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class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cálculo_lógico" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Cálculo_lógico"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Cálculo lógico</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Cálculo_lógico-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Cálculo lógico</span> </button> <ul id="toc-Cálculo_lógico-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Sistematización_de_un_cálculo_de_deducción_natural" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sistematización_de_un_cálculo_de_deducción_natural"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Sistematización de un cálculo de deducción natural</span> </div> </a> <ul id="toc-Sistematización_de_un_cálculo_de_deducción_natural-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Reglas_de_formación_de_fórmulas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Reglas_de_formación_de_fórmulas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.1</span> <span>Reglas de formación de fórmulas</span> </div> </a> <ul id="toc-Reglas_de_formación_de_fórmulas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Reglas_de_transformación_de_fórmulas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Reglas_de_transformación_de_fórmulas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.2</span> <span>Reglas de transformación de fórmulas</span> </div> </a> <ul id="toc-Reglas_de_transformación_de_fórmulas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Esquemas_de_inferencia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Esquemas_de_inferencia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Esquemas de inferencia</span> </div> </a> <ul id="toc-Esquemas_de_inferencia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_lenguaje_natural_como_modelo_de_un_cálculo_lógico" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_lenguaje_natural_como_modelo_de_un_cálculo_lógico"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico</span> </div> </a> <ul id="toc-El_lenguaje_natural_como_modelo_de_un_cálculo_lógico-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enlaces_externos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enlaces_externos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Enlaces externos</span> </div> </a> <ul id="toc-Enlaces_externos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Cálculo</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 1 idioma" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-1" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">1 idioma</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%A0lcul_(matem%C3%A0tiques)" title="Càlcul (matemàtiques) (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Càlcul (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q48782649#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%A1lculo" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discusi%C3%B3n:C%C3%A1lculo" rel="discussion" title="Discusión acerca de la página [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">español</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistas"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%A1lculo"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=history" title="Versiones anteriores de esta página [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Herramientas" > 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class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><span class="mw-redirectedfrom">(Redirigido desde «<a href="/w/index.php?title=Calculo&redirect=no" class="mw-redirect" title="Calculo">Calculo</a>»)</span></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><div class="rellink noprint hatnote"> Para otros usos de este término, véase <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_(desambiguaci%C3%B3n)" class="mw-disambig" title="Cálculo (desambiguación)">Cálculo (desambiguación)</a>.</div> <div class="rellink noprint hatnote"> Para cálculo infinitesimal (diferencial o integral), véase <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">Cálculo infinitesimal</a>.</div> <div class="rellink noprint hatnote"> Para el estudio de los números reales, los complejos, los vectores y sus funciones, véase <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">Análisis matemático</a>.</div> <p>En general el término <b>cálculo</b> (del <a href="/wiki/Lat%C3%ADn" title="Latín">latín</a> <i>calculus</i>, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. <i>Calcular</i>, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. </p><p>No obstante, el uso más común del término «cálculo» es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico o <a href="/wiki/Algoritmo" title="Algoritmo">algoritmo</a>, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de las variables previamente conocidas debidamente <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalizadas</a> y <a href="/wiki/S%C3%ADmbolo" title="Símbolo">simbolizadas</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cálculo_como_razonamiento_y_cálculo_lógico-matemático"><span id="C.C3.A1lculo_como_razonamiento_y_c.C3.A1lculo_l.C3.B3gico-matem.C3.A1tico"></span>Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=1" title="Editar sección: Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable" align="right" border="1;" style="width:450px"> <tbody><tr> <th>Ejemplo de aplicación de un cálculo algebraico a la resolución de un problema, según la interpretación de una teoría física. </th></tr> <tr> <td> <dl><dd>La expresión del cálculo algebraico <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=xt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=xt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b601c46bfd28a0786e862319711d0df6c77fdbe0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.423ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y=xt}"></span>, indica las relaciones sintácticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.</dd> <dd>Pero si interpretamos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> como espacio, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> como velocidad y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> como tiempo, tal ecuación modeliza una teoría física que establece que el espacio recorrido por un móvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.</dd> <dd>Al mismo tiempo, según dicha teoría, sirve para resolver el problema de calcular cuántos kilómetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido. <ul><li>240 kilómetros recorridos = 60 km/h x 4 h</li></ul></dd></dl> </td></tr></tbody></table> <p>Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como <a href="/wiki/Razonamiento" title="Razonamiento">razonamiento</a> es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalizarse</a>. </p><p>Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de <b>operaciones</b>: </p> <ol><li>Operaciones orientadas hacia la consecución de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de <a href="/wiki/Argumento" title="Argumento">argumento</a> o razones que justifican una finalidad práctica o cognoscitiva.</li> <li>Operaciones formales como <a href="/wiki/Algoritmo" title="Algoritmo">algoritmo</a> que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simbólicos de la interpretación lógico-matemática de dichos datos; las posibles <a href="/wiki/Conclusi%C3%B3n" title="Conclusión">conclusiones</a>, <a href="/wiki/Inferencia" title="Inferencia">inferencias</a> o <a href="/wiki/Razonamiento_deductivo" title="Razonamiento deductivo">deducciones</a> de dicho algoritmo son el resultado de la aplicación de reglas estrictamente establecidas de antemano.</li></ol> <dl><dd>Resultado que es: <dl><dd><a href="/wiki/Conclusi%C3%B3n" title="Conclusión">Conclusión</a> de un proceso de razonamiento.</dd> <dd>Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolución de problemas).</dd> <dd><a href="/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico" title="Modelo científico">Modelo</a> de relaciones previamente establecido como teoría científica y significativo respecto a determinadas realidades (Creación de modelos científicos).</dd> <dd>Mero juego formal simbólico de fundamentación, creación y aplicación de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Cálculo lógico-matemático, propiamente dicho).</dd></dl></dd></dl> <p>Dada la importancia que históricamente ha adquirido la actividad lógico-matemática en la cultura humana el presente artículo se refiere a este último sentido. </p><p> De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este ámbito de aplicación; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de cálculo matemático, pues en algunas universidades se llamaba «Cálculo» a una asignatura específica de cálculo matemático (como puede ser el <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo infinitesimal</a>, <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a>, <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial" title="Cálculo diferencial">cálculo diferencial e integral</a>, etc.). </p><p>En un artículo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el cálculo lógico-matemático en la actualidad. </p><p> Aquí se expone solamente el fundamento de sus elementos más simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los cálculos más complejos tanto en el aspecto lógico como en el matemático. </p><div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historia_del_cálculo"><span id="Historia_del_c.C3.A1lculo"></span>Historia del cálculo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=2" title="Editar sección: Historia del cálculo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Historia_del_c%C3%A1lculo" title="Historia del cálculo"> Historia del cálculo</a></i></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="De_la_Antigüedad"><span id="De_la_Antig.C3.BCedad"></span>De la Antigüedad</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=3" title="Editar sección: De la Antigüedad"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:RomanAbacusRecon.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/RomanAbacusRecon.jpg/220px-RomanAbacusRecon.jpg" decoding="async" width="220" height="175" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b5/RomanAbacusRecon.jpg 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="239" /></a><figcaption>Reconstrucción de un <a href="/wiki/%C3%81baco" title="Ábaco">ábaco</a> romano.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Kugleramme.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kugleramme.jpg/220px-Kugleramme.jpg" decoding="async" width="220" height="235" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kugleramme.jpg/330px-Kugleramme.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Kugleramme.jpg/440px-Kugleramme.jpg 2x" data-file-width="1675" data-file-height="1793" /></a><figcaption>Un ábaco moderno.</figcaption></figure> <p>El término «cálculo» procede del <a href="/wiki/Lat%C3%ADn" title="Latín">latín</a> <i>calculus</i>, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente, tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el <a href="/wiki/%C3%81baco" title="Ábaco">ábaco</a> romano que, junto con el <i><a href="/wiki/Suanpan" title="Suanpan">suanpan</a></i> chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar. </p><p>Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, <a href="/wiki/Eudoxo_de_Cnido" title="Eudoxo de Cnido">Eudoxo</a> en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como <a href="/wiki/Diofanto" class="mw-redirect" title="Diofanto">Diofanto</a> precursor del <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a>. </p><p>Se considera que <a href="/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a> fue uno de los <a href="/wiki/Matem%C3%A1tico" title="Matemático">matemáticos</a> más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Usó el <a href="/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo" class="mw-redirect" title="Método exhaustivo">método exhaustivo</a> para calcular el <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a> bajo el arco de una <a href="/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)" title="Parábola (matemática)">parábola</a> con el <a href="/wiki/Serie_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Serie matemática">sumatorio de una serie infinita</a>, y dio una aproximación extremadamente precisa del <a href="/wiki/N%C3%BAmero_Pi" class="mw-redirect" title="Número Pi">número Pi</a>.<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> También definió la <a href="/wiki/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedes" title="Espiral de Arquímedes">espiral que lleva su nombre</a>, fórmulas para los <a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">volúmenes</a> de las <a href="/wiki/Superficie_de_revoluci%C3%B3n" title="Superficie de revolución">superficies de revolución</a> y un ingenioso sistema para expresar números muy largos. </p><p>La consideración del cálculo como una <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">forma</a> de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a <a href="/wiki/Arist%C3%B3teles" title="Aristóteles">Aristóteles</a>, quien en sus escritos lógicos fue el primero en <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalizar</a> y simbolizar los tipos de razonamientos <a href="/wiki/Categ%C3%B3rico" class="mw-disambig" title="Categórico">categóricos</a> (<a href="/wiki/Silogismo" title="Silogismo">silogismos</a>). Este trabajo sería completado más tarde por los <a href="/wiki/Estoicismo" title="Estoicismo">estoicos</a>, los <a href="/wiki/Megara" class="mw-redirect" title="Megara">megáricos</a>, la <a href="/wiki/Escol%C3%A1stica" title="Escolástica">Escolástica</a>. </p><p>Los <a href="/wiki/Algoritmo" title="Algoritmo">algoritmos</a> actuales del <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_aritm%C3%A9tico" class="mw-redirect" title="Cálculo aritmético">cálculo aritmético</a>, utilizados universalmente, son fruto de un largo proceso histórico. De vital importancia son las aportaciones de Muhammad ibn <a href="/wiki/Al-Juarismi" title="Al-Juarismi">al-Juarismi</a> en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">IX</span>;<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIII</span>, <a href="/wiki/Fibonacci" class="mw-redirect" title="Fibonacci">Fibonacci</a> introduce en Europa la representación de los <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_ar%C3%A1bigos" class="mw-redirect" title="Números arábigos">números arábigos</a> del <a href="/wiki/Sistema_decimal" class="mw-redirect" title="Sistema decimal">sistema decimal</a>. Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el <a href="/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal" title="Sistema de numeración decimal">sistema decimal</a> de diez cifras con valor posicional. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.<sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo. </p><p>El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la <a href="/wiki/Universidad_de_Oxford" title="Universidad de Oxford">Universidad de Oxford</a> en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIV</span>.<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de <a href="/wiki/Raimundo_Lulio" class="mw-redirect" title="Raimundo Lulio">Raimundo Lulio</a> en su <i>Ars Magna</i> </p><p>A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>. </p><p>A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos.<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> De especial importancia es la creación del sistema contable por <a href="/wiki/Partida_doble" title="Partida doble">partida doble</a> recomendado por <a href="/wiki/Luca_Pacioli" title="Luca Pacioli">Luca Pacioli</a> fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.<sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Renacimiento">Renacimiento</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=4" title="Editar sección: Renacimiento"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El sistema que usamos actualmente fue introducido por <a href="/wiki/Luca_Pacioli" title="Luca Pacioli">Luca Pacioli</a> en 1494, el cual fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista. </p><p>El desarrollo del <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a> (con la introducción de un <a href="/wiki/Sistema" title="Sistema">sistema</a> de <a href="/wiki/S%C3%ADmbolo" title="Símbolo">símbolos</a> por un lado, y la resolución de problemas por medio de las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n" title="Ecuación">ecuaciones</a>) vino de la mano de los grandes matemáticos de la época renacentista como <a href="/wiki/Tartaglia" class="mw-redirect" title="Tartaglia">Tartaglia</a>, <a href="/wiki/Simon_Stevin" title="Simon Stevin">Stevin</a>, <a href="/wiki/Gerolamo_Cardano" title="Gerolamo Cardano">Cardano</a> o <a href="/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" title="François Viète">Vieta</a> y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época, que dieron como consecuencia los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgiría en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span>.<sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Siglos_XVII_y_XVIII">Siglos <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span> y <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVIII</span></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=5" title="Editar sección: Siglos XVII y XVIII"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Leibniz_binary_system_1703.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/220px-Leibniz_binary_system_1703.png" decoding="async" width="220" height="296" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/330px-Leibniz_binary_system_1703.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Leibniz_binary_system_1703.png/440px-Leibniz_binary_system_1703.png 2x" data-file-width="727" data-file-height="979" /></a><figcaption>Página del artículo de <a href="/wiki/Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a> "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705</figcaption></figure> <p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span> el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados <a href="/wiki/Descartes" class="mw-redirect" title="Descartes">Descartes</a>,<sup id="cite_ref-11" class="reference separada"><a href="#cite_note-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Pascal</a><sup id="cite_ref-12" class="reference separada"><a href="#cite_note-12"><span class="corchete-llamada">[</span>12<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> y, finalmente, <a href="/wiki/Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a> y <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a><sup id="cite_ref-13" class="reference separada"><a href="#cite_note-13"><span class="corchete-llamada">[</span>13<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> con el <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo infinitesimal</a> que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo. </p><p>El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real,<sup id="cite_ref-14" class="reference separada"><a href="#cite_note-14"><span class="corchete-llamada">[</span>14<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n" title="Ecuación">relaciones matemáticas</a> entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> que, debido a esto, es tomada como nuevo <a href="/wiki/Revoluci%C3%B3n_cient%C3%ADfica" title="Revolución científica">modelo de Ciencia</a> frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como <a href="/wiki/Filosof%C3%ADa_natural" class="mw-redirect" title="Filosofía natural">filosofía de la naturaleza</a> y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales. </p><p>A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer <a href="/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico" title="Modelo matemático">modelos</a> sobre la realidad física, cuya comprobación <a href="/wiki/Experimento" title="Experimento">experimental</a><sup id="cite_ref-15" class="reference separada"><a href="#cite_note-15"><span class="corchete-llamada">[</span>15<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> supone la <a href="/wiki/Verificaci%C3%B3n" title="Verificación">confirmación</a> de la teoría como <a href="/wiki/Sistema" title="Sistema">sistema</a>. Es el momento de la consolidación del llamado <a href="/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfico" title="Método científico">método científico</a> cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.<sup id="cite_ref-16" class="reference separada"><a href="#cite_note-16"><span class="corchete-llamada">[</span>16<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Siglos_XIX_y_XX">Siglos <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> y <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=6" title="Editar sección: Siglos XIX y XX"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:George_Boole.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/George_Boole.jpg/220px-George_Boole.jpg" decoding="async" width="220" height="269" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/George_Boole.jpg/330px-George_Boole.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/George_Boole.jpg 2x" data-file-width="392" data-file-height="480" /></a><figcaption><a href="/wiki/George_Boole" title="George Boole">George Boole</a> </figcaption></figure> <p>Durante el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> y <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span> el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc., así como en astronomía fue impresionante. Las <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_no_euclidiana" title="Geometría no euclidiana">geometrías no euclidianas</a> encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un <a href="/wiki/Espacio_de_configuraci%C3%B3n" title="Espacio de configuración">espacio de configuración</a> o <a href="/wiki/Espacio_de_fases" class="mw-redirect" title="Espacio de fases">espacio de fases</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">teoría de la relatividad</a>, la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>, la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_cuerdas" title="Teoría de cuerdas">teoría de cuerdas</a>, etc., que cambia por completo la imagen del mundo físico. </p><p>La lógica asimismo sufrió una transformación radical.<sup id="cite_ref-17" class="reference separada"><a href="#cite_note-17"><span class="corchete-llamada">[</span>17<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria. </p><p>En la segunda mitad del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> y primer tercio del <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>, a partir del intento de <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalización</a> de todo el sistema matemático, <a href="/wiki/Frege" class="mw-redirect" title="Frege">Frege</a>, y de matematización de la lógica, (<a href="/wiki/Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bolzano</a>, <a href="/wiki/Boole" class="mw-redirect" title="Boole">Boole</a>, <a href="/wiki/Whitehead" class="mw-redirect" title="Whitehead">Whitehead</a>, <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Russell</a>) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como «objeto» conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantor</a>. </p><p>Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como <a href="/wiki/L%C3%B3gica_modal" title="Lógica modal">lógicas modales</a> y <a href="/wiki/L%C3%B3gica_polivalente" class="mw-redirect" title="Lógica polivalente">lógicas polivalentes</a>. </p><p>Los intentos de <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomatizar</a> el cálculo como cálculo perfecto por parte de <a href="/wiki/Hilbert" class="mw-redirect" title="Hilbert">Hilbert</a> y <a href="/wiki/Poincar%C3%A9" class="mw-redirect" title="Poincaré">Poincaré</a>, llevaron, como consecuencia de diversas <a href="/wiki/Paradoja" title="Paradoja">paradojas</a> (Cantor, Russell, etc.) a nuevos intentos de axiomatización, <a href="/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel" title="Axiomas de Zermelo-Fraenkel">Axiomas de Zermelo-Fraenkel</a> y a la demostración de <a href="/wiki/Teorema_de_G%C3%B6del" class="mw-redirect" title="Teorema de Gödel">Gödel</a> de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: <a href="/wiki/Consistencia_(l%C3%B3gica)" title="Consistencia (lógica)">consistente</a>, <a href="/wiki/Decidibilidad" title="Decidibilidad">decidible</a> y <a href="/wiki/Completitud_sem%C3%A1ntica" class="mw-redirect" title="Completitud semántica">completo</a> en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Actualidad">Actualidad</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=7" title="Editar sección: Actualidad"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la <a href="/wiki/Puerta_l%C3%B3gica" title="Puerta lógica">lógica de circuitos</a> electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas <a href="/wiki/Computaci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Computación">computadoras</a>. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por <a href="/wiki/Segundo" title="Segundo">segundo</a>. </p><p>El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la <a href="/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico" title="Modelo matemático">modelización</a> de las <a href="/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico" title="Modelo científico">teorías científicas</a>, adquiriendo especial relevancia en ello el <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico" class="mw-redirect" title="Cálculo numérico">cálculo numérico</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cálculo_infinitesimal:_breve_reseña"><span id="C.C3.A1lculo_infinitesimal:_breve_rese.C3.B1a"></span>Cálculo infinitesimal: breve reseña</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=8" title="Editar sección: Cálculo infinitesimal: breve reseña"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal"> Cálculo infinitesimal</a></i></div> <p>El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad «cálculo», tiene su origen en la antigua <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a> griega. <a href="/wiki/Dem%C3%B3crito" title="Demócrito">Demócrito</a> calculó el volumen de <a href="/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)" title="Pirámide (geometría)">pirámides</a> y <a href="/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)" title="Cono (geometría)">conos</a> considerándolos formados por un número <a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">infinito</a> de secciones de grosor <a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal">infinitesimal</a> (infinitamente pequeño). <a href="/wiki/Eudoxo" class="mw-disambig" title="Eudoxo">Eudoxo</a> y <a href="/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a> utilizaron el «<a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_agotamiento" class="mw-redirect" title="Método de agotamiento">método de agotamiento</a>» o exhaución para encontrar el área de un <a href="/wiki/C%C3%ADrculo" title="Círculo">círculo</a> con la exactitud finita requerida mediante el uso de <a href="/wiki/Pol%C3%ADgono" title="Polígono">polígonos</a> regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico <a href="/wiki/Pappus_de_Alejandr%C3%ADa" class="mw-redirect" title="Pappus de Alejandría">Pappus de Alejandría</a> hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con <a href="/wiki/N%C3%BAmeros_Irracionales" class="mw-redirect" title="Números Irracionales">números irracionales</a> y las <a href="/wiki/Paradoja" title="Paradoja">paradojas</a> de <a href="/wiki/Zen%C3%B3n_de_Elea" title="Zenón de Elea">Zenón de Elea</a> impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo. </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span>, <a href="/wiki/Cavalieri" class="mw-disambig" title="Cavalieri">Cavalieri</a> y <a href="/wiki/Torricelli" class="mw-disambig" title="Torricelli">Torricelli</a> ampliaron el uso de los infinitesimales, <a href="/wiki/Descartes" class="mw-redirect" title="Descartes">Descartes</a> y <a href="/wiki/Fermat" class="mw-redirect" title="Fermat">Fermat</a> utilizaron el <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a> para encontrar el <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a> y las <a href="/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)" title="Tangente (geometría)">tangentes</a> (<a href="/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración">integración</a> y <a href="/wiki/Derivaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Derivación (matemática)">derivación</a> en términos modernos). <a href="/wiki/Fermat" class="mw-redirect" title="Fermat">Fermat</a> e <a href="/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a> tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> (hacia 1660), en Inglaterra y <a href="/wiki/Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a> en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como <a href="/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo">teorema fundamental del cálculo</a>. Leibniz es el creador del simbolismo de la derivada, diferencial y la ∫ estilizada para la integración, en vez de la I de Bernoulli. Usó el nombre de cálculo diferencial y el nombre de cálculo integral propuso Juan Bernoulli, que sustituyó al nombre de 'cálculo sumatorio' de Leibniz. La simbología de Leibniz impulsó el avance del cálculo en Europa continental.<sup id="cite_ref-18" class="reference separada"><a href="#cite_note-18"><span class="corchete-llamada">[</span>18<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>El descubrimiento de <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a>, a partir de su <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_gravitaci%C3%B3n_universal" class="mw-redirect" title="Teoría de la gravitación universal">teoría de la gravitación universal</a>, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el marco de su tratado «Principios matemáticos de filosofía natural», obra científica por excelencia, llamando a su método de «fluxiones». Leibniz utilizó el cálculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como límite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó por adoptarse la <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Leibniz" title="Notación de Leibniz">notación de Leibniz</a> por su versatilidad. </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVIII</span> aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era aún vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo <a href="/wiki/George_Berkeley" title="George Berkeley">George Berkeley</a>. </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: <a href="/wiki/Bernard_Bolzano" title="Bernard Bolzano">Bolzano</a> y <a href="/wiki/Cauchy" class="mw-redirect" title="Cauchy">Cauchy</a> definieron con precisión los conceptos de <a href="/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n" title="Límite de una función">límite</a> en términos de épsilon-delta y de <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_derivada" class="mw-redirect" title="Función derivada">derivada</a>, <a href="/wiki/Cauchy" class="mw-redirect" title="Cauchy">Cauchy</a> y <a href="/wiki/Riemann" class="mw-redirect" title="Riemann">Riemann</a> hicieron lo propio con las <a href="/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración">integrales</a>, y <a href="/wiki/Julius_Wilhelm_Richard_Dedekind" class="mw-redirect" title="Julius Wilhelm Richard Dedekind">Dedekind</a> y <a href="/wiki/Weierstrass" class="mw-redirect" title="Weierstrass">Weierstrass</a> con los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a>. Fue el periodo de la fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_continua" title="Función continua">funciones continuas</a> son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>, el análisis no convencional, legitimó el uso de los <a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal">infinitesimales</a>, al mismo tiempo que la aparición de las <a href="/wiki/Computadoras" class="mw-redirect" title="Computadoras">computadoras</a> ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo. </p><p>Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuaciones diferenciales</a>, al <a href="/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial">cálculo de vectores</a>, al <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_variaciones" title="Cálculo de variaciones">cálculo de variaciones</a>, al <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_complejo" title="Análisis complejo">análisis complejo</a> y a las <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa_algebraica" title="Topología algebraica">topología algebraica</a> y <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa_diferencial" title="Topología diferencial">topología diferencial</a> entre muchas otras ramas. </p><p>El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc., hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc. </p><p>Como complemento del cálculo, en relación con sistemas teóricos o físicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática discreta. </p><p>Recientemente, se ha desarrollado el <b><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_Fraccional_de_Conjuntos" class="mw-redirect" title="Cálculo Fraccional de Conjuntos">Cálculo Fraccional de Conjuntos</a></b> (en inglés, Fractional Calculus of Sets o FCS) como una metodología derivada del <b><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_fraccional" title="Cálculo fraccional">Cálculo Fraccional</a></b>. Esta metodología, mencionada por primera vez en el artículo "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",<sup id="cite_ref-19" class="reference separada"><a href="#cite_note-19"><span class="corchete-llamada">[</span>19<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> tiene como objetivo caracterizar y organizar los elementos del cálculo fraccional mediante el uso de conjuntos, aprovechando la variedad de operadores fraccionales disponibles en la literatura.<sup id="cite_ref-20" class="reference separada"><a href="#cite_note-20"><span class="corchete-llamada">[</span>20<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-21" class="reference separada"><a href="#cite_note-21"><span class="corchete-llamada">[</span>21<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-22" class="reference separada"><a href="#cite_note-22"><span class="corchete-llamada">[</span>22<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-23" class="reference separada"><a href="#cite_note-23"><span class="corchete-llamada">[</span>23<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-24" class="reference separada"><a href="#cite_note-24"><span class="corchete-llamada">[</span>24<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-25" class="reference separada"><a href="#cite_note-25"><span class="corchete-llamada">[</span>25<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832b3cbc24f8c001258ac74ba628b471c44c4249" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.313ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}"></span></center> <p>Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \to n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \to n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcf2630f1288ca3aae1051566522cdbe72bbb25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.496ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \to n}"></span>. Considerando una función escalar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd7598c3534001e32048fe58af9ea0705dd735c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.921ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"></span> y la base canónica de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"></span> denotada por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76c1569567614376c3e99dde8aa2688ac1cf6ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.894ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}"></span>, el siguiente operador fraccional de orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> se define utilizando <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Einstein" class="mw-redirect" title="Notación de Einstein">notación de Einstein</a>:<sup id="cite_ref-26" class="reference separada"><a href="#cite_note-26"><span class="corchete-llamada">[</span>26<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c91f073ff1377804e598fde7d86cdde06babec8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.552ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}"></span></center> <p>Denotando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{k}^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{k}^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462e21a8961b1d3cc868bf005a73683816c30d45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{k}^{n}}"></span> como la derivada parcial de orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> con respecto al componente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-ésimo del vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales: </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> y </mtext> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8407e59a18cad1077f07b4d0d3ae6f5697c5b7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:59.232ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\}.}"></span></center> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Cálculo_lógico"><span id="C.C3.A1lculo_l.C3.B3gico"></span>Cálculo lógico</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=9" title="Editar sección: Cálculo lógico"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico"> Cálculo lógico</a></i></div> <p>El <b>cálculo lógico</b> es un sistema de reglas de <a href="/wiki/Inferencia" title="Inferencia">inferencia</a> o <a href="/wiki/Razonamiento_deductivo" title="Razonamiento deductivo">deducción</a> de un enunciado a partir de otro u otros. El cálculo lógico requiere un conjunto <a href="/wiki/Consistencia_l%C3%B3gica" class="mw-redirect" title="Consistencia lógica">consistente</a> de <a href="/wiki/Axiomas" class="mw-redirect" title="Axiomas">axiomas</a> y unas <a href="/wiki/Reglas_de_inferencia" class="mw-redirect" title="Reglas de inferencia">reglas de inferencia</a>; su propósito es poder deducir algorítmicamente <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposiciones lógicas</a> verdaderas a partir de dichos axiomas. La <a href="/wiki/Inferencia" title="Inferencia">inferencia</a> es una operación lógica que consiste en obtener una <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n_l%C3%B3gica" class="mw-redirect" title="Proposición lógica">proposición lógica</a> como <a href="/wiki/Conclusi%C3%B3n" title="Conclusión">conclusión</a> a partir de otra(s) (<a href="/wiki/Premisas" class="mw-redirect" title="Premisas">premisas</a>) mediante la aplicación de <a href="/wiki/Regla_de_inferencia" title="Regla de inferencia">reglas de inferencia</a>.<sup id="cite_ref-27" class="reference separada"><a href="#cite_note-27"><span class="corchete-llamada">[</span>27<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Informalmente interpretamos que alguien infiere —o deduce— <i>T</i> de <i>R</i> si acepta que si <i>R</i> tiene valor de verdad V, entonces, <a href="/wiki/Necesario" title="Necesario">necesariamente</a>, <i>T</i> tiene valor de verdad V. Sin embargo, en el enfoque moderno del cálculo lógico no es necesario acudir al concepto de verdad, para construir el cálculo lógico. </p><p>Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos —supuestamente <a href="/wiki/Verdad" title="Verdad">verdaderos</a> y <a href="/wiki/Validez_(epistemolog%C3%ADa)" title="Validez (epistemología)">válidos</a>— para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.<sup id="cite_ref-28" class="reference separada"><a href="#cite_note-28"><span class="corchete-llamada">[</span>28<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>La lógica, como <a href="/wiki/Ciencia_formal" class="mw-redirect" title="Ciencia formal">ciencia formal</a>, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados —premisas- en otros -conclusiones— con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es <a href="/wiki/Necesario" title="Necesario">necesariamente</a> verdadera. </p><p>Al aplicar las reglas de un <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico">cálculo lógico</a> a los <a href="/wiki/Enunciado" title="Enunciado">enunciados</a> de un <a href="/wiki/Argumento" title="Argumento">argumento</a> mediante la simbolización adecuada como fórmulas o expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formación de fórmulas definen la <a href="/wiki/Sintaxis" title="Sintaxis">sintaxis</a> de un <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguaje formal</a> de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno; y las reglas de transformación del sistema permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente <a href="/wiki/Tautolog%C3%ADa" title="Tautología">tautologías</a>. </p><p>Un <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguaje formal</a> que sirve de base para el cálculo lógico está formado por varias clases de entidades: </p> <ol><li><b>Un conjunto de elementos primitivos</b>. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.</li> <li><b>Un conjunto de reglas de formación de «expresiones bien formadas»</b> (EBF) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.</li> <li><b>Un conjunto de reglas de transformación de expresiones</b>, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.</li></ol> <p>Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o <a href="/wiki/Axiomas" class="mw-redirect" title="Axiomas">axiomas</a>, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto: </p> <ol><li>Es <b>consistente</b>: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, ƒ, y su negación, no – ƒ, sean ambas <a href="/wiki/Teoremas" class="mw-redirect" title="Teoremas">teoremas</a> del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.</li> <li><b>Decidible</b>: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.</li> <li><b>Completo</b>: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la <a href="/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Demostración matemática">demostración matemática</a> o prueba de que es un teorema del sistema.</li></ol> <p>La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto «no es posible» (véase el <a href="/wiki/Teorema_de_G%C3%B6del" class="mw-redirect" title="Teorema de Gödel">Teorema de Gödel</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sistematización_de_un_cálculo_de_deducción_natural"><span id="Sistematizaci.C3.B3n_de_un_c.C3.A1lculo_de_deducci.C3.B3n_natural"></span>Sistematización de un cálculo de deducción natural</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=10" title="Editar sección: Sistematización de un cálculo de deducción natural"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Reglas_de_formación_de_fórmulas"><span id="Reglas_de_formaci.C3.B3n_de_f.C3.B3rmulas"></span>Reglas de formación de fórmulas</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=11" title="Editar sección: Reglas de formación de fórmulas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>I. Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF. </p><p>II. Si A es una EBF, ¬ A también lo es. </p><p>III. Si A es una EBF y B también, entonces A ∧ B; A ∨ B; A → B; A ↔ B, también lo son. </p><p>IV. Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III. </p> <dl><dd>Notas: <ul><li>A, B, … con mayúsculas están utilizadas como <a href="/wiki/Metalenguaje" title="Metalenguaje">metalenguaje</a> en el que cada variable expresa cualquier <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposición</a>, atómica (p,q,r,s, …) o molecular (<i>p</i> ∧ <i>q</i>), (<i>p</i> ∨ <i>q</i>), …309>100</li> <li>A, B, … son símbolos que significan <b>variables</b>; ¬, ∧, ∨, →, ↔, son símbolos <b>constantes</b>.</li> <li>Existen diversas formas de simbolización. Utilizamos aquí la de uso más frecuente en España.<sup id="cite_ref-29" class="reference separada"><a href="#cite_note-29"><span class="corchete-llamada">[</span>29<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Reglas_de_transformación_de_fórmulas"><span id="Reglas_de_transformaci.C3.B3n_de_f.C3.B3rmulas"></span>Reglas de transformación de fórmulas</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=12" title="Editar sección: Reglas de transformación de fórmulas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>1) Regla de sustitución (R.T.1)</b>: </p><p>Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto. </p><p>Veamos el ejemplo: </p> <table border="1" cellpadding="10"> <tbody><tr align="center"> <td>1</td> <td>[(<i>p</i> ∧ <i>q</i>) ∨ <i>r</i>] → <i>t</i> ∨ <i>s</i></td> <td>Transformación </td></tr> <tr align="center"> <td>2</td> <td><i>A</i> ∨ <i>r</i> → <i>B</i></td> <td>Donde <i>A</i> = (<i>p</i> ∧ <i>q</i>); y donde <i>B</i> = (<i>t</i> ∨ <i>s</i>) </td></tr> <tr align="center"> <td>3</td> <td><i>C</i> → <i>B</i></td> <td>Donde <i>C</i> = <i>A</i> ∨ <i>r</i> </td></tr></tbody></table> <p><br /> O viceversa </p> <table border="1" cellpadding="10"> <tbody><tr align="center"> <td>1</td> <td><i>C</i> → <i>B</i></td> <td>Transformación </td></tr> <tr align="center"> <td>2</td> <td><i>A</i> ∨ <i>r</i> → <i>B</i></td> <td>Donde <i>A</i> ∨ <i>r</i> = <i>C</i> </td></tr> <tr align="center"> <td>3</td> <td>[(<i>p</i> ∧ <i>q</i>) ∨ <i>r</i>] → <i>t</i> ∨ <i>s</i></td> <td>Donde (<i>p</i> ∧ <i>q</i>) = <i>A</i>; y donde (<i>t</i> ∨ <i>s</i>) = <i>B</i> </td></tr></tbody></table> <p><br /> <b>2) Regla de separación (R.T.2)</b>: </p><p>Si <i>X</i> es una tesis EBF del sistema y lo es también <i>X</i> → <i>Y</i>, entonces <i>Y</i> es una tesis EBF del sistema. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Esquemas_de_inferencia">Esquemas de inferencia</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=13" title="Editar sección: Esquemas de inferencia"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma: </p><p>[<i>A</i> ∧ <i>B</i> ∧ <i>C</i> … ∧ <i>N</i>] → <i>Y</i> </p><p>lo que constituye un <a href="/wiki/Inferencia" title="Inferencia">esquema de inferencia</a> en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas <i>A</i>, <i>B</i>, … <i>N</i> y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusión Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lógica, es decir su <a href="/wiki/Tabla_de_verdad" title="Tabla de verdad">tabla de verdad</a> nos muestre que es una <a href="/wiki/Tautolog%C3%ADa" title="Tautología">tautología</a>. </p><p>Por la regla de separación podremos concluir <i>Y</i>, de forma independiente como verdad. </p><p>Dada la poca operatividad de las <a href="/wiki/Tablas_de_verdad" class="mw-redirect" title="Tablas de verdad">tablas de verdad</a>, el cálculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lógicas utilizadas como reglas de transformación, como se expone en <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico">cálculo lógico</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_lenguaje_natural_como_modelo_de_un_cálculo_lógico"><span id="El_lenguaje_natural_como_modelo_de_un_c.C3.A1lculo_l.C3.B3gico"></span>El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=14" title="Editar sección: El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones? </p><p>Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de <i>C</i> si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en <i>C</i>.<sup id="cite_ref-30" class="reference separada"><a href="#cite_note-30"><span class="corchete-llamada">[</span>30<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalización</a> de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBF de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico">cálculo lógico</a>. </p><p>Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas <a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">formalizadas</a> como <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposiciones</a> lógicas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo: </p> <ul><li><b>Cálculo proposicional o cálculo de enunciados</b></li></ul> <dl><dd>Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una <a href="/wiki/Proposici%C3%B3n" title="Proposición">proposición atómica</a>, como un todo sin analizar.</dd></dl> <ul><li><b>Cálculo como lógica de clases</b></li></ul> <dl><dd>Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una <a href="/wiki/Propiedad_(l%C3%B3gica)" title="Propiedad (lógica)">propiedad común determinada</a> como pertenecientes o no pertenecientes a una <a href="/wiki/Clase_natural" title="Clase natural">clase natural</a> o a un <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> como <a href="/wiki/Individuo" title="Individuo">individuos</a>.</dd></dl> <ul><li><b>Cálculo de predicados o cuantificacional</b></li></ul> <dl><dd>Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (<i>P</i>), se predica de unos posibles sujetos variables (<i>x</i>) [<small>tomados en toda su posible extensión: (Todos los <i>x</i>); o referente a algunos indeterminados: (algunos <i>x</i>)</small>], o de una constante individual existente (<i>a</i>).</dd></dl> <ul><li><b>Cálculo como lógica de relaciones</b></li></ul> <dl><dd>Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdadero o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación <i>R</i> que se establece entre un sujeto y un predicado.</dd></dl> <p><br /> La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo se trata en <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico">cálculo lógico</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=15" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="overflow:auto hidden;"> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" style="table-layout:fixed;"> <tbody><tr valign="top"> <td><div style="margin-right:20px;"> <ul><li><a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">Aritmética</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico" title="Cálculo lógico">Cálculo lógico</a></li> <li><a href="/wiki/Algoritmo_de_Euclides" title="Algoritmo de Euclides">Algoritmo de Euclides</a></li> <li><a href="/wiki/Lenguaje_formalizado" title="Lenguaje formalizado">Lenguaje formalizado</a></li> <li><a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">Lenguaje formal</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_proposicional" title="Lógica proposicional">Lógica proposicional</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_de_primer_orden" title="Lógica de primer orden">Lógica de primer orden</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_formal" title="Sistema formal">Sistema formal</a></li> <li><a href="/wiki/Silogismo" title="Silogismo">Silogismo</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada" title="Cálculo de la raíz cuadrada">Cálculo de la raíz cuadrada</a></li></ul> </div> </td> <td><div style="margin-right: 20px;"> <ul><li><a href="/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)" title="Cifra (matemática)">Cifra (matemática)</a></li> <li><a href="/wiki/Puerta_l%C3%B3gica" title="Puerta lógica">Puerta lógica</a></li> <li><a href="/wiki/Tabla_de_valores_de_verdad" class="mw-redirect" title="Tabla de valores de verdad">Tabla de valores de verdad</a></li> <li><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" title="Teoría de conjuntos">Teoría de conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Historia_del_hardware_de_computador" class="mw-redirect" title="Historia del hardware de computador">Historia del hardware de computador</a></li> <li><a href="/wiki/Regla_de_c%C3%A1lculo" title="Regla de cálculo">Regla de cálculo</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n" title="Sistema de numeración">Sistema de numeración</a></li> <li><a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros" title="Teoría de números">Teoría de números</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_egipcia" title="Matemática egipcia">Matemática egipcia</a></li></ul> </div> </td> <td><div style="margin-right: 20px;"> <ul><li><a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_egipcia" title="Numeración egipcia">Numeración egipcia</a></li> <li><a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_griega" title="Numeración griega">Numeración griega</a></li> <li><a href="/wiki/Numeraci%C3%B3n_romana" title="Numeración romana">Numeración romana</a></li> <li><a href="/wiki/Acarreo" title="Acarreo">Acarreo</a></li> <li><a href="/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación">Potenciación</a></li> <li><a href="/wiki/Radicaci%C3%B3n" title="Radicación">Radicación</a></li> <li><a href="/wiki/Logaritmaci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Logaritmación">Logaritmación</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">Álgebra</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_elemental" title="Álgebra elemental">Álgebra elemental</a></li> <li><a href="/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico" title="Modelo científico">Modelo científico</a></li></ul> </div> </td></tr></tbody></table></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=16" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">La palabra castellana cálculo se deriva del <a href="/wiki/Lat%C3%ADn" title="Latín">latín</a> <i>calculus</i> que significa piedrecita, ya que se utilizaban guijarros para auxiliarse en la resolución de los problemas de cálculo aritmético, para contar y realizar las operaciones aritméticas elementales. En medicina, las piedras de la vesícula o del riñón se llaman "cálculos"</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCalinger1999" class="citation libro">Calinger, Ronald (1999). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/contextualhistor0000cali"><i>A Contextual History of Mathematics</i></a>. Prentice-Hall. pp. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/contextualhistor0000cali/page/150">150</a>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-02-318285-7" title="Especial:FuentesDeLibros/0-02-318285-7">0-02-318285-7</a></small>. «Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287–212 B.C.), the most original and profound mathematician of antiquity.»</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=Calinger%2C+Ronald&rft.aufirst=Ronald&rft.aulast=Calinger&rft.btitle=A+Contextual+History+of+Mathematics&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.isbn=0-02-318285-7&rft.pages=150&rft.pub=Prentice-Hall&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fcontextualhistor0000cali&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Archimedes.html">«Archimedes of Syracuse»</a>. The MacTutor History of Mathematics archive. enero de 1999<span class="reference-accessdate">. Consultado el 9 de junio de 2008</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.btitle=Archimedes+of+Syracuse&rft.date=enero+de+1999&rft.genre=book&rft.pub=The+MacTutor+History+of+Mathematics+archive&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-and.ac.uk%2FBiographies%2FArchimedes.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFO'Connor,_J.J._and_Robertson,_E.F.febrero_de_1996" class="citation web">O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (febrero de 1996). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070715191704/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html">«A history of calculus»</a>. University of St Andrews. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html">el original</a> el 15 de julio de 2007<span class="reference-accessdate">. Consultado el 7 de agosto de 2007</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=O%27Connor%2C+J.J.+and+Robertson%2C+E.F.&rft.aulast=O%27Connor%2C+J.J.+and+Robertson%2C+E.F.&rft.btitle=A+history+of+calculus&rft.date=febrero+de+1996&rft.genre=book&rft.pub=University+of+St+Andrews&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-groups.dcs.st-and.ac.uk%2F~history%2FHistTopics%2FThe_rise_of_calculus.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"> la palabra <a href="/wiki/Algoritmo" title="Algoritmo">algoritmo</a> se introdujo en matemáticas en honor a este matemático musulmán, natural de Jhiva (Uzbekistán actual), vivió en Bagdad (Irak actual).</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Muy interesante la descripción de este proceso en <a href="/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)" title="Cifra (matemática)">Cifra (matemática)</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Ver <a href="/wiki/L%C3%B3gica_emp%C3%ADrica" title="Lógica empírica">lógica empírica</a></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Sacrobosco, <i>Algoritmos</i> 1488; Georg von Peurbach, <i>Algorithmus</i>, 1492; Luca Pacioli; <i>Summa de Arithmetica proportioni et porportionalita</i>, 1494. Muy interesante y divertida exposición de esta guerra en <a href="/wiki/Cifra_(matem%C3%A1tica)" title="Cifra (matemática)">Cifra (matemática)</a></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Sombart W.: El burgués:Contribución a la historia espiritual del hombre económico moderno. 1979. Madrid. Alianza</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">La brújula y las grandes rutas marítimas, con el descubrimiento de América; la transformación de la guerra por la aplicación de la pólvora, que suscita el interés por el estudio del movimiento de los proyectiles <a href="/wiki/Tartaglia" class="mw-redirect" title="Tartaglia">Tartaglia</a>;la aceptación del préstamo con interés y la creación de las sociedades por acciones que iniciaron el primer gran capitalismo; la nuevas tablas astronómicas sustituyendo las tablas alfonsinas (Tycho Brahe); y el copernicanismo que rompe la imagen medieval del mundo</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Que llega a concebir el mundo como racional sometido a una <i>mathesis universal</i>, la extensión, que convierte el mundo material en un inmenso mecanismo, teoría mecanicista, perfectamente calculable según un orden matemático que surge del análisis concebido como <a href="/wiki/M%C3%A9todo_cient%C3%ADfico" title="Método científico">método</a> de investigación.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Cálculo de <a href="/wiki/C%C3%B3nicas" class="mw-redirect" title="Cónicas">cónicas</a>, estudio mecánico de las presiones, <a href="/wiki/Principio_de_Pascal" title="Principio de Pascal">principio de Pascal</a> de enorme importancia en la hidroestática, y finalmente en el cálculo de probabilidades.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text">Con su famosa polémica acerca de la invención del <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal">cálculo infinitesimal</a> de tanta importancia y que parece comprobado ser producto independiente de cada uno de ellos</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a></span> <span class="reference-text">Cálculo de movimientos como el de caída libre de los graves, Galileo,; trayectoria de los planetas, Kepler; trayectoria de proyectiles para la artillería; medidas astronómicas y geográficas; presiones, Torricelli y Pascal; y todas las aplicaciones prácticas de estos cálculos para la práctica de la navegación y la naciente industria: bombas de vacío, prensa hidráulica, electricidad, magnetismo, etc.</span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a></span> <span class="reference-text">Véase en <a href="/wiki/L%C3%B3gica_emp%C3%ADrica" title="Lógica empírica">Lógica empírica</a> su aplicación por Galileo al movimiento de caída libre de los graves.</span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-16">↑</a></span> <span class="reference-text">El modelo de Newton se basa en una geometría analítica espacial de tres dimensiones inmutables como <i>espacio absoluto</i> y una sucesión constante e inmutable en una dirección de <i>tiempo absoluto</i> en los que una infinidad de partículas materiales <a href="/wiki/Masa" title="Masa">masas</a> se mueven según un principio universal la <a href="/wiki/Gravitaci%C3%B3n_Universal" class="mw-redirect" title="Gravitación Universal">Gravitación Universal</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={m*m' \over r^{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mo>∗</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={m*m' \over r^{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb70a4561c385afb79d48d267f724f205c7a99f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.722ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle G={m*m' \over r^{2}}}"></span>, y unas leyes dinámicas que rigen el movimiento: Principio de inercia; Principio de acción y reacción; y Principio fundamental de la dinámica, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=m*a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>∗</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=m*a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1510c836b8b292795b7cb26e7f8d47af53953592" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.842ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=m*a}"></span></span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-17">↑</a></span> <span class="reference-text">La Lógica de <a href="/wiki/Arist%C3%B3teles" title="Aristóteles">Aristóteles</a> se mantuvo prácticamente como tal a lo largo de los siglos. Kant, a finales del siglo XVIII, opinaba que la Lógica aristotélica no había sufrido modificaciones sustanciales durante tanto tiempo por tratarse de una ciencia <a href="/wiki/A_priori" class="mw-redirect" title="A priori">a priori</a> y analítica y, por tanto, constituirse como un <a href="/wiki/Lenguaje_formal" title="Lenguaje formal">lenguaje formal</a>; consideraba que había dado de sí todo lo que podía ofrecer. Kant. Prólogo a la Crítica de la Razón Pura.</span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-18">↑</a></span> <span class="reference-text">Hofmann: Historia de la mátemática</span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-19">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3390/fractalfract5040240">Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods</a></span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-20">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1155/2014/238459">A review of definitions for fractional derivatives and integral</a></span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-21">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.008">A review of definitions of fractional derivatives and other operators</a></span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-22">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3390/math10050737">How many fractional derivatives are there?</a></span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-23">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127231">Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers</a></span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-24">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2022.9103">Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming</a></span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-25">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5772/intechopen.107263">Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications</a></span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-26">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122102002109">Einstein summation for multidimensional arrays</a></span> </li> <li id="cite_note-27"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-27">↑</a></span> <span class="reference-text">La deducción suele definirse como una inferencia en la que a partir de verdades universales se concluye verdades particulares. Este criterio no se acomoda bien a la lógica actual, pues se prefiere la idea de inferencia como transformación conforme las reglas establecidas; en cualquier caso dichas reglas, que necesariamente se basan en <a href="/wiki/Tautolog%C3%ADa" title="Tautología">tautologías</a>, pueden considerarse como principios universales o generales, sobre los cuales se construye una deducción; por ello la distinción no deja de ser una matización técnica de poca importancia.</span> </li> <li id="cite_note-28"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-28">↑</a></span> <span class="reference-text">La habilidad peculiar del Sr. Holmes</span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-29">↑</a></span> <span class="reference-text">Desgraciadamente la representación gráfica de los símbolos no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.</span> </li> <li id="cite_note-30"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-30">↑</a></span> <span class="reference-text">Cuando en un Cálculo <i>C</i>, se establece una «correspondencia» de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo <i>L</i>, real, (tal universo <i>L</i> no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que <i>L</i> es un MODELO de <i>C</i>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=17" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFBERGADÁ,_D.1979" class="citation libro">BERGADÁ, D. (1979). <i>La matemática renacentista. Historia de la Ciencia</i>. BARCELONA.ED.PLANETA. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8432008427" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-320-0842-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=BERGAD%C3%81%2C+D.&rft.aulast=BERGAD%C3%81%2C+D.&rft.btitle=La+matem%C3%A1tica+renacentista.+Historia+de+la+Ciencia&rft.date=1979&rft.genre=book&rft.pub=BARCELONA.ED.PLANETA&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFBLACKBURN,_S.2001" class="citation libro">BLACKBURN, S. (2001). <i>Enciclopedia Oxford de Filosofía</i>. Madrid. Editorial Tecnos. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8430936998" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-309-3699-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=BLACKBURN%2C+S.&rft.aulast=BLACKBURN%2C+S.&rft.btitle=Enciclopedia+Oxford+de+Filosof%C3%ADa&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.pub=Madrid.+Editorial+Tecnos&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFBUNGE,_M.1972" class="citation libro">BUNGE, M. (1972). <i>Teoría y realidad</i>. Barcelona. Ariel. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8434407256" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-344-0725-6</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=BUNGE%2C+M.&rft.aulast=BUNGE%2C+M.&rft.btitle=Teor%C3%ADa+y+realidad&rft.date=1972&rft.genre=book&rft.pub=Barcelona.+Ariel&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFCOPI,_IRVING_M.1982" class="citation libro">COPI, IRVING M. (1982). <i>LÓGICA SIMBÓLICA</i>. México 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9682601347" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 968-26-0134-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=COPI%2C+IRVING+M.&rft.aulast=COPI%2C+IRVING+M.&rft.btitle=L%C3%93GICA+SIMB%C3%93LICA&rft.date=1982&rft.genre=book&rft.pub=M%C3%A9xico+22+D.F%3A+EDITORIAL+CONTINENTAL+S.A.+DE+C.V.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFDEAÑO,_ALFREDO1974" class="citation libro">DEAÑO, ALFREDO (1974). <i>INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA FORMAL</i>. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8420620645" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-206-2064-5</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=DEA%C3%91O%2C+ALFREDO&rft.aulast=DEA%C3%91O%2C+ALFREDO&rft.btitle=INTRODUCCI%C3%93N+A+LA+L%C3%93GICA+FORMAL&rft.date=1974&rft.genre=book&rft.pub=MADRID%3A+ALIANZA+EDITORIAL&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFGARRIDO,_M.1974" class="citation libro">GARRIDO, M. (1974). <i>LÓGICA SIMBÓLICA</i>. MADRID. EDITORIAL TECNOS S.A. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8430905375" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-309-0537-5</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=GARRIDO%2C+M.&rft.aulast=GARRIDO%2C+M.&rft.btitle=L%C3%93GICA+SIMB%C3%93LICA&rft.date=1974&rft.genre=book&rft.pub=MADRID.+EDITORIAL+TECNOS+S.A.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFHONDERICH,_T._(Editor)2001" class="citation libro">HONDERICH, T. (Editor) (2001). <i>Enciclopedia Oxford de Filosofía. Trd. Carmen García Trevijano</i>. Madrid. Editorial Tecnos. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8430936998" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-309-3699-8</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=HONDERICH%2C+T.+%28Editor%29&rft.aulast=HONDERICH%2C+T.+%28Editor%29&rft.btitle=Enciclopedia+Oxford+de+Filosof%C3%ADa.+Trd.+Carmen+Garc%C3%ADa+Trevijano&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.pub=Madrid.+Editorial+Tecnos&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFMITCHELL,_D.1968" class="citation libro">MITCHELL, D. (1968). <i>INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA</i>. BARCELONA: EDITORIAL LABOR.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=MITCHELL%2C+D.&rft.aulast=MITCHELL%2C+D.&rft.btitle=INTRODUCCI%C3%93N+A+LA+L%C3%93GICA&rft.date=1968&rft.genre=book&rft.pub=BARCELONA%3A+EDITORIAL+LABOR&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFNAVARRO,_C._Y_NADAL,_B.1982" class="citation libro">NAVARRO, C. Y NADAL, B. (1982). <i>Aspectos de la Matemática en el siglo XX. Historia de la Ciencia</i>. BARCELONA.ED.PLANETA. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8132008400" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 81-320-0840-0</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=NAVARRO%2C+C.+Y+NADAL%2C+B.&rft.aulast=NAVARRO%2C+C.+Y+NADAL%2C+B.&rft.btitle=Aspectos+de+la+Matem%C3%A1tica+en+el+siglo+XX.+Historia+de+la+Ciencia&rft.date=1982&rft.genre=book&rft.pub=BARCELONA.ED.PLANETA&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFPERELLÓ_I_VALLS,_C.1979" class="citation libro">PERELLÓ I VALLS, C. (1979). <i>El cálculo en los siglos XVII y XVIII. Historia de la Ciencia</i>. BARCELONA.ED.PLANETA. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8432008427" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-320-0842-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=PERELL%C3%93+I+VALLS%2C+C.&rft.aulast=PERELL%C3%93+I+VALLS%2C+C.&rft.btitle=El+c%C3%A1lculo+en+los+siglos+XVII+y+XVIII.+Historia+de+la+Ciencia&rft.date=1979&rft.genre=book&rft.pub=BARCELONA.ED.PLANETA&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFQUINE,_W.V.1981" class="citation libro">QUINE, W.V. (1981). <i>FILOSOFÍA DE LA LÓGICA</i>. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8420620432" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-206-2043-2</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=QUINE%2C+W.V.&rft.aulast=QUINE%2C+W.V.&rft.btitle=FILOSOF%C3%8DA+DE+LA+L%C3%93GICA&rft.date=1981&rft.genre=book&rft.pub=MADRID%3A+ALIANZA+EDITORIAL&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFSTEWART_I.1977" class="citation libro">STEWART I. (1977). <i>Conceptos de matemática moderna</i>. Madrid. Alianza Universidad. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8420621870" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-206-2187-0</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=STEWART+I.&rft.aulast=STEWART+I.&rft.btitle=Conceptos+de+matem%C3%A1tica+moderna&rft.date=1977&rft.genre=book&rft.pub=Madrid.+Alianza+Universidad&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li>Tablas de Aritmética. Ed.EDIVAS S.L. Ref. 25. Zamudio. España.</li> <li><span id="CITAREFTrueta_i_Raspall,_J._et_alii.1977" class="citation libro">Trueta i Raspall, J. et alii. (1977). <i>Historia de la Ciencia. I</i>. BARCELONA.ED.PLANETA. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8432008419" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-320-0841-9</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=Trueta+i+Raspall%2C+J.+et+alii.&rft.aulast=Trueta+i+Raspall%2C+J.+et+alii.&rft.btitle=Historia+de+la+Ciencia.+I&rft.date=1977&rft.genre=book&rft.pub=BARCELONA.ED.PLANETA&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFRoland_E._Larson,_Robert_P._Hostetler,_Bruce_H._Edwards1995" class="citation libro">Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards (1995). <i>CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA. Volumen 1 quinta edición</i>. McGRAW-HILL/ INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A. <small><a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8448117689" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 84-481-1768-9</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.au=Roland+E.+Larson%2C+Robert+P.+Hostetler%2C+Bruce+H.+Edwards&rft.aulast=Roland+E.+Larson%2C+Robert+P.+Hostetler%2C+Bruce+H.+Edwards&rft.btitle=CALCULO+Y+GEOMETRIA+ANALITICA.+Volumen+1+quinta+edici%C3%B3n&rft.date=1995&rft.genre=book&rft.pub=McGRAW-HILL%2F+INTERAMERICANA+DE+ESPA%C3%91A%2C+S.A.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=18" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" class="mw-file-description" title="Ver el portal sobre Matemática"><img alt="Ver el portal sobre Matemática" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/20px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/40px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span> <a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal:Matemática</a>. Contenido relacionado con <b><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Matemática">Matemática</a></b>.</li> <li><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/12px-Spanish_Wikiquote.SVG.png" decoding="async" width="12" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/19px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG/25px-Spanish_Wikiquote.SVG.png 2x" data-file-width="272" data-file-height="330" /></span></span> <a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote">Wikiquote</a> alberga frases célebres de o sobre <b><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/C%C3%A1lculo" class="extiw" title="q:Cálculo">Cálculo</a></b>.</li></ul> <ul><li><span id="Reference-Mathworld-Calculus" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Calculus.html">«Calculus»</a>. En Weisstein, Eric W, ed. <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="reference-accessdate">. Consultado el 29 de mayo de 2010</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo&rft.atitle=Calculus&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W&rft.aulast=Weisstein%2C+Eric+W&rft.genre=article&rft.jtitle=MathWorld&rft.pub=Wolfram+Research&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FCalculus.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf">http://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf</a>.</li></ul> <p><br /> </p> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q48782649" class="extiw" title="wikidata:Q48782649">Q48782649</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/30px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></a></span> Citas célebres:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/C%C3%A1lculo" class="extiw" title="q:Cálculo">Cálculo</a></span></li></ul> <hr /> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q48782649" class="extiw" title="wikidata:Q48782649">Q48782649</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikiquote" title="Wikiquote"><img alt="Wikiquote" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/15px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/23px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/30px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></a></span> Citas célebres:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikiquote.org/wiki/C%C3%A1lculo" class="extiw" title="q:Cálculo">Cálculo</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cálculo&oldid=163164628">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cálculo&oldid=163164628</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categoría</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo" title="Categoría:Cálculo">Cálculo</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categoría oculta: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 22 oct 2024 a las 17:33.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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