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href="#Definição"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Definição</span> </div> </a> <ul id="toc-Definição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Distribuições_de_dimensões_finitas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Distribuições_de_dimensões_finitas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Distribuições de dimensões finitas</span> </div> </a> <ul id="toc-Distribuições_de_dimensões_finitas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-História" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#História"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>História</span> </div> </a> <ul id="toc-História-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Construção" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Construção"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Construção</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Construção-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Construção</span> </button> <ul id="toc-Construção-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Extensão_de_Kolmogorov" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Extensão_de_Kolmogorov"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Extensão de Kolmogorov</span> </div> </a> <ul id="toc-Extensão_de_Kolmogorov-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Separabilidade" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Separabilidade"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Separabilidade</span> </div> </a> <ul id="toc-Separabilidade-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Filtração" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Filtração"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Filtração</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Filtração-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Filtração</span> </button> <ul id="toc-Filtração-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Filtração_natural" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Filtração_natural"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Filtração natural</span> </div> </a> <ul id="toc-Filtração_natural-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Classificação" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Classificação"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Classificação</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Classificação-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Classificação</span> </button> <ul id="toc-Classificação-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_discreto" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_discreto"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Tempo discreto e espaço de estado discreto</span> </div> </a> <ul id="toc-Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_discreto-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_contínuo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_contínuo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Tempo contínuo e espaço de estado contínuo</span> </div> </a> <ul id="toc-Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_contínuo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_contínuo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_contínuo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Tempo discreto e espaço de estado contínuo</span> </div> </a> <ul id="toc-Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_contínuo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_discreto" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_discreto"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Tempo contínuo e espaço de estado discreto</span> </div> </a> <ul id="toc-Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_discreto-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Ligações externas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Processo estocástico</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 46 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-46" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">46 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Stogastiese_proses" title="Stogastiese proses — africanês" lang="af" hreflang="af" data-title="Stogastiese proses" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="africanês" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%D9%8A%D8%A9" title="عملية تصادفية — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عملية تصادفية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Procesu_estoc%C3%A1sticu" title="Procesu estocásticu — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Procesu estocásticu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81" title="Стохастичен процес — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Стохастичен процес" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%A6%E0%A7%88%E0%A6%AC_%E0%A6%AA%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%BF%E0%A6%AF%E0%A6%BC%E0%A6%BE" title="দৈব প্রক্রিয়া — bengalês" lang="bn" hreflang="bn" data-title="দৈব প্রক্রিয়া" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalês" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Proc%C3%A9s_estoc%C3%A0stic" title="Procés estocàstic — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Procés estocàstic" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1hodn%C3%BD_proces" title="Náhodný proces — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Náhodný proces" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Stochastischer Prozess" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process" title="Stochastic process — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Stochastic process" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Stokastiko" title="Stokastiko — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Stokastiko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico" title="Proceso estocástico — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Proceso estocástico" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Juhuslik_protsess" title="Juhuslik protsess — estónio" lang="et" hreflang="et" data-title="Juhuslik protsess" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estónio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Prozesu_estokastiko" title="Prozesu estokastiko — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Prozesu estokastiko" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D9%86%D8%AF_%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%DB%8C" title="فرایند تصادفی — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فرایند تصادفی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Stokastinen_prosessi" title="Stokastinen prosessi — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Stokastinen prosessi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_stochastique" title="Processus stochastique — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Processus stochastique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%B3iseas_stocastach" title="Próiseas stocastach — irlandês" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Próiseas stocastach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico" title="Proceso estocástico — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Proceso estocástico" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%94%D7%9C%D7%99%D7%9A_%D7%A1%D7%98%D7%95%D7%9B%D7%A1%D7%98%D7%99" title="תהליך סטוכסטי — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="תהליך סטוכסטי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%8D%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%B5%E0%A5%8D%E2%80%8D%E0%A4%AF_%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE" title="प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" 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stokastik" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundanês" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Stokastisk_process" title="Stokastisk process — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Stokastisk process" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9F%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B8%E0%B9%88%E0%B8%A1" title="กระบวนการเฟ้นสุ่ม — tailandês" lang="th" hreflang="th" data-title="กระบวนการเฟ้นสุ่ม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandês" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Stokastik_s%C3%BCre%C3%A7" title="Stokastik süreç — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Stokastik süreç" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81" title="Випадковий процес — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Випадковий процес" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%A1_tr%C3%ACnh_ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Quá trình ngẫu nhiên — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Quá trình ngẫu nhiên" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%BF%87%E7%A8%8B" title="随机过程 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="随机过程" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E9%81%8E%E7%A8%8B" title="隨機過程 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="隨機過程" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q176737#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Stochastic_processes" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q176737" title="Hiperligação para o elemento do repositório de dados [g]" accesskey="g"><span>Elemento Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas de página"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspeto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" 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class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:IE_Real_SandP_Prices,_Earnings,_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png/350px-IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png" decoding="async" width="350" height="208" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png/525px-IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png/700px-IE_Real_SandP_Prices%2C_Earnings%2C_and_Dividends_1871-2006_-_PT.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="608" /></a><figcaption>Flutuações nos <a href="/wiki/Mercado_de_a%C3%A7%C3%B5es" title="Mercado de ações">mercados de ações</a> podem ser modeladas por processos estocásticos.</figcaption></figure> <p>Dentro da <a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">teoria das probabilidades</a>, um <b>processo estocástico</b> é uma família de <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria" title="Variável aleatória">variáveis aleatórias</a> representando a evolução de um sistema de valores com o tempo. É a contraparte probabilística de um processo determinístico. Ao invés de um processo que possui um único modo de evoluir, como nas soluções de <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria" title="Equação diferencial ordinária">equações diferenciais ordinárias</a>, por exemplo, em um processo estocástico há uma indeterminação: mesmo que se conheça a condição inicial, existem várias, por vezes infinitas, direções nas quais o processo pode evoluir. </p><p>Em casos de <a href="/wiki/Tempo_discreto" class="mw-redirect" title="Tempo discreto">tempo discreto</a>, em oposição ao tempo contínuo, o processo estocástico é uma sequência de variáveis aleatórias, como por exemplo uma <a href="/wiki/Cadeias_de_Markov" title="Cadeias de Markov">cadeia de Markov</a>. As variáveis correspondentes aos diversos tempos podem ser completamente diferentes, o único requisito é que esses valores diferentes estejam todos no mesmo espaço, isto é, no <a href="/wiki/Contradom%C3%ADnio" title="Contradomínio">contradomínio</a> da função. Uma abordagem possível é modelar as variáveis aleatórias como funções aleatórias de um ou vários argumentos determinísticos, na maioria dos casos, em relação ao parâmetro do tempo. Apesar de os valores aleatórios de um processo estocástico em momentos diferentes parecerem variáveis aleatórias independentes, nas situações mais comuns, eles exibem uma complexa dependência estatística. </p><p>Exemplo de processos estocásticos incluem flutuações nos <a href="/wiki/Mercado_de_a%C3%A7%C3%B5es" title="Mercado de ações">mercados de ações</a> e nas <a href="/wiki/Taxa_de_c%C3%A2mbio" title="Taxa de câmbio">taxas de câmbio</a>, dados médicos como temperatura, <a href="/wiki/Press%C3%A3o_arterial" title="Pressão arterial">pressão sanguínea</a> e variações nos potenciais elétricos do cérebro registrados em um <a href="/wiki/Eletroencefalografia" title="Eletroencefalografia">eletroencefalograma</a>, fluxo turbulento de um líquido ou gás, variações no <a href="/wiki/Campo_magn%C3%A9tico_terrestre" title="Campo magnético terrestre">campo magnético da Terra</a>, mudanças aleatórias no nível de <a href="/wiki/Onda_de_r%C3%A1dio" title="Onda de rádio">sinais de rádio</a> sintonizados na presença de distúrbios meteorológicos, flutuação da corrente em um <a href="/wiki/Circuito_el%C3%A9trico" title="Circuito elétrico">circuito elétrico</a> na presença de <a href="/wiki/Ru%C3%ADdo_t%C3%A9rmico" title="Ruído térmico">ruído térmico</a>, movimentos aleatórios como o <a href="/wiki/Movimento_Browniano" class="mw-redirect" title="Movimento Browniano">movimento Browniano</a> ou <a href="/wiki/Passeio_aleat%C3%B3rio" title="Passeio aleatório">passeios aleatórios</a>, entre outros. </p><p>Uma generalização de um processo estocástico, o campo aleatório é definido ao permitir que as variáveis sejam parametrizadas por membros de um espaço topológico ao invés do tempo. Exemplos de campos aleatórios incluem imagens de estática, <a href="/wiki/Topografia" title="Topografia">topografia</a>, <a href="/wiki/Onda_oce%C3%A2nica_de_superf%C3%ADcie" title="Onda oceânica de superfície">ondas de superfície</a> e variações na composição de um <a href="/wiki/Mistura_heterog%C3%AAnea" class="mw-redirect" title="Mistura heterogênea">material heterogêneo</a>. </p><p>Mais genericamente, seguindo Kac<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> e Nelson,<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup> qualquer tipo de evolução temporal, determinística ou essencialmente probabilística, que seja analisável em termos de probabilidade pode ser chamada de processo estocástico. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definição_formal_e_propriedades_básicas"><span id="Defini.C3.A7.C3.A3o_formal_e_propriedades_b.C3.A1sicas"></span>Definição formal e propriedades básicas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Definição formal e propriedades básicas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Definição formal e propriedades básicas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definição"><span id="Defini.C3.A7.C3.A3o"></span>Definição</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Definição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Definição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dado um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_probabilidade" title="Espaço de probabilidade">espaço de probabilidade</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77104a5c3c49cc0634dcf6908db7ad45f738d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}"></span> e um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_mensur%C3%A1vel" title="Espaço mensurável">espaço mensurável</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (S,\Sigma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (S,\Sigma )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a345c3f30d6b3ee975e3afb6fa610cd3f67494e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.021ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (S,\Sigma )}"></span>, um <b>processo estocástico</b> de valor <i>S</i> é um conjunto de <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria" title="Variável aleatória">variáveis aleatórias</a> de valor <i>S</i> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"></span>, indexadas por um <a href="/wiki/Grupo_totalmente_ordenado" title="Grupo totalmente ordenado">conjunto totalmente ordenado</a> <i>T</i> ("tempo"). Isto é, um processo estocástico <i>X</i> é um conjunto </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dabc78a892b0f58506389792bd11df3bfe65ae8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}"></span></dd></dl> <p>onde cada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> é uma variável de aleatória de valor <i>S</i> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"></span>. O espaço <i>S</i> é então chamado de <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_estados" title="Espaço de estados">espaço de estados</a> do processo. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Distribuições_de_dimensões_finitas"><span id="Distribui.C3.A7.C3.B5es_de_dimens.C3.B5es_finitas"></span>Distribuições de dimensões finitas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Distribuições de dimensões finitas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Distribuições de dimensões finitas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Seja <i>X</i> um processo estocástico de valor <i>S</i>. Para cada sequência finita de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9966eba82d1b05867d44589e1b099bdd522b565a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.962ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}"></span>, o <i>k</i>-ésimo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de83d7eb1d8c7b8cc9be30ff7bceb0f114aca5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.798ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}"></span> é uma variável aleatória tendo valores em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfccba2f2e9650dca1133d3ada7e0e5f3bac7aa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.61ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{k}}"></span>. A distribuição <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>T</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2594e8405edce4b7ff465d18b3b00492d0e7c24d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:18.97ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}"></span> dessa variável aleatória é uma probabilidade medida em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfccba2f2e9650dca1133d3ada7e0e5f3bac7aa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.61ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{k}}"></span>. Isso é chamado uma distribuição finita de <i>X</i>. Sob restrições topológicas adequadas, uma coleção “consistente” de distribuições de dimensões finitas pode ser usada para definir um processo estocástico. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="História"><span id="Hist.C3.B3ria"></span>História</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: História" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: História"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estudos rigorosos sobre processos estocásticos começaram no final do Século XIX para ajudar a entender o mercado financeiro e o <a href="/wiki/Movimento_Browniano" class="mw-redirect" title="Movimento Browniano">movimento Browniano</a>. A primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em um artigo sobre o <a href="/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados" title="Método dos mínimos quadrados">método dos mínimos quadrados</a> publicado em 1880. De modo independente, <a href="/wiki/Louis_Bachelier" title="Louis Bachelier">Louis Bachelier</a> publicou em 1900 sua tese de PhD “A teoria da especulação”, em que ele apresenta uma análise estocástica dos mercados de ações e de opções. <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>, em um <a href="/wiki/%C3%9Cber_die_von_der_molekularkinetischen_Theorie_der_W%C3%A4rme_geforderte_Bewegung_von_in_ruhenden_Fl%C3%BCssigkeiten_suspendierten_Teilchen" title="Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen">artigo de 1905</a>, e Marian Smoluchowski, em 1906, trouxeram a solução do problema para a atenção dos físicos, apresentando-a como um modo indireto de confirmar a existência de átomos e moléculas. Suas equações descrevendo um movimento Browniano foram subsequentemente verificadas pelo trabalho experimental de Jean Baptiste Perrin em 1908. </p><p>Um trecho do artigo de Einstein descreve os fundamentos de um modelo estocástico: </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68288478">.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:#F1F1F1;border-left:3px solid #C7C7C7;font-size:100%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid #C7C7C7;border-top:1px solid #C7C7C7;margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}</style> <blockquote class="flexquote" style="padding:0 1.2em; border-left:5px solid #c8ccd1;margin:30px"><div class="w-quote-texto"><div class="poem"> <p>"Claramente deve se assumir que cada partícula individual executa um movimento que é independente dos movimentos de todas as outras partículas, também deve se considerar que o movimento de uma mesma partícula em intervalos de tempo diferentes são processos independentes, contanto que esses intervalos de tempo escolhidos não sejam muito pequenos<br /> <br /> Introduzimos um intervalo de tempo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> em consideração, que é muito pequeno comparado com os intervalos de tempo observáveis, mas ainda assim grande o suficiente para que em dois intervalos de tempos sucessivos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span>, os movimentos executados pela partícula podem ser pensados como eventos que são independentes entre si. </p> </div></div></blockquote> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construção"><span id="Constru.C3.A7.C3.A3o"></span>Construção</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Construção" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Construção"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Na <a href="/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico" title="Sistema axiomático">axiomatização</a> da <a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">teoria da probabilidade</a> por meio da <a href="/wiki/Medida_(matem%C3%A1tica)" title="Medida (matemática)">teoria da medida</a>, o problema é construir um <a href="/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra" title="Sigma-álgebra">sigma-álgebra</a> de subconjuntos mensuráveis do espaço de todas as funções, e então colocar nele uma medida finita. Para isso, normalmente se utiliza um método chamado extensão de Kolmogorov.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extensão_de_Kolmogorov"><span id="Extens.C3.A3o_de_Kolmogorov"></span>Extensão de Kolmogorov</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Extensão de Kolmogorov" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Extensão de Kolmogorov"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A extensão de Kolmogorov diz que, assumindo que um espaço de probabilidade no espaço de todas as funções <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd1e080abef4bbdab67b43819c6431e7561361c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\to Y}"></span> existe, então ele pode ser usado para especificar a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias de dimensões finitas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eb9454e1341840e00dafa41de6db8fd88d332e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}"></span>. Agora, a partir dessa distribuição de probabilidade <i>n</i>-dimensional se pode deduzir uma <a href="/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_marginal" title="Distribuição marginal">distribuição marginal</a> (<i>n</i> − 1)-dimensional para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55908f6557749e639b22bff8cfcbaf32547f5164" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})}"></span>. Note-se que a condição de compatibilidade óbvia, isto é, que a distribuição marginal esteja na mesma classe que a derivada de um processo estocástico completo, não é um requisito. Tal condição só se faz presente se, por exemplo, for um <a href="/wiki/Processo_de_Wiener" title="Processo de Wiener">processo de Wiener</a>, no qual as marginais são todas distribuições gaussianas de classe exponencial, mas não, em geral, para todos os processos estocásticos. Quando essa condição é expressa em termos de <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_densidade" class="mw-redirect" title="Função densidade">densidades de probabilidades</a>, o resultado é chamado de <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Chapman-Kolmogorov" title="Equação de Chapman-Kolmogorov">equação de Chapman-Kolmogorov</a>. O teorema da extensão de Kolmogorov garante a existência de um processo estocástico com uma dada família de distribuições de probabilidade de dimensões finitas satisfazendo a condição de compatibilidade de Chapman-Kolmogorov. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Separabilidade">Separabilidade</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Separabilidade" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Separabilidade"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Lembrando que na axiomatização de Kolmogorov, conjuntos mensuráveis são conjuntos que tem uma probabilidade, isto é, os conjuntos correspondem a questões sim/não que tem uma resposta probabilística. </p><p>A extensão de Kolmogorov começa ao declarer serem mensuráveis todos os conjuntos de funções onde uma quantidade finita de coordenadas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0039fe22d49daee6eb148604a65805718f5bfef3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]}"></span> são restringidas para um <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> mensurável de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19a1b3bf39298aacb7e2daeab9320130a986fb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.569ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{n}}"></span>. Em outras palavras, se uma questão sim/não sobre f pode ser respondida olhando os valores de no máximo um número finito de coordenadas, então ele tem uma resposta probabilística. </p><p>Em teoria das medidas, se você tem um conjunto infinito contável de conjuntos mensuráveis, então a união e intersecção de todos eles é um conjunto mensurável. Para esses propósitos, isso significa que uma questão sim/não que dependa de diversas coordenadas contáveis tem uma resposta probabilística. </p><p>A extensão de Kolmogorov permite construir processos estocásticos com distribuições de dimensão finita com uma certa arbitrariedade. Além disso, qualquer questão que se possa fazer sobre uma sequência tem uma resposta probabilística quando questionado sobre uma sequência aleatória. Mas certas questões sobre funções em um domínio contínuo não tem uma resposta probabilística, por depender de uma quantidade incontável de valores da função. Diversos conceitos de cálculo são desse tipo, como continuidade e diferenciabilidade. </p><p>Uma solução para esse problema é exigir que o processo estocástico seja separável. Em outras palavras, que exista um conjunto contável de coordenadas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{f(x_{i})\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{f(x_{i})\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632db21bef2ededaa27b67a78f696c9052ad0e16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.542ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{f(x_{i})\}}"></span> cujos valores determinam totalmente a função aleatória <i>f</i>. </p><p>O teorema da continuidade de Komlogorov garante que processos que satisfaçam certas restrições no momento dos seus incrementos terão modificações contínuas e são, portanto, separáveis. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Filtração"><span id="Filtra.C3.A7.C3.A3o"></span>Filtração</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Filtração" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Filtração"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dado um espaço de probabilidade <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77104a5c3c49cc0634dcf6908db7ad45f738d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}"></span>, uma <b>filtração</b> é uma coleção crescente de <a href="/wiki/Sigma-%C3%A1lgebra" title="Sigma-álgebra">sigma-álgebras</a> em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t},t\in T\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t},t\in T\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca683e4d865f05f3180f6804a796b982c02ad331" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.172ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t},t\in T\}}"></span>, indexados por um conjunto totalmente ordenado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span>, e limitado acima por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}"></span>, ou seja, para <i>s</i>,<i>t</i>  <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2415d728a2b1eb93f636a21799f3ba35d8df59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.832ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \in T}"></span> com <i>s</i> < <i>t</i>, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db36797ea37ac95fa216064ec73cf20727fbfca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.295ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}"></span>.</dd></dl> <p>Um processo estocástico <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> no mesmo tempo dado <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"></span> é dito como <b>adaptado</b> a filtração se, para cada t  <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in T}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2415d728a2b1eb93f636a21799f3ba35d8df59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.832ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \in T}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> é <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5209aeab53016ae720999b2a50e7f0bc27cb33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}"></span>-mensurável.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Filtração_natural"><span id="Filtra.C3.A7.C3.A3o_natural"></span>Filtração natural</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Filtração natural" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Filtração natural"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dado um processo estocástico <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\{X_{t}:t\in T\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>T</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\{X_{t}:t\in T\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c582f9ee2407a241d091d415fc852b29fcbee5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=\{X_{t}:t\in T\}}"></span>, a <b>filtração natural</b> para (ou induzida para) esse processo é a filtração na qual <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5209aeab53016ae720999b2a50e7f0bc27cb33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.497ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}"></span> é gerado por todos os valores de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{s}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{s}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1b40229a003b8b719a29ac70c15fe4f704a777" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.928ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{s}}"></span> até o tempo <i>s</i> = <i>t</i>, isto é <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{X_{s}^{-1}(A):s\leq t,A\in \Sigma \})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>s</mi> <mo>≤</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{X_{s}^{-1}(A):s\leq t,A\in \Sigma \})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403bc34534475ed6e637f0b385fe5120645ed204" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.203ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{X_{s}^{-1}(A):s\leq t,A\in \Sigma \})}"></span>. </p><p>Um processo estocástico é sempre adaptado à sua filtração natural. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Classificação"><span id="Classifica.C3.A7.C3.A3o"></span>Classificação</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Classificação" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Classificação"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Processos estocásticos podem ser classificados de acordo com a <a href="/wiki/Cardinalidade" title="Cardinalidade">cardinalidade</a> dos seus conjuntos indexados, normalmente interpretados como o tempo, e o espaço de estado. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_discreto"><span id="Tempo_discreto_e_espa.C3.A7o_de_estado_discreto"></span>Tempo discreto e espaço de estado discreto</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Tempo discreto e espaço de estado discreto" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Tempo discreto e espaço de estado discreto"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se ambos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> pertencerem a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"></span>, o conjunto de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturais</a>, então temos modelos que levam a uma <a href="/wiki/Cadeia_de_Markov" class="mw-redirect" title="Cadeia de Markov">cadeia de Markov</a>. Por exemplo: </p><p>(a) Se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> significa o bit (0 ou 1) na posição <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> de uma sequência de bits transmitidos, então <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> pode ser modelado como uma cadeia de Markov de dois estados. Isso leva ao algoritmo de Viterbi, para correção de erros em transmissão de dados. </p><p>(b) Se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82120d04dfb3cbadc4912951dd12b5568c9cd8f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.75ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{t}}"></span> representa o genótipo combinado de um casal reprodutor na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span><sup>-ésima</sup> geração em um modelo de endocruzamento, pode se mostrar que a proporção de indivíduos heterozigóticos na população se aproxima de zero quando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> tende ao ∞.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_contínuo"><span id="Tempo_cont.C3.ADnuo_e_espa.C3.A7o_de_estado_cont.C3.ADnuo"></span>Tempo contínuo e espaço de estado contínuo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Tempo contínuo e espaço de estado contínuo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Tempo contínuo e espaço de estado contínuo"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O paradigma de processo estocástico contínuo é o do processo de Wiener. Na sua forma original o problema tratava de uma partícula flutuando em uma superfície líquida, recebendo “impulsos” das moléculas do líquido. A partícula é então vista como sendo sujeito a forças aleatórias que, uma vez que as moléculas são muito pequenas e próximas, é tratado como contínuo, e como a partícula está restrita à superfície do líquido pela <a href="/wiki/Tens%C3%A3o_superficial" title="Tensão superficial">tensão superficial</a>, é em cada ponto do tempo um vetor paralelo à superfície. Assim, a força aleatória é descrita por um processo estocástico de dois componentes. Duas variáveis aleatórias de valores reais estão associadas a cada ponto do conjunto indexado, o tempo, com o domínio das duas variáveis aleatórias sendo <b>R</b>, dando os componentes <i>x</i> e <i>y</i> da força (notando que uma vez que o líquido é visto como homogêneo, a força é independente das coordenadas espaciais). Um tratamento de movimento Browniano normalmente também inclui o efeito da viscosidade, resultando em uma equação de movimento conhecida como <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Langevin" title="Equação de Langevin">equação de Langevin</a>.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tempo_discreto_e_espaço_de_estado_contínuo"><span id="Tempo_discreto_e_espa.C3.A7o_de_estado_cont.C3.ADnuo"></span>Tempo discreto e espaço de estado contínuo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Tempo discreto e espaço de estado contínuo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Tempo discreto e espaço de estado contínuo"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se o conjunto indexado do processo é <b>N</b> (os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturais</a>), e a imagem é <b>R</b> (os números reais), existem questões sobre a sequência de amostras de um processo {<b>X</b><sub><i>i</i></sub>}<sub><i>i</i> ∈ <b>N</b></sub>, onde uma amostra é {<b>X</b><sub><i>i</i></sub>(ω)}<sub><i>i</i> ∈ <b>N</b></sub>. </p> <ol><li>Qual é a <a href="/wiki/Probabilidade" title="Probabilidade">probabilidade</a> de que cada sequência de amostras é limitada? <a href="/w/index.php?title=Bounded_function&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bounded function (página não existe)">bounded</a>?</li> <li>Qual a probabilidade de que cada sequência de amostras é monotônica?</li> <li>Qual a probabilidade de que cada sequência de amostras tem um limite conforme o índice tende ao ∞?</li> <li>Qual a probabilidade de que a série obtida de uma sequência de amostras de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(i)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(i)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de02d30f303aef8641ffe02de0d367140bd4753d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.89ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(i)}"></span> convirja?</li> <li>Qual é a distribuição de probabilidade da soma?</li></ol> <p>As principais aplicações de modelos estocásticos de tempo discreto e estado contínuo incluem Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC) e a análise de <a href="/wiki/S%C3%A9rie_temporal" title="Série temporal">séries temporais</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tempo_contínuo_e_espaço_de_estado_discreto"><span id="Tempo_cont.C3.ADnuo_e_espa.C3.A7o_de_estado_discreto"></span>Tempo contínuo e espaço de estado discreto</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Tempo contínuo e espaço de estado discreto" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Tempo contínuo e espaço de estado discreto"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>De maneira similar, se o espaço indexado <i>I</i> é um intervalo finito ou infinito, se pode perguntar sobre os percursos da amostra {<b>X</b><sub><i>t</i></sub>(ω)}<sub><i>t </i> ∈ <i>I</i></sub> </p> <ol><li>Qual a probabilidade de que ele seja limitado ou integrável?</li> <li>Qual a probabilidade de que tenha um limite no ∞?</li> <li>Qual a distribuição de probabilidade da integral?</li></ol> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">M. Kac & J. Logan, in <i>Fluctuation Phenomena</i>, eds. E.W. Montroll & J.L. Lebowitz, North-Holland, Amsterdam, 1976</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">E. Nelson, <i>Quantum Fluctuations</i>, Princeton University Press, Princeton, 1985</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Karlin, Samuel & Taylor, Howard M. (1998). <i>An Introduction to Stochastic Modeling</i>, Academic Press. <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0126848874" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-12-684887-4</a>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Durrett, Rick (2010). <i>Probability: Theory and Examples</i> Fourth ed. Cambridge: Cambridge University Press. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-0-521-76539-8" title="Especial:Fontes de livros/978-0-521-76539-8">978-0-521-76539-8</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AProcesso+estoc%C3%A1stico&rft.aufirst=Rick&rft.aulast=Durrett&rft.btitle=Probability%3A+Theory+and+Examples&rft.date=2010&rft.edition=Fourth&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-521-76539-8&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Allen, Linda J. S., <i>An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, 2nd Edition</i>, Chapman and Hall, 2010, <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/1439818827" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 1-4398-1882-7</a></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Gardiner, C. <i>Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences</i>, 3rd ed., Springer, 2004, <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/3540208828" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3540208828</a></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=15" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=15" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Cadeias_de_Markov" title="Cadeias de Markov">Cadeias de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_browniano" title="Movimento browniano">Movimento browniano</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Chapman_Kolmogorov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chapman Kolmogorov (página não existe)">Chapman Kolmogorov</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas"><span id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"></span>Ligações externas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&veaction=edit&section=16" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Processo_estoc%C3%A1stico&action=edit&section=16" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://kuhn.usc.edu/breast_cancer/">«Aplicação na Dinâmica da Metástase do Câncer de Mama e Pulmão»</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AProcesso+estoc%C3%A1stico&rft.btitle=Aplica%C3%A7%C3%A3o+na+Din%C3%A2mica+da+Met%C3%A1stase+do+C%C3%A2ncer+de+Mama+e+Pulm%C3%A3o&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fkuhn.usc.edu%2Fbreast_cancer%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/playlist?list=PL1tkMA9lsTiVw9PzRcxpUBN4aArh948sK">«Processos Estocásticos: Curso com aplicações em Machine Learning, Robótica e Data Science - Aulas online do IPRJ/UERJ»</a>. (em português)</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AProcesso+estoc%C3%A1stico&rft.btitle=Processos+Estoc%C3%A1sticos%3A+Curso+com+aplica%C3%A7%C3%B5es+em+Machine+Learning%2C+Rob%C3%B3tica+e+Data+Science+-+Aulas+online+do+IPRJ%2FUERJ&rft.genre=unknown&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fplaylist%3Flist%3DPL1tkMA9lsTiVw9PzRcxpUBN4aArh948sK&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Processos_estocásticos" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Processos_estoc%C3%A1sticos" title="Predefinição:Processos estocásticos"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Processos_estoc%C3%A1sticos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Processos estocásticos (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Processos_estoc%C3%A1sticos&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Processos_estocásticos" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a class="mw-selflink selflink">Processos estocásticos</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Tempo discreto</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Cadeias_de_Markov" title="Cadeias de Markov">Cadeias de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Passeio_aleat%C3%B3rio" title="Passeio aleatório">Passeio aleatório</a> <ul><li><a href="/wiki/Caminho_autoevitante" title="Caminho autoevitante">Autoevitante</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Bernoulli" title="Processo de Bernoulli">Processo de Bernoulli</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Galton%E2%80%93Watson" title="Processo de Galton–Watson">Processo de Galton–Watson</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Moran" title="Processo de Moran">Processo de Moran</a></li> <li><a href="/wiki/Vari%C3%A1veis_aleat%C3%B3rias_independentes_e_identicamente_distribu%C3%ADdas" title="Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas">Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Tempo contínuo</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Processo_de_Bessel" title="Processo de Bessel">Processo de Bessel</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_browniano" title="Movimento browniano">Movimento browniano</a> <ul><li><a href="/wiki/Ponte_browniana" title="Ponte browniana">Ponte</a></li> <li><a href="/wiki/Excurs%C3%A3o_browniana" title="Excursão browniana">Excursão</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_browniano_fracion%C3%A1rio" title="Movimento browniano fracionário">Fracionário</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_browniano_geom%C3%A9trico" title="Movimento browniano geométrico">Geométrico</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Brownian_meander&action=edit&redlink=1" class="new" title="Brownian meander (página não existe)">Meander</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Cauchy" title="Processo de Cauchy">Processo de Cauchy</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Cox" title="Processo de Cox">Processo de Cox</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Feller" title="Processo de Feller">Processo de Feller</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Fleming%E2%80%93Viot" title="Processo de Fleming–Viot">Processo de Fleming–Viot</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Hunt" title="Processo de Hunt">Processo de Hunt</a></li> <li><a href="/wiki/Difus%C3%A3o_de_It%C3%B4" class="mw-redirect" title="Difusão de Itô">Difusão de Itô</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_It%C5%8D" title="Cálculo de Itō">Processo de Itô</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_L%C3%A9vy" title="Processo Lévy">Processo Lévy</a></li> <li><a href="/wiki/Tempo_local_(matem%C3%A1tica)" title="Tempo local (matemática)">Tempo local</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_aditivo_de_Markov" title="Processo aditivo de Markov">Processo aditivo de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_McKean%E2%80%93Vlasov" title="Processo de McKean–Vlasov">Processo de McKean–Vlasov</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_Ornstein%E2%80%93Uhlenbeck" title="Processo Ornstein–Uhlenbeck">Processo Ornstein–Uhlenbeck</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Poisson" title="Processo de Poisson">Processo de Poisson</a></li> <li><a href="/wiki/Evolu%C3%A7%C3%A3o_de_Schramm%E2%80%93Loewner" title="Evolução de Schramm–Loewner">Evolução de Schramm–Loewner</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Wiener" title="Processo de Wiener">Processo de Wiener</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_nascimento_e_morte" title="Processo de nascimento e morte">Processo de nascimento e morte</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_contato_(matem%C3%A1tica)" title="Processo de contato (matemática)">Processo de contato</a></li> <li><a href="/wiki/Passeio_aleat%C3%B3rio_de_tempo_cont%C3%ADnuo" title="Passeio aleatório de tempo contínuo">Passeio aleatório de tempo contínuo</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_emp%C3%ADrico" title="Processo empírico">Processo empírico</a></li> <li><a href="/wiki/Difus%C3%A3o_de_salto" title="Difusão de salto">Difusão de salto</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Ambos</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Processo_gaussiano" title="Processo gaussiano">Processo gaussiano</a></li> <li><a href="/wiki/Modelo_Galves-L%C3%B6cherbach" title="Modelo Galves-Löcherbach">Modelo Galves-Löcherbach</a></li> <li><a href="/wiki/Cadeias_estoc%C3%A1sticas_com_mem%C3%B3ria_de_alcance_vari%C3%A1vel" title="Cadeias estocásticas com memória de alcance variável">Cadeias estocásticas com memória de alcance variável</a></li> <li><a href="/wiki/Modelo_oculto_de_Markov" title="Modelo oculto de Markov">Modelo oculto de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Markov" class="mw-redirect" title="Processo de Markov">Processo de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Martingale" title="Martingale">Martingale</a></li> <li><a href="/wiki/Ru%C3%ADdo_branco" title="Ruído branco">Ruído branco</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_regenerativo" title="Processo regenerativo">Processo regenerativo</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Campos e outros</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Processo_de_Dirichlet" title="Processo de Dirichlet">Processo de Dirichlet</a></li> <li><a href="/wiki/Medida_de_Gibbs" title="Medida de Gibbs">Medida de Gibbs</a></li> <li><a href="/wiki/Modelo_de_Hopfield" title="Modelo de Hopfield">Modelo de Hopfield</a></li> <li><a href="/wiki/Modelo_de_Ising" title="Modelo de Ising">Modelo de Ising</a> <ul><li><a href="/wiki/Modelo_de_Potts" title="Modelo de Potts">Modelo de Potts</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Campo_aleat%C3%B3rio_de_Markov" title="Campo aleatório de Markov">Campo aleatório de Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Pitman%E2%80%93Yor" title="Processo de Pitman–Yor">Processo de Pitman–Yor</a></li> <li><a href="/wiki/Grafo_aleat%C3%B3rio" title="Grafo aleatório">Grafo aleatório</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/S%C3%A9rie_temporal" title="Série temporal">Modelos de série temporal</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Modelos_ARCH" title="Modelos ARCH">Modelos ARCH</a></li> <li><a href="/wiki/ARIMA" title="ARIMA">ARIMA</a></li> <li><a href="/wiki/ARMA" title="ARMA">ARMA</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Modelos financeiros</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Black%E2%80%93Derman%E2%80%93Toy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Black–Derman–Toy (página não existe)">Black–Derman–Toy</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Black%E2%80%93Karasinski&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Black–Karasinski (página não existe)">Black–Karasinski</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Chen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Chen (página não existe)">Chen</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Cox%E2%80%93Ingersoll%E2%80%93Ross&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Cox–Ingersoll–Ross (página não existe)">Cox–Ingersoll–Ross (CIR)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Garman%E2%80%93Kohlhagen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Garman–Kohlhagen (página não existe)">Garman–Kohlhagen</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Configura%C3%A7%C3%A3o_de_Heath%E2%80%93Jarrow%E2%80%93Morton&action=edit&redlink=1" class="new" title="Configuração de Heath–Jarrow–Morton (página não existe)">Heath–Jarrow–Morton (HJM)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Heston&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Heston (página não existe)">Heston</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Ho%E2%80%93Lee&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Ho–Lee (página não existe)">Ho–Lee</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_Hull%E2%80%93White&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo Hull–White (página não existe)">Hull–White</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_mercado_LIBOR&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de mercado LIBOR (página não existe)">LIBOR market</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Rendleman%E2%80%93Bartter&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Rendleman–Bartter (página não existe)">Rendleman–Bartter</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_volatilidade_SABR&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de volatilidade SABR (página não existe)">SABR volatility</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Vasicek&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Vasicek (página não existe)">Vašíček</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_investivemento_de_Wilkie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de investivemento de Wilkie (página não existe)">Wilkie</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Ci%C3%AAncias_atuariais" title="Ciências atuariais">Modelos atuariais</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_B%C3%BChlmann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Bühlmann (página não existe)">Bühlmann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Cram%C3%A9r%E2%80%93Lundberg&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Cramér–Lundberg (página não existe)">Cramér–Lundberg</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Modelo_de_Sparre%E2%80%93Anderson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelo de Sparre–Anderson (página não existe)">Sparre–Anderson</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_das_filas" title="Teoria das filas">Modelos de filas</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Fila_M/M/1" title="Fila M/M/1">Fila M/M/1</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Propriedades</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/C%C3%A0dl%C3%A0g" title="Càdlàg">Càdlàg</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_cont%C3%ADnuo_de_Feller" title="Processo contínuo de Feller">Processo contínuo de Feller</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_de_Gauss%E2%80%93Markov" title="Processo de Gauss–Markov">Gauss–Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Propriedade_Markoviana" class="mw-redirect" title="Propriedade Markoviana">Markov</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_estoc%C3%A1stico_cont%C3%ADnuo" title="Processo estocástico contínuo">Contínuo</a></li> <li><a href="/wiki/Reversibilidade_do_tempo" title="Reversibilidade do tempo">Reversível no tempo</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Teoremas limites</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Teorema_central_do_limite" title="Teorema central do limite">Teorema central do limite</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Donsker" title="Teorema de Donsker">Teorema de Donsker</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_erg%C3%B3dica" title="Teoria ergódica">Teoria ergódica</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Fisher%E2%80%93Tippett%E2%80%93Gnedenko" title="Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko">Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko</a></li> <li><a href="/wiki/Lei_dos_grandes_n%C3%BAmeros" title="Lei dos grandes números">Lei dos grandes números</a></li> <li><a href="/wiki/Lei_do_logaritmo_iterado" title="Lei do logaritmo iterado">Lei do logaritmo iterado</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Sanov" title="Teorema de Sanov">Teorema de Sanov</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Desigualdades" class="mw-redirect" title="Desigualdades">Desigualdades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Varia%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica#Martingales" title="Variação quadrática">Burkholder–Davis–Gundy</a></li> <li><a href="/wiki/Desigualdade_de_Kunita%E2%80%93Watanabe" title="Desigualdade de Kunita–Watanabe">Kunita–Watanabe</a></li> <li><a href="/wiki/Desigualdade_de_martingale_de_Doob" title="Desigualdade de martingale de Doob">Martingale de Doob</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Ferramentas</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/F%C3%B3rmula_de_Cameron%E2%80%93Martin" title="Fórmula de Cameron–Martin">Fórmula de Cameron–Martin</a></li> <li><a href="/wiki/Converg%C3%AAncia_de_vari%C3%A1veis_aleat%C3%B3rias" title="Convergência de variáveis aleatórias">Convergência de variáveis aleatórias</a></li> <li><a href="/wiki/Exponencial_de_Dol%C3%A9ans-Dade" title="Exponencial de Doléans-Dade">Exponencial de Doléans-Dade</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_da_decomposi%C3%A7%C3%A3o_de_Doob%E2%80%93Meyer" title="Teorema da decomposição de Doob–Meyer">Teorema da decomposição de Doob–Meyer</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%B3rmula_de_Dynkin" title="Fórmula de Dynkin">Fórmula de Dynkin</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%B3rmula_de_Feynman%E2%80%93Kac" title="Fórmula de Feynman–Kac">Fórmula de Feynman–Kac</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Girsanov" title="Teorema de Girsanov">Teorema de Girsanov</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_It%C5%8D" title="Cálculo de Itō">Integral de Itô</a></li> <li><a href="/wiki/Lema_de_It%C5%8D" title="Lema de Itō">Lema de Itō</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_da_continuidade_de_Kolmogorov" title="Teorema da continuidade de Kolmogorov">Teorema da continuidade de Kolmogorov</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_da_extens%C3%A3o_de_Kolmogorov" title="Teorema da extensão de Kolmogorov">Teorema da extensão de Kolmogorov</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9trica_de_L%C3%A9vy%E2%80%93Prokhorov" title="Métrica de Lévy–Prokhorov">Métrica de Lévy–Prokhorov</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_de_Prokhorov" title="Teorema de Prokhorov">Teorema de Prokhorov</a></li> <li><a href="/wiki/Integral_de_Skorokhod" title="Integral de Skorokhod">Integral de Skorokhod</a></li> <li><a href="/wiki/Teorema_da_representa%C3%A7%C3%A3o_de_Skorokhod" title="Teorema da representação de Skorokhod">Teorema da representação de Skorokhod</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A0dl%C3%A0g" title="Càdlàg">Espaço de Skorokhod</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_estoc%C3%A1stica" title="Equação diferencial estocástica">Equação diferencial estocástica</a> <ul><li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Tanaka" title="Equação de Tanaka">Tanaka</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Integral_de_Stratonovich" title="Integral de Stratonovich">Integral de Stratonovich</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Wiener" title="Espaço de Wiener">Espaço de Wiener</a> <ul><li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Wiener" title="Espaço de Wiener">Clássico</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Wiener_abstrato" title="Espaço de Wiener abstrato">Abstrato</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_da_reflex%C3%A3o" title="Princípio da reflexão">Princípio da reflexão</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Disciplinas</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Ci%C3%AAncias_atuariais" title="Ciências atuariais">Ciências atuariais</a></li> <li><a href="/wiki/Econometria" title="Econometria">Econometria</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_erg%C3%B3dica" title="Teoria ergódica">Teoria ergódica</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira" title="Matemática financeira">Matemática financeira</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_filas" title="Teoria das filas">Teoria das filas</a></li> <li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_estoc%C3%A1stico" title="Cálculo estocástico">Cálculo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9rie_temporal" title="Série temporal">Série temporal</a></li> <li><a href="/wiki/Aprendizado_de_m%C3%A1quina" title="Aprendizado de máquina">Aprendizado de máquina</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow hlist" colspan="2"><div> <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Processos_estoc%C3%A1sticos" title="Categoria:Processos estocásticos">Categoria:Processos estocásticos</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada" title="Predefinição:Matemática industrial e aplicada"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Matemática industrial e aplicada (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_industrial" title="Matemática industrial">matemática industrial</a> e <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">aplicada</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_computacional" title="Matemática computacional">Matemática computacional</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_computacional" title="Lógica computacional">Lógica computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Projeto_de_algoritmos" title="Projeto de algoritmos">Projeto</a> e <a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_algoritmos" title="Análise de algoritmos">análise de algoritmos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_c%C3%B3digos" title="Teoria de códigos">Teoria de códigos</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Matemática discreta</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_simb%C3%B3lica" title="Matemática simbólica">Álgebra computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_computacional_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria computacional dos números">Teoria computacional dos números</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">Combinatória</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">Geometria discreta</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física algébrica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_operadores&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra de operadores (página não existe)">Álgebra de operadores</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas_e_teoria_da_representa%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física de partículas e teoria da representação (página não existe)">Física de partículas e teoria da representação</a></li> <li><a href="/wiki/Grupo_de_renormaliza%C3%A7%C3%A3o" title="Grupo de renormalização">Grupo de renormalização</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria-M" title="Teoria-M">Teoria-M</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física analítica</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">Geometria diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier">Análise de Fourier</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_harm%C3%B3nica" title="Análise harmónica">Análise harmônica</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">Análise funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_operadores" title="Teoria dos operadores">Teoria dos operadores</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_da_aproxima%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da aproximação">Teoria da aproximação</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">Análise numérica</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_controle" title="Teoria de controle">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_varia%C3%A7%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Cálculo de variações">Cálculo variacional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade" title="Distribuição de probabilidade">Distribuições</a> de <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria" title="Variável aleatória">variáveis aleatórias</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Processo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_estoc%C3%A1stico" title="Cálculo estocástico">Cálculo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_da_decis%C3%A3o" title="Teoria da decisão">Teoria da decisão</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística</a></li> <li><a href="/wiki/Investiga%C3%A7%C3%A3o_operacional" title="Investigação operacional">Pesquisa operacional</a></li> <li><a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Otimização">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Economia_matem%C3%A1tica" title="Economia matemática">Economia matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira" title="Matemática financeira">Matemática financeira</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Outras aplicações</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (página não existe)">Aplicabilidade da matemática (filosofia)</a></li> <li><a href="/wiki/Biologia_te%C3%B3rica" title="Biologia teórica">Biologia</a></li> <li><a href="/wiki/Qu%C3%ADmica_matem%C3%A1tica" title="Química matemática">Química</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Psicologia_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Psicologia matemática (página não existe)">Psicologia</a></li> <li><a href="/wiki/Sociologia_matem%C3%A1tica" title="Sociologia matemática">Sociologia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div> <ul><li><b><a href="/wiki/Categoria:Matem%C3%A1tica" title="Categoria:Matemática">Categoria</a></b></li> <li><a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal de matemática</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <ul class="noprint navigation-box" style="border-top: solid silver 1px; border-right: solid silver 1px; border-bottom:1px solid silver; border-left: solid silver 1px; padding:3px; background-color: #F9F9F9; text-align: center; margin-top:10px; margin-left: 0; clear: both;"><li style="display: inline;"><span style="white-space: nowrap; margin: auto 1.5em"><span style="margin-right: 0.5em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Fisher_iris_versicolor_sepalwidth.svg" title="Portal de probabilidade e estatística"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Fisher_iris_versicolor_sepalwidth.svg/25px-Fisher_iris_versicolor_sepalwidth.svg.png" decoding="async" width="25" 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