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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Satz (Mathematik) – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"36c6ed63-52e5-4074-bedc-9a66cff95ce4","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Satz_(Mathematik)","wgTitle":"Satz (Mathematik)","wgCurRevisionId":250503016,"wgRevisionId":250503016,"wgArticleId":73688,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Satz (Mathematik)","Mathematischer Grundbegriff"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Satz_(Mathematik)","wgRelevantArticleId":73688,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250503016,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":8000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true ,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q65943","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["architecture","bitness","brands","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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Innerhalb eines Artikels oder einer <a href="/wiki/Monografie" title="Monografie">Monografie</a> (z. B. einer Dissertation oder einem Lehrbuch) verwendet man </p> <ul><li><b>Lemma</b> (oder <a href="/wiki/Hilfssatz" title="Hilfssatz">Hilfssatz</a>) für eine Aussage, die nur im Beweis anderer Sätze im gleichen Werk verwendet wird und unabhängig davon keine Bedeutung hat,</li> <li><b>Proposition</b> für eine ebenfalls hauptsächlich lokal bedeutsame Aussage, etwa einen Hilfssatz, der in mehr als einem Beweis verwendet wird,</li> <li><i>Satz</i> (oder <i>Theorem</i>) für eine wesentliche <a href="/wiki/Erkenntnis" title="Erkenntnis">Erkenntnis</a>, die im Werk dargestellt wird, und</li> <li><a href="/wiki/Korollar" title="Korollar">Korollar</a> (oder <i>Folgesatz</i>) für eine <a href="/wiki/Trivial" class="mw-redirect" title="Trivial">triviale</a> Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.</li></ul> <p>Die Einordnung eines Satzes in eine der oben genannten Kategorien ist subjektiv und hat keine Folgen für die Verwendung des Satzes. Viele Autoren verzichten auf den Begriff <i>Proposition</i> und setzen dafür <i>Lemma</i> oder <i>Satz</i> ein. Auch <i>Korollar</i> wird nicht immer von <i>Satz</i> unterschieden. Dagegen ist es durchaus üblich und für den Leser hilfreich, wenn reine Hilfssätze als solche erkennbar sind. </p><p>Sätze, die allgemein bekannt sind und in der Regel nicht mit der Originalquelle zitiert werden, tragen den Namen des Gegenstandes, über den sie eine Aussage machen, oder den Namen des Urhebers oder beides. In diesem Zusammenhang werden auch die Begriffe <b>Fundamentalsatz</b> oder <b>Hauptsatz</b> (eines Gebiets der Mathematik) verwendet, und die Unterscheidung zwischen <i>Satz</i> und <i>Lemma</i> ist oft eher historisch gewachsen als durch Inhalt und Bedeutung bestimmt. Viele Beispiele solcher Namen finden sich in der <a href="/wiki/Liste_mathematischer_S%C3%A4tze" title="Liste mathematischer Sätze">Liste mathematischer Sätze</a>. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Beispiele_für_Sätze"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Beispiele für Sätze</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Aufbau"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Aufbau</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Formulierung"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Formulierung</span></a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-4"><a href="#Beispiele"><span class="tocnumber">2.1.1</span> <span class="toctext">Beispiele</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Umkehrsatz"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Umkehrsatz</span></a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-6"><a href="#Beispiele_2"><span class="tocnumber">2.2.1</span> <span class="toctext">Beispiele</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-7"><a href="#Abhängigkeit_von_der_Aufteilung_in_Voraussetzung_und_Aussage"><span class="tocnumber">2.2.2</span> <span class="toctext">Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage</span></a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Anmerkungen"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Anmerkungen</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_Sätze"><span id="Beispiele_f.C3.BCr_S.C3.A4tze"></span>Beispiele für Sätze</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele für Sätze" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele für Sätze"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Im Folgenden sind einige einfache Sätze aufgelistet. Der zu verwendende <a href="/wiki/Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a> ist in Klammern angegeben. </p> <ol><li>Wenn jeder Mensch sterblich ist und <a href="/wiki/Sokrates" title="Sokrates">Sokrates</a> ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. (<a href="/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>).</li> <li>Jede nicht-leere <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> besitzt mindestens ein <a href="/wiki/Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a>. (<a href="/wiki/Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a>)</li> <li>Die <a href="/wiki/Summe" title="Summe">Summe</a> der <a href="/wiki/Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> eines <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecks</a> beträgt 180 <a href="/wiki/Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a>. (<a href="/wiki/Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">Euklidische Geometrie</a>)</li> <li>Zu jeder <a href="/wiki/Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahl</a> gibt es eine größere <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahl</a>. (<a href="/wiki/Archimedische_Ordnung" class="mw-redirect" title="Archimedische Ordnung">archimedische Ordnung</a>, <a href="/wiki/Analysis" title="Analysis">Analysis</a>)</li> <li>Es gibt keine <a href="/wiki/Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationale Zahl</a>, deren <a href="/wiki/Quadratfunktion" class="mw-redirect" title="Quadratfunktion">Quadrat</a> 2 ist. (<a href="/wiki/Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>)</li> <li>Es seien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40993dae0f24bcf68cc859c6f82bdf2282ecca8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.336ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a>. Dann ist auch <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae758d39609e6e70ec1b5056d5b98c9e5d366dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> stetig. (Analysis)</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbau">Aufbau</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Aufbau" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Aufbau"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulierung">Formulierung</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Formulierung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formulierung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Obschon ein mathematischer Satz aus einer <a href="/wiki/Logische_Aussage" class="mw-redirect" title="Logische Aussage">Aussage</a> beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht <i>V</i> oder <i>A</i>.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im <a href="/wiki/Konjunktiv" class="mw-redirect" title="Konjunktiv">Konjunktiv</a> formulierte <i>Voraussetzung</i> und die als <a href="/wiki/Aussagesatz" class="mw-redirect" title="Aussagesatz">Aussagesatz</a> formulierte <i>Aussage</i> gegliedert (Beispiel: „Sei <i>V</i>. Dann gilt <i>A</i>.“), so dass der Eindruck einer <a href="/wiki/Implikation" title="Implikation">Implikation</a> entsteht. </p><p>Vorsicht: Durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes können Fehlschlüsse entstehen, da diese Teile im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele">Beispiele</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol><li>„<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\notin \mathbb {N} \quad \vee \quad n{\mbox{ ist nicht prim}}\quad \vee \quad n=2\quad \vee \quad n{\mbox{ ist ungerade}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>∉</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo>∨</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> ist nicht prim</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo>∨</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mspace width="1em" /> <mo>∨</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> ist ungerade</mtext> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\notin \mathbb {N} \quad \vee \quad n{\mbox{ ist nicht prim}}\quad \vee \quad n=2\quad \vee \quad n{\mbox{ ist ungerade}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5274c0ebbcafc25a6a8526c31ef69ee6ac4b16c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.015ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n\notin \mathbb {N} \quad \vee \quad n{\mbox{ ist nicht prim}}\quad \vee \quad n=2\quad \vee \quad n{\mbox{ ist ungerade}}}"></span>“</li> <li>„Sei <i>n</i> eine <a href="/wiki/Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a>. Für <i>n</i> gilt: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2\quad \vee \quad n\in 2\cdot \mathbb {N} +1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mspace width="1em" /> <mo>∨</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2\quad \vee \quad n\in 2\cdot \mathbb {N} +1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3aa156740bf0110ea2b2146b642b8e7ed23aabd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:25.641ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n=2\quad \vee \quad n\in 2\cdot \mathbb {N} +1}"></span>“</li> <li>Aus der ebenen Geometrie: „<i>Wenn ein echtes <a href="/wiki/Viereck" title="Viereck">Viereck</a> ein <a href="/wiki/Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.</i>“ (Hierbei bedeutet „echtes Viereck“, dass ausgeartete und überschlagene Vierecke von der Betrachtung ausgeschlossen sind).</li> <li>„<i>Der Fahrpreis zwischen zwei Stationen im Verkehrsverbund X ist eine <a href="/wiki/Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">Metrik</a> auf der Menge der Stationen.</i>“ Das ist eine mathematische Aussage, denn der Fahrpreis ist durch die Tarifbestimmungen eindeutig definiert, und der Begriff <i>Metrik</i> in der Mathematik. Wenn die Aussage in einem Verkehrsverbund richtig ist (meistens, aber nicht immer), ist sie ein aus den Axiomen im Tarif beweisbarer Satz.</li> <li>„<i>Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.</i>“ Das ist kein Satz im mathematischen Sinne schon wegen der fehlenden Definitionen von <i>regnen</i> und <i>Straße</i> und der möglichen Abhängigkeit von weiteren Bedingungen.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umkehrsatz">Umkehrsatz</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Umkehrsatz" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Umkehrsatz"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable noprint vorlage-weiterleitungshinweis" style="border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;"><div class="noviewer noresize bksicon" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" aria-hidden="true" role="presentation"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></span></span></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> <i>Umkehrsatz</i> ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Über den Satz zur lokalen Umkehrbarkeit siehe <a href="/wiki/Diffeomorphismus#Satz_über_die_Umkehrabbildung" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismus#Satz über die Umkehrabbildung</a>.</div> </div></div> <p>Vertauscht man in einem Satz <i>Voraussetzung</i> und <i>Aussage</i> des Satzes, erhält man den zugehörigen <i>Umkehrsatz</i> oder auch <i>Kehrsatz</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>A 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Das sind <a href="/wiki/Logische_Aussage" class="mw-redirect" title="Logische Aussage">logische Aussagen</a> der Form „<i>Voraussetzung ⇐ Aussage</i>“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden: </p> <ul><li>Wenn der Umkehrsatz kein Satz – also falsch – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes <a href="/wiki/Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">hinreichend, aber nicht notwendig</a>.</li> <li>Wenn der Umkehrsatz ein Satz – also zutreffend – ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem <i>Voraussetzung</i> und <i>Aussage</i> des Satzes <a href="/wiki/Logische_%C3%84quivalenz" title="Logische Äquivalenz">logisch äquivalent</a> sind (Beispiel: „<i>V gilt <u>genau dann, wenn</u> A gilt</i>“).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele_2">Beispiele</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol><li>„<i>Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.</i>“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die <i>Voraussetzung des Satzes</i> „<i>es hat geregnet</i>“ ist somit <i>hinreichend, aber nicht notwendig</i>.</li> <li>„<i>Wenn in einem echten Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.</i>“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die <i>Voraussetzung des Satzes</i> ist <i>notwendig und hinreichend</i>. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „<i>Ein echtes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.</i>“</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Abhängigkeit_von_der_Aufteilung_in_Voraussetzung_und_Aussage"><span id="Abh.C3.A4ngigkeit_von_der_Aufteilung_in_Voraussetzung_und_Aussage"></span>Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in <i>Voraussetzung</i> und <i>Aussage</i> aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab. </p><p>Die logische Aussage <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot A\lor \lnot B\lor C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo>∨</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot A\lor \lnot B\lor C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c967ba9c48d341f1c661a1f8d10284af2ffff9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.539ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lnot A\lor \lnot B\lor C}"></span> lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben: </p> <ol><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\land B)\Rightarrow C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\land B)\Rightarrow C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1495577c25f002204554ab719d4034f12d81afdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\land B)\Rightarrow C}"></span> − Umkehrsatz: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C\Rightarrow (A\wedge B)\quad \equiv \quad (A\vee \neg C)\wedge (B\vee \neg C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∧</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mo>≡</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\Rightarrow (A\wedge B)\quad \equiv \quad (A\vee \neg C)\wedge (B\vee \neg C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107d07f4477d9ef9772ab79115c130a4dffe5bd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C\Rightarrow (A\wedge B)\quad \equiv \quad (A\vee \neg C)\wedge (B\vee \neg C)}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\Rightarrow (\lnot B\lor C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo>∨</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\Rightarrow (\lnot B\lor C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03382e7ba9831631064b5d327455905b5130740" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.83ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\Rightarrow (\lnot B\lor C)}"></span> – Umkehrsatz: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lnot B\lor C)\Rightarrow A\quad \equiv \quad (A\vee B)\wedge (A\vee \neg C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>B</mi> <mo>∨</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>A</mi> <mspace width="1em" /> <mo>≡</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∨</mo> <mi mathvariant="normal">¬</mi> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lnot B\lor C)\Rightarrow A\quad \equiv \quad (A\vee B)\wedge (A\vee \neg C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08771369e56ac4274e0f2d41a4e18f5cf28c7661" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.507ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lnot B\lor C)\Rightarrow A\quad \equiv \quad (A\vee B)\wedge (A\vee \neg C)}"></span></li></ol> <p>Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Albrecht_Beutelspacher" title="Albrecht Beutelspacher">Albrecht Beutelspacher</a>: <i>Das ist o. B. d. A. trivial!</i>. Vieweg+Teubner Verlag, 9. Auflage (2009), <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3834807710" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-834-80771-0</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Theorem" title="Theorem">Theorem</a></li> <li><a href="/wiki/Liste_mathematischer_S%C3%A4tze" title="Liste mathematischer Sätze">Liste mathematischer Sätze</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Anmerkungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anmerkungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Unter dem Namen <a href="/wiki/Kehrsatz" title="Kehrsatz">Kehrsatz</a> findet man auch eine <a href="/wiki/Gemeinde" title="Gemeinde">Gemeinde</a> in der <a href="/wiki/Schweiz" title="Schweiz">Schweiz</a>, was indes nichts weiter zu bedeuten hat.</span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&oldid=250503016">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_(Mathematik)&oldid=250503016</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Satz_(Mathematik)" title="Kategorie:Satz (Mathematik)">Satz (Mathematik)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Mathematischer_Grundbegriff" title="Kategorie:Mathematischer Grundbegriff">Mathematischer Grundbegriff</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Satz+%28Mathematik%29" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Satz+%28Mathematik%29" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Satz_(Mathematik)" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Satz_(Mathematik)" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiversity mw-list-item"><a href="https://de.wikiversity.org/wiki/Kategorie:Mathematische_Disziplinen/Fakten" hreflang="de"><span>Wikiversity</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q65943" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-Datenobjekt</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">In anderen Sprachen</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A5%E1%88%AD%E1%8C%8D%E1%8C%A5" title="እርግጥ – Amharisch" lang="am" 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lang="ast" hreflang="ast" data-title="Teorema" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Teorem" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Baschkirisch" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Теорема" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Baschkirisch" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8D%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BC%D0%B0" title="Тэарэма – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Тэарэма" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%8D%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BC%D0%B0" title="Тэарэма – Weißrussisch (Taraschkewiza)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Тэарэма" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Теорема" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%89%E0%A6%AA%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%AF" title="উপপাদ্য – Bengalisch" lang="bn" hreflang="bn" data-title="উপপাদ্য" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengalisch" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Teorema" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teorema" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%8C%DB%86%D8%B1%D9%85" title="تیۆرم – Zentralkurdisch" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="تیۆرم" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Zentralkurdisch" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick%C3%A1_v%C4%9Bta" title="Matematická věta – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Matematická věta" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" 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data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86" title="定理 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="定理" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9or%C3%A9ma" title="Téoréma – Javanisch" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Téoréma" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="Javanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90" title="თეორემა – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="თეორემა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbd mw-list-item"><a href="https://kbd.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8D" title="Теоремэ – Kabardinisch" lang="kbd" hreflang="kbd" data-title="Теоремэ" data-language-autonym="Адыгэбзэ" data-language-local-name="Kabardinisch" class="interlanguage-link-target"><span>Адыгэбзэ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Теорема" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%AA%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B2%AE%E0%B3%87%E0%B2%AF" title="ಪ್ರಮೇಯ – Kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಪ್ರಮೇಯ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="Kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EB%A6%AC" title="정리 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="정리" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Теорема" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Theorema" title="Theorema – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Theorema" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Saz_(Mathematik)" title="Saz (Mathematik) – Luxemburgisch" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Saz (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Luxemburgisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Teorema" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Teor%C4%93ma" title="Teorēma – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Teorēma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Теорема" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC" title="Теорем – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Теорем" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%AF" title="प्रमेय – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="प्रमेय" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Teorem" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_(wiskunde)" title="Stelling (wiskunde) – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Stelling (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Teorem" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Teorem" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%A8ma" title="Teorèma – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Teorèma" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Akeekkoo" title="Akeekkoo – Oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Akeekkoo" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="Oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%A5%E0%A8%BF%E0%A8%93%E0%A8%B0%E0%A8%AE" title="ਥਿਓਰਮ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਥਿਓਰਮ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Twierdzenie" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Teorema" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Teorema" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorem%C4%83" title="Teoremă – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Teoremă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Теорема" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Sardisch" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Teorema" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="Sardisch" class="interlanguage-link-target"><span>Sardu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Tiurema" title="Tiurema – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Tiurema" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Teorem" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Askkud" title="Askkud – Taschelhit" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Askkud" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="Taschelhit" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%B8%E0%B7%9A%E0%B6%BA%E0%B6%BA" title="ප්‍රමේයය – Singhalesisch" lang="si" hreflang="si" data-title="ප්‍රමේයය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Singhalesisch" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Theorem" title="Theorem – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Theorem" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%A9ma" title="Teoréma – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Teoréma" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Izrek" title="Izrek – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Izrek" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Albanisch" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Teorema" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Albanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Теорема" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Teorem" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AF%87%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="தேற்றம் – Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தேற்றம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97" title="ทฤษฎีบท – Thailändisch" lang="th" hreflang="th" data-title="ทฤษฎีบท" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Thailändisch" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Teorem" title="Teorem – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Teorem" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" title="Теорема – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорема" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%DB%81" title="قضیہ – Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="قضیہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Teorema" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Định lý toán học – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Định lý toán học" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86" title="定理 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="定理" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B0%D0%BB%D2%BB%D0%BD" title="Таалһн – Kalmückisch" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Таалһн" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="Kalmückisch" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%A2%D7%90%D7%A8%D7%A2%D7%9D" title="טעארעם – Jiddisch" lang="yi" hreflang="yi" data-title="טעארעם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Jiddisch" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B4%B0%E2%B5%99%E2%B4%BD%E2%B4%BD%E2%B5%93%E2%B4%B7" title="ⴰⵙⴽⴽⵓⴷ – Tamazight" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⴰⵙⴽⴽⵓⴷ" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="Tamazight" class="interlanguage-link-target"><span>ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86" title="定理 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="定理" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86" title="定理 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="定理" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q65943#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Diese Seite wurde zuletzt am 19. 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