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class="vector-toc-numb">7</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Toro (geometría)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. 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href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B7%D8%A7%D8%B1%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="طارة (رياضيات) (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="طارة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Tor_(h%C9%99nd%C9%99si_fiqur)" title="Tor (həndəsi fiqur) (azerbaiyano)" lang="az" hreflang="az" data-title="Tor (həndəsi fiqur)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaiyano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%8B%D1%8F)" title="Тор (геаметрыя) (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Тор (геаметрыя)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Тор (геометрия) (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Тор (геометрия)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Torus" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Tor_(geometria)" title="Tor (geometria) (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Tor (geometria)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-co mw-list-item"><a href="https://co.wikipedia.org/wiki/Toru_(giumitria)" title="Toru (giumitria) (corso)" lang="co" hreflang="co" data-title="Toru (giumitria)" data-language-autonym="Corsu" data-language-local-name="corso" class="interlanguage-link-target"><span>Corsu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Torus" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%C3%A7%D0%B8%D0%B9)" title="Тор (çий) (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Тор (çий)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Torus" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Torus" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CF%8C%CF%81%CE%BF%CF%82" title="Τόρος (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Τόρος" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Torus" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometrio)" title="Toro (geometrio) (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Toro (geometrio)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Toor" title="Toor (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Toor" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Toru" title="Toru (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Toru" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%86%D9%86%D8%A8%D8%B1%D9%87" title="چنبره (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="چنبره" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Torus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Tore" title="Tore (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Tore" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Ring_(Geometrii)" title="Ring (Geometrii) (frisón septentrional)" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Ring (Geometrii)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frisón septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/T%C3%B3ras" title="Tóras (irlandés)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Tóras" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Toro_(xeometr%C3%ADa_e_topolox%C3%ADa)" title="Toro (xeometría e topoloxía) (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Toro (xeometría e topoloxía)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%A1" title="טורוס (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="טורוס" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%9F%E0%A5%89%E0%A4%B0%E0%A4%B8" title="टॉरस (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="टॉरस" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Torus" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/T%C3%B3rusz" title="Tórusz (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Tórusz" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%B8%D6%80_(%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D6%80%D6%87%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A9)" title="Տոր (մակերևույթ) (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Տոր (մակերևույթ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Toro" title="Toro (interlingua)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Toro" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Torus" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Toro" title="Toro (ido)" lang="io" hreflang="io" data-title="Toro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria)" title="Toro (geometria) (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Toro (geometria)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トーラス (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="トーラス" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98_(%E1%83%92%E1%83%94%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%94%E1%83%A2%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90)" title="ტორი (გეომეტრია) (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ტორი (გეომეტრია)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" 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data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0)" title="Тор (геометрија) (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Тор (геометрија)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%9F%E0%B5%8B%E0%B4%B1%E0%B4%B8%E0%B5%8D" title="ടോറസ് (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ടോറസ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Torus" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Torus" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Torus" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Torus" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/T%C3%B2r_(geometria)" title="Tòr (geometria) (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Tòr (geometria)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Torus_(matematyka)" title="Torus (matematyka) (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Torus (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Toro_(topologia)" title="Toro (topologia) (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Toro (topologia)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Tor" title="Tor (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Tor" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)" title="Тор (поверхность) (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Тор (поверхность)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Toru_(giometr%C3%ACa)" title="Toru (giometrìa) (siciliano)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Toru (giometrìa)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Torus" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Torus" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Torus_(geometria)" title="Torus (geometria) (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Torus (geometria)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Torus" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Torusi" title="Torusi (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Torusi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80%D1%83%D1%81" title="Торус (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Торус" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Torus" title="Torus (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Torus" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%89%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%B3%E0%AF%8D%E0%AE%B5%E0%AE%B3%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="உருள்வளையம் (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="உருள்வளையம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA_(%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95)" title="ทอรัส (เรขาคณิต) (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="ทอรัส (เรขาคณิต)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Simit_(geometri)" title="Simit (geometri) (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Simit (geometri)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Тор (геометрія) (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Тор (геометрія)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Tor_(jism)" title="Tor (jism) (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Tor (jism)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_xuy%E1%BA%BFn" title="Hình xuyến (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hình xuyến" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%AF%E9%9D%A2" title="环面 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="环面" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80" title="Тор (kalmyk)" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Тор" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kalmyk" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%AF%E9%9D%A2" title="环面 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="环面" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q12510#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" 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data-file-width="4000" data-file-height="2680" /></a><figcaption>Un toro anular con una selección de círculos en su superficie</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Ring_Torus_to_Degenerate_Torus_(Short).gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Ring_Torus_to_Degenerate_Torus_%28Short%29.gif/220px-Ring_Torus_to_Degenerate_Torus_%28Short%29.gif" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Ring_Torus_to_Degenerate_Torus_%28Short%29.gif 1.5x" data-file-width="240" data-file-height="180" /></a><figcaption>A medida que disminuye la distancia al eje de revolución, el toroide anular se convierte en un toroide de cuerno, luego en un toroide de huso y, finalmente, degenera en una esfera de doble cubierta.</figcaption></figure> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r149591075/mw-parser-output/.tmulti">.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti 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/></a></span></div><div class="thumbcaption">R > r:<br /> Toro de anillo</div></div><div class="tsingle" style="width:102px;max-width:102px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Standard_torus-horn.png" class="mw-file-description"><img alt="horn" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Standard_torus-horn.png/100px-Standard_torus-horn.png" decoding="async" width="100" height="125" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Standard_torus-horn.png/150px-Standard_torus-horn.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Standard_torus-horn.png/200px-Standard_torus-horn.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1280" /></a></span></div><div class="thumbcaption">R = r:<br /> Toro de cuerno</div></div><div class="tsingle" style="width:102px;max-width:102px"><div class="thumbimage"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Standard_torus-spindle.png" class="mw-file-description"><img alt="spindle" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Standard_torus-spindle.png/100px-Standard_torus-spindle.png" decoding="async" width="100" height="125" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Standard_torus-spindle.png/150px-Standard_torus-spindle.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Standard_torus-spindle.png/200px-Standard_torus-spindle.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1280" /></a></span></div><div class="thumbcaption">R < r:<br /> Toro de huso</div></div></div><div class="trow" style="display:flow-root"></div><div class="thumbcaption" style="text-align:left">Mitades inferiores y secciones longitudinales de las tres clases de toro.</div></div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Torus_unfolding.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Torus_unfolding.gif/220px-Torus_unfolding.gif" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Torus_unfolding.gif/330px-Torus_unfolding.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Torus_unfolding.gif/440px-Torus_unfolding.gif 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Desarrollo de un toro.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Torus_cycles.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Torus_cycles.svg/220px-Torus_cycles.svg.png" decoding="async" width="220" height="335" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Torus_cycles.svg/330px-Torus_cycles.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Torus_cycles.svg/440px-Torus_cycles.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="780" /></a><figcaption>Un toroide anular con relación de aspecto 3, la relación entre los diámetros del círculo mayor (magenta) y el menor (rojo).</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a>, un <b>toro</b> es un tipo concreto de <b><a href="/wiki/Toroide" title="Toroide">toroide</a></b> cuya <a href="/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n" title="Superficie de revolución">superficie de revolución</a> es generada por una <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencia</a> que gira alrededor de una <a href="/wiki/Recta" title="Recta">recta</a> exterior <a href="/wiki/Coplanaridad" title="Coplanaridad">coplanaria</a> (en su plano y que no la corta)<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del <a href="/wiki/Lat%C3%ADn" title="Latín">latín</a> <i>torus</i>, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín <i>sterno</i> y griego στορέννυμι, romanizado <i>storénnymi</i>) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: una <a href="/wiki/Rosquilla" title="Rosquilla">rosquilla</a>, una cámara de neumático, etc. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geometría"><span id="Geometr.C3.ADa"></span>Geometría</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=1" title="Editar sección: Geometría"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Secci%C3%B3n_del_toro.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Secci%C3%B3n_del_toro.svg/220px-Secci%C3%B3n_del_toro.svg.png" decoding="async" width="220" height="330" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Secci%C3%B3n_del_toro.svg/330px-Secci%C3%B3n_del_toro.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Secci%C3%B3n_del_toro.svg/440px-Secci%C3%B3n_del_toro.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="300" /></a><figcaption>Representación del toro en el <a href="/wiki/Sistema_di%C3%A9drico" title="Sistema diédrico">sistema diédrico</a>.</figcaption></figure> <p>Las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica" title="Ecuación paramétrica">ecuaciones paramétricas</a> que lo definen son: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\y=\operatorname {sen} \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\z=r\operatorname {sen} \varphi \end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>sen</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>sen</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\y=\operatorname {sen} \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\z=r\operatorname {sen} \varphi \end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a69ffc61a62f0645fa3ae554d4316e2a384a3fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:26.381ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\y=\operatorname {sen} \theta \cdot (R+r\cos \varphi )\\z=r\operatorname {sen} \varphi \end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> es el radio del conducto, ambas constantes con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r<R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo><</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r<R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda3f5af44b388094e37b9ddeb9524a3433ef30c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r<R}"></span> y donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mi>φ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7600e8b5c33df50140fe98ed7e0f597244fb3b78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.728ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}"></span> son ángulos que determinan el círculo completo. </p><p>La ecuación en <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> de un toro cuyo eje es el eje <i>z</i> es: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e523d2fae8d455dbff39ee3357a3a59a897a4bd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.029ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}"></span></dd></dl> <p>La superficie <i>A</i> y el volumen <i>V</i> del toro pueden hallarse empleando el <a href="/wiki/Teorema_del_centroide_de_Pappus" title="Teorema del centroide de Pappus">teorema de Papus de Alejandría</a>. Los resultados son: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>R</mi> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b117c73eee8d824889f615be10fad853e81800d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.592ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr\,}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>R</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4601099dc8032af302a57863fe08e91d43298b89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.691ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}\,}"></span>, donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"></span> es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> es el radio de dicha sección.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\pi ^{2}Dd\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mi>d</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\pi ^{2}Dd\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5bc248d0838ee80aa3dc60dcd75772193f0885" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.757ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=\pi ^{2}Dd\,}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52efe1f02b4d3dd1953d3fca0c00cca37c8eecb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.856ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {1}{4}}\pi ^{2}Dd^{2}\,}"></span> usando los respectivos diámetros :<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=2R,d=2r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=2R,d=2r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5129e25ddbac94f7007e30825e9139a9e475341" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.509ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D=2R,d=2r}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Topología"><span id="Topolog.C3.ADa"></span>Topología</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=2" title="Editar sección: Topología"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Torus_cycles.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Torus_cycles.png/220px-Torus_cycles.png" decoding="async" width="220" height="299" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Torus_cycles.png 1.5x" data-file-width="229" data-file-height="311" /></a><figcaption>Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencias</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120ffc4a9b57e92089797fa472099abd3e1099db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.992ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}"></span>.</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">Topológicamente</a>, un toro es una <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)" title="Superficie (matemática)">superficie</a> cerrada definida como el <a href="/wiki/Producto_cartesiano" title="Producto cartesiano">producto cartesiano</a> de dos <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencias</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120ffc4a9b57e92089797fa472099abd3e1099db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.992ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}"></span> y con la <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología producto</a>. Equivalentemente, un toro es una <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)#Superficies_cerradas" title="Superficie (matemática)">superficie cerrada</a> orientable de género 1. Esta equivalencia se obtiene gracias al <a href="/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)#Teorema_de_clasificación_de_superficies_cerradas" title="Superficie (matemática)">teorema de clasificación de superficies cerradas</a>. </p><p>En <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología</a>, un «volumen tórico» o «toro sólido» (<i>vollringe</i>) es un objeto <a href="/wiki/3-variedad" title="3-variedad">tridimensional</a> obtenido mediante el producto cartesiano de un <a href="/wiki/Disco_(topolog%C3%ADa)" title="Disco (topología)">disco</a> y una <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencia</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D^{2}\times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D^{2}\times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ad57e8b3e17c03f9e4ec5ce09b34e89b2fe483" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.395ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle D^{2}\times S^{1}}"></span> </p><p>La superficie descrita, dada la <a href="/w/index.php?title=Topolog%C3%ADa_relativa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Topología relativa (aún no redactado)">topología relativa</a> de <b>R</b><sup>3</sup>, es <a href="/wiki/Homeomorfismo" title="Homeomorfismo">homeomorfa</a> con el toro topológico mientras este no intercepte con su propio eje. </p><p>El toro puede también describirse como el <a href="/wiki/Espacio_cociente" title="Espacio cociente">cociente</a> del ’’<a href="/wiki/Plano_euclidiano" class="mw-redirect" title="Plano euclidiano">plano euclidiano</a>’’ bajo las tipificaciones </p> <dl><dd>(<i>x</i>, <i>y</i>) ~ (<i>x</i>+1,<i>y</i>) ~ (<i>x</i>, <i>y</i>+1)</dd></dl> <p>Equivalentemente, como el cociente del <a href="/wiki/Cuadrado" title="Cuadrado">cuadrado</a> o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un <a href="/w/index.php?title=Pol%C3%ADgono_fundamental&action=edit&redlink=1" class="new" title="Polígono fundamental (aún no redactado)">polígono fundamental</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6caa444b9e9549d0ae674d9805da32d35f3993f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.68ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}"></span>. </p><p>Esta superficie se considera como el <b>espacio total</b> de un <a href="/wiki/Fibrado" title="Fibrado">fibrado</a> (trivial), donde el <b>espacio base</b> es la <a href="/wiki/Circunferencia" title="Circunferencia">circunferencia</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}}"></span>. </p><p>El <a href="/wiki/Grupo_fundamental" title="Grupo fundamental">grupo fundamental</a> del toro es precisamente el <a href="/wiki/Producto_directo" title="Producto directo">producto directo</a> del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">T</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfe04ccc44ae4d8c9d2f6d54f44bf0e3909f1c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.3ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }"></span></dd></dl> <p>Intuitivamente, esto significa que un <a href="/wiki/Camino_(topolog%C3%ADa)" title="Camino (topología)">camino</a> cerrado el cual rodea entre ambos, el «orificio» y el «cuerpo» del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente <b>meridionales</b> y estrictamente <b>longitudinales</b> participan en operaciones conmutativas. </p><p>El primer <a href="/w/index.php?title=Grupo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo homológico (aún no redactado)">grupo homológico</a> del toro es <a href="/wiki/Isomorfismo" title="Isomorfismo">isomorfo</a> al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">abeliano</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Toro_plano">Toro plano</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=3" title="Editar sección: Toro plano"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Torus_from_rectangle.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Torus_from_rectangle.gif/220px-Torus_from_rectangle.gif" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Torus_from_rectangle.gif/330px-Torus_from_rectangle.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Torus_from_rectangle.gif 2x" data-file-width="400" data-file-height="300" /></a><figcaption>En tres dimensiones, se puede doblar un rectángulo hasta formar un toro, pero al hacerlo normalmente se estira la superficie, como se ve por la distorsión del patrón de cuadros</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Duocylinder_ridge_animated.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Duocylinder_ridge_animated.gif" decoding="async" width="162" height="156" class="mw-file-element" data-file-width="162" data-file-height="156" /></a><figcaption>Visto en <a href="/wiki/Proyecci%C3%B3n_estereogr%C3%A1fica" title="Proyección estereográfica">proyección estereográfica</a>, un <i>toro plano</i> en 4D se puede proyectar en 3 dimensiones y girar sobre un eje fijo</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Toroidal_monohedron.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Toroidal_monohedron.png/220px-Toroidal_monohedron.png" decoding="async" width="220" height="140" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Toroidal_monohedron.png/330px-Toroidal_monohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Toroidal_monohedron.png/440px-Toroidal_monohedron.png 2x" data-file-width="1409" data-file-height="896" /></a><figcaption>El mosaico más simple de un toro plano es <a href="/wiki/Mapa_regular_(teor%C3%ADa_de_grafos)" title="Mapa regular (teoría de grafos)">{4,4}<sub>1,0</sub></a>, construido sobre la superficie de un <a href="/wiki/Duocilindro" title="Duocilindro">duocilindro</a> con 1 vértice, 2 aristas ortogonales y una cara cuadrada. Se ve aquí proyectado estereográficamente en el espacio tridimensional como un toroide</figcaption></figure> <p>Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como <a href="/wiki/Espacio_cociente_(topolog%C3%ADa)" class="mw-redirect" title="Espacio cociente (topología)">cociente</a>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"></span>/<b>L</b>, donde <b>L</b> es un subgrupo discreto de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"></span> isomorfo a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a807ab4cb3de13a66771b5a303aca31e0391e6aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.605ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"></span>. Esto le da al cociente la estructura de una <a href="/wiki/Variedad_de_Riemann" title="Variedad de Riemann">variedad de Riemann</a>. Quizás el ejemplo más simple de esto sea cuando <span style="white-space:nowrap"><b>L</b>= <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a807ab4cb3de13a66771b5a303aca31e0391e6aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.605ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"></span></span>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d7fd74bd4b629340eee46ca5632a6633a3c078" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.499ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}"></span>, que también puede describirse como un sistema de <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> bajo las identificaciones <span style="white-space:nowrap">(<i>x</i>, <i>y</i>) ~ (<i>x</i> + 1, <i>y</i>) ~ (<i>x</i>, <i>y</i> + 1)</span>. Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como toro plano "cuadrado". </p><p>Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toro en espacios euclídeos de 4 o más dimensiones. Su superficie tiene <a href="/wiki/Curvatura_de_Gauss" title="Curvatura de Gauss">curvatura de Gauss</a> cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, véase más abajo). </p><p>Un embebido euclídeo simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es el siguiente: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7687001d7c02328716c2cb696c75ae4e5f8b6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.122ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}"></span></dd></dl> <p>donde <i>R</i> y <i>P</i> son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es <a href="/wiki/Difeomorfismo" title="Difeomorfismo">difeomórfico</a> para un toro normal, pero no <a href="/wiki/Isometr%C3%ADa" title="Isometría">isométrico</a>. No se puede incrustar <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica" title="Función analítica">analíticamente</a> (mediante una función <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_infinitamente_diferenciable" title="Función infinitamente diferenciable">suave</a> de clase <span style="white-space:nowrap"><i>C<sup>k</sup></i>, 2 ≤ <i>k</i> ≤ ∞</span>) en el espacio tridimensional euclidiano. Una aplicación en el espacio tridimensional requiere que la figura se estire, en cuyo caso se parece a un toroide normal. Por ejemplo, en la siguiente aplicación: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020560be6ce8f841c385fe15edf98ad2b6747b9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.839ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}"></span></dd></dl> <p>Si <i>R</i> y <i>P</i> en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario <span style="white-space:nowrap">(<i>R</i>, <i>P</i>)= (cos(<i>η</i>), sin(<i>η</i>))</span>, entonces <i>u</i>, <i>v</i> y 0 < <i>η</i> < π/2 parametrizan la 3-esfera unidad como un sistema de <a href="/wiki/3-esfera" title="3-esfera">coordenadas de Hopf</a>. En particular, para ciertas opciones muy específicas de un toro plano cuadrado en la <a href="/wiki/3-esfera" title="3-esfera">3-esfera</a> <i>S</i><sup>3</sup>, donde <span style="white-space:nowrap"><i>η</i>= π/4</span> como arriba, el toro dividirá la 3-esfera en dos subconjuntos de toros sólidos <a href="/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa)" title="Congruencia (geometría)">congruentes</a> con la superficie del toro plano antes mencionada como su <a href="/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)" title="Frontera (topología)">frontera</a> común. Un ejemplo es el toro <b>T</b> definido por </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874898409db97ca001c1f0c9b8f6ae7693cb43ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.479ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}"></span></dd></dl> <p>Otros toros en <i>S</i><sup>3</sup> que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma <i>Q</i>⋅<i>T'</i>, donde <i>Q</i> es una rotación del espacio de 4 dimensiones <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}"></span>, o en otras palabras, <i>Q</i> es miembro del grupo de Lie SO(4). </p><p>Se sabe que no existe ninguna incrustación <i>C</i><sup>2</sup> (dos veces diferenciable continuamente) de un toro plano en el 3-espacio (la idea de la demostración es tomar una esfera grande que contenga un toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez). Tal punto de contacto debe ser una tangencia. Pero eso implicaría que parte del toro, dado que tiene curvatura cero en todas partes, debe quedar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción. Por otro lado, según el <a href="/wiki/Teorema_de_inmersi%C3%B3n_de_Nash" title="Teorema de inmersión de Nash">teorema de Nash-Kuiper</a>, que fue probado en la década de 1950, existe un embebido isométrico <i>C</i><sup>1</sup>. Esto es únicamente una prueba de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incorporación. </p><p>En abril de 2012, se encontró un embebido explícito <i>C</i><sup>1</sup> (continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio euclídeo tridimensional <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span>.<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Es un toro plano en el sentido de que, como espacios métricos, es isométrico a un toro cuadrado plano. Tiene una estructura similar a un <a href="/wiki/Fractal" title="Fractal">fractal</a>, ya que se construye corrugando repetidamente un toro común. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, tiene definidas las <a href="/wiki/Normal_(geometr%C3%ADa)" title="Normal (geometría)">normales a la supoerficie</a>, lo que produce el llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro corrugado es hacer que las amplitudes de las corrugaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda".<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Estas corrugaciones infinitamente recursivas se utilizan solo para incrustaciones en tres dimensiones, y no son una característica intrínseca del toro plano. Esta es la primera vez que dicha incrustación se define mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Clasificación_conforme_de_toro_plano"><span id="Clasificaci.C3.B3n_conforme_de_toro_plano"></span>Clasificación conforme de toro plano</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=4" title="Editar sección: Clasificación conforme de toro plano"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En el estudio de <a href="/wiki/Superficie_de_Riemann" title="Superficie de Riemann">superficies de Riemann</a>, se dice que dos superficies geométricas compactas y lisas son "conformemente equivalentes" cuando existe un homeomorfismo suave entre ellas que preserva el ángulo y la orientación. El teorema de uniformización garantiza que cada superficie de Riemann es conformemente equivalente a una que tiene curvatura gaussiana constante. En el caso de un toro, la curvatura constante debe ser cero. Luego se define el "espacio de módulos" del toro para que contenga un punto para cada clase de equivalencia conforme, con la topología adecuada. Resulta que este espacio de módulos <i>M</i> puede identificarse con una esfera perforada que es lisa excepto por dos puntos que tienen un ángulo menor que 2π (radianes) a su alrededor: uno tiene π y el otro tiene 2π/3. </p><p><i>M</i> puede convertirse en un espacio compacto <i>M*</i> añadiendo un punto adicional que represente el caso límite cuando un toro rectangular se aproxima a una relación de aspecto de 0 en el límite. El resultado es que este espacio de módulos compactado es una esfera con "tres" puntos, cada uno de los cuales tiene un ángulo inferior a 2π alrededor de ellos (dichos puntos se denominan "cúspides"). Este punto adicional tendrá un ángulo cero a su alrededor. Debido a la simetría, <i>M*</i> se puede construir pegando dos triángulos geodésicos congruentes en el plano hiperbólico en sus límites (idénticos), donde cada triángulo tiene ángulos de π/2, π/3 y 0. Como resultado, el área de cada triángulo se puede calcular como π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, por lo que se deduce que el espacio de módulos compactados <i>M*</i> tiene un área igual a π/3. </p><p>Las otras dos cúspides se localizan en los puntos correspondientes en <i>M*</i> a a) el toro cuadrado (π) y b) el toro hexagonal (2π/3). Estas son las únicas clases de equivalencia conforme de toros planos que tienen automorfismos conformes distintos de los generados por traslaciones y negación. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="El_toro_en_n_dimensiones">El toro en <i>n</i> dimensiones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=5" title="Editar sección: El toro en n dimensiones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se puede generalizar fácilmente el toro a cualquier dimensión o potencia. Un <b>toro n dimensional</b> se define como el producto de <i>n</i> circunferencias: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">T</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3da862344522b85567c30eb917168552bb5ce0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:24.839ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}"></span></dd></dl> <ul><li>el “toro a la 1” es precisamente la circunferencia: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}}"></span>.</li> <li>el <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">T</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42a77608dd66094672bfaa599441a2e905424c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.695ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}"></span> es el “toro a la 2”,</li> <li>el “toro a la 3” puede considerarse como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\times S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">T</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\times S^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627ad9936c615f4a755ebe7b0c4ceb4e3ec93973" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.021ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\times S^{1}}"></span>, esto es como el <a href="/wiki/Producto_cartesiano" title="Producto cartesiano">producto cartesiano</a> del dos-toro por la circunferencia.</li> <li>generalizando, el <i>toro a la n</i> potencia puede describirse como el cociente de <b>R</b><sup><i>n</i></sup> con desplazamientos enteros sobre cualquier coordenada.</li></ul> <p>El <i>toro a la n</i> es <b>R</b><sup><i>n</i></sup> módulo la <a href="/wiki/Acci%C3%B3n_de_grupo" class="mw-redirect" title="Acción de grupo">acción</a> del <a href="/w/index.php?title=Grupo_enrejado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo enrejado (aún no redactado)">grupo enrejado</a> <b>Z</b><sup><i>n</i></sup> (con la acción considerada como suma de vectores). Equivalentemente, el <i>toro a la n</i> se obtiene a partir del <i>n</i>-<a href="/wiki/Cubo" title="Cubo">cubo</a> pegando las caras opuestas. </p><p>Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de grupos compactos de Lie. Esto se debe en parte al hecho de que en cualquier grupo compacto de Lie, se puede encontrar un <a href="/w/index.php?title=Toro_m%C3%A1ximo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Toro máximo (aún no redactado)">toro máximo</a>; es decir, un <a href="/wiki/Subgrupo" title="Subgrupo">subgrupo</a> cerrado, el cual es un determinado toro de la mayor dimensión posible. </p><p>El <a href="/wiki/Grupo_fundamental" title="Grupo fundamental">grupo fundamental</a> de un <i>toro a la n</i> es un <a href="/wiki/Grupo_abeliano_libre" title="Grupo abeliano libre">grupo abeliano libre</a> de rango <i>n</i>. El <i>k</i>-ésimo <a href="/w/index.php?title=Grupo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupo homológico (aún no redactado)">grupo homológico</a> de un <i>toro a la n</i> es un grupo abeliano libre de rango <i>n</i> <a href="/wiki/Coeficiente_binomial" title="Coeficiente binomial">sobre</a> <i>k</i>. De esto se deduce que la <a href="/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler" title="Característica de Euler">característica de Euler</a> del <i>toro a la n</i> es 0 para cualquier <i>n</i>. El <a href="/w/index.php?title=Anillo_homol%C3%B3gico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anillo homológico (aún no redactado)">anillo homológico</a> <i>H</i><sup>•</sup>(<b>T</b><sup><i>n</i></sup>,<b>Z</b>) puede identificarse con el <a href="/wiki/%C3%81lgebra_exterior" class="mw-redirect" title="Álgebra exterior">álgebra exterior</a> sobre <b>Z</b>-<a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(matem%C3%A1tica)" title="Módulo (matemática)">módulo</a> <b>Z</b><sup><i>n</i></sup> cuyos generadores son los números duales enteros de los ciclos fundamentales a la potencia <i>n</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicaciones">Aplicaciones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=6" title="Editar sección: Aplicaciones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matemática"><span id="Matem.C3.A1tica"></span>Matemática</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=7" title="Editar sección: Matemática"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Torus-with-seven-colours.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Torus-with-seven-colours.png/220px-Torus-with-seven-colours.png" decoding="async" width="220" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Torus-with-seven-colours.png/330px-Torus-with-seven-colours.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Torus-with-seven-colours.png/440px-Torus-with-seven-colours.png 2x" data-file-width="991" data-file-height="450" /></a><figcaption>Toro representado mediante la identificación de los bordes de un rectángulo. El toro obtenido tiene 7 colores en subrectánglos.</figcaption></figure> <p>Si se toma idealmente una superficie rectangular flexible y extensible y se unen su lado superior con su lado inferior, y luego se unen los lados horizontales, resulta esta figura. Uno debe respetar en el pegado la orientación de los bordes como el indicado en la figura. </p><p>Algunos teoremas de geometría plana no son válidos si consideramos el trazado de puntos y curvas sobre la superficie del toro. Por ejemplo, el <a href="/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores" title="Teorema de los cuatro colores">teorema de los cuatro colores</a> se convierte en teorema de los siete colores y es mucho más fácil de probar. En la figura anterior se observa que son necesarios siete colores. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Física"><span id="F.C3.ADsica"></span>Física</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=8" title="Editar sección: Física"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Magnetismo" title="Magnetismo">magnetismo</a>, se enrolla una <a href="/wiki/Inductor" title="Inductor">bobina</a> con cierta cantidad de vueltas sobre el toro con un entrehierro (corte paralelo al eje que pasa por el centro del toro) para generar un <a href="/wiki/Campo_magn%C3%A9tico" title="Campo magnético">campo magnético</a> dentro del mismo. Esto se suele hacer para crear un <a href="/wiki/Im%C3%A1n_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Imán (física)">imán</a>; se coloca un <a href="/w/index.php?title=Material_ferromagn%C3%A9tico&action=edit&redlink=1" class="new" title="Material ferromagnético (aún no redactado)">material ferromagnético</a> en el entrehierro y se imprime una <a href="/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica" title="Corriente eléctrica">corriente eléctrica</a> por la <a href="/wiki/Inductor" title="Inductor">bobina</a>. Una vez que se alcanza la saturación del material, se lo retira y este queda magnetizado, formando un <a href="/wiki/Im%C3%A1n_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Imán (física)">imán</a>. </p><p>Uno de los sistemas más promisorios para obtener electricidad a partir de la <a href="/wiki/Fusi%C3%B3n_nuclear" title="Fusión nuclear">fusión nuclear</a> controlada se basa en el confinamiento magnético del <a href="/wiki/Plasma_(estado_de_la_materia)" title="Plasma (estado de la materia)">plasma</a> a elevadísimas temperaturas dentro de un espacio-circuito toroidal como el <a href="/wiki/Tokamak" title="Tokamak">tokamak</a> o el <a href="/w/index.php?title=Thorus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thorus (aún no redactado)">Thorus</a>, también muchos <a href="/wiki/Acelerador_de_part%C3%ADculas" title="Acelerador de partículas">aceleradores de partículas</a> recurren a una forma cuasi toroidal. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Óptica"><span id=".C3.93ptica"></span>Óptica</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=9" title="Editar sección: Óptica"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En el campo de la óptica, se usa la <a href="/wiki/Lente_t%C3%B3rica" title="Lente tórica">lente tórica</a> para corregir el <a href="/wiki/Astigmatismo" title="Astigmatismo">astigmatismo</a> tienen una superficie tórica, que presenta dos curvaturas en orientaciones perpendiculares entre sí. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Videojuegos">Videojuegos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=10" title="Editar sección: Videojuegos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En el mundo de los <a href="/wiki/Videojuego_de_estrategia" title="Videojuego de estrategia">videojuegos de estrategia</a> es fácil observar cómo los personajes que intervienen, cuando viajan hacia el <a href="/wiki/Norte" title="Norte">norte</a> reaparecen en el <a href="/wiki/Sur" title="Sur">sur</a>, como si le hubiesen <i>dado la vuelta al mundo</i>. Asimismo, cuando llevan una trayectoria hacia el fondo en el <a href="/wiki/Oriente" title="Oriente">oriente</a>, reaparecen en el <a href="/wiki/Occidente" title="Occidente">occidente</a> y viceversa. El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de <a href="/w/index.php?title=Mundo_toroide&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mundo toroide (aún no redactado)">mundo toroide</a> por las características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la pseudoimpresión de un mundo esférico aunque el terreno de juego este pensado como un plano rectangular. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Galería"><span id="Galer.C3.ADa"></span>Galería</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=11" title="Editar sección: Galería"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Blue_cut-torus.gif" class="mw-file-description" title="Intersección de un toro y un plano."><img alt="Intersección de un toro y un plano." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blue_cut-torus.gif/120px-Blue_cut-torus.gif" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blue_cut-torus.gif/180px-Blue_cut-torus.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blue_cut-torus.gif/240px-Blue_cut-torus.gif 2x" data-file-width="480" data-file-height="360" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Intersección de un toro y un <a href="/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)" title="Plano (geometría)">plano</a>.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Villarceau_circles.gif" class="mw-file-description" title="Animación de un toro cortado por un plano, y creación de Círculos de Villarceau. Ver Vesica piscis."><img alt="Animación de un toro cortado por un plano, y creación de Círculos de Villarceau. Ver Vesica piscis." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Villarceau_circles.gif/120px-Villarceau_circles.gif" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Villarceau_circles.gif/180px-Villarceau_circles.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Villarceau_circles.gif/240px-Villarceau_circles.gif 2x" data-file-width="480" data-file-height="360" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Animación de un toro cortado por un plano, y creación de <b><a href="/wiki/C%C3%ADrculos_de_Villarceau" title="Círculos de Villarceau">Círculos de Villarceau</a></b>. Ver <a href="/wiki/Vesica_piscis" title="Vesica piscis">Vesica piscis</a>.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Torus_3d.png" class="mw-file-description" title="Ilustración de un toro con sus principales variables."><img alt="Ilustración de un toro con sus principales variables." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Torus_3d.png/120px-Torus_3d.png" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Torus_3d.png/180px-Torus_3d.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Torus_3d.png/240px-Torus_3d.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="768" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Ilustración de un toro con sus principales variables.</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Torus_closed_geodesic_n1c.png" class="mw-file-description" title="Una geodésica cerrada del toro."><img alt="Una geodésica cerrada del toro." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Torus_closed_geodesic_n1c.png/120px-Torus_closed_geodesic_n1c.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Torus_closed_geodesic_n1c.png/180px-Torus_closed_geodesic_n1c.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Torus_closed_geodesic_n1c.png/240px-Torus_closed_geodesic_n1c.png 2x" data-file-width="1500" data-file-height="1500" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Una geodésica cerrada del toro.</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=12" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Dodecahedron.svg" class="mw-file-description" title="Ver el portal sobre Geometría"><img alt="Ver el portal sobre Geometría" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Dodecahedron.svg/20px-Dodecahedron.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Dodecahedron.svg/30px-Dodecahedron.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Dodecahedron.svg/40px-Dodecahedron.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span> <a href="/wiki/Portal:Geometr%C3%ADa" title="Portal:Geometría">Portal:Geometría</a>. Contenido relacionado con <b><a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">Geometría</a></b>.</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" class="mw-file-description" title="Ver el portal sobre Matemáticas"><img alt="Ver el portal sobre Matemáticas" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/20px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/40px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span> <a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1ticas" class="mw-redirect" title="Portal:Matemáticas">Portal:Matemáticas</a>. Contenido relacionado con <b><a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">Matemáticas</a></b>.</li> <li><a href="/wiki/Toroide" title="Toroide">Toroide</a></li> <li><a href="/wiki/Toro_de_Clifford" title="Toro de Clifford">Toro de Clifford</a></li> <li><a href="/wiki/Corona_circular" title="Corona circular">Corona circular</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%93valo_de_Cassini" title="Óvalo de Cassini">Óvalo de Cassini</a></li> <li><a href="/wiki/Spira_de_Perseo" title="Spira de Perseo">Spira de Perseo</a></li> <li><a href="/wiki/Curva_el%C3%ADptica" title="Curva elíptica">Curva elíptica</a></li> <li><a href="/wiki/Per%C3%ADodo_de_enrejado" class="mw-redirect" title="Período de enrejado">Período de enrejado</a></li> <li><a href="/wiki/Fibrado_de_Seifert" title="Fibrado de Seifert">Fibrado de Seifert</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=13" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFReal_Academia_Española" class="citation enciclopedia">Real Academia Española. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dle.rae.es/toro">«toro»</a>. <i>Diccionario de la lengua española</i> (23.ª edición).</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Diccionario+de+la+lengua+espa%C3%B1ola&rft.au=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.aulast=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.btitle=toro&rft.edition=23.%C2%AA&rft.genre=bookitem&rft_id=https%3A%2F%2Fdle.rae.es%2Ftoro&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="Reference-Mathworld-Torus" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Torus.html">«Torus»</a>. En Weisstein, Eric W, ed. <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Torus&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W&rft.aulast=Weisstein%2C+Eric+W&rft.genre=article&rft.jtitle=MathWorld&rft.pub=Wolfram+Research&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FTorus.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFFilippelli2012-04-27" class="citation publicación">Filippelli, Gianluigi (27 de abril de 2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120625222341/http://docmadhattan.fieldofscience.com/2012/04/flat-torus-in-three-dimensional-space.html">«Doc Madhattan: A flat torus in three dimensional space»</a>. <i>Proceedings of the National Academy of Sciences</i> <b>109</b> (19): 7218-7223. <small><a href="/wiki/PubMed_Central" title="PubMed Central">PMC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3358891">3358891</a></small>. <small><a href="/wiki/PubMed_Identifier" class="mw-redirect" title="PubMed Identifier">PMID</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22523238">22523238</a></small>. <small><a href="/wiki/Digital_object_identifier" class="mw-redirect" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1073%2Fpnas.1118478109">10.1073/pnas.1118478109</a></small>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://docmadhattan.fieldofscience.com/2012/04/flat-torus-in-three-dimensional-space.html">el original</a> el 25 de junio de 2012<span class="reference-accessdate">. Consultado el 21 de julio de 2012</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Doc+Madhattan%3A+A+flat+torus+in+three+dimensional+space&rft.au=Filippelli%2C+Gianluigi&rft.aufirst=Gianluigi&rft.aulast=Filippelli&rft.date=2012-04-27&rft.genre=article&rft.issue=19&rft.jtitle=Proceedings+of+the+National+Academy+of+Sciences&rft.pages=7218-7223&rft.volume=109&rft_id=http%3A%2F%2Fdocmadhattan.fieldofscience.com%2F2012%2F04%2Fflat-torus-in-three-dimensional-space.html&rft_id=info%3Adoi%2F10.1073%2Fpnas.1118478109&rft_id=info%3Apmc%2F3358891&rft_id=info%3Apmid%2F22523238&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFEnrico_de_Lazaro2012-04-18" class="citation web">Enrico de Lazaro (18 de abril de 2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120601021059/http://www.sci-news.com/othersciences/mathematics/article00279.html">«Mathematicians Produce First-Ever Image of Flat Torus in 3D | Mathematics»</a>. <i>Sci-News.com</i>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sci-news.com/othersciences/mathematics/article00279.html">el original</a> el 1 de junio de 2012<span class="reference-accessdate">. Consultado el 21 de julio de 2012</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Mathematicians+Produce+First-Ever+Image+of+Flat+Torus+in+3D+%7C+Mathematics&rft.au=Enrico+de+Lazaro&rft.aulast=Enrico+de+Lazaro&rft.date=2012-04-18&rft.genre=article&rft.jtitle=Sci-News.com&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.sci-news.com%2Fothersciences%2Fmathematics%2Farticle00279.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120705120058/http://www2.cnrs.fr/en/2027.htm">«Mathematics: first-ever image of a flat torus in 3D – CNRS Web site – CNRS»</a>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www2.cnrs.fr/en/2027.htm">el original</a> el 5 de julio de 2012<span class="reference-accessdate">. Consultado el 21 de julio de 2012</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.btitle=Mathematics%3A+first-ever+image+of+a+flat+torus+in+3D+%E2%80%93+CNRS+Web+site+%E2%80%93+CNRS&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2Fwww2.cnrs.fr%2Fen%2F2027.htm&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120618084643/http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/Presse/index-en.html">«Flat tori finally visualized!»</a>. Math.univ-lyon1.fr. 18 de abril de 2012. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/Presse/index-en.html">el original</a> el 18 de junio de 2012<span class="reference-accessdate">. Consultado el 21 de julio de 2012</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.btitle=Flat+tori+finally+visualized%21&rft.date=2012-04-18&rft.genre=book&rft.pub=Math.univ-lyon1.fr&rft_id=http%3A%2F%2Fmath.univ-lyon1.fr%2F~borrelli%2FHevea%2FPresse%2Findex-en.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFHoang2016" class="citation web">Hoang, Lê Nguyên (2016). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.science4all.org/article/flat-torus/">«The Tortuous Geometry of the Flat Torus»</a>. <i>Science4All</i><span class="reference-accessdate">. Consultado el 1 de noviembre de 2022</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=The+Tortuous+Geometry+of+the+Flat+Torus&rft.au=Hoang%2C+L%C3%AA+Nguy%C3%AAn&rft.aufirst=L%C3%AA+Nguy%C3%AAn&rft.aulast=Hoang&rft.date=2016&rft.genre=article&rft.jtitle=Science4All&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.science4all.org%2Farticle%2Fflat-torus%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=14" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFKozak,_Ana_María;_Pompeya_Pastorelli,_Sonia;_Verdanega,_Pedro_Emilio" class="citation libro">Kozak, Ana María; Pompeya Pastorelli, Sonia; Verdanega, Pedro Emilio. <i>Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal</i> (2007 edición). McGraw-Hill. p. 744. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9789701065969" title="Especial:FuentesDeLibros/9789701065969">9789701065969</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.au=Kozak%2C+Ana+Mar%C3%ADa%3B+Pompeya+Pastorelli%2C+Sonia%3B+Verdanega%2C+Pedro+Emilio&rft.aulast=Kozak%2C+Ana+Mar%C3%ADa%3B+Pompeya+Pastorelli%2C+Sonia%3B+Verdanega%2C+Pedro+Emilio&rft.btitle=Nociones+de+Geometr%C3%ADa+Anal%C3%ADtica+y+%C3%81lgebra+Lineal&rft.edition=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9789701065969&rft.pages=744&rft.pub=McGraw-Hill&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li>Allen Hatcher. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html">Algebraic topology</a>. <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, 2002. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0521795400" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-521-79540-0</a>. 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(en inglés)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Toro_(geometr%C3%ADa)&action=edit&section=15" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> <a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Wikimedia Commons">Wikimedia Commons</a> alberga una categoría multimedia sobre <b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Torus" class="extiw" title="commons:Category:Torus">Toro</a></b>.</li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/20px-Wiktionary-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/30px-Wiktionary-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/40px-Wiktionary-logo.svg.png 2x" data-file-width="370" data-file-height="350" /></span></span> <a href="/wiki/Wikcionario" title="Wikcionario">Wikcionario</a> tiene definiciones y otra información sobre <b><a href="https://es.wiktionary.org/wiki/toro" class="extiw" title="wikt:toro">toro</a></b>.</li> <li><span id="Reference-Mathworld-Torus" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Torus.html">«Torus»</a>. En Weisstein, Eric W, ed. <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AToro+%28geometr%C3%ADa%29&rft.atitle=Torus&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W&rft.aulast=Weisstein%2C+Eric+W&rft.genre=article&rft.jtitle=MathWorld&rft.pub=Wolfram+Research&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FTorus.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/shortcut.shtml#torus">Creation of a torus</a> <i>( de Alexander Bogomolny <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/">Cut the Knot</a>)</i> — una animación el formato AVI.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathsisfun.com/geometry/torus.html">More Torus Images</a> <i>(de <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathsisfun.com/">Math is Fun</a>)</i></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html.es">Torus Games</a> Juegos de descarga gratuita para Windows y Mac OS sobre la topología del toro.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q12510" class="extiw" title="wikidata:Q12510">Q12510</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Torus">Torus</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q12510%22">Q12510</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4185738-0">4185738-0</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/torus-physics">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q12510" class="extiw" title="wikidata:Q12510">Q12510</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Torus">Torus</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q12510%22">Q12510</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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