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Khoảng (toán học)">khoảng mở</a> không rỗng. Khi đó một hàm như vậy được gọi là <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_b%E1%BB%99_ph%E1%BA%ADn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm bộ phận (trang không tồn tại)">hàm một phần</a>. Ví dụ: nếu <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> là một hàm có các số thực là miền xác định và miền giá trị, thì một hàm ánh xạ giá trị <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> với giá trị <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cfe10a47d408f270c02f06cf2d7442ae8848dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.313ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}"></span> là một hàm <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> từ miền số thực đến miền số thực, có miền xác định là tập các số thực <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>, sao cho <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) ≠ 0</span> . </p><p><a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A1m_vi_c%E1%BB%A7a_m%E1%BB%99t_h%C3%A0m&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phạm vi của một hàm (trang không tồn tại)">Phạm vi của một hàm</a> là tập hợp các <a href="/wiki/%E1%BA%A2nh_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Ảnh (toán học)">ảnh</a> của tất cả các phần tử trong miền.<sup id="cite_ref-T&K_Calc_p.3_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-T&K_Calc_p.3-15"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Trench_RA_pp.30-32_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-Trench_RA_pp.30-32-16"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-TBB_RA_pp.A4-A5_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-TBB_RA_pp.A4-A5-17"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Tuy nhiên, <i>phạm vi</i> đôi khi được sử dụng như một từ đồng nghĩa của miền giá trị,<sup id="cite_ref-TBB_RA_pp.A4-A5_17-1" class="reference"><a href="#cite_note-TBB_RA_pp.A4-A5-17"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-PCM_p.11_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-PCM_p.11-18"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> thường sử dụng trong các sách cũ. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Định_nghĩa_dùng_quan_hệ"><span id=".C4.90.E1.BB.8Bnh_ngh.C4.A9a_d.C3.B9ng_quan_h.E1.BB.87"></span>Định nghĩa dùng quan hệ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=2" title="Sửa đổi phần “Định nghĩa dùng quan hệ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=2" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Định nghĩa dùng quan hệ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bất kỳ tập con nào của tích Descartes gồm hai tập hợp <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> và <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"></span> xác định một <a href="/wiki/Quan_h%E1%BB%87_hai_ng%C3%B4i" title="Quan hệ hai ngôi">quan hệ hai ngôi</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\subseteq X\times Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\subseteq X\times Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6359bb38c371b192e5c531ca4a75485091c4cf15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.456ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R\subseteq X\times Y}"></span> giữa hai tập hợp này. Rõ ràng là một quan hệ tùy ý có thể chứa các cặp đôi vi phạm các điều kiện cần thiết cho một hàm số đã cho ở trên. </p><p>Một quan hệ hai ngôi là <a href="/wiki/Quan_h%E1%BB%87_hai_ng%C3%B4i" title="Quan hệ hai ngôi">có tính hàm số</a> (còn được gọi là duy nhất bên phải) nếu </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f438e8cf499bfda5846406540555175dece3e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:61.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}"></span> </p><p>Một quan hệ nhị phân là có tính <a href="/w/index.php?title=Quan_h%E1%BB%87_n%E1%BB%91i_ti%E1%BA%BFp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quan hệ nối tiếp (trang không tồn tại)">nối tiếp</a> (còn được gọi là tổng bên trái) nếu </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,(x,y)\in R.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,(x,y)\in R.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5486c38e9cadd2df6943375514f1cbd3645a7fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,(x,y)\in R.}"></span> </p><p>Một <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_b%E1%BB%99_ph%E1%BA%ADn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm bộ phận (trang không tồn tại)">hàm một phần</a> là một quan hệ hai ngôi mà có tính hàm số.. </p><p>Một hàm số là một quan hệ hai ngôi có tính hàm số và nối tiếp. </p><p>Các thuộc tính khác nhau của hàm số và thành phần hàm số có thể được định dạng lại bằng ngôn ngữ của các quan hệ. Ví dụ, một hàm số là <a href="/wiki/%C4%90%C6%A1n_%C3%A1nh" title="Đơn ánh">đơn ánh</a> nếu <a href="/w/index.php?title=Quan_h%E1%BB%87_ng%C6%B0%E1%BB%A3c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quan hệ ngược (trang không tồn tại)">quan hệ ngược</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{\text{T}}\subseteq Y\times X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> <mo>⊆</mo> <mi>Y</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{\text{T}}\subseteq Y\times X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f5334990b64f38246cb7059a7336fdb04112ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.875ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R^{\text{T}}\subseteq Y\times X}"></span> là có tính hàm số, trong đó quan hệ ngược được định nghĩa là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{\text{T}}=\{(y,x)\mid (x,y)\in R\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{\text{T}}=\{(y,x)\mid (x,y)\in R\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb766e4437cf55ef48bfabf784919c66829488b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.452ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{\text{T}}=\{(y,x)\mid (x,y)\in R\}.}"></span> <sup id="cite_ref-RM_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-RM-19"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cách_cho_hàm_số"><span id="C.C3.A1ch_cho_h.C3.A0m_s.E1.BB.91"></span>Cách cho hàm số</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=3" title="Sửa đổi phần “Cách cho hàm số”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=3" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Cách cho hàm số"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức trên từng khoảng, đoạn, nửa khoảng. </p><p>Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}. </p><p>Hàm <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\to Y}"></span> được cho bảng sau: </p> <table class="prettytable" width="30%" align="center"> <tbody><tr align="center"> <td><i>x</i></td> <td><i>1</i></td> <td><i>2</i></td> <td><i>3</i></td> <td><i>4</i></td> <td><i>5</i> </td></tr> <tr align="center"> <td><i>y</i></td> <td><i>5</i></td> <td><i>6</i></td> <td><i>7</i></td> <td><i>8</i></td> <td><i>9</i> </td></tr></tbody></table> <p>Các hàm cho bằng biểu thức như <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=2x+3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=2x+3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5b7be93304d16fb97981c62eb904d65748bf46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.749ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=2x+3}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=x^{2}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\sin x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f04ad790e245abb858bc25e22ee149dea3b53f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.826ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=\sin x}"></span>... </p><p>Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng: </p> <ul><li>Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.</li></ul> <dl><dd>Ví dụ: Hàm số <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\log }_{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>log</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\log }_{2}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994f88235f8968dc86771234580147e417f12515" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.61ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y={\log }_{2}x}"></span> có miền xác định là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x>0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x>0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29d65cd5e5bbbf44f88b922f895f53934415262" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x>0\}}"></span> hay <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0;+\infty )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0;+\infty )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e5e2bf4d7d4a2c4cd752a29ba2a619cfa89ce7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0;+\infty )}"></span> <dl><dd><dl><dd>Hàm số <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\sqrt {(x-1)(3-x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\sqrt {(x-1)(3-x)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae368bd2743c7389ac78c9fc6c6d308f1fcca7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.861ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle y={\sqrt {(x-1)(3-x)}}}"></span> có miền xác định là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [1;3]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [1;3]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c912bda6f9de8cc164c067f38dc8221a48950f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [1;3]}"></span></dd></dl></dd></dl></dd></dl> <ul><li>Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span>, nghĩa là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}"></span>.</li></ul> <dl><dd>Ví dụ: Miền giá trị của hàm số <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\sqrt {x(5-x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\sqrt {x(5-x)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156eff5c498cc3a8d68990c142d460911b0d84c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.049ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle y={\sqrt {x(5-x)}}}"></span> là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0;2.5]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mn>2.5</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0;2.5]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b6c5dfb5574a6ef8c7bda23518eb0b49c634b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0;2.5]}"></span>.</dd></dl> <ul><li>Nếu <i>X</i>,<i>Y</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9de2255c41f9f7ec8fc01dc8b4e83765f05a334" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subset \mathbb {R} }"></span> thì hàm số được gọi là hàm số thực.</li></ul> <dl><dd>Ví dụ: Hàm lượng giác <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\sin x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f04ad790e245abb858bc25e22ee149dea3b53f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.826ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=\sin x}"></span>,hàm mũ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=2^{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=2^{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8166bab9523dd338f73987903b5c64e5f27248" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.589ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=2^{x}}"></span>,...</dd></dl> <ul><li>Nếu <i>X</i>,<i>Y</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74818ffe70ba4ed60bdcd78a09c0cd5e229a84d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subset \mathbb {C} }"></span> thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.</li></ul> <dl><dd>Ví dụ: Hàm dao động <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\cos \varphi +i\;\sin \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\cos \varphi +i\;\sin \varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d07d440430f65b49415f4f6f9dab4d44a171ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.71ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=\cos \varphi +i\;\sin \varphi }"></span>;</dd></dl> <ul><li>Nếu <i>X</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7226730e0dc524187eaf2cf1aa7ddb9fd723e771" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \subset \mathbb {N} }"></span> thì hàm số được gọi là hàm số số học.</li></ul> <dl><dd>Ví dụ: Hàm Euler <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb3dbe542ca7d51c4f32e32cefb8572edb26ab3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.589ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (n)}"></span> biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3213bbd075ed40d41d2b72dfaa4a190e031d3fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.534ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (n)}"></span> biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_dạng_của_hàm_số"><span id="C.C3.A1c_d.E1.BA.A1ng_c.E1.BB.A7a_h.C3.A0m_s.E1.BB.91"></span>Các dạng của hàm số</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=4" title="Sửa đổi phần “Các dạng của hàm số”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=4" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các dạng của hàm số"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Đơn_ánh,_song_ánh,_toàn_ánh"><span id=".C4.90.C6.A1n_.C3.A1nh.2C_song_.C3.A1nh.2C_to.C3.A0n_.C3.A1nh"></span>Đơn ánh, song ánh, toàn ánh</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=5" title="Sửa đổi phần “Đơn ánh, song ánh, toàn ánh”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=5" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đơn ánh, song ánh, toàn ánh"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Đơn_ánh"><span id=".C4.90.C6.A1n_.C3.A1nh"></span>Đơn ánh</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=6" title="Sửa đổi phần “Đơn ánh”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=6" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đơn ánh"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau. </p><p>Một cách chặt chẽ, hàm <i>f</i>, xác định trên <i>X</i> và nhận giá trị trong <i>Y</i>, là <b>đơn ánh</b> nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi <i>x</i><sub>1</sub> và <i>x</i><sub>2</sub> thuộc <i>X</i> và nếu <i>x</i><sub>1</sub> ≠ <i>x</i><sub>2</sub> thì <i>f</i>(<i>x</i><sub>1</sub>) ≠ <i>f</i>(<i>x</i><sub>2</sub>). </p><p>Nghĩa là, hàm số <i>f</i> là đơn ánh khi và chỉ khi: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in {\mathit {X}}\,\!;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">X</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in {\mathit {X}}\,\!;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f53d13e7a93b091957d2eced475e8f993c9da2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in {\mathit {X}}\,\!;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}"></span></dd></dl> <p>Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Toàn_ánh"><span id="To.C3.A0n_.C3.A1nh"></span>Toàn ánh</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=7" title="Sửa đổi phần “Toàn ánh”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=7" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Toàn ánh"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hàm số <i>f</i> được gọi là <b>toàn ánh</b> nếu như với mọi số <i>y</i> thuộc <i>Y</i> ta luôn tìm được ít nhất một số <i>x</i> thuộc X sao cho <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>y</i>. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử <i>y</i> thuộc <i>Y</i> đều là <i>ảnh</i> của ít nhất một <i>tạo ảnh</i> <i>x</i> thuộc <i>X</i> qua ánh xạ <i>f</i>. </p><p>Nghĩa là, hàm số <i>f</i> là toàn ánh khi và chỉ khi: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828cb8a1a11988861594de37658c0a93a190ec53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y}"></span> cũng tức là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathit {f(X)=Y}}\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">f</mi> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">(</mo> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">X</mi> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">)</mo> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">=</mo> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">Y</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathit {f(X)=Y}}\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca05492dd04d2df0ceb9317ebc95661104a982d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.052ex; margin-right: -0.387ex; width:9.582ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathit {f(X)=Y}}\,\!}"></span></dd></dl> <p>Đồ thị hàm <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceab146b2e6d4d4a3580db2ba2d1d240edcbc080" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)\,}"></span> cắt đường thẳng <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y_{0}\forall y_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y_{0}\forall y_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f2bd661d774ca4cfc75126c8ce38e37e0d2a37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.933ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=y_{0}\forall y_{0}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Song_ánh"><span id="Song_.C3.A1nh"></span>Song ánh</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=8" title="Sửa đổi phần “Song ánh”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=8" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Song ánh"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Trong toán học, <b>song ánh</b>, hoặc <b>hàm song ánh</b>, là một hàm số <i>f</i> từ tập <i>X</i> vào tập <i>Y</i> thỏa mãn tính chất, đối với mỗi <i>y</i> thuộc <i>Y</i>, có duy nhất một <i>x</i> thuộc <i>X</i> sao cho <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>y</i>. </p><p>Nói cách khác, <i>f</i> là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là <b>tương ứng một-một</b> giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh. </p><p>Ví dụ, xét hàm <i>f</i>xác định trên tập hợp số nguyên  vào, được định nghĩa <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i> + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (<i>x</i>,<i>y</i>) hàm <i>f</i> xác định bởi <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) = (<i>x</i> + <i>y</i>, <i>x</i> − <i>y</i>) là một <b>song ánh</b> </p><p>Hàm song ánh đôi khi còn gọi là <b>hoán vị</b>. </p><p>Tập hợp tất cả các song ánh từ tập <i>X</i> vào tập <i>Y</i> được ký hiệu là <i>X</i> ↔ <i>Y</i>. Thông thường tập các hoán vị của tập <i>X</i> được ký hiệu là <i>X</i>!. </p><p>Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Minh_hoạ"><span id="Minh_ho.E1.BA.A1"></span>Minh hoạ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=9" title="Sửa đổi phần “Minh hoạ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=9" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Minh hoạ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table cellspacing="10"> <tbody><tr><td align="center"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Don_anh.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/thumb/1/13/Don_anh.png/170px-Don_anh.png" decoding="async" width="170" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/thumb/1/13/Don_anh.png/255px-Don_anh.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/thumb/1/13/Don_anh.png/340px-Don_anh.png 2x" data-file-width="507" data-file-height="501" /></a></span></td><td></td><td align="center"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Toan_anh.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Toan_anh.png/170px-Toan_anh.png" decoding="async" width="170" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Toan_anh.png/255px-Toan_anh.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Toan_anh.png/340px-Toan_anh.png 2x" data-file-width="507" data-file-height="501" /></a></span></td><td></td><td align="center"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Song_anh.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Song_anh.png/170px-Song_anh.png" decoding="async" width="170" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Song_anh.png/255px-Song_anh.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Song_anh.png/340px-Song_anh.png 2x" data-file-width="507" data-file-height="501" /></a></span></td></tr> <tr><td align="center">Đơn ánh nhưng <br />không phải toàn ánh</td><td width="50"></td><td align="center">Toàn ánh nhưng<br />không phải đơn ánh</td><td width="50"></td><td align="center">Song ánh</td></tr> </tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hàm_hợp_và_hàm_ngược"><span id="H.C3.A0m_h.E1.BB.A3p_v.C3.A0_h.C3.A0m_ng.C6.B0.E1.BB.A3c"></span>Hàm hợp và hàm ngược</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=10" title="Sửa đổi phần “Hàm hợp và hàm ngược”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=10" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hàm hợp và hàm ngược"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hàm_hợp"><span id="H.C3.A0m_h.E1.BB.A3p"></span>Hàm hợp</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=11" title="Sửa đổi phần “Hàm hợp”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=11" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hàm hợp"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cho các hàm số: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebee646f5b98b22b0f60e85327aa5f05c6b2f38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.595ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\colon X\to Y}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}\colon Y\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}\colon Y\to Z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701275dfe9dcb8f90ba65600682684f5c760c1bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.295ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}\colon Y\to Z}"></span></dd></dl> <p>trong đó <i>X</i>, <i>Y</i>, <i>Z</i> là các tập hợp số nói chung. <b>Hàm hợp</b> của <i>f</i><sub>1</sub> và <i>f</i><sub>2</sub> là hàm số: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b0f479c16dfae38643455c295dea53be87e2ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Z}"></span></dd></dl> <p>được định nghĩa bởi: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathit {f(x)=f_{2}(f_{1}(x));x}}\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">f</mi> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">(</mo> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">)</mo> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">=</mo> <msub> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">2</mn> </mrow> </msub> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">(</mo> <msub> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">1</mn> </mrow> </msub> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">(</mo> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">)</mo> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic" stretchy="false">)</mo> <mo class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">;</mo> <mi class="MJX-tex-mathit" mathvariant="italic">x</mi> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathit {f(x)=f_{2}(f_{1}(x));x}}\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de55aa98c2c8c4b10c261a0ba4116f24b94b946" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.052ex; width:22.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathit {f(x)=f_{2}(f_{1}(x));x}}\in X}"></span></dd></dl> <p>Có thể ký hiệu hàm hợp là: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=f_{2}\circ f_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=f_{2}\circ f_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab264a94bd08e8335789be6d95973e3bc4dcff8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=f_{2}\circ f_{1}}"></span></dd></dl> <p>Ví dụ, hàm số <i>f</i>(x) = sin (<i>x</i><sup>2</sup>+1) là hàm số hợp <i>f</i><sub>2</sub>(<i>f</i><sub>1</sub>(x)), trong đó <i>f</i><sub>2</sub>(y) = sin(<i>y</i>), <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = (<i>x</i><sup>2</sup> +1). </p><p>Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Hàm_ngược"><span id="H.C3.A0m_ng.C6.B0.E1.BB.A3c"></span>Hàm ngược</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=12" title="Sửa đổi phần “Hàm ngược”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=12" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hàm ngược"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cho hàm số song ánh: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"></span></dd></dl> <p>trong đó <i>X</i>, <i>Y</i> là tập hợp số nói chung.Khi đó mỗi phần tử <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) với <i>y</i> nằm trong <i>Y</i> đều là ảnh của một và chỉ một phần tử <i>x</i> trong <i>X</i>. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử <i>y</i> trong <i>Y</i> với một phần tử <i>x</i> trong <i>X</i>. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ <i>Y</i> sang <i>X</i>, hàm số này được gọi là <b>hàm số ngược</b> của hàm số <i>f</i> và được ký hiệu là: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon y\mapsto x=f^{-1}(y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon y\mapsto x=f^{-1}(y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83da43e96b8d9c564346072d8a22b7dc926ab590" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.503ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon y\mapsto x=f^{-1}(y)}"></span></dd></dl> <p>Nếu <i>f</i><sup>−1</sup>(<i>x</i>) tồn tại ta nói hàm số <i>f</i>(<i>x</i>) là <b>khả nghịch</b>. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm <i>f</i>(<i>x</i>) khả nghịch, tức là nếu <i>f</i>(<i>x</i>) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược <i>f</i><sup>−1</sup>(<i>x</i>) và ngược lại. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Đồ_thị_của_hàm_số"><span id=".C4.90.E1.BB.93_th.E1.BB.8B_c.E1.BB.A7a_h.C3.A0m_s.E1.BB.91"></span>Đồ thị của hàm số</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=13" title="Sửa đổi phần “Đồ thị của hàm số”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=13" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đồ thị của hàm số"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Xem thêm: <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Đồ thị của hàm số">Đồ thị của hàm số</a></div> <p>Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) nào đó, ví dụ như <i>y</i> = <i>x</i><sup>2</sup> - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng <i>x</i> với <i>y</i> của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số <i>x</i> và các giá trị hàm số <i>y</i> tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng <b>đồ thị</b> của nó. </p><p>Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Đồ thị hàm số">đồ thị hàm số</a> được định nghĩa như sau: </p> <dl><dd>Đồ thị của hàm số <i>y </i>= <i>f</i>(<i>x</i>) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng <b>R</b><sup>2</sup> có tọa độ [<i>x</i>, <i>f</i>(<i>x</i>)].</dd></dl> <p>Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle graphf\equiv {\begin{Bmatrix}(x,y)\in R^{2}\mid y=f(x)\end{Bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mi>h</mi> <mi>f</mi> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle graphf\equiv {\begin{Bmatrix}(x,y)\in R^{2}\mid y=f(x)\end{Bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6ae9ffa64ac11aa5973779e72da0473d0a6434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:34.952ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle graphf\equiv {\begin{Bmatrix}(x,y)\in R^{2}\mid y=f(x)\end{Bmatrix}}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_tính_chất_của_hàm_số"><span id="C.C3.A1c_t.C3.ADnh_ch.E1.BA.A5t_c.E1.BB.A7a_h.C3.A0m_s.E1.BB.91"></span>Các tính chất của hàm số</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=14" title="Sửa đổi phần “Các tính chất của hàm số”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=14" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các tính chất của hàm số"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_đơn_điệu"><span id="T.C3.ADnh_.C4.91.C6.A1n_.C4.91i.E1.BB.87u"></span>Tính đơn điệu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=15" title="Sửa đổi phần “Tính đơn điệu”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=15" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính đơn điệu"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_%C4%91%C6%A1n_%C4%91i%E1%BB%87u" title="Hàm số đơn điệu">Hàm số đơn điệu</a></div><p>Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói: </p><ul><li>Hàm số y= f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}}"></span> thuộc K mà <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}"></span> nhỏ hơn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}}"></span> thì <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af71fd012905bda20f1c736716748676d67c93f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})}"></span> nhỏ hơn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c20b8a11295ef90324bb4ece6fe2a3dbb6ac996" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{2})}"></span>, tức là: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005450663b2c4cedeb75c7bb429b4d5898ac2367" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}"></span></li> <li>Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}"></span>,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}}"></span> thuộc K mà <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}"></span> nhỏ hơn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{2}}"></span> thì <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af71fd012905bda20f1c736716748676d67c93f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})}"></span> lớn hơn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c20b8a11295ef90324bb4ece6fe2a3dbb6ac996" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{2})}"></span>, tức là: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8ce5f33d14a3e1341d4acf3ab636fea3dc98af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_chẵn_lẻ"><span id="T.C3.ADnh_ch.E1.BA.B5n_l.E1.BA.BB"></span>Tính chẵn lẻ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=16" title="Sửa đổi phần “Tính chẵn lẻ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=16" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính chẵn lẻ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Điều_kiện_để_một_hàm_số_chẵn_hoặc_lẻ"><span id=".C4.90i.E1.BB.81u_ki.E1.BB.87n_.C4.91.E1.BB.83_m.E1.BB.99t_h.C3.A0m_s.E1.BB.91_ch.E1.BA.B5n_ho.E1.BA.B7c_l.E1.BA.BB"></span>Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=17" title="Sửa đổi phần “Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=17" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Cho hàm số y=f(x) xác định trên D </p> <ol><li>Điều kiện tiên quyết để hàm số có tính chẵn lẻ là tập xác định của hàm số phải đối xứng qua điểm 0, tức là <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in D,-x\in D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in D,-x\in D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee5ffb5d47482d28c112a06071c53079a9d60e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.324ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in D,-x\in D}"></span></li> <li>Để hàm số được xem là chẵn cần thêm điều kiện f(-x) = f(x)</li> <li>Để hàm số được xem là lẻ cần thêm điều kiện f(-x) = -f(x)</li> <li>Nếu thiếu điều kiện 1 hoặc cả hai điều kiện 2 và 3 thì xem như hàm số không có tính chẵn lẻ.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Đồ_thị_của_hàm_số_chẵn_và_hàm_số_lẻ"><span id=".C4.90.E1.BB.93_th.E1.BB.8B_c.E1.BB.A7a_h.C3.A0m_s.E1.BB.91_ch.E1.BA.B5n_v.C3.A0_h.C3.A0m_s.E1.BB.91_l.E1.BA.BB"></span>Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=18" title="Sửa đổi phần “Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=18" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Trong <a href="/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_Descartes" title="Hệ tọa độ Descartes">mặt phẳng tọa độ Descartes</a>: </p> <ul><li>Đồ thị của mọi hàm số chẵn đều nhận trục Oy làm trục đối xứng.</li> <li>Đồ thị của mọi hàm số lẻ đều nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tham_khảo"><span id="Tham_kh.E1.BA.A3o"></span>Tham khảo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=19" title="Sửa đổi phần “Tham khảo”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=19" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tham khảo"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71728118">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-:1-2"><b><a href="#cite_ref-:1_2-0">^</a></b> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r67233549">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"“""”""‘""’"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/">“Compendium of Mathematical Symbols”</a>. <i>Math Vault</i> (bằng tiếng Anh). 1 tháng 3 năm 2020<span class="reference-accessdate">. Truy cập ngày 17 tháng 8 năm 2020</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Math+Vault&rft.atitle=Compendium+of+Mathematical+Symbols&rft.date=2020-03-01&rft_id=https%3A%2F%2Fmathvault.ca%2Fhub%2Fhigher-math%2Fmath-symbols%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-MacLane-3"><b><a href="#cite_ref-MacLane_3-0">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMacLaneBirkhoff1967" class="citation book cs1"><a href="/w/index.php?title=Saunders_MacLane&action=edit&redlink=1" class="new" title="Saunders MacLane (trang không tồn tại)">MacLane, Saunders</a>; <a href="/w/index.php?title=Garrett_Birkhoff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Garrett Birkhoff (trang không tồn tại)">Birkhoff, Garrett</a> (1967). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/algebra00macl"><i>Algebra</i></a> . New York: Macmillan<span class="reference-accessdate">. Truy cập ngày 31 tháng 1 năm 2021</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.place=New+York&rft.edition=First&rft.pub=Macmillan&rft.date=1967&rft.aulast=MacLane&rft.aufirst=Saunders&rft.au=Birkhoff%2C+Garrett&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Falgebra00macl&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathsisfun.com/sets/function.html">“What is a Function”</a>. <i>www.mathsisfun.com</i><span class="reference-accessdate">. Truy cập ngày 17 tháng 8 năm 2020</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=www.mathsisfun.com&rft.atitle=What+is+a+Function&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.mathsisfun.com%2Fsets%2Ffunction.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/function-mathematics">“function | Definition, Types, Examples, & Facts”</a>. <i>Encyclopedia Britannica</i> (bằng tiếng Anh)<span class="reference-accessdate">. Truy cập ngày 17 tháng 8 năm 2020</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Encyclopedia+Britannica&rft.atitle=function+%7C+Definition%2C+Types%2C+Examples%2C+%26+Facts&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.britannica.com%2Fscience%2Ffunction-mathematics&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTESpivak200839-7"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTESpivak200839_7-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFSpivak2008">Spivak 2008</a>, tr. 39.<span class="error harv-error" style="display: none; font-size:100%">Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFSpivak2008 (<a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%97i_b%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_Harv_v%C3%A0_Sfn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Lỗi bản mẫu Harv và Sfn (trang không tồn tại)">trợ giúp</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHamilton1982" class="citation book cs1">Hamilton, A. G. (1982). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/numberssetsaxiom0000hami"><i>Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics</i></a>. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://archive.org/details/numberssetsaxiom0000hami/page/83">https://archive.org/details/numberssetsaxiom0000hami/page/83</a> 83: Cambridge University Press. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-24509-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-24509-8"><bdi>978-0-521-24509-8</bdi></a>. <q>function is a relation.</q></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Numbers%2C+sets%2C+and+axioms%3A+the+apparatus+of+mathematics&rft.place=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fnumberssetsaxiom0000hami%2Fpage%2F83+83&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=1982&rft.isbn=978-0-521-24509-8&rft.aulast=Hamilton&rft.aufirst=A.+G.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fnumberssetsaxiom0000hami&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span><span class="cs1-maint citation-comment">Quản lý CS1: địa điểm (<a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Qu%E1%BA%A3n_l%C3%BD_CS1:_%C4%91%E1%BB%8Ba_%C4%91i%E1%BB%83m" title="Thể loại:Quản lý CS1: địa điểm">liên kết</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Function.html">“Function”</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (bằng tiếng Anh)<span class="reference-accessdate">. Truy cập ngày 17 tháng 8 năm 2020</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Function&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFunction.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEApostol198135-11"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEApostol198135_11-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFApostol1981">Apostol 1981</a>, tr. 35.<span class="error harv-error" style="display: none; font-size:100%">Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFApostol1981 (<a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%97i_b%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_Harv_v%C3%A0_Sfn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Lỗi bản mẫu Harv và Sfn (trang không tồn tại)">trợ giúp</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEKaplan197225-12"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEKaplan197225_12-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFKaplan1972">Kaplan 1972</a>, tr. 25.<span class="error harv-error" style="display: none; font-size:100%">Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFKaplan1972 (<a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%97i_b%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_Harv_v%C3%A0_Sfn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Lỗi bản mẫu Harv và Sfn (trang không tồn tại)">trợ giúp</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-T&K_Calc_p.3-15"><b><a href="#cite_ref-T&K_Calc_p.3_15-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Taalman_Kohn_Calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bản mẫu:Taalman Kohn Calculus (trang không tồn tại)">Bản mẫu:Taalman Kohn Calculus</a></span> </li> <li id="cite_note-Trench_RA_pp.30-32-16"><b><a href="#cite_ref-Trench_RA_pp.30-32_16-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Trench_Intro_Real_Analysis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bản mẫu:Trench Intro Real Analysis (trang không tồn tại)">Bản mẫu:Trench Intro Real Analysis</a></span> </li> <li id="cite_note-TBB_RA_pp.A4-A5-17">^ <a href="#cite_ref-TBB_RA_pp.A4-A5_17-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-TBB_RA_pp.A4-A5_17-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Thomson_Bruckner_Bruckner_Elementary_Real_Analysis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bản mẫu:Thomson Bruckner Bruckner Elementary Real Analysis (trang không tồn tại)">Bản mẫu:Thomson Bruckner Bruckner Elementary Real Analysis</a></span> </li> <li id="cite_note-PCM_p.11-18"><b><a href="#cite_ref-PCM_p.11_18-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Princeton_Companion_to_Mathematics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bản mẫu:Princeton Companion to Mathematics (trang không tồn tại)">Bản mẫu:Princeton Companion to Mathematics</a></span> </li> <li id="cite_note-RM-19"><b><a href="#cite_ref-RM_19-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=Gunther_Schmidt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gunther Schmidt (trang không tồn tại)">Gunther Schmidt</a>(2011) <i>Relational Mathematics</i>, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, sect 5.1 Functions, pp. 49–60, <a href="/wiki/Nh%C3%A0_xu%E1%BA%A5t_b%E1%BA%A3n_%C4%90%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc_Cambridge" title="Nhà xuất bản Đại học Cambridge">Cambridge University Press</a> <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-76268-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-76268-7">978-0-521-76268-7</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/logic-categories-and-sets/relational-mathematics?format=HB">CUP blurb for <i>Relational Mathematics</i></a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chú_thích"><span id="Ch.C3.BA_th.C3.ADch"></span>Chú thích</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&veaction=edit&section=20" title="Sửa đổi phần “Chú thích”" class="mw-editsection-visualeditor"><span>sửa</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&action=edit&section=20" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Chú thích"><span>sửa mã nguồn</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">The words <b>map</b>, <b>mapping</b>, <b>transformation</b>, <b>correspondence</b>, and <b>operator</b> are often used synonymously. <a href="#CITEREFHalmos1970">Halmos 1970</a><span class="error harv-error" style="display: none; font-size:100%">Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFHalmos1970 (<a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%97i_b%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_Harv_v%C3%A0_Sfn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thể loại:Lỗi bản mẫu Harv và Sfn (trang không tồn tại)">trợ giúp</a>)</span>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text">This definition of "graph" refers to a <i>set</i> of pairs of objects. Graphs, in the sense of <i>diagrams</i>, are most applicable to functions from the real numbers to themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).</span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text">The sets <i>X</i>, <i>Y</i> are parts of data defining a function; i.e., a function is a set of ordered pairs <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> with <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X,y\in Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X,y\in Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90089576a4c630447d7ef7b0015e50a847b364e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.954ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\in X,y\in Y}"></span>, together with the sets <i>X</i>, <i>Y</i>, such that for each <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"></span>, there is a unique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee1c0ec36a82f33f5e3d7434d5667881b4ec323" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in Y}"></span> with <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"></span> in the set.</span> </li> <li id="cite_note-13"><b><a href="#cite_ref-13">^</a></b> <span class="reference-text">This follows from the <a href="/w/index.php?title=Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81_v%E1%BB%81_t%C3%ADnh_m%E1%BB%9F_r%E1%BB%99ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tiên đề về tính mở rộng (trang không tồn tại)">axiom of extensionality</a>, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to be handled with care; see, for example, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.stackexchange.com/q/1403122">“When do two functions become equal?”</a>. <i><a href="/wiki/Stack_Exchange" title="Stack Exchange">Stack Exchange</a></i>. ngày 19 tháng 8 năm 2015.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Stack+Exchange&rft.atitle=When+do+two+functions+become+equal%3F&rft.date=2015-08-19&rft_id=https%3A%2F%2Fmath.stackexchange.com%2Fq%2F1403122&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AH%C3%A0m+s%E1%BB%91" class="Z3988"></span></span> </li> <li id="cite_note-14"><b><a href="#cite_ref-14">^</a></b> <span class="reference-text">called the <i>domain of definition</i> by some authors, notably computer science</span> </li> </ol><div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r70958518">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71573313">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="Tiêu_đề_chuẩn_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q11348#identifiers&#124;class=noprint&#124;Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Tiêu_đề_chuẩn_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q11348#identifiers&#124;class=noprint&#124;Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_so%C3%A1t_t%C3%ADnh_nh%E1%BA%A5t_qu%C3%A1n" title="Kiểm soát tính nhất quán">Tiêu đề chuẩn</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q11348#identifiers" title="Sửa dữ liệu tại Wikidata"><img alt="Sửa dữ liệu tại Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><span class="nowrap"><a href="/wiki/Th%C6%B0_vi%E1%BB%87n_Qu%E1%BB%91c_gia_Ph%C3%A1p" title="Thư viện Quốc gia Pháp">BNF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11946892t">cb11946892t</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11946892t">(data)</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4071510-3">4071510-3</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="/wiki/LCCN" title="LCCN">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85052327">sh85052327</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/NDL_(identifier)" class="extiw" title="en:NDL (identifier)">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00564960">00564960</a></span></span></li> <li><span class="nowrap"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/NKC_(identifier)" class="extiw" title="en:NKC (identifier)">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph114594&CON_LNG=ENG">ph114594</a></span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Lấy từ “<a dir="ltr" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_số&oldid=70714518">https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_số&oldid=70714518</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i" title="Đặc biệt:Thể loại">Thể loại</a>: <ul><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:H%C3%A0m_s%E1%BB%91_v%C3%A0_%C3%A1nh_x%E1%BA%A1" title="Thể loại:Hàm số và ánh xạ">Hàm số và ánh xạ</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%C3%A1i_ni%E1%BB%87m_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n_trong_l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p" title="Thể loại:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp">Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p" title="Thể loại:Toán học sơ cấp">Toán học sơ cấp</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Thu%E1%BA%ADt_ng%E1%BB%AF_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Thể loại:Thuật ngữ toán học">Thuật ngữ toán học</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Thể loại ẩn: <ul><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ngu%E1%BB%93n_CS1_ti%E1%BA%BFng_Anh_(en)" title="Thể loại:Nguồn CS1 tiếng Anh (en)">Nguồn CS1 tiếng Anh (en)</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%97i_kh%C3%B4ng_c%C3%B3_m%E1%BB%A5c_ti%C3%AAu_Harv_v%C3%A0_Sfn" title="Thể loại:Lỗi không có mục tiêu Harv và Sfn">Lỗi không có mục tiêu Harv và Sfn</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Qu%E1%BA%A3n_l%C3%BD_CS1:_%C4%91%E1%BB%8Ba_%C4%91i%E1%BB%83m" title="Thể loại:Quản lý CS1: địa điểm">Quản lý CS1: địa điểm</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n" title="Thể loại:Bài cơ bản">Bài cơ bản</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_webarchive_d%C3%B9ng_li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_wayback" title="Thể loại:Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback">Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_BNF" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng BNF">Bài viết chứa nhận dạng BNF</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_GND" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng GND">Bài viết chứa nhận dạng GND</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_LCCN" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng LCCN">Bài viết chứa nhận dạng LCCN</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_NDL" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng NDL">Bài viết chứa nhận dạng NDL</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_NKC" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng NKC">Bài viết chứa nhận dạng NKC</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Trang này được sửa đổi lần cuối vào ngày 21 tháng 9 năm 2023, 15:34.</li> <li id="footer-info-copyright">Văn bản được phát hành theo <a href="/wiki/Wikipedia:Nguy%C3%AAn_v%C4%83n_Gi%E1%BA%A5y_ph%C3%A9p_Creative_Commons_Ghi_c%C3%B4ng%E2%80%93Chia_s%E1%BA%BB_t%C6%B0%C6%A1ng_t%E1%BB%B1_phi%C3%AAn_b%E1%BA%A3n_4.0_Qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF" title="Wikipedia:Nguyên văn Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự phiên bản 4.0 Quốc tế">Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự</a>; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Với việc sử dụng trang web này, bạn chấp nhận <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/vi">Điều khoản Sử dụng</a> và <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/vi">Quy định quyền riêng tư</a>. Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, một tổ chức phi lợi nhuận.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Quy định quyền riêng tư</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u">Giới thiệu Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Ph%E1%BB%A7_nh%E1%BA%ADn_chung">Lời phủ nhận</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Bộ Quy tắc Ứng xử Chung</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Lập trình viên</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/vi.wikipedia.org">Thống kê</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Tuyên bố về cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//vi.m.wikipedia.org/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Phiên bản di động</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-xncpt","wgBackendResponseTime":203,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.460","walltime":"0.655","ppvisitednodes":{"value":2278,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":41497,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1417,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":5,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":35848,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 404.397 1 -total"," 31.02% 125.436 1 Bản_mẫu:Tham_khảo"," 26.68% 107.892 1 Bản_mẫu:Authority_control"," 21.48% 86.870 5 Bản_mẫu:Chú_thích_web"," 10.84% 43.845 1 Bản_mẫu:1000_bài_cơ_bản"," 10.34% 41.800 1 Bản_mẫu:Top_icon"," 10.14% 41.010 3 Bản_mẫu:Sfn"," 8.06% 32.599 1 Bản_mẫu:Xử_lý_thể_loại"," 4.93% 19.947 1 Bản_mẫu:Hàm_số"," 4.22% 17.067 1 Bản_mẫu:Sidebar"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.216","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5172213,"limit":52428800},"limitreport-logs":"anchor_id_list = table#1 {\n [\"CITEREFHamilton1982\"] = 1,\n [\"CITEREFMacLaneBirkhoff1967\"] = 1,\n [\"CITEREFWeisstein\"] = 1,\n}\ntemplate_list = table#1 {\n [\"!\"] = 1,\n [\"1000 bài cơ bản\"] = 1,\n [\"=\"] = 1,\n [\"Authority control\"] = 1,\n [\"Chính\"] = 1,\n [\"Chú thích sách\"] = 2,\n [\"Chú thích web\"] = 5,\n [\"Harvard citation no brackets\"] = 1,\n [\"Hàm số\"] = 1,\n [\"ISBN\"] = 1,\n [\"Math\"] = 26,\n [\"Mvar\"] = 41,\n [\"Nowrap\"] = 1,\n [\"Princeton Companion to Mathematics\"] = 1,\n [\"Sfn\"] = 3,\n [\"Space\"] = 2,\n [\"Taalman Kohn Calculus\"] = 1,\n [\"Tham khảo\"] = 1,\n [\"Thomson Bruckner Bruckner Elementary Real Analysis\"] = 1,\n [\"Trench Intro Real Analysis\"] = 1,\n [\"Webarchive\"] = 3,\n [\"Xem thêm\"] = 1,\n}\narticle_whitelist = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-g2nql","timestamp":"20241125065751","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"H\u00e0m s\u1ed1","url":"https:\/\/vi.wikipedia.org\/wiki\/H%C3%A0m_s%E1%BB%91","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","author":{"@type":"Organization","name":"Nh\u1eefng ng\u01b0\u1eddi \u0111\u00f3ng g\u00f3p v\u00e0o c\u00e1c d\u1ef1 \u00e1n Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Qu\u1ef9 Wikimedia","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-03-16T21:30:49Z","dateModified":"2023-09-21T15:34:06Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/3\/3b\/Function_machine2.svg","headline":"m\u1ed9t lo\u1ea1i \u00e1nh x\u1ea1 gi\u1eefa hai t\u1eadp h\u1ee3p s\u1ed1 li\u00ean k\u1ebft m\u1ecdi ph\u1ea7n t\u1eed c\u1ee7a t\u1eadp s\u1ed1 \u0111\u1ea7u ti\u00ean v\u1edbi \u0111\u00fang m\u1ed9t ph\u1ea7n t\u1eed c\u1ee7a t\u1eadp s\u1ed1 th\u1ee9 hai"}</script> </body> </html>