CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ro" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Algoritmul lui Euclid - Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )rowikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","ianuarie","februarie","martie","aprilie","mai","iunie","iulie","august","septembrie","octombrie","noiembrie","decembrie"],"wgRequestId":"fbc7f3c1-364a-4ce0-992e-11ced8c8c65e","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Algoritmul_lui_Euclid","wgTitle":"Algoritmul lui Euclid","wgCurRevisionId":15973338,"wgRevisionId":15973338,"wgArticleId":344426,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor","Erori CS1: legături externe","Erori CS1: ISBN","Pagini cu citări fără titluri","Erori CS1: capitol ignorat","Pagini cu citări ce folosesc parametri necunoscuți","Pagini ce folosesc legături automate către ISBN","Pagini cu note pe 3 coloane","Articole de calitate","Algoritmi"],"wgPageViewLanguage":"ro","wgPageContentLanguage":"ro","wgPageContentModel":"wikitext", "wgRelevantPageName":"Algoritmul_lui_Euclid","wgRelevantArticleId":344426,"wgTempUserName":null,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ro","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ro"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q230848","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"], "GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false,"wgSiteNoticeId":"2.2"};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready","ext.dismissableSiteNotice.styles":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin", "mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking","ext.dismissableSiteNotice"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ro&modules=ext.cite.styles%7Cext.dismissableSiteNotice.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ro&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ro&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Algoritmul lui Euclid - Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ro.m.wikipedia.org/wiki/Algoritmul_lui_Euclid"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modificare" href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (ro)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ro.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Algoritmul_lui_Euclid"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ro"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Abonare Atom" href="/w/index.php?title=Special:Schimb%C4%83ri_recente&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Algoritmul_lui_Euclid rootpage-Algoritmul_lui_Euclid skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Sari la conținut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Meniul principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Meniul principal </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Meniul principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mută în bara laterală</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ascunde</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigare </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pagina_principal%C4%83" title="Vedeți pagina principală [z]" accesskey="z">Pagina principală</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Schimb%C4%83ri_recente" title="Lista ultimelor schimbări realizate în acest wiki [r]" accesskey="r">Schimbări recente</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Cafenea" title="Informații despre evenimentele curente">Cafenea</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Aleatoriu" title="Afișează o pagină aleatoare [x]" accesskey="x">Articol aleatoriu</a></li><li id="n-Facebook" class="mw-list-item"><a href="https://www.facebook.com/WikipediaRomana" rel="nofollow">Facebook</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Participare" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Participare" > <div class="vector-menu-heading"> Participare </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Cum-încep-pe-Wikipedia" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ajutor:Bun_venit">Cum încep pe Wikipedia</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ajutor:Cuprins" title="Locul în care găsiți ajutor">Ajutor</a></li><li id="n-Portals" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:R%C4%83sfoire">Portaluri tematice</a></li><li id="n-Articole-cerute" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Articole_cerute">Articole cerute</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Pagina_principal%C4%83" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="enciclopedia liberă" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ro.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Special:C%C4%83utare" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Căutare în Wikipedia [c]" accesskey="c"> Căutare </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Căutare în Wikipedia" aria-label="Căutare în Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Căutare în Wikipedia [c]" accesskey="c" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Special:Căutare"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Căutare</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Unelte personale"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspect"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aspect" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Aspect </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ro.wikipedia.org&uselang=ro" class="">Donații</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Special:%C3%8Enregistrare&returnto=Algoritmul+lui+Euclid" title="Vă încurajăm să vă creați un cont și să vă autentificați; totuși, nu este obligatoriu" class="">Creare cont</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Special:Autentificare&returnto=Algoritmul+lui+Euclid" title="Sunteți încurajat să vă autentificați, deși acest lucru nu este obligatoriu. [o]" accesskey="o" class="">Autentificare</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out user-links-collapsible-item" title="Mai multe opțiuni" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Unelte personale" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Unelte personale </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Meniul de utilizator" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ro.wikipedia.org&uselang=ro">Donații</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:%C3%8Enregistrare&returnto=Algoritmul+lui+Euclid" title="Vă încurajăm să vă creați un cont și să vă autentificați; totuși, nu este obligatoriu"> Creare cont</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Autentificare&returnto=Algoritmul+lui+Euclid" title="Sunteți încurajat să vă autentificați, deși acest lucru nu este obligatoriu. [o]" accesskey="o"> Autentificare</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"><div id="mw-dismissablenotice-anonplace"></div><script>(function(){var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node){node.outerHTML="\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice\"\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-close\"\u003E[\u003Ca tabindex=\"0\" role=\"button\"\u003Eascunde\u003C/a\u003E]\u003C/div\u003E\u003Cdiv class=\"mw-dismissable-notice-body\"\u003E\u003C!-- CentralNotice --\u003E\u003Cdiv id=\"localNotice\" data-nosnippet=\"\"\u003E\u003Cdiv class=\"anonnotice\" lang=\"ro\" dir=\"ltr\"\u003E\u003Cdiv class=\"plainlinks\" style=\"border: 1px solid #ddd; margin: 0 0 3px;\"\u003E\n\u003Cdiv class=\"nomobile\" style=\"float:right\"\u003E\n\u003Cspan typeof=\"mw:File\"\u003E\u003Ca href=\"/wiki/Wikipedia:Concurs_de_scriere\" title=\"Wikipedia:Concurs de scriere\"\u003E\u003Cimg src=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Concurs_de_scriere.png/126px-Concurs_de_scriere.png\" decoding=\"async\" width=\"126\" height=\"95\" class=\"mw-file-element\" srcset=\"//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Concurs_de_scriere.png/189px-Concurs_de_scriere.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Concurs_de_scriere.png/251px-Concurs_de_scriere.png 2x\" data-file-width=\"506\" data-file-height=\"383\" /\u003E\u003C/a\u003E\u003C/span\u003E\u003C/div\u003E\n\u003Cdiv style=\"color: grey; max-width:1280px; margin: 12px auto; font-family: Tahoma, \u0026#39;DejaVu Sans Condensed\u0026#39;, sans-serif; text-align: center; font-size: 12pt; position: relative;\"\u003EVă invităm să votați cele mai bune articole înscrise în \u003Cb\u003E\u003Ca href=\"/wiki/Wikipedia:Concurs_de_scriere\" title=\"Wikipedia:Concurs de scriere\"\u003Econcursul\u0026#160;de\u0026#160;scriere\u003C/a\u003E\u003C/b\u003E.\u003C/div\u003E\n\u003Cdiv style=\"clear: both;\"\u003E\u003C/div\u003E\n\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E\u003C/div\u003E";}}());</script></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Cuprins" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Cuprins</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mută în bara laterală</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ascunde</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Început</div> </a> </li> <li id="toc-Noțiuni_implicate" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Noțiuni_implicate"> <div class="vector-toc-text"> 1 Noțiuni implicate </div> </a> <button aria-controls="toc-Noțiuni_implicate-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Noțiuni implicate subsection </button> <ul id="toc-Noțiuni_implicate-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cel_mai_mare_divizor_comun" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cel_mai_mare_divizor_comun"> <div class="vector-toc-text"> 1.1 Cel mai mare divizor comun </div> </a> <ul id="toc-Cel_mai_mare_divizor_comun-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inducție,_recursivitate_și_coborâre_infinită" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inducție,_recursivitate_și_coborâre_infinită"> <div class="vector-toc-text"> 1.2 Inducție, recursivitate și coborâre infinită </div> </a> <ul id="toc-Inducție,_recursivitate_și_coborâre_infinită-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Descriere" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Descriere"> <div class="vector-toc-text"> 2 Descriere </div> </a> <button aria-controls="toc-Descriere-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Descriere subsection </button> <ul id="toc-Descriere-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Procedură" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Procedură"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 Procedură </div> </a> <ul id="toc-Procedură-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Demonstrația_corectitudinii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Demonstrația_corectitudinii"> <div class="vector-toc-text"> 2.2 Demonstrația corectitudinii </div> </a> <ul id="toc-Demonstrația_corectitudinii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemplu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemplu"> <div class="vector-toc-text"> 2.3 Exemplu </div> </a> <ul id="toc-Exemplu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vizualizare" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Vizualizare"> <div class="vector-toc-text"> 2.4 Vizualizare </div> </a> <ul id="toc-Vizualizare-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Calculul_câturilor_și_resturilor" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Calculul_câturilor_și_resturilor"> <div class="vector-toc-text"> 2.5 Calculul câturilor și resturilor </div> </a> <ul id="toc-Calculul_câturilor_și_resturilor-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Implementări" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Implementări"> <div class="vector-toc-text"> 2.6 Implementări </div> </a> <ul id="toc-Implementări-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Metoda_celor_mai_mici_resturi_absolute" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Metoda_celor_mai_mici_resturi_absolute"> <div class="vector-toc-text"> 2.7 Metoda celor mai mici resturi absolute </div> </a> <ul id="toc-Metoda_celor_mai_mici_resturi_absolute-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Istoric" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Istoric"> <div class="vector-toc-text"> 3 Istoric </div> </a> <ul id="toc-Istoric-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aplicații_matematice" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicații_matematice"> <div class="vector-toc-text"> 4 Aplicații matematice </div> </a> <button aria-controls="toc-Aplicații_matematice-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Aplicații matematice subsection </button> <ul id="toc-Aplicații_matematice-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Identitatea_lui_Bézout" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Identitatea_lui_Bézout"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Identitatea lui Bézout </div> </a> <ul id="toc-Identitatea_lui_Bézout-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ideale_principale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ideale_principale"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Ideale principale </div> </a> <ul id="toc-Ideale_principale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algoritmul_lui_Euclid_extins" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algoritmul_lui_Euclid_extins"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Algoritmul lui Euclid extins </div> </a> <ul id="toc-Algoritmul_lui_Euclid_extins-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Metoda_matricială" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Metoda_matricială"> <div class="vector-toc-text"> 4.4 Metoda matricială </div> </a> <ul id="toc-Metoda_matricială-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lema_lui_Euclid_și_unicitatea_factorizării" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lema_lui_Euclid_și_unicitatea_factorizării"> <div class="vector-toc-text"> 4.5 Lema lui Euclid și unicitatea factorizării </div> </a> <ul id="toc-Lema_lui_Euclid_și_unicitatea_factorizării-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ecuațiile_liniare_diofantice" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ecuațiile_liniare_diofantice"> <div class="vector-toc-text"> 4.6 Ecuațiile liniare diofantice </div> </a> <ul id="toc-Ecuațiile_liniare_diofantice-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inversul_multiplicativ_și_algoritmul_RSA" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inversul_multiplicativ_și_algoritmul_RSA"> <div class="vector-toc-text"> 4.7 Inversul multiplicativ și algoritmul RSA </div> </a> <ul id="toc-Inversul_multiplicativ_și_algoritmul_RSA-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teorema_chinezească_a_resturilor" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teorema_chinezească_a_resturilor"> <div class="vector-toc-text"> 4.8 Teorema chinezească a resturilor </div> </a> <ul id="toc-Teorema_chinezească_a_resturilor-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fracții_continue" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fracții_continue"> <div class="vector-toc-text"> 4.9 Fracții continue </div> </a> <ul id="toc-Fracții_continue-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algoritmii_de_factorizare" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algoritmii_de_factorizare"> <div class="vector-toc-text"> 4.10 Algoritmii de factorizare </div> </a> <ul id="toc-Algoritmii_de_factorizare-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Eficiența_algoritmului" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Eficiența_algoritmului"> <div class="vector-toc-text"> 5 Eficiența algoritmului </div> </a> <button aria-controls="toc-Eficiența_algoritmului-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Eficiența algoritmului subsection </button> <ul id="toc-Eficiența_algoritmului-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Numărul_de_pași" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Numărul_de_pași"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Numărul de pași </div> </a> <ul id="toc-Numărul_de_pași-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Numărul_maxim_de_pași" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Numărul_maxim_de_pași"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.1 Numărul maxim de pași </div> </a> <ul id="toc-Numărul_maxim_de_pași-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Numărul_mediu_de_pași" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Numărul_mediu_de_pași"> <div class="vector-toc-text"> 5.1.2 Numărul mediu de pași </div> </a> <ul id="toc-Numărul_mediu_de_pași-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Costul_computațional_al_unui_pas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Costul_computațional_al_unui_pas"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Costul computațional al unui pas </div> </a> <ul id="toc-Costul_computațional_al_unui_pas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Eficiența_unor_metode_alternative" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Eficiența_unor_metode_alternative"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 Eficiența unor metode alternative </div> </a> <ul id="toc-Eficiența_unor_metode_alternative-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Alte_sisteme_de_numere" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Alte_sisteme_de_numere"> <div class="vector-toc-text"> 6 Alte sisteme de numere </div> </a> <button aria-controls="toc-Alte_sisteme_de_numere-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Toggle Alte sisteme de numere subsection </button> <ul id="toc-Alte_sisteme_de_numere-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Numere_reale_și_raționale" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Numere_reale_și_raționale"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Numere reale și raționale </div> </a> <ul id="toc-Numere_reale_și_raționale-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Polinoame" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Polinoame"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Polinoame </div> </a> <ul id="toc-Polinoame-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Întregii_gaussieni" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Întregii_gaussieni"> <div class="vector-toc-text"> 6.3 Întregii gaussieni </div> </a> <ul id="toc-Întregii_gaussieni-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inele_euclidiene" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inele_euclidiene"> <div class="vector-toc-text"> 6.4 Inele euclidiene </div> </a> <ul id="toc-Inele_euclidiene-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Unicitatea_factorizării_întregilor_cuadratici" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Unicitatea_factorizării_întregilor_cuadratici"> <div class="vector-toc-text"> 6.4.1 Unicitatea factorizării întregilor cuadratici </div> </a> <ul id="toc-Unicitatea_factorizării_întregilor_cuadratici-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Inele_necomutative" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inele_necomutative"> <div class="vector-toc-text"> 6.5 Inele necomutative </div> </a> <ul id="toc-Inele_necomutative-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Generalizări_la_alte_structuri_matematice" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Generalizări_la_alte_structuri_matematice"> <div class="vector-toc-text"> 7 Generalizări la alte structuri matematice </div> </a> <ul id="toc-Generalizări_la_alte_structuri_matematice-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Note" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Note"> <div class="vector-toc-text"> 8 Note </div> </a> <ul id="toc-Note-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografie"> <div class="vector-toc-text"> 9 Bibliografie </div> </a> <ul id="toc-Bibliografie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Legături_externe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Legături_externe"> <div class="vector-toc-text"> 10 Legături externe </div> </a> <ul id="toc-Legături_externe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Cuprins" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Comută cuprinsul" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Comută cuprinsul </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Algoritmul lui Euclid</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Mergeți la un articol în altă limbă. Disponibil în 58 limbi" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-58" aria-hidden="true" > 58 limbi </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AE%D9%88%D8%A7%D8%B1%D8%B2%D9%85%D9%8A%D8%A9_%D8%A3%D9%82%D9%84%D9%8A%D8%AF%D8%B3" title="خوارزمية أقليدس – arabă" lang="ar" hreflang="ar" data-title="خوارزمية أقليدس" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabă" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Algoritmu_d%27Euclides" title="Algoritmu d'Euclides – asturiană" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Algoritmu d'Euclides" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiană" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Evklid_alqoritmi" title="Evklid alqoritmi – azeră" lang="az" hreflang="az" data-title="Evklid alqoritmi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azeră" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D1%8B" title="Евклид алгоритмы – bașkiră" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Евклид алгоритмы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bașkiră" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BC_%D0%AD%D1%9E%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%B0" title="Алгарытм Эўкліда – belarusă" lang="be" hreflang="be" data-title="Алгарытм Эўкліда" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarusă" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%8A%D0%BC_%D0%BD%D0%B0_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4" title="Алгоритъм на Евклид – bulgară" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Алгоритъм на Евклид" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgară" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%87%E0%A6%89%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B2%E0%A6%BF%E0%A6%A1%E0%A7%80%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%8F%E0%A6%B2%E0%A6%97%E0%A6%B0%E0%A6%BF%E0%A6%A6%E0%A6%AE" title="ইউক্লিডীয় এলগরিদম – bengaleză" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ইউক্লিডীয় এলগরিদম" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengaleză" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Algorisme_d%27Euclides" title="Algorisme d'Euclides – catalană" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Algorisme d'Euclides" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalană" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A6%DB%95%D9%84%DA%AF%DB%86%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85%DB%8C_%D8%A6%DB%8C%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3" title="ئەلگۆریتمی ئیقلیدس – kurdă centrală" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ئەلگۆریتمی ئیقلیدس" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdă centrală" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleid%C5%AFv_algoritmus" title="Eukleidův algoritmus – cehă" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Eukleidův algoritmus" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="cehă" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Algorithm_Ewclidaidd" title="Algorithm Ewclidaidd – galeză" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Algorithm Ewclidaidd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galeză" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Euklids_algoritme" title="Euklids algoritme – daneză" lang="da" hreflang="da" data-title="Euklids algoritme" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="daneză" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Algorithmus" title="Euklidischer Algorithmus – germană" lang="de" hreflang="de" data-title="Euklidischer Algorithmus" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="germană" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BB%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7" title="Αλγόριθμος του Ευκλείδη – greacă" lang="el" hreflang="el" data-title="Αλγόριθμος του Ευκλείδη" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="greacă" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="articol de calitate"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm" title="Euclidean algorithm – engleză" lang="en" hreflang="en" data-title="Euclidean algorithm" data-language-autonym="English" data-language-local-name="engleză" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/E%C5%ADklida_algoritmo" title="Eŭklida algoritmo – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Eŭklida algoritmo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides" title="Algoritmo de Euclides – spaniolă" lang="es" hreflang="es" data-title="Algoritmo de Euclides" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spaniolă" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Euklidesen_algoritmo" title="Euklidesen algoritmo – bască" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Euklidesen algoritmo" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="bască" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%84%DA%AF%D9%88%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85_%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3" title="الگوریتم اقلیدس – persană" lang="fa" hreflang="fa" data-title="الگوریتم اقلیدس" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persană" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Eukleideen_algoritmi" title="Eukleideen algoritmi – finlandeză" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Eukleideen algoritmi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandeză" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide" title="Algorithme d'Euclide – franceză" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Algorithme d'Euclide" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="franceză" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides" title="Algoritmo de Euclides – galiciană" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Algoritmo de Euclides" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galiciană" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%A1" title="אלגוריתם אוקלידס – ebraică" lang="he" hreflang="he" data-title="אלגוריתם אוקלידס" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ebraică" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Euklidov_algoritam" title="Euklidov algoritam – croată" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Euklidov algoritam" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croată" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="articol de calitate"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Euklideszi_algoritmus" title="Euklideszi algoritmus – maghiară" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Euklideszi algoritmus" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="maghiară" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B7%D5%BE%D5%AF%D5%AC%D5%AB%D5%A4%D5%A5%D5%BD%D5%AB_%D5%A1%D5%AC%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4" title="Էվկլիդեսի ալգորիթմ – armeană" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Էվկլիդեսի ալգորիթմ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeană" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma_Euklides" title="Algoritma Euklides – indoneziană" lang="id" hreflang="id" data-title="Algoritma Euklides" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indoneziană" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_di_Euclide" title="Algoritmo di Euclide – italiană" lang="it" hreflang="it" data-title="Algoritmo di Euclide" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiană" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95" title="ユークリッドの互除法 – japoneză" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ユークリッドの互除法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoneză" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%ED%98%B8%EC%A0%9C%EB%B2%95" title="유클리드 호제법 – coreeană" lang="ko" hreflang="ko" data-title="유클리드 호제법" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreeană" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Algorithmus_Euclidis" title="Algorithmus Euclidis – latină" lang="la" hreflang="la" data-title="Algorithmus Euclidis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latină" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Euklido_algoritmas" title="Euklido algoritmas – lituaniană" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Euklido algoritmas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituaniană" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Eikl%C4%ABda_algoritms" title="Eiklīda algoritms – letonă" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Eiklīda algoritms" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letonă" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC" title="Евклидов алгоритам – macedoneană" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Евклидов алгоритам" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoneană" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AF%E0%B5%82%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B2%E0%B4%BF%E0%B4%A1%E0%B4%BF%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%B1%E0%B5%86_%E0%B4%85%E0%B5%BD%E0%B4%97%E0%B5%8A%E0%B4%B0%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B8%D0%B9%D0%BD_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC" title="Евклидийн алгоритм – mongolă" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Евклидийн алгоритм" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolă" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Euklidsch_Algorithmus" title="Euklidsch Algorithmus – germana de jos" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Euklidsch Algorithmus" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="germana de jos" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Algoritme_van_Euclides" title="Algoritme van Euclides – neerlandeză" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Algoritme van Euclides" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandeză" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Euklidsk_algoritme" title="Euklidsk algoritme – norvegiană nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Euklidsk algoritme" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvegiană nynorsk" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Euklids_algoritme" title="Euklids algoritme – norvegiană bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Euklids algoritme" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvegiană bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Algorytm_Euklidesa" title="Algorytm Euklidesa – poloneză" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Algorytm Euklidesa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="poloneză" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Algoritm_d%27Euclid" title="Algoritm d'Euclid – Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Algoritm d'Euclid" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides" title="Algoritmo de Euclides – portugheză" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Algoritmo de Euclides" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugheză" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0" title="Алгоритм Евклида – rusă" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Алгоритм Евклида" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rusă" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Euklidov_algoritam" title="Euklidov algoritam – sârbo-croată" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Euklidov algoritam" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="sârbo-croată" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm" title="Euclidean algorithm – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Euclidean algorithm" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Euklidov_algoritmus" title="Euklidov algoritmus – slovacă" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Euklidov algoritmus" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovacă" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Evklidov_algoritem" title="Evklidov algoritem – slovenă" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Evklidov algoritem" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovenă" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC" title="Еуклидов алгоритам – sârbă" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Еуклидов алгоритам" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sârbă" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Euklides_algoritm" title="Euklides algoritm – suedeză" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Euklides algoritm" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suedeză" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AF%E0%AF%82%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%B3%E0%AE%BF%E0%AE%9F%E0%AE%BF%E0%AE%AF_%E0%AE%AA%E0%AE%9F%E0%AE%BF%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%88%E0%AE%A4%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AF%80%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%B5%E0%AF%81" title="யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு – tamilă" lang="ta" hreflang="ta" data-title="யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilă" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%98%E0%B8%B5%E0%B9%81%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%A2%E0%B8%B8%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B4%E0%B8%94" title="ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด – thailandeză" lang="th" hreflang="th" data-title="ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thailandeză" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid_algoritmas%C4%B1" title="Öklid algoritması – turcă" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Öklid algoritması" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turcă" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%B0" title="Алгоритм Евкліда – ucraineană" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Алгоритм Евкліда" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraineană" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_thu%E1%BA%ADt_Euclid" title="Giải thuật Euclid – vietnameză" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giải thuật Euclid" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnameză" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%BE%97%E8%BD%AC%E7%9B%B8%E9%99%A4%E6%B3%95" title="辗转相除法 – chineză wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="辗转相除法" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chineză wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="articol bun"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%BE%E8%BD%89%E7%9B%B8%E9%99%A4%E6%B3%95" title="輾轉相除法 – chineză" lang="zh" hreflang="zh" data-title="輾轉相除法" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chineză" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%BE%E8%BD%89%E7%9B%B8%E9%99%A4%E6%B3%95" title="輾轉相除法 – cantoneză" lang="yue" hreflang="yue" data-title="輾轉相除法" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantoneză" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q230848#sitelinks-wikipedia" title="Modifică legăturile interlinguale" class="wbc-editpage">Modifică legăturile</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Spații de nume"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Algoritmul_lui_Euclid" title="Vedeți conținutul paginii [a]" accesskey="a">Articol</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discu%C8%9Bie:Algoritmul_lui_Euclid" rel="discussion" title="Discuții despre această pagină [t]" accesskey="t">Discuție</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Change language variant" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >română </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vizualizări"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Algoritmul_lui_Euclid">Lectură</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit" title="Modificați această pagină cu EditorulVizual [v]" accesskey="v">Modificare</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit" title="Modificați codul sursă al acestei pagini [e]" accesskey="e">Modificare sursă</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=history" title="Versiunile anterioare ale paginii și autorii lor. [h]" accesskey="h">Istoric</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Page tools"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Unelte" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Unelte </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Unelte</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mută în bara laterală</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ascunde</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Mai multe opțiuni" > <div class="vector-menu-heading"> Acțiuni </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Algoritmul_lui_Euclid">Lectură</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit" title="Modificați această pagină cu EditorulVizual [v]" accesskey="v">Modificare</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit" title="Modificați codul sursă al acestei pagini [e]" accesskey="e">Modificare sursă</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=history">Istoric</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Ce_se_leag%C4%83_aici/Algoritmul_lui_Euclid" title="Lista tuturor paginilor wiki care conduc spre această pagină [j]" accesskey="j">Ce trimite aici</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Modific%C4%83ri_corelate/Algoritmul_lui_Euclid" rel="nofollow" title="Schimbări recente în legătură cu această pagină [k]" accesskey="k">Schimbări corelate</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Trimite_fi%C8%99ier" title="Încărcare fișiere [u]" accesskey="u">Trimite fișier</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Special:Pagini_speciale" title="Lista tuturor paginilor speciale [q]" accesskey="q">Pagini speciale</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&oldid=15973338" title="Legătură permanentă către această versiune a acestei pagini">Legătură permanentă</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=info" title="Mai multe informații despre această pagină">Informații despre pagină</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Citeaz%C4%83&page=Algoritmul_lui_Euclid&id=15973338&wpFormIdentifier=titleform" title="Informații cu privire la modul de citare a acestei pagini">Citează acest articol</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fro.wikipedia.org%2Fwiki%2FAlgoritmul_lui_Euclid">Obține URL scurtat</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:QrCode&url=https%3A%2F%2Fro.wikipedia.org%2Fwiki%2FAlgoritmul_lui_Euclid">Descărcați codul QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Tipărire/exportare </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:Carte&bookcmd=book_creator&referer=Algoritmul+lui+Euclid">Creare carte</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Special:DownloadAsPdf&page=Algoritmul_lui_Euclid&action=show-download-screen">Descărcare ca PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&printable=yes" title="Versiunea de tipărit a acestei pagini [p]" accesskey="p">Versiune de tipărit</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> În alte proiecte </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Euclidean_algorithm" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q230848" title="Legătură către elementul asociat din depozitul de date [g]" accesskey="g">Element Wikidata</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Page tools"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspect"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspect</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mută în bara laterală</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ascunde</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-featured" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"> <a href="/wiki/Wikipedia:Articole_de_calitate" title="Acesta este un articol de calitate. Apăsați aici pentru mai multe informații."><img alt="Acesta este un articol de calitate. Apăsați aici pentru mai multe informații." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Cscr-featured.svg/20px-Cscr-featured.svg.png" decoding="async" width="20" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Cscr-featured.svg/30px-Cscr-featured.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Cscr-featured.svg/40px-Cscr-featured.svg.png 2x" data-file-width="466" data-file-height="443" /></a></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Wikipedia, enciclopedia liberă</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ro" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Euclidean_algorithm_252_105_animation_flipped.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Euclidean_algorithm_252_105_animation_flipped.gif" decoding="async" width="200" height="650" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="650" /></a><figcaption>Animație ce prezintă algoritmul lui Euclid pentru numerele 252 și 105. Barele reprezintă unitățile de 21, cel mai mare divizor comun (CMMDC). La fiecare pas, numărul mai mic este scăzut din cel mai mare, până când unul dintre numere ajunge să fie zero. Celălalt este CMMDC.</figcaption></figure> În <a href="/wiki/Matematic%C4%83" title="Matematică">matematică</a>, algoritmul lui Euclid este o metodă eficientă de calcul al <a href="/wiki/Cel_mai_mare_divizor_comun" title="Cel mai mare divizor comun">celui mai mare divizor comun</a> (CMMDC). El este denumit după matematicianul grec <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a>, care l-a descris în Cărțile VII și X din <a href="/wiki/Elementele" title="Elementele">Elementele</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a> CMMDC a două numere este cel mai mare număr care le <a href="/wiki/Divizor" title="Divizor">divide</a> pe ambele. Algoritmul lui Euclid exploatează observația că cel mai mare divizor comun al două numere nu se modifică dacă numărul cel mai mic este scăzut din cel mai mare. De exemplu, 21 este CMMDC al numerelor 252 și 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); întrucât 252 − 105 = 147, CMMDC al lui 147 și 105 este tot 21. Cum cel mai mare dintre cele două numere este redus, repetarea acestui proces dă numere din ce în ce mai mici, până când unul dintre ele este 0. Când se întâmplă aceasta, CMMDC este celălalt număr, cel nenul. Inversând pașii algoritmului lui Euclid, CMMDC se poate exprima sub formă de <a href="/w/index.php?title=Combina%C8%9Bie_liniar%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combinație liniară — pagină inexistentă">suma</a> celor două numere inițiale, fiecare înmulțite cu un întreg pozitiv sau negativ, de exemplu: 21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Această proprietate importantă se numește <a href="/wiki/Identitatea_lui_B%C3%A9zout" title="Identitatea lui Bézout">identitatea lui Bézout</a>. Prima descriere rămasă a algoritmului lui Euclid este lucrarea lui Euclid intitulată Elementele (c. 300 î.e.n.), fiind unul dintre cei mai vechi algoritmi numerici încă utilizați. Algoritmul original a fost descris doar pentru numere naturale și lungimi geometrice (numere reale), dar algoritmul a fost generalizat în secolul al XIX-lea și la alte tipuri de numere, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregii_gaussieni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregii gaussieni — pagină inexistentă">întregii gaussieni</a> și <a href="/wiki/Polinom" title="Polinom">polinoamele</a> de o variabilă. Aceasta a dus la noțiuni moderne de <a href="/wiki/Algebr%C4%83_abstract%C4%83" title="Algebră abstractă">algebră abstractă</a>, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=Inel_euclidian&action=edit&redlink=1" class="new" title="Inel euclidian — pagină inexistentă">inelele euclidiene</a>. Algoritmul lui Euclid s-a generalizat și pentru alte structuri matematice, cum ar fi <a href="/wiki/Nod_(matematic%C4%83)" title="Nod (matematică)">nodurile</a> și polinoamele multivariabilă. Algoritmul lui Euclid are numeroase aplicații practice și teoretice. Este un element cheie al algoritmului <a href="/wiki/RSA" title="RSA">RSA</a>, o metodă de <a href="/w/index.php?title=Criptare_cu_chei_publice&action=edit&redlink=1" class="new" title="Criptare cu chei publice — pagină inexistentă">criptare cu chei publice</a> des folosită în comerțul electronic. Este utilizat pentru a rezolva <a href="/w/index.php?title=Ecua%C8%9Bie_diofantic%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuație diofantică — pagină inexistentă">ecuațiile diofantice</a>, cum ar fi calcularea numerelor care satisfac mai multe congruențe (<a href="/wiki/Teorema_chinezeasc%C4%83_a_resturilor" title="Teorema chinezească a resturilor">Teorema chinezească a resturilor</a>) sau inversul multiplicativ al unui <a href="/wiki/Corp_(matematic%C4%83)" title="Corp (matematică)">corp</a>. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat pentru a construi <a href="/wiki/Frac%C8%9Bie_continu%C4%83" title="Fracție continuă">fracții continue</a>, în metoda <a href="/w/index.php?title=Lan%C8%9B_Sturm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lanț Sturm — pagină inexistentă">lanțului Sturm</a> pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de <a href="/wiki/Factorizarea_%C3%AEntregilor" class="mw-redirect" title="Factorizarea întregilor">factorizare a întregilor</a>. Este utilizat și la demonstrarea unor teoreme din <a href="/wiki/Teoria_numerelor" title="Teoria numerelor">teoria modernă a numerelor</a>, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=Teorema_celor_patru_p%C4%83trate_a_lui_Lagrange&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema celor patru pătrate a lui Lagrange — pagină inexistentă">teorema celor patru pătrate a lui Lagrange</a> și <a href="/wiki/Teorema_fundamental%C4%83_a_aritmeticii" title="Teorema fundamentală a aritmeticii">teorema fundamentală a aritmeticii</a> (factorizarea unică). Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un număr de pași mai mare decât de cinci ori numărul de cifre (în bază 10) al celui mai mic întreg. <a href="/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9" title="Gabriel Lamé">Gabriel Lamé</a> a demonstrat aceasta în 1844, marcând începutul <a href="/wiki/Teoria_complexit%C4%83%C8%9Bii" title="Teoria complexității">teoriei complexității computaționale</a>. În secolul al XX-lea s-au dezvoltat metode de îmbunătățire ale eficienței algoritmului. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Noțiuni_implicate">Noțiuni implicate</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=1" title="Modifică secțiunea: Noțiuni implicate" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=1" title="Edit section's source code: Noțiuni implicate">modificare sursă</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cel_mai_mare_divizor_comun">Cel mai mare divizor comun</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=2" title="Modifică secțiunea: Cel mai mare divizor comun" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=2" title="Edit section's source code: Cel mai mare divizor comun">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid calculează cel mai mare divizor comun (CMMDC) a două <a href="/wiki/Num%C4%83r_natural" title="Număr natural">numere naturale</a> a și b. Cel mai mare divizor comun g este cel mai mare număr natural care îi divide pe a și pe b. Cel mai mare divizor comun este adesea scris ca CMMDC(a, b) sau, mai simplu, ca (a, b),<a href="#cite_note-2">[2]</a> deși a doua <a href="/wiki/Nota%C8%9Bie_matematic%C4%83" title="Notație matematică">notație matematică</a> este utilizată și pentru alte concepte matematice, cum ar fi vectorii bidimensionali sau intervalele deschise. Dacă CMMDC(a, b) = 1, atunci a și b sunt <a href="/wiki/Prime_%C3%AEntre_ele" class="mw-redirect" title="Prime între ele">prime între ele</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Această proprietate nu depinde de <a href="/wiki/Numere_prime" class="mw-redirect" title="Numere prime">primalitatea</a> lui a și a lui b.<a href="#cite_note-4">[4]</a> De exemplu, numerele 6 și 35 nu sunt numere prime, deoarece ambele au doi factori: 6 = 2 × 3 și 35 = 5 × 7. Cu toate acestea, 6 și 35 sunt prime între ele. Niciun alt număr natural în afară de 1 nu divide și pe 6 și pe 35, deoarece ele nu au niciun factor prim în comun. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Square_tiling_24x60.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Square_tiling_24x60.svg/220px-Square_tiling_24x60.svg.png" decoding="async" width="220" height="479" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Square_tiling_24x60.svg/330px-Square_tiling_24x60.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Square_tiling_24x60.svg/440px-Square_tiling_24x60.svg.png 2x" data-file-width="450" data-file-height="980" /></a><figcaption>Un dreptunghi 24-pe-60 acoperit cu zece pătrate 12-pe-12, în care 12 este CMMDC al numerelor 24 și 60. Mai general, un dreptunghi de a-pe-b poate fi acoperit din pătrate cu latura de c doar dacă c este divizor comun al lui a și b.</figcaption></figure> Fie g = CMMDC(a, b). Cum a și b sunt <a href="/wiki/Multiplu" title="Multiplu">multipli</a> ai lui g, ele pot fi scrise sub forma a = mg și b = ng, și nu există niciun număr mai mare G > g pentru care aceasta să fie adevărată. Numerele naturale m și n trebuie să fie prime între ele, deoarece orice factor comun poate fi scos din m și n pentru a-l face pe g mai mare. Astfel, orice alt număr c care divide și pe a și pe b trebuie să-l dividă și pe g. Cel mai mare divizor comun g al lui a și b poate fi definit ca divizorul comun care este divizibil cu orice alt divizor comun c.<a href="#cite_note-5">[5]</a> CMMDC poate fi vizualizat geometric după cum urmează.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Fie o suprafață dreptunghiulară a pe b, și orice divizor comun c care divide pe a și pe b. Laturile dreptunghiului pot fi divizate în segmente de lungime c, ceea ce împarte dreptunghiul în pătrate de latură c. Cel mai mare divizor comun g este cea mai mare valoare a lui c pentru care acest lucru este posibil. Pentru ilustrare, o suprafață dreptunghiulară de 24-pe-60 se poate diviza în pătrate de: 1-pe-1, 2-pe-2, 3-pe-3, 6-pe-6 sau 12-pe-12. Deci 12 este cel mai mare divizor comun al lui 24 și 60. O suprafață dreptunghiulară 24-pe-60 poate fi împărțită într-un grid de 12-pe-12 pătrate, cu două pătrate pe o latură (24/12 = 2) și cinci pătrate pe cealaltă (60/12 = 5). CMMDC a două numere a și b se poate defini ca produsul factorilor primi comuni ai celor două numere.<a href="#cite_note-Schroeder_21-7">[7]</a> De exemplu, întrucât 462 se factorizează în 2 × 3 × 7 × 11 și 1071 se factorizează în 3 × 3 × 7 × 17, cel mai mare divizor comun al lui 462 și 1071 este egal cu 21 = 3 × 7, produsul factorilor lor primi comuni. Dacă două numere nu au factori primi în comun, cel mai mare divizor comun al lor este 1—ele sunt prime între ele. Un avantaj important al algoritmului lui Euclid este că el poate găsi CMMDC eficient fără să trebuiască să calculeze factorii primi.<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a> <a href="/wiki/Factorizarea_%C3%AEntregilor" class="mw-redirect" title="Factorizarea întregilor">Factorizarea</a> numerelor întregi mari este considerată a fi o problemă atât de dificilă încât multe sisteme criptografice moderne se bazează pe ea.<a href="#cite_note-Schroeder_216-10">[10]</a> O definiție mai subtilă a CMMDC este utilă în matematica avansată, în particular în <a href="/w/index.php?title=Teoria_inelelor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria inelelor — pagină inexistentă">teoria inelelor</a>.<a href="#cite_note-Leveque_p33-11">[11]</a> Cel mai mare divizor comun g  al două numere a și b este și cel mai mic <a href="/wiki/Multiplu" title="Multiplu">multiplu întreg</a> al lor, adică cel mai mic număr de forma ua + vb unde u și v sunt numere întregi. Rezultă că mulțimea multiplilor întregi ai lui a și b (mulțimea numerelor de forma ua + vb) este aceeași cu mulțimea multiplilor întregi ai lui g (mg, unde m este întreg). În limbajul matematic modern, <a href="/wiki/Ideal_(teoria_inelelor)" title="Ideal (teoria inelelor)">Idealul</a> format de a și b este <a href="/wiki/Ideal_principal" title="Ideal principal">ideal principal</a> generat de g. Echivalența acestei definiții a CMMDC cu celelalte definiții este descrisă mai jos. CMMDC a trei sau mai multe numere este egal cu produsul factorilor primi comuni ai tuturor celor trei numere,<a href="#cite_note-12">[12]</a> care poate fi calculat luând CMMDC pe perechi de numere.<a href="#cite_note-13">[13]</a> De exemplu, <dl><dd>CMMDC(a, b, c) = CMMDC(a, CMMDC(b, c)) = CMMDC(CMMDC(a, b), c) = CMMDC(CMMDC(a, c), b).</dd></dl> Astfel, algoritmul lui Euclid care calculează CMMDC al doi întregi este suficient pentru a calcula CMMDC al oricât de mulți întregi. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inducție,_recursivitate_și_coborâre_infinită">Inducție, recursivitate și coborâre infinită</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=3" title="Modifică secțiunea: Inducție, recursivitate și coborâre infinită" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=3" title="Edit section's source code: Inducție, recursivitate și coborâre infinită">modificare sursă</a>]</div> Trei metode matematice sunt utilizate mai jos: <a href="/wiki/Induc%C8%9Bie_matematic%C4%83" title="Inducție matematică">inducția</a>, <a href="/wiki/Recursivitate" title="Recursivitate">recursivitatea</a> și <a href="/w/index.php?title=Cobor%C3%A2re_infinit%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Coborâre infinită — pagină inexistentă">coborârea infinită</a>. Inducția<a href="#cite_note-14">[14]</a> este utilizată adesea pentru a demonstra o teoremă pentru toate <a href="/wiki/Num%C4%83r_natural" title="Număr natural">numerele naturale</a> n.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Această abordare începe prin a arăta că, dacă teorema este valabilă pentru n, ea este valabilă și pentru n + 1. Astfel, dacă teorema este valabilă pentru un singur caz (de regulă, n = 1), ea este valabilă pentru toate numerele mai mari (n = 2, 3, etc.). Recursivitatea unei ecuații<a href="#cite_note-16">[16]</a> este proprietatea ei de a lega numerele ce formează un <a href="/wiki/%C8%98ir_(matematic%C4%83)" title="Șir (matematică)">șir</a> a1, a2, a3, etc.<a href="#cite_note-17">[17]</a> Al n-lea termen al șirului, an, este adesea exprimat în funcție de alți termeni ai șirului, cum ar fi an−1. De exemplu, <a href="/wiki/%C8%98irul_lui_Fibonacci" class="mw-redirect" title="Șirul lui Fibonacci">numerele Fibonacci</a> sunt definite recursiv; fiecare termen este suma celor doi termeni precedenți: Fn = Fn−1 + Fn−2. Mai multe ecuații asociate cu algoritmul lui Euclid sunt recursive. În fine, în coborârea infinită,<a href="#cite_note-18">[18]</a> o soluție dată în numere naturale este utilizată pentru a construi o soluție cu numere naturale mai mici.<a href="#cite_note-19">[19]</a> Soluțiile, însă, nu se pot micșora nelimitat, deoarece există un număr finit de numere naturale mai mici ca numerele naturale inițiale. Astfel, fie soluția originală era imposibilă, fie construcția unor soluții mai mici trebuie să se termine. Acest din urmă argument este folosit pentru a arăta că algoritmul lui Euclid pentru numere naturale trebuie să se termine într-un număr finit de pași.<a href="#cite_note-Stark_p18-20">[20]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Descriere">Descriere</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=4" title="Modifică secțiunea: Descriere" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=4" title="Edit section's source code: Descriere">modificare sursă</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Procedură">Procedură</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=5" title="Modifică secțiunea: Procedură" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=5" title="Edit section's source code: Procedură">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor.<a href="#cite_note-Stark,_pp._16–20-21">[21]</a> Fie k un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui k = 0, pasul următor corespunde lui k = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative rk−1 și rk−2. Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, rk−1 este mai mic decât predecesorul sau rk−2. Scopul pasului k este găsirea <a href="/wiki/C%C3%A2t" title="Cât">câtului</a> qk și a <a href="/wiki/Rest" class="mw-redirect" title="Rest">restului</a> rk astfel încât să fie satisfăcută ecuația: <dl><dd>rk−2 = qk rk−1 + rk</dd></dl> unde rk < rk−1. Cu alte cuvinte, multiplii celui mai mic număr rk−1 sunt scăzuți din numărul mai mare rk−2 până când restul este mai mic decât rk−1. În pasul inițial (k = 0), resturile r−2 și r−1 sunt chiar a și b, numerele al căror CMMDC este căutat. În pasul următor (k = 1), resturile sunt b și restul r0 al pasului inițial, și așa mai departe. Astfel, algoritmul poate fi scris ca o secvență de ecuații <dl><dd>a = q0 b + r0</dd> <dd>b = q1 r0 + r1</dd> <dd>r0 = q2 r1 + r2</dd> <dd>r1 = q3 r2 + r3</dd> <dd>…</dd></dl> Dacă a este mai mic decât b, primul pas al algoritmului schimbă numerele între ele. De exemplu, dacă a < b, câtul inițial q0 este zero, iar restul r0 este a. Astfel, rk este mai mic decât predecesorul său rk−1 pentru orice k ≥ 0. Întrucât resturile scad la fiecare pas dar nu pot fi niciodată negative, un rest rN trebuie în cele din urmă să fie zero, moment în care algoritmul se oprește.<a href="#cite_note-Stark_p18-20">[20]</a> Ultimul rest nenul rN−1 este cel mai mare divizor comun al lui a și b. Numărul N nu poate fi infinit deoarece există doar un număr finit de numere nenegative întregi între restul inițial r0 și zero. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Demonstrația_corectitudinii">Demonstrația corectitudinii</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=6" title="Modifică secțiunea: Demonstrația corectitudinii" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=6" title="Edit section's source code: Demonstrația corectitudinii">modificare sursă</a>]</div> Corectitudinea algoritmului lui Euclid se poate demonstra în doi pași.<a href="#cite_note-Stark,_pp._16–20-21">[21]</a> La primul pas, se arată că ultimul rest nenul rN−1 divide atât pe a cât și pe b. Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun g. În al doilea pas, se arată că orice divizor comun al lui a și b, inclusiv g, trebuie să-l dividă pe rN−1; deci, g trebuie să fie mai mic sau egal cu rN−1. Aceste două concluzii sunt inconsistente doar dacă rN−1 nu este egal cu g. Pentru a demonstra că rN−1 divide și pe a și pe b (primul pas), rN−1 divide predecesorul său rN−2 <dl><dd>rN−2 = qN rN−1</dd></dl> întrucât ultimul rest rN este zero. rN−1 divide și pe următorul său predecesor rN−3 <dl><dd>rN−3 = qN−1 rN−2 + rN−1</dd></dl> deoarece el divide ambii termeni ai părții drepte a ecuației. Iterând același argument, rN−1 divide toate celelalte resturi, inclusiv pe a și pe b. Niciunul din resturile anterioare rN−2, rN−3, etc. nu divid pe a și pe b, deoarece toate lasă un rest nenul. Cum rN−1 este un divizor comun al lui a și b, rN−1 ≤ g. În al doilea pas, orice număr natural c care divide pe a și pe b (cu alte cuvinte, orice divizor comun al lui a și b) divide resturile rk. Prin definiție, a și b pot fi scrise ca multipli de c: a = mc și b = nc, unde m și n sunt numere naturale. Deci c divide restul inițial r0, întrucât r0 = a − q0b = mc − q0nc = (m − q0n)c. O demonstrație analogă arată că c divide și celelalte resturi r1, r2, etc. Deci cel mai mare divizor comun g divide rN−1, de unde rezultă că g ≤ rN−1. Întrucât în prima parte a demonstrației s-a arătat că (rN−1 ≤ g), rezultă că g = rN−1. Deci g este cel mai mare divizor comun al tuturor perechilor succesive:<a href="#cite_note-22">[22]</a><a href="#cite_note-Lovasz_2003-23">[23]</a> <dl><dd>g = CMMDC(a, b) = CMMDC(b, r0) = CMMDC(r0, r1) = … = CMMDC(rN−2, rN−1) = rN−1</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exemplu">Exemplu</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=7" title="Modifică secțiunea: Exemplu" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=7" title="Edit section's source code: Exemplu">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Euclidean_algorithm_1071_462.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Euclidean_algorithm_1071_462.gif/220px-Euclidean_algorithm_1071_462.gif" decoding="async" width="220" height="510" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Euclidean_algorithm_1071_462.gif/330px-Euclidean_algorithm_1071_462.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Euclidean_algorithm_1071_462.gif/440px-Euclidean_algorithm_1071_462.gif 2x" data-file-width="462" data-file-height="1071" /></a><figcaption>Animație a algoritmului. Dreptunghiul verde inițial are dimensiunile a = 1071 și b = 462. El se împarte în pătrate de dimensiune 462×462 până rămâne un dreptunghi 462×147. Acesta e împărțit mai departe în pătrate 147×147 până rămâne un dreptunghi 21×147. Acest al treilea dreptunghi este împărțit în pătrate 21×21, și nu rămâne niciun rest. Deci 21 este cel mai mare divizor comun al lui 1071 și 462.</figcaption></figure> Pentru ilustrare, algoritmul lui Euclid se poate utiliza pentru a găsi cel mai mare divizor comun al lui a = 1071 și b = 462. Pentru început, multiplii lui 462 sunt scăzuți din 1071 până rămâne un rest mai mic decât 462. Se pot scădea doi astfel de multipli (q0 = 2), lăsând numărul 147 <dl><dd>1071 = 2 × 462 + 147.</dd></dl> Apoi multiplii lui 147 sunt scăzuți din 462 până când restul este mai mic decât 147. Trei multipli se pot scădea (q1 = 3) și rămâne restul 21 <dl><dd>462 = 3 × 147 + 21.</dd></dl> Apoi se scad multiplii lui 21 din 147 până când restul este mai mic decât 21. Se pot scădea șapte multipli (q2 = 7) și nu rămâne niciun rest <dl><dd>147 = 7 × 21 + 0.</dd></dl> Cum ultimul rest este zero, algoritmul se termină cu 21 ca cel mai mare divizor comun al lui 1071 și 462. Rezultatul este în concordanță cu CMMDC(1071, 462) găsit prin factorizarea efectuată mai sus. În formă tabelară, pașii sunt: <table class="wikitable" id="basic_Euclidean_algorithm" style="margin-left:auto; margin-right:auto; text-align:center"> <tbody><tr> <th>Numărul pasului</th> <th>Ecuația</th> <th>Cât și rest </th></tr> <tr> <td>0</td> <td>1071 = q0 462 + r0</td> <td>q0 = 2 and r0 = 147 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>462 = q1 147 + r1</td> <td>q1 = 3 and r1 = 21 </td></tr> <tr> <td>2</td> <td>147 = q2 21 + r2</td> <td>q2 = 7 and r2 = 0; algoritmul ia sfârșit </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vizualizare">Vizualizare</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=8" title="Modifică secțiunea: Vizualizare" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=8" title="Edit section's source code: Vizualizare">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid poate fi vizualizat în termenii analogiei pătratelor dată mai sus pentru cel mai mare divizor comun.<a href="#cite_note-Kimberling_1983-24">[24]</a> Se presupune că se dorește acoperirea unui dreptunghi a-pe-b cu pătrate care să-l acopere exact, unde a este cel mai mare dintre cele două numere. Întâi, se încearcă împărțirea dreptunghiului în pătrate b-pe-b; aceasta lasă, însă, un dreptunghi rezidual r0-pe-b neacoperit, unde r0<b. Atunci se încearcă împărțirea dreptunghiului rezidual cu pătrate r0-pe-r0. Rămâne un al doilea dreptunghi rezidual r1-pe-r0, pe care se încearcă să fie acoperit cu pătrate r1-pe-r1, și așa mai departe. Șirul acesta se termină atunci când nu mai rămâne niciun dreptunghi rezidual, adică atunci când pătratele acoperă exact dreptunghiul rezidual. Lungimea laturilor celui mai mic pătrat este CMMDC al dimensiunilor dreptunghiului original. De exemplu, cel mai mic pătrat din figura alăturată este 21-pe-21 (cu roșu), iar 21 este CMMDC de 1071 și 462, dimensiunile dreptunghiului original (verde). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Calculul_câturilor_și_resturilor">Calculul câturilor și resturilor</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=9" title="Modifică secțiunea: Calculul câturilor și resturilor" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=9" title="Edit section's source code: Calculul câturilor și resturilor">modificare sursă</a>]</div> La fiecare pas k, algoritmul lui Euclid calculează un cât qk și un rest rk ale două numere rk−1 și rk−2 <dl><dd>rk−2 = qk rk−1 + rk</dd></dl> unde <a href="/wiki/Valoare_absolut%C4%83" class="mw-redirect" title="Valoare absolută">modulul</a> lui rk este strict mai mic decât cel al lui rk−1. Teorema împărțirii cu rest asigură că există întotdeauna acest cât și acest rest. Teorema împărțirii cu rest a numerelor naturale spune și că qk și rk sunt unice, dar unicitatea lor nu este necesară pentru algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-Cohn_1962-25">[25]</a> În versiunea originală dată de Euclid pentru acest algoritm, câtul și restul se găsesc prin scădere repetată; adică rk−1 este scăzut din rk−2 repetat până când restul rk este mai mic decât rk−1. O abordare mai eficientă utilizează împărțirea numerelor întregi și <a href="/w/index.php?title=Opera%C8%9Bia_modulo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Operația modulo — pagină inexistentă">operația modulo</a> pentru a calcula respectiv câtul și restul. Operația modulo dă restul împărțirii a două numere; astfel, <dl><dd>rk <a href="/w/index.php?title=Aritmetic%C4%83_modular%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aritmetică modulară — pagină inexistentă">≡</a> rk−2 mod rk−1</dd></dl> Restul este echivalent cu clasa de congruență din <a href="/w/index.php?title=Aritmetica_modular%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aritmetica modulară — pagină inexistentă">aritmetica modulară</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Implementări">Implementări</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=10" title="Modifică secțiunea: Implementări" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=10" title="Edit section's source code: Implementări">modificare sursă</a>]</div> Implementările algoritmului se pot exprima în <a href="/w/index.php?title=Pseudocod&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pseudocod — pagină inexistentă">pseudocod</a>. De exemplu, versiunea bazată pe împărțire trebuie să fie <a href="/wiki/Programarea_calculatoarelor" class="mw-redirect" title="Programarea calculatoarelor">programată</a> ca<a href="#cite_note-26">[26]</a> <pre>function CMMDC(a, b) while b ≠ 0 t := b b := a mod b a := t return a </pre> La începutul iterației k, variabila b deține ultimul rest rk−1, iar variabila a deține predecesorul acesteia, rk−2. Pasul b := a mod b este echivalent cu formula recursivă de mai sus rk ≡ rk−2 mod rk−1. Variabila t reține valoarea lui rk−1 în timp ce se calculează următorul rest rk. La sfârșitul acestei bucle de iterații, variabila b va păstra restul rk, iar variabila a va reține predecesorul, rk−1. În versiunea pe bază de scădere, definită de Euclid, calculul restului (b = a mod b) este înlocuit cu scăderea repetată.<a href="#cite_note-27">[27]</a> <pre>function CMMDC(a, b) if a = 0 return b while b ≠ 0 if a > b a := a − b else b := b − a return a </pre> Variabilele a și b rețin alternativ resturile anterioare rk−1 și rk−2. Se presupune că a este mai mare ca b la începutul unei iterații; atunci a este egal cu rk−2, fiindcă rk−2 > rk−1. Pe parcursul acestei bucle, a este redus cu multipli ai restului anterior b până când a este mai mic ca b. Atunci a este următorul rest rk. Atunci b este redus cu multipli ai lui a până când este mai mic decât a, dând următorul rest rk+1, și așa mai departe. Versiunea recursivă<a href="#cite_note-28">[28]</a> se bazează pe egalitatea CMMDC al resturilor succesive și pe condiția de oprire CMMDC(rN−1, 0) = rN−1. <pre>function CMMDC(a, b) if b = 0 return a else return CMMDC(b, a mod b) </pre> Pentru ilustrare, se calculează CMMDC(1071, 462) din CMMDC(462, 1071 mod 462) = CMMDC(462, 147). Acest al doilea CMMDC se calculează din CMMDC(147, 462 mod 147) = CMMDC(147, 21), care la rândul său se calculează din CMMDC(21, 147 mod 21) = CMMDC(21, 0) = 21. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Metoda_celor_mai_mici_resturi_absolute">Metoda celor mai mici resturi absolute</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=11" title="Modifică secțiunea: Metoda celor mai mici resturi absolute" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=11" title="Edit section's source code: Metoda celor mai mici resturi absolute">modificare sursă</a>]</div> Într-o altă versiune a algoritmului lui Euclid, câtul de la fiecare pas este crescut cu unu dacă restul negativ rezultat este mai mic în modul decât restul pozitiv tipic.<a href="#cite_note-Ore_least_abs_remainders-29">[29]</a><a href="#cite_note-Stewart_1964-30">[30]</a> Anterior, ecuația <dl><dd>rk−2 = qk rk−1 + rk</dd></dl> presupunea că rk−1 > rk > 0. Se poate, însa, calcula și un alt rest negativ ek <dl><dd>rk−2 = (qk + 1) rk−1 + ek</dd></dl> unde rk−1 este presupus pozitiv. Dacă |ek| < |rk|, atunci rk este înlocuit de ek. După cum a arătat <a href="/wiki/Leopold_Kronecker" title="Leopold Kronecker">Leopold Kronecker</a>, această versiune necesită cel mai mic număr de pași dintre toate versiunile algoritmului lui Euclid.<a href="#cite_note-Ore_least_abs_remainders-29">[29]</a><a href="#cite_note-Stewart_1964-30">[30]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Istoric">Istoric</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=12" title="Modifică secțiunea: Istoric" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=12" title="Edit section's source code: Istoric">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Euklid.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Euklid.jpg/220px-Euklid.jpg" decoding="async" width="220" height="380" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Euklid.jpg/330px-Euklid.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Euklid.jpg/440px-Euklid.jpg 2x" data-file-width="725" data-file-height="1253" /></a><figcaption>Algoritmul lui Euclid a fost probabil inventat cu câteva secole înaintea lui <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> (în imagine)</figcaption></figure> Algoritmul lui Euclid este unul dintre cei mai vechi algoritmi încă în uz.<a href="#cite_note-Knuth,_p._318-31">[31]</a> El apare în <a href="/w/index.php?title=Elementele_lui_Euclid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Elementele lui Euclid — pagină inexistentă">Elemente</a> (c. <a href="/wiki/300_%C3%AE.e.n." class="mw-redirect" title="300 î.e.n.">300 î.e.n.</a>), anume în Cartea 7 (Propunerile 1–2) și în Cartea 10 (Propunerile 2–3). În Cartea 7, algoritmul este formulat pentru întregi, pe când în Cartea 10, el este formulat pentru lungimi de segmente de dreaptă. (în uz modern, s-ar spune că a fost formulat pentru <a href="/wiki/Num%C4%83r_real" title="Număr real">numere reale</a>. Dar lungimile, ariile și volumele, reprezentate ca numere reale în uz modern, nu se măsoară în aceleași unități și nu există o unitate naturală de lungime, arie sau volum, iar conceptul de numere reale nu era cunoscut la acea vreme.) Al doilea algoritm este geometric. CMMDC al două lungimi a și b corespunde celei mai mari lungimi g care măsoară a și b exact; cu alte cuvinte, lungimile a și b sunt ambele multipli întregi ai lungimii g. Algoritmul nu a fost, probabil, descoperit de <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a>, care doar a compilat rezultate ale matematicienilor dinaintea sa în lucrarea Elemente.<a href="#cite_note-Weil_1983-32">[32]</a><a href="#cite_note-Jones_1994-33">[33]</a> Matematicianul și istoricul <a href="/w/index.php?title=Bartel_Leendert_van_der_Waerden&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bartel Leendert van der Waerden — pagină inexistentă">B. L. van der Waerden</a> sugerează că Cartea VII derivă dintr-un manual de <a href="/wiki/Teoria_numerelor" title="Teoria numerelor">teoria numerelor</a> scris de matematicieni ai școlii lui <a href="/wiki/Pitagora" title="Pitagora">Pitagora</a>.<a href="#cite_note-van_der_Waerden_1954-34">[34]</a> Algoritmul a fost probabil cunoscut lui <a href="/w/index.php?title=Eudoxus_din_Cnidus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eudoxus din Cnidus — pagină inexistentă">Eudoxus din Cnidus</a> (circa 375 î.e.n.)<a href="#cite_note-Knuth,_p._318-31">[31]</a><a href="#cite_note-35">[35]</a> Algoritmul ar putea fi dinainte chiar și de Eudoxus,<a href="#cite_note-36">[36]</a><a href="#cite_note-37">[37]</a> judecând după utilizarea termenului tehnic ἀνθυφαίρεσις (anthyphairesis, scădere reciprocă) din lucrările lui Euclid și Aristotel.<a href="#cite_note-38">[38]</a> După mai multe secole, algoritmul lui Euclid a fost descoperit independent în India și în China,<a href="#cite_note-Stillwell,_p._31-39">[39]</a> și a fost utilizat mai ales pentru rezolvarea de ecuații diofantice care apar în astronomie și la realizarea de calendare precise. Spre sfârșitul secolului al V-lea, matematicianul și astronomul indian <a href="/wiki/Aryabhata" title="Aryabhata">Aryabhata</a> a descris algoritmul sub numele de „pulverizatorul”,<a href="#cite_note-Tattersall,_p._70-40">[40]</a> poate din cauza eficienței sale în rezolvarea de <a href="/w/index.php?title=Ecua%C8%9Bie_diofantic%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuație diofantică — pagină inexistentă">ecuațiilor diofantice</a>.<a href="#cite_note-41">[41]</a> Deși un caz special al <a href="/wiki/Teorema_chinezeasc%C4%83_a_resturilor" title="Teorema chinezească a resturilor">teoremei chinezești a resturilor</a> fusese deja descris de matematicianul și astronomul chinez <a href="/w/index.php?title=Sun_Tzu_(matematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sun Tzu (matematician) — pagină inexistentă">Sun Tzu</a>,<a href="#cite_note-42">[42]</a> soluția generală a fost publicată de <a href="/w/index.php?title=Qin_Jiushao&action=edit&redlink=1" class="new" title="Qin Jiushao — pagină inexistentă">Qin Jiushao</a> în cartea sa din 1247 intitulată Shushu Jiuzhang (數書九章 „Tratat matematic în nouă secțiuni”).<a href="#cite_note-43">[43]</a> Algoritmul lui Euclid a fost descris în Europa pentru prima dată în a doua ediție a lucrării lui <a href="/w/index.php?title=Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac&action=edit&redlink=1" class="new" title="Claude Gaspard Bachet de Méziriac — pagină inexistentă">Bachet</a> Problèmes plaisants et délectables (Probleme plăcute și delectabile, 1624).<a href="#cite_note-Tattersall,_p._70-40">[40]</a> În Europa, a fost folosit tot pentru rezolvarea de ecuații diofantice, dar și la construcția <a href="/wiki/Frac%C8%9Bie_continu%C4%83" title="Fracție continuă">fracțiilor continue</a>. Algoritmul lui Euclid extins a fost publicat de matematicianul englez <a href="/w/index.php?title=Nicholas_Saunderson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nicholas Saunderson — pagină inexistentă">Nicholas Saunderson</a>, care i l-a atribuit lui <a href="/wiki/Roger_Cotes" title="Roger Cotes">Roger Cotes</a> ca metodă de calcul eficient a fracțiilor continue.<a href="#cite_note-44">[44]</a> În secolul al XIX-lea, algoritmul lui Euclid a dus la dezvoltarea unor noi sisteme de numere, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregii_gaussieni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregii gaussieni — pagină inexistentă">întregii gaussieni</a> și <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregii_eisensteinieni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregii eisensteinieni — pagină inexistentă">întregii eisensteinieni</a>. În 1815, <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Gauss</a> a utilizat algoritmul lui Euclid pentru a demonstra factorizarea unică a întregilor gaussieni, deși lucrarea sa a fost publicată pentru prima oară în 1832.<a href="#cite_note-Gauss_1832-45">[45]</a> Gauss a menționat algoritmul în <a href="/w/index.php?title=Disquisitiones_Arithmeticae&action=edit&redlink=1" class="new" title="Disquisitiones Arithmeticae — pagină inexistentă">Disquisitiones Arithmeticae</a> (publicat la 1801), dar numai ca metodă pentru fracțiile continue.<a href="#cite_note-Stillwell,_p._31-39">[39]</a> <a href="/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Peter Dirichlet</a> pare a fi fost primul care a descris algoritmul lui Euclid ca bază pentru teoria numerelor.<a href="#cite_note-46">[46]</a> Dirichlet a observat că multe din rezultatele teoriei numerelor, cum ar fi unicitatea factorizării, sunt adevărate pentru toate celelalte sisteme de numere în care se poate aplica algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-47">[47]</a> Cursurile lui Dirichlet pe tema teoriei numerelor au fost editate și extinse de <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a>, care a utilizat algoritmul lui Euclid pentru a studia întregii algebrici, un tip general de numere. De exemplu, Dedekind a fost primul care a demonstrat <a href="/w/index.php?title=Teorema_lui_Fermat_despre_suma_a_dou%C4%83_p%C4%83trate&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema lui Fermat despre suma a două pătrate — pagină inexistentă">teorema celor două pătrate a lui Fermat</a> folosind factorizarea unică a întregilor gaussieni.<a href="#cite_note-48">[48]</a> Dedekind a definit și conceptul de <a href="/w/index.php?title=Domeniu_euclidian&action=edit&redlink=1" class="new" title="Domeniu euclidian — pagină inexistentă">domeniu euclidian</a>, un sistem numeric în care se poate defini o versiune generalizată a algoritmului lui Euclid. În ultimele decenii ale secolului al XIX-lea, însă, algoritmul lui Euclid a fost treptat eclipsat de teoria mai generală a lui Dedekind despre ideale.<a href="#cite_note-49">[49]</a> <table class="toccolours" style="float: left; margin-left: 1em; margin-right: 1em; font-size: 85%; background:#c6dbf7; color:black; width:23em; max-width: 25%;" cellspacing="5"> <tbody><tr> <td style="text-align: left;"> „[Algoritmul lui Euclid] este străbunicul tuturor algoritmilor, deoarece este cel mai vechi algoritm netrivial care a supraviețuit până în ziua de azi.” </td></tr> <tr> <td style="text-align: left;"><a href="/wiki/Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a>, The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 2nd edition (1981), p. 318. </td></tr></tbody></table> În secolul al XIX-lea au fost dezvoltate și alte aplicații ale algoritmului lui Euclid. În 1829, <a href="/w/index.php?title=Jacques_Charles_Fran%C3%A7ois_Sturm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jacques Charles François Sturm — pagină inexistentă">Charles Sturm</a> a arătat că algoritmul este util în metoda <a href="/w/index.php?title=Teorema_lui_Sturm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema lui Sturm — pagină inexistentă">lanțurilor Sturm</a> de numărare a rădăcinilor reale dintr-un interval dat ale polinoamelor.<a href="#cite_note-50">[50]</a> Algoritmul lui Euclid a fost prima metodă de descoperire a relațiilor între numere întregi de același ordin de mărime. În ultimii ani, s-au mai dezvoltat câțiva alți algoritmi noi legați de relațiile între întregi, ca de exemplu <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_Ferguson%E2%80%93Forcade&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul Ferguson–Forcade — pagină inexistentă">algoritmul Ferguson–Forcade</a> (1979) al lui <a href="/w/index.php?title=Helaman_Ferguson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Helaman Ferguson — pagină inexistentă">Helaman Ferguson</a> și R.W. Forcade,<a href="#cite_note-51">[51]</a> și algoritmii asociați, <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_de_reducere_Lenstra%E2%80%93Lenstra%E2%80%93Lov%C3%A1sz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul de reducere Lenstra–Lenstra–Lovász — pagină inexistentă">algoritmul LLL</a>, <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_HJLS&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul HJLS — pagină inexistentă">algoritmul HJLS</a> și <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_PSLQ&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul PSLQ — pagină inexistentă">algoritmul PSLQ</a>.<a href="#cite_note-52">[52]</a><a href="#cite_note-53">[53]</a> În 1969, Cole și Davie au dezvoltat un joc în doi pe baza algoritmului lui Euclid, joc intitulat Jocul lui Euclid,<a href="#cite_note-54">[54]</a> care are o strategie optimă.<a href="#cite_note-55">[55]</a> Jucătorii încep cu două grămezi de pietre a și b. Jucătorii elimină pe rând m multipli ai celei mai mici grămezi din cea mai mare. Astfel, daca cele două grămezi au x respectiv y pietre, unde x este mai mare ca y, următorul jucător poate reduce grămada mai mare de la x pietre la x − my pietre, atâta vreme cât al doilea este un număr nenegativ. Câștigă primul jucător care reduce una dintre grămezi la zero pietre.<a href="#cite_note-56">[56]</a><a href="#cite_note-57">[57]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicații_matematice">Aplicații matematice</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=13" title="Modifică secțiunea: Aplicații matematice" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=13" title="Edit section's source code: Aplicații matematice">modificare sursă</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Identitatea_lui_Bézout">Identitatea lui Bézout</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=14" title="Modifică secțiunea: Identitatea lui Bézout" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=14" title="Edit section's source code: Identitatea lui Bézout">modificare sursă</a>]</div> <a href="/wiki/Identitatea_lui_B%C3%A9zout" title="Identitatea lui Bézout">Identitatea lui Bézout</a> spune că cel mai mare divizor comun g al două numere întregi a și b se poate reprezenta sub formă de combinație liniară a primelor două numere a și b.<a href="#cite_note-58">[58]</a> Cu alte cuvinte, întotdeauna există două numere întregi s și t astfel încât g = sa + tb.<a href="#cite_note-59">[59]</a><a href="#cite_note-60">[60]</a> Întregii s și t pot fi calculați pe baza câturilor q0, q1 etc. inversând ordinea ecuațiilor din algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-61">[61]</a> Începând cu penultima ecuație, g poate fi exprimat în termeni de câtul qN−1 și de cele două resturi anterioare, rN−2 și rN−3. <dl><dd>g = rN−1 = rN−3 − qN−1 rN−2</dd></dl> Acele două resturi pot fi, de asemenea, exprimate în termeni de câturile corespunzătoare lor și de resturile anterioare, <dl><dd>rN−2 = rN−4 − qN−2 rN−3</dd> <dd>rN−3 = rN−5 − qN−3 rN−4</dd></dl> Înlocuind aceste formule pentru rN−2 și rN−3 în prima ecuație rezultă g sub formă de combinație liniară a resturilor rN−4 și rN−5. Procesul de substituție a resturilor din formulele ce implică predecesoarele lor se poate continua până când se ajunge la numerele originale a și b <dl><dd>r2 = r0 − q2 r1</dd> <dd>r1 = b − q1 r0</dd> <dd>r0 = a − q0 b</dd></dl> După ce toate resturile r0, r1 etc. au fost substituite, ultima ecuație îl exprimă pe g sub forma unei combinații liniare de a și b: g = sa + tb. <a href="/wiki/Identitatea_lui_B%C3%A9zout" title="Identitatea lui Bézout">Identitatea lui Bézout</a>, și deci și algoritmul anterior, poate fi generalizată la contextul domeniilor euclidiene. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ideale_principale">Ideale principale</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=15" title="Modifică secțiunea: Ideale principale" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=15" title="Edit section's source code: Ideale principale">modificare sursă</a>]</div> Identitatea lui Bézout dă o altă definiție a celui mai mare divizor comun g al două numere a și b.<a href="#cite_note-Leveque_p33-11">[11]</a> Fie mulțimea tuturor numerelor de forma ua + vb, unde u și v sunt orice două numere întregi. Cum a și b sunt ambele divizibile cu g, toate numerele din mulțime sunt divizibile cu g. Cu alte cuvinte, toate numerele din această mulțime sunt multipli întregi ai lui g. Acest lucru este adevărat pentru orice divizor comun al lui a și b. Spre deosebire de alți divizori comuni, însă, cel mai mare divizor comun este și el membru al mulțimii; din identitatea lui Bézout, alegând u = s și v = t rezultă g. Un divizor comun mai mic nu poate fi membru al mulțimii, deoarece toate elementele mulțimii trebuie să fie divizibile cu g. Invers, orice multiplu m al lui g poate fi obținut alegând u = ms și v = mt, unde s și t sunt întregii din identitatea lui Bézout. Aceasta se poate vedea înmulțind identitatea lui Bézout cu m <dl><dd>mg = msa + mtb</dd></dl> Astfel, mulțimea tuturor numerelor ua + vb este echivalentă cu mulțimea multiplilor m ai lui g. Cu alte cuvinte, mulțimea tuturor sumelor posibile de multipli întregi ai două numere (a și b) este echivalentă cu mulțimea multiplilor lui CMMDC(a, b). CMMDC se spune că este generator al idealului lui a și b. Aceaată definiție pentru CMMDC a dus la unele concepte moderne din <a href="/w/index.php?title=Algebra_abstract%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algebra abstractă — pagină inexistentă">algebra abstractă</a>, cum ar fi cel de <a href="/wiki/Ideal_principal" title="Ideal principal">ideal principal</a> (un ideal generat de un singur element) și de domeniu de ideal principal (un domeniu în care toate idealele sunt principale). Unele probleme se pot rezolva cu acest rezultat.<a href="#cite_note-62">[62]</a> De exemplu, fie două cești de măsurare de volum a respectiv b. Adăugând sau scăzând u multipli ai primei cești și v multipli ai celei de-a doua cești, poate fi măsurat orice volum ua + vb. Aceste volume sunt toate multipli ai lui g = CMMDC(a, b). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algoritmul_lui_Euclid_extins">Algoritmul lui Euclid extins</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=16" title="Modifică secțiunea: Algoritmul lui Euclid extins" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=16" title="Edit section's source code: Algoritmul lui Euclid extins">modificare sursă</a>]</div> Întregii s și t din identitatea lui Bézout se pot calcula eficient utilizând <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid_extins&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul lui Euclid extins — pagină inexistentă">algoritmul lui Euclid extins</a>. Această extensie adaugă algoritmului lui Euclid două ecuații recursive<a href="#cite_note-63">[63]</a> <dl><dd>sk = sk−2 − qk−1sk−1</dd> <dd>tk = tk−2 − qk−1tk−1</dd></dl> cu valorile de început <dl><dd>s−2 = 1, t−2 = 0</dd> <dd>s−1 = 0, t−1 = 1</dd></dl> Cu ajutorul acestei relații de recurență, întregii lui Bézout s și t sunt dați de s = sN și t = tN, unde N este pasul la care algoritmul se termină cu rN = 0. Validitatea acestei abordări se poate demonstra prin inducție. Se presupune că formula recursivă este corectă până la pasul k−1 al algoritmului, cu alte cuvinte, se presupune că <dl><dd>rj = sj a + tj b</dd></dl> pentru orice j mai mic decât k. Al k-lea pas al algoritmului dă ecuația <dl><dd>rk = rk−2 − qk−1rk−1</dd></dl> Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru rk−2 și rk−1, ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare s și t <dl><dd>rk = (sk−2 a + tk−2 b) − qk−1(sk−1 a + tk−1 b)</dd></dl> Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul k <dl><dd>rk = sk a + tk b = (sk−2 − qk−1sk−1) a + (tk−2 − qk−1tk−1) b</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Metoda_matricială">Metoda matricială</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=17" title="Modifică secțiunea: Metoda matricială" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=17" title="Edit section's source code: Metoda matricială">modificare sursă</a>]</div> Întregii s și t pot fi găsiți și folosind o metodă echivalentă bazată pe <a href="/wiki/Matrice" title="Matrice">matrice</a>.<a href="#cite_note-Koshy_2002-64">[64]</a> Secvența de ecuații a algoritmului lui Euclid <dl><dd>a = q0 b + r0</dd> <dd>b = q1 r0 + r1</dd> <dd>…</dd> <dd>rN−2 = qN rN−1 + 0</dd></dl> se poate scrie ca <a href="/wiki/%C3%8Enmul%C8%9Birea_matricilor" title="Înmulțirea matricilor">produs al matricilor</a> câturilor 2-pe-2 înmulțite cu un vector bidimensional al resturilor <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4c0282cfc667b5772ba33f42a4d83871922f7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:84.182ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}}"></dd></dl> Fie M produsul tuturor matricelor–cât <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⋯</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fecfea749b7214a799a7036432b15f0d220d21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:72.394ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}}"></dd></dl> Aceasta simplifică algoritmul lui Euclid la forma <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68ac04b264372ccb68dc492ec3584e026b07c8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.023ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}}"></dd></dl> Pentru a exprima pe g sub formă de combinație liniară de a și b, ambele părți ale acestei ecuații pot fi înmulțite cu <a href="/w/index.php?title=Matrice_inversabil%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matrice inversabilă — pagină inexistentă">inversa</a> matricei M.<a href="#cite_note-Koshy_2002-64">[64]</a><a href="#cite_note-Bach_1996-65">[65]</a> <a href="/w/index.php?title=Determinant&action=edit&redlink=1" class="new" title="Determinant — pagină inexistentă">Determinantul</a> lui M este egal cu (−1)N+1, deoarece este egal cu produsul determinanților matricelor–cât, care sunt egale cu minus unu. Întrucât determinantul lui M nu este niciodată zero, vectorul final de resturi se poate rezolva găsind inversa lui M <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb32bf06f40165e7671f8b9f8f79a362ecb85b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.724ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}"></dd></dl> Deoarece ecuația de sus dă <dl><dd>g = (−1)N+1 ( m22 a − m12 b)</dd></dl> cei doi întregi ai identității lui Bézout sunt s = (−1)N+1m22 și t = (−1)Nm12. Metoda matricei este la fel de eficientă ca și cea a formulei de recurență, cu două înmulțiri și două adunări la fiecare pas al algoritmului lui Euclid. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lema_lui_Euclid_și_unicitatea_factorizării">Lema lui Euclid și unicitatea factorizării</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=18" title="Modifică secțiunea: Lema lui Euclid și unicitatea factorizării" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=18" title="Edit section's source code: Lema lui Euclid și unicitatea factorizării">modificare sursă</a>]</div> Identitatea lui Bézout este esențială pentru multe aplicații ale algoritmului lui Euclid, cum ar fi demonstrarea unicității descompunerii numerelor în factori primi.<a href="#cite_note-66">[66]</a> Pentru a ilustra aceasta, se presupune că un număr L poate fi scris ca produs de doi factori u și v, adică L = uv. Dacă un alt număr w îl divide și el pe L dar este prim cu u, atunci înseamnă că w îl divide pe v, pentru că, dacă cel mai mare divizor comun al lui u și w este 1, atunci se pot găsi doi întregi s și t astfel încât <dl><dd>1 = su + tw</dd></dl> conform identității lui Bézout. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu v rezultă relația <dl><dd>v = suv + twv = sL + twv</dd></dl> Cum w divide ambii termeni din partea dreaptă, înseamnă că el divide și termenul din stânga, v. Acest rezultat este cunoscut sub numele de <a href="/w/index.php?title=Lema_lui_Euclid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lema lui Euclid — pagină inexistentă">lema lui Euclid</a>:<a href="#cite_note-Ore,_p._44-67">[67]</a> Dacă un număr prim divide pe L, atunci el divide cel puțin unul dintre factorii lui L. La fel, dacă un număr w este prim cu mai multe numere a1, a2, …, an, atunci w este prim și cu produsul lor, a1 × a2 × … × an.<a href="#cite_note-Ore,_p._44-67">[67]</a> Lema lui Euclid este suficientă pentru a demonstra că toate numerele au o unică descompunere în factori primi.<a href="#cite_note-68">[68]</a> Dacă se presupune contrariul, și anume că există două factorizări independente ale lui L în m respectiv n factori primi <dl><dd>L = p1p2…pm = q1q2…qn</dd></dl> Întrucât toate numerele prime p divid pe L conform presupunerii, atunci fiecare dintre ele divide unul dintre factorii q; întrucât fiecare q este și el prim, atunci înseamnă că p = q. Împărțind iterativ la factorii p rezultă că fiecare p are un corespondent q; cele două descompuneri în factori primi sunt identice cu excepția ordinii factorilor. Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ecuațiile_liniare_diofantice">Ecuațiile liniare diofantice</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=19" title="Modifică secțiunea: Ecuațiile liniare diofantice" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=19" title="Edit section's source code: Ecuațiile liniare diofantice">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Diophante_Bezout.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Diophante_Bezout.svg/220px-Diophante_Bezout.svg.png" decoding="async" width="220" height="186" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Diophante_Bezout.svg/330px-Diophante_Bezout.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Diophante_Bezout.svg/440px-Diophante_Bezout.svg.png 2x" data-file-width="1786" data-file-height="1506" /></a><figcaption>Graficul unei <a href="/w/index.php?title=Ecua%C5%A3ie_diofantic%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuaţie diofantică — pagină inexistentă">ecuații diofantice</a>, 9x + 12y = 483. Soluțiile sunt arătate ca cercuri albastre.</figcaption></figure> <a href="/w/index.php?title=Ecua%C8%9Bie_diofantic%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuație diofantică — pagină inexistentă">Ecuațiile diofantice</a> sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea <a href="/w/index.php?title=Diophantus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Diophantus — pagină inexistentă">Diophantus</a>.<a href="#cite_note-69">[69]</a> O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi x și y are forma<a href="#cite_note-70">[70]</a> <dl><dd>ax + by = c</dd></dl> unde a, b și c sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în x de forma: <dl><dd>ax ≡ c mod b.</dd></dl> Fie g cel mai mare divizor comun al lui a și b. Ambii termeni din ecuația ax + by sunt divizibili cu g; deci, fie c este divizibil cu g, fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la c/g, ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout <dl><dd>sa + tb = g</dd></dl> unde s și t se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins.<a href="#cite_note-71">[71]</a> Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, x1 = s (c/g) și y1 = t (c/g). În general, o ecuație diofantică liniară fie nu are soluție, fie are un număr infinit de soluții.<a href="#cite_note-72">[72]</a> Pentru a demonstra cel de-al doilea caz, se consideră două soluții, (x1, y1) și (x2, y2) <dl><dd>ax1 + by1 = c = ax2 + by2</dd></dl> sau echivalent <dl><dd>a(x1 − x2) = b(y2 − y1).</dd></dl> Astfel, cea mai mică diferență între două soluții x este b/g, pe când cea mai mică diferență între două soluții y este a/g. Astfel, soluțiile pot fi exprimate ca <dl><dd>x = x1 − bt/g</dd> <dd>y = y1 + at/g.</dd></dl> Permițând lui t să varieze pe toată mulțimea numerelor întregi, se poate genera o familie infinită de soluții dintr-una singură (x1, y1). Dacă soluțiile trebuie să fie întregi pozitivi (x > 0, y > 0), este posibil să existe doar un număr finit de soluții. Această <a href="/wiki/Restric%C8%9Bie_(matematic%C4%83)" title="Restricție (matematică)">restricție</a> asupra soluțiilor acceptabile permite rezolvarea de sisteme de ecuații diofantice cu un număr de ecuații mai mare decât cel de necunoscute;<a href="#cite_note-73">[73]</a> aceasta este imposibilă pentru un <a href="/wiki/Sistem_de_ecua%C8%9Bii_liniare" title="Sistem de ecuații liniare">sistem de ecuații liniare</a> ale cărui soluții pot fi orice <a href="/wiki/Num%C4%83r_real" title="Număr real">număr real</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inversul_multiplicativ_și_algoritmul_RSA">Inversul multiplicativ și algoritmul RSA</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=20" title="Modifică secțiunea: Inversul multiplicativ și algoritmul RSA" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=20" title="Edit section's source code: Inversul multiplicativ și algoritmul RSA">modificare sursă</a>]</div> Un <a href="/wiki/Corp_finit" title="Corp finit">corp finit</a> este o mulțime de numere cu patru operații generice. Aceste operații se numesc adunare, scădere, înmulțire și împărțire și au proprietățile obișnuite, cum ar fi <a href="/wiki/Comutativitate" title="Comutativitate">comutativitatea</a>, <a href="/wiki/Asociativitate" title="Asociativitate">asociativitatea</a> și <a href="/wiki/Distributivitate" title="Distributivitate">distributivitatea</a>. Un exemplu de corp finit este mulțimea de 13 numere {0, 1, 2, …, 12} cu aritmetica modulară. În acest corp, rezultatele oricărei operații matematice (adunare/scădere/înmulțire/împărțire) se reduce <a href="/w/index.php?title=Opera%C8%9Bia_modulo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Operația modulo — pagină inexistentă">modulo</a> 13; adică din rezultat se scad multipli ai lui 13 până când rezultatul ajunge să fie între 0–12. De exemplu, rezultatul operației 5 × 7 = 35 mod 13 = 9. Asemenea corpuri finite pot fi definite pentru orice număr prim p; utilizând definiții mai sofisticate, se pot defini pentru orice putere m a unui număr prim p m. Corpurile finite sunt adesea numite corpuri <a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Galois</a> și sunt notate cu GF(p) sau GF(p m). Într-un astfel de corp cu m numere, fiecare element nenul a are un invers multiplicativ unic modulo m, a−1 astfel încât aa−1 = a−1a ≡ 1 mod m. Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația ax ≡ 1 mod m,<a href="#cite_note-74">[74]</a> sau ecuația diofantică liniară echivalentă<a href="#cite_note-75">[75]</a> <dl><dd>ax + my = 1</dd></dl> Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul <a href="/wiki/RSA" title="RSA">RSA</a>, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat pentru a decripta mesajul.<a href="#cite_note-76">[76]</a> Deși algoritmul RSA utilizează <a href="/wiki/Inel_(matematic%C4%83)" title="Inel (matematică)">inele</a> și nu corpuri, se poate folosi algoritmul lui Euclid pentru găsirea inversului multiplicativ acolo unde el există. Algoritmul lui Euclid are și alte aplicații în <a href="/wiki/Coduri_corectoare_de_erori" class="mw-redirect" title="Coduri corectoare de erori">codurile corectoare de erori</a>; de exemplu, el se poate folosi ca alternativă la <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_Berlekamp%E2%80%93Massey&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul Berlekamp–Massey — pagină inexistentă">algoritmul Berlekamp–Massey</a> pentru decodificarea codurilor <a href="/w/index.php?title=Cod_BCH&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cod BCH — pagină inexistentă">BCH</a> și <a href="/w/index.php?title=Cod_Reed%E2%80%93Solomon&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cod Reed–Solomon — pagină inexistentă">Reed–Solomon</a>, coduri bazate pe corpuri Galois.<a href="#cite_note-77">[77]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teorema_chinezească_a_resturilor">Teorema chinezească a resturilor</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=21" title="Modifică secțiunea: Teorema chinezească a resturilor" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=21" title="Edit section's source code: Teorema chinezească a resturilor">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru a rezolva și mai multe ecuații liniare diofantice.<a href="#cite_note-78">[78]</a> Astfel de ecuații apar în <a href="/wiki/Teorema_chinezeasc%C4%83_a_resturilor" title="Teorema chinezească a resturilor">teorema chinezească a resturilor</a>, care descrie o metodă nouă de reprezentare a unui întreg x. În loc de a reprezenta un număr întreg prin cifrele sale, el se poate reprezenta prin resturile xi ale împărțirii lui modulo o mulțime de N numere prime între ele mi.<a href="#cite_note-79">[79]</a> <dl><dd>x1 ≡ x mod m1</dd> <dd>x2 ≡ x mod m2</dd> <dd>…</dd> <dd>xN ≡ x mod mN</dd></dl> Scopul este determinarea lui x din cele N resturi xi. Soluția se obține combinând mai multe ecuații într-o singură ecuație diofantică cu un modul M mult mai mare care este produsul tuturor modulelor individuale mi, și definind Mi <dl><dd>Mi = M / mi</dd></dl> Astfel, fiecare Mi este produsul tuturor modulelor cu excepția lui mi. Soluția depinde de găsirea a N noi numere hi astfel încât <dl><dd>Mihi ≡ 1 mod mi</dd></dl> Cu aceste numere hi, orice întreg x se poate reconstitui din resturile xi prin ecuația <dl><dd>x ≡ (x1M1h1 + x2M2h2 + … + xNMNhN ) mod M</dd></dl> Deoarece aceste numere hi sunt inversele multiplicative ale numerelor Mi, ele se pot găsi folosind algoritmul lui Euclid așa cum s-a arătat în subsecțiunea anterioară. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fracții_continue">Fracții continue</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=22" title="Modifică secțiunea: Fracții continue" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=22" title="Edit section's source code: Fracții continue">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul luo Euclid este în strânsă relație cu noțiunea de <a href="/wiki/Frac%C8%9Bie_continu%C4%83" title="Fracție continuă">fracție continuă</a>.<a href="#cite_note-Vinogradov_1954-80">[80]</a> Șirul de ecuații poate fi scris sub forma <dl><dd>a/b = q0 + r0/b</dd> <dd>b/r0 = q1 + r1/r0</dd> <dd>r0/r1 = q2 + r2/r1</dd> <dd>…</dd> <dd>rk−2/rk−1 = qk + rk/rk−1</dd> <dd>…</dd> <dd>rN−2/rN−1 = qN</dd></dl> Ultimul termen din partea dreaptă este întotdeauna egal cu inversul părții stângi din ecuația următoare. Astfel, primele două ecuații pot fi combinate formând <dl><dd>a/b = q0 + 1/(q1 + r1/r0)</dd></dl> A treia ecuație poate fi folosită pentru a substitui termenul de la numitor r1/r0, dând <dl><dd>a/b = q0 + 1/(q1 + 1/(q2 + r2/r1))</dd></dl> Raportul final al resturilor rk/rk−1 poate fi oricând înlocuit folosind următoarea ecuație din serie, până la ultima. Rezultatul este fracția continuă <dl><dd>a/b = q0 + 1/(q1 + 1/(q2 + 1/(… + 1/qN))…) = [q0; q1, q2, …, qN]</dd></dl> În exemplul de mai sus, s-a calculat CMMDC(1071, 462), iar câturile qk erau 2, 3 și respectiv 7. Deci fracția 1071/462 poate fi scrisă sub forma <dl><dd>1071/462 = 2 + 1/(3 + 1/7) = [2; 3, 7]</dd></dl> după cum confirmă și calculele. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algoritmii_de_factorizare">Algoritmii de factorizare</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=23" title="Modifică secțiunea: Algoritmii de factorizare" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=23" title="Edit section's source code: Algoritmii de factorizare">modificare sursă</a>]</div> Calculul celui mai mare divizor comun este un pas esențial în mai mulți algoritmi de <a href="/wiki/Factorizarea_%C3%AEntregilor" class="mw-redirect" title="Factorizarea întregilor">factorizare a întregilor</a>,<a href="#cite_note-81">[81]</a> cum ar fi <a href="/w/index.php?title=Pollard%27s_rho_algorithm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pollard's rho algorithm — pagină inexistentă">Pollard's rho algorithm</a>,<a href="#cite_note-82">[82]</a> <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Shor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algoritmul lui Shor — pagină inexistentă">algoritmul lui Shor</a>,<a href="#cite_note-83">[83]</a> <a href="/w/index.php?title=Metoda_de_factorizare_a_lui_Dixon&action=edit&redlink=1" class="new" title="Metoda de factorizare a lui Dixon — pagină inexistentă">metoda de factorizare a lui Dixon</a><a href="#cite_note-84">[84]</a> și <a href="/w/index.php?title=Factorizarea_Lenstra_cu_curbe_eliptice&action=edit&redlink=1" class="new" title="Factorizarea Lenstra cu curbe eliptice — pagină inexistentă">factorizarea Lenstra cu curbe eliptice</a>.<a href="#cite_note-85">[85]</a> Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat eficient pentru găsirea CMMDC în aceste cazuri. <a href="/w/index.php?title=Factorizarea_cu_frac%C8%9Bii_continue&action=edit&redlink=1" class="new" title="Factorizarea cu fracții continue — pagină inexistentă">Factorizarea cu fracții continue</a> utilizează fracțiile continue, determinate folosind algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-86">[86]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eficiența_algoritmului">Eficiența algoritmului</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=24" title="Modifică secțiunea: Eficiența algoritmului" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=24" title="Edit section's source code: Eficiența algoritmului">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png/220px-Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png/330px-Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png 2x" data-file-width="361" data-file-height="361" /></a><figcaption>Numărul de pași din algoritmul lui Euclid pentru CMMDC(x,y). Punctele roșii indică pași relativ puțini (viteză mare), iar punctele galbene, verzi și albastre indică un număr din ce în ce mai mare de pași (viteză scăzută).</figcaption></figure> Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată.<a href="#cite_note-87">[87]</a> Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat <a href="/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9" title="Gabriel Lamé">Gabriel Lamé</a> pentru prima oară în 1844,<a href="#cite_note-88">[88]</a> numărul de pași necesar pentru terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul h de cifre (în baza 10) al celui mai mic număr.<a href="#cite_note-89">[89]</a><a href="#cite_note-90">[90]</a> Întrucât costul computațional al fiecărui pas este și el de ordinul lui h, costul total crește ca h2. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numărul_de_pași">Numărul de pași</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=25" title="Modifică secțiunea: Numărul de pași" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=25" title="Edit section's source code: Numărul de pași">modificare sursă</a>]</div> Numărul de pași necesari pentru calculul CMMDC a două numere naturale, a și b, se poate nota cu T(a, b).<a href="#cite_note-Knuth,_p._344-91">[91]</a> Dacă g este CMMDC al lui a și b, atunci a = mg și b = ng pentru două numere m și n prime între ele. Atunci <dl><dd>T(a, b) = T(m, n)</dd></dl> după cum se poate vedea împărțind toți pașii din algoritmul lui Euclid la g.<a href="#cite_note-92">[92]</a> După același argument, numărul de pași rămâne același dacă a și b sunt înmulțiți cu un factor comun w: T(a, b) = T(wa, wb). De aceea, numărul T de pași poate varia dramatic între perechi foarte apropiate de numere, cum ar fi T(a, b) și T(a, b + 1), în funcție de cât de mare este CMMDC în fiecare caz. Natura recursivă a algoritmului lui Euclid dă o altă ecuație: <dl><dd>T(a, b) = 1 + T(b, r0) = 2 + T(r0, r1) = … = N + T(rN−2, rN−1) = N + 1</dd></dl> unde se presupune că T(x, 0) = 0.<a href="#cite_note-Knuth,_p._344-91">[91]</a> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Numărul_maxim_de_pași">Numărul maxim de pași</h4>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=26" title="Modifică secțiunea: Numărul maxim de pași" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=26" title="Edit section's source code: Numărul maxim de pași">modificare sursă</a>]</div> Dacă algoritmul lui Euclid se execută în N pași pentru două numere naturale a > b > 0, cele mai mici valori ale lui a și b pentru care acest lucru este adevărat sunt numerele Fibonacci FN+2 respectiv FN+1.<a href="#cite_note-Knuth,_p._343-93">[93]</a> Aceasta se poate arăta prin <a href="/wiki/Induc%C8%9Bie_matematic%C4%83" title="Inducție matematică">inducție</a>.<a href="#cite_note-94">[94]</a> Dacă N = 1, b divide a; cele mai mici numere naturale pentru care acest lucru este adevărat sunt b = 1 și a = 2, care sunt F2 și respectiv F3. Se presupune că rezultatul este valabil pentru toate valorile lui N până la M − 1. Primul pas al algoritmului de M pași este a = q0b + r0, iar al doilea pas este b = q1r0 + r1. Algoritmul fiind recursiv, el a rulat M−1 pași pentru a găsi CMMDC(b, r0) iar valorile lor cele mai mici sunt FM+1 și FM. Cea mai mică valoare a lui a este deci cea cu q0 = 1, de unde a = b + r0 = FM+1 + FM = FM+2. Această demonstrație, publicată de Gabriel Lamé în 1844, reprezintă începuturile <a href="/wiki/Teoria_complexit%C4%83%C8%9Bii" title="Teoria complexității">teoriei complexității computaționale</a>,<a href="#cite_note-95">[95]</a> fiind și prima aplicație practică a șirului lui Fibonacci.<a href="#cite_note-Knuth,_p._343-93">[93]</a> Acest rezultat este suficient pentru a arăta că numărul de pași din algoritmul lui Euclid nu poate fi niciodată mai mare decât de cinci ori numărul cifrelor sale (în bază 10).<a href="#cite_note-96">[96]</a> Dacă algoritmul rulează în N pași, atunci b este mai mare sau egal cu FN+1 care este mai mare sau egal cu φN, unde φ este <a href="/wiki/Raportul_de_aur" class="mw-redirect" title="Raportul de aur">raportul de aur</a>. Cum b > φN, atunci N < logφb. Întrucât log10φ > 1/5, N/5 < log10φ logφb = log10b. Astfel, N < 5 log10b. Deci, algoritmul lui Euclid are nevoie întotdeauna de mai puțin decât <a href="/wiki/Nota%C8%9Bia_Big_O" title="Notația Big O">O(h)</a> împărțiri, unde h este numărul de cifre al celui mai mic număr b. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Numărul_mediu_de_pași">Numărul mediu de pași</h4>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=27" title="Modifică secțiunea: Numărul mediu de pași" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=27" title="Edit section's source code: Numărul mediu de pași">modificare sursă</a>]</div> Numărul mediu de pași al algoritmului lui Euclid a fost definit în trei moduri diferite. Prima definiție este timpul mediu T(a) necesar pentru a calcula CMMDC al unui număr a și al unui număr mai mic b ales cu probabilitate egală dintre întregii dintre 0 și a − 1<a href="#cite_note-Knuth,_p._344-91">[91]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{0\leq b<a}T(a,b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mi>a</mi> </mrow> </munder> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{0\leq b<a}T(a,b).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb0e84ea4b825926a619f0738568e20d52f9a25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:22.922ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{0\leq b<a}T(a,b).}"></dd></dl> Deoarece T(a, b) fluctuează dramatic cu CMMDC a celor două numere, însă, funcția T(a) este afectată de „zgomote”.<a href="#cite_note-97">[97]</a> Pentru a reduce aceste zgomote, se face o a doua medie τ(a) peste toate numerele prime cu a <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau (a)={\frac {1}{\varphi (a)}}\sum _{0\leq b<a,\mathrm {GCD} (a,b)=1}T(a,b).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">C</mi> <mi mathvariant="normal">D</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau (a)={\frac {1}{\varphi (a)}}\sum _{0\leq b<a,\mathrm {GCD} (a,b)=1}T(a,b).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b34750d292fdc0a747d9915d8f9bdf589deb8d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:35.419ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \tau (a)={\frac {1}{\varphi (a)}}\sum _{0\leq b<a,\mathrm {GCD} (a,b)=1}T(a,b).}"></dd></dl> Există φ(a) numere întregi prime cu a și mai mici decât acesta, unde φ este <a href="/wiki/Indicatorul_lui_Euler" title="Indicatorul lui Euler">indicatorul lui Euler</a>. Această medie tau crește uniform cu a<a href="#cite_note-98">[98]</a><a href="#cite_note-99">[99]</a> <dl><dd>τ(a) = (12/π2) ln 2 ln a + C + <a href="/wiki/Nota%C8%9Bia_Big_O" title="Notația Big O">O(a−(1/6) + ε)</a></dd></dl> cu eroarea reziduală de ordinul lui a−(1/6) + ε, unde ε este <a href="/wiki/Infinitezimal" title="Infinitezimal">infinitezimal</a>. Constanta C din această formulă este egală cu <dl><dd>C = −(1/2) + 6 (ln 2/π2)( 4γ − 24π2ζ '(2) + 3 ln 2 − 2) ≈ 1.467</dd></dl> unde γ este <a href="/wiki/Constanta_Euler%E2%80%93Mascheroni" title="Constanta Euler–Mascheroni">constanta Euler–Mascheroni</a> iar ζ' este <a href="/wiki/Derivare" class="mw-redirect" title="Derivare">derivata</a> <a href="/wiki/Func%C8%9Bia_zeta_Riemann" title="Funcția zeta Riemann">funcției zeta Riemann</a>.<a href="#cite_note-100">[100]</a><a href="#cite_note-101">[101]</a> Coeficientul dominant (12/π2) ln 2 a fost determinat prin două metode independente.<a href="#cite_note-102">[102]</a><a href="#cite_note-103">[103]</a> Întrucât prima medie se poate calcula din media tau prin sumă peste divizorii d ai lui a<a href="#cite_note-104">[104]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{d|a}\varphi (d)\tau (d)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mrow> </munder> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{d|a}\varphi (d)\tau (d)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e09b902e54cb70ba3b82a9543347d5e16d0e35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:22.741ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{d|a}\varphi (d)\tau (d)}"></dd></dl> ea poate fi aproximată prin formula<a href="#cite_note-Norton_1990-105">[105]</a> <dl><dd>T(a) ≈ C + (12/π2) ln 2 ( ln a − Σd|a Λ(d)/d )</dd></dl> unde Λ(d) este <a href="/w/index.php?title=Func%C8%9Bia_von_Mangoldt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Funcția von Mangoldt — pagină inexistentă">funcția Mangoldt</a>.<a href="#cite_note-106">[106]</a> O a treia medie Y(n) este definită ca numărul mediu de pași necesar atunci când a și b sunt ambele alese aleator (cu distribuție uniformă) între 1 și n<a href="#cite_note-Norton_1990-105">[105]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y(n)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}T(a,b)={\frac {1}{n}}\sum _{a=1}^{n}T(a).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y(n)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}T(a,b)={\frac {1}{n}}\sum _{a=1}^{n}T(a).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1daf73a2c348ca3894312d10cbad0b7cc6c015c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.72ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Y(n)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}T(a,b)={\frac {1}{n}}\sum _{a=1}^{n}T(a).}"></dd></dl> Înlocuind formula aproximativă pentru T(a) în această ecuație rezultă o estimare a lui Y(n)<a href="#cite_note-107">[107]</a> <dl><dd>Y(n) ≈ (12/π2) ln 2 ln n + 0.06.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Costul_computațional_al_unui_pas">Costul computațional al unui pas</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=28" title="Modifică secțiunea: Costul computațional al unui pas" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=28" title="Edit section's source code: Costul computațional al unui pas">modificare sursă</a>]</div> La fiecare pas k al algoritmului lui Euclid, se calculează câtul qk și restul rk pentru o pereche dată de întregi rk−2 și rk−1 <dl><dd>rk−2 = qk rk−1 + rk.</dd></dl> Costul computațional al fiecărui pas este asociat cu găsirea lui qk, întrucât restul rk poate fi calculat rapid din rk−2, rk−1, and qk <dl><dd>rk = rk−2 − qk rk−1.</dd></dl> Costul computațional al împărțirii numerelor pe h biți scalează ca O(h(ℓ+1)), unde ℓ este lungimea câtului.<a href="#cite_note-108">[108]</a> Pentru comparație, algoritmul original al lui Euclid bazat pe scăderi poate fi mult mai lent. O singura împărțire de întregi este echivalentă cu q scăderi (q este câtul împărțirii). Dacă raportul a supra b este foarte mare, și câtul este mare și este nevoie de multe scăderi. Pe de altă parte, s-a arătat că sunt șanse mari ca aceste câturi să fie numere întregi mici. Probabilitatea ca un cât dat să aibă o anumită valoare q este aproximativ ln|u/(u − 1)| unde u = (q + 1)2.<a href="#cite_note-109">[109]</a> Pentru ilustrare, probabilitatea ca la împărțire să rezulte câtul 1, 2, 3, sau 4 este aproximativ 41,5%, 17,0%, 9,3%, respectiv 5,9%. Întrucât operația de scădere este mai rapidă decât cea de împărțire, mai ales în cazul numerelor mari,<a href="#cite_note-110">[110]</a> algoritmul lui Euclid bazat pe scăderi este competitiv cu cel bazat pe împărțiri.<a href="#cite_note-111">[111]</a> Acest aspect este exploatat de versiunea binară a algoritmului lui Euclid.<a href="#cite_note-112">[112]</a> Combinarea numărului estimat de pași cu calculul computațional estimat al fiecărui pas arată că algoritmul lui Euclid are o creștere pătratică (h2) în funcție de numărul de cifre h al celor două numere inițiale a și b. Fie h0, h1, …, hN−1 numărul de cifre ale resturilor succesive r0, r1, …, rN−1. Cum numărul de pași N crește liniar cu h, timpul de execuție este limitat de <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O{\Big (}\sum _{i<N}h_{i}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O{\Big (}h\sum _{i<N}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O(h(h_{0}+2N))\subseteq O(h^{2}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⊆</mo> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>h</mi> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⊆</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊆</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O{\Big (}\sum _{i<N}h_{i}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O{\Big (}h\sum _{i<N}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O(h(h_{0}+2N))\subseteq O(h^{2}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42bdfff58a9962834d6a5650c867ddcb7d46216" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:81.616ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle O{\Big (}\sum _{i<N}h_{i}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O{\Big (}h\sum _{i<N}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O(h(h_{0}+2N))\subseteq O(h^{2}).}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eficiența_unor_metode_alternative">Eficiența unor metode alternative</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=29" title="Modifică secțiunea: Eficiența unor metode alternative" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=29" title="Edit section's source code: Eficiența unor metode alternative">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid este folosit pe scară largă în practică, mai ales pentru numere mici, datorită simplității sale. Pentru comparație, se poate determina eficiența unor alternative la algoritmul lui Euclid. O abordare ineficientă a găsirii CMMDC a două numere naturale a și b este de a le calcula toți divizorii comuni; CMMDC este, atunci, cel mai mare dintre aceștia. Divizorii comuni se pot găsi împărțind succesiv ambele numere la numerele de la 2 la cel mai mic dintre cele două, b. Numărul de pași al acestei abordări crește liniar cu b, sau exponențial cu numărul de cifre. O altă abordare ineficientă este găsirea factorilor primi ai unuia sau ai ambelor numere. Așa cum se arată <a href="#Cel_mai_mare_divizor_comun">mai sus</a>, CMMDC este egal cu produsul factorilor primi comuni ai celor două numere a și b.<a href="#cite_note-Schroeder_21-7">[7]</a> Metodele actuale de <a href="/wiki/Factorizarea_%C3%AEntregilor" class="mw-redirect" title="Factorizarea întregilor">factorizare</a> sunt și ele ineficiente; multe alte sisteme criptografice se bazează tocmai pe această ineficiență.<a href="#cite_note-Schroeder_216-10">[10]</a> Algoritmul CMMDC binar este o alternativă eficientă care înlocuiește împărțirea cu operații mai rapide, exploatând reprezentările binare utilizate de calculatoare.<a href="#cite_note-113">[113]</a><a href="#cite_note-114">[114]</a> Această alternativă, însă, scalează și ea ca <a href="/wiki/Nota%C8%9Bia_Big_O" title="Notația Big O">O(h²)</a>. Este de regulă mai rapidă pe calculatoarele reale, dar scalează la fel ca algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-Crandall_2001-115">[115]</a> Eficiența se poate îmbunătăți examinând doar primele cifre ale numerelor a și b.<a href="#cite_note-116">[116]</a><a href="#cite_note-117">[117]</a> Algoritmul binar poate fi extins la alte baze (algoritmi k-ari)<a href="#cite_note-118">[118]</a>, cu creșteri ale vitezei de până la cinci ori.<a href="#cite_note-119">[119]</a> O abordare recursivă pentru numere întregi foarte mari (cu peste 25.000 de cifre) conduce la algoritmi CMMDC subcuadratici,<a href="#cite_note-120">[120]</a> cum ar fi cel al lui Schönhage<a href="#cite_note-121">[121]</a><a href="#cite_note-122">[122]</a> și cel al lui Stehlé și Zimmermann.<a href="#cite_note-123">[123]</a> Acești algoritmi exploatează forma matriceală 2×2 a algoritmului lui Euclid prezentată <a href="#Metoda_matriceală">mai sus</a>. Aceste metode subcuadratice scalează în general ca O(h (log h)2 (log log h)).<a href="#cite_note-Crandall_2001-115">[115]</a><a href="#cite_note-124">[124]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alte_sisteme_de_numere">Alte sisteme de numere</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=30" title="Modifică secțiunea: Alte sisteme de numere" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=30" title="Edit section's source code: Alte sisteme de numere">modificare sursă</a>]</div> După cum s-a descris mai sus, algoritmul lui Euclid este folosit pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere naturale (numere întregi pozitive). Acesta poate fi, însă, generalizat la numere reale, și la sisteme de numere mai exotice, cum ar fi <a href="/wiki/Polinom" title="Polinom">polinoamele</a>, <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entreg_cuadratic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întreg cuadratic — pagină inexistentă">întregii cuadratici</a> și <a href="/w/index.php?title=Cuaternionii_Hurwitz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuaternionii Hurwitz — pagină inexistentă">cuaternionii Hurwitz</a>. În ultimele două cazuri, algoritmul lui Euclid este folosit pentru a demonstra proprietatea crucială de unicitate a factorizării, anume aceea că astfel de numere pot fi factorizate în mod unic în elemente ireductibile, structuri similare numerelor prime. Unicitatea factorizării este esențială în multe demonstrații din teoria numerelor. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numere_reale_și_raționale">Numere reale și raționale</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=31" title="Modifică secțiunea: Numere reale și raționale" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=31" title="Edit section's source code: Numere reale și raționale">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid se poate aplica și <a href="/wiki/Num%C4%83r_real" title="Număr real">numerelor reale</a>, așa cum arată Euclid în Cartea 10 din <a href="/w/index.php?title=Elementele_lui_Euclid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Elementele lui Euclid — pagină inexistentă">Elementele</a>. Scopul algoritmului este identificarea unui număr real g astfel încât două numere reale, a și b, sunt multipli întregi ai acestuia: a = mg și b = ng, unde m și n sunt <a href="/wiki/Num%C4%83r_%C3%AEntreg" title="Număr întreg">întregi</a>.<a href="#cite_note-Weil_1983-32">[32]</a> Această identificare este echivalentă cu găsirea unei relații întregi între două numere reale a și b; adică, ea determină întregii s și t astfel încât sa + tb = 0. Euclid folosește acest algoritm pentru a trata chestiunea lungimilor incomensurabile.<a href="#cite_note-125">[125]</a><a href="#cite_note-126">[126]</a> Algoritmul lui Euclid pe numere reale diferă de cel pe întregi prin două aspecte. Primul este că resturile rk sunt numere reale, deși câturile qk sunt, ca și mai înainte, întregi. Al doilea este că algoritmul nu este garantat că se termină într-un număr finit N de pași. Dacă se termină, atunci fracția a/b este un număr rațional, adică este raportul a două numere întregi <dl><dd>a/b = mg/ng = m/n</dd></dl> și poate fi scris ca fracție continuă finită [q0; q1, q2, …, qN]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția a/b este un <a href="/wiki/Num%C4%83r_ira%C8%9Bional" title="Număr irațional">număr irațional</a> și poate fi descris de o fracție continuă infinită [q0; q1, q2, …]. Exemple de fracții continue infinite sunt <a href="/wiki/Raportul_de_aur" class="mw-redirect" title="Raportul de aur">raportul de aur</a> φ = [1; 1, 1, …] și <a href="/w/index.php?title=Radical_din_2&action=edit&redlink=1" class="new" title="Radical din 2 — pagină inexistentă">rădăcina pătrată a lui 2</a>, √2 = [1; 2, 2, …]. În general, algoritmul nu se oprește, întrucât aproape toate rapoartele a/b de două numere reale sunt iraționale. O fracție continuă infinită poate fi trunchiată la un pas k [q0; q1, q2, …, qk] pentru a da o aproximație a raportului a/b, aproximație ce e cu atât mai bună cu cât k este mai mare. Aproximația este descrisă de convergenții mk/nk; numărătorul și numitorul sunt prime între ele și respectă relația recursivă <dl><dd>mk = qk mk−1 + mk−2</dd> <dd>nk = qk nk−1 + nk−2</dd></dl> unde m−1 = n−2 = 1 și m−2 = n−1 = 0 sunt valorile inițiale. Convergentul mk/nk este cea mai bună aproximație rațională a lui a/b cu numitorul nk: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {m_{k}}{n_{k}}}\right|<{\frac {1}{n_{k}^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {m_{k}}{n_{k}}}\right|<{\frac {1}{n_{k}^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d2e3ea02f68f2bfe4a20aabff8d92dace95747" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.23ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {m_{k}}{n_{k}}}\right|<{\frac {1}{n_{k}^{2}}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polinoame">Polinoame</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=32" title="Modifică secțiunea: Polinoame" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=32" title="Edit section's source code: Polinoame">modificare sursă</a>]</div> Polinoamele de o singură variabilă x se pot aduna, înmulți și descompune în polinoame ireductibile, structuri analoage numerelor prime din mulțimea numerelor întregi. Cel mai mare divizor comun g(x) al două polinoame a(x) și b(x) este definit ca produsul polinoamelor ireductibile comune, care pot fi identificate folosind algoritmul lui Euclid.<a href="#cite_note-Lang_1984-127">[127]</a> Procedura de bază este similară cu cea de la întregi. La fie care pas k, se calculează un polinom cât qk(x) și un polinom rest rk(x) care satisfac ecuația recursivă <dl><dd>rk−2(x) = qk(x) rk−1(x) + rk(x)</dd></dl> unde r−2(x) = a(x) și r−1(x) = b(x). Polinomul cât este ales astfel încât termenul dominant al lui qk(x) rk−1(x) să fie egal cu termenul dominant al lui rk−2(x); aceasta asigură că gradul fiecărui rest este mai mic decât gradul predecesorului său grad[rk(x)] < grad[rk−1(x)]. Întrucât gradul este un număr întreg nenegativ, și întrucât el scade la fiecare pas, algoritmul lui Euclid se încheie într-un număr finit de pași. Ultimul rest nenul este cel mai mare divizor comun al celor două polinoame inițiale, a(x) și b(x).<a href="#cite_note-128">[128]</a> De exemplu, fie următoarele <a href="/wiki/Polinom" title="Polinom">polinoame</a> de <a href="/wiki/Gradul_unui_polinom" title="Gradul unui polinom">gradul</a> patru, care fiecare se descompune în două polinoame de gradul doi: <dl><dd>a(x) = x4 − 4x3 + 4 x2 − 3x + 14 = (x2 − 5x + 7)(x2 + x + 2)</dd></dl> și <dl><dd>b(x) = x4 + 8x3 + 12x2 + 17x + 6 = (x2 + 7x + 3)(x2 + x + 2).</dd></dl> Împărțind pe a(x) la b(x) rezultă un rest r0(x) = x3 + (2/3) x2 + (5/3) x − (2/3). În pasul următor, b(x) se împarte la r0(x) rezultând restul r1(x) = x2 + x + 2. Împărțind, apoi, r0(x) la r1(x) rezultă un rest nul, indicând că r1(x) este cel mai mare divizor comun al lui a(x) și b(x), consistent cu factorizarea acestora. Multe dintre aplicațiile descrise mai sus pentru numere întregi sunt valabile și pentru polinoame.<a href="#cite_note-129">[129]</a> Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru rezolvarea de ecuații liniare diofantice și de probleme chinezești ale resturilor pentru polinoame; se pot defini și fracții continue de polinoame. Algoritmul lui Euclid polinomial are și alte aplicații proprii, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=Lan%C8%9B_Sturm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lanț Sturm — pagină inexistentă">lanțurile Sturm</a>, o tehnică de numărare a rădăcinilor reale ale polinoamelor într-un interval dat de pe <a href="/wiki/Axa_numerelor" title="Axa numerelor">axa numerelor reale</a>. Aceasta are aplicații în mai multe zone, cum ar fi <a href="/w/index.php?title=Criteriul_de_stabilitate_Routh%E2%80%93Hurwitz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Criteriul de stabilitate Routh–Hurwitz — pagină inexistentă">criteriul de stabilitate Routh–Hurwitz</a> din <a href="/wiki/Teoria_sistemelor" title="Teoria sistemelor">teoria sistemelor</a>. În cele din urmă, coeficienții polinoamelor nu sunt obligatoriu numere întregi, reale, și nici măcar complexe. De exemplu, coeficienții pot fi din orice <a href="/wiki/Corp_(matematic%C4%83)" title="Corp (matematică)">corp</a>, cum ar fi corpurile finite GF(p) descrise mai sus. Concluziile corespunzătoare despre algoritmul lui Euclid și despre aplicațiile acestuia sunt valabile chiar și pentru asemenea polinoame.<a href="#cite_note-Lang_1984-127">[127]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Întregii_gaussieni">Întregii gaussieni</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=33" title="Modifică secțiunea: Întregii gaussieni" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=33" title="Edit section's source code: Întregii gaussieni">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Gaussian_primes.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/220px-Gaussian_primes.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/330px-Gaussian_primes.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/440px-Gaussian_primes.png 2x" data-file-width="1200" data-file-height="1198" /></a><figcaption>Distribuția numerelor prime gaussiene u + vi în planul complex, cu norma u2 + v2 mai mică decât 500</figcaption></figure> Întregii gaussieni sunt <a href="/wiki/Num%C4%83r_complex" title="Număr complex">numere complexe</a> de forma α = u + vi, unde u și v sunt numere întregi obișnuite și i este unitatea imaginară.<a href="#cite_note-Stillwell_2003-130">[130]</a> Definind un algoritm analog celui al lui Euclid, se poate arăta că întregii gaussieni au fiecare o factorizare unică, conform demonstrației <a href="#Identitatea_lui_Bézout">de mai sus</a>.<a href="#cite_note-Gauss_1832-45">[45]</a> Unicitatea factorizării este utilă în mai multe aplicații, cum ar fi calculul tuturor <a href="/w/index.php?title=Numere_pitagoreice&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numere pitagoreice — pagină inexistentă">tripletelor pitagoreice</a> sau demonstrația <a href="/w/index.php?title=Prima_teorem%C4%83_a_lui_Fermat_a_sumei_a_dou%C4%83_p%C4%83trate&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prima teoremă a lui Fermat a sumei a două pătrate — pagină inexistentă">Primei teoreme a lui Fermat a sumei a două pătrate</a>.<a href="#cite_note-Stillwell_2003-130">[130]</a> În general, algoritmul lui Euclid este unul convenabil în asemenea aplicații, dar nu este indispensabil; de exemplu, teoremele pot fi adesea demonstrate prin alte metode. Algoritmul lui Euclid dezvoltat pentru două numere întregi gaussiene α și β este aproape același ca și pentru numerele întregi; el se îndepărtează de acesta din urmă în două aspecte. Ca și înainte, la fiecare pas k trebuie identificat un cât qk și un rest rk astfel încât <dl><dd>rk = rk−2 − qk rk−1</dd></dl> unde rk−2 = α, rk−1 = β, și fiecare rest este strict mai mic decât predecesorul său, |rk| < |rk−1|. Prima diferență este aceea că resturile și câturile sunt și ele numere întregi gaussiene, și deci <a href="/wiki/Num%C4%83r_complex" title="Număr complex">complexe</a>. Câturile qk sunt în general găsite prin rotunjirea părților reală și imaginară a raportului exact (cum ar fi numărul complex α/β) la cel mai apropiat întreg. A doua diferență constă în necesitatea definirii modului în care un rest complex poate fi considerat a fi „mai mic” decât altul. Pentru aceasta, se definește o <a href="/wiki/Norm%C4%83_(matematic%C4%83)" title="Normă (matematică)">funcție normă</a> f(u + vi) = u2 + v2, care transformă fiecare întreg gaussian u + vi la un număr întreg. După fiecare pas k al algoritmului lui Euclid, norma restului f(rk) este mai mică decât norma restului precedent, f(rk−1). Norma fiind un întreg nenegativ și scăzând la fiecare pas, algoritmul lui Euclid pentru întregi gaussieni se termină într-un număr finit de pași. Ultimul rest nenul este CMMDC(α,β), întregul gaussian cu norma cea mai mare și care se împarte exact la α și la β; el rămâne aceleași și după înmulțirea numărului cu o unitate, ±1 sau ±i. Multe dintre celelalte aplicații ale algoritmului lui Euclid sunt valabile și pentru întregii gaussieni. De exemplu, el se poate folosi pentru a rezolva ecuații liniare diofantice și probleme chinezești ale resturilor pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inele_euclidiene">Inele euclidiene</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=34" title="Modifică secțiunea: Inele euclidiene" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=34" title="Edit section's source code: Inele euclidiene">modificare sursă</a>]</div> O mulțime de elemente împreună cu doi operatori binari, + și ·, se numește <a href="/w/index.php?title=Inel_euclidian&action=edit&redlink=1" class="new" title="Inel euclidian — pagină inexistentă">inel euclidian</a> dacă formează un <a href="/wiki/Inel_comutativ" title="Inel comutativ">inel comutativ</a> R și dacă pe această mulțime se poate executa un algoritm al lui Euclid modificat.<a href="#cite_note-131">[131]</a><a href="#cite_note-132">[132]</a> Cele două operații ale unui astfel de inel nu trebuie neapărat să fie adunarea și înmulțirea din aritmetica obișnuită; ele pot fi mai generale, cum sunt operațiile de pe un <a href="/wiki/Grup_(matematic%C4%83)" title="Grup (matematică)">grup</a> sau de pe un <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a>. Cu toate acestea, aceste operații generale trebuie să respecte multe legi ce guvernează și aritmetica obișnuită, cum ar fi de exemplu <a href="/w/index.php?title=Commutativitate&action=edit&redlink=1" class="new" title="Commutativitate — pagină inexistentă">commutativitatea</a>, <a href="/wiki/Asociativitate" title="Asociativitate">asociativitatea</a> și <a href="/w/index.php?title=Distributivitat&action=edit&redlink=1" class="new" title="Distributivitat — pagină inexistentă">distributivitate</a>. Algoritmul lui Euclid generalizat are nevoie de o funcție euclidiană, respectiv de o transformare f de la R la mulțimea numerelor întregi nenegative cu proprietatea că, pentru două elemente nenule a și b din R, există q și r în R cu proprietatea că a = qb + r și f(r) < f(b). Un exemplu de astfel de funcție este funcția normă utilizată pentru a ordona numerele întregi gaussiene <a href="#Întregii_gaussieni">ca mai sus</a>. Funcția f poate fi modulul numărului, sau <a href="/w/index.php?title=Gradul_polinomului&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gradul polinomului — pagină inexistentă">gradul polinomului</a>. Principiul de bază este acela că la fiecare pas al algoritmului, f se reduce; astfel, dacă f poate fi redus doar de un număr finit de ori, algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. <a href="/wiki/Teorema_fundamental%C4%83_a_aritmeticii" title="Teorema fundamentală a aritmeticii">Teorema fundamentală a aritmeticii</a> se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele euclidiene sunt o submulțime a domeniilor CMMDC, domenii în care există întotdeauna un cel mai mic divizor comun al două elemente. Cu alte cuvinte, poate exista un cel mai mare divizor comun (pentru toate elementele dintr-un inel), deși s-ar putea ca acesta să nu poată fi găsit cu ajutorul algoritmului lui Euclid. Un inel euclidian este întotdeauna un <a href="/w/index.php?title=Domeniu_cu_ideale_principale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Domeniu cu ideale principale — pagină inexistentă">domeniu cu ideale principale</a>⁠(<a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1143969" class="extiw" title="d:Q1143969">d</a>), <a href="/wiki/Domeniu_de_integritate" title="Domeniu de integritate">domeniu de integritate</a> în care fiecare <a href="/wiki/Ideal_(teoria_inelelor)" title="Ideal (teoria inelelor)">ideal</a> este un <a href="/wiki/Ideal_principal" title="Ideal principal">ideal principal</a>. Din nou, reciproca nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele euclidiene este utilă în mai multe aplicații. De exemplu, unicitatea factorizării întregilor gaussieni este convenabilă la calculul formulelor pentru toate tripletele pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate.<a href="#cite_note-Stillwell_2003-130">[130]</a> Unicitatea factorizării este și element cheie într-o tentativă de demonstrare a <a href="/w/index.php?title=Ultima_teorem%C4%83_a_lui_Fermat&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ultima teoremă a lui Fermat — pagină inexistentă">Ultimei teoreme a lui Fermat</a> publicată în 1847 de Gabriel Lamé, același matematician care analizase eficiența algoritmului lui Euclid, pe baza unei sugestii a lui <a href="/wiki/Joseph_Liouville" title="Joseph Liouville">Joseph Liouville</a>.<a href="#cite_note-133">[133]</a> Abordarea lui Lamé impunea unicitatea factorizării numerelor de forma x + ωy, unde ω = e2iπ/n este rădăcina de ordin n a lui 1, adică, ωn = 1. Deși această abordare are succes pentru anumite valori ale lui n (cum ar fi n=3, <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregii_Eisenstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregii Eisenstein — pagină inexistentă">întregii Eisenstein</a>), în general, asemenea numere nu au o factorizare unică. Această neunicitate a factorizărilor din unele corpuri ciclotomice l-a condus pe <a href="/wiki/Ernst_Kummer" title="Ernst Kummer">Ernst Kummer</a> la conceptul de <a href="/w/index.php?title=Num%C4%83r_ideal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Număr ideal — pagină inexistentă">număr ideal</a> și, mai apoi, pe <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a> la cel de <a href="/wiki/Ideal_(teoria_inelelor)" title="Ideal (teoria inelelor)">ideal</a>. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Unicitatea_factorizării_întregilor_cuadratici">Unicitatea factorizării întregilor cuadratici</h4>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=35" title="Modifică secțiunea: Unicitatea factorizării întregilor cuadratici" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=35" title="Edit section's source code: Unicitatea factorizării întregilor cuadratici">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:Eisenstein_primes.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eisenstein_primes.svg/220px-Eisenstein_primes.svg.png" decoding="async" width="220" height="217" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eisenstein_primes.svg/330px-Eisenstein_primes.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eisenstein_primes.svg/440px-Eisenstein_primes.svg.png 2x" data-file-width="1203" data-file-height="1188" /></a><figcaption>Distribuția numerelor prime Eisenstein u + vω în planul complex, cu norma mai mică decât 500. Numărul ω este o rădăcină cubică a unității.</figcaption></figure> Întregii cuadratici pot fi un exemplu de inel euclidian. Întregii cuadratici sunt o generalizare a conceptului de întregi gaussieni în care <a href="/wiki/Unitatea_imaginar%C4%83" title="Unitatea imaginară">unitatea imaginară</a> i este înlocuită de un număr ω. Astfel, ele au forma u + v ω, unde u și v sunt numere întregi, iar ω are una dintre două forme posibile, în funcție de parametrul D. Dacă D nu este egal cu un multiplu de patru plus unu (cum ar fi 5, 17, sau −19), atunci <dl><dd>ω = √D.</dd></dl> Altfel, <dl><dd>ω = (1 + √D)/2.</dd></dl> Dacă funcția f corespunde unei funcții normă, cum ar fi cea utilizată la sortarea întregilor gaussieni, atunci inelul unor astfel de numere este euclidian doar pentru o mulțime finită de valori ale lui D: D = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 sau 73.<a href="#cite_note-Cohn_1962-25">[25]</a> Întregii cuadratici cu D = −1 și −3 sunt <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregi_gaussieni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregi gaussieni — pagină inexistentă">întregi gaussieni</a>, respectiv <a href="/w/index.php?title=%C3%8Entregi_Eisenstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Întregi Eisenstein — pagină inexistentă">întregi Eisenstein</a>. Dacă f poate fi orice funcție euclidiană atunci lista de valori posibile ale lui D pentru care inelul este euclidian nu este cunoscută.<a href="#cite_note-Clark_1994-134">[134]</a> Primul exemplu de domeniu euclidian nu era cu funcție normă (D=69) și a fost publicat în 1994.<a href="#cite_note-Clark_1994-134">[134]</a> În 1973, Weinberger a demonstrat că un ienl este euclidian <a href="/wiki/Dac%C4%83_%C8%99i_numai_dac%C4%83" title="Dacă și numai dacă">dacă și numai dacă</a> este <a href="/w/index.php?title=Domeniu_de_ideal_principal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Domeniu de ideal principal — pagină inexistentă">domeniu de ideal principal</a>, cu condiția ca <a href="/w/index.php?title=Ipoteza_Riemann_generalizat%C4%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ipoteza Riemann generalizată — pagină inexistentă">ipoteza Riemann generalizată</a> să fie adevărată;<a href="#cite_note-135">[135]</a> Demonstrația lui Weinberger a fost generalizată în 2004 pentru a elimina această restricție.<a href="#cite_note-136">[136]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inele_necomutative">Inele necomutative</h3>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=36" title="Modifică secțiunea: Inele necomutative" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=36" title="Edit section's source code: Inele necomutative">modificare sursă</a>]</div> Algoritmul lui Euclid se poate aplica pe inele necomutative, ca și pe mulțimea <a href="/w/index.php?title=Cuaternion_Hurwitz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cuaternion Hurwitz — pagină inexistentă">cuaternionilor Hurwitz</a>.<a href="#cite_note-137">[137]</a> Fie α și β două elemente ale unui inel necomutativ. Ele au un divizor comun la dreapta δ dacă α = ξδ și β = ηδ pentru două numere ξ și η din inel. Analog, ele au un divizor comun la stânga dacă α = δξ și β = δη pentru două elemente ξ și η în inel. Cum înmulțirea nu este comutativă, există două versiuni de algoritm al lui Euclid, unul pentru divizorii la stânga și alta pentru divizorii la dreapta. Dacă se aleg divizorii la dreapta, primul pas în a găsi CMMDC(α, β) prin algoritmul lui Euclid se poate scrie <dl><dd>ρ0 = α − ψ0β = (ξ − ψ0η)δ</dd></dl> unde ψ0 reprezintă câtul, iar ρ0 reprezintă restul. Această ecuație arată că orice divizor comun la dreapta al lui α și β este divizor comun și al restului ρ0. Ecuația analoagă pentru divizorii la stânga ar fi <dl><dd>ρ0 = α − βψ0 = δ(ξ − ηψ0)</dd></dl> În oricare variantă, procesul se repetă ca mai sus până când se identifică cel mai mare divizor comun la dreapta sau la stânga. Ca și în cazul inelelor euclidiene, „mărimea” restului ρ0 trebuie să fie strict mai mică decât β, și trebuie să existe doar un număr finit de mărimi posibile pentru ρ0, pentru ca algoritmul să se termine. Majoritatea rezultatelor pentru CMMDC sunt valabile și pentru inelele necomutative. De exemplu, <a href="/wiki/Identitatea_lui_B%C3%A9zout" title="Identitatea lui Bézout">identitatea lui Bézout</a> afirmă că CMMMDC la dreapta al lui α și β se poate exprima sub formă de combinație liniară de α și β. Cu alte cuvinte, există numerele σ și τ cu proprietatea că <dl><dd>Γdreapta = σα + τβ</dd></dl> Identitatea analoagă pentru CMMDC la stânga este aproape similară: <dl><dd>Γstânga = ασ + βτ</dd></dl> Identitatea lui Bézout se poate utiliza pentru rezolvarea de ecuații diofantice. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Generalizări_la_alte_structuri_matematice">Generalizări la alte structuri matematice</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=37" title="Modifică secțiunea: Generalizări la alte structuri matematice" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=37" title="Edit section's source code: Generalizări la alte structuri matematice">modificare sursă</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fi%C8%99ier:TorusKnot3D.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/TorusKnot3D.png/220px-TorusKnot3D.png" decoding="async" width="220" height="208" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/TorusKnot3D.png/330px-TorusKnot3D.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/TorusKnot3D.png 2x" data-file-width="375" data-file-height="355" /></a><figcaption>Algoritmul lui Euclid se poate aplica în <a href="/wiki/Teoria_nodurilor" title="Teoria nodurilor">teoria nodurilor</a>.<a href="#cite_note-138">[138]</a></figcaption></figure> Algoritmul lui Euclid are trei trăsături generale care împreună asigură faptul că nu se execută la infinit. Prima este că poate fi scris ca șir de operațiuni recursive <dl><dd>rk = rk−2 − qk rk−1</dd></dl> în care fiecare rest este strict mai mic decât predecesorul său, |rk| < |rk−1|. A doua, dimensiunea fiecărui rest are o limită inferioară strictă, cum ar fi |rk| ≥ 0. A treia, există doar un număr finit de dimensiuni mai mici ca un rest dat |rk|. Generalizările algoritmului lui Euclid cu aceste trăsături de bază s-au aplicat și altor structuri matematice, cum ar fi nodurile<a href="#cite_note-139">[139]</a> și numerele ordinale transfinite.<a href="#cite_note-140">[140]</a> O importantă generalizare a algoritmului lui Euclid este conceptul de <a href="/w/index.php?title=Baz%C4%83_Gr%C3%B6bner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bază Gröbner — pagină inexistentă">bază Gröbner</a> din <a href="/wiki/Geometrie_algebric%C4%83" title="Geometrie algebrică">geometria algebrică</a>. Așa cum s-a arătat mai sus, CMMDC g al două numere întregi a și b este generatorul idealului lor. Cu alte cuvinte, oricare ar fi întregii s și t, există un alt întreg m cu proprietatea că <dl><dd>sa + tb = mg.</dd></dl> Deși aceasta este valabilă și când s, t, m, a și b reprezintă polinoame de o singură variabilă, ea nu este adevărată pentru inele de polinoame de mai mult de o variabilă.<a href="#cite_note-141">[141]</a> În acest caz, se poate defini o mulțime finită de polinoame generatoare g1, g2 etc. astfel încât orice combinație liniară de două polinoame de mai multe variabile a și b pot fi exprimate ca multipli ai generatoarelor <dl><dd>sa + tb = Σk mkgk</dd></dl> unde s, t și mk sunt polinoame de mai multe variabile.<a href="#cite_note-142">[142]</a> Orice astfel de polinom cu mai multe variabile f poate fi exprimat ca astfel de sumă de polinoame generatoare plus un polinom rest r, denumit uneori forma normală a polinomului f <dl><dd>f = r + Σk qkgk</dd></dl> deși polinoamele cât qk pot să nu fie unice.<a href="#cite_note-143">[143]</a> Mulțimea acestor polinoame generatoare se numește bază Gröbner.<a href="#cite_note-144">[144]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Note">Note</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=38" title="Modifică secțiunea: Note" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=38" title="Edit section's source code: Note">modificare sursă</a>]</div> <div class="references-small columns references-column-count references-column-count-3" style="-moz-column-count: 3; -webkit-column-count: 3; column-count: 3; list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">^</a> <a href="/w/index.php?title=Thomas_L._Heath&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thomas L. Heath — pagină inexistentă">Thomas L. Heath</a>, The Thirteen Books of Euclid's Elements, 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925], 1956, <a href="/w/index.php?title=Dover_Publications&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dover Publications — pagină inexistentă">Dover Publications</a> </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">^</a> Stark, p. 16. </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">^</a> Stark, p. 21. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">^</a> LeVeque, p. 32. </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">^</a> Leveque, p. 31. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">^</a> <cite class="citation book">Grossman JW (<time datetime="1990">1990</time>). Discrete Mathematics. New York: Macmillan. p. 213. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-02-348331-8" title="Special:Referințe în cărți/0-02-348331-8">0-02-348331-8</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Discrete+Mathematics&rft.place=New+York&rft.pages=213&rft.pub=Macmillan&rft.date=1990&rft.isbn=0-02-348331-8&rft.au=Grossman+JW&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r16236537">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"„""”""«""»"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}</style> </li> <li id="cite_note-Schroeder_21-7">^ <a href="#cite_ref-Schroeder_21_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-Schroeder_21_7-1">b</a> Schroeder, pp. 21–22. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">^</a> Schroeder, p. 19. </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">^</a> <cite class="citation book">Ogilvy CS, Anderson JT (<time datetime="1966">1966</time>). Excursions in number theory. New York: <a href="/wiki/Oxford_University_Press" title="Oxford University Press">Oxford University Press</a>. pp. 27–29. <a href="/wiki/Num%C4%83rul_de_control_al_Bibliotecii_Congresului" title="Numărul de control al Bibliotecii Congresului">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/66014484">66-14484</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Excursions+in+number+theory&rft.place=New+York&rft.pages=27-29&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=1966&rft.au=Ogilvy+CS%2C+Anderson+JT&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Schroeder_216-10">^ <a href="#cite_ref-Schroeder_216_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-Schroeder_216_10-1">b</a> Schroeder, pp. 216–219. </li> <li id="cite_note-Leveque_p33-11">^ <a href="#cite_ref-Leveque_p33_11-0">a</a> <a href="#cite_ref-Leveque_p33_11-1">b</a> Leveque, p. 33. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">^</a> Stark, p. 25. </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">^</a> Ore, pp. 47–48. </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">^</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Knuth, Donald E.</a> (<time datetime="1997">1997</time>). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (ed. 3rd). Addison-Wesley. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-201-89683-4" title="Special:Referințe în cărți/0-201-89683-4">0-201-89683-4</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Art+of+Computer+Programming%2C+Volume+1%3A+Fundamental+Algorithms&rft.edition=3rd&rft.pub=Addison-Wesley&rft.date=1997&rft.isbn=0-201-89683-4&rft.aulast=Knuth&rft.aufirst=Donald+E.&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> (Secțiunea 1.2.1: Mathematical Induction, pp. 11–21.) </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">^</a> Rosen, pp. 18–21. </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">^</a> Rosen, pp. 21–24. </li> <li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">^</a> <cite class="citation book">Anderson JA (<time datetime="2001">2001</time>). Discrete Mathematics with Combinatorics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 165–223. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-13-086998-8" title="Special:Referințe în cărți/0-13-086998-8">0-13-086998-8</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Discrete+Mathematics+with+Combinatorics&rft.place=Upper+Saddle+River%2C+NJ&rft.pages=165-223&rft.pub=Prentice+Hall&rft.date=2001&rft.isbn=0-13-086998-8&rft.au=Anderson+JA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">^</a> Rosen, p. 492. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">^</a> <cite class="citation book">Anderson JA (<time datetime="2001">2001</time>). Discrete Mathematics with Combinatorics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 109–119. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-13-086998-8" title="Special:Referințe în cărți/0-13-086998-8">0-13-086998-8</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Discrete+Mathematics+with+Combinatorics&rft.place=Upper+Saddle+River%2C+NJ&rft.pages=109-119&rft.pub=Prentice+Hall&rft.date=2001&rft.isbn=0-13-086998-8&rft.au=Anderson+JA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Stark_p18-20">^ <a href="#cite_ref-Stark_p18_20-0">a</a> <a href="#cite_ref-Stark_p18_20-1">b</a> Stark, p. 18. </li> <li id="cite_note-Stark,_pp._16–20-21">^ <a href="#cite_ref-Stark,_pp._16–20_21-0">a</a> <a href="#cite_ref-Stark,_pp._16–20_21-1">b</a> Stark, pp. 16–20. </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">^</a> Knuth, p. 320. </li> <li id="cite_note-Lovasz_2003-23"><a href="#cite_ref-Lovasz_2003_23-0">^</a> <cite class="citation book">Lovász L, Pelikán J, Vesztergombi K (<time datetime="2003">2003</time>). Discrete Mathematics: Elementary and Beyond. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 100–101. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-95584-4" title="Special:Referințe în cărți/0-387-95584-4">0-387-95584-4</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Discrete+Mathematics%3A+Elementary+and+Beyond&rft.place=New+York&rft.pages=100-101&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2003&rft.isbn=0-387-95584-4&rft.au=Lov%C3%A1sz+L%2C+Pelik%C3%A1n+J%2C+Vesztergombi+K&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (<a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">link</a>) <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Kimberling_1983-24"><a href="#cite_ref-Kimberling_1983_24-0">^</a> <cite class="citation journal">Kimberling C (<time datetime="1983">1983</time>). „A Visual Euclidean Algorithm”. Mathematics Teacher. 76: 108–109.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+Teacher&rft.atitle=A+Visual+Euclidean+Algorithm&rft.volume=76&rft.pages=108-109&rft.date=1983&rft.au=Kimberling+C&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Cohn_1962-25">^ <a href="#cite_ref-Cohn_1962_25-0">a</a> <a href="#cite_ref-Cohn_1962_25-1">b</a> Cohn, pp. 104–110. </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">^</a> Knuth, pp. 319–320. </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">^</a> Knuth, pp. 318–319. </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">^</a> Stillwell, p. 14. </li> <li id="cite_note-Ore_least_abs_remainders-29">^ <a href="#cite_ref-Ore_least_abs_remainders_29-0">a</a> <a href="#cite_ref-Ore_least_abs_remainders_29-1">b</a> Ore, p. 43. </li> <li id="cite_note-Stewart_1964-30">^ <a href="#cite_ref-Stewart_1964_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-Stewart_1964_30-1">b</a> <cite class="citation book">Stewart BM (<time datetime="1964">1964</time>). Theory of Numbers (ed. 2nd). New York: Macmillan. pp. 43–44. <a href="/wiki/Num%C4%83rul_de_control_al_Bibliotecii_Congresului" title="Numărul de control al Bibliotecii Congresului">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/64010964">64-10964</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Theory+of+Numbers&rft.place=New+York&rft.pages=43-44&rft.edition=2nd&rft.pub=Macmillan&rft.date=1964&rft.au=Stewart+BM&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Knuth,_p._318-31">^ <a href="#cite_ref-Knuth,_p._318_31-0">a</a> <a href="#cite_ref-Knuth,_p._318_31-1">b</a> Knuth, p. 318. </li> <li id="cite_note-Weil_1983-32">^ <a href="#cite_ref-Weil_1983_32-0">a</a> <a href="#cite_ref-Weil_1983_32-1">b</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Andr%C3%A9_Weil&action=edit&redlink=1" class="new" title="André Weil — pagină inexistentă">Weil A</a> (<time datetime="1983">1983</time>). Number Theory. Boston: Birkhäuser. pp. 4–6. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-8176-3141-0" title="Special:Referințe în cărți/0-8176-3141-0">0-8176-3141-0</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Theory&rft.place=Boston&rft.pages=4-6&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.date=1983&rft.isbn=0-8176-3141-0&rft.au=Weil+A&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Jones_1994-33"><a href="#cite_ref-Jones_1994_33-0">^</a> <cite class="citation book">Jones A (<time datetime="1994">1994</time>). „Greek mathematics to AD 300”. Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences. New York: Routledge. pp. 46–48. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-415-09238-8" title="Special:Referințe în cărți/0-415-09238-8">0-415-09238-8</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Greek+mathematics+to+AD+300&rft.btitle=Companion+encyclopedia+of+the+history+and+philosophy+of+the+mathematical+sciences&rft.place=New+York&rft.pages=46-48&rft.pub=Routledge&rft.date=1994&rft.isbn=0-415-09238-8&rft.au=Jones+A&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-van_der_Waerden_1954-34"><a href="#cite_ref-van_der_Waerden_1954_34-0">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Bartel_Leendert_van_der_Waerden&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bartel Leendert van der Waerden — pagină inexistentă">van der Waerden BL</a> (<time datetime="1954">1954</time>). Science Awakening. translated by Arnold Dresden. Groningen: P. Noordhoff Ltd. pp. 114–115.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Science+Awakening&rft.place=Groningen&rft.series=translated+by+Arnold+Dresden&rft.pages=114-115&rft.pub=P.+Noordhoff+Ltd&rft.date=1954&rft.au=van+der+Waerden+BL&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">^</a> <cite class="citation journal">von Fritz K (<time datetime="1945">1945</time>). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Ann. Math. 46: 242–264. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F1969021">10.2307/1969021</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Ann.+Math.&rft.atitle=The+Discovery+of+Incommensurability+by+Hippasus+of+Metapontum&rft.volume=46&rft.pages=242-264&rft.date=1945&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F1969021&rft.au=von+Fritz+K&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=T._L._Heath&action=edit&redlink=1" class="new" title="T. L. Heath — pagină inexistentă">Heath TL</a> (<time datetime="1949">1949</time>). Mathematics in Aristotle. Oxford Press. pp. 80–83.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+in+Aristotle&rft.pages=80-83&rft.pub=Oxford+Press&rft.date=1949&rft.au=Heath+TL&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=David_Fowler_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="David Fowler (mathematician) — pagină inexistentă">Fowler DH</a> (<time datetime="1987">1987</time>). The Mathematics of Plato's Academy: A New Reconstruction. Oxford: Oxford University Press. pp. 31–66. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-19-853912-6" title="Special:Referințe în cărți/0-19-853912-6">0-19-853912-6</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Mathematics+of+Plato%27s+Academy%3A+A+New+Reconstruction&rft.place=Oxford&rft.pages=31-66&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=1987&rft.isbn=0-19-853912-6&rft.au=Fowler+DH&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-38"><a href="#cite_ref-38">^</a> <cite class="citation journal">Becker O (<time datetime="1933">1933</time>). „Eudoxus-Studien I. Eine voreuklidische Proportionslehre und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik B. 2: 311–333.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Quellen+und+Studien+zur+Geschichte+der+Mathematik+B&rft.atitle=Eudoxus-Studien+I.+Eine+voreuklidische+Proportionslehre+und+ihre+Spuren+bei+Aristoteles+und+Euklid&rft.volume=2&rft.pages=311-333&rft.date=1933&rft.au=Becker+O&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Stillwell,_p._31-39">^ <a href="#cite_ref-Stillwell,_p._31_39-0">a</a> <a href="#cite_ref-Stillwell,_p._31_39-1">b</a> Stillwell, p. 31. </li> <li id="cite_note-Tattersall,_p._70-40">^ <a href="#cite_ref-Tattersall,_p._70_40-0">a</a> <a href="#cite_ref-Tattersall,_p._70_40-1">b</a> Tattersall, p. 70. </li> <li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">^</a> Rosen, pp. 86–87. </li> <li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">^</a> Ore, pp. 247–248. </li> <li id="cite_note-43"><a href="#cite_ref-43">^</a> Tattersall, pp. 72, 184–185. </li> <li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">^</a> Tattersall, pp. 72–76. </li> <li id="cite_note-Gauss_1832-45">^ <a href="#cite_ref-Gauss_1832_45-0">a</a> <a href="#cite_ref-Gauss_1832_45-1">b</a> <cite class="citation journal"><a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss CF</a> (<time datetime="1832">1832</time>). „Theoria residuorum biquadraticorum”. Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec. 4.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Comm.+Soc.+Reg.+Sci.+G%C3%B6tt.+Rec.&rft.atitle=Theoria+residuorum+biquadraticorum&rft.volume=4&rft.date=1832&rft.au=Gauss+CF&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> Vezi și Werke, 2:67–148. </li> <li id="cite_note-46"><a href="#cite_ref-46">^</a> Stillwell, pp. 31–32. </li> <li id="cite_note-47"><a href="#cite_ref-47">^</a> Dirichlet, pp. 29–31. </li> <li id="cite_note-48"><a href="#cite_ref-48">^</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Dedekind R</a> (<time datetime="1894">1894</time>). „Supplement XI”. În PGL Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Supplement+XI&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+Zahlentheorie&rft.date=1894&rft.au=Dedekind+R&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-49"><a href="#cite_ref-49">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=John_Stillwell&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Stillwell — pagină inexistentă">Stillwell J</a> (<time datetime="2003">2003</time>). Elements of Number Theory. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 41–42. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-95587-9" title="Special:Referințe în cărți/0-387-95587-9">0-387-95587-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elements+of+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pages=41-42&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2003&rft.isbn=0-387-95587-9&rft.au=Stillwell+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-50"><a href="#cite_ref-50">^</a> <cite class="citation journal">Sturm C (<time datetime="1829">1829</time>). „Mémoire sur la résolution des équations numériques”. Bull. des sciences de Férussac. 11: 419–422.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Bull.+des+sciences+de+F%C3%A9russac&rft.atitle=M%C3%A9moire+sur+la+r%C3%A9solution+des+%C3%A9quations+num%C3%A9riques&rft.volume=11&rft.pages=419-422&rft.date=1829&rft.au=Sturm+C&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-51"><a href="#cite_ref-51">^</a> <cite id="Reference-Mathworld-Integer_Relation"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/IntegerRelation.html">Integer Relation</a> la <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>.</cite> </li> <li id="cite_note-52"><a href="#cite_ref-52">^</a> <cite class="citation journal">Peterson I (<time datetime="2002-08-12">12 august 2002</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.sciencenews.org/view/generic/id/172/title/Math_Trek__Jazzing_Up_Euclids_Algorithm">Jazzing Up Euclid's Algorithm</a>”. ScienceNews.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=ScienceNews&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fwww.sciencenews.org%2Fview%2Fgeneric%2Fid%2F172%2Ftitle%2FMath_Trek__Jazzing_Up_Euclids_Algorithm+Jazzing+Up+Euclid%27s+Algorithm%5D&rft.date=2002-08-12&rft.au=Peterson+I&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-53"><a href="#cite_ref-53">^</a> <cite class="citation journal">Cipra BA (<time datetime="2000-05-16">16 mai 2000</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://amath.colorado.edu/resources/archive/topten.pdf">The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms</a>”. SIAM News. <a href="/w/index.php?title=Society_for_Industrial_and_Applied_Mathematics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Society for Industrial and Applied Mathematics — pagină inexistentă">Society for Industrial and Applied Mathematics</a>. 33 (4).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=SIAM+News&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Famath.colorado.edu%2Fresources%2Farchive%2Ftopten.pdf+The+Best+of+the+20th+Century%3A+Editors+Name+Top+10+Algorithms%5D&rft.volume=33&rft.issue=4&rft.date=2000-05-16&rft.au=Cipra+BA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-54"><a href="#cite_ref-54">^</a> <a href="/wiki/Limba_englez%C4%83" title="Limba engleză">engleză</a> {{{1}}}<cite class="citation journal">Cole AJ, Davie AJT (<time datetime="1969">1969</time>). „A game based on the Euclidean algorithm and a winning strategy for it”. Math. Gaz. 53: 354–357. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F3612461">10.2307/3612461</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Math.+Gaz.&rft.atitle=A+game+based+on+the+Euclidean+algorithm+and+a+winning+strategy+for+it&rft.volume=53&rft.pages=354-357&rft.date=1969&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F3612461&rft.au=Cole+AJ%2C+Davie+AJT&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-55"><a href="#cite_ref-55">^</a> <cite class="citation journal">Spitznagel EL (<time datetime="1973">1973</time>). „Properties of a game based on Euclid's algorithm”. Math. Mag. 46: 87–92.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Math.+Mag.&rft.atitle=Properties+of+a+game+based+on+Euclid%27s+algorithm&rft.volume=46&rft.pages=87-92&rft.date=1973&rft.au=Spitznagel+EL&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-56"><a href="#cite_ref-56">^</a> Rosen, p. 95. </li> <li id="cite_note-57"><a href="#cite_ref-57">^</a> <cite class="citation book">Roberts J (<time datetime="1977">1977</time>). Elementary Number Theory: A Problem Oriented Approach. Cambridge, MA: <a href="/wiki/MIT_Press" title="MIT Press">MIT Press</a>. pp. 1–8. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-262-68028-0" title="Special:Referințe în cărți/0-262-68028-0">0-262-68028-0</a> Verificați valoarea <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|isbn=</code>: checksum (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#bad_isbn" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory%3A+A+Problem+Oriented+Approach&rft.place=Cambridge%2C+MA&rft.pages=1-8&rft.pub=MIT+Press&rft.date=1977&rft.isbn=0-262-68028-0&rft.au=Roberts+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-58"><a href="#cite_ref-58">^</a> <cite class="citation book">Jones GA, Jones JM (<time datetime="1998">1998</time>). „Bezout's Identity”. Elementary Number Theory. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 7–11.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Bezout%27s+Identity&rft.btitle=Elementary+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pages=7-11&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1998&rft.au=Jones+GA%2C+Jones+JM&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-59"><a href="#cite_ref-59">^</a> Rosen, p. 81. </li> <li id="cite_note-60"><a href="#cite_ref-60">^</a> Cohn, p. 104. </li> <li id="cite_note-61"><a href="#cite_ref-61">^</a> Rosen, p. 91. </li> <li id="cite_note-62"><a href="#cite_ref-62">^</a> Schroeder, p. 23. </li> <li id="cite_note-63"><a href="#cite_ref-63">^</a> Rosen, pp. 90–93. </li> <li id="cite_note-Koshy_2002-64">^ <a href="#cite_ref-Koshy_2002_64-0">a</a> <a href="#cite_ref-Koshy_2002_64-1">b</a> <cite class="citation book">Koshy T (<time datetime="2002">2002</time>). Elementary Number Theory with Applications. Burlington, MA: Harcourt/Academic Press. pp. 167–169. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-12-421171-2" title="Special:Referințe în cărți/0-12-421171-2">0-12-421171-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory+with+Applications&rft.place=Burlington%2C+MA&rft.pages=167-169&rft.pub=Harcourt%2FAcademic+Press&rft.date=2002&rft.isbn=0-12-421171-2&rft.au=Koshy+T&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Bach_1996-65"><a href="#cite_ref-Bach_1996_65-0">^</a> <cite class="citation book">Bach E, Shallit J (<time datetime="1996">1996</time>). Algorithmic number theory. Cambridge, MA: MIT Press. pp. 70–73. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-262-02405-5" title="Special:Referințe în cărți/0-262-02405-5">0-262-02405-5</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algorithmic+number+theory&rft.place=Cambridge%2C+MA&rft.pages=70-73&rft.pub=MIT+Press&rft.date=1996&rft.isbn=0-262-02405-5&rft.au=Bach+E%2C+Shallit+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-66"><a href="#cite_ref-66">^</a> Stark, pp. 26–36. </li> <li id="cite_note-Ore,_p._44-67">^ <a href="#cite_ref-Ore,_p._44_67-0">a</a> <a href="#cite_ref-Ore,_p._44_67-1">b</a> Ore, p. 44. </li> <li id="cite_note-68"><a href="#cite_ref-68">^</a> Stark, pp. 281–292. </li> <li id="cite_note-69"><a href="#cite_ref-69">^</a> Rosen, pp. 119–125. </li> <li id="cite_note-70"><a href="#cite_ref-70">^</a> Schroeder, pp. 106–107. </li> <li id="cite_note-71"><a href="#cite_ref-71">^</a> Schroeder, pp. 108–109. </li> <li id="cite_note-72"><a href="#cite_ref-72">^</a> Rosen, pp. 120–121. </li> <li id="cite_note-73"><a href="#cite_ref-73">^</a> Stark, p. 47. </li> <li id="cite_note-74"><a href="#cite_ref-74">^</a> Schroeder, pp. 107–109. </li> <li id="cite_note-75"><a href="#cite_ref-75">^</a> Stillwell, pp. 186–187. </li> <li id="cite_note-76"><a href="#cite_ref-76">^</a> Schroeder, p. 134. </li> <li id="cite_note-77"><a href="#cite_ref-77">^</a> "Error correction coding: mathematical methods and algorithms", pagina 266, Todd K. Moon, John Wiley and Sons, 2005, <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0471648000" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-471-64800-0</a> </li> <li id="cite_note-78"><a href="#cite_ref-78">^</a> Rosen, pp. 143–170. </li> <li id="cite_note-79"><a href="#cite_ref-79">^</a> Schroeder, pp. 194–195. </li> <li id="cite_note-Vinogradov_1954-80"><a href="#cite_ref-Vinogradov_1954_80-0">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Ivan_Matveyevich_Vinogradov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ivan Matveyevich Vinogradov — pagină inexistentă">Vinogradov IM</a> (<time datetime="1954">1954</time>). Elements of Number Theory. New York: Dover. pp. 3–13.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elements+of+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pages=3-13&rft.pub=Dover&rft.date=1954&rft.au=Vinogradov+IM&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-81"><a href="#cite_ref-81">^</a> <cite class="citation book">Crandall R, Pomerance C (<time datetime="2001">2001</time>). Prime Numbers: A Computational Perspective (ed. 1st). New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 225–349. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-94777-9" title="Special:Referințe în cărți/0-387-94777-9">0-387-94777-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Prime+Numbers%3A+A+Computational+Perspective&rft.place=New+York&rft.pages=225-349&rft.edition=1st&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2001&rft.isbn=0-387-94777-9&rft.au=Crandall+R%2C+Pomerance+C&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-82"><a href="#cite_ref-82">^</a> Knuth, pp. 369–371. </li> <li id="cite_note-83"><a href="#cite_ref-83">^</a> <cite class="citation journal"><a href="/w/index.php?title=Peter_Shor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Peter Shor — pagină inexistentă">Shor PW</a> (<time datetime="1997">1997</time>). „Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer”. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 26: 1484.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=SIAM+J.+Sci.+Statist.+Comput.&rft.atitle=Polynomial-Time+Algorithms+for+Prime+Factorization+and+Discrete+Logarithms+on+a+Quantum+Computer&rft.volume=26&rft.pages=1484&rft.date=1997&rft.au=Shor+PW&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-84"><a href="#cite_ref-84">^</a> <cite class="citation journal">Dixon JD (<time datetime="1981">1981</time>). „Asymptotically fast factorization of integers”. Math. Comput. 36: 255–260. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2007743">10.2307/2007743</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Math.+Comput.&rft.atitle=Asymptotically+fast+factorization+of+integers&rft.volume=36&rft.pages=255-260&rft.date=1981&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2007743&rft.au=Dixon+JD&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-85"><a href="#cite_ref-85">^</a> <cite class="citation journal"><a href="/w/index.php?title=Hendrik_Lenstra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hendrik Lenstra — pagină inexistentă">Lenstra Jr. HW</a> (<time datetime="1987">1987</time>). „Factoring integers with elliptic curves”. Annals of Mathematics. 126: 649–673. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F1971363">10.2307/1971363</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Annals+of+Mathematics&rft.atitle=Factoring+integers+with+elliptic+curves&rft.volume=126&rft.pages=649-673&rft.date=1987&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F1971363&rft.au=Lenstra+Jr.+HW&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-86"><a href="#cite_ref-86">^</a> Knuth, pp. 380–384. </li> <li id="cite_note-87"><a href="#cite_ref-87">^</a> Knuth, pp. 339–364. </li> <li id="cite_note-88"><a href="#cite_ref-88">^</a> <cite class="citation journal"><a href="/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9" title="Gabriel Lamé">Lamé G</a> (<time datetime="1844">1844</time>). „Note sur la limite du nombre des divisions dans la recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres entiers”. Comptes Rendus Acad. Sci. 19: 867–870.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Comptes+Rendus+Acad.+Sci.&rft.atitle=Note+sur+la+limite+du+nombre+des+divisions+dans+la+recherche+du+plus+grand+commun+diviseur+entre+deux+nombres+entiers&rft.volume=19&rft.pages=867-870&rft.date=1844&rft.au=Lam%C3%A9+G&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-89"><a href="#cite_ref-89">^</a> <cite class="citation journal">Grossman H (<time datetime="1924">1924</time>). „On the Number of Divisions in Finding a G.C.D”. The American Mathematical Monthly. 31: 443. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2298146">10.2307/2298146</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=On+the+Number+of+Divisions+in+Finding+a+G.C.D.&rft.volume=31&rft.pages=443&rft.date=1924&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2298146&rft.au=Grossman+H&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-90"><a href="#cite_ref-90">^</a> <cite class="citation book">Honsberger R (<time datetime="1976">1976</time>). Mathematical Gems II. The <a href="/wiki/Mathematical_Association_of_America" title="Mathematical Association of America">Mathematical Association of America</a>. pp. 54–57. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-88385-302-7" title="Special:Referințe în cărți/0-88385-302-7">0-88385-302-7</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+Gems+II&rft.pages=54-57&rft.pub=The+Mathematical+Association+of+America&rft.date=1976&rft.isbn=0-88385-302-7&rft.au=Honsberger+R&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Knuth,_p._344-91">^ <a href="#cite_ref-Knuth,_p._344_91-0">a</a> <a href="#cite_ref-Knuth,_p._344_91-1">b</a> <a href="#cite_ref-Knuth,_p._344_91-2">c</a> Knuth, p. 344. </li> <li id="cite_note-92"><a href="#cite_ref-92">^</a> Ore, p. 45. </li> <li id="cite_note-Knuth,_p._343-93">^ <a href="#cite_ref-Knuth,_p._343_93-0">a</a> <a href="#cite_ref-Knuth,_p._343_93-1">b</a> Knuth, p. 343. </li> <li id="cite_note-94"><a href="#cite_ref-94">^</a> Mollin, p. 21. </li> <li id="cite_note-95"><a href="#cite_ref-95">^</a> LeVeque, p. 35. </li> <li id="cite_note-96"><a href="#cite_ref-96">^</a> Mollin, pp. 21–22. </li> <li id="cite_note-97"><a href="#cite_ref-97">^</a> Knuth, p. 353. </li> <li id="cite_note-98"><a href="#cite_ref-98">^</a> Knuth, p. 357. </li> <li id="cite_note-99"><a href="#cite_ref-99">^</a> <cite class="citation journal">Tonkov T (<time datetime="1974">1974</time>). „On the average length of finite continued fractions”. Acta arithmetica. 26: 47–57.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Acta+arithmetica&rft.atitle=On+the+average+length+of+finite+continued+fractions&rft.volume=26&rft.pages=47-57&rft.date=1974&rft.au=Tonkov+T&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-100"><a href="#cite_ref-100">^</a> <cite class="citation journal">Porter JW (<time datetime="1975">1975</time>). „On a Theorem of Heilbronn”. Mathematika. 22: 20–28.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematika&rft.atitle=On+a+Theorem+of+Heilbronn&rft.volume=22&rft.pages=20-28&rft.date=1975&rft.au=Porter+JW&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-101"><a href="#cite_ref-101">^</a> <cite class="citation journal">Knuth DE (<time datetime="1976">1976</time>). „Evaluation of Porter's Constant”. Computers and Mathematics with Applications. 2: 137–139. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0898-1221%2876%2990025-0">10.1016/0898-1221(76)90025-0</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Computers+and+Mathematics+with+Applications&rft.atitle=Evaluation+of+Porter%27s+Constant&rft.volume=2&rft.pages=137-139&rft.date=1976&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0898-1221%2876%2990025-0&rft.au=Knuth+DE&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-102"><a href="#cite_ref-102">^</a> <cite class="citation journal">Dixon JD (<time datetime="1970">1970</time>). „The Number of Steps in the Euclidean Algorithm”. J. Number Theory. 2: 414–422. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0022-314X%2870%2990044-2">10.1016/0022-314X(70)90044-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=J.+Number+Theory&rft.atitle=The+Number+of+Steps+in+the+Euclidean+Algorithm&rft.volume=2&rft.pages=414-422&rft.date=1970&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0022-314X%2870%2990044-2&rft.au=Dixon+JD&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-103"><a href="#cite_ref-103">^</a> <cite class="citation book">Heilbronn HA (<time datetime="1969">1969</time>). „On the Average Length of a Class of Finite Continued Fractions”. În Paul Turán. Number Theory and Analysis. New York: Plenum. pp. 87–96. <a href="/wiki/Num%C4%83rul_de_control_al_Bibliotecii_Congresului" title="Numărul de control al Bibliotecii Congresului">LCCN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lccn.loc.gov/68008991">68-8991</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=On+the+Average+Length+of+a+Class+of+Finite+Continued+Fractions&rft.btitle=Number+Theory+and+Analysis&rft.place=New+York&rft.pages=87-96&rft.pub=Plenum&rft.date=1969&rft.au=Heilbronn+HA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-104"><a href="#cite_ref-104">^</a> Knuth, p. 354. </li> <li id="cite_note-Norton_1990-105">^ <a href="#cite_ref-Norton_1990_105-0">a</a> <a href="#cite_ref-Norton_1990_105-1">b</a> <cite class="citation journal">Norton GH (<time datetime="1990">1990</time>). „On the Asymptotic Analysis of the Euclidean Algorithm”. Journal of Symbolic Computation. 10: 53–58. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2FS0747-7171%2808%2980036-3">10.1016/S0747-7171(08)80036-3</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+Symbolic+Computation&rft.atitle=On+the+Asymptotic+Analysis+of+the+Euclidean+Algorithm&rft.volume=10&rft.pages=53-58&rft.date=1990&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2FS0747-7171%2808%2980036-3&rft.au=Norton+GH&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-106"><a href="#cite_ref-106">^</a> Knuth, p. 355. </li> <li id="cite_note-107"><a href="#cite_ref-107">^</a> Knuth, p. 356. </li> <li id="cite_note-108"><a href="#cite_ref-108">^</a> Knuth, pp. 257–261. </li> <li id="cite_note-109"><a href="#cite_ref-109">^</a> Knuth, p. 352. </li> <li id="cite_note-110"><a href="#cite_ref-110">^</a> <cite class="citation book">Wagon S (<time datetime="1999">1999</time>). Mathematica in Action. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 335–336. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-98252-3" title="Special:Referințe în cărți/0-387-98252-3">0-387-98252-3</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematica+in+Action&rft.place=New+York&rft.pages=335-336&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1999&rft.isbn=0-387-98252-3&rft.au=Wagon+S&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-111"><a href="#cite_ref-111">^</a> Cohen, p. 14. </li> <li id="cite_note-112"><a href="#cite_ref-112">^</a> Cohen, pp. 14–15, 17–18. </li> <li id="cite_note-113"><a href="#cite_ref-113">^</a> Knuth, pp. 321–323. </li> <li id="cite_note-114"><a href="#cite_ref-114">^</a> <cite class="citation journal">Stein J (<time datetime="1967">1967</time>). „Computational problems associated with Racah algebra”. Journal of Computational Physics. 1: 397–405. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0021-9991%2867%2990047-2">10.1016/0021-9991(67)90047-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+Computational+Physics&rft.atitle=Computational+problems+associated+with+Racah+algebra&rft.volume=1&rft.pages=397-405&rft.date=1967&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0021-9991%2867%2990047-2&rft.au=Stein+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Crandall_2001-115">^ <a href="#cite_ref-Crandall_2001_115-0">a</a> <a href="#cite_ref-Crandall_2001_115-1">b</a> <cite class="citation book">Crandall R, Pomerance C (<time datetime="2001">2001</time>). Prime Numbers: A Computational Perspective (ed. 1st). New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 77–79, 81–85, 425–431. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-94777-9" title="Special:Referințe în cărți/0-387-94777-9">0-387-94777-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Prime+Numbers%3A+A+Computational+Perspective&rft.place=New+York&rft.pages=77-79%2C+81-85%2C+425-431&rft.edition=1st&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2001&rft.isbn=0-387-94777-9&rft.au=Crandall+R%2C+Pomerance+C&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-116"><a href="#cite_ref-116">^</a> Knuth, p. 328. </li> <li id="cite_note-117"><a href="#cite_ref-117">^</a> <cite class="citation journal">Lehmer DH (<time datetime="1938">1938</time>). „Euclid's Algorithm for Large Numbers”. The American Mathematical Monthly. 45: 227–233. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2302607">10.2307/2302607</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=Euclid%27s+Algorithm+for+Large+Numbers&rft.volume=45&rft.pages=227-233&rft.date=1938&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2302607&rft.au=Lehmer+DH&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-118"><a href="#cite_ref-118">^</a> <cite class="citation journal">Sorenson J (<time datetime="1994">1994</time>). „Two fast GCD algorithms”. J. Algorithms. 16: 110–144. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1006%2Fjagm.1994.1006">10.1006/jagm.1994.1006</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=J.+Algorithms&rft.atitle=Two+fast+GCD+algorithms&rft.volume=16&rft.pages=110-144&rft.date=1994&rft_id=info%3Adoi%2F10.1006%2Fjagm.1994.1006&rft.au=Sorenson+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-119"><a href="#cite_ref-119">^</a> <cite class="citation journal">Weber K (<time datetime="1995">1995</time>). „The accelerated GCD algorithm”. ACM Trans. Math. Soft. 21: 111–122. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1145%2F200979.201042">10.1145/200979.201042</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=ACM+Trans.+Math.+Soft.&rft.atitle=The+accelerated+GCD+algorithm&rft.volume=21&rft.pages=111-122&rft.date=1995&rft_id=info%3Adoi%2F10.1145%2F200979.201042&rft.au=Weber+K&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-120"><a href="#cite_ref-120">^</a> <cite class="citation book">Aho A, Hopcroft J, Ullman J (<time datetime="1974">1974</time>). The Design and Analysis of Computer Algorithms. New York: Addison–Wesley. pp. 300–310.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Design+and+Analysis+of+Computer+Algorithms&rft.place=New+York&rft.pages=300-310&rft.pub=Addison%E2%80%93Wesley&rft.date=1974&rft.au=Aho+A%2C+Hopcroft+J%2C+Ullman+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (<a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">link</a>) <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-121"><a href="#cite_ref-121">^</a> <cite class="citation journal">Schönhage A (<time datetime="1971">1971</time>). „Schnelle Berechnung von Kettenbruchentwicklungen”. Acta Informatica. 1: 139–144. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF00289520">10.1007/BF00289520</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Acta+Informatica&rft.atitle=Schnelle+Berechnung+von+Kettenbruchentwicklungen&rft.volume=1&rft.pages=139-144&rft.date=1971&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF00289520&rft.au=Sch%C3%B6nhage+A&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-122"><a href="#cite_ref-122">^</a> <cite class="citation book">Cesari G (<time datetime="1998">1998</time>). „Parallel implementation of Schönhage's integer GCD algorithm”. În G. Buhler. Algorithmic Number Theory: Proc. ANTS-III, Portland, OR. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 64–76.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Parallel+implementation+of+Sch%C3%B6nhage%27s+integer+GCD+algorithm&rft.btitle=Algorithmic+Number+Theory%3A+Proc.+ANTS-III%2C+Portland%2C+OR&rft.place=New+York&rft.pages=64-76&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1998&rft.au=Cesari+G&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> Volume 1423 in Lecture notes in Computer Science. </li> <li id="cite_note-123"><a href="#cite_ref-123">^</a> <cite class="citation book">Stehlé D, Zimmermann P (<time datetime="2005">2005</time>). „Gal's accurate tables method revisited”. Proceedings of the 17th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH-17). Los Alamitos, CA: <a href="/w/index.php?title=IEEE_Computer_Society_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="IEEE Computer Society Press — pagină inexistentă">IEEE Computer Society Press</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Gal%E2%80%99s+accurate+tables+method+revisited&rft.btitle=Proceedings+of+the+17th+IEEE+Symposium+on+Computer+Arithmetic+%28ARITH-17%29&rft.place=Los+Alamitos%2C+CA&rft.pub=IEEE+Computer+Society+Press&rft.date=2005&rft.au=Stehl%C3%A9+D%2C+Zimmermann+P&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-124"><a href="#cite_ref-124">^</a> <cite class="citation journal">Möller N (<time datetime="2008">2008</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lysator.liu.se/~nisse/archive/sgcd.pdf">On Schönhage's algorithm and subquadratic integer gcd computation</a>”. Mathematics of Computation. 77: 589–607. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-07-02017-0">10.1090/S0025-5718-07-02017-0</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fwww.lysator.liu.se%2F~nisse%2Farchive%2Fsgcd.pdf+On+Sch%C3%B6nhage%27s+algorithm+and+subquadratic+integer+gcd+computation%5D&rft.volume=77&rft.pages=589-607&rft.date=2008&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0025-5718-07-02017-0&rft.au=M%C3%B6ller+N&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-125"><a href="#cite_ref-125">^</a> <cite class="citation book">Boyer CB, Merzbach UC (<time datetime="1991">1991</time>). A History of Mathematics (ed. 2nd). New York: Wiley. pp. 116–117. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-471-54397-7" title="Special:Referințe în cărți/0-471-54397-7">0-471-54397-7</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Mathematics&rft.place=New+York&rft.pages=116-117&rft.edition=2nd&rft.pub=Wiley&rft.date=1991&rft.isbn=0-471-54397-7&rft.au=Boyer+CB%2C+Merzbach+UC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-126"><a href="#cite_ref-126">^</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/Florian_Cajori" title="Florian Cajori">Cajori F</a> (<time datetime="1894">1894</time>). A History of Mathematics. New York: Macmillan. p. 70.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Mathematics&rft.place=New+York&rft.pages=70&rft.pub=Macmillan&rft.date=1894&rft.au=Cajori+F&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Lang_1984-127">^ <a href="#cite_ref-Lang_1984_127-0">a</a> <a href="#cite_ref-Lang_1984_127-1">b</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/Serge_Lang" title="Serge Lang">Lang S</a> (<time datetime="1984">1984</time>). Algebra (ed. 2nd). Menlo Park, CA: Addison–Wesley. pp. 190–194. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-201-05487-6" title="Special:Referințe în cărți/0-201-05487-6">0-201-05487-6</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.place=Menlo+Park%2C+CA&rft.pages=190-194&rft.edition=2nd&rft.pub=Addison%E2%80%93Wesley&rft.date=1984&rft.isbn=0-201-05487-6&rft.au=Lang+S&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-128"><a href="#cite_ref-128">^</a> Cox, pp. 37–46. </li> <li id="cite_note-129"><a href="#cite_ref-129">^</a> Schroeder, pp. 254–259. </li> <li id="cite_note-Stillwell_2003-130">^ <a href="#cite_ref-Stillwell_2003_130-0">a</a> <a href="#cite_ref-Stillwell_2003_130-1">b</a> <a href="#cite_ref-Stillwell_2003_130-2">c</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=John_Stillwell&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Stillwell — pagină inexistentă">Stillwell J</a> (<time datetime="2003">2003</time>). Elements of Number Theory. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 101–116. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-95587-9" title="Special:Referințe în cărți/0-387-95587-9">0-387-95587-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elements+of+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pages=101-116&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2003&rft.isbn=0-387-95587-9&rft.au=Stillwell+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-131"><a href="#cite_ref-131">^</a> Stark, p. 290. </li> <li id="cite_note-132"><a href="#cite_ref-132">^</a> Cohn, pp. 104–105. </li> <li id="cite_note-133"><a href="#cite_ref-133">^</a> <cite class="citation journal">Lamé G (<time datetime="1847">1847</time>). „Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l'équation An + Bn + Cn = 0”. J. Math. Pures Appl. 12: 172–184.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=J.+Math.+Pures+Appl.&rft.atitle=M%C3%A9moire+sur+la+r%C3%A9solution%2C+en+nombres+complexes%2C+de+l%27%C3%A9quation+A%3Csup%3En%3C%2Fsup%3E+%2B+B%3Csup%3En%3C%2Fsup%3E+%2B+C%3Csup%3En%3C%2Fsup%3E+%3D+0&rft.volume=12&rft.pages=172-184&rft.date=1847&rft.au=Lam%C3%A9+G&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-Clark_1994-134">^ <a href="#cite_ref-Clark_1994_134-0">a</a> <a href="#cite_ref-Clark_1994_134-1">b</a> <cite class="citation journal">Clark DA (<time datetime="1994">1994</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.springerlink.com/content/6t9u2440402n1346/">A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean</a>”. Manuscripta mathematica. 83: 327–330. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF02567617">10.1007/BF02567617</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Manuscripta+mathematica&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fwww.springerlink.com%2Fcontent%2F6t9u2440402n1346%2F+A+quadratic+field+which+is+Euclidean+but+not+norm-Euclidean%5D&rft.volume=83&rft.pages=327-330&rft.date=1994&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF02567617&rft.au=Clark+DA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-135"><a href="#cite_ref-135">^</a> <cite class="citation journal">Weinberger P. Proc. Sympos. Pure Math. 24: 321–332.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Proc.+Sympos.+Pure+Math.&rft.volume=24&rft.pages=321-332&rft.au=Weinberger+P&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Lipsește sau este vid: <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#citation_missing_title" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>); <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|chapter=</code> ignorat (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#chapter_ignored" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-136"><a href="#cite_ref-136">^</a> <cite class="citation journal">Harper M, Murty, MR (<time datetime="2004">2004</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf">Euclidean Rings of Algebraic Integers</a>”. Canadian Journal of Mathematics. 56: 71–76.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Canadian+Journal+of+Mathematics&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fwww.mast.queensu.ca%2F~murty%2Fharper-murty.pdf+Euclidean+Rings+of+Algebraic+Integers%5D&rft.volume=56&rft.pages=71-76&rft.date=2004&rft.au=Harper+M%2C+Murty%2C+MR&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (<a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">link</a>) <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-137"><a href="#cite_ref-137">^</a> <cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=John_Stillwell&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Stillwell — pagină inexistentă">Stillwell J</a> (<time datetime="2003">2003</time>). Elements of Number Theory. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. pp. 151–152. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-95587-9" title="Special:Referințe în cărți/0-387-95587-9">0-387-95587-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elements+of+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pages=151-152&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2003&rft.isbn=0-387-95587-9&rft.au=Stillwell+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-138"><a href="#cite_ref-138">^</a> <cite class="citation journal">Yamada Y (<time datetime="2007">2007</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://arxiv.org/abs/0708.2316">Generalized rational blow-down, torus knots, and Euclidean algorithm</a>”. arXiv:0708.2316v1.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Farxiv.org%2Fabs%2F0708.2316+Generalized+rational+blow-down%2C+torus+knots%2C+and+Euclidean+algorithm%5D&rft.date=2007&rft.au=Yamada+Y&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-139"><a href="#cite_ref-139">^</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/John_Horton_Conway" title="John Horton Conway">Conway, John</a> (<time datetime="1970">1970</time>). „An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties”. Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967). Pergamon. pp. 329–358.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=An+enumeration+of+knots+and+links%2C+and+some+of+their+algebraic+properties&rft.btitle=Computational+Problems+in+Abstract+Algebra+%28Proc.+Conf.%2C+Oxford%2C+1967%29&rft.pages=329-358&rft.pub=Pergamon&rft.date=1970&rft.aulast=Conway&rft.aufirst=John&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Parametru necunoscut <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|middle=</code> ignorat (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#parameter_ignored" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-140"><a href="#cite_ref-140">^</a> <cite class="citation journal">Jategaonkar AV (<time datetime="1969">1969</time>). „<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183530557">Rings with transfinite left division algorithm</a>”. Bull. Amer. Math. Soc. 75: 559–561. <a href="/wiki/Digital_object_identifier" title="Digital object identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0002-9904-1969-12242-1">10.1090/S0002-9904-1969-12242-1</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Bull.+Amer.+Math.+Soc.&rft.atitle=%5Bhttp%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2Feuclid.bams%2F1183530557+Rings+with+transfinite+left+division+algorithm%5D&rft.volume=75&rft.pages=559-561&rft.date=1969&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0002-9904-1969-12242-1&rft.au=Jategaonkar+AV&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988">  Legătură externa în <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|title=</code> (<a href="/wiki/Ajutor:Erori_CS1#param_has_ext_link" title="Ajutor:Erori CS1">ajutor</a>)<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"> </li> <li id="cite_note-141"><a href="#cite_ref-141">^</a> Cox, p. 65. </li> <li id="cite_note-142"><a href="#cite_ref-142">^</a> Cox, pp. 73–79. </li> <li id="cite_note-143"><a href="#cite_ref-143">^</a> Cox, pp. 79–86. </li> <li id="cite_note-144"><a href="#cite_ref-144">^</a> Cox, p. 74. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografie">Bibliografie</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=39" title="Modifică secțiunea: Bibliografie" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=39" title="Edit section's source code: Bibliografie">modificare sursă</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Henri_Cohen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Henri Cohen — pagină inexistentă">Cohen H</a> (<time datetime="1993">1993</time>). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=hXGr-9l1DXcC">A Course in Computational Algebraic Number Theory</a>. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-55640-0" title="Special:Referințe în cărți/0-387-55640-0">0-387-55640-0</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Course+in+Computational+Algebraic+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1993&rft.isbn=0-387-55640-0&rft.au=Cohen+H&rft_id=http%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DhXGr-9l1DXcC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Cohn H (<time datetime="1962">1962</time>). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=yMGeElJ8M0wC">Advanced Number Theory</a>. New York: Dover. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-486-64023-X" title="Special:Referințe în cărți/0-486-64023-X">0-486-64023-X</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Advanced+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.date=1962&rft.isbn=0-486-64023-X&rft.au=Cohn+H&rft_id=http%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DyMGeElJ8M0wC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Thomas_H._Cormen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thomas H. Cormen — pagină inexistentă">Cormen TH</a>, <a href="/w/index.php?title=Charles_E._Leiserson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles E. Leiserson — pagină inexistentă">Leiserson CE</a>, <a href="/wiki/Ronald_L._Rivest" class="mw-redirect" title="Ronald L. Rivest">Rivest RL</a>, and <a href="/w/index.php?title=Clifford_Stein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Clifford Stein — pagină inexistentă">Stein C</a> (<time datetime="2001">2001</time>). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=NLngYyWFl_YC">Introduction to Algorithms</a> (ed. 2nd). MIT Press and McGraw–Hill. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0262032937" title="Special:Referințe în cărți/0262032937">0262032937</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Algorithms&rft.edition=2nd&rft.pub=MIT+Press+and+McGraw%E2%80%93Hill&rft.date=2001&rft.isbn=0262032937&rft.au=Cormen+TH%2C+Leiserson+CE%2C+Rivest+RL%2C+and+Stein+C&rft_id=http%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DNLngYyWFl_YC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (<a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">link</a>) <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Cox D, Little J, and O'Shea D (<time datetime="1997">1997</time>). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=7eLkq0wQytAC">Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra</a> (ed. 2nd). <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-94680-2" title="Special:Referințe în cărți/0-387-94680-2">0-387-94680-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Ideals%2C+Varieties%2C+and+Algorithms%3A+An+Introduction+to+Computational+Algebraic+Geometry+and+Commutative+Algebra&rft.edition=2nd&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1997&rft.isbn=0-387-94680-2&rft.au=Cox+D%2C+Little+J%2C+and+O%27Shea+D&rft_id=http%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D7eLkq0wQytAC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (<a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">link</a>) <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet PGL</a> (<time datetime="1894">1894</time>). <a href="/wiki/Richard_Dedekind" title="Richard Dedekind">Richard Dedekind</a>, ed. Vorlesungen über Zahlentheorie. Braunschweig: Vieweg.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+Zahlentheorie&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg&rft.date=1894&rft.au=Dirichlet+PGL&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=G._H._Hardy&action=edit&redlink=1" class="new" title="G. H. Hardy — pagină inexistentă">Hardy GH</a>, <a href="/w/index.php?title=E._M._Wright&action=edit&redlink=1" class="new" title="E. M. Wright — pagină inexistentă">Wright EM</a> [revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman]. (<time datetime="2008">2008</time>). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=rey9wfSaJ9EC">An Introduction to the Theory of Numbers</a> (ed. 6th). Oxford: Clarendon Press.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+the+Theory+of+Numbers&rft.place=Oxford&rft.edition=6th&rft.pub=Clarendon+Press&rft.date=2008&rft.au=Hardy+GH%2C+Wright+EM+%5Brevised+by+D.R.+Heath-Brown+and+J.H.+Silverman%5D.&rft_id=http%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Drey9wfSaJ9EC&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Knuth D</a> (<time datetime="1997">1997</time>). <a href="/wiki/The_Art_of_Computer_Programming" class="mw-redirect" title="The Art of Computer Programming">The Art of Computer Programming</a>, Volume 2: Seminumerical Algorithms (ed. 3rd). Addison–Wesley. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0201896842" title="Special:Referințe în cărți/0201896842">0201896842</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Art+of+Computer+Programming%2C+Volume+2%3A+Seminumerical+Algorithms&rft.edition=3rd&rft.pub=Addison%E2%80%93Wesley&rft.date=1997&rft.isbn=0201896842&rft.au=Knuth+D&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=William_J._LeVeque&action=edit&redlink=1" class="new" title="William J. LeVeque — pagină inexistentă">LeVeque WJ</a> (<time datetime="1977">1977</time>). Fundamentals of Number Theory. New York: Dover. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-486-68906-9" title="Special:Referințe în cărți/0-486-68906-9">0-486-68906-9</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Fundamentals+of+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pub=Dover&rft.date=1977&rft.isbn=0-486-68906-9&rft.au=LeVeque+WJ&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Mollin RA (<time datetime="2008">2008</time>). Fundamental Number Theory with Applications (ed. 2nd). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/9781420066593" title="Special:Referințe în cărți/9781420066593">9781420066593</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Fundamental+Number+Theory+with+Applications&rft.place=Boca+Raton&rft.edition=2nd&rft.pub=Chapman+%26+Hall%2FCRC&rft.date=2008&rft.isbn=9781420066593&rft.au=Mollin+RA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=%C3%98ystein_Ore&action=edit&redlink=1" class="new" title="Øystein Ore — pagină inexistentă">Ore Ø</a> (<time datetime="1948">1948</time>). Number Theory and Its History. New York: McGraw–Hill.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Theory+and+Its+History&rft.place=New+York&rft.pub=McGraw%E2%80%93Hill&rft.date=1948&rft.au=Ore+%C3%98&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Rosen KH (<time datetime="2000">2000</time>). Elementary Number Theory and its Applications (ed. 4th). Reading, MA: Addison–Wesley. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0201870738" title="Special:Referințe în cărți/0201870738">0201870738</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory+and+its+Applications&rft.place=Reading%2C+MA&rft.edition=4th&rft.pub=Addison%E2%80%93Wesley&rft.date=2000&rft.isbn=0201870738&rft.au=Rosen+KH&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Manfred_R._Schroeder&action=edit&redlink=1" class="new" title="Manfred R. Schroeder — pagină inexistentă">Schroeder MR</a> (<time datetime="2005">2005</time>). Number Theory in Science and Communication (ed. 4th). <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0387158006" title="Special:Referințe în cărți/0387158006">0387158006</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Theory+in+Science+and+Communication&rft.edition=4th&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2005&rft.isbn=0387158006&rft.au=Schroeder+MR&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Harold_Stark&action=edit&redlink=1" class="new" title="Harold Stark — pagină inexistentă">Stark H</a> (<time datetime="1978">1978</time>). An Introduction to Number Theory. MIT Press. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-262-69060-8" title="Special:Referințe în cărți/0-262-69060-8">0-262-69060-8</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+Number+Theory&rft.pub=MIT+Press&rft.date=1978&rft.isbn=0-262-69060-8&rft.au=Stark+H&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book"><a href="/w/index.php?title=John_Stillwell&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Stillwell — pagină inexistentă">Stillwell J</a> (<time datetime="1997">1997</time>). Numbers and Geometry. New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/0-387-98289-2" title="Special:Referințe în cărți/0-387-98289-2">0-387-98289-2</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Numbers+and+Geometry&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1997&rft.isbn=0-387-98289-2&rft.au=Stillwell+J&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Tattersall JJ (<time datetime="2005">2005</time>). Elementary number theory in nine chapters. Cambridge: <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Special:Referin%C8%9Be_%C3%AEn_c%C4%83r%C8%9Bi/9780521850148" title="Special:Referințe în cărți/9780521850148">9780521850148</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+number+theory+in+nine+chapters&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=2005&rft.isbn=9780521850148&rft.au=Tattersall+JJ&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li> <li><cite class="citation book">Uspensky JV, Heaslet MA (<time datetime="1939">1939</time>). Elementary Number Theory. New York: McGraw–Hill.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory&rft.place=New+York&rft.pub=McGraw%E2%80%93Hill&rft.date=1939&rft.au=Uspensky+JV%2C+Heaslet+MA&rfr_id=info%3Asid%2Fro.wikipedia.org%3AAlgoritmul+lui+Euclid" class="Z3988"> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r16236537"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Legături_externe">Legături externe</h2>[<a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&veaction=edit&section=40" title="Modifică secțiunea: Legături externe" class="mw-editsection-visualeditor">modificare</a> | <a href="/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&action=edit&section=40" title="Edit section's source code: Legături externe">modificare sursă</a>]</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.sc.edu/~sumner/numbertheory/euclidean/euclidean.html">Demonstrații ale algoritmului lui Euclid</a></li> <li><cite id="Reference-Mathworld-Euclidean_Algorithm"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html">Euclidean Algorithm</a> la <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>.</cite></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/blue/Euclid.shtml">Algoritmul lui Euclid</a> la <a href="/w/index.php?title=Cut-the-knot&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cut-the-knot — pagină inexistentă">cut-the-knot</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/EuclidsAlgorithm">Euclid's algorithm</a> la <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathpages.com/home/kmath384.htm">Algoritmul lui Euclid</a> la MathPages</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/blue/EuclidAlg.shtml">Jocul lui Euclid</a> la <a href="/w/index.php?title=Cut-the-knot&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cut-the-knot — pagină inexistentă">cut-the-knot</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://plus.maths.org/issue40/features/wardhaugh/index.html">Muzica și algoritmul lui Euclid</a></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Adus de la <a dir="ltr" href="https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&oldid=15973338">https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&oldid=15973338</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Special:Categorii" title="Special:Categorii">Categorii</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categorie:Articole_de_calitate" title="Categorie:Articole de calitate">Articole de calitate</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Algoritmi" title="Categorie:Algoritmi">Algoritmi</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorii ascunse: <ul><li><a href="/wiki/Categorie:Mentenan%C8%9B%C4%83_CS1:_Nume_multiple:_lista_autorilor" title="Categorie:Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor">Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Erori_CS1:_leg%C4%83turi_externe" title="Categorie:Erori CS1: legături externe">Erori CS1: legături externe</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Erori_CS1:_ISBN" title="Categorie:Erori CS1: ISBN">Erori CS1: ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Pagini_cu_cit%C4%83ri_f%C4%83r%C4%83_titluri" title="Categorie:Pagini cu citări fără titluri">Pagini cu citări fără titluri</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Erori_CS1:_capitol_ignorat" title="Categorie:Erori CS1: capitol ignorat">Erori CS1: capitol ignorat</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Pagini_cu_cit%C4%83ri_ce_folosesc_parametri_necunoscu%C8%9Bi" title="Categorie:Pagini cu citări ce folosesc parametri necunoscuți">Pagini cu citări ce folosesc parametri necunoscuți</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Pagini_ce_folosesc_leg%C4%83turi_automate_c%C4%83tre_ISBN" title="Categorie:Pagini ce folosesc legături automate către ISBN">Pagini ce folosesc legături automate către ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Categorie:Pagini_cu_note_pe_3_coloane" title="Categorie:Pagini cu note pe 3 coloane">Pagini cu note pe 3 coloane</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Ultima editare a paginii a fost efectuată la 10 decembrie 2023, ora 22:58.</li> <li id="footer-info-copyright">Acest text este disponibil sub licența <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ro">Creative Commons cu atribuire și distribuire în condiții identice</a>; pot exista și clauze suplimentare. Vedeți detalii la <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">Termenii de utilizare</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Politica de confidențialitate</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Despre">Despre Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Termeni">Termeni</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Cod de conduită</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dezvoltatori</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ro.wikipedia.org">Statistici</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declarație cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ro.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmul_lui_Euclid&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versiune mobilă</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6dfcdd5ff5-2jnzp","wgBackendResponseTime":179,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.792","walltime":"1.023","ppvisitednodes":{"value":4428,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":125209,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":201,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":8,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":250847,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":2,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 725.712 1 -total"," 57.26% 415.526 1 Format:Listănote"," 32.23% 233.911 49 Format:Citat_carte"," 19.27% 139.835 1 Format:Ill-wd"," 15.75% 114.298 31 Format:Cite_journal"," 8.17% 59.319 1 Format:En"," 2.23% 16.206 1 Format:PlanetMath"," 1.74% 12.655 1 Format:Articol_de_calitate"," 1.07% 7.757 3 Format:LCCN"," 0.48% 3.507 2 Format:MathWorld"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.377","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":4175154,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.canary-568db456f7-wgzt7","timestamp":"20241202131018","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Algoritmul lui Euclid","url":"https:\/\/ro.wikipedia.org\/wiki\/Algoritmul_lui_Euclid","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q230848","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q230848","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-04-08T20:45:12Z","dateModified":"2023-12-10T20:58:28Z"}</script> </body> </html>